南通、泰州、扬州2012届高三第一次调研测试 数学试题

泰州市2012届一模高三第一学期期末考试数学(考试时间：120分钟 总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1.在ABC ∆中，060,2,1===B c a ，则b = ▲ .2.某年级有三个班级，人数分别为45、50、55，为加强班级学生民主化管理，拟就某 项决策进行问卷调查，按分层抽样的方法抽取30人，则各个班级被抽取的人数分别 为 ▲ .3.命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是 ▲ .4.复数ii +12的模为 ▲ .（其中i 是虚数单位）5.已知ABCD 是半径为2圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点P ，点P 落在正方形ABCD 内部的概率为 ▲ .6.右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s = ▲ .7.设A 为奇函数a a x x x f ()(3++=为常数）图像上一点，在A 处的切线平行于直线x y 4=，则A 点的坐标为 ▲ .8.已知)0,0(>>=+b a t b a ，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t = ▲ .9.将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像仍过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ▲ . 10.在集合{x |2012x∈Z ,x ∈Z } 中取三个不同元素排成一列，使其成等比数列，则此等比数列的公比为 ▲ .11. 设α、β、γ表示是三个不同的平面，a 、b 、c 表示是三条不同的直线，给出下列 五个命题：(1)若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；(2)若a ∥α，b ∥α，ββαβ⊂⊂=⋂b a c ,,，则b a //； (3)若ααα⊥⇒⊂⊂⊥⊥a c b c a b a ,,,；i ←1,s ←1s ←s ·9i ←i +1开始结束否是输出s i ≥3(4)若,,γβγα⊥⊥则βα//或βα⊥；(5)若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b ． 其中正确命题的序号是 ▲ .12．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为21,r r ，则21r r = ▲ . 13．设实数1≥a ，使得不等式a a x x ≥+-23，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 ▲ .14. 集合{)(x f M =存在实数t 使得函数)(x f 满足})1()()1(f t f t f +=+，下列函数k c b a ,,,(都是常数）（1）)0,0(≠≠+=b k b kx y （2）)0(2≠++=a c bx ax y （3）)10(<<=a a y x （4）)0(≠=k xk y（5）x y sin =属于M 的函数有 ▲ . (只须填序号) 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，三棱锥A —BCD ，BC =3，BD =4，CD =5，AD ⊥BC ，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，连结CE ，G 为CE 上一点．(1)求证：平面CBD ⊥平面ABD ；(2)若 GF ∥平面ABD ，求CGGE 的值．16．(本题满分14分)某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具(5π24≤θ≤π3 )，现准备定制长与宽分别为a 、b (a >b )的硬纸板截成三个符合要求的△AED 、△BAE 、△EBC ．(如图所示)(1)当θ=6π时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；(2)现有三种规格的硬纸板可供选择，A 规格长80cm ，宽30cm ，B 规格长60cm ，宽40cm ，C 规格长72cm ，宽32cm ，可以选择哪种规格的硬纸板使用．ABCDFEGABCDθE17．（本题满分14分）如图，半径为1圆心角为23π圆弧AB ︵上有一点C ．（1）当C 为圆弧 AB ︵中点时，D 为线段OA 上任一点，求||OD OC +的最小值. （2）当C 在圆弧 AB ︵上运动时，D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，求CE ·DE 的取值范围．18．（本题满分16分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a bya x，左、右焦点分别为21,F F ，右顶点为A ，上顶点为B , P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若221PAFF PF S S ∆∆=,求椭圆的离心率；（2）若1221PBF PAF F PFS S S ∆∆∆==，求直线1PF 的斜率k ；（3）若2P A F S ∆、21F PFS ∆、1PBF S ∆成等差数列，椭圆的离心率⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,41e ，求直线1PF 的斜率k 的取值范围.19．（本题满分16分）已知函数ax x a a x x f 2ln )2143(21)(22-++=(1)当21-=a 时，求)(x f 的极值点;(2)若)(x f 在'()f x 的单调区间上也是单调的，求实数a 的范围.AE D CBOF 2AxyP BF 120．（本题满分16分）已知数列{}n a ，对于任意n ≥2，在1-n a 与n a 之间插入n 个数，构成的新数列{}n b 成等差数列，并记在1-n a 与n a 之间插入的这n 个数均值为1-n C .(1)若2832-+=n n a n ，求321C C C 、、；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{1+n C -λn C }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由； (3)求出所有的满足条件的数列{}n a .泰州市2011～2012学年度第一学期期末考试高三数学试题参考答案(考试时间：120分钟 总分160分)一、填空题1．3 2．9，10，11 3．01,2≠+-∈∀x x R x 4．2 5．π26．81 7．（1，2）或（-1，-2） 8．22 9．6π10．2,21±±11．(2) 12．25 13．或231≤≤a 25≥a 14.(2)（4）15．解：(1)在△BCD 中，BC=3，BD=4，CD=5，∴BC ⊥BD 又∵BC ⊥AD ，BD ∩AD=D∴BC ⊥平面ABD …………………………4′ 又∵BC ⊂平面BCD∴平面CBD ⊥平面ABD …………………………7′ (2) ∵GF ∥平面ABD, FG ⊂平面CED平面CED ∩平面ABD=DE ∴GF ∥ED …………………………10′ ∴G 为线段CE 的中点 ∴CGGE=1 …………………………14′ 16．解：(1)由题意∠AED=∠CBE=θ∵b=BE ·cos300=AB ·sin300·cos300=3 4a ∴ab =4 3 3…………………………4′ (2)∵b=BE ·cos θ=AB ·sin θ·cos θ=12 AB ·sin2θ ∴b a =12 sin2θ∵5π24 ≤θ≤π3 ∴5π12 ≤2θ≤2π3 ∴b a ∈[ 3 4 ，12]…………………10′ A 规格：3080 =38 < 3 4 , 不符合条件. …………………………11′B 规格：4060 =23 >12 , 不符合条件. …………………………12′C 规格：3272 =49 ∈[ 3 4 ，12],符合条件. …………………………13′∴选择买进C 规格的硬纸板. …………………………14′17．解：（1）以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立图示坐标系，设D （t ，0）（0≤t ≤1），C （2222，-）………………………2′∴OD OC +=（2222t ，+-）∴2||OD OC +=212212++-t t =122+-t t （0≤t ≤1）…4′当22=t 时，最小值为22…………………………6′（2）设OC =（cos α，sin α）（0≤α≤23π）OC OE CE -==（0，21-）—（cos α，sin α）=（ααsin 21cos ---，）………8′又∵D （021，），E （0，21-）∴DE =（2121--，）…………………………10′∴CE ·DE =)sin 21(cos 21αα++=41)4sin(22++πα…………12′∵4π≤4πα+≤47π…………………………13′∴CE ·DE ∈[22412241+-，]…………………………14′18．解：（1）∵21F PFS ∆=2PAF S ∆ ∴A F F F 221=∵a-c=2c ∴e =31…………………………2′（2）设)(1c x k y PF +=的直线方程为，∵21F PF S ∆=1PBF S ∆∴12·211·212121+=+-k kcPF k kc b PF …………………………4′∴b-kc=2kc∴b=3kc∵a=3c ∴b=22c ∴k=322…………………………7′(3)设21F PFS ∆=t ，则t cc a S PAF 22-=∆…………………………8′∵P 在第一象限 ∴cb k >kckc b k kc k kcb S S F PF PBF 212122211-=++-=∆∆ ∴t kc kc b S PBF ·21-=∆…………………………9′∴2t=t kckcb tc c a ·22-+- ∴kc b ck ak kc -+-=4 ∴b a c k =-)6(∴a c b k -=6…………………………11′∴c ba c b>-6∴151<<e 又由已知141<≤e∴141<≤e …………………………12′∴22221236a ac c bk +-==22221236aac c ca +--=11236122+--e e e=22)16(1--e e（令16-=e m ，∴61+=m e ）……13′=22)61(1m m +-=221236361mm m ---=)1235(3612--mm∵141<≤e ∴521<≤m∴2151≤<m∴41502≤<k∴2150≤<k …………………………16′19．解 (1)f(x)= 12 x 2- 116 lnx+x （0>x ）f’(x)=x - 116x + 1=16x 2+16x-116x =0∴x 1=-2- 5 4 ，x 2=-2+ 54…………………………2′∵(0，-2+ 54]单调[-2+ 54，+∞)单调增…………………………3′ ∴f(x)在x= -2+ 54时取极小值…………………………4′(2)解法一：f’(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 12ax )0(>x …………………………5′令g(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 12 a ， △=4a 2-3a 2-2a=a 2-2a ，设g(x)=0的两根)(,2121x x x x <…………………………7′ 10当△≤0时 即0≤a ≤2，f’(x)≥0∴f(x)单调递增，满足题意…………………………9′20 当△>0时 即a<0或a>2时(1)若210x x <<，则 34 a 2 + 12 a<0 即- 23<a<0时,)(x f 在),0(2x 上减，),(2+∞x 上增f’(x)=x+ 34 a 2 + 12a x-2af’’(x)=1- 34 a 2 + 12a x2≥0 ∴f ’(x) 在(0，+∞)单调增，不合题意……………11 (2)若021<<x x 则⎪⎩⎪⎨⎧<≥+0021432a a a 即a ≤- 23时f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意。

臭氧层被破坏的原因 自然原因： 人为原因： 太阳活动异常等原因 氟利昂和含氮废气的排出 危害： 大量紫外线辐射到地面，从而危害人类和其他生物的健康。

例如，人类的皮肤癌和白内障等疾病因此而明显增多。

防治： 控制和停止使用氟利昂，以及减少含氮废气的排放等，是防止臭氧层破坏的关键。

三大全球性大气污染问题 酸雨 温室效应 臭氧层破坏 二氧化硫、二氧化氮 CO2 氟利昂、含氮化合物 环境保护，从现在做起 “我们不要过分陶醉于我们对自然界的胜利。

对于每一次这样的胜利，自然界都报复了我们。

”-----恩格斯 1、酸雨中没有的成分是（? ） A、醋酸 B、硫酸 C、水? D、硝酸 2、各种电池中，造成环境污染最严重的电池含有的重金属不包括（? ） A、汞 B、银 C、镉? D、铂 3、引起酸雨和温室效应的主要物质是（? ） A、二氧化碳和二氧化硫?B、二氧化硫和二氧化碳 C、盐酸和二氧化碳? D、二氧化硫和氮气 4、探究酸雨对生物的影中，注意事项不包括（? ） A、需进行对照实验? B、需重复几次 C、实验变量为模拟酸雨 D、要用真正的酸雨 5、酸雨的危害表现在（? ） A、腐蚀建筑物和户外雕塑? B、使农作物枯萎甚至死亡 C、使土壤、河流、湖泊酸化? D、以上三项都是 A D B D D 6、探究废电池对生物的影响过程中，错误的操作是（? ） A、对废电池液要进行稀释 ?B、同时进行3组对照实验 C、实验结束，将手洗净? D 、探究结束，将废电池液倒入下水道 7、下列现象中，由废旧电池污染所致的是（? ） A、饮用水中带有霍乱菌B、水中藻类迅速繁殖, 使鱼窒息而死 C、镉扩散到土壤中? D、渤海海域出现赤潮 8、形成酸雨的根本原因是（ ） A臭氧层的破坏B噪声污染 C化肥、农药的大量使用 D工厂大量使用煤、石油作为能源 9、酸雨是指PH值为多少的大气降水？（ ） A．5.6 B 7 C 5.6 D7 10、有“空中死神”之称的是（ ） A酸雨 B臭氧层破坏 C温室效应 D沙尘暴 D C D C A 第二节 探究环境对生物的影响 生长期的水稻 成熟期的水稻 一、酸雨对生物的影响 1、什么是酸雨？ 2、酸雨形成的原因？ 3、酸雨的成分？ 1、什么是酸雨？ 简单地说：酸雨就是酸性较强的雨。

