高中数学必修二期末测试题一及复习资料解析

2019年高中第二册数学期末测试卷答案解析本文导航1、首页2、高中第二册数学期末测试卷答案-23、高中第二册数学期末测试卷答案-32019年高中第二册数学期末测试卷答案解析【】为了帮助学生们了解高中学习信息，查字典数学网分享了2019年高中第二册数学期末测试卷答案解析，供您参考!一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12选项C A D B C A A B D C C D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13、；14、(1，2)；15、0；16、2，3。

三、解答题(本大题共6小题，74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、(1)10. (2)018、(1)(2)(3)a819、解：(1)由题意得，水费f(x)关于用水量x的函数为：(2)易知20.解：(1)∵f(x)=2x，g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2。

因为f( x)的定义域是[0，3]，所以，解之得01。

于是g(x)的定义域为{x|01}(2)设g(x)=(2x)2-42 x=(2x-2)2-4。

∵x[0，1]，即2x[1，2]，当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3。

21.解：(1)令y=-1，则f(-x)=f(x)f(-1)，可得f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数(2)设故(3)即，又21、解(1)取则取对任意恒成立为奇函数.本文导航1、首页2、高中第二册数学期末测试卷答案-23、高中第二册数学期末测试卷答案-3(2)任取，则又为奇函数在(-，+)上是减函数.对任意，恒有而在[-3，3]上的最大值为6(3)∵为奇函数，整理原式得进一步可得而在(-，+)上是减函数，当时，当时，当时，当时，当22.(1)∵对于任意xR，都有f (x)-x0，且当x(0，2)时，有f (x) .令x=11f (1) .即f (1)= 1.(2) 由a-b+c=0及f (1)=1.有，可得b=a+c= .又对任意x，f(x)-x0，即ax2- x+c0.a0且△0.即-4ac0，解得ac .本文导航1、首页2、高中第二册数学期末测试卷答案-23、高中第二册数学期末测试卷答案-3(3)a=c= .f (x)= x2+ x + ，F (x)=f (x)-mx= [x2+(2-4m)x+1].当x[-2，2]时，f (x)是单调的，所以F (x)的顶点一定在[-2，2]的外边.2.解得m- 或m .22、解：(1)由得-1因为f(-x)+f(x)=log2 +log2 =log2 =log21=0，所以f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函数。

人教版高中数学必修二期末检测卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如图，在正方体EFGH−E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A. 平面E1FG1与平面EGH1B. 平面FHG1与平面F1H1GC. 平面F1H1H与平面FHE1D. 平面E1HG1与平面EH1G2.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊂a，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α.则m//α；④若α⊥β，m//α，则m⊥β．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 43.如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l=β∩γ，l//α，m⊂α和m⊥γ，那么()A. α⊥γ且l⊥mB. α⊥γ，且m//βC. m//β且l⊥mD. α//β且α⊥γ4.著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：√(x−a)2+(y −b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为()A. 2√5B. 5√2C. 4D. 85.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为()A. −1或2B. 0或2C. 2D. −16.已知两直线的方程分别为l1：x+ay+b=0，l2：x+cy+d=0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A. b>0，d<0，a<cB. b>0，d<0，a>c1C. b <0，d >0，a >cD. b <0，d >0，a <c7. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l 1:ax +3y +6=0，l 2:2x +(a +1)y +6=0，圆C:x 2+y 2+2x =b 2−1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则b 的取值范围为 ( )A. (√2,3√22)B. (0,√2)C. (0,3√22)D. (√2,3√22)∪(3√22,+∞) 8. 直线y =kx +3与圆(x −3)2+(y −2)2=4相交于M ，N 两点，若|MN|=2√3，则k 的值是( )A. −34B. 0C. 0或−34D. 34 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 ．10. 过两圆x 2+y 2−2y −4=0与x 2+y 2−4x +2y =0的交点，且圆心在直线l ：2x +4y −1=0上的圆的方程是_________________．11. 与直线x +y −2=0和曲线x 2+y 2−12x −12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_____________．12. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则截面的面积为 ．13. 已知点M 是点P(4,5)关于直线y =3x −3的对称点，则过点M 且平行于直线y =3x −3的直线的方程是________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）14. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，O 为AB 的中点，CA =CB ，AB =AA 1，∠BAA 1=60∘．(1)证明：AB⊥平面A1OC;(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1−ABC的体积．15.已知直线m:(a−1)x+(2a+3)y−a+6=0，n:x−2y+3=0．(1)当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程;(2)若坐标原点O到直线m的距离为√5，判断m与n的位置关系．16.求过点P(4,−1)且与直线3x−4y+6=0垂直的直线方程．317.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(0,3)，设圆C的半径为1，圆心C(a,b)在直线l：y=2x−4上．(1)若圆心C也在直线y=−x+5上，求圆C的方程；(2)在上述的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)若圆C上存在点M，使|MA|=|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：(1)A1B1//平面DEC1；(2)BE⊥C1E.19.已知ΔABC的顶点B(3,4)，AB边上的高所在的直线方程为x+y−3=0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x+3y−7=0．(Ⅰ)求顶点A的坐标；(Ⅱ)求过E点且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程．20.已知直线l：x−ay+1=0与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0交于A，B两点，|AB|=2√3．(1)求a的值；(2)求与直线l平行的圆C的切线方程．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于中档题．根据几何体中的线段特征确定平行关系，再确定线面的平行关系，E1G1//面EGH1，E1F//面EGH1，即可得出确定的平行平面．【解答】解：如图：在正方体EFGH−E1F1G1H1中，连接EG，E1F，E1G1，H1E，H1G，∵EG//E1G1，EG⊂面EGH1，E1G1⊄面EGH1，∴E1G1//面EGH1，∵E1F//H1G，H1G⊂面EGH1，E1F⊄面EGH1，∴E1F//面EGH1，∵E1G1∩E1F=E1，E1G1，E1F⊂面E1FG1，∴面EGH1//面E1FG1，故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．根据空间线面平行和垂直的几何特征及判定方法，逐一分析四个命题的真假，最后综合讨论5结果，可得答案．【解答】解：根据面面垂直的性质，故①正确；由α⊥γ，β⊥γ，得到α//β或相交，故②错误;由α⊥β，且m⊥β，得到m与α可能平行，也可能m在平面面α内，又m⊄α，则m//α，故③正确；若α⊥β，m//α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故④错误；其中正确命题的个数为2．故选B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，属于基础题．m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ.然后推出l⊥m，得到结果．【解答】解：∵m⊂α且m⊥γ，∴α⊥γ，∵l=β∩γ，∴l⊂γ．又∵m⊥γ，∴l⊥m，即α⊥γ且l⊥m，故选A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用函数的几何意义求函数的最值，考查两点之间的距离公式的运用，属于中档题．由题意得到f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(−2,4)与B(−1,3)的距离，即要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA′|+|MB|≥|A′B|即可求解．【解答】解：∵f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10=√(x+2)2+(0−4)2+√(x+1)2+(0−3)2，∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(−2,4)与B(−1,3)的距离之和．设点A(−2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′的坐标为(−2,−4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA′|+|MB|≥|A′B|=√(−1+2)2+(3+4)2=5√2，即f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为5√2．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由a·a−(a+2)=0，即a2−a−2=0，解得a.经过验证即可得出．【解答】解：由题意知a⋅a−(a+2)=0，即a2−a−2=0，解得a=2或−1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=−1．故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的一般式向斜截式转化，属于基础题．将直线转化成斜截式，根据图象得两直线斜率、截距的不等关系，解不等式即可得解．【解答】解：l1 :y=−1a x−ba，l2 : y=−1cx−dc，由图象知：①−1a >−1c>0,②−ba<0,③−dc>0，，故选C．77.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及应用，属于中档题．结合新定义，求出圆心到直线的距离，根据相离相切的条件求出b 的范围，进而求出平行相交时b 的范围．【解答】解：圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=b 2，由两直线平行得a(a +1)−6=0，解得a =2或a =−3．又当a =2时，直线l 1，l 2重合，应舍去，∴两平行线的方程分别为x −y −2=0和x −y +3=0．由直线x −y −2=0与圆(x +1)2+y 2=b 2相切，得b =√2=3√22; 由直线x −y +3=0与圆相切，得b =√2=√2．当两直线与圆都相离时，b <√2．∴“平行相交”时，b 满足{b >√2,b ≠3√22, ∴b 的取值范围是(√2,3√22)∪(3√22,+∞)． 故选D ． 8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 由点到直线距离公式可得弦心距d =√k 2+1，再由弦长，半径，弦心距之间关系列出关于k 的等式，由此解得k 的值．【解答】解：圆心(3,2)到直线y =kx +3的距离d =√k 2+1，则|MN|=2 √4−(3k+1)2k 2+1=2√3，解得k =0或k =−34． 故选C ．9.【答案】√105．【解析】【分析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直的判定，属于中档题．根据正方形条件得到线线垂直，再由线面垂直得到线线垂直，进而证明线面垂直找到点C1在面BB1D1D上的射影O，即线面角∠OBC1，进一步利用锐角三角形求解．【解答】解：如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1，又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，∴OC1⊥BB1，而BB1∩B1D1=B1，∴OC1⊥平面BB1D1D.∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．在正方形A1B1C1D1中，OC1=12A1C1=12√22+22=√2．在矩形BB1C1C中，BC1=√BC2+CC12=√4+1=√5．9∴sin∠C1BO=OC1BC1=√2√5=√105．故答案为√105．10.【答案】x2+y2−3x+y−1=0【解析】【分析】本题考查求圆的一般方程，圆系方程及其应用，属于中档题．可设新圆方程为x2+y2−4x+2y+λ(x2+y2−2y−4)=0(λ≠−1)，通过整理，不难表示出新圆的圆心坐标，接下来根据新圆的圆心在直线l上，将所得圆心坐标代入，解方程即可得解．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2−4x+2y+λ(x2+y2−2y−4)=0(λ≠−1)．整理得x2+y2+−41+λx+2−2λ1+λy−4λ1+λ=0，所以圆心坐标为(21+λ,λ−11+λ)，因为圆心在直线2x+4y=1上，故41+λ+4(λ−1)1+λ=1，解得λ=13．所以所求圆的方程为x2+y2−3x+y−1=0．故答案为x2+y2−3x+y−1=0．11.【答案】(x−2)2+(y−2)2=2【解析】【试题解析】【分析】本题考查直线与圆相切的性质的应用，求圆的标准方程，难度一般．先求出圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=√2=5√2.再求过点C1且垂直于x+ y−2=0的直线y=x，所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，圆心C2到直线x+y−2=0的距离为5√2−3√22=√2，则圆C2的半径长为√2.设C2的坐标为(x0,x0)，则00√2=√2，解得x0=2(x0=0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，即可求出所求．【解答】解：曲线化为(x−6)2+(y−6)2=18，=5√2．其圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=|6+6−2|√2过点C1且垂直于x+y−2=0的直线为y−6=x−6，即y=x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，如图所示，=√2，圆心C2到直线x+y−2=0的距离为5√2−3√22则圆C2的半径长为√2．设C2的坐标为(x0,x0)，=√2，解得x0=2(x0=0舍去)，则00√2所以圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=2．故答案为(x−2)2+(y−2)2=2．12.【答案】2√6【解析】【分析】本题考查截面面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1.由已知得四边形A1MCN是平行四边形，连接MN，作A1H⊥MN于H，由题意能求出截面的面积．【解答】解：分别取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，11∵A1N//PC1//MC，且A1N=PC1=MC，∴四边形A1MCN是平行四边形．又∵A1N//PC1，A1N⊄平面PBC1，PC1⊂平面PBC1，∴A1N//平面PBC1，同理可证A1M//平面PBC1，∵A1N∩A1M=A1，且A1N，A1M⊂平面A1MCN，∴平面A1MCN//平面PBC1,因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN，连接MN，作A1H⊥MN于点H，∵A1M=A1N=√5，MN=2√2，∴△A1MN为等腰三角形．∴A1H=√3，∴S△A1MN =12×2√2×√3=√6．故S▱A1MCN =2S△A1MN=2√6．故答案为2√6．13.【答案】3x−y+1=0【解析】【分析】本题考查了点关于直线的对称点的求法，考查了直线方程的点斜式，是基础题．设出M的坐标，利用点到直线的距离以及两平行线间的距离公式求解．【解答】解：因为点M是点P(4,5)关于直线y=3x−3的对称点，所以两点到直线y=3x−3的距离相等，所以过点M且平行于直线y=3x−3的直线与y=3x−3之间的距离等于点P到直线y=3x−3的距离．点P(4,5)到直线3x−y−3=0距离为√12+32=√10．设过点M且与直线y=3x−3平行的直线的方程为3x−y+c=0，13所以由两平行线间的距离公式有√12+32=√10，即|c +3|=4，解得c =1或c =−7， 即所求直线的方程为3x −y −7=0或3x −y +1=0．由于点P(4,5)在直线3x −y −7=0上，故过M 点且平行于直线y =3x −3的直线方程是3x −y +1=0．14.【答案】(1)证明：∵CA =CB ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ．∵AB =AA 1，∠BAA 1=60∘，∴△AA 1B 为等边三角形，∴OA 1⊥AB ，又OC ∩OA 1=O ，∴AB ⊥平面A 1OC ．(2)解：∵AB =CB =2，∴△ABC 为边长是2的等边三角形，则S △ABC =12×2×√3=√3．∵OA 1⊥AB ，OA 1⊥OC ，AB ∩OC =O ，∴OA 1⊥平面ABC ，即OA 1是三棱锥A 1−ABC 的高，又OA 1=√3，∴三棱锥A 1−ABC 的体积V =13×√3×√3=1．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出CO ⊥AB ，A 1O ⊥AB ，由此能证明AB ⊥平面A 1OC ．(2)推导出A 1O ⊥平面ABC ，由此能求出三棱锥A 1−ABC 的体积．15.【答案】解：(1)当a =0时，直线m:x −3y −6=0，由{x −3y −6=0x −2y +3=0，解得{x =−21y =−9， 即m 与n 的交点为(−21,−9)．当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0; 当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入得b =−12，所以直线l 的方程为x −y +12=0．故满足条件的直线l 的方程为3x −7y =0或x −y +12=0．(2)设原点O 到直线m 的距离为d ，则d =√(a−1)2+(2a+3)2=√5，解得a =−14或a =−73，当a =−14时，直线m 的方程为x −2y −5=0，此时m//n;当a =−73时，直线m 的方程为2x +y −5=0，此时m ⊥n.【解析】本题主要考查了直线的截距式方程，两条直线平行与垂直的判定，点到直线的距离公式，属于中档题．(1)当a =0时，由题意可求出x 与y ，可求出m 与n 的交点，当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0，当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入即可求解．(2)求出原点O 到直线m 的距离d ，求出a ，当a =−14时，证明m//n ，当a =−73时，证明m ⊥n. 16.【答案】解：∵所求直线与直线3x −4y +6=0垂直，∴设其为4x +3y +m =0．∵该直线过点P(4,−1)，∴4×4+3×(−1)+m =0，解得m =−13．故所求直线方程为4x +3y −13=0．【解析】考查对于直线方程的求解问题，利用垂直性质求解，属于基础．17.【答案】解：(1)由{y =2x −4y =−x +5 得圆心C 为(3,2)，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：(x −3)2+(y −2)2=1；(2)由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx −y +3=0，∴√k 2+1=1，∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k(4k +3)=0，∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3，即y =3或者3x +4y −12=0；(3)设M 为(x,y)，由√x 2+(y −3)2=√x 2+y 215整理得直线m ：y =32， ∴点M 应该既在圆C 上又在直线m 上，即：圆C 和直线m 有公共点，∴|2a −4−32|≤1，∴94≤a ≤134，终上所述，a 的取值范围为：[94,134]．【解析】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．(1)联立直线l 与直线y =−x +5，求出方程组的解得到圆心C 坐标，可得圆C 的方程；(2)根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出切线方程即可；(3)设M(x,y)，由|MA|=|MO|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M 的轨迹为直线y =32，由M 在圆C 上，得到圆C 与直线相交，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．18.【答案】证明：(1)∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，∴DE//AB ，AB//A 1B 1，∴DE//A 1B 1，∵DE ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，∴A 1B 1//平面DEC 1．解：(2)∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，AB =BC ．∴BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，又AA 1∩AC =A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，∵C 1E ⊂平面ACC 1A 1，∴BE ⊥C 1E .【解析】(1)推导出DE//AB ，AB//A 1B 1，从而DE//A 1B 1，由此能证明A 1B 1//平面DEC 1．(2)推导出BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，从而BE ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BE ⊥C 1E .本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：(1)AB 边上的高所在的直线方程为x +y −3=0，∴k AB =−1−1=1． ∴直线AB 方程为：y −4=x −3，化为：x −y +1=0，联立{x −y +1=0x +3y −7=0，解得x =1，y =2．∴A(1,2)．(2)设E(a,b)，则C(2a −3,2b −4)．联立{(2a −3)+(2b −4)−3=0a +3b −7=0，解得a =4，b =1.∴E(4,1)． 由直线l 与x 轴、y 轴截距相等，①当直线l 经过原点时，设直线l 的方程为：y =kx ．把E 的坐标代入可得：1=4k ，解得k =14．∴直线l 的方程为：y =14x.②当直线l 不经过原点时，设直线l 的方程为：x +y =m ．把E 的坐标代入可得：m =5．∴直线l 的方程为：x +y =5．综上直线l 的方程为：x −4y =0或x +y −5=0．【解析】本题考查了直线的方程、直线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)AB 边上的高所在的直线方程为x +y −3=0，可得k AB =1.把直线AB 方程与AE 的方程联立解得A 的坐标．(2)设E(a,b)，则C(2a −3,2b −4).联立{(2a −3)+(2b −4)−3=0a +3b −7=0，解得E 坐标．由直线l 与x 轴、y 轴截距相等，对截距分类讨论即可得出．20.【答案】解：(1)∵圆C ：(x −2)2+(y −1)2=4，∴圆心为(2,1)，半径r =2，∴圆心到直线x −ay +1=0的距离为：d =√12+a 2=√r 2−(√3)2=√4−3=1， 解得a =43，(2)由(1)知直线l ：3x −4y +3=0，因为切线与直线l 平行，所以设所求的切线方程为3x −4y +D =0．因为直线与圆相切，所以圆心到切线的距离d =√32+(−4)2=|2+D |5=2．所以D =8或D =−12．所以所求切线方程为3x −4y +8=0或3x −4y −12=0．【解析】本题主要考查了点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．(1)首先确定圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式可以列出等式，由此求出a的值．(2)由(1)知直线l：3x−4y+3=0，依题意，设所求切线方程为3x−4y+D=0，则圆心到=2.求解即可得结果切线的距离d=|2+D|517。

