反比例函数对称性研究

反比例函数关于直线对称反比例函数是一种特殊的函数类型，又称为倒数函数。

它的定义域为实数集，但其值域则不包含0。

反比例函数的图像为一个双曲线。

对于任意反比例函数f(x)，设其表达式为f(x)=k/x，其中k为常数且不等于0。

设一条直线为y=a（a为常数）。

若f(x)对称于直线y=a，则有：f(x)-a=-[f(2a-x)-a]由此可以推导出：整理得到：x=(k/a+2a-k/x)/2通过移项和通分，得到：化简得到：更进一步，得到：由此，我们得到了关于反比例函数关于直线y=a的对称公式。

这个公式可以帮助我们求出反比例函数在对称轴y=a处的对称点坐标，具有实际的应用价值。

需要注意的是，在反比例函数定义域内，函数值随着自变量的增大而减小。

对于不同的对称轴y=a，反比例函数的图像在对称轴左侧和右侧的形态并不相同。

通过对反比例函数和直线的对称性进行分析，我们可以得到反比例函数关于直线对称的公式，并进一步应用到具体实践当中。

这对于理解和解决相关问题具有重要意义。

反比例函数在实际应用中具有广泛的应用。

在电学中，电路中电阻与电流的关系、电动势与电流的关系都可以表示为反比例函数。

再在经济学中，多种经济指标之间的关系也可以表示为反比例函数。

反比例函数对于经济学和环境学的研究尤为重要。

在资源分配和环境治理方面，反比例函数经常被用来研究经济增长与环境保护之间的关系。

在这个领域中，反比例函数表示了经济增长和环境破坏之间的关系，通过调节其参数可以平衡经济发展与环境保护之间的矛盾。

反比例函数还可以解决诸如汽车保险费用计算、员工工资计算等与相对大小相关的问题。

在这些问题中，反比例函数可以表达出各因素间的等比关系，帮助我们快速准确地计算出相应的数值。

在高中数学教学中，反比例函数也占有重要地位。

反比例函数的图像为双曲线，这对于学生的直观理解十分重要。

反比例函数的定义、性质和应用也是高中数学课程的重要内容之一。

在教学实践中，借助于反比例函数的对称性，可以对学生进行练习和测试，提高学生的数学分析能力。

函数图象对称性一、课程目标知识目标：1. 学生能理解函数图象对称性的概念，掌握对称轴、对称中心等基本术语。

2. 学生能运用对称性对给定的函数图象进行分类，并判断其对称性质。

3. 学生能运用对称性质简化计算，解决与函数图象有关的问题。

技能目标：1. 学生能够运用数形结合的思想，通过绘制函数图象，观察和分析图象的对称性。

2. 学生能够运用所学知识，解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 学生能够通过合作交流，提高团队协作和表达能力。

情感态度价值观目标：1. 学生通过探索函数图象的对称性，培养对数学美的欣赏和热爱。

2. 学生在解决问题的过程中，培养勇于尝试、善于思考的学习态度。

3. 学生通过小组合作，学会尊重他人意见，提高沟通能力和团队意识。

课程性质：本课程为高中数学课程，以函数图象对称性为主题，旨在帮助学生掌握函数图象的基本性质，提高数学思维能力和解决问题的能力。

学生特点：高中学生具备一定的数学基础，具有较强的逻辑思维能力和空间想象力，但对函数图象对称性的理解可能不够深入。

教学要求：结合学生特点，课程设计应注重启发式教学，引导学生通过观察、思考、实践，掌握函数图象对称性的相关知识，提高解决问题的能力。

同时，注重培养学生的团队合作精神和情感态度价值观。

通过分解课程目标为具体学习成果，为后续教学设计和评估提供依据。

二、教学内容本节教学内容主要包括以下几部分：1. 函数图象对称性的概念及分类- 对称轴、对称中心的概念及其在函数图象中的应用- 奇函数、偶函数的图象特点及其对称性2. 常见函数图象的对称性质- 一次函数、二次函数、反比例函数的图象对称性- 三角函数图象的对称性3. 函数图象对称性的应用- 利用对称性质简化计算- 解决与函数图象有关的问题教学大纲安排如下：第一课时：函数图象对称性的概念及分类1. 引入对称性的概念，解释对称轴、对称中心等术语2. 分析奇函数、偶函数的图象特点，探讨其对称性质第二课时：常见函数图象的对称性质1. 研究一次函数、二次函数、反比例函数的图象对称性2. 探索三角函数图象的对称性第三课时：函数图象对称性的应用1. 利用对称性质简化计算，解决实际问题2. 结合具体例子，让学生体会对称性在解决问题中的应用教学内容与教材关联性：本节内容以教材中关于函数图象对称性的章节为基础，结合实际教学需求，对相关知识进行系统梳理和拓展，确保学生能够掌握函数图象对称性的核心概念和应用。

