2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题Word版含答案

2020年重庆大学附属中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知1，，，4成等差数列，1，，，，成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．参考答案：A2. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为A．B．C．D．参考答案：B3. 已知复数z1＝1+2i，z2＝l﹣i，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用复数的除法可得相应的结果.【详解】∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题.4. 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（）A. -5B. 1C. 2D. 3参考答案：D略5. 执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数p的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：B【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，并输出，结合等比数列通项公式，可得答案．【解答】解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，∵+++…+=1﹣=，故==，故p=5．故选：B．6. 下列说法错误的是A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”C．若命题，则D．若命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题参考答案：A略7. 设函数的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）在[]上是减函数C．f（x）的一个对称中心是（，0）D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．【分析】由题意通过周期与对称轴，分别求出ω，与φ，推出函数的解析式，然后逐个验证选项，判断正误即可．【解答】解：因为函数的周期为π，所以ω=2，又函数图象关于直线x=对称，所以由，可知2×+φ=kπ+，φ=kπ，，所以k=1时φ=．函数的解析式为：．当x=0时f（0）=，所以A不正确．当，，函数不是单调减函数，B不正确；当x=时f（x）=0．函数的一个对称中心是（，0）正确；f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin（ωx+φ﹣ωφ）的图象，不是函数y=3sinωx的图象，D不正确；故选C．8. 函数y=x|x|的图像大致是（）参考答案：C解析：[法一]首先看到四个答案支中，A,B是偶函数的图象，C,D是奇函数的图象，因此先判断函数的奇偶性，因为，所以函数f（x）是奇函数，排除A、B；又x>0时，，选择C是明显的．[法二]化为分段函数，画出图象，选C.9. 已知数列的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2解析：若a n，a n+1，a n+2（n∈N+）成等比数列，则a n+12=a n a n+2成立，当a n=a n+1=a n+2=0时，满足a n+12=a n a n+2成立，但a n，a n+1，a n+2（n∈N+）成等比数列不成立，‘故a n，a n+1，a n+2（n∈N+）成等比数列是“a n+12=a n a n+2”的充分不必要条件，故选：A【思路点拨】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．10. 已知集合M={﹣1，0，1}，N={﹣1，0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，1} D．{1，0}参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由M与N，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={﹣1，0，1}，N={﹣1，0}，∴M∩N={﹣1，0}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.＝参考答案：答案： 412. 已知点在不等式组表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为____________．参考答案：4因为点可行域内，所以做出可行域，由图象可知当当点P位于直线时，即，此时点P到直线的距离最大为。

重庆一中高2020级高三下期第二次学月考试(理科)数学试题一、选择题:(本大题12个小题,每小题5分,共60分,每小题有且只有一项是正确的).1.已知集合{}|(23)(3)0,A x Z x x =∈+-<{|B x y ==,则A∩B=( )A.(0,e]B.{0,e}C.{1,2}D.(1,2) 2.已知复数z 满足11212i i z +=+(i 为虚数单位),则z 的虚部为( ) A.4 B.4i C.-4 D.-4i3.下列说法正确的是()A.a ∈1,"1"R a<是“a>1"的必要不充分条件 B."p ∧q 为真命题"是"p ∨q 为真命题"的必要不充分条件C.命题"∃x ∈R,使得x 2+2x-3<0"的否定是:"∀x ∈R,x 2+2x-3>0"D.命题p:"∀x ∈R,sin cos x x +…则⌝p 是真命题4.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:"今有金锤,长五尺.斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤.由本至末递次减,中间三尺重几何."意思是:"现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤;尾部1尺,重2斤.且从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,问中间三尺共重多少斤."( )A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤5.设sin5a π=,设b =c 231()4=,则() A.a<c<b B.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a 6.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,且5||2AB p =,则p=() A.8B.2C.6D.4 7.一架飞机有若干引擎,在飞行中每个引擎正常运行的概率为p,且相互独立.已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可安全飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机才可安全飞行.若已知4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则p 的取值范围是() A 2(,1)3 B.1(,1)3 C.2(0,)3 D.1(0,)38.下列关于函数1()2sin()26f x x π=+的图像或性质的说法中,正确的个数为() ①函数f(x)的图像关于直线83x π=对称②将函数f(x)的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin()23y x π=+ ⑧函数f(x)在区间5(,)33ππ-单调递增④若f(x)=a,则1()232a cos x π-= A.1个 B.2个C.3个D.4个 9.已知S={1,2,3,…,40},A ⊆S 且A 中有三个元素,若A 中的元素可构成等差数列,则这样的集合A 共有()个A.460B.760C.380D.19010.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点均在同一个确定的球面上,底面△ABC 满足BA BC ==2ABC π∠=,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为() A.8π B.16π C.163π D.323π 11.若曲线21()(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和g(x)=-x 3+x 2(x<0)上分别存在点A 和B,使得ΔAOB 是以原点O 为直角顶点的直角三角形,且斜边AB 的中点在y 轴上,则实数a 的取值范围是()A. (e,e 2)B. 2(,)2e e C. (1,e 2) D.[1,e)12.在平面直角坐标系xOy 中,A 和B 是圆C:(x-1)2+y 2=1上的两点,且AB =点P(2,1),则|2PA PB -u u u r u u u r |的取值范围是()A.B.1⎤⎦C .6⎡-+⎣ D.7⎡-+⎣ 二、填空题:(本大题4个小题,每小题5分,共20分).13.双曲线22163x y -=的渐近线与圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)相切,则r=______ 14.某个正四棱柱被一个平面所截,得到的几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积为____15. 61(1)(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中x 2的系数为240,则0⎰=___16.已知数列{a n }满足:a 1=1*1,(2n n n a a n N a +=∈+).设*11(2)(1)(),n n b n n N a λ+=-⋅+∈b 1=λ2-5λ,且数列{b n }是单调递增数列,则实数λ的取值范围是_____.三、解答题:本大题6个小题,共70分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内.必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.17.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,∠ADC=60∘,AB =(1)求△ABD 的面积.(2)若∠BAC=120°,求sinC 的值.18.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,正三角形ABC 的边长为2,BB 1=3,1AB =∠CBB 1=60°.(1)求证:面ABC ⊥面BCCB 1;(2)求二面角C-BB 1-A 的余弦值.19.(本小题满分12分)为了了解同学们的视力情况,学校研究性学习小组对高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到左图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;(2)小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与成绩是否有关系,对年级名次在1～50名和951~1000名的学生进行了调查,得到右表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与成绩有关系?(3)在(2)中调查的100名学生里,按分层抽样从不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯.现从这9人中随机选出3人,记名次在1～50名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)已知椭圆22221(0x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为4,直线l1:by xc=与椭圆相交于A、B两点,F2关于直线l1的对称点E恰好在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)与直线l 1垂直的直线l 2与线段AB(不包括端点)相交,且与椭圆相交于C 、D 两点,求四边形ACBD 面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinx-aln(x+b),g(x)是f(x)的导函数.(1)若a>0,当b=1时,函数g(x)在(0,)2π内有唯一的极大值,求a 的取值范围; (2)若a=1,(1,)2b e π∈-,试研究f(x)的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-4-坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中,曲线C 的参数方程为 (2cos 22sin x y θθ=⎧⎪⎨⎪=+⎩(θ为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. (I)写出曲线C 的极坐标方程;(I)设点M 的极坐标为()4π,过点M 的直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,若|MA|=2|MB|,求AB 的弦长.23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知a>-1,函数f(x)=|2x-a|+|2x+1|,g(x)=4x2+ax-3(1)当1,22ax⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(2)在(1)中a的最大值为m,若bc ca abma b c++=,证明:a+b+c≤m。

重庆育才中学高2020级高三下3月月考数学理科试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|12,|14,A x x B x x x Z =-≤≤=-<<∈，则A B =I （ ） A. {}0,1,2 B. []0,2C. {}0,2D. ()0,22.已知复数21iz =-+，则（ ） A. 2z =B. z 的实部为1C. z 的虚部为1-D. z 的共轭复数为1i +3.已知向量()1,1a =r ，()24,2a b +=r r ，则向量a r ，b r的夹角为( )A.3π B.6π C.4π D.2π 4.“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知某个几何体的三视图如下图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的 体积是（ ）A. 288+36B. 60C. 288+72D. 288+86.某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a =( )A. 7B. 6C. 5D. 47.圆C 是心直线:(21)(1)20l m x m y m ++++=的定点为圆心，半径4r =，则圆C 的方程为（ ） A. 22(2)(2)16x y ++-= B. 22221)6()(x y -+-= C 22(2)(2)16x y -++=D. 22(2)(2)16x y +++=8.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题序号是（ ）A. ②③B. ③④C. ①④D. ①②9.数列{a n }满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋯+=∈，则a 1a 2a 3…a 10=（ ） A. 551()2B. 1011()2-C. 911()2-D. 601()210.函数()cos()(0,)2f x x πωϕωω=+><的部分图象如图所示，则函数3()()g x f x ϕπ=-的最小正周期为.的A. πB. 2πC. 4πD.2π 11.已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤成立，则双曲线的离心率取值范围是( )A. (B. )+∞C. (D.)+∞12.已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D. 24[,)e-+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.2-⎰=______.14.已知46n n C C =，设()()()()201234111nnn x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则12n a a a +++=L _____．15.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1AP=AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连结EF ，当AEF ∆的面积最大时，tan BPC ∠=__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17~22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求二选一作答.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知222b c a +-=. （1）若tan 12B =，求a b ；（2）若23B π=,b =BC 边上的中线长. 18.某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是34，且每次投篮的结果互不影响. （1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，为投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后的总的分数，求ξ的分布列及期望.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点()10F ，，过F 作两条互相垂直的弦AB CD ，，设AB CD ，中点分别为M N ，． (1) 求椭圆标准方程；(2)求以A B C D ，，，为顶点四边形的面积的取值范围；的21.已知函数()ln 2f x a x x =-，()()()2ln 1222xg x x e a x =++-+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.22.在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为42(4x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△P AB 面积的最大值. 23.已知函数()2f x x a x a =+++ （1）若(1)3f >，求实数a 的取值范围； （2）证明：m R ∈时，1()()6f m f m-+≥．。