(A)（B ） (C) (D)图１ 高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级：______________姓名：______________一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） (A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32（B ）35(C) 32 (D)322 4．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )(A)2 （B ） 22 (C)32 (D)425．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短 路径长度是（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）321- （D ）26图２6．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βα ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） （A ）4± （B ）2± （C ） 22± （D ）2±8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ） (A)531 (B) 532 (C) 533(D)534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在空间直角坐标系中，已知)5,2,2(P 、),4,5(z Q 两点之间的距离为7，则z =_______．10．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．11．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．12．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则公共弦AB 所在直线的直线方程是 ．13．在平面直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．14．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D ­GAC 与三棱锥P ­GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x . (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．PCA数学必修二期末测试题及答案一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１C ， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D ， 7B ， 8D.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,26 ； 12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ……………5分由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6）， ……………7分∴半径22(52)(62)5R =-+-=，……………9分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分 16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，………6分故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分 17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0， 消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.。

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．在直角坐标系中，已知A(－1，2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为中点的坐标为(()．A．(2，2)B．(1，1)C．(－2，－2)D．(－1，－1) 2．右面三视图所表示的几何体是．右面三视图所表示的几何体是(()．A．三棱锥．三棱锥B．四棱锥．四棱锥C．五棱锥．五棱锥D．六棱锥．六棱锥3．如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为的值为(()．A．2 B．21C．－2 D．－214．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为(()．A．1 B．2 C．3 D．4 5．下面图形中是正方体展开图的是．下面图形中是正方体展开图的是(()．6．圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的圆心坐标是的圆心坐标是(()．A．(－2，4) B．(2，－4) C．(－1，2) D．(1，2)7．直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为(()．A．y＝－2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－1 D．y＝－x－1 8．已知两条相交直线a，b，a∥平面 a，则b与a 的位置关系是的位置关系是(()．A．bÌ平面a B．b⊥平面aC．b∥平面a D．b与平面a相交，或b∥平面a9．在空间中，a，b是不重合的直线，a，b是不重合的平面，则下列条件中可推出是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是的是(()．A．aÌa，bÌb，a∥b B．a∥a，bÌbC．a⊥a，b⊥a D．a⊥a，bÌa10．圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是的位置关系是(()．正视图正视图 侧视图侧视图俯视图俯视图(第2题)11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为所成的角可以表示为(( )． A ．∠D'DB B ．∠AD' C' C ．∠ADBD ．∠DBC'12． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于轴截得的弦长等于(( )． A ． 1 B ．23C ． 2 D ． 3 13．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是中点，则下列叙述正确的是(( )．A ．CC 1与B 1E 是异面直线是异面直线 B ．AC ⊥平面A 1B 1BAC ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 4 cm cm ，高为12 12 cm cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色个这种相同规格的笔筒涂色((笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计要涂色，笔筒厚度忽略不计))． 如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．，那么为这批笔筒涂色约需涂料．A ．1.23 kg B ．1.76 kg C ．2.46 kg D ．3.52 kg 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．分．把答案填在题中横线上． 15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为的距离为 ．16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ．17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点经过点((0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．与两坐标轴围成三角形的面积． 20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．的中点．(1)求证：DE ∥平面P AC ；CBAD A ¢ B ¢C ¢D ¢(第11题)A 1 B 1 C 1 ABEC(第13题)ABC DD1 C 1 B 1 A 1 (第17题)ACPE(2)求证：AB ⊥PB ；21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．相切． (1)求圆C 的方程；的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；的取值范围；(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．存在，请说明理由．22．为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)且圆心C 在直线L:x-y+1=0上，求圆心为C 的圆的标准方程 23.知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=．⑴ 证明：不论证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；总相交；⑵ 当当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度截得的弦长最短？并求最短的弦的长度24知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y =x 上截得弦长为27;③圆心在直线x －3y =0上. 求圆C 的方程. 25，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证：(1) FD ∥平面ABC; (2) AF ⊥平面EDB.26．图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点，的中点， （1） 求证：平面A B 1D 1∥平面EFG; （2） 求证：平面AA 1C ⊥面EFG.F EDCBAM FGE C1D1A1B1DC ABPD 1B 1D B。