a ←1b ←2c ←3 c ←a a ←b b ←c Print a ，b（第3题）南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑. （2）函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()()cos f x x ωωϕ'=⋅+，其中ωϕ，都是常数. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ .4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .5． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ .（用列举法表示） 6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .8. 设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ .9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数22log y x =，12y x =，()22xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ▲ . 10．观察下列等式： 311=， 33129+=，By1A 2OBCF 1F 2Dxy (第13题)33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭 圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.A（第16题）BCDD 1C 1B 1A 12Cy..16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证： （1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．20. (本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲AE BCDO·（第21－A 题）（本小题满分10分）如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC 3=，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）F B xyO ACD M N（第23题）a ←1b ←2c ←3 c ←a a ←b b ←c Print a ，b（第3题）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 答案：22． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ . 答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）.答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ . 答案：298. 设P 是函数(1)y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数22logy x =，12y x =，()22xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：()1124，10．观察下列等式： 311=， 33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，OBDCy x（第9题）11 A 2O BCF 1F 2Dxy (第13题)面积的最大值为 ▲ . 答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21π-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .答案： {}58 37，二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b =．从而2s iAC B =可化为2cos a C b =． …………………………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=．A（第16题）BCDD 1 C 1B 1A 1M整理得a c =，即1a c=. …………………………………………………………………7分 （2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………………………10分故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+． 整理，得4s AC A C=-， ………………………………………………12分因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠， 所以t a taA C =-．………………………………………………………………………14分 16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分 14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以B ⊥，1BD A M ⊥．………………………………………………………3分又1AM A M M = ，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ． 而1AA ⊂平面1A AM ， 所以1AA ⊥.…………………………………………………………………………7分（2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．……………………………………………………………9分又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD平面11D D CC D D=，……………………11分 所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ， 所以11//BB DD ．………………………………………………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==；……………………………………………2分 B组活动所需时间12001002()5252g x x x⨯==--．……………………………………………4分xyO1C 2CC1l2l令()()f x g x =，即6010052x x=-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x xF x x x x⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，，≥， ………………………………………………………6分而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >．所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．………………8分（2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………………………………10分B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， …………………………………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． ……………………………………………14分18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=的距离为244451k k -=+．…………………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l的方程为43x y -+=或3430x y -+=．…………………………………6分（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =， 即2222(1)(3)(4)x y x y ++=-+-． 化简得30x y +-=，即动圆圆心C在定直线30x y +-=上运动．…………………………………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，， 则动圆C 的半径为222111(1)(3)CC m m +=+++-．于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．…………………………………………14分由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得31223 222x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，；或31223 2 2.2x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以定点的坐标为()3312 2222--，，()3312 2222++，．………………………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． ………………………………6分（2）当a ≤时，()s i n f x x x a x x=+≥≥恒成立．………………………………………8分当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． ……………………………10分②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+． 因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2(2a g -+≤≤．……………………………………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…………14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π02x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………………………………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a ==， 所以()412212n n n a a q--==． ………………………………………………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . …………………………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α；AE BCDO ·（第21－A 题）2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以12ααα==，不妨记12αααα===，且43t α=． ……………………………12分于是()(32)1133211k k k a a a αα----==，()2(31)12233315111k k k k k a a a t a a αααα------====，()1313233339111k k k k k a a a t a a αααα----====， 所以()131n n a a α-=，故{na }为等比数列．……………………………………………16分南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC 3=，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1．又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠= ．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠ ．而60ABD ∠= ，故30C BDC ∠==∠ ．所以3DB BC ==． 在△O中，3322DE DB ==．……………………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，…………………………5分代入直线y kx =，得x ky ''=． 将点(P ，代入上式，得k =4．……………………………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()co s 1ρθπ+=4化成普通方程为20x y --=． ……………………………………6分由题意，得2222a a --=．解得422a =+．…………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥． 证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333333a b c ⋅⋅⋅⋅⋅≥ 327abc =⋅ 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． ……………………………………………10分22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立． （1）解：由题意，得2324 35a a ==，． ……………………………………………………………2分（2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．……………………………4分②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………………………6分则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，F BxyO ACD M N（第23题）所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．…………………………10分23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，由题意，得12p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =．……………………………………………………3分 （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24y x =（0y >），得2y x =，所以1y x'=．所以切线AC 的方程为1111()y y x x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，② 且D 点坐标为2( 0)x -，． 由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．……………………………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M Nx x =，即MN⊥x轴． …………………………………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB过定点(1 0)-，．………………………………………………………………10分。

江苏省泰州中学高三数学阶段自我测试卷 2012.3.10数学（Ⅰ）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知全集U R =，集合{|20}A x x =+<，{|28}x B x =<，那么集合()B A C U ⋂=___▲___. 2．我校高三(18)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为___▲___.3．设复数121,2z i z a i =-=+，若21z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为___▲___.4．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S =___▲___. 5．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式240a b -+<成立的事件发生的概率等于___▲___. 6．设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若αββα//,,l l 则⊥⊥； ②若βαβα⊥⊥则,//,l l ； ③若l 上有两点到α的距离相等，则l //α； ④若βγγαβα⊥⊥则,//,． 其中正确命题的序号是___▲___.7．在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{2}n S +也是等比数列，则q =___▲___.8．已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是___▲___.9．设()g x 是定义在R 上以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[2,5]上的值域为___▲___.10．设A 和B 是抛物线L 上的两个动点，在A 和B 处的抛物线切线相互垂直，已知由A B 、及抛物线的顶点P 所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为1L ．对1L 重复以上过程，又得一抛物线2L ，以此类推．设如此得到抛物线的序列为12,,,n L L L ，若抛物线L 的方程为26y x =，经专家计算得，21:2(1)L y x =-， 222124:(1)()3333L y x x =--=-， 23211213:(1)()93999L y x x =---=-，，22:()n n n nT L y x S S =-． 则23n n T S -=___▲___.11．已知O 是△ABC 的外心，若2(0,0),(2,0),1,3A B AC BAC π=∠=，且AO AB AC λμ=+，则λμ+=___▲___.12．已知A 、B 、C 是平面上任意三点，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则c by a b c=++的最小值是___▲___.13．已知点F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆于点A 、P ，PF 垂直于x 轴，直线AF 交椭圆于点B ，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率e =___▲___.14．已知函数()ln f x x x ax =-+在(0,)e 上是增函数，函数2()||2xa g x e a =-+.当[0,ln 3]x ∈时，函数()g x 的最大值M 与最小值m 的差为32，则a =___▲___.江苏省泰州中学高三数学阶段自我测试卷答卷 2012.3.10 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．_____________ 2．____________ 3．____________ 4．____________ 5．_____________6．_____________ 7．____________ 8．____________ 9．____________ 10．____________11．____________ 12．____________ 13．___________ 14．____________二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中如图，在四棱锥O ABCD点，F为BC的中点，求证：（Ⅰ）平面BDO⊥平面ACO；（Ⅱ）EF//平面OCD.考资源网注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.16.（本小题满分14分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交与点A ，与钝角α的终边OB 交于点()B B y x B ,，设BAO β∠=. （Ⅰ）用β表示α；（Ⅱ）如果4sin 5β=,求点()B B y x B ,的坐标；（Ⅲ）求B B y x -的最小值.注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.17.（本小题满分14分）O BAxyα角终边16.某工厂统计资料显示，一种产品次品率p 与日产量()10080,*≤≤∈x N x x 件之间的关系如下表所示：其中()x a x p-=（a 为常数）.已知生产一件正品盈利k 元，生产一件次品损失3元（k为给定常数）.（Ⅰ）求出a ，并将该厂的日盈利额y （元）表示为日生产量x （件）的函数；（Ⅱ）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.18.圆C ：222()()(0,,0)x a y b r a b R r -+-=>∈>与双曲线M 的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C 被x 轴截得的弦长为4.（Ⅰ）求双曲线M 的方程；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）过圆C 内一定点Q （s ，t ）（不同于点C ）任作一条直线与圆C 相交于点A 、B ，以A 、B 为切点分别作圆C 的切线PA 、PB ，求证：点P 在定直线l 上，并求出直线l 的方程.注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.19.数a 1x +（Ⅲ）求证：2222123(1)n n n e -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>(*)n N ∈.注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.20.（本小题满分16分）已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==.（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列；（ⅱ）若数列}{nan 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项1a 应满足的条件.注意：请在给出的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效.数学（Ⅱ）21．B ．选修4－2 矩阵与变换 已知,a b R ∈，若13a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换M T 把直线:23L x y -=变换为自身，求实数,a b ，并求M 的逆矩阵．C ．选修4－4 坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232221（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ-=．（Ⅰ）求直线l 的倾斜角；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求||AB ．22．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为1P 3=，乙的命中率为2P ，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”.（Ⅰ）若2P 21=，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ， 如果5≥ξE ，求2P 的取值范围．23．已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-.（Ⅰ）求(1)f -及(2)f 的值；（Ⅱ）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．数学（Ⅰ）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．[2,3)- 2．20 3．6 4．16 5．146．②④ 7．3 8．3[,3]2-9．[3,6]- 10．-1 11．136 1212 13 14．52 二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA BD ⊥， ∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OAAC A =，∴BD ⊥平面OAC ，又∵BD ⊂平面OBD ，∴平面BDO ⊥平面ACO ． ……………………6分 ⑵取OD 中点M ，连接EM ,CM ,则1,2ME AD ME AD =‖，∵ABCD 是菱形，∴//,AD BC AD BC =， ∵F 为BC 的中点，∴1,2CF AD CF AD =‖， DABCFE OM∴,ME CF ME CF =‖．∴四边形EFCM 是平行四边形，∴//EF CM ， 又∵EF ⊄平面OCD ，CM ⊂平面OCD ．∴EF ‖平面OCD ．…14分16．（Ⅰ）如图βπαβππα223,22-=∴-=-=∠AOB .（Ⅱ）由sin By r α=，又1=r ,得3sin sin(2)2B y παβ==- 2571)54(21sin 22cos 22=-⋅=-=-=ββ. 由钝角α，知224cos 1sin ,25B x αα==--=- )257,2524(-∴B .（Ⅲ）【法一】)4cos(2sin cos πααα+=-=-B B y x ， 又)45,43(4),,2(πππαππα∈+∈，⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈+22,1)4cos(πα,B B y x -∴的最小值为2-.【法二】α为钝角，1,0,022=+><∴B B B B y x y x , )(B B B B y x y x +--=-，2)(2)(222=+≤+-B B B B y x y x ,2-≥-∴B B y x ,B B y x -∴的最小值为2-.17．18．（Ⅰ） 2214y x -=，（Ⅱ）22(3)(1)5x y -+-=，（Ⅲ）(3)(1)350s x t y s t -+---+=19．解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x +=， x >0，则2ln ()xf x x'=-， 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值. 因为函数()f x 在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值，所以1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得112a <<. （Ⅱ）不等式(),1k f x x ≥+即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )(),x x g x x++= 所以[]2(1)(1ln )(1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'=2ln x x x -=令()ln h x x x =-，则1()1h x x'=-， 1x ≥， ()0,h x '∴≥()h x ∴在[1,)+∞上单调递增， []min ()(1)10h x h ∴==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， 所以[]min ()(1)2g x g ==，所以2k ≤ . （3）由（2）知：2(),1f x x ≥+恒成立，即122ln 1111x x x x x-≥=->-++， 令(1)x n n =+，则[]2ln (1)1(1)n n n n +>-+，所以 2ln(12)112⨯>-⨯, 2ln(23)123⨯>-⨯，2ln(34)134⨯>-⨯， … …()[]()1211ln +->+n n n n ，叠加得：232111ln 123(1)21223(1)n n n n n ⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦⨯⨯+⎣⎦ =n-2(1-11+n )＞n-2+12+n ＞n-2 . 则2222123(1)n n n e -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>20．（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++2(1)11222n n n n-⨯=+=-+.又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n n na =-+. （Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥，所以数列}{n c 为等差数列. ………………7分（ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥ 所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列. ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k i i i k a a a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++， （其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有n a n 76=； ………………10分当76i i a ≠时，17771166()()6(1)666(1)6i i k k ii i a a i f f a k i k i k i k i +---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++①若76i ia >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调减数列；②若76i ia <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调增数列； 综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =--74111{,,,,}63236=--，当B a ∈1时，数列}{nan 中必有某数重复出现无数次.当B a ∉1时，}6{6ik a ik ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 21．B ．41b a =-⎧⎨=⎩,13141M --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦C ．（Ⅰ） 60（Ⅱ）l 的直角坐标方程为223+=x y ， )4cos(2πθρ-=的直角坐标方程为1)22()22(22=-+-y x ， 所以圆心)22,22(到直线l 的距离46=d ，210||=∴AB22．解（Ⅰ）=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=)2121)(3232()2121)(3132(1212C C P 31；………………4分 （Ⅱ）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率222222212129498)3232()]1()[3132(P P P P P C C P -=⋅+-⋅⋅⋅⋅=而ξ～),12(P B ，所以P E 12=ξ 由5≥ξE 知512)9498(222≥⋅-P P 解得：1432≤≤P ……………10分23． （Ⅰ）先用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()f n 是整数. ①当n=1时，(1)1f =,结论成立.②假设当n=k （k ≥1，k ∈N ）时，结论成立，即5431111()52330f k k k k k =++-是整数，则当n=k+1时，5431111(1)(1)(1)(1)(1)52330f k k k k k +=+++++-+0514233245041322145555554444452C k C k C k C k C k C C k C k C k C k C +++++++++=+03122333331(1)330C k C k C k C k ++++-+=432()4641f k k k k k +++++根据假设()f k 是整数，而4324641k k k k ++++显然是整数.∴(1)f k +是整数，从而当当n=k+1时，结论也成立.由①、②可知对对一切正整数n ，()f n 是整数. ……………………………………………7分 （Ⅱ）当n=0时，(0)0f =是整数.……………………………………………………………8分 (Ⅲ)当n 为负整数时，令n= -m ，则m 是正整数，由（1）()f m 是整数， 所以5431111()()()()()()52330f n f m m m m m =-=-+-+--- 543111152330m m m m =-+-+=4()f m m -+是整数.综上，对一切整数n ，()f n 一定是整数.……………………………………………………10分。

2012届高三第一次调研考试数学试题（理科）（本试卷共5页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合A B =（ ）A ．)0,0(B ．{}0C ．{})0,0(D ．∅ 2．复数ii+-11的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3．已知向量a =(1,2)-，b =(,2)x ，若a ⊥b ，则|b |=（ ） AB．C ．5D ．204．已知11()122xf x =--,()f x 则是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇且偶函数 5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中： ①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα⊥，α⊥l ,则β//l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l //④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m ，其中真命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．给出计算201614121++++ 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）．A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i 7．“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．规定记号“⊗”表示一种运算，即2a b ab a b ⊗=++ (,)a b 为正实数，若31=⊗k ，则k =（ ）A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2（第6题图）第Ⅱ卷 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．6)1(xx -的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）10．右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为 ．11．设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的 三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为 ．12．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中*,x y N ∈)则样本在区间 [10，50 ) 上的频率 ．13．已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则该数列的通项公式n a = ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