2020年重庆一中2020级高三下期三月月考数学试题（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合{}2,A y y x x R ==∈，{}2(,),B x y y x x R ==∈，以下正确的是（ ）A ．AB =B ．AB R =C ．A B φ=D ．2B ∈2．二项式8(1)x +的展开式的各项系数之和为（ ）A ．256B ．257C ．254D ．2553．复数134ii +-的模是（ ） ：A. 25B.25C.10D.2254．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．129B ．126C ．128D ．256 5．已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面，条件p ：该四棱柱是正四棱柱，条件q ：该棱柱底面是菱形，那么p 是q 的（ ）条件A ．既不充分也不必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．充要 6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品A 过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：x~3 4 5 6yt4，根据上表的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么t 的值为（ ） A ．3B ．C ．D ．7．平面上三个单位向量a ，b ，c 两两夹角都是23π，则a b -与a c +的夹角是（ ） A.3π B.23πC.12πD. 6π8．2020年东京夏季奥运会将设置4100⨯米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场.现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种排兵布阵的方式. 9．已知直线l ：240x y -+=，圆C ：22(1)(5)80x y -++=，那么圆C 上到直线l 的距离为5的点一共有（ ）个 ：B ．2C ．3D ．410．已知12sin2a =，13sin 3b =，13cos 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，曲线cos()y b x b π=经过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为（ ）A ．*212(2,)1k k k N k +≥∈- B ．*2(2,)1k k N k ≥∈- C ．*212(2,)1()12k k k N k +≥∈+-D ．*2(2,)1()12k k N k ≥∈+-12．不等式22420x x x x e e x ae ae ax -----++≥对于任意正实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．152D ．172…二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量13X ~B(6)，，且随机变量31Y X =+，则Y 的方差=DY ．14．某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ．15．在不等式组1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩表示的平面区域内任取一点(,)m n ，则满足230m n ->的概率是 ．16．点O 是锐角三角形ABC 的外心，6AB =,2AC =，则()AO AB AC += ． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17——21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比1q >，且5a 是14a 和37a 的等差中项，n S 是数列{}n a 的前n 项和．@（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足22(S 2)log n n n b a =++，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，AD ∥BC ，090BAD ∠=,AC BD ⊥，1BC =，13AD AA ==．（Ⅰ）证明：AC ⊥平面1BDB ；（Ⅱ）求平面1ACD 与平面11ABB A 所成的锐二面角的余弦值．-19．（本小题满分12分）北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市20万名高中女生的身高（单位：cm ）服从正态分布2(1684)N ，．现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生的身高全部在160cm 和184cm 之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184)，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求这50名女生身高不低于172cm 的人数；（Ⅱ）在这50名女生身高不低于172cm 的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前260名的人数记为X ，求X 的数学期望．参考数据：若(,)X N μσ~,则()0.6826P X μσμσ-<≤+=,(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,?(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点2(1)M ，,它的一个焦点恰好与抛物线24y x =的焦点重合．椭圆E 的上顶点为A ，过点(0,3)N 的直线交椭圆E 于B 、C 两点，连接AB ，AC ，记直线AB ，AC 的斜率分别为1k 、2k ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）求1k 2k 的值．￥21．（本小题满分12分）已知函数()1,x f x e x x R =--∈.（Ⅰ）求函数()f x 的极值； （Ⅱ）求证：211(1)(1)33++…1(1)23n +<，*n N ∈； （Ⅲ）1()(()1)2(0)a F x a f x x a x+=+-+->，若对任意的(0,)x ∈+∞，恒有()0F x ≥成立，求a 的取值范围.-（二）选考题：共10分．请考生在第22、23三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．在答题卡上一定要把自己所选做的题号对应的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4——4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为，点A 到直线l ：sin()(0)4m m πρθ-=>的距离为3．（Ⅰ）求m 的值以及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）椭圆C ：2212y x +=上的一个动点为M ，求M 到直线l 的距离的最大值．,23．（本小题满分10分）选修4——5：不等式选讲函数()12f x x x =-++的最小值为m ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证：11131112a b c ++≥+++．~高2020级高三下三月月考理科数学答案一、选择题（每题5分，共60分） CABDB ADACB CB二、填空题（每题5分，共20分）13. 14. 15. 16.三、解答题（共70分） 17.（12分） 《解：（1）设，根据条件有，………………….3分又………………….5分（2）由（1），，所以………………….8分由分组求和， ………………….12分18.（12分）解：(1)证明：根据条件可得，………………….3分 又而，所以，直线平面.………………….5分 (2)两两垂直．如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，……………….7分】又所以，………………….8分根据条件平面，所以可视为平面的一个法向量，现设是平面的一个法向量，则，令，所以，设平面与平面所成的锐二面角为………………….12分19. （12分）解：(1)由直方图知，后组频率为，人数为，即这名女生身高不低于的人数为人；………………….5分(2)∵，∴………………….7分∴. ，则全市高中女生的身高在以上的有人，这人中以上的有人．………………….8分?随机变量可取，于是，，………………….10分！∴………………….12分20.（12分）解：(1)设椭圆的标准方程为，抛物线的焦点为，所以该椭圆的两个焦点坐标为，根据椭圆的定义有，所以椭圆的标准方程为；………………….5分(2)由条件知，直线的斜率存在．设直线的方程为，并代入椭圆方程，得，且，设点，由根与系数的韦达定理得，………………….8分则，即为定值.…………….12分21. （12分）|解：（1）由可得，函数在单减，在单增，所以函数的极值在取得，为极小值；………………….3分（2）根据（1）知的极小值即为最小值，即可推得当且仅当取等，所以，………………….5分所以有………7分（3）∴………………….8分令，则，∴在上递增∵，当时，∴存在，使，且在上递减，在上递增∵∴，即∵对于任意的，恒有成立∴∴………………….10分∴∴∴，又，∵∴，令，，显然在单增，而，，∴∴.………………….12分22. （10分）解：(1)则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为………………….3分又，所以直线的直角坐标方程为………………….5分(2)由(1)得方程为，设点，………………….7分所以点到直线距离为，当时，距离有最大值，最大值为.………………….10分23.（10分）解：（1），………………….3分当且仅当取等，所以的最小值………………….5分（2）根据柯西不等式，.………………….10分。

2020届重庆市巴蜀中学高三下学期3月质量检测数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -【答案】C【解析】先求出复数z,再求zi得解. 【详解】 由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅I ，则实数m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】根据集合,A B 元素所表示的意义，以及集合,A B 关系，即可求解. 【详解】因为A B =∅I ，所以直线20x y +=与 直线10x my ++=平行，所以12m =. 故选:C . 【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题.3．已知两个单位向量12,e e u r u u r ，若()1212-⊥u r u u r u r e e e ，则12,e e u r u u r的夹角为（ ）A ．23π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】由已知可求出12e e ⋅u r u u r，再由向量夹角公式，即可求解.【详解】因为()1212-⊥u r u u r u r e e e ，所以()12102=-⋅u r u u r u r e e e ，所以11222=⋅u r u u r u r e e e ，所以12,cos e e <>=u r u u r 12，又因为[]12,0,e e π<∈>u r u u r ，所以12,e e π3<>=u r u u r .故选:B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与夹角，意在考查逻辑推理，数学运算，属于基础题. 4．随机变量()2~,N ξμσ，若(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，则μ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据正态分布的对称性列方程，解方程求得μ的值. 【详解】由于随机变量()2~,N ξμσ，满足(1)0.3P ξ≤=，(15)0.4P ξ<<=，(5)10.30.40.3(1)P P ξξ≥=--==≤，根据正态分布的对称性可知1532μ+==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.5．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+满足88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．0CD ．2【答案】B 【解析】由88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知函数关于x ＝8π对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求ϕ，然后代入即可求解． 【详解】 解：由f （8π﹣x ）＝f （8π+x ）可知函数关于x ＝8π对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知， 1,42k k Z πϕππ+=+∈, 故33,2sin 04844k f k ππππϕππ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．6．已知平面α⊥平面β，直线,m l ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义，即可得出结论. 【详解】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥； 若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥. 故选:C. 【点睛】本题考查命题充要条件的判断，考查空间垂直间的关系，熟记定理是解题的关键，属于基础题. 7．若)233131log ,,a b e c e -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B【解析】由指数函数、对数函数、幂函数的单调性，即可比较,,a b c 的大小. 【详解】)2133221a ==>=，1311331e 2e a c -⎛⎫==> ⎪⎭=⎝，所以1a c <<，33log e log 31b =<=，故c a b >>.故选;B . 【点睛】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题.8．若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2=α（ ）A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或79【答案】D【解析】用诱导公式结合同角间的商的关系，从已知等式可求出sin ,cos αα，即可求解. 【详解】由tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π得sin 23cos cos 2αααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以cos 3cos sin ααα=-，所以cos 0α=或1sin 3α=-，故2cos 22cos 11αα=-=-或2cos21279sin αα=-=. 故选:D . 【点睛】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养，属于基础题.9．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是（ ）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D.【考点】1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.10．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C【解析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.11．已知双曲线22221x y a b-=的右支与抛物线22x py =相交于,A B 两点，记点A 到抛物线焦点的距离为1d ，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为2d ，点B 到抛物线焦点的距离为3d ，且123,,d d d 构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =± B．y = C．y = D．3y x =±【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线焦点为F ，由已知可得2AF BF p +=，根据抛物线定义可得12y y p +=，利用点差法可得()()1212122222y y y y py py a b-+-=，从而可求得渐近线方程． 【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，抛物线焦点为F ， 由已知有2AF BF p +=，即12y y p +=，由22112222222211x y a b x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相减得()()2212121222y y y y x x a b -+-=， 即()()1212122222y y y y py py a b -+-=，故2212b a =， ∴渐近线方程为2y x =±， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查双曲线的渐近线，考查推理能力与运算能力，属于中档题．12．已知正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱111,,AA BB CC 分别交于,,M N Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为（ ） AB ．3C．D ．6【答案】B【解析】由题意画出图形，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设(0,1,),),(0,1,)M a N b Q c -，不妨设N 为直角，可得0MN QN ⋅=u u u u r u u u r，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．【详解】以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设(0,1,),),(0,1,)M a N b Q c -，不妨设N 为直角，),1,)MN b a QN b c =-=--u u u u r u u u r ，所以0MN QN ⋅=u u u u r u u u r，()()20b a b c ∴--+=，即()()2b a b c --=1||||2S MN QN ∴=⋅=u u u ur u u u r=()211642()()22b a bc ≥+⨯--+- 11616432=++= 故选：B.【点睛】本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．二、填空题13．已知()525012512x a a x a x a x -=++++L ，则012345a a a a a a -+--+的值为__________. 【答案】243【解析】取1x =-代入即可得到结果. 【详解】令1x =-得：()501234512a a a a a a +=-+-+-，012345243a a a a a a ∴-+-+-=. 故答案为：243. 【点睛】本题考查与二项展开式各项系数和有关的计算，处理此类问题通常采用赋值法来进行求解.14．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()cos sin cos cos ,A C C B -=2,2a c =C 大小为_____.【答案】6π【解析】根据三角形内角和以及诱导公式将B 转化为,A C ，利用两角和公式，可求出A ，再用正弦定理，即可求解.【详解】因为()cos sin cos cos ,A C C B -= 所以()()cos sin cos cos ,A C C A C -=-+所以cos sin sin sin ,A C A C =所以()sin cos sin 0,C A A -= 因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以cos sin A A =， 则tan 1A =，所以4A π=，又sin a A =1sin 2C =， 因为c a <，所以04C π<<，故6C π=.故答案为:6π. 【点睛】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，属于基础题.15．高三年级有四个老师分别为a b c d ,,,，这四位老师要去监考四个班级,,,A B C D ，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求a 老师不能监考A 班，b 老师不能监考B 班，c 老师不能监考C 班，则不同的监考方式有_________种.（用数字作答） 【答案】9【解析】在a 老师监考B 班或C 班和监考D 班两种情况下分别求得监考方式种数，根据分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若a 老师监考B 班或C 班，则共有：1236C =种监考方式； 若a 老师监考D 班，则共有：2213A +=种监考方式；由分类加法计数原理可知，不同的监考方式共有639+=种监考方式. 故答案为：9. 【点睛】本题考查排列组合的计数问题的求解，涉及到分类加法计数原理的应用，关键是能够根据限制条件进行准确分类. 16．函数1()ln||1xf x a x x+=--有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】(,2)(2,)-∞-+∞U【解析】令()0f x =，转化为1ln ,1xy y a x x+==-的图象有两个交点，结合导数与切线，求得a 的取值范围. 【详解】 由101x x +>-解得()f x 的定义域为()1,1-.令()0f x =，得1ln 1xa x x+=-，依题意 1ln ,1x y y a x x +==-的图象有两个交点.令()()1ln 111x g x x x+=-<<-，则()()11ln ln 11x xg x g x x x-+-==-=-+-，所以()g x 是奇函数，且()()122ln ln 111x g x x x --+⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在区间()1,1-上递增，且()00g =.当0a =时，()1ln,01xg x y x+==-，只有一个交点()0,0，不符合题意. 当0a >时，画出图象如下图所示，()()()()'11ln 1ln 1,11g x x x g x x x=+--=++-，所以()'11021010g =+=+-，即()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =.要使()1ln ,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a >. 同理，当0a <时，()g x 在0x =处切线的斜率为2，切线方程为2y x =，要使()1ln,1xg x y a x x+==-的图象有两个交点，则需2a <-. 综上所述，实数a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞U . 故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞U【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（1）2n b n =；（2）1244323n n n ++-- 【解析】（1）根据等差数列的定义，可得{}n b 是等差数列，进而求出通项公式； （2）由已知求出{}n c 的通项公式，根据通项公式的特征分组求和，转化为求等差数列和等比数列的前n 项和. 【详解】方法一：（1）因为nn a b n=且()()1121n n na n a n n +-+=+， 所以1121n nn n a a b b n n++-=-=+， 又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=.