(A)（B ） (C) (D)图１ 高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级：______________姓名：______________一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） (A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32（B ）35(C) 32 (D)322 4．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )(A)2 （B ） 22 (C)32 (D)425．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短 路径长度是（ ）图２（A ）4 （B ）5 （C ）321- （D ）26 6．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βαI ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） （A ）4± （B ）2± （C ） 22± （D ）2±8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ） (A)531(B)532 (C) 533 (D)534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在空间直角坐标系中，已知)5,2,2(P 、),4,5(z Q 两点之间的距离为7，则z =_______． 10．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．11．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．12．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则公共弦AB所在直线的直线方程是 ．13．在平面直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．14．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D -GAC 与三棱锥P -GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x . (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是ο60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．PCA数学必修二期末测试题及答案一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１C ， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D ， 7B ， 8D.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,26 ； 12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ……………5分 由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6），……………7分∴半径5R =，……………9分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分 16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，………6分故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分 17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.CA(2)⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0， 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，125，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，45，∴MN 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85.又|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是ο60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ．PMB DN PMB DN PMB MQ MQDN 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊆. …………………4分（2） MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥平面平面又因为底面ABCD 是ο60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥..PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥………………8分（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以PMB DH 平面⊥．故DH 是点D 到平面PMB 的距离..55252a a a aDH =⨯=所以点A 到平面PMB 的距离为a 55.………12分。

【新高考题型】2020-2021学年高一数学下学期期末考前冲刺刷题卷（人教A 版2019必修第二册）检测卷1一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z 满足2025(1)1z i i +⋅=-，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．1-C ．i -D ．1【答案】D 【解析】2025(1)11z i i i +⋅=-=-，()()()21121112i i iz i i i i ---∴====-++-，z i ∴=， 所以z 的虚部为1.故选：D.2．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A ．系统抽样 B ．分层抽样C ．简单随机抽样D ．非以上三种抽样方法【答案】B【解析】因为各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，所以可以采用分层抽样.故选：B 3．若||25,(1,2),//a b a b ==，则a 的坐标可以是（ ） A ．(2,4)- B ．(2,4)- C ．(2,4)--D ．(4,2)-【答案】C=(),a x y =，因为//a b ，所以2y x =， 故选:C .4．已知向量18,2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),1b x =，0x >，若()()2//2a b a b -+，则x 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．4或5【答案】B 【解析】向量1(8,)2a x =，(,1)b x =，∴12(82,2)2a b x x -=--，2(16,1)a b x x +=++(2)//(2)a b a b -+，1(82)(1)(16)(2)02x x x x ∴-+-+-=即254002x -+=，解得4x =±，又因0x >4x ∴=故选：B ．5．若复数z 满足325i iz -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由已知得()()()352512222i i iz i i i i -===+-+-，所以12z i =-，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限.故选：D.6．已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（ ） A ．25π B ．34π C ．68π D ．100π【答案】B【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为d ==因此其外接球的半径为r =，则其表面积为2=434S r ππ=，故选:B . 7．一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数： 917 966 191 925 271 932 735 458 569 683 431 257 393 627 556 488 812 184 537 989 则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（ ） A ．720B ．310C ．14D ．15【答案】B【解析】20组随机数恰好有两个是1,2,3,4的有191，271，932，393，812，184共6个，因此概率为632010P ==．故选：B ．8．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则sin cos cos a A b A a B-的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,2⎛ ⎝⎭C ．1,22⎛ ⎝⎭D ．1,22⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由2()b a a c =+及余弦定理，可得2cos c a a B -=正弦定理边化角，得sin sin 2sin cos C A A B -=A B C π++=sin()sin 2sin cos B A A A B ∴+-= sin()sin B A A ∴-=ABC 是锐角三角形，B A A ∴-=，即2B A =．02B π<<，2A B ππ<+<， 那么：64A ππ<<则()2sin sin 1=sin (cos cos sin 2a A A Ab A a B B A =∈--故选：C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分． 9．下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ）A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生” 【答案】ABD【解析】在A 中，样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=，事件{}2,4,6M =，事件{}3,6N =，事件{6}MN =， ∴31()62P M ==，21()63P N ==，111()236P MN =⨯=， 即()()()P MN P M P N =，故事件M 与N 相互独立，A 正确.在B 中，根据事件的特点易知，事件M 是否发生对事件发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件，B 正确； 在C 中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C 错误； 在D 中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D 正确.故选：ABD. 10．下列结论正确的有A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件B ．在标准大气压下，水在o 4C 时结冰为随机事件C ．若一组数据1，a ，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为3D ．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6:5:5:4，则应从四年级中抽取80名学生 【答案】AD【解析】A.恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至少有一个红球包含的事件是“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A 正确；B ．在标准大气压下，水在o 4C 时结冰为不可能事件，故B 不正确 C.众数是2，所以2a =，平均数1224944+++=，故C 不正确；D.由条件可知4400806554⨯=+++名学生，故D 正确.故选：AD11．（多选）某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法错误的是（ ）A ．客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧B ．客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分C ．客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度D ．客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同 【答案】ACD【解析】根据雷达图可列表如下：根据表格分析可得A 、C 、D 错误，选项B 正确.故选：ACD.12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，给出下列命题，其中正确的命题为（ ） A ．若A B C >>，则sin sin sin A B C >>； B ．若40,20,25a b B ===︒，则满足条件的ABC 有两个；C ．若0tan tan 1A B <<，则ABC 是钝角三角形；D ．存在角A ，B ，C ，使得tan tan tan tan tan tan A B C A B C <++成立； 【答案】ABC【解析】A.若A B C >>，a b c ∴>>，由正弦定理可得：sin sin sin a b cA B C==，则sin sin sin A B C >>，所以该选项正确；B. 若40a =，20b =，25B =︒，则40sin 2540sin 3020︒<︒=，因此满足条件的ABC 有两个，所以该选项正确；C. 若0tan A <tan 1B <，则tan tan tan tan()01tan tan A BC A B A B +-=+=>-，tan 0C ∴<，(0,)C π∈，∴(,)2C ππ∈，ABC 是钝角三角形，所以该选项正确； D. 由于当2C π≠时，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+-=+=-，tan A ∴tan B tan tan tan tan C A B C =++，所以该选项不正确.故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为______，75%分位数为________，90%分位数为________． 【答案】3 8 9.5【解析】因为数据个数为10，且已经按照从小到大的顺序排列，又1025% 2.5⨯=，10757.5%⨯=，1090%9⨯=，所以该组数据的25%分位数为33x =，75%分位数为88=x ，90%分位数为9109109.522++==x x ；故答案为：3；8；9.5.14．已知复数1z i =+（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=_________． 【答案】0【解析】由复数1z i =+（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根 所以()()2110i p i q ++++=，即()()20p q p i +++=由复数相等可得020p q q +=⎧⎨+=⎩ ，故0p q +=，故答案为：015．暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.【答案】25【解析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件A ，则其对立事件A 为“暑假期间两人都未外出旅游”，则()11311455P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()321155P A P A =-=-=.故答案为：25. 16．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三梭柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”111ABC A B C -，其中1,1AC BC AA AC ⊥==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积为13时，则“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为_________．【解析】由已知得111111, 1.33B A ACC V BC BC -=⨯⨯⋅=∴= 将三棱柱111ABC A B C -置于长方体中，如下图所示，此时“塹堵”即三棱柱111ABC A B C -的外接球的直径为1A B ==∴三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为34322V π⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量12a b ==，．（1）若a 与b 的夹角为3π，求2+a b ；（2）若+a b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．【答案】（1）（2）23π. 【解析】 (1)cos=13a b a b π⋅=⋅，∴2222(2)44=23a b a b a a b b +=+=+⋅+.(2) )a b a +⊥（，)=0a b a ∴+⋅（，即2=1a a b =-⋅，即1a b ⋅=-，1cos =2a ba b a b⋅∴=-⋅，，又[]0a b π∈，，，所以a 与b 的夹角为23π. 18．实数m 分别取什么数值时，复数()2=+2(1)z m m m i -+-满足下列条件：（1）纯虚数；（2）对应的点在第一象限内． 【答案】（1）2-；（2）1m .【解析】（1）若z 为纯虚数，则22010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得=2m -．（2）z 对应的点为()22,1m m m +--在第一象限，则22>01>0m m m ⎧+-⎨-⎩，解得1m ．19．2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展.某主打线上零售产品的企业随机抽取了50名销售员，统计了其2020年的月均销售额（单位：万元），将数据按照[12,14),[14,16),,[22,24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.已知[14,16)组的频数比[12,14)组多4.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值. 【解析】（1）由题意得(0.120.140.100.04)215025024a b b a +++++⨯=⎧⎨⨯⨯-⨯⨯=⎩，解得0.03a =，0.07b =.（2）设应该制定的月销售冲刺目标值为x 万元，则在频率分布直方图中x 右边的面积为10.80.2-=. 最后一组的面积是0.0420.08⨯=，最后两组的面积之和为0.1020.0420.28⨯+⨯=. 因为0.080.20.28<<，所以x 位于倒数第二组， 则(22)0.100.080.2x -⨯+=，解得20.8x =. 所以该企业的月销售冲刺目标值应该定为20.8万元.20．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ （3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.【解析】（1）苹果的重量在[)90,95的频率为200.450=； （2）重量在[)80,85的有541515⨯=+（个）； （3）设这4个苹果中重量在[)80,85的有1个，记为1；重量在[)90,95的有3个，分别记为2,3,4； 从中任取两个，可能的情况有：()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6种，设任取2个，重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有()()()1,2,1,3,1,4共3种， 所以31()62P A ==. 21．已知四边形,2,60,30ABCD AB AD BAD BCD ==∠=∠=．现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，AD CD ⊥．点P 为线段的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）求证：BP ⊥平面ACD ；（2）若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值． 【解析】()1,60AB AD BAD =∠=︒，ABD ∴为等边三角形，P 为AD 中点．,BP AD ∴⊥取BD 中点E ﹐连接,AE 则AE BD ⊥，平面ABD ⊥平面,BCD 平面ABD ⋂平面,BCD BD =AE ∴⊥平面,BCD ,AE CD ∴⊥ 又,CD AD AD AE A ⊥⋂=，CD 平面,ABDBP ⊂平面,ABD ,CD BP ∴⊥又,CD AD D ⋂=且,BP AD ⊥ BP ∴⊥平面ACD .()2由()1可知CD BD ⊥，30BCD ∠=，所以4DC BC ==，作PH BD ⊥于H ，连接BM ，因为AE ⊥平面,BCD 所以PH ⊥平面,BCD 又点P 为线段的中点，所以12PH AE ==又M 为CD 的中点，所以122BCMS=⨯=1113322P BCM BCMV PH S -=⨯⨯=⨯=，在PBC 中，4,BP BC PC ==222+BC BP PC =，所以BP PC ⊥，所以122BCPS==，设点M 到面PCB 的距离为h ，P BCM M BCP V V --=，所以1132P BCM M BCP V V h --==⨯=，解得h =又2PM ==，设MP 与平面BPC 所成角为θ，所以13sin 2θ==所以MP 与平面BPC 所成角的正弦值2622．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD ，BE 为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道，2,,8km 34BCD BAE CBD CD DE ππ∠=∠=∠===．（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度； ①712∠=CDE π；①3cos 5DBE ∠=（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（即+BA AE 最大），最长值为多少？【解析】（1）在BCD △中，由正弦定理知sin sin BD CD BCD CBD =∠∠，2sin sin 34BD π∴=6BD =， 选∴：2,34BCD CBD ππ∠=∠=，2()()3412BDC BCD CBD πππππ∴∠=-∠+∠=-+=， 712122BDE CDE BDC πππ∴∠=∠-∠=-=， 在Rt BDE ∆中，10BE ==；若选∴，在BDE 中，由余弦定理知cos DBE ∠= 2222BD BE DE BD BE +-⋅，222368526BE BE+-∴=⨯⨯，化简得2536BE BE --1400=，解得10BE =或145-（舍负）， 故服务通道BE 的长度 10BE =；（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos BE BA AE BA AE BAE =+-⋅⋅∠， 22100BA AE BA AE ∴=++⋅，2()100BA AE BA AE ∴+-⋅=，即22()()1004BA AE BA AE BA AE ++-=⋅≤，当且仅当BA AE =时，等号成立，此时23()1004BA AE +=，+BA AE．。