南通市2012届高三第一次调研测试数学参考答案与评分意见A ．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7}，集合2{|650}M x x x =∈-+Z ≤，则集合U M ðu = ▲ ． 2．已知函数()sin 2f x x x +，则()f x 的最小正周期是 ▲ ． 3． 经过点（－2，3），且与直线250x y +-=平行的直线方程为 ▲ ． 4． 若复数z 满足3,iz i i++=则||z = ▲ ． 5． 程序如下：t ←1 i ←2While i ≤4t ←t ×i i ←i ＋1 End While Print t以上程序输出的结果是 ▲ ． 6． 若12320082009,,,,,x x x x x 的方差为3，则12200820093(2),3(2),,3(2),3(2)x x x x ----的方差为 ▲ ．7． 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为，则四面体11A B CD -的外接球的体积为 ▲ ．8． 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．9． 设a ＞0，集合A ={（x ，y ）|3,40,20x x y x y a ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥}，B ={（x ，y ）|222(1)(1)x y a -+-≤}．若点P （x ，y ）∈A 是点P （x ，y ）∈B 的必要不充分条件，则a 的取值范围是 ▲ ．10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ．11．数列{}n a 中，16a =，且111n n n aa a n n---=++（*n ∈N ，2n ≥），则这个数列的通项公式n a = ▲ ．12．根据下面一组等式：1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=…………可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+= ▲ ． 13．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ ．14．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．答案：1．{6，7} 2．π 3．210x y ++= 45．24 6．27 7．36π 8． 9．0＜a10．78 11．(1)(2)n n ++ 12．4n 13．5π1214．21(,]e e -∞+二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ． （1）求证：AD ⊥平面BC C 1 B 1； （2）设E 是B 1C 1上的一点，当11B EEC 的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解: （1）在正三棱柱中，C C 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴ AD ⊥C C 1．………………………………………2分又AD ⊥C 1D ，C C 1交C 1D 于C 1，且C C 1和C 1D 都在面BC C 1 B 1内，∴ AD ⊥面BC C 1 B 1． ……………………………………………………………5分（2）由（1），得AD ⊥BC ．在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．………………………7分当111B EEC =，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1．………………………………8分 事实上，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BC C 1 B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B= DE ． …………………………………………………10分 又B 1B ∥AA 1，且B 1B =AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE =AA 1． ……………………………………………………………12分 所以四边形ADE A 1为平行四边形，所以E A 1∥AD ．而E A 1⊄面AD C 1内，故A 1E ∥平面AD C 1． ………………………………………14分B 1A 1A B C C 1D16．（本小题14分）如图，在四边形ABCD 中，AD =8，CD =6，AB =13，∠ADC =90°，且50AB AC ⋅=． （1）求sin ∠BAD 的值；（2）设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求ABDBCDS S ∆∆的值． 解 （1）在Rt △ADC 中，AD =8，CD =6，则AC =10，43cos ,sin 55CAD CAD ∠=∠=．………………2分又∵50AB AC ⋅=，AB =13， ∴5cos 13||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==． …………………………4分∵0180BAC <∠<，∴12sin 13BAC ∠=． …………………………………………………5分 ∴63sin sin()65BAD BAC CAD ∠=∠+∠=．……………………………………………………8分 （2）1252sin 25BAD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=，1sin 602BAC S AB AC BAC ∆=⋅⋅∠=，24ACD S ∆=， 11分 则1685BCD ABC ACD BAD S S S S ∆∆∆∆=+-=，∴32ABD BCD S S ∆∆=．……………………………………14分17．（本小题15分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? 解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分所以 43()1105P A =-=．…………………………………………………………………4分 答：略． ……………………………………………………………………………………5分 A CDB（2）由数据，求得12,27x y ==．………………………………………………………………7分由公式，求得52b =，3a y bx =-=-． …………………………………………………9分 所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-． …………………………………………10分 （3）当x =10时，5ˆ103222y =⨯-=，|22－23|＜2；…………………………………………12分 同样，当x =8时，5ˆ83172y =⨯-=，|17－16|＜2．……………………………………14分 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………………………15分18．（本小题15分）抛物线24y x =的焦点为F ，11221212(,),(,)(,0,0)A x y B x y x x y y >><在抛物线上，且存在实数λ，使AF BF λ+=0，25||4AB =． （1）求直线AB 的方程；（2）求△AOB 的外接圆的方程． 解：（1）抛物线24y x =的准线方程为1x =-．∵AF BF λ+=0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB |=122x x ++． …1分 设直线AB ：(1)y k x =-，而12121212,,0,0,0.y y k x x y y k x x -=>><∴>- 由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ……………………………………………3分 ∴2122122(2),1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩|AB |=122x x ++= 222(2)2524k k ++=．∴2169k =．……………6分 从而43k =，故直线AB 的方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=．……………………8分（2）由24340,4,x y y x --=⎧⎨=⎩ 求得A （4，4），B （14，－1）．……………………………………10分设△AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0,1616440,111()0.164F D E F D E F ⎧⎪=⎪++++=⎨⎪⎪+++-+=⎩解得29,43,40.D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………………………………………………14分故△AOB 的外接圆的方程为22293044x y x y +--=．…………………………………15分 19．（本小题16分）已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），1()ln m f x mx x x-=--，m ∈R ．（1）求θ的值；（2）若()()f x g x -在[1，＋∞）上为单调函数，求m 的取值范围； （3）设2()eh x x=，若在[1，e ]上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围． 解：（1）由题意，211()sin g x x x θ'=-+⋅≥0在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-⋅≥．………1分∵θ∈（0，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立，…………………2分 只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（0，π），得π2θ=．……4分 （2）由（1），得()()f x g x -=2ln m mx x x --．()222()()mx x m f x g x x-+'∴-=．…………5分 ∵()()f x g x -在其定义域内为单调函数，∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1，＋∞）恒成立．………………………6分220mx x m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥，即221xm x +≥， 而22211x x x x =++，（21x x+）max =1，∴1m ≥． …………………………………………8分220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤，即221xm x +≤在[1，＋∞）恒成立， 而221xx +∈（0，1]，0m ≤． 综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞． ………………………………………………10分（3）构造()()()()F x f x g x h x =--，2()2ln m e F x mx x x x=---． 当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x -≤，22ln <0ex x--，所以在[1，e ]上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立． ………………………………………………………12分当0m >时，22222222(())'m e mx x m eF x m x x x x -++=+-+=．…………………………14分因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立． 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max ()()4m F x F e me e ==--，只要40mme e-->，解得241em e >-． 故m 的取值范围是24(,)1ee +∞-．………………………………………………………16分 20．（本小题16分）已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<． （1）求a 的值；（2）若对于任意的n +∈N ，总存在m +∈N ，使得3m n a b +=成立，求b 的值；（3）令1n n n C a b +=+，问数列{}n C 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知，得1(1),n n n a a n b b b a -=+-=⋅．由1123,a b b a <<，得,2a b ab a b <<+．因a ，b 都为大于1的正整数，故a ≥2．又b a >，故b ≥3． …………………………2分再由2ab a b <+，得 (2)a b a -<．由b a >，故(2)a b b -<，即(3)0a b -<．由b ≥3，故30a -<，解得3a <． ………………………………………………………4分 于是23a <≤，根据a ∈N ，可得2a =．…………………………………………………6分 （2）由2a =，对于任意的n *∈N ，均存在m +∈N ，使得1(1)52n b m b --+=⋅，则1(21)5n b m --+=．又3b ≥，由数的整除性，得b 是5的约数．故1211n m --+=，b =5．所以b =5时，存在正自然数12n m -=满足题意．…………………………………………9分 （3）设数列{}n C 中，12,,n n n C C C ++成等比数列，由122n n C nb b -=++⋅，212()n n n C C C ++=⋅，得211(22)(22)(222)n n n nb b b nb b nb b b -++++⋅=++⋅+++⋅．化简，得12(2)2n n b n b -=+-⋅⋅． （※） …………………………………………11分 当1n =时，1b =时，等式（※）成立，而3b ≥，不成立． …………………………12分 当2n =时，4b =时，等式（※）成立．…………………………………………………13分 当3n ≥时，112(2)2(2)24n n n b n b n b b --=+-⋅⋅>-⋅⋅≥，这与b ≥3矛盾．这时等式（※）不成立．…………………………………………………………………14分 综上所述，当4b ≠时，不存在连续三项成等比数列；当4b =时，数列{}n C 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………16分B ．附加题部分21．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是 OB 的中点，求BC 的长． 解：连接OD ，则OD ⊥DC ．在Rt △OED 中，OE =12OB=12OD ， ∴∠ODE=30°． ………………………………3分 在Rt △ODC 中，∠DCO=30°， ………………5分 由DC=2，则OB =OD=DC tan30°，cos30CD OC ==︒……………………9分 所以BC=OC －OB． …………………………………………………………………10分 B ．选修4－2（矩阵与变换）将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．解：由题意，得旋转变换矩阵2cos45sin 45[]sin 45cos452⎡⎢-⎢⎥==⎢⎥⎥⎦M ，……………………3分 设1xy =上的任意点(,)Px y '''在变换矩阵M 作用下为(,)P x y ，x x y y'⎡⎤⎡⎤⎥=⎢⎥⎢⎥'⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦，∴,.x y y y ⎧''=⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩………………………………………………………………………7分 得22122y x -=．将曲线1xy =绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为22122y x -=．……10分C ．选修4－4（坐标系与参数方程）求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）截得的弦长．解：把直线方程12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．…………………………………………3分将圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为229x y +=．……………………………………………6分圆心O 到直线的距离d ∴弦长L ==．所以直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为10分D ．选修4－5（不等式选讲）已知x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-…………………………………………………3分=21()()()x y x y x y -+-+-……………………………………………………………………6分3=≥， …………………………………………………………………9分所以2212232x y x xy y ++-+≥． …………………………………………………………10分22．（必做题）已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++，其中a i （i =0，1，2，…，10）为实常数．求： （1）101n n a =∑的值；（2）101n n na =∑的值．解：（1）在252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++中，令1x =-，得01a =．……………………………………………………………………2分 令0x =，得5012910232a a a a a +++++==． ……………………………………4分所以101210131n n a a a a ==+++=∑． ……………………………………………………5分（2）等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++两边对x 求导，得2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++．…………7分 在2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++中，令x =0，整理，得105129101291052160n n na a a a a ==++++=⋅=∑．………………10分23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD 的上、下底边的长分别是a ，b （a ＜b ），高为h ，求梯形的面积．方法一：延长DA 、CB 交于点O ，过点O 作CD 的垂线分别交AB 、CD 于E ，F ，则EF h =．设,,,x a OE x OAB ODC x h b =∆∆∴=+∽即ahx b a=-． 11111()()()22222ODC OAB ABCD S S S b x h ax b a x bh a b h ∆∆∴=-=+-=-+=+梯形．方法二：作AB 的平行线MN 分别交AD 、BC 于M 、N ，过点A 作BC 的平行线AQ 分别交MN 、DC 于P 、Q ，则AMP ADQ ∆∆∽．设梯形AMNB 的高为,,x MN y =x y a b a y a x h b a h--=⇒=+-， 22001()d ()()222hhABCDb a b a b a S a x x ax x ah h a b h h h h ---∴=+=+=+⋅=+⎰梯形． 再解下面的问题：已知四棱台ABCD －A ′B ′C ′D ′的上、下底面的面积分别是1212,()S S S S <，棱台的高为h ，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=13⨯底面积⨯高）．解法一：将四棱台ABCD －A ′B ′C ′D ′补为四棱锥V －ABCD ，设点V 到面A ′B ′C ′D ′的距离为h ′．由212''(),,''S h h S h h h h ==++'.h h= 所以212121111(')'()'3333V S h h S h S S h S h =+-=-+台212111()333S h S S h =+=，所以四棱台ABCD －A ′B ′C ′D ′的体积为121()3S S h ． ………………………5分解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为S ，它与上底面的距离为x ，xh =+21S S ∴=++．DACBCDA ′B ′C ′D ′210)d hV S x =++⎰，3211()3F x x S x ⎤=+⎥⎢⎥⎣⎦，3211()(0)3V F h F h S h =-=++121()3h S S =．………………………………………………………………10分。

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．。

1、若复数z 满足i 31i +-=z (i 是虚数单位)，则z =___________.2、在区间[]3,2-上随机取一个数x ，则x ≤1的概率为___________3、已知A 、B 均为集合{}10,8,6,4,2=U 的子集，且4=B A ，{}10)(=A B C U ,则A =___________.4、直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ___________.5、存在实数x ，使得0342＜b bx x +-成立，则b 的取值范围是 ___________.6、右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为___________.7、已知命题1p ：函数)1(In 2x x y ++=是奇函数，2p ：函数21x y =为偶函数，则在下列四个命题①21p p ∨；②21p p ∧；③21)(p p ∨⌝；④)(21p p ⌝∧中，真命题的序号是___________.8、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322+-=，则数列{}n a 的通项公式为___________. 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共16页，包含填空题(第1题～第14题，共14题)和解答题(第15题～第20题，共6题)两部分。

本次考试满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

9、已知函数2sin 3)(x x f =，如果存在实数21,x x ，使得对任意的实数x ，都有)(1x f ≤)(x f ≤)(2x f 则21x x -的最小值为___________.10、曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为___________.11、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 。

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．．．．．．．．置上．．。

1、若复数z 满足i 31i +-=z (i 是虚数单位)，则z =___________.2、在区间[]3,2-上随机取一个数x ，则x ≤1的概率为___________3、已知A 、B 均为集合{}10,8,6,4,2=U 的子集，且4=B A ，{}10)(=A B C U ,则A =___________.4、直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ___________.5、存在实数x ，使得0342＜b bx x +-成立，则b 的取值范围是 ___________.6、右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为___________.7、已知命题1p ：函数)1(In 2x x y ++=是奇函数，2p ：函数21x y =为偶函数，则在下列四个命题①21p p ∨；②21p p ∧；③21)(p p ∨⌝；④)(21p p ⌝∧中，真命题的序号是___________.8、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322+-=，则数列{}n a 的通项公式为___________.9、已知函数2sin 3)(x x f =，如果存在实数21,x x ，使得对任意的实数x ，都有)(1x f ≤)(x f ≤)(2x f 则21x x -的最小值为___________.10、曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为___________.11、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 。

其中正确的命题的序号是___________12、在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A 、、所对的边，且0543=++c b a ,则c b a ::=___________.13、设F 是双曲线12222=-by a x 的右焦点，双曲线两条渐近线分别为21,l l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交21,l l 于B A 、两点。