（2）由（1）及题设得，224n n n c n n =-=-，所以数列{}n c 的前n 项和()()()1241424nn S n =-+-+⋅⋅⋅+-()()1244412n n =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1444142n n n +-⨯=-- 1244323n n n ++=--. 方法二：（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， 又因为()()1121n n na n a n n +-+=+， 所以()()()11121n n n n b n nb n n ++-+=+， 即12n n b b +-=， 又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=. （2）略，同方法一. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，注意辅助数列的应用，属于中档题. 18．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. ()20P K k … 0.050.01 0.005 0.0010k3.8416.6357.879 10.828【答案】（1）0.025a =，74.5分；（2）表格见解析，有【解析】（1）根据频率和为1，求出a ，按照平均数公式，即可求解；（2）由频率直方图求出，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的人数，补全列联表，求出2K 的观测值，结合提供数据，即可得出结论. 【详解】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， 解得0.025a =.因为450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74=， 所以估计这100名学生的平均成绩为74.5分（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：∵2K的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”. 【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养，属于基础题.19．在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A C O A BD O =⊥I 平面1A BD .（1）证明：1B C P 平面1A BD ； （2）求二面角1B AA D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）437【解析】（1）由已知可证11B C A D ∥，即可证明结论；（2）根据已知可证1A O ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，求出1,,,A A B D 坐标，进而求出平面1A AB 和平面1A AD 的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】方法一：（1）依题意，11//,A B AB 且//,AB CD ∴11//A B CD ， ∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11B C A D ∥， ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ， ∴1B C P 平面1A BD .（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥，∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO BD O =I ， ∴1A O ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OA OB OA u u u r u u u r u u u r为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则)A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，∴()()()1,0,1,0,AB AA AD ===-u u u r u u u r u u u r设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =r，则1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，∴0z y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则(n =r .设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z =u r，则1n AA n AD ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，∴0z y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，则(1,m =u r .∴1cos ,7m n m n m n⋅<>===⋅u r ru r r ur r ， 设二面角1B AA D --的平面角为α，则sin α==，∴二面角1B AA D --的正弦值为7. 方法二：（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，因为四边形11A B BA 为平行四边形，所以Q 为1AB 中点， 又因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点， ∴在1AB C V 中，1,OQ B C ∥且112OQ B C =， ∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， ∴1B C P 平面1A BD （2）略，同方法一. 【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)的离心率为3，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切. （1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >.已知l 上存在点P ，使得PMN V 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1- 【解析】（1）由C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切求出b ，再由离心率和,,a b c 关系，可求出椭圆标准方程；（2）将直线y x m =+与椭圆方程联立，消元整理，由根与系数关系，得到12,,x x m 的两个关系式，再从已知条件寻找12,,x x m 第三个等量关系，根据已知结合平面图形，可得NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，得()12,Q x y ，进而有()1222,P x x y -，代入直线l 方程，得到12,,x x m 等量关系，求解关于12,,x x m 方程组，即可求出m . 【详解】（1）依题意，1b ==，因为离心率3c e aa ===，=，解得a =所以C 的标准方程为2213x y +=.（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒， 且PMN V 是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以NP x ∥轴，过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点， 所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -，所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=.所以223648480m m ∆=-+>，解得22m -<<， 所以1232x xm +=-，② ()212314x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-.综上，m 的值为1-.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查数学运算和逻辑推理，属于中档题.21．已知函数()()2ln f x x x ax a R =-∈.（1）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()()g x f x x =-两个极值点12,x x ，试判断12x x +与12x x ⋅的大小关系并证明. 【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1212x x x x +<，证明见解析【解析】（1）利用函数有两个极值点可知()0f x '=在()0,∞+上有两个不等实根，将问题转化为2y ax =与()ln 1g x x =+在()0,∞+有两个不同的交点的问题，通过数形结合的方式确定相切为临界状态，进而利用过某点处切线的求解方法可求得结果；（2）根据12,x x 为()0g x '=的两根可得到1122ln 2ln 2x ax x ax =⎧⎨=⎩，设12x x >，则121x t x =>，由方程组可求得ln 12t t x e-=，将12x x +与12x x ⋅的大小比较问题转化为比较1211,1x x +的大小关系，进一步将问题化为比较()()1ln 1ln ,0t t t t -+-大小关系，设()()()1ln 1ln m t t t t t =-+-，利用导数可求得()0m t <，进而得到结论.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()ln 12f x x ax '=+-，()f x Q 有两个极值点，()0f x '∴=在()0,∞+上有两个不等实根，令()ln 1g x x =+，则2y ax =与()g x 在()0,∞+有两个不同的交点，当y kx =与()g x 相切时，设切点为()00,ln 1x x +， 则()0000ln 11x g x k x x +'===，解得：011x k =⎧⎨=⎩， 则当021a <<时，2y ax =与()g x 在()0,∞+有两个不同的交点，10,2a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有两个极值点.（2）1212x x x x +<，证明如下：由题意得：()1ln 21ln 2g x x ax x ax '=+--=-， 12,x x 为()0g x '=的两个根，不妨设12x x >，则121x t x =>， 则11122212ln ln 2ln ln 2ln ln ln x t x ax x x ax x x t⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎩，解得：ln 122ln ln 1t t t x x e t -=⇒=-，要考虑1212,x x x x +大小关系即考虑1211,1x x +的大小关系， 即考虑211,1t x t +⨯的大小关系即考虑ln 11,1t t t e t--+⨯的大小关系，即考虑ln 1+ln ,01t tt t+--的大小关系即()()1ln 1ln ,0t t t t -+-的大小关系， 令()()()1ln 1ln m t t t t t =-+-， 则()()212ln 1ln ln 111m t t t t t t ⎛⎫'=+--=+- ⎪++⎝⎭， 由()ln 1x x ≤+知：()()121011t m t t t t t -'≤-=<++， ()m t ∴在()1,+∞上单调递减，()()10m t m ∴<=，即12111x x +<， 1212x x x x ∴+<.【点睛】本题考查根据导数极值点的个数求解参数范围和比较大小的问题；构造函数比较大小的关键是能够通过引入第三变量，将双变量问题转化为单变量问题，进而通过构造函数将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数求解函数的最值得到大小关系. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α=【解析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值. 【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-= ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-= ∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ= （2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=.∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-. ∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α= ∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-= ∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.23．已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=. （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++≥.【答案】（1）7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）由条件等式将b c +用a 表示，再从0,0,0a b c ＞＞＞，进一步求出a 的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明149()36a b c a b c++++≥，利用基本不等式即可得证.【详解】（1）依题意，20a b c -=+＞，故02a ＜＜. 所以()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以()22722244a b c +++-=≤＜，即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （2）因为0,0,0a b c ＞＞＞，所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭14+≥，1436+==当且仅当12,,133a b c ===时，等号成立， 又因为2a b c ++=， 所以14918a b c++≥. 【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.。

重庆市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．13．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．244．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．465．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．2169．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．重庆市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【分析】首先化简集合A和B，然后根据V enn图求出结果．【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}图中的阴影部分表示集合N去掉集合M∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}故选：B．2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，然后利用复数单位的幂运算求解即可．【解答】解：复数z=1+=1+=i．1+z+z2+…+z2016=1+i+i2+…+i2016=1．故选：D．3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．24【考点】二项式系数的性质．【分析】由于|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1，即可求得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值．【解答】解：由题意（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得，|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=45=1024，故选：A．4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．46【考点】程序框图．【分析】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n﹣1，然后判断p＞2016是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n﹣1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于2016时，输出n的值．【解答】解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，执行n=1+1=2，p=1+（2×2﹣1）=1+3=4；判断4＞2016不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3﹣1）=1+3+5=9；判断9＞2016不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4﹣1）=1+3+5+7=16；…由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，由p=＞2016，且n∈N*，得n=45．故选：C．5．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故为假命题，故错误；②若x，y∈R，当“x≥2或y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，当“x2+y2≥4”时，“x≥2或y≥2”不一定成立，故“x ≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故正确；③当x=0时，y=log a（x+1）+1=1恒成立，故函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1），故正确；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1，故错误；故选：C6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，进而可得其侧视图的面积．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，分2步讨论，首先分析甲，因为甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外1人参加同一个社团，2种情况讨论，由加法原理，可得第二步的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A44=24种情况，若甲是1个人参加一个社团，则有C42•A33=36种情况，则除甲外的4人有24+36=60种情况；故不同的参加方法的种数为3×60=180种；故选C．9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos （β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】解：根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|F1A|﹣|F2A|=2a，而|F1A|+|F2A|=2c，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|=2a，得（x+c）﹣（c﹣x）=2a，解得x=a，∵|OA|=a，∴在△F1CF2中，OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）==a，∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．故选：A．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】二次函数的性质．【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，当x=1时，使F（1）=≠0；当x≠1时，解得a=，∴a′==0，得x=2或x=，（＜1，舍去），x （1，2） 2 （2，4）a′+0 ﹣a ↗最大值↘∴当x=2时，a最大==，所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=9．【考点】等差数列的性质；定积分的简单应用．