高一数学必修2期末试题与答案解析参考公式：圆台的表面积公式：〔分别为圆台的上、下底面半径，为母线长〕 柱体、椎体、台体的体积公式：为底面积，为柱体高〕为底面积，为椎体高〕 分别为上、下底面面积，为台体高〕 一、选择题1. 下列几何体中是棱柱的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2. 如图所示，正方体的棱长为1，点A 是其一棱的中点，则点A 在空间直角坐标系中的坐标是A 、B 、C 、D 、 3. 如图所示，长方体中，°，则与所成的角是A 、60°B 、90°()22''S r r r l rl π=+++'r r 、l =(V Sh S 柱体h 1=(3V Sh S 椎体h ()1=''3V S S S S h 台体(',S Sh 11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -130BAB ∠=1C D 1B BC 、30°D 、45°4. 下列直线中，与直线的相交的是A 、B 、C 、D 、5. 在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则A 、点必在直线上B 、点必在直线上C 、点必在平面外D 、点必在平面内6. 已知直线，给出以下四个命题：①若平面平面，则直线平面；②若直线平面，则平面平面；③若直线不平行于平面，则平面不平行于平面。

其中正确的命题是A 、②B 、③C 、①②D 、①③7. 已知直线与直线垂直，则实数的值等于A 、B 、C 、D 、 8. 如图所示，已知平面，则图中互相垂直的平面有A 、3对B 、2对C 、1对D 、0对9. 已知是圆的弦的中点，则弦所在的直线的方程是A 、B 、C 、 3D 、 10x y +-=226x y +=0x y +=3y x =--1y x =-ABCD AB BC CD DA 、、、EFGH 、、、EH FG 、P P AC P BD P DBC P ABC a α⊂//αβ//a β//a β//αβa βαβ()110a a x y -+-=210x ay ++=a 123210,230,2AB ⊥,BCD BC CD ⊥()2,1P -()22125x y -+=AB AB 30x y --=10x y +-=230x y +-=250x y --=10. 已知直线都是正数〕与圆相切，则以为三边长的三角形A 、是锐角三角形B 、是直角三角形C 、是钝角三角形D 、不存在二、填空题11. 直线与直线的交点坐标是。

(A)（B ） (C) (D)图１ 高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级：______________：______________一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） (A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32（B ）35(C) 32 (D)322 4．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )(A)2 （B ） 22 (C)32 (D)425．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短 路径长度是（ ）（A ）4（B ）5 （C ）321- （D ）26图２6．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βα ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） （A ）4± （B ）2± （C ） 22± （D ）2±8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ） (A)531(B)532 (C) 533 (D)534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在空间直角坐标系中，已知)5,2,2(P 、),4,5(z Q 两点之间的距离为7，则z =_______． 10．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．11．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．12．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则公共弦AB 所在直线的直线方程是 ．13．在平面直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．14．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D ­GAC 与三棱锥P ­GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x . (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．数学必修二期末测试题及答案CA一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１C ， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D ， 7B ， 8D.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,26 ； 12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ……………5分由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6），……………7分∴半径22(52)(62)5R -+-=， ……………9分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分 16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，………6分故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分 17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0， 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得NM BD CA16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85. (3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125. ∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45， ∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85.又|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165. 18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ．PMB DN PMB DN PMB MQ MQDN 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊆. …………………4分（2）MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥平面平面又因为底面ABCD 是60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥..PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥………………8分（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面P AD ，所以PMB DH 平面⊥．故DH 是点D 到平面PMB 的距离..55252a a aaDH =⨯=所以点A 到平面PMB 的距离为a 55.………12分。

（4）（3）（1）俯视图俯视图俯视图侧视图侧视图侧视图侧视图正视图正视图 正视图正视图（2）俯视图·高一数学（必修二）期末质量检测试题1．若直线l 经过原点和点A （－2；－2）；则它的斜率为（ ） A ．－1B ．1C ．1或－1D ．02．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ） A ．234aB ．233aC ．232aD ．23a3． 如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图；根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台4．经过两点（3；9）、（-1；1）的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．23-B ．32-C ．32 D ．25．已知A （1；0；2）；B （1；,3-1）；点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等；则M 点坐标为（ ）A ．（3-；0；0）B ．（0；3-；0）C ．（0；0；3-）D ．（0；0；3）6．如果AC ＜0；BC ＜0；那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知圆心为C （6；5）；且过点B （3；6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-=D ．22(5)(6)10x y +++=8．在右图的正方体中；M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点；则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．90°D ． 60°9．给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个10．点),(00y x P 在圆222r y x =+内；则直线200r y y x x =+和已知圆的公共点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定二、填空题（每题4分；共20分）111．已知原点O （0；0）；则点O 到直线x+y+2=0的距离等于 ．12．经过两圆922=+y x 和8)3()4(22=+++y x 的交点的直线方程 13．过点（1；2）；且在两坐标轴上截距相等的直线方程 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和它们的高都与某一个球的直径相等；这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．15．已知两条不同直线m 、l ；两个不同平面α、β；给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线；则l ⊥α； ②若l ∥α；则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α；l ⊂β且l ⊥m ；则α⊥β； ④若l ⊂β；α⊥l ；则α⊥β；⑤若m ⊂α；l ⊂β且α∥β；则m ∥l ；其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题（5道题；共40分）16．（本大题6分）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖）；它的母线长为50cm ；两底面直径分别为40 cm 和30 cm ；现有制作这种纸篓的塑料制品50m 2；问最多可以做这种纸篓多少个？17．（本大题8分）求经过直线L 1：3x + 4y – 5 = 0与直线L 2：2x – 3y + 8 = 0的交点M ；且满足下列条件的直线方程M（1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；18．（本大题8分）求圆心在03:1=-x y l 上；与x 轴相切；且被直线0:2=-y x l 截得弦长为72的圆的方程．19. （本大题8分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中；E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. （1）.证明:;1F D AD ⊥ (2). 求AE 与D 1F 所成的角;ED 1C 1B 1A 1(3). 设AA 1=2；求点F 到平面A 1ED 1的距离.20．（本大题10分）已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆；求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ；N 两点；且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m的值；（3）在（2）的条件下；求以MN 为直径的圆的方程.参考答案一、选择题：二、填空题：11．212． 4 x+3y+13=0 13．3,2+==x y x y 14．3：1：2．15． ①④ 三、 解答题：16．解：)('2'rl l r r S ++=π-----------1分=)5020501515(2⨯+⨯+π)(2m π----------3分≈=Sn 5080（个）-------5分 答：（略）--------6分17．解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x --------2分所以交点（-1；2） （1）2-=k -----3分直线方程为02=+y x --------5分 （2）21=k ---------6分 直线方程为052=+-y x --------8分 18．解：由已知设圆心为（a a 3,）--------1分与x 轴相切则a r 3=---------2分圆心到直线的距离22a d =----------3分弦长为72得：229247a a =+-------4分 解得1±=a ---------5分圆心为（1；3）或（-1；-3）；3=r -----------6分 圆的方程为9)3()1(22=-+-y x ---------7分或9)3()1(22=+++y x ----------8分19.证明：（1）. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1； C C DD AD 11面⊥∴；C C DD F D 111面⊂；.1F D AD ⊥∴ -------------------2分(2) 取AB 的中点；并连接A 1P ； 易证ABE AP A ∆≅∆1； 可证;AE P A ⊥1；即F D AE 1⊥；所以AE 与D 1F 所成的角为.90︒-------------------4分(3) 取CC 1中点Q ； 连接FQ ；11//D A FQ 又作FQD A FH 1平面⊥； 又 111,,A FQD FH FQ FH Q D FH 平面⊥∴⊥⊥；所以FH 即为F 到平面FQD 1A 1的距离； -------------------6分 解得:,553=FH 所以F 点到平面A 1ED 1的距离为.553-------------------8分20．解：（1）04222=+--+m y x y x D=-2；E=-4；F=mF E D 422-+=20-m 40>5<m …………2分（2）⎩⎨⎧=+--+=-+04204222m y x y x y x y x 24-=代入得 081652=++-m y y ………..3分51621=+y y ；5821my y += ……………4分 ∵OM ⊥ON得出：02121=+y y x x ……………5分 ∴016)(852121=++-y y y y ∴58=m …………….7分 （3）设圆心为),(b a582,5421121=+==+=y y b x x a …………….8分 半径554=r …………9分 圆的方程516)58()54(22=-+-y x ……………10分。

高中数学必修二期末测试题一一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。

）1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为（）图（1）A B C D2、直线l:3x y30的倾斜角为（）A、30；B、60；C、120；D、150。

3、边长为a正四面体的表面积是（）A、343a；B、3123a；C、342a；D、23a。

4、对于直线l:3x y60的截距，下列说法正确的是（）A、在y轴上的截距是6；B、在x轴上的截距是6；C、在x轴上的截距是3；D、在y轴上的截距是3。

5、已知a//,b，则直线a与直线b的位置关系是（）A、平行；B、相交或异面；C、异面；D、平行或异面。

6、已知两条直线l1:x2ay10,l2:x4y0，且l1//l2，则满足条件a的值为（）A、12；B、12；C、2；D、2。

7、在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。

若AC BD a，且AC与BD所成的角为60，则四边形EFGH的面积为（）A、382a；B、342a；C、322a；D、23a。

学习好帮手8、已知圆22C:x y2x6y0，则圆心P及半径r分别为（）A、圆心P1,3，半径r10；B、圆心P1,3，半径r10；C、圆心P1,3，半径r10；D、圆心P1,3，半径r10。

9、下列叙述中错误的是（）A、若P且l，则P l；B、三点A,B,C确定一个平面；C、若直线a b A，则直线a与b能够确定一个平面；D、若A l,B l且A,B，则l。

10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A、两条平行直线；B、一点和一条直线；C、两条相交直线；D、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A、25；B、50；C、125；D、都不对。