一、选择题(36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 834．若x∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x+23 )－tan(x+6 )+cos(x+6 )的最大值是(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 12535．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 1256．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD 的体积等于(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若AB，则实数a的取值范围是．10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，则b－d= ．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limn→∞SnTn= ．三、（20分）13．设32≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x<219．四、(20分)14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049解：452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是解：曲线方程为x2a+y2b=1，直线方程为y=ax+b．由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴ PF=163．选A．4．若x∈[－512 ，－3]，则y=tan(x+23)－tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253解：令x+6=u，则x+23=u+2，当x∈[－512，－3]时，u∈[－4，－6]，y=－(cotu+tanu)+cosu=－2sin2u+cosu．在u∈[－4，－6]时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增．于是u=－6时，y取得最大值1163，故选C．5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－12)∪(12，2)，u=44－x2+9x29x2－1=－9x4+72x2－4－9x4+37x2－4=1+3537－(9x2+4x2)．当x∈(－2，－12)∪(12，2)时，x2∈(14，4)，此时，9x2+4x2≥12．(当且仅当x2=23时等号成立)．此时函数的最小值为125，故选D．6．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×3×sinπ3×2=3．而四面体ABCD的体积=16×平行六面体体积=12．故选B．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．解：即|x|3－2|x|2－4|x|+3<0，(|x|－3)(|x|－5－12)(|x|+5+12)<0．|x|<－5+12，或5－12<|x|<3．∴解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．解：F1(－5，0)，F2(5，0)；|F1F2|=25．|PF1|+|PF2|=6，|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=(25)2．故PF1F2是直角三角形55．∴ S=4．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若AB，则实数a的取值范围是．解：A=(1，3)；又，a≤－21－x∈(－1，－14)，当x∈(1，3)时，a≥x2+52x －7∈(5－7，－4)．∴－4≤a≤－1．10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，则b－d=解：a3=b2，c5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2－y4=9．(x+y2)(x－y2)=9．∴ x+y2=9，x－y2=1，x=5，y2=4．b－d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．解：如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD绕其中心旋转45而得．设E的射影为N，则MN=2－1．EM=3，故EN2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limn→∞SnTn= ．解：由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n－1．在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．∴ Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．∴ limn→∞SnTn=1219=118．三、（本题满分20分）13．设32≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x<219．解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．32≤x≤5．由平均不等式x+1+x+1+2x－3+15－3x4≤x+1+x+1+2x－3+15－3x4≤14+x4．∴ 2x+1+2x－3+15－3x=x+1+x+1+2x－3+15－3x≤214+x．但214+x在32≤x≤5时单调增．即214+x≤214+5=219．故证．四、(本题满分20分)14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．解：曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)∴x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1)y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2即y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a (0≤x≤1)．①若a－2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a－2b+c0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB中点M：14+12(a+b)i，BC中点N：34+12(b+c)i．与AC平行的中位线经过M(14，12(a+b))及N(34，12(b+c))两点，其方程为4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(14≤x≤34)．②令4(a－2b+c)x2+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－c．即4(a－2b+c)x2+4(2b－a－c)x+a－2b+c=0．由a－2b+c0，得4x2+4x+1=0，此方程在[14，34]内有惟一解：x=12．以x=12代入②得，y=14(a+2b+c)．∴所求公共点坐标为(12，14(a+2b+c))．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．解：对于⊙O上任意一点A，连AA，作AA的垂直平分线MN，连OA．交MN于点P．显然OP+PA=OA=R．由于点A在⊙O内，故OA=a<R．从而当点A取遍圆周上所有点时，点P的轨迹是以O、A为焦点，OA=a为焦距，R(R>a)为长轴的椭圆C．而MN上任一异于P的点Q，都有OQ+QA=OQ+QA>OA．故点Q在椭圆C外．即折痕上所有的点都在椭圆C上及C外．反之，对于椭圆C上或外的一点S，以S为圆心，SA为半径作圆，交⊙O于A，则S在AA的垂直平分线上，从而S在某条折痕上．最后证明所作⊙S与⊙O必相交．1 当S在⊙O外时，由于A在⊙O内，故⊙S与⊙O必相交；2 当S在⊙O内时(例如在⊙O内，但在椭圆C外或其上的点S)，取过S的半径OD，则由点S在椭圆C外，故OS+SA≥R(椭圆的长轴)．即SA≥SD．于是D在⊙S内或上，即⊙S与⊙O必有交点．于是上述证明成立．综上可知，折痕上的点的集合为椭圆C上及C外的所有点的集合．。

扬州市2012届第一学期期末高三数学检测试题2012．01第一部分 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．已知集合21{|340},{|0}A x x x B x x=+-==>，则A B ＝ ．2．复数512i-的实部为 ．3．已知1sin ,3α=且(,)2παπ∈，则tan α＝ ．4．执行右边的流程图，得到的结果是 ．5．已知,x y 满足不等式组0,40y y xx y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则2x y -的最大值是 ． 6．为了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为12，则样本容量是 ．7．设,l m 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号） ①若,//,,l m αβαβ⊥⊥则l m ⊥； ②若//,,,l m m l αβ⊥⊥则//αβ； ③若//,//,//,l m αβαβ则//l m ；④若,,,,m l l m αβαββ⊥=⊂⊥ 则l α⊥．8．设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．9．先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为,m n ，则mn 是奇数的概率是 ．10．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且14239,8a a a a +==，则2011201220092010a a a a +=+ ．11．在边长为6的等边△ABC 中，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅ 等于 ．12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>过点P （3，1），其左、右焦点分别为12,F F ，且126F P F P ⋅=-，则椭圆E 的离心率是 ． 13．若关于x 的方程2||1x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知())cos 3f x x x π=+-．（I ）求()f x 在[0,]π上的最小值；（II ）已知,,a b c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，3cos 5b A ==，且()1f B =，求边a 的长．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 是等边三角形，D 为AB 中点． （I ）求证：1//BC 平面1A C D ；（II ）若四边形11BCC B 是矩形，且1C D D A ⊥，求证：三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱．17．（本小题满分15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35k p x x =≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （I ）求()f x 的表达式；（II ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．18．（本小题满分15分） 如图，正方形ABCD 内接于椭圆22221(0)x y a b ab+=>>，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ 的顶点M ，N 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边AB 上，且A ，M 都在第一象限．（I ）若正方形ABCD 的边长为4，且与y 轴交于E ，F 两点，正方形MNPQ 的边长为2． ①求证：直线AM 与△ABE 的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程．（II ）设椭圆的离心率为e ，直线AM 的斜率为k ，求证：22e k -是定值．19．（本小题满分16分） 已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程． 20．（本小题满分16分）设数列{}n b 满足*2121(),2n n n b b b n N b b ++=--∈=．（I ）若33b =，求1b 的值；（II ）求证数列12{}n n n b b b n +++是等差数列；（III ）设数列{}n T 满足：*11()n n n T T b n N ++=∈，且1112T b ==-，若存在实数,p q ，对任意*n N ∈都有123n p T T T T q ≤++++< 成立，试求q p -的最小值．第二部分（加试部分）21．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分） 求矩阵1426M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量．22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 已知(,)P x y 是椭圆2214xy +=上的点，求2M x y =+的取值范围．23．（本小题满分10分）口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ．（I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（II ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．24．（本小题满分10分）已知(2)p p ≥是给定的某个正整数，数列{}n a 满足：111,(1)()k k a k a p k p a +=+=-，其中1,2,3,,k p =- ．（I ）设4p =，求234,,a a a ； （II ）求123p a a a a ++++ ．扬州市2011—2012学年度第一学期期末调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分一、填空题：1. )1,0( 2．1 3. 42-4. 785. 86. 327. ②④8. 0323=--y x9. 1410. 4 11. 24 12.32213. 4k <- 14. 527二、解答题： 15.（Ⅰ）sin ()cos 22x f x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭1sin cos sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 4分 6766πππ≤+≤x ∴当π=x 时m in 1()2f x =-； 7分（Ⅱ）∵2,62x k k Z πππ+=+∈时()f x 有最大值，B 是三角形内角∴3B π=10分∵3cos 5A = ∴4sin 5A = ∵正弦定理sin sin a b AB=∴8a =． 14分16.（Ⅰ）连1AC ，设1AC 与1A C 相交于点O ，连D O ，则O 为1AC 中点，∵D 为A B 的中点 ∴1//D O BC 4分 ∵1BC ⊄平面1A C D ，D O ⊂平面1A C D ∴1BC //平面1A C D ； 7分 （Ⅱ）∵等边A B C ∆，D 为A B 的中点 ∴C D AB ⊥∵1CD DA ⊥，1D A AB D = ∴C D ⊥平面11ABB A∵1B B ⊂平面11ABB A ∴1BB CD ⊥ ∵矩形11BCC B ∴1BB BC ⊥ 11分 ∵BC CD C = ∴1B B ⊥平面ABC∵底面A B C ∆是等边三角形 ∴三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱． 14分 17.（Ⅰ）根据题意得100800315k k =∴=⨯+ 3分800()56,0835f x x x x ∴=++≤≤+ 7分 （Ⅱ）800()2(35)580535f x x x =++-≥-+ 11分当且仅当8002(35)35x x =++即5x =时m in ()75f x =． 14分答：宿舍应建在离厂5km 处可使总费用()f x 最小为75万元． 15分 18.（Ⅰ）①依题意：(2,2)A ，(4,1)M ，(0,2)E -(2,1),(2,4)AM AE ∴=-=--0A M A E A M A E∴∙=∴⊥3分 AE 为Rt ABE ∆外接圆直径∴直线A M 与ABE ∆的外接圆相切； 5分②由⎧⎪⎨⎪⎩22224411611a b ab+=+=解得椭圆标准方程为221205xy+=． 10分（Ⅱ）设正方形A B C D 的边长为2s ，正方形M NPQ 的边长为2t ，则(,)A s s ，(2,)M s t t +，代入椭圆方程22221x y ab+=得⎧⎪⎨⎪⎩222222221(2)1s s abs t t ab+=++=⇒⎧⎪⎨⎪⎩22221(3)14(3)s t a s s t t bs s t -=+=+222514b t se at-∴=-=14分 (2)2t st s k s t st--==+- 222e k ∴-=为定值． 15分19.（Ⅰ）'()ln 1f x x =+ '()0f x ∴<得ln 1x <- 2分10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e； 4分 （Ⅱ） 2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x=++则2226(3)(2)'()x x x x g x xx+-+-==7分当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+； 10分 （Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++=2∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln10h e eee=⨯++=∴021x e=由0'()1f x =-得切线方程是210x y e++=. 16分20.（Ⅰ）∵21n n n b b b ++=--∴32113b b b b =--=-=3∴1b =-1； 3分 （Ⅱ）∵21n n n b b b ++=--①∴321n n n b b b +++=--②，②-①得3n n b b += 5分 ∴（1231n n n b b b n +++++）-（12n n n b b b n +++）=123()1n n n n b b b b +++-+=1为常数 ∴数列{12n n n b b b n +++}是等差数列． 7分 （Ⅲ）∵11n n n T T b ++=⋅=11n n n T b b -+=211n n n n T b b b --+=……=1231n b b b b + 当2n ≥时123n n T b b b b = （*），当1n =时11T b =适合（*）式∴123n n T b b b b = （*n N ∈）． 9分 ∵112b =-，2121b b ==-，31332b b =-=，3n n b b +=，∴1112T b ==-，21212T T b ==，32334T T b ==，43431134T T b T b T ===，54523452123234T T b T b b b T b b b T ====，65634563123334T T b T b b b T b b b T ====， ……3132333231331313313233n n n n n n n n n n n n n n nT T TT b b b T bb b T b b b +++--+-+++++++=++ =32123311233123n n n T b b b T b b b T b b b --++=323133()4n n n T T T --++，∴数列*32313{}()n n n T T T n N --++∈是等比数列首项12334T T T ++=且公比34q =11分记123n n S T T T T =++++①当*3()n k k N =∈时1234563231()()()n k kkS T T T T T T T T T --=++++++++ =33[1()]44314k--=33[1()]4k- ∴334n S ≤<； 13分②当*31()n k k N =-∈时=33[1()]4k --123()k b b b =334()4k -⋅∴03n S ≤<； 14分 ③当*32()n k k N =-∈时 1234563231()()()n k kkS T T T T T T T T T --=++++++++ -31k T--3k T =33[1()]4k --112312()k b b b b b --123()k b b b =33[1()]4k --113()24k --3()4k =1433()34k-⋅ ∴132n S -≤< 15分 综上得132n S -≤<则12p ≤-且3q ≥∴q p -的最小值为72． 16分第二部分（加试部分）21．2()(1)(6)8514(7)(2)f λλλλλλλ=+--=--=-+由()0f λ=可得：17λ=，22λ=-． 4分由⎧⎨⎩(71)402(76)0x y x y +-=-+-=可得属于17λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7分由⎧⎨⎩(21)402(26)0x y x y -+-=-+--=可得属于12λ=-的一个特征向量为41⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． 10分 22．∵2212xy +=的参数方程⎧⎨⎩2cos sin x x θθ==（θ是参数）∴设P (2cos ,sin )θθ 4分∴22cos 2sin M x y θθ=+=+)4πθ=+ 7分∴2M x y =+的取值范围是[-． 10分 23．（Ⅰ）∵3(1)7P X ==，23412(2)749P X ⨯===∴33(1)(2)49P P X P X ==+==； 4分（Ⅱ）∵X 可能取值为1，2，3，4，5，∴13173(1)7A P X A===，1143272(2)7A A P X A===，2143376(3)35A A P X A ===，3143473(4)35A A P X A ===，4143571(4)35A A P X A ===X 7分 ∴32631()12345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=答：X 的数学期望是2． 10分24．（Ⅰ）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得11k ka k p p a k +-=⨯+，1231k p =- ，，，，即2141462a a -=-⨯=-，2166a a =-=-；32428433a a -=-⨯=-，316a =4343414a a -=-⨯=-，416a =-； 3分（Ⅱ）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得：11k ka k p p a k +-=⨯+，1231k p =- ，，，，即2112a p p a -=-⨯，3223a p p a -=-⨯，…，1(1)kk a p k p a k---=-⨯，以上各式相乘得11(1)(2)(3)(1)()!k k a p p p p k p a k -----+=-⨯5分∴1(1)(2)(3)(1)()!k k p p p p k a p k -----+=-⨯11(1)!()!()!()!!()!k k p p p p k p k pk p k ----=-⨯=⨯--221()()k k k kp p p C C p p-=--⨯=--，123k p = ，，，， 7分∴123p a a a a ++++ 11223321[()()()()]p pp p p p C p C pC p C p p=--+-+-++- 21[(1)1]pp p=--- 10分。