【分析】先利用定积分求得，再根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵=（x2+x）|02=5，∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为8千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【分析】利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程y=bx+a，通过x=2，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由题意知，n=10，==8，=y i=2，b===0.3，a=﹣b=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴线性回归方程为y=0.3x﹣0.4，当y=2时，x=8，故答案为：8．16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，可得公共弦的方程为（2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，即（﹣2a）x+（﹣2•ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣a），当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，即：2ax+2by=a2+8．O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9 ①．令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）把A+3C=B代入A+B+C=π得B=+C，可得sinB=cosC＞0，由条件和正弦定理化简后，利用平方关系求出cosC的值；（2）由条件求出边c的值，由（1）和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA 的值，代入三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意得A+3C=B，则A=B﹣3C，代入A+B+C=π得，B=+C，所以sinB=cosC＞0，∵，∴由正弦定理得，，则，①又sin2C+cos2C=1，②由①②得，cos2C=，则cosC=；（2）∵，b=3，∴c=，由（1）知sinB=cosC=，且B=+C，∴cosB=﹣=﹣，同理可得sinC=，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+（﹣）×=∴△ABC的面积S===．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈=…．（Ⅱ）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100…．K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM是二面角Q﹣BD ﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PDC，图1所示．∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD．∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），从而得到满足题意的定点只能是（，0），设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此得到BP恒过定点（，0）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，∴由题设，得，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），当A（1，），B（1，﹣）时，P（4，），直线BP：y=x﹣，当A（1，﹣），B（1，）时，P（4，﹣），直线BP：y=﹣x+，∴满足题意的定点只能是（，0），设为D点，下面证明P、B、D三点共线．设A（x1，y1），B（x2，y2），∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y1）在直线BD上，由，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，∵△=144（1+m2）＞0，∴，，①∵k DB﹣k DP=﹣=﹣==，①式代入上式，得k DB﹣k DP=0，∴k DB=k DP，∴点P（4，y1）恒在直线BD上，从而P、B、D三点共线，即BP恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF 的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．【解答】证明：（1）连接OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AD．…∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，∴AM•MB=DF•DA…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．把代入上述方程即可化为直角坐标方程．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2=4x．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）f（x）=|x﹣4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）+（x+5）|=|2x+1|，当且仅当（x﹣4）（x+5）≥0，即x≤﹣5或x≥4时取等号．所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[4，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）﹣（x+5）|=9，所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，即a的取值范围是（9，+∞）．。

重庆市直属校（重庆市第八中学）2020届高三下学期3月月考理科数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A. {0，1，2}B. {﹣1，0，1，2}C. {﹣2，﹣1，0，1，2}D. {﹣2，﹣1，0}【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合A，由此求得两个集合的交集.【详解】∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}.故选：C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（）A. 2 7 C. 2210【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算化简已知条件，根据复数相等的知识求得,a b，由此求得3a bi+，进而求得3a bi+.【详解】由题意可知：211a bi ii+==-+，∴a＝1，b＝﹣1，∴3a+bi＝3﹣i，∴|3a+bi|＝|3﹣i|10=，故选：D.【点睛】本小题主要考查复数除法、复数相等、复数模的求法等知识，属于基础题.3.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q ，进而求得9a 以及29log a 的值. 【详解】∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2+16， ∴2q 2＝2×2q +16，且q ＞0， 解得q ＝4，∴log 2a 98224log =⨯=17.故选：C .【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4.若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝x +y 的最小值为（ ）A. ﹣8B. ﹣6C. 1D. 3【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域，结合图像判断出z x y =+经过()4,2A --时取得最小值. 【详解】由题意作平面区域如下， 由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得，A （﹣4，﹣2），z ＝x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值.故z ＝x +y 的最小值是﹣6， 故选：B .【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数最值，属于基础题.5.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A.35B.710C.45D.910【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算方法，结合组合数的计算，计算出所求概率.【详解】由题意，5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n 25C ==10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m 211223C C C =+=7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p 710m n ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题.6.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==，G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，则1CGCC =（ ）A.12B.13C.23D.14【答案】B 【解析】 【分析】根据对应边成比例，两直线平行，证得1//EF BD ，根据面面平行的性质得到//AF BG ，由此求得1CGCC 的比值. 【详解】∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==， ∴EF ∥BD 1，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，∵G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，∴AF ∥BG ，∴1113CG DE CC DD ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查线线平行、面面平行有关概念的理解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的⊙C 在t ＝0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m /s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y ＝cosx ，则y 关于时间t （0≤t ≤l ，单位：s ）的函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值对选项进行排除，由此确定正确选项. 【详解】根据题意，⊙C 的半径为1，则其周长l ＝2π，当t ＝0时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ＝π，此时y ＝cosπ＝﹣1； 当t 12=时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x 43π=，此时y ＝cos4132π=-＜0； 当t ＝1时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ＝2π，此时y ＝cos 2π＝1； 据此排除BCD ； 故选：A .【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8.()()nmx x n N +∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x 3的系数为（ ）A. 40B. 30C. 20D. 10【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得n ，令1x =，以各项系数和列方程，解方程求得m 的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得3x 的系数.【详解】∵()nmx x+的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n ＝5.再令x ＝1，可得各项系数和为（m +1）5＝243＝35，∴m ＝2， 则展开式中的通项公式为T r +15rC =•m5﹣r•52rx -，令52r-=3，可得r ＝4， 故展开式中x 3的系数为45C •2＝10， 故选：D .【点睛】本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和，考查二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.9.设函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果1271212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（ ）A. 3B. 12-3 D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求得ω，根据012f π⎛⎫=⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x 解析式.根据()()12f x f x =求得12x x +，由此求得()12f x x +的值.【详解】根据函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象， 可得12721212πππω⋅=-，∴ω＝2. 再根据五点法作图可得2•122ππϕ+=-，∴φ23π=-，∴f （x ）＝cos （2x 23π-）. 如果1271212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，则2x 123π-∈（2π-，2π），2x 223π-∈（2π-，2π），∵f （x 1）＝f （x 2），∴2x 123π-+（2x 223π-）＝0，∴x 1+x 223π=， 则f （x 1+x 2）＝cos （4233ππ-）＝cos 23π=-cos 132π=-， 故选：B .【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数值的计算，属于中档题.10.已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，△ABC 是边长为6的等边三角形，记△ABC 的外心为O 1.若三棱锥P ﹣ABC 的体积为123则PO 1＝（ ） A. 23 B. 25C. 26D. 27【答案】D 【解析】 【分析】取得等边三角形ABC 的面积，利用正弦定理求得三角形ABC 外接圆的半径，根据三棱锥P ABC -的体积求得三棱锥的高，利用勾股定理求得1PO .【详解】由题意可得：S △ABC 236=⨯=93，O 1A ＝162sin 3π⨯=23，O 1O ＝2. 设点P 到平面BAC 的高为h ，由11233=⨯h ×93，解得h ＝4.∴点P 所在小圆⊙O 2（⊙O 1与⊙O 2所在平面平行）上运动，OO 2＝2. ∴O 2P ＝23.∴PO 122122O O O P =+=27.故选：D .【点睛】本小题主要考查球的内接三棱锥的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.11.设双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的左顶点为A ，右焦点为F （c ，0），若圆A ：（x +a ）2+y 2＝a 2与直线bx ﹣ay ＝0交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A.62B. 2C. 3D. 3【答案】B 【解析】 【分析】联立直线的方程和圆A 的方程，求得E 点的坐标，根据以O 为圆心的圆与线段EF 相切，且切点为EF 的中点，得到OE OF =，由此利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】联立2220()bx ay x a y a -=⎧⎨++=⎩.⇒E （322a c-，222a b c -），∵依题意可知OE ＝OF ，∴32222222()()a a b c c c-+-=， ∴4a 4＝c 4. ∴2ce a==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.函数f（x）()()()1xln x xxe x-⎧-⎪=⎨≥⎪⎩＜，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（）A.415⎛⎤⎥⎝⎦， B. （﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪{1}D. （﹣1，0）∪{1}【答案】D【解析】【分析】利用()f x的导函数()'f x判断出()f x的单调区间，由此画出()f x的大致图像，令()t f x=，对t的取值进行分类讨论，结合()f x的图像以及方程有四个不相等的实数根列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】当x≥0时，()()'11xf x e x-=-，所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：令t＝f（x），则由上图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，所以关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），当t 1＝0，t 2＝1时，a ＝1，当t 1∈（0，1），t 2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a ×0+a ﹣a 2）（12﹣a ×1+a ﹣a 2）＜0，解得﹣1＜a ＜0，综上所述，a ∈（﹣1，0）∪{1}. 故选：D .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，则a b ⋅=_____. 【答案】﹣5 【解析】 【分析】利用向量模的坐标运算、向量数量积的运算公式，计算出a b ⋅.【详解】因为向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，所以：|a |==则10a b ⋅=⨯cos 120°＝10×（12-）＝5-； 故答案为：5-.【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量数量积的计算，属于基础题. 14.已知函数f （x ）＝3|x ﹣a |（a ∈R ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），则实数a 的值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据()()4f x f x =-判断出()f x 的对称轴，由此求得a 的值. 【详解】∵f （x ）＝f （4﹣x ）， ∴函数关于x ＝2对称， 即f （a ）＝f （4﹣a ）， 即3|a ﹣a |＝3|4﹣a ﹣a |， 即30＝3|4﹣2a |即|4﹣2a |＝0，得2a ﹣4＝0， 得a ＝2， 故答案为：2【点睛】本小题主要考查函数的对称性，属于基础题.15.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n ∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =__________.【答案】5052021【解析】 【分析】因为()()222220n n S n n S n n -+--+=，当1n =时，可得12a =.由()()222220n n S n n S n n -+--+=,可得()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，求得2n S n n =+，即可求得2n a n =，结合已知，即可求得答案. 【详解】()()222220n n S n n S n n -+--+=当1n =时，2140a -=解得：12a =或12a =- 数列{}n a 为正数，∴12a =由()()222220n n S n n S n n -+--+=即()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，20n S +≠ ∴2n S n n =+当2n ≥时，21(1)(1)n S n n -=-+-两式相减得：2n a n =当1n =，满足2n a n =∴2n a n =()()141111114n n n n a a n n +=++= 11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11111111111231423411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦可得：11141n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+ 当2020n =，2020150542021120211T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 故答案为：5052021. 