12、四面体P ABC中，若PA PB PC，则点P在平面ABC内的射影点O是ABC的（）A、外心；B、内心；C、垂心；D、重心。

高中第一学期期末教学模块测试高一数学（必修2）试题参考公式：1)2S c c h ''+正棱台或圆台侧＝（； S ch 正棱柱或圆柱侧＝；12S ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝； 13V S S S S h 下下台体上上＝（＋＋）；V sh 柱体＝； V sh 锥体1＝3； 343V R π球＝第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前；考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分。

在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的。

1．图为某物体的实物图；则其俯视图为（ ）2.若直线l 只经过第一、二、四象限；则直线l 的斜率k （ ）A. 大于零B.小于零 D. 大于零或小于零 D. 以上结论都有可能 3.在空间直角坐标系中Q(1；4；2)到坐标原点的距离为A.21B. 21C.3D. 74、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A B C D5．四面体A BCD，，两两互相垂直；则顶点A在底面BCD上的-中；棱AB AC AD投影H为BCD△的（）Ａ．垂心Ｂ．重心Ｃ．外心Ｄ．内心6．一个正方体的顶点都在球面上；它的棱长为2cm；则球的表面积是（）Ａ．220πcm8πcmＢ．212πcmＣ．22πcmＤ．27.一束光线从点A(－1；1)出发经x轴反射；到达圆C: (x－2)2+(y－2)2=1上一点的最短路程是A. 4B. 5C. 32－8．如下图；都不是正四面体的表面展开图的是（）Ａ．①⑥Ｂ．④⑤Ｃ．③④Ｄ．④⑥9．已知点(,2)(0)-+=的距离为1；则a等于（）a a>到直线:30l x yＡ．2Ｂ．22-Ｃ．21+-Ｄ．1210．在平面直角坐标系中；直线(32)3x y+-=的位置关-+=和直线(23)2x y系是（）Ａ．相交但不垂直Ｂ．垂直Ｃ．平行Ｄ．重合11．圆：22460+-=交于A Bx y x yx y x+-+=和圆：2260，两点；则AB的垂直平分线的方程是（）Ａ．30--=x y++=Ｂ．250x yＣ．390x y --= Ｄ．4370x y -+=12．过点(01)-，）的直线l 与半圆22:430(0)C x y x y +-+=≥有且只有一个交点；则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） Ａ．0k =或43k = Ｂ．113k <≤ Ｃ．43k =或113k <≤Ｄ．43k =或113k ≤≤二、填空题：本大题共6小题；每小题5分；共30分。

期末考测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·浙江)如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．2+B ．8C ．6D ．2+【答案】B【解析】由题意O B ''OABC 中，1OA BC ==，OB =OB OA ⊥，所以3OC AB ==， 所以四边形的周长为：2(13)8⨯+=． 故选：B ．2．(2021·全国· 专题练习 )复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【解析】化简可得21z i =-()()()21111i i i i +==+-+，∴21i-的共轭复数1z i =-，故选：B ． 3．(2021·黑龙江·哈尔滨三中高一月考)如图，向量AB a =，AC b =，CD c =，则向量BD 可以表示为( )A ．a b c +-B ．a b c -+C ．b a c -+D ．b a c --【答案】C【解析】依题意BD AD AB AC CD AB =-=+-，即BD b a c =-+，故选：C.4．(2021·全国·专题练习)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是说：“有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面．问水有多深？芦苇多长？”该题所求的水深为( ) A ．12尺 B ．10尺 C ．9尺 D ．14尺【答案】A【解析】设水深为x 尺，依题意得()22215x x +-=，解得12x =．因此，水深为12尺.故选：A.5．(2021·内蒙古·集宁一中)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，cC =A ．π12 B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC ，∵sinB+sinA(sinC ﹣cosC)=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0，∴cosA=﹣sinA ，∴tanA=﹣1， ∵π2＜A ＜π，∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=，∵a=2，sinC=sin c A a=12=22 ， ∵a ＞c ，∴C=π6，故选B ．6．(2021·浙江·高一期末)设非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b >【答案】A【解析】由a b a b +=-平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅=，则a b ⊥，故选A.7．(2021·上海市金山中学高一期末)设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==则2b 2c bc ++的取值范围为( ) A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9] D ．(7，9]【答案】D 【解析】因为,3A a π==由正弦定理可得22sin sin sin 3ab c AB B π===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则有22sin ,2sin 3b B c B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 由ABC 的内角,,A B C 为锐角，可得0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，512sin 2124sin 2462666266B B B B πππππππ⎛⎫⎛⎫∴<<⇒<-<⇒<-≤⇒<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由余弦定理可得222222cos 3,a b c bc A b c bc =+-⇒=+- 因此有2223b c bc bc ++=+ 28sin sin 33B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 3BB B =++ 22cos 25B B =-+(]54sin 27,96B π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭故选：D.8．(2021·北京·清华附中 )如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -满足12AB AA =，点E 在线段1DD 上移动，F 点在线段1BB 上移动，并且满足1DE FB =.则下列结论中正确的是( )A ．直线1AC 与直线EF 可能异面B ．直线EF 与直线AC 所成角随着E 点位置的变化而变化 C ．三角形AEF 可能是钝角三角形D ．四棱锥A CEF -的体积保持不变 【答案】D【解析】如图所示，连接有关线段.设M ,N 为AC ,A 1C 1的中点，即为上下底面的中心，MN 的中点为O ,则AC 1的中点也是O ,又∵DE =B 1F ,由对称性可得O 也是EF 的中点，所以AC 1与EF 交于点O ,故不是异面直线，故A 错误；由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得AC ⊥平面11BB D D ， 因为EF ⊂平面11BB D D ，∴,AC EF ⊥故B 错误； 设AB a ,则12AA a =,设1,02DE B F x x a ==<<, 易得()22222222,254,AE a x AF a a x a ax x =+=+-=-+ ()22222222684,EF a a x a ax x =+-=-+因为()222242220,AE AF EF ax x x a x +-=-=->EAF ∴∠为锐角；因为()22222224220,AE EF AF a ax x a x +-=-+=->AEF ∴∠为锐角，因为2222210124,AF EF AE a ax x +-=-+ 当3x 2a =时取得最小值为2222101890,a a a a -+=> AFE ∴∠为锐角，故△AEF 为锐角三角形，故C 错误； 三棱锥A -EFC 也可以看做F -AOC 和E -AOC 的组合体， 由于△AOB 是固定的，E ,F 到平面AOC 的距离是不变的 (∵易知BB 1，DD 1平行与平面ACC 1A 1)，故体积不变， 故D 正确. 故选：D.二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·湖南·临澧县第一中学高一期末)设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是( )A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =(z 为z 的共轭复数)的充要条件D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 【答案】ACD【解析】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确 故选：ACD10．(2021·江苏南京·高一期末)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =3c =，3A C π+=，则下列结论正确的是( )A ．cos C =B ．sin B =C ．3a =D ．ABCS=【答案】AD【解析】3A C π+=，故2B C =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，即32sin cos C C C =⨯，sin 0C ≠，故cos C =，sin C =sin sin 22sin cos 3B C C C ===2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，若3a =，故4A C π==，故2B π=，不满足，故1a =.11sin 122ABC S ab C ==⨯⨯△故选：AD .11．(2021·安徽黄山·高一期末)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是( ) 甲地：总体平均数3x ≤，且中位数为0； 乙地：总体平均数为2，且标准差2s ≤； 丙地：总体平均数3x ≤，且极差2≤c ； 丁地：众数为1，且极差4c ≤． A ．甲地 B ．乙地C ．丙地D ．丁地【答案】CD【解析】甲地：满足总体平均数3x ≤，且中位数为0，举例7天的新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，则不符合该标志；乙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差2s =，但不符合该标志；丙地：由极差2≤c 可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人， 那么总体平均数3x ≤就不正确，故每天新增疑似病例低于5人，故丙地符合该标志； 丁地：因为众数为1，且极差4c ≤，所以新增疑似病例的最大值5≤，所以丁地符合该标志. 故选：CD12．(2021·河北易县中学高一月考)已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则以下四个命题正确的有( ) A ．当5,7,60a b A ===︒时，满足条件的三角形共有1个B．若sin :sin :sin 3:5:7A B C =则这个三角形的最大角是120 C ．若222a b c +>，则ABC 为锐角三角形 D ．若4Cπ，22a c bc -=，则ABC 为等腰直角三角形【答案】BD【解析】对于Ａ，7sin 2sin 15b AB a===>，无解，故A 错误； 对于B,根据已知条件，由正弦定理得：::3:5:7a b c =,不妨令3a =,则5,7b c ==,最大角C 的余弦值为：222925491cos 2302a b c C ab +-+-===-,∴120C =︒，故B 正确；对于C ，由条件，结合余弦定理只能得到cos 0C >,即角C 为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C 错误；对于D,2222 cos cos 2224a b c b bc b c C ab ab a π+-++=====,得到b c+=, 又()2222,,a c bc a bc c c b c -=∴=+=+=a∴=,sin 1,42A C A ππ∴===∴=,ABC ∴为等腰直角三角形，故D 正确.故选：BD.三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期末)2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x (单位：十万只)，若这组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为1.44，且21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.【答案】1.6【解析】依题意，得22212520x x x +++=.设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ， 根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦.()()2222125125257.2x x x x x x x x ∴+++-++++=，即22201057.2x x -+=， 1.6x ∴=.故答案为：1.614．(2021·江苏省海头高级中学高二月考)设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______. 【答案】6【解析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=，所以复数对应的点的轨迹为(3,4)为圆心半径为1的圆，所以z 1516=+=.故答案为615．(2021·全国·高一单元测试)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________. ①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：④()1P C E =；⑤()()P B P C =.【答案】①④【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件A = “取出的两球同色”， B = “取出的2球中至少有一个黄球”，C = “取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E = “取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得A 与D 为对立事件，故①正确；②，B 与C 有可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件，故②错误； ③，C 与E 有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，P (C)631=155=-，P (E)1415=，8()15P CE =，从而()P C E P =(C)P +(E)()1P CE -=，故④正确； ⑤，C B ≠，从而P (B)P ≠(C)，故⑤错误． 故答案为：①④．16．(2021·江苏省如皋中学高一月考)已知三棱锥O ABC -中，,,A B C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ︒∠=，且三棱锥O ABC -O 的表面积为________.【答案】52π【解析】ABC 的面积122sin12032ABCS=⨯⨯= 设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则1133O ABC ABCV Sh -===3h =， 在ABC 中，由余弦定理2222cos1208412AC AB BC AB BC =+-⋅=+=，∴=AC 设ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理 则2sin120ACr =，解得2r，设球的半径为R ，则22213R r h =+=， 所以球O 的表面积为2452S R ππ==. 故答案为：52π四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·山西·长治市潞城区第一中学校高一月考)已知复数z 使得2z i R +∈，2zR i∈-，其中i 是虚数单位.(1)求复数z 的共轭复数z ；(2)若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)42i +；(2)()2,2-.【解析】(1)设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++ ∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--，∴4x =综上，有42z i =-∴42z i =+ (2)∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<<故，实数m 的取值范围是()2,2-18．(2021·江西省靖安中学)某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】(1)频率为：0.08；平均分为102；(2)25.【解析】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为： 700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1300.081400.04102+⨯+⨯=.(2)样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 19．(2021·河南·辉县市第一高级中学高一月考)已知三棱柱111ABC A B C -(如图所示)，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧棱1CC ⊥底面ABC ，14CC =，E 为11B C 的中点.(1)若G 为11A B 的中点，求证：1C G ⊥平面11A B BA ；(2)证明：1//AC 平面1A EB ；(3)求三棱锥1A EBA -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】(1)连接1C G ，由1CC ⊥底面ABC ，且11//CC BB ，可得1BB ⊥底面111A B C ， 又由1C G ⊂底面111A B C ，所以11C G B B ⊥，又因为G 为正111A B C △边11A B 的中点，所以111C G A B ⊥，因为1111A B BB B =，且111,A B BB ⊂平面11A B BA ，所以1C G ⊥平面11A B BA .(2)连接1B A 交1A B 与G ，则O 为1A B 的中点，连接EO ，则1//EO AC .因为EO ⊂平面1EA B ，1AC ⊄平面1EA B ，所以1//AC 平面1EA B .(2)因为11A A BE E ABA V V --=，11142ABA S AB AA =⨯⨯=△.取1GB 的中点F ，连接EF ，则1//EF C G ，可得EF ⊥平面11A B BA ，即EF 为三棱锥1E ABA -的高，112EF C G ===，三棱锥1A EBA -的体积11111433A A BE E ABA ABA V V S EF --==⨯=⨯=△20．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)已知1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+，12e e BE λ=-+，122EC e e =-+，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若()12,1e =，()22,2e =-，求BC 的坐标；(3)已知()3,5D ，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．【答案】(1)32λ=-(2)(7,2)--(3)()10,7. 【解析】(1)()()()12121221AE AB BE e e e e e e λλ=+=++-+=++．因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE k EC =，即()()121212e e k e e λ++=-+，得()1212(1)k e k e λ+=--．因为1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量， 所以12010k k λ+=⎧⎨--=⎩解得12k =-，32λ=-． (2)()()()121212136,31,17222,32B e BE EC e C e e e e ++=--=-+=--=--=---． (3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD BC =．设(),A x y ，则()3,5AD x y =--，因为()7,2BC =--，所以3752x x -=-⎧⎨-=-⎩解得107x y =⎧⎨=⎩ 即点A 的坐标为()10,7．21．(2021·安徽师大附属外国语学校高一月考)在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A =(1)若3,a b ==c ；(2)求cos cos a C c A b-的取值范围. 【答案】(1)2c =；(2)()1,1-.【解析】(1)由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=， 由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos 3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角(舍)，故2c =符合.(2)由(1)得3B π=， 所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 23A π⎛⎫-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c A b-∴-<<，故cos cos a C c A b-的取值范围是()1,1-. 22．(2021·全国·高一课时练习)如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD △为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD E F ，、分别是AD CD 、的中点.(1)证明：BD PF ⊥；(2)若M 是棱PB 上一点，三棱锥M PAD -与三棱锥P DEF -的体积相等，求M 点的位置.【答案】(1)证明见解析；(2)M 点在PB 上靠近P 点的四等分点处.【解析】(1)连接AC PA PD =，且E 是AD 的中点，PE AD ⊥∴.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD PE =⊂，平面PAD .PE ∴⊥平面ABCD BD ⊂，平面ABCD BD PE ∴⊥，. 又ABCD 为菱形，且E F 、分别为棱AD CD 、的中点，//EF AC ∴.BD AC BD EF ⊥∴⊥，，又BD PE PE EF E BD ⊥⋂=∴⊥，，平面PEF ；PF ∴⊂平面PEF BD PF ∴⊥，. (2)如图，连接MA MD 、， 设PM MBλ=，则1PM PB λλ=+， 11M PAD B PAD P ABD V V V λλλλ---∴==++， 14DEF DAC S S =△△，则1144P DEF P ACD P ABD V V V ---==，又M PAD P DEF V V --=. 114λλ∴=+. 解得13λ=，即M 点在PB 上靠近P 点的四等分点处.。