江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012届高三3月第一次调研测试2012.03数学（І）（正题）一、填空题.本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案填在相应位置.1．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为 ． 2．若复数满足（i 是虚数单位），则 ．3．在右图的算法中，最后输出的的值依次是 ． 4．一组数据9.8，9.9，10，，10.2的平均数为10，则该组数据的方差 为 ．5．设全集，集合，则 （用列举法表示）． 6．在平面直角坐标系中，已知向量，则 ． 7．将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有1个球的概率为 ．8．设P 为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 ．9．如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ． 10．观察下列等式： 311=， 33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=， ……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱111,AA D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ．12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的[0,]2x π∈都成立，则21a a -的最小值为 ．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线2BF 与椭圆的另一个交点为D ，若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ． 14．各项均为正偶数的数列1234,,,a a a a 中，前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列，若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ．二、解答题.本大题共2小题，共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.15.在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c（1）若B C A sin cos sin 2=，求c a的值； （2）若B B A sin 3)2sin(=+，求CAtan tan 的值.16.如图，在六面体1111D C B A ABCD -中，11//CC AA ，D A B A 11=，.AD AB = 求证：（1）BD AA ⊥1； （2）.//11DD BB17.将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗.假定A ，B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时52小时，种植一捆沙棘树苗用时21小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时52小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时32小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1)1(:221=++y x C ，圆.1)4()3(:222=-+-y x C（1）若过点)0,1(1-C 的直线l 被圆2C 截得的弦长为56，求直线l 的方程； （2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长.①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.19.已知函数.sin )(x x x f +=（1）设P ，Q 是函数)(x f 的图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式x ax x f cos )(≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上恒成立. 20.设数列{}n a 的各项均为正数.若对任意的+∈N n ，存在+∈N k ，使得k n n k n a a a 22++⋅=成立，则称数列为“k J 型”数列.（1）若数列{}n a 是“2J ”型数列，且82=a ，18=a ，求n a 2；（2）若数列{}n a 既是“3J ”型数列，又是“4J ”型数列，证明：数列{}n a 是等比数列.数学（Ⅱ）（附加题）21.选做题A .选修14-：几何证明选讲如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使3=BC ，CD 切半圆于点D ，AB DE ⊥，垂足为E ，若AE ：3=EB :1，求DE 的长.B .选修24-：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，直线kx y =在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110对应的变换下得到的直线经过点)1,4(P ，求实数k 的值.C .选修44-：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆θρsin a =（0>a ）与直线1)4cos(=+πθρ相切，求实数a 的值.D .选修54-：不等式选讲已知a ，b ，c 满足1=abc ，求证：.27)2)(2)(2(≥+++c b a 22.已知数列{}n a 满足：211=a ，121+=+n n n a a a （+∈N n ）.（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10+<<n n a a 对于任意的+∈N n 都成立.23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为)0,1(F ，过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与BC 交于点N . （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：x MN ⊥轴；（3）若直线MN与x轴的交点恰为)0,1(F，求证：直线AB过定点.江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012届高三3月第一次调研测试数学Ⅰ讲评建议122．考查复数的四则运算．答案：1 + 2i3．考查基本算法语句．答案：2，14．考查总体特征数的估计．答案：0.025．考查集合的运算、一元二次不等式，本题要提醒学生注意审题．答案：{0，1}6．考查平面向量的数量积．本题可以直接出b = (4-，2)，得0⋅=a b，也可以由a⋅()152-=a b得2152-⋅=a a b，即1552-⋅=a b，所以0⋅=a b．答案：07．考查古典概型．答案：298．考查导数、基本不等式，倾斜角与斜率的关系．1122'=⋅=≥ytanθππ32θ<≤．答案：)ππ32⎡⎢⎣，9．考查幂、指、对函数的图像与性质以及基本运算能力，基本思路为A A Dy x x⇒=，A B B C C Dy y x x y y=⇒=⇒=，其中A、B、C点坐标分别为1(,2)2，(4,2)，1(4,)4．答案：()1124，10．考查合情推理能力和等差数列知识，提醒学生从等号右侧数都为平方数入手寻找发现规律．答案：2(1)2n n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．考查空间几何体知识和空间想象能力，本题源于《必修2》立体几何章节复习题．E②A11(F)A③DGG①A1ACDEGD1（第11题）1A1B1F如图①，当E 与1A 重合，F 与1B 重合时，四边形AEFG 在前、后两个面的正投影的面积最大值为12；如图②，当E 与1A 重合，四边形AEFG 在左、右两个面的正投影的面积最大值为8； 如图③，当F 与D 重合，四边形AEFG 在上、下两个面的正投影的面积最大值为8；综上得，面积最大值为12. 答案：1212．考查导数在研究函数上的应用、三角函数的图象与性质，由图形可知，当过原点的直线过点()1π2，时，1a 取得最大值2π；当过原点的直线为点() 00，处的切线时，2a 取得最小值1；讲评时应强调割线逼近切线的思想方法．答案：21π-13．考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的斜率、二倍角公式，综合性强．由127cos 25F BF ∠=运用二倍角公式得35e =，再由22BD CD CD b b k k k c a -=⋅=-⋅，得2CD bc k a =，故21225CDbc k a==.提醒学生注意体会和使用“22BD CD b k k a ⋅=-”这一重要结论．答案：122514．考查数列综合知识．解答过程如下：设1a ，1a d +，12a d +，188a +，其中1a ，d 均为正偶数，则2111(2)()(88)a d a d a +=++， 整理得14(22)0388d d a d -=>-，所以(22)(388)0d d --<，即22883d <<，则d 可能为24，26，28，当24d =时，112a =，53q =；当26d =时，12085a =（舍去）；当28d =时，1168a =，87q =；所以q 的所有可能值构成的集合为{}58 37，.答案： {}58 37， 15．考查正、余弦定理、两角和的三角函数，应提醒学生考虑“斜三角形”这个条件．第1小题的解法还可以为：2sin cos sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，于是sin cos cos sin 0A C A C -=，即sin()0A C -=. …………………………………3分因为A ，C 为三角形的内角，所以()ππA C -∈-，，从而0A C -=， 所以a = c ，故a c =1. ……………………………………………………………………7分第2小题，可先用A +B 与A 求解，最后化简为A 、C 的关系．16．考查直线与平面平行、垂直的判定与性质，提醒学生要规范书写． 17．考查函数模型及其应用，可以从总时间和总树苗数两个角度考虑． 18．考查直线与圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系，考查学生运算能力． 思路2：设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->），①易得圆1C ：2220x y x ++=， ② 圆2C ：2268240x y x y +--+=，③由①-②得(2)0D x Ey F -++=，将1(1 0)C -，代入得2F D =-，由①-③得(6)(8)240D x E y F ++++-=，将2(3 4)C ，代入得6E D =--， 代入③得22(6)20x y Dx D y D ++-++-=，整理得22(1)620x y D x y y -+++--=，由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，得1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩或1 2x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以定点的坐标为(1--，(1+． 思路3（几何方法）：利用定点M 在直线C 1C 2上，C 1C 2的中点为N ，动圆圆心C 满足CC 12+12=r 2= CN 2+CM 2，则CM 2= CN 2 —CC 12+1= C 1N 2+1=9，进而得出结论．（建议课堂上不讲解）19．考查函数的图像与性质，第2小题思路2 依题意得，设()()()cos sin 0 2Q x g x f x ax x x x x π⎡⎤=-=--∈⎢⎥⎣⎦，，， 1当0a ≤时，()0Q x ≤恒成立； ………………………………………………8分 2当0a >时，()(1)cos sin 1Q x a x ax x '=---，………………………………10分 ①02a <≤时，()0Q x '≤，()Q x 在0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减， 所以()(0)0Q x Q =≤恒成立；………………………………………………12分 ②2a >时，注意到当π02x ⎡⎤∈⎣⎦，时，sin x x ≥，于是()cos sin cos 2(cos 2)Q x ax x x x ax x x x a x =---=-≥，必存在()00 2x π∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有0()0Q x >，不能使()0Q x ≤恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤． ………………………………………16分20．考查等比数列知识，第2小题思路2：由题设知，当n ≥8时，a n －6，a n －3，a n ，a n ＋3，a n ＋6成等比数列； a n －6，a n －2，a n ＋2，a n ＋6也成等比数列．从而当n ≥8时，a n 2＝a n －3a n ＋3＝a n －6a n ＋6． （*） 且a n －6a n ＋6＝a n －2a n ＋2．所以当n ≥8时，a n 2＝a n －2a n ＋2，即22n n n n a aa a +-=． 于是当n ≥9时，a n －3，a n －1，a n ＋1，a n ＋3成等比数列， 从而a n －3a n ＋3＝a n －1a n ＋1，故由（*）式知a n 2＝a n －1a n ＋1， 即11n nn n a a a a +-=． 当n ≥9时，设1nn a q a -=． 当2≤m ≤9时，m ＋6≥8，从而由（*）式知a m ＋62＝a m a m ＋12， 故a m ＋72＝a m ＋1a m ＋13， 从而271132126m m m m m m a a a a a a +++++=， 于是21m m a q q a q+==．因此1n na q a +=对任意n ≥2都成立． 因为2417a a a =，所以23377652424132114654a a a a a a a a a q q a a a a a a a a a ⋅=⋅⋅===⋅⋅=， 于是21a q a =． 故数列{a n }为等比数列．南通市2012届高三第一次调研测试数学II 讲评建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1．又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠=． 故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠．而60ABD ∠=，故30C BDC ∠==∠．所以DB BC ==OBD 中，32DE ==．…………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 .x y y x '=⎧⎨'=⎩，……………5分 代入直线y kx =，得x ky ''=．将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．……………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224a a x y +-=．将直线()cos 1ρθπ+=4化成普通方程为0x y -=． ……………………………6分2a =．解得4a =+．…………………………………10分 21D . (2)(2)(2)2()4()8a b c abc ab bc ca a b c +++=+++++++92()4()ab bc ca a b c =++++++92427+⨯⨯=≥. 22. 本题（2）可由题设求出数列{a n }的通项公式： （方法1）因为112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ，所以*0()n a n ≠∈N . 于是在121nn n a a a +=+两边取倒数得1111122n n a a +=⋅+，整理得()1111112n n a a +-=-，而1111a -=，所以()11112n n a --=，得()111102n n a -=+>，所以()1111012nn na a +<=+<，故不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立． （方法2）由12341248 2359a a a a ====，，，，…猜想：()*11()112n n a n -=∈+N ．用数学归纳法证明猜想 证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．………………………4分 ②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………………6分 则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立． 由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．……………………10分 23. 解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，由题意，得12p=，即2p =．所以抛物线的标准方程为24y x =．………………3分 （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24y x =（0y >），得y =y '．所以切线AC的方程为11)y y x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，②且D 点坐标为2( 0)x -，．由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．…………………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M N x x =，即MN ⊥x 轴． ………………………………………………7分 （3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB 过定点(1 0)-，．……………………………………………………10分 本题也可以在设A 、B 两点坐标时设为(4m 2，4m )，(4n 2，4n )，解得M 、N 的横坐标为4mn ．。