【点睛】本题主要考查了求数列前n 和，解题关键是掌握“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点F ，M 分别作AB 的垂线交l 于点P ，Q ，若|AF |＝3|BF |，则|FP |•|MQ |＝_____. 【答案】169【解析】 【分析】利用抛物线的定义以及3AF BF =结合平面几何知识，求得FP 和MQ 的长，由此求得FP MQ ⋅.【详解】如图，作BF ⊥l 于F ，作AE ⊥l 于E ，令准线与x 轴交点为S ，AB 交准线于K . 设BH ＝m ，则AF ＝3m ，∵13HB KB AE AK ==，∴BK ＝2m 则sin ∠HKB 122m m ==，∴∠HKB ＝30°.∵23HB m SF m =，∴213m =，∴23m =， ∴|FK |＝2.∴303PF FK tan =⋅=. |QM |＝|MK |•tan 30°＝4m ×tan 30°.83333=⨯= 则|FP |•|MQ |169333=⋅=. 故答案为：169.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 三、解答题：（共70分）17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(cos 3)c b A A =． （1）求角B 的大小；（2）若4a =，且BC 3ABC 的周长． 【答案】（1）6B π=；（2）623+．【解析】 【分析】（1）因为(cos 3)c b A A =+，由正弦定理可得：sin sin (cos 3)C B A A =结合已知，即可求得答案；（2）画出图形，3,6AD B π==，则23sin ADc AB B===，结合余弦定理，即可求得答案. 【详解】（1）(cos 3sin )c b A A =+∴由正弦定理可得：sin sin (cos 3sin )C B A A =+sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+(0,),sin 0A A π∈>cos 3sin B B ∴= ∴3tan B =，又(0,)B π∈故6B π=．（2）画出图象，如图：3,6AD B π==则23sin ADc AB B===又4a =在ABC 中，由余弦定理2222cos 4b a c ac B =+-= 可得2b =可得ABC 的周长为623a b c ++=+【点睛】本题主要考查了由正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，AE ＝2EB ＝2，且DE ⊥AB.以DE 为折痕把△ADE 折起，使点A 到达点F 的位置，且∠FEB ＝60°.（1）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（2）若直线DF 与平面BCDE 15E ﹣DF ﹣C 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】 【分析】（1）首先通过证明DE ⊥平面BEF 证得DE BF ⊥.结合余弦定理和勾股定理证得FB EB ⊥，由此证得BF ⊥平面BCDE ，进而证得平面BFC ⊥平面BCDE .（2）建立空间直角坐标系，由直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值求得正弦值，结合直线DF 的方向向量和平面BCDE 的法向量列方程，解方程求得DE 的长.由此通过平面EDF 和平面DFC 的法向量，计算出二面角E DF C --的余弦值，进而求得其正弦值. 【详解】（1）证明：∵DE ⊥AB ，∴DE ⊥EB ，DE ⊥EF ， ∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥BF ， ∵AE ＝2EB ＝2，∴EF ＝2，EB ＝1， ∵∠FEB ＝60°，∴由余弦定理得BF 2223EF EB EF EB cos FEB ∠+-⨯⨯=∴EF 2＝EB 2+BF 2，∴FB ⊥EB ， 由①②得BF ⊥平面BCDE ， ∴平面BFC ⊥平面BCDE.（2）解：以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系，设DE ＝a ，则D （1，a ，0），F （0，03，DF =（﹣1，﹣a 3）， ∵直线DF 与平面BCDE 15，∴直线DF 与平面BCDE 所成角的正弦值为6， 平面BCDE 的法向量n =（0，0，1）， ∴|cos n DF ＜，＞|2364n DF n DFa ⋅===⋅+，解得a ＝2， ∴D （1，2，0），C （﹣2，2，0），∴ED =（0，2，0），DF =（﹣1，﹣2，3）， 设平面EDF 的法向量m =（x ，y ，z ），则20230ED m y DF m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取z ＝1，得m =（301，，）， 同理得平面DFC 的一个法向量p =（0，3，2）， ∴cos 727m p m p m p ⋅===⋅＜，＞，∴二面角E ﹣DF ﹣C 的正弦值为sin 14217m p =-=＜，＞.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查根据线面角求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N （μ，σ2）.在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查. （1）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量： 10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.2210.13 9.91 9.9510.09 9.96 9.8810.01 9.98 9.9510.05 10.05 9.96 10.12经计算得201120i x ==∑x i ＝9.96，s ==≈0.19；其中x i为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，i ＝1，2，…，20.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P （X ＝1）及X 的数学期望.附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95.【答案】（1）需对本次的生产过程进行检查（2）P （X ＝1）≈0.0494；E （X ）≈0.052 【解析】 【分析】（1）根据题目所给数据得到,μσ，由此求得()3,3μσμσ-+，有一件药品在这个区间外，由此判断需对本次的生产过程进行检查.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出()1P X =，以及求得X 的数学期望. 【详解】（1）由x =9.96，s ＝0.19. 可得：μ=9.96，σ=0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分9.22含量在()3,3μσμσ-+＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查.（2）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026， 故X ～B （20，0.0026），∴P （X ＝1）120=0.997419×0.0026≈0.0494.X 的数学期望E （X ）＝20×0.0026≈0.052.【点睛】本小题主要考查3σ原理的运用，考查二项分布及其期望的计算，属于基础题.20.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点.△ABF 2的周长为（1）求椭圆C 的标准方程：（2）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线PA ，PB 与y ＝2分别交于点M ，N ，当|MN |最小时，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）x ﹣y +1＝0【解析】 【分析】（1）根据三角形2ABF 的周长求得a ，结合椭圆离心率和222b a c =-求得,b c 的值，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.通过直线PA 的方程求得M x ，通过直线PB 的方程求得N x ，由此求得MN 的表达式并进行化简，对m 进行分类讨论，由此求得MN 的最小值以及此时直线AB 的方程.【详解】（1）由题意可得：4a＝2c a =， ∴a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）点P （0，﹣1），F 1（﹣1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），显然直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为：x ＝my ﹣1，则可知m ≠﹣1，联立方程22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得：（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0， ∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+， 直线PA 的方程为：（y 1+1）x ﹣x 1y ﹣x 1＝0，可得1131M x x y =+， 同理2231N x x y =+，|MN |＝|12123311x x y y -++|＝3|()()()()()()122112111111my y my y y y -+--+++|＝312121211m y y y y y y +-⨯=+++221312122m m m m +⨯=-++++，当m ＝0时，|MN |＝，当m ≠0时，|MN |＝= 由于m 1m+∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），则()11112211m m∞⎡⎫∈⋃+⎪⎢⎣⎭++，，，此时|MN |的最小值为6＜m ＝1处取得，综上所述，当|MN |最小时，直线AB 的方程为：x ＝y ﹣1，即x ﹣y +1＝0.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中线段长度的最值的求法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21.已知函数f （x ）＝e ax ﹣x ﹣1，且f （x ）≥0. （1）求a ；（2）在函数f （x ）的图象上取定两点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））（x 1＜x 2），记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使f '（x 0）＝k 成立？若存在，求出x 0的值（用x 1，x 2表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）a ＝1（2）存在；21021x x e e x ln x x -=-【解析】 【分析】（1）当0a ≤时，判断出()0f x ≥不恒成立.当0a >时，利用导数求得()f x 的最小值，根据这个最小值为非负数，构造函数并结合导数，求得a 的值. （2）首先求得k 的表达式，构造函数()()'t x fx k =-，由()()120,0t x t x <>，结合零点存在性定理，判断出0x 存在，并求得0x 的值.【详解】（1）若a ≤0，则对一切x ＞0，f （x ）＝e ax ﹣x ﹣1＜0，不符合题意，若a ＞0，f ′（x ）＝ae ax﹣1，令f ′（x ）＝ae ax﹣1＝0可得x lnaa-=， 当x lna a -＜时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，当x lna a-＞时，f ′（x ）＞0，函数f（x ）单调递增，故当x lna a =-时，函数取得最小值f （lna a -）11lnaa a=+-， 由题意可得，有11lnaa a+-≥0①， 令g （t ）＝t ﹣tlnt ﹣1，则g ′（t ）＝﹣lnt ，当0＜t ＜1时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增，当t ＞1时，g ′（t ）＜0，g （t ）单调递减， 故当t ＝1时，g （t ）取得最大值g （1）＝0，当且仅当1a=1即a ＝1时①成立， 综上a ＝1；（2）由题意可知，k ()()21212121x x f x f x e e x x x x --==---1， 令t （x ）＝f ′（x ）﹣k ＝e x2121x x e e x x ---，则可知y ＝t （x ）在[x 1，x 2]上单调递增，且t （x 1）121x e x x =--[21x x e --（x 2﹣x 1）﹣1]，t （x 2）221x e x x =-[e 12x x --（x 1﹣x 2）﹣1]， 由（1）可知f （x ）＝e x ﹣x ﹣1≥0，x ＝0时取等号， ∴21x x e --（x 2﹣x 1）﹣1≥0，e 12x x --（x 1﹣x 2）﹣1≥0， ∴t （x 1）＜0，t （x 2）＞0，由零点判定定理可得，存在x 0∈（x 1，x 2），使得t （x 0）＝0且由21210x x xe e e x x -=--解得21021x x e e x ln x x -=-，综上可得，存在x 0∈（x 1，x 2），使f '（x 0）＝k 成立【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查零点存在性定理的运用，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，直线l 的参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）若点P 的极坐标为（2，π），求|PM |•|PN |的值；（2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值.【答案】（1）4（2）16【解析】【分析】（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线C 的直角坐标方程.求得P 的直角坐标，由此判断P 在直线l 上，求得直线l 的标准参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得PM PN ⋅的值.（2）求得椭圆C 内接矩形周长的表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，转换为直角坐标方程为221124x y +=. 点P 的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P （﹣2，0）在直线l 上，所以直线l 参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），所以代入曲线的方程为22(2)()1222t t -++=，整理得240t --=，所以|PM |•|PN |＝|t 1t 2|＝4.（2）不妨设Q（2sin θθ，），（02πθ≤≤），所以该矩形的周长为4（2sin θθ+）＝16sin （3πθ+）. 当6πθ=时，矩形的周长的最大值为16.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的几何意义，考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23.已知函数f （x ）＝x |x ﹣a |，a ∈R .（1）当f （2）+f （﹣2）＞4时，求a 的取值范围；（2）若a ＞0，∀x ，y ∈（﹣∞，a ]，不等式f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）（﹣∞，﹣1）（2）0＜a ≤6【解析】【分析】（1）化简不等式()()224f f +->得到222a a --+>，利用零点分段法求得不等式的解集，也即求得a 的取值范围.（2）将不等式()3f x y y a ≤++-恒成立，转化为()()max min 3f x y y a ≤++-.求得()f x 的最大值以及3y y a ++-的最小值，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）f （2）+f （﹣2）＞4，可得2|2﹣a |﹣2|2+a |＞4，即|a ﹣2|﹣|a +2|＞2， 则2222a a a ≤-⎧⎨-++⎩＞或22222a a a -⎧⎨---⎩＜＜＞或2222a a a ≥⎧⎨---⎩＞， 解得a ≤﹣2或﹣2＜a ＜﹣1或a ∈∅，则a 范围是（﹣∞，﹣1）；（2）f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，等价为f （x ）max ≤（|y +3|+|y ﹣a |）min ，其中当x ，y ∈（﹣∞，a ]，|y +3|+|y ﹣a |≥|y +3+a ﹣y |＝|a +3|＝a +3，当且仅当﹣3≤y ≤a 取得等号，而f （x ）＝﹣x （x ﹣a ）＝﹣（x 2a -）22244a a +≤，当且仅当x 12=a 时取得等号. 所以24a ≤a +3，解得0＜a ≤6. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

重庆育才中学高2020级高三下3月月考数学理科试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|12,|14,A x x B x x x Z =-≤≤=-<<∈，则A B =I （ ） A. {}0,1,2 B. []0,2C. {}0,2D. ()0,2【答案】A 【解析】因为{}{|12},0,1,2,3A x x B =-≤≤=，所以{0,1,2}A B ⋂=，应选答案A． 2.已知复数21iz =-+，则（ ） A. 2z = B. z 的实部为1C. z 的虚部为1-D. z 的共轭复数为1i +【答案】C 【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--．则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1zi =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量()1,1a =r ，()24,2a b +=r r ，则向量a r ，b r的夹角为( )A.3π B.6π C.4π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据求出向量b r的坐标，然后代入向量夹角公式cos a b a bθ⋅=r r r r 即可得解. 【详解】因为()24,2a b +=r r ，()1,1a =r，所以()()()()4,224,22,22,0b a =-=-=r r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos 2θ==， 因为0θπ≤≤， 所以4πθ=，所以向量a r ，b r的夹角为4π， 故选：C.【点睛】本题考查了向量的坐标表示，向量的夹角公式，考查了计算能力，属于基础题. 4.“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.【详解】解：由()()ln 2ln 10a b --->，得201021a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得1a b >>，1ab∴>； 反之，由1ab>，不一定有()()ln 2ln 10a b --->，如2,1a b =-=- ∴“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题. 5. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．． ．A. 288+36B. 60C. 288+72D. 288+8【答案】A 【解析】试题分析:由三视图知：该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，所以该几何体的体积是21V 38866362882ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可． 6.某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a =( )A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】D 【解析】 【分析】本题根据所要得出的结果来求判断条件，进行若干轮的循环求解，找到结束点即可. 【详解】初始条件1S =,1K =；运行第一次，131122S =+=⨯，2K =； 运行第二次，3152233S =+=⨯，3K =； 运行第三次，5173344S =+=⨯,4K =； 运行第四次，7194455S=+=⨯，5K =，要输出的值是95，必须条件满足，停止运行，所以判断框填4?K >， 故选：D.【点睛】本题考查了补全程序框图，考查了计算能力，属于中档题.7.圆C 是心直线:(21)(1)20l m x m y m ++++=的定点为圆心，半径4r =，则圆C 的方程为（ ） A. 22(2)(2)16x y ++-= B. 22221)6()(x y -+-= C. 22(2)(2)16x y -++= D. 22(2)(2)16x y +++=【答案】A 【解析】由()()21120m x m y m ++++=有()()220x y m x y ++++=，所以直线过定点()2,2-，则所求圆的方程为()()222216x y ++-=，故选择A.8.