数学实验：反比例函数图像的对称性教学背景：《反比例函数》是苏科版数学八年级下学期的重要内容之一，对于反比例函数图像对称性的学习，学生往往局限于初步的感性认识，对称性结论的了解，缺乏推理证明和深入的思考，一方面是教材中没有对应的教学内容，可以不花过多精力学习；另一方面证明有一定的难度，需要一定的教学时间，所以教学时往往是一带而过。

这就导致学生对反比例函数图像的对称性只能停留在了解的层面上，遇到问题很难与对称性相结合，快速简便的解决问题。

数学实验的意义：数学实验是计算机技术和数学、软件引入教学后出现的新事物。

数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。

借助于计算机的技术和数学软件包的应用，为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重的乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有时间去做更多的创造性工作。

教学目标：借助于透明纸片和几何画板软件，验证反比例函数图像的对称性，发展几何直观。

教学重点难点：借助于几何画板软件和平面直角坐标系内对称点的坐标的特点证明反比例函数图像的对称性。

教学用具：透明纸片、大头针（或图钉）、剪刀、几何画板软件的多媒体教学一体机、苏科版八年级数学《实验手册》.教学过程：1.提出问题：反比例函数图像具有对称性吗？2.数学实验：苏科版八年级数学《实验手册》P39（1）验证反比例函数图像的中心对称图形；（2）验证反比例函数图像是轴对称图形.3.几何画板验证中心对称性：4.推理证明：（1）为什么反比例函数的图像是中心对称图形？（2）为什么反比例函数的图像是轴对称图形？5.结论：反比例函数既是中心对称图形，又是中心对称图形.6.实验感受：遇到问题时，要敢于提出问题，经历大胆猜想，操作验证，理论证明等探索过程，最终解决问题.7.典型应用例题1：求点的坐标如图，直线与双曲线的一个交点A是（3，2），则它们的另一个交点B的坐标是.例题2：求面积如图，正比例函数和反比例函数的图像相交于A、B两点.分别以A、B为圆心紧挨着x轴画圆，点A的坐标为（2，1）,求图中两个阴影部分面积的和是.例题3：代数式求值如图，直线y=kx(k＞0)与双曲线y=(2/x)交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为A(x[1],y[1]),B(x[2],y[2]),则x[1]y[2]+x[2]y[1]的值.【点评：反比例函数图像中心对称性的应用】延伸拓展：如图，已知直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点A、B，与双曲线y=(k/x)(k＜0)交于C、D两点，且AB=2CD,求△COD的面积.【辅助线】【点评：反比例函数图像轴对称性的应用】。

学习反比例函数 牢记“三个特性”济宁市梁山县小路口镇初级中学 郑继海（适用于 鲁教版 初四版 7、8月刊）在近几年的各地中考数学试题中，出现了大量与反比例函数有关的试题，这些题目大都题目新颖、灵活度较高.这就要求同学们在掌握基本概念的前提下，善于利用数形结合的思想，牢记反比例函数的“三个特性”.一、反比例函数的对称性我们知道反比例函数的图像是关于原点成中心对称的.但这个性质往往被忽略，有的题目如果利用对称性就很容易解决.例1、如图1，已知直线2y x =-+分别与x 轴y 轴交于A ，B 两点，与双曲线k y x =交于E ，F 两点，若AB =2EF ，则k 的值是解析：由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数2y x =-+都关于直线y x =对称，又AB =2EF ，故有BF =FM =ME =AE ．而A (2，0)，B (0，2)，所以F 13(,)22，易得34k =． 反思：本题如果不利用反比例函数的对称性，还可以将反比例函数与一次函数解析式联立，得到一个一元二次方程，然后借助于根与系数关系解决，不过那种解法是相当复杂的.同学们自己可以试一试.二、反比例函数的增减性 反比例函数的性质是：（1）当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；（2）当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 例2、在函数（a 为常数）的图象上有三个点A ，B ， C ，则函数值、、的大小关系是（ ）． A ．＜＜ B ．＜＜C ．＜＜ D ．＜＜解析：∵-a ²-1＜0， ∴在每一象限内y 随x 的增大而增大.但是结合图像我们发现这三个点不在同一个象限内，点A 、B 在第二象限，函数值为正值，点C 在第四象限，函数值为负值.所以＜＜，应选择D.反思：在比较反比例函数的值的大小时：（1）注意增减性不要出错. （2）注意比较的几点是否在同一象限内.三、反比例函数中的面积不变性反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线所围成的矩形的面积都是不变的，都等于|k|.2ABOABCOS S k==△矩形例3、如图，点A、B在反比例函数)0,0(>>=xkxky的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,△AOC的面积为12，则k的值为________.。