高高高高高高高高高高-高高高高高高高A高高2019高高高高高高高高高高高高高高高一、单选题1. 已知i 为虚数单位，纯虚数z 满足(z +a)i =1+i ，则实数a =( )A. −1B. 1C. 0D. 22. 如图，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的周长为( )A. 2√2B. 6C. 8D. 4√2+23. 在△ABC 中，已知B =120°，AC =√19，AB =2，则BC =( )A. 1B. √2C. √5D. 34. 已知两个单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，向量m ⃗⃗⃗ =t e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ (t <0)，则( )A. |m ⃗⃗⃗ |t 的最大值为−√32 B. |m ⃗⃗⃗ |t 的最小值为−2 C. |m ⃗⃗⃗ |t 的最小值为−√32D. |m ⃗⃗⃗ |t的最大值为−2 5. 已知在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=√2AB ，M 是CC 1的中点，则( )A. 直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为√22B. 直线AM 与直线A 1B 1所成角的余弦值为√55C. AM ⊥A 1BD. 直线BM//平面AD 1C 16. 在△ABC 中，点D 在直线AC 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 在直线BD 上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ1+λ2=( ) A. 0B. 12C. 79D. 897. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，AP =3，BC =6，则三棱锥外接球的表面积为( )A. 57πB. 63πC. 45πD. 84π8. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是( )A. 成绩在[70,80)分的考生人数最多B. 不及格的考生人数为1000人C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D. 考生竞赛成绩的中位数为75分9. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =4，AC =3，BC =5，AA 1=6，D 为CC 1中点，E 为BB 1上一点，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠A 1AC =60°，M 为平面AA 1C 1C 上一点，且BM//平面ADE ，则点M 的轨迹的长度为( )A. 1B. √2C. √3D. 210. 已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,16)C. (9,21)D. (15,25)二、多选题11. 如图，棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为线段AB 1上的动点(含端点)，则下列结论正确的是( )A. 平面BCM ⊥平面A 1AB 1B. 三棱锥B −MB 1C 体积最大值为16C. 当M 为AB 1中点时，直线B 1D 与直线CM 所成的角的余弦值为√23D. 直线CM 与A 1D 所成的角不可能是π412. 已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )A. i +i 2+i 3+i 4=0B. 3+i >1+iC. 若z =(1+2i)2，则复平面内z −对应的点位于第四象限D. 已知复数z 满足|z −1|=|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线13. 已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且∠C =π3，c =2. ( )A. △ABC 面积的最大值为√3B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2+4√33C. cosBcosA 的取值范围为(−2,+∞)D. bcosA +acosB =√214. 已知图1中的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，体积为2√2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是( )A. A 2B 2//平面ABCB. AB 2=2√63C. 四边形ABA 2B 2为正方形D. 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1与几何体ABCA 2B 2C 2的外接球的体积相等三、填空题15. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，若c ⃗ =3a ⃗ +4b⃗ ，则c ⃗ 与b ⃗ 所成角的余弦值为______ ． 16. 已知复数z 满足z =z+10i 3i，则z 的共轭复数z −的虚部______ ．17. 《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.现有如图所示的“堑堵”ABC −A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，AA 1=AC =1，当“阳马”四棱锥B −A 1ACC 1体积为13时，则“堑堵”即三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的体积为______ ．18. 两个正实数a ，b 满足3a +b =1，则满足1a +3b ≥m 2−m 恒成立的m 取值范围为 ．19. 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m >n.则m +n =____． 四、解答题20. (1)计算(1+i1−i )2021+(2−3i)(1+4i)；(2)设复数z 1=2+ai ，z 2=b −4i.(其中a ，b ∈R)，若z 1z 2是纯虚数，且z 1+z 2在复平面内对应的点在直线x +y −1=0上，求|z 1z 2|.21. 已知|a ⃗ |=5，|b ⃗ |=4， (1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ=120°．①求a ⃗ ·b ⃗ ； ②求a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量． (2)若a ⃗ // b ⃗ ，求a ⃗ ·b⃗ ．22. 在复平面内，O 是原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为2+icosx ，(2+√3sinx)+i(2+cosx)，i 是虚数单位设函数f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数y =f(x)−m 在区间[0,π2]上有2个零点，求实数m 的取值范围．23. 在①m ⃗⃗⃗ =(a +b,c −a)，n⃗ =(a −b,c)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，②2a −c =2bcosC ，，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______． (1)求角B ； (2)若b =4，求△ABC 周长的最大值．24. 已知四边形ABCD ，AB =AD =2，∠BAD =60°，∠BCD =30°.现将△ABD 沿BD边折起使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD ⊥CD.点P 为线段AD 的中点． (1)求证：BP ⊥平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值．25. 2020年初，世界各地相继爆发了“新冠肺炎”疫情，其最大特点是人传人，传播快，传播广，对人类生命形成巨大危害．而通过佩戴口罩可以防止外界的气体、飞沫进入口鼻呼吸道中，有效地降低病毒传染几率．若在某公共场合不戴口罩被感染的概率是12，戴口罩被感染的概率是110，现有在该公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊五人，每个人是否被感染相互独立． (1)若五人都不戴口罩，求其中恰有两人被感染的概率； (2)若五人中有3人戴口罩，求其中恰有两人被感染的概率；(3)分别计算戴口罩和不戴口罩五人全部感染“新冠肺炎”的概率，并得出你的结论．26. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ABCD ⊥平面CDEF ，四边形CDEF 是边长为2的正方形，四边形ABCD 是直角梯形，其中BC//AD ，BC ⊥CD ，且BC =CD =12AD ．(1)证明：BE ⊥DF ；(2)求平面ABF 与平面CDEF 所成的锐二面角的余弦值．答案和解析一．单选题1.【答案】B【解析】解：设纯虚数z=bi，b∈R，则(z+a)i=1+i可化为bi2+ai=1+i，即(−b−1)+(a−1)i=0，所以a−1=0，解得a=1．故选：B．可设纯虚数z=bi，b∈R，代入方程利用复数相等求出a的值．本题考查了纯虚数的定义与复数相等的概念和应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，∴原图形为平行四边形，一组对边长为1，另一组对边长为√(2√2)2+1=3，∴原图形的周长为2(1+3)=8．故选：C．根据四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，可得原图形为平行四边形，一组对边长为1，另一组对边长为√(2√2)2+1=3，即可求出原图形的周长．本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．3.【答案】D【解析】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19=a2+4−2×a×2×cos120°，即a2+2a−15=0，解得a=3(a=−5舍去)，所以BC=3．故选：D．设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题．4.【答案】A【解析】解：因为t <0，所以|m|t=√(te 1+2e 2)2t=√t2+4te 1⋅e 2+4t=√t 2+2t+4t=−√t 2+2t+4t 2=−√(2t +12)2+34，当2t =−12，即t =−4时，|m|t取得最大值，且最大值为−√32．故选：A ． 利用|m|t=√(te 1+2e 2)2t=√t 2+4te 1⋅e 2+4t=√t 2+2t+4t=−√t 2+2t+4t 2=−√(2t +12)2+34，即可求解．本题考查了平面向量的模运算，考查了函数思想，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：不妨设AB =2，对于A ，直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为MC AC=√22√2=12≠√22，所以A 错；对于B ，取A 1A 中点N ，连接NC 1、ND 1，因为A 1B 1//C 1D 1，AM//NC 1， 所以直线AM 与直线A 1B 1所成角的余弦值为cos∠NC 1D 1=C 1D 1NC 1=√10≠√55，所以B 错；对于C ，取C 1D 1中点P ，连接MP 、CD 1，PM//CD 1，CD 1//A 1B ，所以PM//A 1B ， 连接AP 、AD 1，AD 1=√12，AP =√13，AM =√10，PM =√3， 所以AP 2=PM 2+AM 2，所以PM ⊥AM ，所以AM ⊥A 1B ，所以C 对； 对于D ，因为BM ∩平面AD 1C 1=B ，所以BM//平面AD 1C 1不成立，所以D 错． 故选：C ．A 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值判断；B 求AM 与直线A 1B 1所成角的余弦值判断；C 用勾股定理逆定理判断；D 直线BM 与平面AD 1C 1相交于B ．本题以命题真假判断为载体，考查了异面直线成角问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由三角形法则得：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32[−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ1+λ2=1−12=12， 故选：B ．根据三角形法则表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，将BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，确定出λ1与λ2的值，即可求出所求式子的值．此题考查了平面向量的基本定理及其意义，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．7.【答案】C【解析】解：如图，∵PA ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，∴AB 、AC 、AP 两两互相垂直，把三棱锥P −ABC 变形为长方体，则长方体的外接球即三棱锥P −ABC 的外接球， 长方体的对角线长为√PA 2+AB 2+AC 2=√PA 2+BC 2=√9+36=√45， ∴三棱锥外接球的表面积为4π×(√452)2=45π．故选：C ．由题意可知，AB 、AC 、AP 两两互相垂直，把三棱锥P −ABC 变形为长方体，则长方体的外接球即三棱锥P −ABC 的外接球，求出长方体的对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法，是中档题．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查频率分布直方图和平均数、中位数、众数的计算，属基础题． 逐项进行分析判断即可得到答案． 【解答】解：通过频率分布直方图可看到成绩在70分∼80分的人的比重最大，所以人数也最多，所以A 正确；不及格的人数为4000×0.025×10=1000人，所以B 正确；根据公式算出平均分为0.01×10×45+0.015×10×55+0.02×10×65+0.03×10×75+0.015×10×85+0.01×10×95=70.5，故C 正确； ∵(0.01+0.015+0.02)×10=0.45<0.5，故中位数在70∼80之间，设为x ，则0.45+x ·0.03=0.5，解得x =53，故中位数是71.67，故D 错误； 故选D ．9.【答案】C【解析】解：由题意得BE =2，CD =3，在CD 上取点M 1，使M 1D =2，M 1C =1，则M 1D//BE 且M 1D =BE ，所以四边形BEDM 1是平行四边形，所以BM 1//DE ． 在AC 上取点M 2，使M 2A =2，M 2C =1，则CM 1M 1D=CM 2M2A=12，所以M 1M 2//AD ． 又BM 1∩M 1M 2=M 1，DE ∩AD =D ，所以平面BM 1M 2//平面ADE ，所以点M 的轨迹就是线段M 1M 2， 在△CM 1M 2中，CM 1=CM 2=1，∠M 1CM 2=120°，由余弦定理得M 1M 2=√BM 12+BM 22−2BM 1⋅BM 2cos120°=√3．M 1M 2=√3， 故选：C ．在CD 上取点M 1，使M 1D =2，M 1C =1，则证明BM 1//DE.在AC 上取点M 2，使M 2A =2，M 2C =1，证明面BM 1M 2//平面ADE ，推出点M 的轨迹就是线段M 1M 2，然后求解即可．本题考查空间中点、线、面的位置关系、直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理、余弦定理，考查空间想象能力，考查直观想象、逻辑推理核心素养．10.【答案】A【解析】 【分析】作出函数f(x)的图象，由图象及对称性可得，x 1x 2=1，x 3+x 4=12，即为x 4=12−x 3，2<x 3<4，代入所求式子，运用二次函数的值域，结合单调性可得所求范围． 本题考查分段函数的运用：求取值范围，考查正弦函数的对称性和应用，以及二次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题． 【解答】解：作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10的图象，存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)， 可得−log 2x 1=log 2x 2，即有x 1x 2=1，且x 3+x 4=2×6=12，即为x 4=12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)=(x 3−2)(10−x 3)=−(x 3−6)2+16，可得在(2,4)递增， 即所求范围为(0,12)． 故选A ． 二．多选题11.【答案】ABC【解析】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， BC ⊥面A 1AM ，BC ⊂面BCM ， ∴面BCM ⊥面A 1AM ， 故选项A 正确；设M 到面BB 1C 的距离为h ，V B−MB 1C =V M−B 1BC =13×12×1×1×ℎ=16ℎ，当M 点运动到线段AB 1的端点A 时，h 最大，且距离为1． ∴三棱锥B −MB 1C 的体积最大值为16， 故选项B 正确；如图，将A 1B 1延长至E ，使A 1B 1=B 1E ，连ME ，CE ，易得B 1D//CE ，∴直线CM 与直线CE 所成角即为直线B 1D 与直线CM 所成的角，即∠MCE ， 易得|MC|=√62，|CE|=√3，|ME|=√102，∴cos∠MCE =|MC|2+|CE|2−|ME|22|MC|⋅|CE|=√23， 故选项C 正确；∵A 1D//B 1C ，∴直线CM 与直线B 1C 所成角就是∠MCB 1，当M 从点B 1沿着线段B 1A 向A 点运动时，∠MCB 1逐渐变大， ∴∠MCB 1max =∠ACB 1=π3>π4，故在点A 和点B 1之间，必定存在一点使得∠MCB 1=π4， 故选项D 错误． 故选：ABC ．A 选项中，直接由正方体的性质证明即可；B 选项中将求体积的最大值转化为求M 到面BB 1C 的距离的最大值即可；C ，D 选项可利用平行四边形的方法，将异面直线夹角转化为求相交直线夹角即可； 本题考查了空间中面面垂直的判定，三棱锥的体积，以及异面直线所成的角，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：对于A ，i +i 2+i 3+i 4=i −1−i +1=0，故A 正确； 对于B ，两个虚数不能进行大小比较，故B 错误；对于C ，z =(1+2i)2=1+4i −4=−3+4i ，z −=−3−4i ， 则复平面内z −对应的点的坐标为(−3,−4)，位于第三象限，故C 错误；对于D ，已知复数z 满足|z −1|=|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹是以(1,0)和(−1,0)为端点的线段的垂直平分线，故D 正确． 故选：AD ．利用虚数单位i 的运算性质判断A ；根据两个虚数不能进行大小比较判断B ；利用复数代数形式的乘除运算化简z 进一步求得z −的坐标判断C ；由复数模的几何意义判断D ． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．13.【答案】AB【解析】解：对于A.因为∠C =π3，c =2，可得4=a 2+b 2−ab ≥2ab −ab =ab ，即ab 的最大值为4，可得△ABC 面积S =12absinC ≤12×4×√32=√3，即△ABC 面积的最大值为√3，当且仅当a =b =2时等号成立，可得A 正确； 对于B.设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R =c sinC=4√33， 可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =bccosA =2bcosA =2×4√33sinBcosA =8√33sinBcosA ，因为B =2π3−A ，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8√33cosAsin(2π3−A)=8√33cosA(√32cosA +12sinA)=4cos 2A +4√33sinAcosA =2(1+cos2A)+2√33sin2A =2√33sin2A +2cos2A +2=4√33(12sin2A +√32cos2A)+2=4√33sin(2A +π3)+2．因为0<A <2π3,0<2A <4π3，所以π3<2A +π3<5π3，则当2A +π3=π2，即：A =π12时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为4√33+2，可得B 正确； 对于C ．cosBcosA=cos(2π3−A)cosA=cos2π3sinA+sin 2π3cosA cosA=−12tanA +√32，而tan A 的取值范围为(0,+∞)∪(−∞,−√3)，所以cosBcosA 的取值范围为(√3,+∞)∪(−∞,√32)，故C 错误；D .若bcosA +acosB =√2，则可得b ⋅b 2+c 2−a 22bc+a ⋅a 2+c 2−b 22ac=√2，可得2c 2=2√2c ，解得c =√2， 由于c =2，故D 错误． 故选：AB ．对于A.由已知利用余弦定理，基本不等式可求ab 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解；对于B.由题意根据正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4√33sin(2A +π3)+2，进而根据正弦函数的性质即可求解；对于C.利用三角函数恒等变换的应用可得cosBcosA=−12tanA +√32，根据正切函数的性质即可求解；对于D.由已知利用余弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正切函数的性质等知识的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．14.【答案】ACD【解析】解：对于A ：因旋转前后，A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2，共面，由棱柱的性质得知：平面A 2B 2C 2//平面ABC ， 从而A 2B 2//平面ABC ，故A 正确；对于B ：因棱柱体积V =S △ABC ⋅AA 1=√34×22⋅AA 1=2√2，解得AA 1=2√63， 设H 为B 2在平面ABC 上的射影， 如图所示：则：点H 在BO 的延长线上，且OH =OB =2√33，又B 2H =OO 2=AA 1=2√63， 从而AH =AO =BO ，所以AB 2=√B 2H 2+AH 2=2，故B 错误；对于C ：因为A 2B 2//A 1B 1//AB ，且A 1B 1=A 2B 2=AB ， 故四边形ABB 2A 2为平行四边形，由对称性可知：AA 2=BB 2，又AB 2=AB =2， 所以四边形ABA 2B 2为正方形，故C 正确；对于D ：因旋转前后正三棱柱ABC −A 1B 1C 1与几何体ABCA 2B 2C 2的外接球都是是以OO 2为直径的球G 上，故球的体积相等，故D 正确． 故选：ACD ．直接利用柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 三．填空题15.【答案】45【解析】解：向量a ⃗ 、b ⃗ 为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，若c ⃗ =3a ⃗ +4b ⃗ ， 设c ⃗ 与b ⃗ 所成角为θ， 则cosθ=c⃗ ⋅b ⃗ |c ⃗ ||b ⃗ |=b ⃗ ⋅(3a ⃗ +4b⃗ )|3a ⃗ +4b⃗ ||b ⃗ |=√9+16×1=45． 故答案为：45．利用向量的数量积，转化求解向量的夹角的余弦函数值即可． 本题考查向量的数量积的求法与应用，是中档题．16.【答案】1【解析】解：z =z+10i 3i，化为：z =−10i 1−3i =−10i(1+3i)(1−3i)(1+3i)=3−i ，则z 的共轭复数z −=3+i 的虚部为1． 故答案为：1．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】√32π【解析】解：由已知可得，BC ⊥平面A 1ACC 1， 则V B−AA 1C 1C =13×1×1×BC =13， 解得BC =1．此时“塹堵”即三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的直径A 1B =√12+12+12=√3， ∴三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的体积为V =43π×(√32)3=√32π．故答案为：√32π．首先利用锥体的体积公式求出BC 长度，进一步求出球的直径，再由球的体积公式得答案．本题考查锥体的体积公式的应用，多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】[−3,4]【解析】 【分析】由基本不等式和“1”的代换，可得1a +3b 的最小值，再由不等式恒成立思想可得m 2−m 小于等于最小值，解不等式可得所求范围．本题考查基本不等式的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题． 【解答】解：由3a +b =1，a >0，b >0， 可得1a+3b=(3a +b)(1a+3b)=6+ba+9a b ≥6+2√b a⋅9a b=12，当且仅当a =16，b =12上式取得等号， 由题意可得m 2−m ≤1a +3b 恒成立， 即有m 2−m ≤12，解得−3≤m ≤4． 故答案为[−3,4]．19.【答案】34【解析】 【分析】本题考查相互独立事件同时发生的概率以及对立事件的应用，难度一般．根据相互独立事件的概率乘法公式得到m ×13×n =124⇒m ×n =18，再利用对立事件的概率简化得到(1−m )×23×(1−n )=14⇒1−m −n +m ×n =38，进而求解即可． 【解答】解：由题知三个社团都能进入的概率为124， 即m ×13×n =124⇒m ×n =18， 又因为至少进入一个社团的概率为34， 即一个社团都没能进入的概率为1−34=14，即(1−m )×23×(1−n )=14⇒1−m −n +m ×n =38， 整理得m +n =34． 故答案为34． 四．解答题20.【答案】解：(1)∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，i 4=1，∴(1+i1−i )2021=i 2021=(i 4)505⋅i =i ， ∴(1+i 1−i)2021+(2−3i)(1+4i)=i +(2−3i +8i −12i 2)=14+6i …(4分) (2)z 1z 2=2+ai b −4i =(2+ai)(b +4i)b 2+16=(2b −4a)+(8+ab)i b 2+16因为z 1z 2是纯虚数，所以{2b −4a =08+ab ≠0，即b =2a ，又因为z 1+z 2=(2+b)+(a −4)i =(2+2a)+(a −4)i ， 所以z 1+z 2在复平面内对应的点为(2+2a,a −4)， 所以2+2a +a −4−1=0得a =1，b =2…(8分) 因为z 1z 2=(2+i)(2−4i)=8−6i ， 所以|z 1z 2|=√82+(−6)2=10…(10分)【解析】(1)计算1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i ，根据i 4=1，可得(1+i1−i )2021，利用复数的运算法则即可得出． (2)z 1z 2=2+ai b−4i =(2+ai)(b+4i)b 2+16=(2b−4a)+(8+ab)ib 2+16，利用z 1z 2是纯虚数，可得{2b −4a =08+ab ≠0，即b =2a.根据z 1+z 2在复平面内对应的点在直线x +y −1=0上，即可得出a ，b ，进而得出|z 1z 2|.本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)①a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos θ=5×4×cos 120°=−10．②a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为|a ⃗ |·cos θb⃗ |b ⃗ |=5×(−12)×b⃗ 4=−58b ⃗ ． (2)∵a ⃗ // b ⃗ ，∴a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ=0°或θ=180°． 当θ=0°时，a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos 0°=20． 当θ=180°时，a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b⃗ |cos180°=−20．【解析】本题考查向量的夹角 、向量的数量积 、投影向量以及平面向量共线的充要条件，属于中档题．(1)①利用数量积的定义即可求解； ②利用投影向量定义即可求解；(2)a ⃗ // b ⃗ ，分a ⃗ 与b⃗ 的夹角为θ=0°或180°两种情况即可求解；22.【答案】解：(1)由题意可得，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,cosx)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√3sinx,2+cosx)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3sinx,2)，∴f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3sinx +2cosx =4sin(x +π6)；(2)∵f(x)在[0,π3]上递增，在[π3,π2]上递减，且函数y =f(x)−m 在区间[0,π2]上有2个零点，∴max{f(0),f(π2)}≤m <f(π3)=4， ∵max{f(0),f(π2)}=max{2,2√3}=2√3， ∴2√3≤m <4．即实数m 的取值范围是[2√3,4)．【解析】(1)由已知求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由数量积的坐标运算及两角和的正弦求函数f(x)的解析式；(2)由f(x)在区间[0,π2]上的单调性可得最值，结合函数y =f(x)−m 在区间[0,π2]上有2个零点，即可求得实数m 的取值范围．本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查函数零点的判定及应用，是中档题．23.【答案】解：(1)选①，∵m⃗⃗⃗ =(a +b,c −a)，n ⃗ =(a −b,c)，且， ∴(a +b)(a −b)+c(c −a)=0，化简得，a 2+c 2−b 2=ac ， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =ac 2ac =12，又因为0<B <π，∴B =π3．选②，根据正弦定理，由2a −c =2bcosC 得2sinA −sinC =2sinBcosC ， 又因为sin A =sin (B +C)=sin Bcos C +sin Ccos B ，所以2sinCcosB =sinC ， 又因为sin C ≠0，所以cosB =12，又因为B ∈(0,π)，所以B =π3． 选③，由sin (B +π6)=cos B +12，得√32sin B +12cos B =cos B +12，即√32sin B −12cos B =12，所以cos (B +π3)=−12， 又因为B ∈(0,π)，所以B +π3=2π3，因此B =π3． (2)由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得16=(a +c)2−3ac ． 又∵a+c 2⩾√ac ，∴ac ⩽(a+c)24，当且仅当a =c 时等号成立，∴3ac =(a +c)2−16⩽3(a+c)24，解得，a +c ≤8，当且仅当a =c =4时，等号成立．∴a +b +c ≤8+4=12． ∴△ABC 的周长的最大值为12．【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理及向量的数量积运算，两角和的正余弦公式，以及基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)选①，利用向量的数量积及余弦定理，可推出cos B =12，由此可求出角B 的大小；选②根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可；选③，利用两角和的正余弦公式可推出cos (B +π3)=−12，进而可得B 的大小；(2)由题意，利用余弦定理及基本不等式进行求解即可．24.【答案】(1)证明：因为AB =AD ，∠BAD =60°，所以△ABD 为等边三角形，因为P 为AD 的中点，所以BP ⊥AD ， 取BD 的中点E ，连结AE ，则AE ⊥BD ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，所以AE ⊥平面BCD ， 又CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ，又因为CD ⊥AD ，AD ∩AE =A ，AE ，AD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ， 因为BP ⊂平面ABD ，所以CD ⊥BP ， 又因为CD ∩AD =D ，CD ，AD ⊂平面ACD ， 所以BP ⊥平面ACD ；(2)解：由(1)可知CD ⊥BD ，取BC 的中点F ，则EF ⊥DE ，即EA ，EF ，ED 两两垂直，以E 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,√3),B(0,−1,0),C(2√3,1,0),D(0,1,0),P(0,12,√32),M(√3,1,0)，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，设平面BPC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{32y +√32z =02√3x +2y =0， 令x =1，则y =−√3,z =3，故n ⃗ =(1,−√3,3)，又MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−12,√32)，所以|cos <n ⃗ ,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32√13=√3926， 故MP 与平面BPC 所成角的正弦值为√3926．【解析】(1)利用面面垂直的性质定理，可得AE ⊥平面BCD ，再利用线面垂直的判定定理可证明CD ⊥平面ABD ，从而得到CD ⊥BP ，再利用等边三角形的性质得到BP ⊥AD ，即可证明BP ⊥平面ACD ；(2)建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BPC 的法向量，求出直线MP 的方向向量，再由向量的夹角公式求解即可．本题考查了线面垂直的判定定理的应用和线面角的求解，涉及了面面垂直的性质定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．25.【答案】解：(1)五人都不戴口罩，恰有两人被感染的概率是P =C 52×(12)2×(1−12)3=516；(2)当被感染的两人都没有戴口罩时，概率为P 1=(12)2×(1−110)3=7294000; 当被感染的两人中，一人戴口罩，一人没有戴口罩时，概率为P 2=C 31×110×(1−110)2×C 21×12×(1−12)=2432000; 当被感染的两人都有戴口罩时，概率为P 3=C 32×(110)2×(1−110)×(1−12)2=274000， 所以五人中有3人戴口罩，其中恰有两人感染的概率是： P =P 1+P 2+P 3=7294000+2432000+274000=6212000．(3)不戴口罩时，五人全部感染的概率为(12)5=132=3.125%， 戴口罩时，五人全部感染的概率为(110)5=0.001%，通过计算可知，戴口罩时被感染的概率远远低于不戴口罩时感染的概率， 因此建议在公共场合一定要佩戴口罩．【解析】本题主要考查相互独立事件的概率计算公式，概率的实际应用． (1)根据相互独立事件的概率计算即可． (2)分三种情况讨论计算，最后概率相加即可．(3)分别计算五个人戴口罩和不戴口罩感染的概率，比较大小即可．26.【答案】(1)证明：连结CE ，DF ，因为四边形CDEF 是正方形，所以DF ⊥CE.…………………………(1分) 因为BC ⊥CD ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ，从而DF ⊥BC.………………………(3分) 又BC ∩CE =C ，BC ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以BE ⊥DF.…………………(5分)(2)解：如图所示，以DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ， 依题意知A(4,0，0)，B(2,2，0)，F(0,2，2)，D(0,0，0).……………………(7分) 设平面ABF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0),AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2,2)，{−2x 1+2y 1=0−4x 1+2y 1+2z 1=0，令y 1=1，则{x 1=1y 1=1z 1=1，所以m ⃗⃗⃗ =(1,1，1)……………………(10分)取平面CDEF 的法向量为n⃗ =(1,0，0)，………………(11分) 设该二面角的平面角为θ，所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3×1=√33.………………(12分)【解析】(1)连结CE ，DF ，说明DF ⊥CE.结合BC ⊥CD ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，推出DF ⊥BC ，证明DF ⊥平面BCE ，即可推出BE ⊥DF ．(2)以DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，求出平面ABF 的法向量，平面CDEF 的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．。