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是（ ） A. ②③ B. ③④C. ①④D. ①②【答案】A 【解析】对于命题①，直线,m n 可以相交和异面，故是错误的；对于命题②，由二面角的定义可知直线m n ⊥，故是正确的；对于命题③，由异面直线所成角的定义可知直线m n ⊥，故是正确的；对于命题④，直线,m n 可以相交和异面，故是错误的，应选答案A ．9.数列{a n }满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋯+=∈，则a 1a 2a 3…a 10=（ ） A. 551()2B. 1011()2-C. 911()2-D. 601()2【答案】A 【解析】 【分析】由题,当2n ≥时,得到22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=,与题目中式子相减,即可得到12n n a =,进而求解【详解】解：n =1时,a 1=12, ∵211232222n n n a a a a -+++⋯+=, ∴2n ≥时,22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=, 两式相减可得2n -1a n =12, ∴12n na =, n =1时，也满足∴12310a a a a =L 55231012310111111222222++++⎛⎫⨯⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭L L , 故选A【点睛】本题考查数列递推式,考查数列的通项,解题的关键是确定数列的通项,进而求解 10.函数()cos()(0,)2f x x πωϕωω=+><的部分图象如图所示，则函数3()()g x f x ϕπ=-的最小正周期为A. πB. 2πC. 4πD.2π【答案】A 【解析】 【分析】先根据图象求周期得ω，再根据点坐标求ϕ，最后根据()g x 图象确定周期.【详解】由图知7πππ2ππ241234T T ωω=-=⇒==⇒=，点π03⎛⎫⎪⎝⎭，是五点作图的第二个点，则πππ2326ϕϕ⨯+=⇒=-，∴()()3π1cos 2π62g x f x x ϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，由图象知()y g x =与π1cos 262y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期相同，均为2ππ2T ==，故选A.【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应特殊点求ϕ.11.已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤成立，则双曲线的离心率取值范围是( )A. (B. )+∞C. (D.)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据所给条件和三角形面积公式，求得a ，c 的关系式，即可求得离心率的范围. 【详解】设12PF F ∆的内切圆半径为r ， 则111=2IPF S PF r ∆⋅，221=2IPF S PF r ∆⋅，12121=2IF F S F F r ∆⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤，所以1212PF PF F -≤， 由双曲线的定义可知12=2PF PF a -，12=2F F c ，的所以2a ≤，即ca≥ 故选：B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于,,a b c 的齐次式，再化简转化成关于e 的不等式即可得解，本题属于较难题.12.已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D. 24[,)e-+∞ 【答案】B 【解析】 分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围. 【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnxk x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.【二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.2-⎰=______.【答案】2π 【解析】 【分析】根据被积函数y =22x ≤≤）表示一个半圆，利用定积分的几何意义即可得解.【详解】被积函数y =（22x ≤≤）表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分，所以221=2=22ππ-⋅⎰.故答案为：2π.【点睛】本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.14.已知46n n C C =，设()()()()201234111n nn x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则12n a a a +++=L _____． 【答案】1023 【解析】 【分析】根据组合数公式性质可得10n =；分别代入1x =和2x =求得0a 和012n a a a a +++⋅⋅⋅+，作差即可得到结果.【详解】46n n C C =Q 10n ∴=即：()()()()2012101034111n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+- 代入1x =可得：()100341a -==代入2x =可得：()1010012642n a a a a -==+++⋅⋅⋅+1012211023n a a a ∴++⋅⋅⋅+=-=本题正确结果：1023【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.15.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________． 【答案】18 【解析】根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为2112333318.C C C C +=故答案为18.16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1AP=AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连结EF ，当AEF ∆的面积最大时，tan BPC ∠=__________.【答案】2【解析】 【分析】利用PA ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面PAB ，进而可以证明出BC AE ⊥，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明AE ⊥平面PBC ，因此可以证明出AE PC ⊥，最后利用线面垂直定理证明出PC ⊥平面AEF ，因此得到AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点.解法1：设AB x =，BC y =，利用三角形面积公式可以求出AE长，在利用PFE PBC ∆∆∽，求出EF 的长，最后求出AEF ∆的面积表达式，利用换元法和配方法求出AEF ∆面积平方的最大值，最后求出tan BPC ∠的值；解法2：设BPC θ∠=，求出EF 、BC 、PB 、AB 的大小，再求出AE 的大小，最后求出AEF S ∆表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出tan BPC ∠的值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AE ⊥，又PB AE ⊥， 所以AE ⊥平面PBC ，所以AE PC ⊥，又AF PC ⊥，所以PC ⊥平面AEF ，综上AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点. 解法1：设AB x =，BC y =，则221x y +=，又1AP=AC =，则AE =，又PFE PBC ∆∆∽，可得EF =12AEF S EF AE ∆=⋅⋅=， 所以()()()22222222218181x x x y S x x -==++，令21x t +=，则222222(1)(2)32123113118884464t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫⎛⎫===-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当134t =时即213x =，223y =，()max 18AEF S ∆=，此时tan BC BPC PB ∠===. 解法2.设BPC θ∠=，则tan 2EF PF θ==tan 2EF θ=.又BC θ=，PB θ=，所以AB =PA AB AE PB ⋅==所以11tan 222AEFS EF AE θ∆=⋅⋅=⋅=221tan 1tan 1428θθ+-==≤⋅=当且仅当22tan 1tan θθ=-即tan 2θ=时，取等号.故答案为：2【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17~22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求二选一作答.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知222b c a +-=. （1）若tan B =a b ；（2）若23B π=,b =BC 边上的中线长. 【答案】（1）52；（2【解析】 【分析】（1）由222b c a +-=求出cos A ，从而求出sin A，再由tan 12B =得出sin B ，再根据正弦定理即可得解；（2）通过三角形内角和求出角6C A B ππ=--=，再利用正弦定理得出2c =，在ABD ∆中利用余弦定理，即可得解.【详解】（1）由222b c a +-=得cos A =6A π∴=,tan 12B =Q ，1sin 5B ∴=. 由正弦定理得，sin sin a b A B=，则1sin 251sin 52b B a A ===，∴52a b =（2）6A π=Q ,6C A B ππ=--=，AB BC ∴=，由sin sin c bC B=得2c =，取BC 中点D ，在ABD ∆中，2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⨯⨯⨯=，AD ∴=，即BC【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查了计算能力和转化思想，属于中档题. 18.某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是34，且每次投篮的结果互不影响. （1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，为投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后总的分数，求ξ的分布列及期望.【答案】（1）45512；（2）分布列见解析，24364. 【解析】 【分析】（1）根据题意以及二项分布的定义可知，投中的次数服从二项分布，即X B :35,4⎛⎫⎪⎝⎭即可得解；（2）首先求出ξ的所有可能取值，再求出所有可能取值的概率，列出分布列，利用期望公式即可得解. 【详解】（1）设X 为队员在5次投篮中投中的次数，则X B :35,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 在5次投篮中，恰有2次投中的概率为：()2325332144P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=45512或0.0879 （2）由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6()3110464P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭()2139134464P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ ()3139244464P ξ==⨯⨯= ()22311393444432P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的()33276464P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭ ξ的分布列为：24364E ξ=【点睛】本题考查了二项分布，以及求概率和期望， 考查了计算能力，属于较难题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥； （2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.的∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0）， (0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r，∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ， 平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点()10F ，，过F 作两条互相垂直的弦AB CD ，，设AB CD ，中点分别为M N ，． (1) 求椭圆的标准方程；(2)求以A B C D ，，，为顶点的四边形的面积的取值范围；【答案】(1)2212x y += (2) 1629⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率c a =1c ，=求出a 、b ，即可求椭圆的方程； （Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．②当两弦斜率均存在且不为0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且设直线AB 的方程为y=k （x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB ，CD 即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．【详解】解：(1) 由题意：12cc a ==，．∴1a b c ===．则椭圆的方程为2212x y +=(2) ①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时， 11·222S AB CD ==⨯= ②当两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB 方程为()()()11221y k x A x y B x y =-，，，， 将其带入椭圆方程整理得：()2222124220kxk x k +-+-=221212224221212k k x x x x k k-+==++，)2122112kAB xk+-=+同理，)2212kCDk+=+))()222222224214114111···=221222+2+5121kk k k kS AB CDk k k kkk⎛⎫+⎪+++⎝⎭===++⎛⎫++⎪⎝⎭22162,29121kk⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫++⎪⎝⎭，当1k=±时，169S=综上所述四边形面积范围是1629⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目．21.已知函数()ln2f x a x x=-，()()()2ln1222xg x x e a x=++-+-.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若0x≥时，()0g x≥恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2a≤.【解析】【分析】（1）对()ln2f x a x x=-求导可得：()()'220a x af x xx x-+=-=>，对a进行分类讨论即可求出单调性；（2）由题可得：()()()()()'212122011xxe x a x aag x e a xx x+-+++=+--=≥++，通过切线放缩可得：()'2121ax xg xx⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥+，再分2a≤，2a>两种情况讨论即可得出a的取值范围.【详解】（1）由题知()()'220a x af x xx x-+=-=>①当0a≤时，恒有()'0f x<，得()f x在()0,∞+上单调递减；②当0a >时，由()'0fx =，得2a x =，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，有()'0f x >，()f x 单调递增； 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，有()'0f x <，()f x 单调递减. （2）由题知()()()()()'212122011x x e x a x a a g x e a x x x +-+++=+--=≥++，由0x ≥时，恒有11x e x ≥+≥，知()()()()2'212121211a x x x a x a g x x x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥+-+++⎝⎭⎣⎦≥=++ ①当102a-≤，即2a ≤时，()'0g x ≥恒成立，即()g x 在0x ≥上单调递增， ()()00g x g \?（合题意）；②当102a->，即2a >时，此时导函数有正有负，且有()'00g =， 由()'221x a g x e a x =+--+，得()()''221x a g x e x =-++，且()''g x 在0x ≥上单调递增， 当2a >10>，101e >=，()''020g a =-<，)''11210g-=->故()'g x在()1-上存在唯一的零点0x ，当[)00,x x ∈时，()''0g x <，即()'g x 在()00,x x ∈上递减，此时()()''00g x g ≤=，知()g x 在()00,x x ∈上递减，此时()()''00g x g ≤=与已知矛盾（不合题意）；综合所述：满足条件的实数a 的取值范围2a ≤【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，在解题过程中用到了分类讨论和数形结合思想，还考查了函数的放缩以及虚设零点问题，需要较强的计算和思考能力，属于难题.22.在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为42(4x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△P AB 面积的最大值. 【答案】（1）24cos 120ρρθ--=；（2） 【解析】【分析】．1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；（2．设A ，B 两点的极坐标分别为1π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合二次方程根据系数的关系及极径的意义可求得12AB ρρ=-，又由题意得△P AB 中边AB 上最大的高为圆心C 到直线l 的距离加上半径，进而可得面积的最大值．【详解】（1）将方程424x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩，，（α为参数），消去参数α后可得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为24cos 120ρρθ--=． （2）设A ，B 两点的极坐标分别为1π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6ρ⎛⎫⎪⎝⎭，由2412π6cos ρρθθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，，消去θ整理得2120ρ--=， 根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-，∴12AB ρρ=-==∵直线l 30y -=，∴圆C 的圆心()2,0到直线l 的距离为1d ==，又圆C 的半径为4r =， ∴ ()()()max 111422PAB S AB d r =+=⨯+=V ． 【点睛】．1．进行方程间的变化时要注意相关方程的概念和转化公式的灵活运用．．2）解决参数方程或极坐标方程下的解析几何问题时，一种方法是直接根据极坐标、参数方程求解．另一种方法是转化成普通方程后在直角坐标系内求解． 23.已知函数()2f x x a x a =+++（1）若(1)3f >，求实数a 的取值范围； （2）证明：m R ∈时，1()()6f m f m-+≥． 【答案】（1）{}|30a a a -或； （2）见解析. 【解析】 【分析】．1．()13f >即为123a a +++>分类讨论即可得到结果； ．2．利用三角绝对值不等式即可得到结果.【详解】（1）()13f >即为123a a +++>．当2a <-时，233a --> ，得3a <-； 当21a -≤≤-时，13>，无解当1a >-时，233a +>，得0a >． 所以()13f >时，实数a 的取值范围为{}|30a a a -或． （2）证明：()1121222f m f m a m a a a m a a m a a m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-+++++=-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122246m m m m≥+++≥+= 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