关注学习本质，让学习真正发生——反比例函数背景下的对称问题评课稿一、汇报磨课的细节1.关于中考原题的讲解：第一次设计：呈现原题目，求K值及点A'的坐标，解法单一：解含30°角的直角三角形就可以。

第二次设计：考虑一题多解，一题多用，充分体现例题的作用，探究挖掘例题，确定四种方法：面积不变型、乘积不变性、对称性、勾股定理。

研讨过程：第一次设计：在试课的过程觉得解法单一，似乎知识完成了一道题的求解，我们认为本节课厚度不够，题目还没有充分发掘。

第二次设计：探究挖掘例题考虑一题多解，一题多用，充分体现例题的作用实现知识的梳理并提高学生的能力，为学生提供更多的解题经验。

2.关于课堂的拓展延伸：第一次设计：点D在AB-BC上运动，求点A关于AD的对称点落在双曲线上时，点A的坐标。

第二次设计：我们认为：点D在BC上运动，线段AB关于AD的对称线段A'B'与双曲线有交点，求BD的范围。

研讨过程：由静到动，渗透分类讨论思想思路很好，但第一次设计问题求解计算量较大，且复杂，太耗时间，解体思路不好理清。

由静到动，这是必须坚持的方向。

第二次设计改为在例题基础上，让点D在BC运动，探究线段A'B'与双曲线有交点情况，衔接自然，方法清晰（以静制动）。

有利于学生掌握方法,提升解决问题的能力。

二、关于这节课的感想1、开放起点，激发学生参与热情。

活动一：林老师设计开放的回顾情景，出示矩形折叠后的图形，问，根据信息，你能得出那些结论？通过这一个开放的问题，让基础较差的同学也能参与其中，通过学生观察思考得出不同结论，能更好的培养学生的发散思维，检验他们的知识起点，提高学生学习兴趣。

2、条件开放，引出原题。

活动二，AB向右移动一段距离，其他条件不变，问此时点A'的坐标如何表示？学生的思维受阻，问题不能解决，学生对问题质疑？林老师顺势提出问题，你能添加一个条件，使得点A'的坐标可以表示吗？让学生去思考，去发现，去解答，通过学生主动设计，把学习的主动权还给学生，经过如此一番，引出原题，时机恰到好处。

反比例函数的图象和性质在数学的世界里，函数就像是一座神秘的城堡，每一种函数都有着独特的特征和规律。

今天，咱们就一起来探索反比例函数这座城堡，深入了解一下反比例函数的图象和性质。

首先，咱们得知道啥是反比例函数。

一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是x 的反比例函数。

接下来，咱们重点聊聊反比例函数的图象。

反比例函数的图象是双曲线，它有两条分支。

这两条分支要么在一、三象限，要么在二、四象限，具体在哪个象限，得看常数 k 的正负。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。