江苏省南通市2012届高三数学模拟试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相．．．．．应位置上．．．．． 1．若复数z 满足(3)4i z i =（i 是虚数单位），则z = ▲ ．2．已知集合A ={x |6x +a >0}，若1∉A ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．3．命题p ：函数y =tanx 在R 上单调递增，命题q ：△ABC 中，∠A >∠B 是sinA >sinB 的充要条件，则p ∨q 是 ▲ 命题．（填“真”“假”） 4．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了n 位中学生进行调查，根据所得数据 画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到 右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形 的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则=n ▲ ．5．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组3,2 2.ax by x y +=⎧⎨+=⎩只有一个解的概率为 ▲ ．6．如果2(tan )sin 5sin cos f x x x x =-， 那么(5)f = ▲ ．7.已知双曲线1922=-my x 的一个焦点在圆05422=--+x y x 上，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8．程序框图如下，若恰好经过．．．．6．次．循环输出结果，则a = ▲ ．9．将函数y ＝sin （2x ＋56π）的图象向左平移至少 ▲ 个单位，可得一个偶函数的图象． 10. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ① 若//αβ，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则//l m ； ③ 若//l m ，则αβ⊥； ④若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是 ▲ ．11左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式n a = ▲ ． 12. 在ABC ∆中，A （1，1），B （4，5），C （—1，1）， 则与角A 的平分线共线且方向相同的单位向量 为 ▲ ．13. 已知函数f (x )满足f (1)= 41，f (x )+ f (y )=4 f (2y x +)f (2y x -)(x ,y ∈R )，则f (—2011)=▲ ．14. 已知二次函数2(),f x x x k k Z =-+∈，若函数2)()(-=x f x g 在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上有两个不同的零点，则)(2)]([2x f x f +的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)已知∆ABC 的面积S满足4S ≤≤，且AB AC ⋅=—8．（Ⅰ）求角A 的取值范围；（Ⅱ）若函数22cos2sin cos 4444()x x x x f x -+⋅=，求()f A 的最大值．16．(本题满分14分)如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角． （Ⅰ）求顶点B 和D 之间的距离；（Ⅱ）现发现BC 边上距点C 的31处有一缺口E ，请过点E 作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．17．(本题满分15分)如图，已知：椭圆M 的中心为O ，长轴的两个端点为A 、B ，右焦点为F ，AF=5BF ．若椭圆M 经过点C ，C 在AB 上的射影为F ，且△ABC 的面积为5． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）已知圆O ：22+x y =1，直线:l mx ny +=1，试证明：当点P (m ，n )在椭圆M 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围．ABCDE .CD18．(本题满分15分)各项均为正数的等比数列}{n a ，a 1=1，2a 4a =16，单调增数列}{n b 的前n 项和为n S ，43a b =，且2632n n n S b b =++（*N n ∈）． （Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （Ⅱ）令n n nb c a =（*N n ∈），求使得1n c >的所有n 的值，并说明理由． (Ⅲ) 证明}{n a 中任意三项不可能构成等差数列．19．(本题满分16分)由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（Ⅰ）请分别写出()P t ,()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），求5z x y =-的最大值；(Ⅲ) 由（Ⅱ），将动点(,)P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1233x y ≤-≤类比为2313x y≤≤），试列出(,)P x y 所满足的条件，并求出相应的最大值．（图1） （图2）20．(本题满分16分)如果实数x ，y ，t 满足|x —t |≤|y —t |，则称x 比y 接近t ． （Ⅰ）设a 为实数，若a |a | 比a 更接近1，求a 的取值范围；（Ⅱ）f (x )=ln 11+-x x ，证明：2()nk f k =∑22(1)n n +更接近0（k ∈Z ）．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1 几何证明选讲已知 ABC ∆中，AC AB =,D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上 的点（不与点C A ,重合），延长BD 至E . 求证：AD 的延长线平分CDE ∠.B ．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41b a A ，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13，属于特征值5的一个特征向量为α2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．选修4—4 参数方程与极坐标已知圆C 的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=sin 23,cos 21y x ，若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．D ．选修4—5 不等式证明选讲设c b a ,,均为正数，证明：c b a ac c b b a ++≥++222.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．23.在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线y x 42=上有两个动点A 、B ，且满足FB AF λ=, 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ． （1） 求：→--OA →--⋅OB 的值； （2） 证明：AB FM ⋅为定值．参考答案一、填空题1. —1+2. (,6]-∞-3. 真4. 1005.11126. 07. x y 322±= 8. 2 9.3π 10.①③ 11. (n —1)2+1 12. )552,55(- 13. 14 14.2881二、解答题15. （Ⅰ）∵AB AC ⋅ =—8，∴||||cos AB AC AB AC A ⋅⋅⋅==—8，∴ ||||AB AC ⋅=8cos A- ① ∵|1|||sin 2BA AC S A ⋅=⋅ ②将①代入②得4tan S A =-，由4S ≤≤tan 1A ≤≤-， 又(0,)A π∈，∴23,34A ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）22()cos2sin cos 4444A A A A f A =-+⋅=1(1cos )(1cos )2222A A A+--+=31cos 22222A A +-=113(cos )22222A A +- =13(sincos cos sin )26262A A ππ+-=13sin()262A π+-， 当262A ππ+=，即A =32π时，sin()26A π+ 取得最大值， 同时，()f A 取得最大值52．16. （Ⅰ）ACD OD ACD BO AC ACD ABC ABC BO 面面面面面面面⊂⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋂⊂⊥∆ACD ABC O 垂足为AC,⊥BO 中作ABC 在BO OD ⎫⇒⊥⎬⎭由已知BO=512,OD=5193在Rt △BOD 中, BD=5337. （Ⅱ）方案(一)过E 作EF//AC 交AB 于F ,EG//CD,交BD于G,EEG EF ACD 面EG//同理 ////=⋂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ACD EF ACD AC ACD EF ACEF 面面面,⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫平面EFG//平面ACD 原三棱锥被分成三棱锥B-EFG 和三棱台EFG-CAD 两部分,此时278)32(3==--ACD B EFG B V V . 方案(二)过E 作EP//BD 交CD 于P ,EQ//AB,交AC 于Q,同(一)可证平面EPQ//平面ABD,原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ 和三棱台EPQ-BDA 两部分,此时271)31(3==--BDAC EPQ C V V , 为使截去部分体积最小,故选用方案(二).17. （Ⅰ）由题意设椭圆方程为22221x y a b+=，半焦距为c ，由AF=5BF ，且AF=a+c,BF=a —c ，∴a+c=5（a-c ），得2a=3c .（1）由题意CF ⊥AB ，设 点C 坐标（c ，y ），C 在M 上，代入得22222222()(1)c a c y b a a -=-= ∴22a c y a-=． 由△ABC 的面积为5，得221252a c a a-⋅⋅=，22a c -=5.（2） 解（1）（2）得a =3， c =2. ∴222b ac =-=9—4=5．∴所求椭圆M 的方程为：22195x y +=．(Ⅱ) 圆O 到直线:l mx ny +=1距离d ，由点P (m,n )在椭圆M 上，则22195m n +=，显然22m n +>2295m n +，∴22m n +>1，>1, ∴dABCD E.=<1，而圆O 的半径为1，直线l 与圆O 恒相交．弦长t,由22195m n +=得225(1)9m n =-， ∴22219445m n m =++, t=2, ||m a ≤，∴209m ≤≤，24544581m ≤+≤，∴2498154459m ≤-≤+ ，弦长t 的取值范围是[53]． 18．（Ⅰ）∵2a 4a =244116a q q ==，2q =4，∵0n a >，∴q =2， ∴12-=n n a ∴b 3=4a ＝8. ∵263n n n S b b =++2 ① 当n≥2时，211163n n n S b b ---=++2 ②①-②得2211633n n n n n b b b b b --=-+-即111()()3()n n n n n n b b b b b b ---+-=+∵0>n b ∴1n n b b --=3，∴}{n b 是公差为3的等差数列． 当n ＝1时，211163b b b =++2，解得1b =1或1b =2，当1b =1时，32n b n =-，此时3b =7，与83=b 矛盾；当31=b 时31n b n =-，此时此时3b =8=4a ，∴31n b n =-．（Ⅱ）∵31n b n =-，∴n n nb c a =＝1312n n --，∴1c =2>1，2c =52＞1，3c =2>1,4118c =>1，578c =<1，下面证明当n ≥5时，1n c < 事实上，当n ≥5时，11323122n n nn n n c c +-+--=-＝432n n-＜0 即1n n c c +<，∵578c =<1 ∴当n ≥5时，1<n C ，故满足条件1>n C 的所有n 的值为1，2，3，4．(Ⅲ)假设}{n a 中存在三项p ,q ,r (p <q <r ,p ,q ,R ∈N *)使a p , a q , a r 构成等差数列， ∴ 2a q =a p +a r ，即22q —1=2p —1+2r —1．∴2q —p +1=1+2r —p ． 因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．19.解(Ⅰ)503,136,()1169,7912t t t t P t t t t t -+≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩21()(4)6(012)16Q t t t =--+≤≤． 21()()(1)[(4)6]16P t Q t t t ⋅=---+ （36)t <≤'23(()())[(3)33]16P t Q t t ⋅=---0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增当t =6时，max [()()]P t Q t =34.5． ∴6月份销售额最大为34500元 ． (Ⅱ) ⎩⎨⎧≤-≤≤+≤71115y x y x ，z =x —5y ．令x —5y=A (x +y )+B(x —y )，则⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ， ∴z =x —5y=—2(x +y )+3(x —y )．由10)(222-≤+-≤-y x ,21)(33≤-≤y x ， ∴1911z -≤≤,则(z )max =11 ．(Ⅲ)类比到乘法有已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤71115y x xy ,求5y x z =的最大值．由5y x =(xy )A ·(y x )B⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ．∴251)(12112≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ∴253431211≤≤z ，则(z )max = 25343． 20. (Ⅰ)|a |a |—1|≤|a —1| （1）当0<a <1时, |a 2—1|≤|a —1|1-a 2≤1—a ，得a ≥1或a ≤0(舍去)（2）当a ≥1时，a 2—1≤a —1, 得a = 1；（3）当 a ≤0时， a 2+1≤1—a ，—1≤a ≤0 ．综上， a 的取值范围是{a |—1≤a ≤0或a =1} (Ⅱ) ∵+=∑=31ln )(2nk k f 42ln +53ln +…+11ln +-n n =)1(2ln +n n ， ∴2|()0|nk f k =--∑2|0|=)1(22)1(2ln 2+-+-+-n n n n n n ．令n （n +1）=t ，2≥n ∴t ∈),6[+∞，且t ∈Z ，则 F （t ）=t t t 222ln--- =t t t 22ln 2ln --+-． =-⋅--=x x xx xx F 2)2(12221)('x x x x 42224--=04)2(22<--xx x∴F （x ）在),2[+∞单调递减 ∴F （t ）≤f （6）<F(2)=—ln 1—0=0 ．∴0222ln ≤---t t t ,即)1(22)1(2ln 2+-+-+-n n n n n n ≤0． ∴2()nk f k =∑2更接近0．附加题参考答案及评分标准A ．选修4—1 几何证明选讲 解（Ⅰ）设F 为AD 延长线上一点 ∵D CB A ,,,四点共圆，∴CDF ABC ∠=∠ 3分 又AC AB = ∴ACB ABC ∠=∠, 5分 且ACB ADB ∠=∠, ∴CDF ADB ∠=∠, 7分 对顶角ADB EDF ∠=∠, 故CDF EDF ∠=∠, 即AD 的延长线平分CDE ∠. 10分 B ．选修4—2 矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡41b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13， 即33=-b a ； 3分由矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡41b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝5⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即5=+b a ， 6分 解得⎩⎨⎧==32b a 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312， 7分A 的逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎣⎡-52535154 10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标解 由题设知,圆心 ()()0.2, 3,1P C 2分 ∠CPO=60°,故过P 点的切线的倾斜角为30° 4分 设()θρ,M 是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中，∠MOP=θ 00150, 30=∠-=∠OPM OMP θ 由正弦定理得()θρ-=∴∠=∠0030sin 2sin150, sin sin OMP OP OPM OM 8分 ()()()130sin 160cos 00=-=+∴θρθρ或，即为所求切线的极坐标方程. 10分D ．选修4—5 不等式证明选讲证明： )()()(222222a ac c c b b b a c b a a c c b b a +++++=+++++ 3分 c b a 222++≥ 9分即得c b a ac c b b a ++≥++222. 10分 另证 利用柯西不等式.232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++≤++取a b c b b b ac a cb a ba a ======321321,,,,,代入即证.22.解：（1）X 的可能取值为4、5、6.P(X=4)= 1514644=C CP(X=5)= 158461234=C C C P(X=6)= 156462224=C C C ∴X 的分布列为∴3156155154)(=⨯+⨯+⨯=X E 5分 (2)设 “6次取球后恰好被停止”为事件A则72944323231]32)31(323132)31[()(2233=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+=C A P ∴6次取球后恰好被停止的概率为7294410分23.解：设)4,(),4,(222211x x B x x A焦点F （0,1）∴)14,(),41,(222211-=--=x x FB x x AFFB AF λ=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-)14(41222121x x x x λλ 消λ得0)41()14(212221=-+-x x x x 化简整理得0)14)((2121=+-x x x x 21x x ≠ 421-=∴x x144222121=⋅=∴x x y y∴32121-=+=⋅y y x x OB OA （定值）（2）抛物线方程为241x y =x y 21='∴ ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为4)(212111x x x x y +-=和4)(212222x x x x y +-= 即421211x x x y -=和421222x x x y -=联立解出两切线交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-+1,221x x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⋅∴4,2.221221221x x x x x x AB FM =022********=---x x x x （定值）。