重庆八中高2020级高三（下）第3次月考理科数学第1卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{1,A =-0，1，2}，集合{|2}xB y y ==，则(A B ⋂= )A. {}0,1B. {}1,2C. {0,1，2}D. ()0,+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合B 中函数的值域，然后求两个集合的交集.【详解】解：集合{1,A =-0，1，2}，集合{}{|2}0xB y y y y ===，{}1,2A B ∴⋂=．故选B ．【点睛】本小题主要考查集合的交集的概念及运算，考查指数函数的值域的求法，属于基础题.2.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得2i e cos2isin2=+，再由三角函数的象限符号得答案． 【详解】由题意可得，2i e cos2isin2=+，π2π2<<，cos20∴<，sin20>， 则2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 故选B ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知1a =，2b =，且()()52a b a b +⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据两平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】()()()()2252,520,55220a b a b a b a b aa b a b b +⊥-∴+⋅-=∴-⋅+⋅-=即223523,1a b a b a b ⋅=-=-∴⋅=-. 设a 与b 的夹角为θ ，则11cos 122a b a bθ⋅-===-⨯⋅， 因为[0,]θπ∈，所以23πθ=. 故选：C.【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量的夹角知识，属于基础题目. 4.若7sin 225α=-，且324ππα<<，则cos 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 45-B. 35C. 45D.35【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合二倍角的余弦公式、余弦三角函数的正负性进行求解即可. 【详解】因为7sin 225α=-，且324ππα<<，故7sin 2cos 2225παα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，2271cos(2)19252cos 22cos 1cos 2442225παππααα-+-+π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为324ππα<<，所以,424ππαπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因此cos 04απ⎛⎫-> ⎪⎝⎭.所以3 cos45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，属于中档题目.5.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A. 国防大学，研究生 B. 国防大学，博士C. 军事科学院，学士D. 国防科技大学，研究生【答案】C【解析】【分析】根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.6.函数()441xxf x=-的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域,奇偶性,单调性及特殊值即可得出答案.【详解】由已知得：44444()4(41)()()4141144141x x x x xx x x x x x x f x f x -----=-=-=----- 当0x >时，41>x ，故 ()()0f x f x --≠ 当0x <时，041x << ，故 ()()0f x f x --≠所以函数()441x x f x =-不是偶函数，因此不能关于纵轴对称，故排除A ，B.当x →-∞ 时，40x → ，则411x-→，而4x →+∞ ，所以()f x →+∞因此排除C,所以选D. 故选：D.【点睛】本题主要考查根据题目所给的函数解析式找对应图象的问题，属于中档题目. 该类型题目，从以下几个方面出发,即可得出正确答案： （1）函数的定义域. （2）函数的奇偶性. （3）函数的单调性. （4）特殊值.7.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( ) A. 36 B. 24 C. 22 D. 20【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得甲乙相邻的所有排列方法，再扣除甲乙相邻且甲和丁也相邻的情况，即为甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数.【详解】当甲乙相邻，捆绑后作为一个整体，与另外三人全排列共有24242432148A A =⨯⨯⨯⨯=种；若甲和乙相邻、甲和丁也相邻，则甲不能在最左端和最右端，当甲站在中间三个位置时，乙和丁分别位于两侧，另两个人站剩余两个位置，共有12232232212C A A =⨯⨯=种.故甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为481236-=种， 故选：A.【点睛】本题考查了排列组合问题的实际应用，对位置由特殊要求的排列问题，选择用总数去掉不合题意的部分，即为所求内容，是常用方法，属于中档题.8.已知数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则5S =（ ） A. 57 B. 64 C. 124 D. 120【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式和分组分解因式法对已知等式左右两边进行因式分解，结合等比中项的定义、等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】由211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，化简得：()()()2211111121111n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+-+++=⋅+++⇒+=+1⋅+即数列{}1n a + 是以11a +为首项的等比数列，又因为11a =，23a =，所以公比21121a q a +==+ 设数列{}1n a +前n 项和为T n ，则515(1)(1)2(31)6211a q T q +-⨯-===-- 又因为55557S T =-= 故选：A.【点睛】本题主要考查等比数列及前n 项和的有关知识，属于中档题目.9.抛物线C ：28y x =的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，且0NM NF ⋅=，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则MNF 的面积为（ ） A. 3 B. 62 C. 32 D.322【答案】B 【解析】 【分析】由0NM NF ⋅=得MNF 为直角三角形，又因为E 为线段MF 的中点12NE MF EF == 且NE HK ⊥，从而得NE 及MF 的长度，进而得,,,MH HN NK KF 的长度，故62MNFMHKFMNHKNFSSSS=--=【详解】作图如下：作准线l ' ，过点M 作MH l '⊥于H ，过点F 作FK l '⊥于K .因为0NM NF ⋅=，所以MNF 为直角三角形，又因为E 为线段MF 的中点，所以12NE MF EF == 且NE HK ⊥ 又因为28y x =，所以12,4,()3,62MH KF NE MH KF MF ===+== 22232,42OM MF OF OM ∴=-==故22HN NK ==则：111()62222MNFMHKFMNHKNFSSSSMH KF HK MH HN NK KF =--=+⋅-⋅-⋅= 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径知识，属于中档题目.10.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若()()()2sin sin 24sin a C B c b a A -+=-，2sin 24sin a C A =，则用“三斜求积公式”求得的S =（ ）A.1574B. 66C. 63D. 123【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理把两个等式进行边角转化，然后把转化后的式子代入三斜求积公式中即可. 【详解】由()()()2sin sin 24sin a C B c b a A-+=-化简得：()()()()()()22sin sin 24sin 24a C B c b a A a c b c b a a -+=-⇒-+=-即：22224a c b +-=由2sin 24sin a C A =化简得：22424a c a ac =⇒=，代入公式得：22222222211634242424a c b S a c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+-⎛⎫=-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理的边角互化，属于中档题目. 11.如图，AD 为ABC ∆的外接圆的直径，若2BC =，且32AB BC ⋅=-，则AD BC ⋅=（ ）A. 2B.43C. 1D.23【答案】C【解析】 【分析】作AE BC ⊥于点E ，OM BC ⊥于点M ，根据平面向量的定义，结合锐角三角函数的定义、垂径定理、平面向量的几何意义进行求解即可. 【详解】作图如下：由题意得：作AE BC ⊥于点E ，OM BC ⊥于点M ，因为32AB BC ⋅=-，即：32BA BC ⋅=所以3cos 2AB BC B ⋅⋅=，又因为2BC =， 所以3cos 4AB B ⋅=.即34BE =.又因为OM BC ⊥，所以1BM CM == ，所以14EM =.即AO 在BC 上的投影为14. 122214AD BC AO BC ⋅=⋅=⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题主要考查向量的数量积的几何意义，属于较难题. 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，给出下列命题：①函数()f x 有2个零点；②()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞； ③1x ∀，2x R ∈，都有()()122f x f x -<； ④当21x -≤<-时，()21212kf x x x ≥++，则2k e ≤. 其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x ex =+，故当0x >时，()()1x f x e x -=-；当0x =时，()0f x =.对于①：令()0f x =，解得函数()f x 有3个零点. 对于②：令()0f x >，解得()()1,01,-⋃+∞,对于③:求出函数()f x 是定义在R 上的最大值与最小值，即可得出结论. 对于④：通过对()21212kf x x x ≥++转化为最值问题，即可得出结论. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，当0x >时，()()1xf x ex -=-，当0x =时，()0f x =，对于①：令()0f x =得：1230,1,1x x x ===- ，故函数()f x 有3个零点；故①错误. 对于②：当0x <时，()()1xf x ex =+，令()0f x >，解得：10x -<<当0x >时，()()1xf x ex -=-，令()0f x >，解得：1x >故()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞；故②正确. 对于③：当0x <时，()()1xf x ex =+，()(2)x f x e x '=+ ，()f x 在2x =- 处取最小值21e -. 当0x >时，()()1xf x ex -=-，()(2)x f x e x -'=-+，()f x 在2x = 处取最大值21e. 而最大值减去最小值：222112()2e e e --=< ∴ 1x ∀，2x R ∈，都有()()122f x f x -<；故③正确.对于④：要使 ()21212kf x x x ≥++，又因为21x -≤<-时，()0f x <，即 21212(1)xx x k e x ++≤+令21212()(1)xx x F x e x ++=+，22222221121(2)(1)(21)(2)(2)22()0(1)(1)(1)x xx x x x x x x e x x x e x x x e F x e x e x e x '⎛⎫++++-+++ ⎪-+'===≥ ⎪+++ ⎪⎝⎭所以21212()(1)x x x F x e x ++=+在[)2,1-- 上单调递增，所以()F x 的最小值为2(2)F e -=. 故④正确. 故选C.【点睛】本题是一道函数的综合题目，属于选择题压轴题，难度较大.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在()41x +的二项展开式中，二项式系数最大的项为______. 【答案】26x 【解析】 【分析】由二项式系数的性质可得，展开式中中间项的系数最大,即最大项为：22246C x x =【详解】根据二项式展开式的二项式系数的性质得：二项式系数最大的项为展开式的中间项，即二项式系数最大的项为：22246C x x =.故答案为：26x .【点睛】主要考查二项式展开式中知识，属于基础题目. 14.已知{}n a 是等比数列，其中22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++（n *∈N ）的取值范围是______. 【答案】328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】 根据等比数列的定义可以判断数列{}1n n a a +是等比数列，利用等比数列的通项公式求出数列{}n a 的公比，再利用等比数列前n 项和公式化简所求的代数式，结合指数函数的单调性进行求解即可.【详解】由{}n a 是等比数列，设公比为q ， 因为2121n n n n a a q a a +++=， 所以数列{}1n n a a +是以12a a 为首项，2q 为公比的等比数列.又因为22a =，514a =，35212a a q q =⋅⇒=21212231218(1())(1)3214131344n n n n na a a a a a a a q q +⨯-⎡⎤-⎛⎫===-⎢⎥ ++⎪-⎝⎭⎢⎣+⎥⎦当1n =时，12231128n n a a a a a a a a ++=++=当n →+∞ 时，12231321321343nn n a a a a a a +⎡⎤⎛⎫=-→⎢⎥ +++⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12231n n a a a a a a ++++（n *∈N ）的取值范围是328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：328,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和知识，属于中档题目.15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F 且斜率为22的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】由21AF AF ⊥得AO c =，从而有(,)A a b ，再由直角三角形性质得22b ac =+，变形可得. 【详解】∵21AF AF ⊥，∴12AF F ∆是直角三角形，又O 是12F F 中点，∴AO c =，又A 在双曲线渐近线上，∴(,)A a b ，∴12tan AF F ∠=22b ac =+，变形可得：22230c ac a --=，()(3)0c a c a +-=，∴3c a =，3ce a==.故答案为3. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右顶点A 作x 轴垂线，交渐近线于点P ，则OP c =，AP b =. 16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2 Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）【答案】1.7820【解析】【分析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，点,,M N E分别为棱1,,AA AB AD的中点，以A为圆心，1为半径，分别在面11ABB A和面ABCD内作弧MN和NE.将平面ABCD绕AB旋转至与平面11ABB A共面的位置，如下图所示：则14180814410P AQ∠=⨯=，所以142sin72PQ=；将平面ABCD绕AD旋转至与平面11ADD A共面的位置，将11ABB A绕1AA旋转至与平面11ADD A共面的位置，如下图所示：则14902901265P AQ∠=⨯+=，所以142sin63PQ=；因为sin 63sin 72<，且由诱导公式可得sin 63cos 27=， 所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=， 故答案为：1.7820.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题. 三、解答题：（共70分）17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且PA AB =，E 为PD 中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A BE C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155【解析】 【分析】（1）由PB BC ⊥，BC AB ⊥，即：BC PA ⊥，又因为PD CD ⊥，CD AD ⊥，即：CD AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .（2）通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可求出二面角A BE C --正弦值.【详解】解：（1）∵底面ABCD 是正方形，BC AB ∴⊥，又BC PB ⊥，AB PB B ⋂=，BC ∴⊥平面PAB ，BC PA ∴⊥.同理可得CD PA ⊥，又BC CD C ⋂=，PA ∴⊥平面ABCD . （2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设底面正方形的边长为2，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,1,1E ，()2,0,0B .设(),,m x y z =是平面ABE 的法向量，则0,0,m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩又()0,1,1AE =，()2,0,0AB =，令1y =-，则1z =， 得()0,1,1m =-.设(),,n x y z =是平面BCE 的法向量，则0,0,n CE n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩又()2,1,1CE =--，()0,2,0BC =，令1x =-，2z =()1,0,2n =是平面BCE 的一个法向量，则10cos ,525m m m nn n ⋅===⨯，15sin ,m n ∴=∴二面角A BE C --15【点睛】本题主要考查线面垂直及二面角的知识，属于中档题目. 18.在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若()sin 23sin A B B +=，求tan tan AC的值； （2）若2sin cos sin A C B =，求ac的值.【答案】（1）12-；（2）1. 【解析】 【分析】（1）由A B C π++=，变形化简得：()()sin 3sin A C A C ππ+-=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，展开化简即可得出答案.（2）由边角关系互化得：2cos a C b =，再由222cos 2a b c C ab+-=，化简即可得出答案.【详解】解：（1）在斜三角形ABC 中，A B C π++=，所以()sin 23sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C ππ+-=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+.故()sin cos cos sin 3sin cos cos sin A C A C A C A C -+=+.