在第一象限内，y 随 x 的增大而减小；在第三象限内，y 也随 x 的增大而减小。

打个比方，就好像你跑步的速度越快，所用的时间就越短。

这里的速度和时间就是成反比例关系，当速度快（k 大）的时候，时间就短（y 小），而且速度越来越快（x 增大），时间就越来越短（y 减小）。

当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。

在第二象限内，y 随 x 的增大而增大；在第四象限内，y 也随 x 的增大而增大。

比如说，你背的东西越重，走得就越慢。

这里的重量和速度成反比例关系，重量越重（k 小），速度越慢（y 大），而且重量越来越重（x 增大），速度就越来越慢（y 增大）。

再来说说反比例函数图象的对称性。

这双曲线可神奇了，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x 。

对称中心呢，就是坐标原点（0，0）。

咱们再看看反比例函数的性质。

从增减性来说，刚才已经提到了，就不再啰嗦。

还有一点很重要，就是反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。

为啥呢？因为当 x ＝ 0 时，这个函数就没有意义啦，分母不能为 0 嘛。

那知道了反比例函数的图象和性质有啥用呢？用处可大啦！比如说在实际生活中，我们计算工程的进度、计算电阻和电流的关系等等，都可能用到反比例函数。

反比例函数关于y轴对称反比例函数是数学中常见的函数，它表示两个变量之间的反比例关系。

当反比例函数关于y轴对称时，这种函数关系可以用反比例函数的函数式来表示：y=k/x，其中k是常量，表示反比例函数的斜率。

反比例函数关于y轴对称的特性，可以从图像上体现出来。

可以看出，反比例函数的图像是一条抛物线，它以y轴为对称轴。

由于反比例函数的斜率k始终保持不变，因此反比例函数的图像也具有对称性。

反比例函数的定义域和值域也受到y轴对称的影响。

一般来说，反比例函数的定义域是(0, ∞)，值域是(-∞, ∞)。

因为它是关于y轴对称的，因此反比例函数的x值和y值的取值范围也是相同的，也就是说：它的定义域和值域是一样的。

反比例函数关于y轴对称的性质，也可以用导数来体现。

对于反比例函数来说，它的导数是-k/x2。

由于反比例函数关于y轴对称，因此其导数也是负数，它的绝对值总是不变的。

反比例函数关于y轴对称的性质，也可以在空间图形上体现出来。

对于反比例函数来说，它的空间图形是一个椭圆，它以y轴为对称轴。

椭圆的两条焦线分别是x轴和y轴，因此椭圆的x轴和y轴是对称的。

反比例函数关于y轴对称的性质，也可以从反比例函数的图形来理解。

反比例函数的图形是一条抛物线，它以y轴为对称轴。

这条抛物线是由两个相交的半曲线组成的，其中一个半曲线的斜率是正的，另一个半曲线的斜率是负的，这两个半曲线的斜率之和为零，所以反比例函数关于y轴对称。

总之，反比例函数关于y轴对称是数学中一种常见的性质，它表明两个变量之间的反比例关系。

反比例函数的图像、定义域和值域、导数以及空间图形都受到y轴对称的影响，这也为我们理解反比例函数提供了重要依据。

反比例函数的概念与性质反比例函数是数学中常见的一类函数，其表达形式为y = k/x，其中k是一个非零常数，x和y分别表示自变量和因变量。

概念：反比例函数是一种特殊的函数，其特点是自变量和因变量呈反比关系。

当自变量的值增大时，因变量的值就会减小；反之，当自变量的值减小时，因变量的值就会增大。

这种函数在实际问题中往往具有很重要的意义。

性质一：定义域和值域反比例函数的定义域为除了x=0以外的所有实数，因为分母不能为零；而值域则为除了y=0以外的所有实数。

性质二：图像特征反比例函数的图像是一个开口向下或者开口向上的双曲线。

这是因为当x的绝对值趋近于无穷大时，y的值会趋近于0，而当x的绝对值趋近于0时，y的值会趋近于无穷大。

性质三：关于坐标轴的对称性反比例函数的图像关于原点对称。

也就是说，如果一个点（x，y）在函数的图像上，那么对应的点（-x，-y）也在图像上。

这是因为当自变量取相反数时，函数的值也会取相反数。

性质四：零点问题反比例函数的零点是x等于k的时候，因为此时分母为0，因变量为零。

换句话说，当x等于k时，函数的图像与x轴相交，这是图像的一个特殊点。

性质五：渐近线反比例函数的图像会有两条渐近线，分别是x轴和y轴。

当x趋近于正无穷或者负无穷时，函数的值会趋近于0，也就是说，函数的图像会无限接近x轴。

同样地，当y趋近于正无穷或者负无穷时，函数的值会趋近于0，函数的图像会无限接近y轴。