江苏省泰州市2011学年高三年级第一次质量调研数学试卷（文）本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．考试前，考生须将学校、姓名、考试号码等信息填写在答题纸的规定位置，并将考试号码下面相应编号的小方格涂黑．解答本试卷时请将答案写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设i a )1)(1(ai i -+=a ．2．函数)(x f =3．等差数列{a =____________．4．若2sin ⎝⎛+π5．设函数x f (_____________． 6，则异面直线1BD 与AD7．已知向量a 、b 满足1||=a ，2||=b ，且2)(=+⋅b a a ，那么a与b 的夹角大小为________．8．若9)21(x -展开式的第3项为288，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n x x x 111lim 2 __________．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试10．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________．11．在10件产品中有3件是次品，从中任取4件，恰好有1件次品的概率是_________．12．若关于x⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 1,1，则称这两1sin 422+⋅+θx x ．13．若函数x f )(=k 的值为__________．14．设*N n ∈)1(+n f ，则数列}{n a 前100项的和二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．△ABC 中，“B A >”是“B A cos cos <”的……………………………………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．有下列四个命题：①三个点可以确定一个平面；②四边相等的四边形一定是菱形；③底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个．其中正确命题的个数是……………………………………………………………………（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．方程22x x =的实数解的个数是………………………………………………………（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．对于函数)(x f y =，D x ∈，若存在常数C ，对任意D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =)()(21，则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C ．已知x x f =)(，,2[=D A ．3 B ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知向量)1,(sin x a =（1）求满足a ∥b（2）设函数|)(a x f =21．（本题满分142小题满分8分． 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层．每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：厘米）满足关系：53)(+=x kx C ．若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设)(x f 为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及)(x f 的表达式，并写出)(x f 的定义域；（2）隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用)(x f 最小？并求出最小总费用．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知函数m x x f +=2)(，其中R m ∈，定义数列{}n a 如下：01=a ，)(1n n a f a =+，*N n ∈．（1）当1=m 时，求a （2）是否存在实数m m （3）若正数数列{}n b *），n S 为数列}{n b 的前n 项和，求使23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．设函数x ax x f +=)(（R a ∈），函数)(x g 的图像与函数)(x f 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x g 的解析式；金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 （2）若关于x 的方程a x g =)(有且仅有一个实数解，求a 的值，并求出方程的解； （3）若函数)(x f 在区间),2[∞+上是增函数，求a 的取值范围．嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研 数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．答案：1．因i a a ai i )1(1)1)(1(-++=-+是实数，所以=a 1． 2．答案：]2,0[．由022≥-x x ，得022≤-x x ，所以]2,0[∈x ．3．答案：1．112+=a a ，314+=a a 4122a a a =，即)3()1(1121+=+a a a ，解得11=a ．4．答案：257-．由532sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ，得53cos =θ，所以2571cos 22cos 2-=-=θθ． 5．答案：2-．解法一：函数x x f -=)(的反函数为21)(x x f=-（0≤x ），由4)(1=-x f 得42=x ，因为0<x ，故2-=x ．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 解法二：由4)(1=-x f ，得2)4(-==f x ． 6．答案：5arctan ．因为BC ∥AD ，所以BC D 1∠就是异面直线1BD 与AD 所成的角，连结C D 1，在直角三角形BC D 1中，0190=∠BCD ，1=BC ，51=C D ，所以5tan 11==∠BC CD BC D ．7．答案：3π（或060）．设a 与b 的夹角为θ，由2)(=+⋅b a a ，得22=⋅+b a a ，即2cos 21=+θ，21cos =θ．8．答案：2．9)21(x -展开式的第3所以211lim 2= ⎝⎛+++∞→n x x ．9．答案：1．三阶行列式xa x 1214532+中元素3的余子式为x a x x f 21)(+=，由0)(<x f 得022<-+ax x ，由题意得a b -=+-1，所以1=+b a ．10．答案：16．1=a ，满足3≤a ，于是4211==+b ；2=a ，满足3≤a ，8212==+b ；3=a ，满足3≤a ，则16213==+b ；4=a ，不满足3≤a ，则输出b ，16=b ．11．答案：21．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 21210105)(3101337===C C C A P ． 12．答案：32π．由题意，61cos 2>θ且21sin 2>θ，⎩⎨⎧==+2cos 34ab b a θ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+2111sin 211a b ab θ，所以θθsin 2cos 32-=，3tan -=θ，因⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，32πθ=．13．答案：1±．因为)(x f0=，212212=+-⋅+⋅+-xxx xk k k k 1．14．答案：100．])1()(2n f n f a n =++=，)12()1(+-=n n ，所以201)199(+-+100502=⨯=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．C ．16．A ．17．D ．18．B ．15．因为A 、B 是三角形内角，所以A 、),0(π∈B ，在),0(π上，x y cos =是减函数．16．①错．不在同一直线上的三点才能确定一个平面；②错．四边相等的四边形也可以是空间四边形；③错．如果三棱锥的底面是等边三角形，一条侧棱垂直于底面且长度等金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 于底面边长，则三个侧面都是等腰三角形；④错．若这两点是球的直径的两个端点，过这两点可作无数个大圆．17．作出函数x y 2=与2x y =，可发现两函数图像在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点（第一象限的两个交点是)4,2(和)16,4(）． 18．若取1x 、2x 为区间]4,2[的两个`端点，则22)()(21=x f x f ．若22>C ，取21=x ，2)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，4)(2≤x f ，于是22)(2)()(221≤=x f x f x f ；若22<C ，取41=x ，4)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，2)(2≥x f ，于是)()(21=x f x f19090=∠ACB ，连结OM ，则设r OM =，则因为OB OC BC +=，所以r BC 3=，即33=r ．………………（6分）130tan 0=⋅=BC AC ．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为底面半径1=AC ，高3=BC 的圆锥中间挖掉一个半径33=r 的球．………………（8分）所以，圆锥V V =球V -πππ27353334313132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅=．…………（12分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）由a ∥b 的充要条件知，存在非零实数λ，使得a b ⋅=λ，即⎩⎨⎧=⋅=λλx x cos sin 1，所以12sin =x 6)1(2ππ⋅-+=k k x ，所以x 的集合是⎩⎨⎧=x x （也可写成⎩⎨⎧=k x x π（2）2)cos (sin 2||)(2+++=x x b a x f3)cos (sin 2++=x x 因为⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+43,44πππx ，……（10分） 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,224sin πx ，……………（12分） 所以函数)(x f 的值域为]223,1[+．………………（14分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 解：（1）由已知，当0=x 时，8)(=x C ，即85=k ，所以40=k ，……（1分）所以5340)(+=x x C ，…………（2分）又加装隔热层的费用为x x C 6)(1=．所以5380066534020)()(20)(1++=++⨯=+⋅=x x x x x C x C x f ，…………（5分）)(x f 定义域为]10,0[．…………（6分）（2）1038006210800580038006)(-⨯≥⎫⎛+=x x f70=，…………（10当且仅当=⎪⎭⎫ ⎝⎛+356x 18800352=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，x 70万元．…（14分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．解：（1）1=m 时，1)(2+=x x f ，因为01=a ，所以1)0()(12===f a f a ，2)(23==a f a ，5)(34==a f a ．…………（3分，每求对一项得1分）（2）m x x f +=2)(，则m a =2，m m a +=23，金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 m m m m m m m a +++=++=2342242)(，…………（5分）如果2a ，3a ，4a 成等差数列，则)()2(22342m m m m m m m m m +-+++=-+，02234=-+m m m ，……（6分） 若0=m ，则0432===a a a ，不合题意，故0≠m ．所以，0122=-+m m ，所以21282±-=±-=m ．…………（8分）当21+-=m 时，公差==-+=-=2223m m m m a a d 223-，…………（9分） 当21--=m 时，公差2232+==m d ．………………（10分）（3）11=b ，n n n b m m b b 22)(21=-+=+，…………（12分）所以}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，12-=n n b ，…………（13分）201012>-=n n S ，20112>n ，10>n ．…………（15分）所以，使2010>n S 成立的最小正整数n 的值为11．…………（16分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．23．解：（1）设),(y x P 为图像2C 上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，…………（2分）因为),(y x P '''在1C 上，所以x a x y '+'='，即x ax y -+-=-224，22-++=x ax y ．所以22)(-++=x ax x g ．…………（5分）金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 （2）由a x g =)(得a x ax =-++22，整理得0)43(2=-+-a ax x ① ………（7分）若2=x 是方程①的解，则0=a ，此时方程①有两个实数解2=x 和2-=x ，原方程有且仅有一个实数解2-=x ；…………（8分）若2=x 不是方程①的解，则由△016122=+-=a a ，解得526±=a ．……（9分）所以，当0=a 时，方程的解为2-=x ； …………（10分） 当=a 526+时，方程的解为53+=x ； …………（11分） 当=a 526-时，方程的解为53-=x ． …………（12分） （3）设1x 、2[2∈x 因为函数)(x f ．……（14分）0))()(2121212>-⋅+=-x x a x x x x f x f ，因为012>-x x ，1x 16分） 而421>x x ，所以a 因此a 的取值范围是江苏省海安县2011届高三第一学期期末考试试（数学文）卷 2011.01金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数x x y --=21的定义域为__________________.2．函数)1(log 3-=x y 的反函数是__________________.3．若五个数3,2,1,0,a 的平均数为1，则这五个数的方差等于__________________.4．方程0cos sin sin cos =x x xx 的解为__________________.5．若“条件α：2x ≤4≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是__________________.6．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底,下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是__________________. 7．在等差数列}{n a 中，18,0654321=++=++a a a a a a ，则数列}{n a 的通项公式为__________________.8．在ABC ∆中，60,4,13=∠==ACB BC AB ，则AC 的长等于__________________.9．已知]32,6[ππα∈，则αsin 的取值范围是__________________.10．执行如图（2）所示的程序框图，若输入0=x ，则输出y 的值为__________________.11．方程024)4(2=++++i x i x 有实数根b ，则=b __________________.图（2）12．世博期间，5人去某地铁站参加志愿者活动，该地铁站有4个出口，要求一号出口必须安排2个人，其余每个出口都要有志愿者服务，不同安排方法有__________________种（用数值表示）.13．设定义*N 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()2()()(为偶数为奇数n nf n nn f ，)2()3()2()1(n n f f f f a ++++= ，那么=-23a a __________________.14．在某条件下的汽车测试中，车驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：平均油耗号)向前行驶的里程为80公里； 向前行驶的里程不足80公里； 平均油耗超过9.6升/100公里； 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 且只有一个选项是正确的，选对得 4分，否则一律得零分.15．若函数)sin()(ϕ+=x x f 是偶函数，则ϕ可取的一个值为 （ ） A ．πϕ-=B ．2πϕ-=C ．4πϕ-=D ．8πϕ-=16．关于数列{an}有以下命题，其中错误的命题为 （ ） A ．若2≥n 且n n n a a a 211=+-+，则}{n a 是等差数列B ．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S +=12，则数列}{n a 的通项1)1(--=n n aC ．若2≥n 且D ．若}{n a2kn m a a a =17（ ）A ．31D ．12118．点O 在ABC ∆（1）=++（2）⋅=⋅=⋅；（3）0=⎫⎛-⋅=⎫⎛-⋅BA BC OB AB AC OA ；（4）0)()(=⋅+=⋅+BC OC OB AB OB OA ．则点O 依次为ABC ∆的 （ ） A ．内心、外心、重心、垂心B ．重心、外心、内心、垂心金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量),,(),,(a a n a a m xx =-=，其中0>a 且1≠a ，（1）当x 为何值时，⊥； （2）解关于x20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架ABC P -（如图3）进行野炊训练，将炊事锅看作一个点Q ，用吊金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 绳PQ 将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计）. 已知cm PC 130=，A 、B 两点间距离为cm 350.（1）设PQ 的延长线与地面ABC 的交点为O ，求PCO ∠cos 的值； （2）若使炊事锅Q 到各条斜杆的距离都等于30cm ，试求吊绳PQ 的长.16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分） ]2,1[,3∈-x x b（1）2=b 时，求)(x f 的值域；（2）2≥b 时，)(x f >0恒成立，求b 的取值范围．B图金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试163小 （1）若对于任意的n B A ,的值；（2）在数列}{n a 中，*N ），求证}11{++n a n （3）在（2）题的条件下，设n ，从数列n 中依次取出第1k 项，第2k 项，…第n k 项，按原来的顺序组成新的数列}{n c ，其中n k n b c =，其中*+∈==-N m k k k n n 11.试问是否存在正整数m ，使71)(lim 21=++++∞→n n c c c ？若存在，求出m 的值；不存在，说明理由.金星国际教育集团版权所有@金星教学考试金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分）已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S-函数”.（1）判断函数xx f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；（3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)1,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 1．函数x x y --=21的定义域为______),2()2,1[+∞ _______.2．函数)1(log 3-=x y 的反函数是____13+=x y （R x ∈）____.3．若五个数3,2,1,0,a 的平均数为1，则这五个数的方差等于_____2______.4．方程0cos sin sin cos =x x x x 的解为_____Z k k x ∈+=,42ππ______.5．若“条件α：2x ≤4≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是___]4,(--∞___.6,这个几何体的体积是7．在等差数列}{n a }{n a 的通项公式为8．在ABC ∆中，=AB _____1或3_______.9．已知]32,6[ππα∈10．执行如图（2）所示的程序框图，若输入0=x ，则输出y 的值为_____23-______.11．方程024)4(2=++++i x i x 有实数根b ，则=b _____2-______.12．世博期间，5人去某地铁站参加志愿者活动，该地铁站有4个出口，要求一号出口必须安排2个人，其余每个出口都要有志愿者服务，不同安排方法有____60____种（用数值表示）.图（2）金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 13．设定义*N 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()2()()(为偶数为奇数n nf n nn f ，)2()3()2()1(n n f f f f a ++++= ，那么=-23a a ____16_____.14．在某条件下的汽车测试中，车驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：平均油耗) ①行使了③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； 平均车速超过80公里/小时． 解题过程：实际用油为7.38，行驶距离为875.761006.938.7=⨯<，所以①错误，②正确.设L 为已用油量，△L 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，△S 为一个小时内已行的距离金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 ⎪⎩⎪⎨⎧=∆+∆+=6.95.9S S L L S L得S S V V ∆+=∆+6.96.9S S V S ∆+=∆+6.96.95.9，S S V ∆+=∆6.91.0，6.96.91.0>+∆=∆∆S SS V .所以③正确，④错误.⑤由②知错误.15．若函数sin()(=x f （ B ）A ．πϕ-=D ．8πϕ-=16．关于数列{an}有以下命题，其中错误的命题为 （ C ） A ．若2≥n 且n n n a a a 211=+-+，则}{n a 是等差数列B ．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S +=12，则数列}{n a 的通项1)1(--=n n aC ．若2≥n 且211n n n a a a =-+，则}{n a 是等比数列D ．若}{n a 是等比数列，且k n m N k n m 2,=+∈*，，，则2k nm a a a =金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 17．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为a 、b ，使b a 2=的概率是 （ D ）A ．31B ．41C ．61D ．12118．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式： （1）=++；（2）⋅=⋅=⋅；（3）⎫⎛⎫⎛-⋅BA BC OB AB AC OA （4）)(⋅+AB OB OA 则点O 依次为ABC ∆A C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量),,(),,(a a n aa m xx =-=，其中0>a 且1≠a ，金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 （1）当x 为何值时，n m ⊥； （2）解关于x 的不等式nm n m -<+.解：（1）因为0,=⋅⊥所以,…………………………………………………………2分 得022=-a ax，即22a a x =.……………………………………………………4分所以22=x ，即1=x ，∴当1=x 时，⊥.………………………………6分 （2<+，∴22)()(n m n m -<+，0<⋅∴n m .所以022<-a a x ，即22a a x <.…………………………………………………10分当10<<a 时，1>x ，当1>a 时，1>x , 综上，当10<<a 时，不等式的解集为),1(+∞;当1>a 时，不等式的解集为)1,(-∞.……………………………………14分20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架ABC P -（如图3）进行野炊训练，将炊事锅看作一个点Q ，用吊将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计）. 已知cm PC 130=，A 、B 两点间距离为cm 350.（1）设PQ 的延长线与地面ABC 的交点为O ，求PCO ∠cos 的值； （2）若使炊事锅Q 到各条斜杆的距离都等于30cm ，试求吊绳PQ 解：（1）设P 点在平面ABC 上的射影为点O ，连接CO ，50=CO 在Rt △POC 中，135cos =∠PCO .………………………5分 即PCO ∠cos 的值为135.…………………………………6分金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试（2）在Rt △POC 中，解得120=PO ，作PC QD ⊥交PC 于D 点，由30=QD ，得781330sin ==∠=QPD QD PQ .…………12分故吊绳PQ 的长78cm .…………………………………14分16 ,3-x x b（1）2=b 时，求(x f （2）2≥b 时，)(x f 解：（1）当b=2时，因为)(x f 在]2,1[上单调递减，在]2,2[上单调递增,……………………２分 所以)(x f 的最小值为322)2(-=f .………………………………………４分 又因为0)2()1(==f f ,……………………………………………………………５分 所以)(x f 的值域为]0,322[-．………………………………………………6分（2）（ⅰ）当42<≤b 时，因为)(x f 在],1[b 上单调递减，在]2,[b 上单调递增,)(x f 最小值为32)(-=b b f ，)(x f >0，即032>-b .金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 得494>>b .…………………………………………………………………11分（ⅱ）4≥b 时，)(x f 在[1，2]上单调递减,)(x f 最小值为12)2(-=b f ，)(x f >0，即012>-b ，得b>2，因此4≥b . 综合（ⅰ）（ⅱ）可知49>b .……………………………………………16分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小 （1）若对于任意的*∈N n ，总有1)1(2++=++n Bn A n n n 成立，求常数B A ,的值； （2）在数列}{n a 中，211=a ，)1(221+++=-n n n a a n n （2≥n ，*∈N n ），求证}11{++n a n 是等比数列，并求通项n a ；金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 （3）在（2）题的条件下，设2)1(21+++=n n a n n b ，从数列}{n b 中依次取出第1k 项，第2k 项，…第n k 项，按原来的顺序组成新的数列}{n c ，其中n k n b c =，其中*+∈==-N m k k k n n 11.试问是否存在正整数m ，使71)(lim 21=++++∞→n n c c c ？若存在，求出m 的值；不存在，说明理由.解：（1）由题设得2)1(+=++n Bn n A 即2)(+=++n A n B A 恒成立，所以⇒⎩⎨⎧==+21A B A 2=A ，1-=B .…………………………………………4分 （211+-n 得，2111a n a n n +=++-即}11{++n a n 8分 所以211=++n n n a 9分 （3由（2）知21=-a n n ，显然n ， 又nk n b c =,得m k k k k n n n n n n b b c c 21)21(111===-+++，m k b c 2111==.即}{n c 是以m 21为首项，m 21为公比的等比数列.………………………………12分于是)(lim 21n n c c c S +++=+∞→金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 7112121121=-=-=m m m ，即3712=⇒=-m m.…………………………14分综上，存在正整数m 满足题设，3=m .…………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分）已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S-函数”.（1）判断函数xx f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；（3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)1,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域. 解：（1）若x x f =)(1是“S-函数”，则存在常数),(b a 使得(a+x)(a-x)=b. 即x2=a2-b 时，对x ∈R 恒成立. 而x2=a2-b 最多有两个解，矛盾. 因此x x f =)(1不是 “S-函数”.……………………………………………………3分若x x f 3)(2=是“S-函数”，则存在常数a,b 使得a xa x a 2333=⋅-+， 即存在常数对（a, 32a ）满足.因此xx f 3)(2=是“S-函数”.……………………………………………………6分（2）x x f tan )(3=是一个“S-函数”，设有序实数对（a,b ）满足.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 则tan(a-x)tan(a+x)=b 恒成立.当a=Zk k ∈+,2ππ时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)不是常数.……………………7分因此Zk k a ∈+≠,2ππ，Zm m x ∈+≠,2ππ时，则有b x a xa x a x a x a x a =--=⋅-+⨯⋅+-2222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan .即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立.…………………………………9分即⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅0tan 01tan 222b a a b ⎧π当Z m m x ∈+=,2ππ,因此满足x x f tan )(3=Zk ∈),1.…12分(3) 函数)(x f 是“S-)1,1， 于是,1)()(=-⋅f x f x f 即0[]0,1[∈--∈x x 时，当].2,21[)(]1,1[].1,21[)(]2,1[)()(1)(,1)()(∈-∈∴∈⇒∈--==-⋅x f x x f x f x f x f x f x f 时，，由……………………………………15分)()2()2(1)()(1)(1)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅.……………17分 因此)(x f 为以2为周期的周期函数.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 当]2012,2012[-∈x 时，函数)(x f 的值域为]2,21[. ……………………………18分江苏省南航附中高三年级数学月考试卷（10.4） （总分：160分 时间120分钟）一、填空题：每小题5分，共70分．1.已知R)N =R ð . 2.若等差数列{}n a 3.已知函数()f x = . 4.已知||1a = ，||b .5.将函数2sin(=y 坐标变为原来的21.6.若复数i iz -=1，则=|z | .7.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 .8.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 . 9.已知a1＞a2＞a3＞0，则使得2(1)1(123)i a x i -<=，，都成立的x 取值范围是 . 10.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos .金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 11.函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是 .12.设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，则通项a n = . 13.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当2)(,0x x f x =≥时，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+14.设,,x y zxx①② ③④二、解答题：本大题共6小题，共90分15.函数y=lg （3－4x+x2）的定义域为M ，x ∈M 时，求f （x ）=2x+2－3×4x 的最值．（14分）16．（本小题满分14分）已知：,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ，122)(-+⋅=m b a x f（R m x ∈,）.(1) 求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；(2) 若]2,0[π∈x 时()f x 的最小值为5，求m 的值.17．（本小题满分14分）已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m>0）有极大值9. (1)求m 的值；(2)若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 (1)求证：AF ∥平面PCE ； (2)求证：平面PCE ⊥平面PCD ； (3)求三棱锥C －BEP 的体积．19．（本小题满分16分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？20．（本小题满分16分） 已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，．（1）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．数学月考试卷解答题参考答案 15.（14分）金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 解：由3－4x+x2＞0得x ＞3或x ＜1，∴M={x|x ＞3或x ＜1}，f （x ）=－3×22x+2x+2=－3（2x －16）2 +2512．∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2∴当2x=16即x=log216时，f （x ）最大，最大值为2512． f （x ）没有最小值．16.（14分）(1) 2()cos 2cos 21f x x x x m =++-2cos22x x m =++2sin(2)26x mπ=++(2) ∵]2,0[π∈x ，∴2x ∴当6762ππ=+x 即x ∵512=-m ，∴3=m 17.（14分）解：(1) f ’(x)＝ 当x 变化时，f ’(x)与f(x)的变化情况如下表：从而可知，当x=－m 时，函数f(x)取得极大值9， 即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m ＝2.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 (2)由(1)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,依题意知f ’(x)＝3x2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－31. 又f(－1)＝6，f(－31)＝2768， 所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1),或y －2768＝－5(x ＋31)，即5x ＋y －1＝0，或18.（16分）证明: （1）取PC ∴FG 为△CDP ∵四边形ABCD ∴AB21//CD ，∴FG //AE ∴四边形AEGF 又EG ⊂平面PCE ，AF ∴AF ∥平面PCE ；（2）∵ PA ⊥底面∴CD ⊥平面ADP ， 又°， ∴△PAD 为等腰直角三角形，∴PA ＝AD=2， ∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又CD PD=D ， ∴AF ⊥平面PCD ，∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PCD ， 又EG ⊂平面PCE ， 平面PCE ⊥平面PCD ； （3）三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE ，PA 是三棱锥P －BCE 的高，Rt △BCE 中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C －BEP 的体积金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 V 三棱锥C －BEP=V 三棱锥P －BCE=2221212121=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅∆PA BC BE PA S BCE19.（16分）解：（1）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+， 又由已知条件，2242k=·，于是有6k =， 所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，． （2）根据（112)． 故12x =时，()f x 301218-=20.（16分） （1）证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得11()n n n n a a q a a +--=-，即12n n b qb n -=，≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．（2）解：由（1），211a a -=，32a a q -=， (2)1(2)n n n a a q n ---=≥． 将以上各式相加，得211(2)n n a a q q n --=+++…≥．所以当2n ≥时，金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 11111 1.n n q q a qn q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，上式对1n =显然成立．（3）解：由（2），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ① 整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q =另一方面，2131n n n n q q a a q +-+--=-6)q -．由①可得3n n n a a a ++-=所以对任意的n ∈*N ，。