高中数学必修二期末测试题一1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为2、直线l ：-、3x y 3 0的倾斜角D 、 150 o3、边长为a 正四面体的表面积是D 、 、，3a 2。

4、对于直线l:3x y 6 0的截距，下列说法正确的是距是6；C 、在x 轴上的截距是3；D 、在y 轴上的截、选择题(本大题共2道小题，每小题5分，共60分。

)A 、30；；60：； 120 ；B 、込 a 3 ；12C 、刍；4A 、在y 轴上的截距是6；B 、在x 轴上的截距是35、已知a// ,b ，则直线a与直线b的位置关系是（）A、平行；B、相交或异面；C、异面；D、平行或异面。

6、已知两条直线|「x 2ay 1 0,l2：x 4y 0，且W，则满足条件a的值为（）1 1A、；B、；C、2 ；2 2D、2。

7、在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB, BC, CD, DA的中点。

若AC BD a，且AC与BD所成的角为60：，贝卩四边形EFGH的面积为（）3 2 3 2 3 2A、 a ；B、 a ；C、 a ；8 4 2D、■-/3a。

8已知圆C:x2 y2 2x 6y 0 ,则圆心P及半径r分别为（）A、圆心P 1,3，半径r 10 ；B、圆心P 1,3 ,半径r ；C、圆心P 1, 3，半径r 10 ;D、圆心P 1, 3 ,半径r J0。

9、下列叙述中错误的是（）A、若P 口且口l，则PI ；B、三点A,B,C确定一个平面；C、若直线ap|b A，则直线a与b能够确定一个平面;D、若 A I,B I 且 A ,B ，贝卩I 。

10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是( )A、两条平行直线；B、一点和一条直线;C、两条相交直线；D、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为4、5,且它的8个顶3、点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )C 、125A、25 ；B、50 ；；D、都不对。