结论：反比例函数是一种重要的函数类型，在实际问题中经常出现。

了解反比例函数的概念和性质可以帮助我们更好地理解数学中的种种问题，同时也有助于我们在实际生活中解决各种与反比关系相关的情况。

反比例函数图象的对称性及其应用反比例函数图象的对称性及其应用反比例函数是一种特殊的函数，反比例函数图象具有一定的对称性。

其主要表示形式如 y=（1/x），其中变量x和y皆为正数数，x轴上有一个特殊的点0，当X>0时，函数图象在ｘ轴上可以看做是一个对称轴，即垂直于X轴的Y=1/x的函数图象具有对称性，其中X轴为一个对称轴。

反比例函数图象的主要特点是：1、它的函数图象具有对称性，即函数图象具有上下或者左右对称，当X>0时，函数图象位于x轴上，其中X轴可以看做是一个特殊的对称轴。

2、若X变化，则函数图象也会发生变化，当X变大时，则函数图象向原点靠拢，当X变小时，则函数图象会向X轴的右方延伸，由此可知，反比例函数的函数图象具有一定的可逆性。

反比例函数的主要应用是：1、它可以用来表达不同量的间接比例关系，反比例函数的函数表达式为：y=（1/x），即当X变大时，Y变小，当X变小时，Y变大。

例如，在货币贬值的动态市场中，当币值贬值时，相应地，其价格就会上涨，这就可以用反比例函数来表示。

2、反比例函数也可以用来表达物体关于空间来描述它们之间的关系，如在西洋棋中，每一颗棋子都有一定的位置，从而确定它们之间的关系，也就是说，反比例函数可以用来描述它们之间的关系。

3、反比例函数可以用来描述在某一框架中某个物体与另一个物体之间关系的变化，例如当食物的价格越低，销量越高，当价格越高，销量越低，这就可以用反比例函数来描述这种关系的变化。

因此，反比例函数具有其特定的应用和优势，它可以用来表达不同量的间接比例关系，表达物体关于空间的关系，也可以描述在某一框架中某个物体与另一个物体之间关系的变化。

凭借其独特的属性，反比例函数的应用领域可以说是非常广泛的，在生活中。

的图象相交于A，B两点，过A，B两
如图，函数y=﹣x与函数y=−4
x
点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积
为。

称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．
解答：
解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，
又∵OC=OD，AC=BD，
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，
∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．
点评：本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴
利用几何画板可测量出A、B两点的坐标，便于课上组织同学回忆反比例函数的对称性，并对两点的几何关系以及坐标做出猜测和验证。

利用几何画板对原题进行进一步拓展变化，课上可引导同学展开相关讨论和研究。

反比例函数图像的对称性
与直线y=mx相交于A，B两点，B点坐标为(−2,−3)，则A点坐标1.如图，双曲线y=k
x
( )
A．(−2,−3)B．(2,3)
C．(−2,3)D．(2,−3)
(k>0)的图象与⊙O的一个交点，若图中阴影部分的2.如图，点P(3a,a)是反比例函数y=k
x
积为5π，则反比例函数的表达式为．
相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则3.如图所示，设直线y=kx(k<0)与双曲线y=−5
x
x1y2−3x2y1的值为( )
A．−10B．−5C．5D．10
答案
1. 【答案】B
【解析】∵点A与B关于原点对称，
∴A点的坐标为(2,3)．
2. 【答案】y=6
x
(k>0)的图象是中心对称图形，【解析】∵反比例函数y=k
x
∴阴影部分的面积为圆的面积的4四之一，
π⋅OP2=5π，解得OP=2√5，
即1
4
∵(3a)2+a2=(2√5)2，解得a=√2，
∴P(3√2,√2)，
得k=3√2×√2=6，把P(3√2,√2)代入y=k
x
．
∴反比例函数的表达式为y=6
x
．
故答案为y=6
x
3. 【答案】A
【解析】由图象可知点A(x1,y1)，B(x2,y2 )关于原点对称，
即x1=−x2，y1=−y2，
把A(x1,y1)代入双曲线y=−5
，得x1y1=−5.
x
则原式=−x1y1+3x1y1=5−15=−10．。