江苏省泰州中学2012届高三学情调查试卷数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．11i i+-= 。

2．设合集2,|01x U R A x x -⎧⎫==≤⎨⎬+⎩⎭，2{|log 2}B x x =<，则AIB = 。

3．已知命题：“2[1,2],20x x x a ∀∈++≥”为真命题，则a 的取值范围是 。

4．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是 。

5．已知变量x ，y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2Z x y =+的最大值为 。

6．已知米粒可能地溶入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒落入BCD ∆内的频率稳定在310附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为 。

7．阅读下列程序：输出的结果是 。

8．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别为2，4，8，则函数()y f x =的最小正周期T= 。

9．已知数列{}n a的首项11200,1,2,),n a a n L a +===且则= 。

10．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交于A ，B 两点，已知OAB ∆是正三角形，则该椭圆的离心率是 。

11．若不等式2210843kx y xy +≥对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 可取的值是 。

12．已知a ，b ，c ，d 都是整数，且0,7a b c d d a <<<<-=，若a ，b ，c 在成等差数列，b ，c ，d 成等比数列，则a+b+c+d 的值等于 。

江苏省泰州中学高三数学摸底考试试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．ii-+11= ▲ ． 2．设全集U =R ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=012|x x x A ，{}2log |2<=x x B ，则=B A ▲ ． 3．已知命题：“[]2,1∈∀x ，022≥++a x x ”为真命题，则a 的取值范围是 ▲ . 4．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中 从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组 的频数为10，则抽取的学生人数是 ▲ .5．已知变量x ，y 满足约速条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x Z +=2的最大值为 ▲ ．6．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在310附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为 ▲ ． 7．阅读下列程序:Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I End for Print S End输出的结果是 ▲ ．8．已知函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则函数()x f y =的最小正周期T = ▲ ． 9．已知数列{}n a 的首项10a =，且1313n n na a a +-=+(1,2,)n =，则20a = ▲ ．10．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．第6题_ D_ _ A11．若不等式k xyy x 3410822≥+对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数．．．m 可取的值是 ▲ ．12．已知d c b a ,,,都是整数，且d c b a <<<<0，7d a -=，若c b a ,,成等差数列，d c b ,,成等比数列，则d c b a +++的值等于▲ ．13．如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，2CA CB ==，若2AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角等于▲ ．14．如果关于x 的方程213ax x +=在区间(0,)+∞上有且仅有一个解，那么实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的三条边分别是a 、b 、c ，（Ⅰ）若cos 5A =，tan 3B =，4a =，求△ABC 面积； （Ⅱ）若a 、b 、c 成等差数列，求角B 的范围．16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（Ⅰ）求证：AE ⊥BE ；（Ⅱ）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点． 求证：MN∥平面DAE ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，设二次函数）1(2)(2<++=b b x x x f 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设定点A 是圆C 经过的某定点（其坐标与b 无关），问是否存在常数,k 使直线k kx y +=与圆C 交于点N M ,，且||||AN AM =．若存在，求k 的值；若不存在,请说明理由．江苏省泰州中学高三数学摸底考试答题纸 2011-9-15ABCDE FM第16题N C第13题EBAF一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．___________ 2．___________ 3．___________ 4．___________ 5．___________ 6．___________ 7．___________ 8．___________ 9．___________ 10．__________ 11．___________ 12．___________ 13．___________ 14．___________二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）16．（本小题满分14分）17．（本小题满分14分）A BC DEFM第16题N18．（本小题满分16分）某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工2m 人(60<m<500，且m 为10的整数倍)，每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75％．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．（Ⅰ）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；（Ⅱ）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人? 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，(0,0,,,0,*)n n n a p q p q p q R n N λλλ=+>>≠∈≠∈.（Ⅰ）求证：数列1{}n n a pa +-为等比数列；（Ⅱ）数列{}n a 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；（Ⅲ）设{(,)|3,*}n n n n A n b b k n N ==+∈，其中k 为常数，且k N *∈，{(,)|5,*}n n n B n c c n N ==∈，求A B .20．（本小题满分16分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）．（Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．江苏省泰州中学高三数学摸底考试答案 2011-9-15 1．i 2．(]2,0 3．3-≥a 4．40 5．9 6．737．10 8．69．3．1或2 12．21 13．3π14．20a a =≤或15.解：（1）6； （2）30π≤<B ；17：解:（Ⅰ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令0=y 得20x Dx F ++=这与022=++b x x 是同一个方程，故b F D ==,2．令0=x 得02=+Ey y ，此方程有一个根为b ，代入得出1--=b E ．所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=（Ⅱ）由于圆C 经过定点A ，所以关于b 的方程02)1(22=-+++-y x y x b y 有无穷解，∴⎩⎨⎧=-++=-020122y x y x y ，∴⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧=-=12y x ∴圆C 经过的定点)1,0(A 或)1,2(-A 由于直线k kx y +=恒过定点)0,1(-在圆内， 所以直线与圆C 有两个交点N M ,∵||||AN AM =,∴点A 在线段MN 的垂直平分线上, 即AC 与直线k kx y +=垂直.①若)1,0(A ,则1-=⋅ACk k ,得1)1(0211-=--+-⋅b k ,12-=b k . ②若)1,2(-A ,则1-=⋅AC k k ,得1)1(2211-=---+-⋅b k ,b k -=12.综上, 12-=b k 或bk -=12. 18．（1）解：设公司裁员人数为x,获得的经济效益为y 元， 则由题意得当()()1022100205x m y m x x x <≤⨯=-+-时。