整理得4sin cos 2cos sin A C A C =-，因为ABC 是斜三角形，所以cos cos 0A C ≠，所以tan 1tan 2A C =-. （2）由正弦定理得sin sin A aB b=.从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =. 由余弦定理得22222a b c a b ab+-⨯=.整理得a c =，即1ac=. 【点睛】本题主要考查三角形中的恒等变换，通过边角互化，即可得出答案.属于中档题目.19.设直线3:AC y x =与直线3:BD y x =分别与椭圆22:14x y E m m +=(0)m >交于点,,,A B C D ，且四边形ACBD 的面积为23（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点 (0,2)P 的动直线 l 与椭圆E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点，且以M N 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据两条直线解析式特征可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，则ACBD 为矩形，将3:6AC y x =与椭圆方程联立，表示出交点的横纵坐标，即可由四边形ACBD 的面积确定参数，求得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程2y kx =+，两个交点坐标()()1122,,,M x y N x y .联立椭圆方程后化简，用韦达定理表示出1212,x x x x +，经过原点，且以 M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=，由平面向量数量积的坐标运算代入即可求得斜率k .由中点坐标公式即可求得线段MN 中点G 的坐标，进而求得2OG 的值，即可得圆的标准方程.【详解】（1）由题意可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，所以四边形ACBD 为矩形，则22143x y m m y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3,A A mx m y ==所以23234D A B A AC x y S m ⋅=== 解得1m =，代入椭圆方程可得2214x y +=.（2）存在.设()()1122,,,M x y N x y ，由题意可知直线MN 的斜率必然存在.直线MN 过点 (0,2)P ，设直线MN 的方程为2y kx =+， 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()224116120k x kx +++=，所以1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，经过原点，且以 M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=， 则1212OM ON x x y y ⋅=+()()121222x x kx kx =+++ ()()21212124k x x k x x =++++ ()()21212124k x x k x x =++++()222121612404141k k k k k ⎛⎫=+⨯+-+= ⎪++⎝⎭， 解方程可得2k =±，经检验可知都满足>0∆. 设线段MN 的中点为()00,G x y .则1202816,21741x x k x k +==-=±+ ()121202422,221741k x x y y y k +++====+所以22200260289OG x y =+=，所以存在满足条件的圆，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线与椭圆位置关系，直线与椭圆交点坐标求法，由韦达定理求参数值，中点坐标公式的应用，圆的标准方程求法，平面向量数量积的坐标运算，综合性强，属于难题.20.2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“312++”高考模式.所谓“312++”，即“3”是指考生必选语文、数学、外语这三科；“1”是指考生在物理、历史两科中任选一科；“2”是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科. （1）若某考生按照“312++”模式随机选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率.（2）新冠疫情期间，为积极应对“312++”新高考改革，某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分.①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书，并说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由. 附：()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；()220.9544P X μσμσ-≤≤+=； ()330.9974P X μσμσ-≤≤+=.【答案】（1）14；（2）①能，理由见解析；②无法辨别乙同学信息真假，理由见解析 【解析】 【分析】（1）已经选出五科，再从剩余三个科目中选1个科目的方法为13C ，计算出从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理4门中选2门的总方案数，即可得其概率. （2）①由题意可知，171μ= ，而570.02282500= ，结合3σ原则可求得σ的值，结合获奖概率，并求得()P X μσ≥+，比较后可求得获奖的最低成绩，即可由甲的成绩得知甲能否获得荣誉证书.②假设乙所说为真，求得()2P X μσ≥+，进而求得σ的值，从而确定3μσ+的值，即可确定3X μσ≥+的概率.比较后即可知该事件为小概率事件，而丙已经有这个成绩，因而可判断乙所说为假.【详解】解：（1）设事件A ：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”，则()13122414C P A C C ==⋅（2）设此次网络测试的成绩记为X ，则()2,XN μσ ①由题知171μ=，因为570.02282500=，且()12210.95440.022822P X μσμσ--≤≤+-== 所以351171902σ-==，而4000.162500=， 且()()110.68280.15870.1622P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===< 所以前400名的成绩的最低分高于261μσ+=分而270261>，所以甲同学能获得荣誉证书②假设乙所说的为真，则201μ=()()12210.954420.022822P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===， 而570.2282500=，所以351201752σ-==，从而3201375426430μσ+=+⨯=<， 而()()13310.997430.00130.00522P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===< 答案示例1：可以认为乙同学信息为假，理由如下：事件“3X μσ≥+”为小概率事件，即“丙同学的成绩为430分”是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学信息为假；答案示例2：无法辨别乙同学信息真假，理由如下：事件“3X μσ≥+”即“丙同学的成绩为430分”发生的概率虽然很小，一般不容易发生，但是还是有可能发生的，所以无法辨别乙同学信息真假.【点睛】本题考查了古典概型概率求法，由组合数求法求概率，结合3σ原则求概率值， 并由3σ原则判断事件真伪，综合性强，属于难题.21.已知函数()2(0)xf x e ax a =->.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若m n a e e =+（,m n 为给定的常数，且m n <），记()f x 在区间(,)m n 上的最小值为(,)g m n ，求证：(,)(1ln 2)(1ln 2)m n g m n m e n e <--+-+.【答案】（1）①当02e a <<时，()f x 无零点；②当2a e =时，()f x 有一个零点；③当2a e >时，()f x 有两个零点；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据解析式求得导函数，并令()0f x '=求得极值点.在极值点两侧，判断导函数的符号，并求得最小值.结合当x →-∞及x →+∞时函数值特征，即可确定零点个数.（2）根据m n a e e =+及m n <，可得ln ln ln ln 22m n mn a e e m e e n +=<=<=.进而确定(,)g m n 的表达式，代入不等式化简变形，并令n m t e -=，构造函数()4ln ln 11t h t t t t =+⋅++，求得()h t '后由导函数符号判断()h t 的单调性及最值，即可证明不等式成立.【详解】（1）函数()2(0)x f x e ax a =->， 则()2x f x e a '=-，令()0f x '=，解得ln 2a x =， 当,ln 2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为单调递减； 当ln ,,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln ,,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为单调递增； 所以ln 2min()ln 2ln 1ln 222a a a a f x f e a a ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当,x →-∞时()f x →+∞；当,x →+∞时()f x →+∞；①当ln 12a <，即02e a <<时，()f x 无零点； ②当ln 12a =，即2a e =时，()f x 有一个零点； ③当ln12a >，即2a e >时，()f x 有两个零点； （2）证明：因为m n a e e =+，所以ln ln ln ln 22m nmn a e e m e e n +=<=<=， 由（1）可知()f x 在区间(,)m n 上的最小值(,)g m n ，()(,)ln 1ln 1ln 222m n m n a a e e g m n f a e e ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以不等式(,)(1ln 2)(1ln 2)m ng m n m e n e <--+-+可化为 ()1ln (1ln 2)(1ln 2)2m n m nm n e e e e m e n e ⎛⎫++-<--+-+ ⎪⎝⎭， 移项化简可得ln 2ln ln 2ln 022m n m n m n e e e e m e n e ⎛⎫⎛⎫+++-+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以4ln ln 0m nmn m n m n e e e e e e e e ⋅+⋅<++， 即4ln ln 011n mn m n m n m e e e e ----+⋅<++， 令n m t e -=，则1t >.所以原不等式可化为4ln ln 011t t t t +⋅<++， 令()4ln ln ,111t h t t t t t =+⋅>++. 则()11ln ln ln101111t t h t t t t t '=-++=<=++++，所以()h t 在()1,+∞单调递减，则()()11ln 2ln 02h t h <=+=， 即4ln ln 011t t t t +⋅<++成立， 原不等式得证.【点睛】本题考查了由导数求函数的单调区间，根据单调区间的取值特点判断零点个数，由导函数的单调性证明不等式成立，由不等式性质化简变形，对理解问题分析问题能力要求高，属于难题.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.【选修4-4：极坐标与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设曲线1C 与曲线2C 的公共弦所在直线为l .（1）在直角坐标系下，求曲线1C 与曲线2C 的普通方程；（2）若以坐标原点为中心，直线l 顺时针方向旋转6π后与曲线1C 、曲线2C 分别在第一象限交于A 、B 两点，求AB .【答案】（1）1C ：()2224x y -+=；2C ：()2224x y +-=；（2）22【解析】【分析】（1）由22sin cos 1αα+= 消参数得到1C 的普通方程，对于4sin ρθ=两边同乘以ρ，即可得到曲线2C 的普通方程.（2）将1C 与2C 的普通方程相减，即直线l 的方程：0x y -=，即l 的极坐标方程为4πθ=（ρ∈R ），顺时针方向旋转6π后，即可得出直线AB 的极坐标方程，即直线AB 的极坐标方程为12πθ=，设1,12A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,12B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1222AB ρρ=-=【详解】解：（1）圆1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）， 其普通方程为()2224x y -+=，圆2C 的极坐标方程为2224sin 4sin 4x y y ρθρρθ=⇒=⇒+=，化为普通方程为()2224x y +-=，（2）由()()22222424x y x y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，两式作差可得：0x y -=， 即直线l 的极坐标方程为4πθ=（ρ∈R ）； 由题可知直线AB 的极坐标方程为4312πππθ=-=，圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，不妨设1,12A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,12B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中10ρ>，20ρ>， 则124cos 4sin 422212123AB πππρρ=-=-==【点睛】此题主要考查圆的参数方程、圆的极坐标方程与普通方程的转化，属于中档题目.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+≥. （1）求m 的取值范围；（2）若N m ∈，证明：22(sin)(cos 1)f f m αα-+≤. 【答案】（1）12m ≤（2）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）先求得函数1()2f x f x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭式，结合绝对值三角不等式即可求得最小值，进而得m 的（2）由（1）中m 的取值范围，结合N m ∈可得0m =.代入不等式及函数解析式，分类讨论得分段函数解析式，并求得各自的最大值，即可证明不等式成立.【详解】（1）函数1()||2f x x =-， 由绝对值三角不等式可得11()22f x f x x x ⎛⎫+-+=-+- ⎪⎝⎭ ()1122x x ≥-+-= 当且仅当()102x x ⎛⎫-⋅-≥ ⎪⎝⎭时取等号， 因而12m ≤ （2）证明：由（1）可知12m ≤，且N m ∈， 则0m =，要证明22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤，只需证明22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤，而222211(sin )(cos 1)sin cos 22f f αααα-+=--+ 2211sin cos 22αα=--- 22212sin 2,sin 1211,0sin 2ααα⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩， 当21sin 12α≤≤时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-≤. 当210sin 2α≤<时，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-，综上可知22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤，【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的综合应用，去绝对值化简函数表达式，由分段函数最值证明不等式成立，属于中档题.。

2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−6x +8<0}，B ={x|1<x ≤3,x ∈N}，则A ∩B =( )A. (2,3]B. {3}C. {2,3}D. ⌀2. 设i 为虚数单位，则|1−i|=( )A. 1B. √2C. 2D. 2√23. 已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 3·a 5=64，a 2=2，则a 1等于( )A. 4B. 2C. 1D. 124. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1则z =3x +y 的最小值为( )A. 11B. 12C. 8D. 35. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有5个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽2个，白粽1个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个， 则三种粽子各取到1个概率是 ( )A. 12B. 13C. 25D. 3106. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF //平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为( )A. [√2,√3]B. [√2,√5]C. [√2,√6]D. [√2,√7]7. 函数y =cos3x+13x −3−x的图象大致为( )A. B.C.D.8. 在(√x −2)5的展开式中，x 2的系数为( )A. −5B. 5C. −10D. 109. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(x ∈R,ω>0,−π≤φ<π)的部分图象如图所示，则( )A. ω=π2，φ=−π B. ω=π2，φ=0 C. ω=π4，φ=π4D. ω=π4，φ=−3π410. 已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，若PB ⊥平面PAC ，则球O 的体积为( )A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0)，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线PF 2与圆E ：(x −c 2)2+y 2=b 216相切，则双曲线的离心率是( )．A. √2B. √3C. 2D. √512. 若关于x 的方程x 2+ax −4=0在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是( )A. (−3,+∞)B. [−3,0]C. (0,+∞)D. [0,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量p⃗ =(2,−3)，q ⃗ =(x,2)，且p ⃗ ⊥q ⃗ ，则|p ⃗ +q ⃗ |的值为______ ． 14. 已知函数f(x)的定义域为(3−2a,a +1)，且f(x −1)为偶函数，则实数a 的值是__． 15. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =(−1)n a n −12n ，n ∈N ∗，则S 1+S 2+⋯+S 100= ______ ．16.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F点的直线l与抛物线交于A，B两点直线l交准线于点E，点F是AE的中点，且|BF|=2，则|BE|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−c．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b=√3，求2a+c的最大值．18.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=π，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，2O是AC与BE的交点，以BE为折痕把△ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C=1，如图2．(1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE；(2)求二面角C−A1B−E的余弦值．19.某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为p(0<p<1)，并且是否亮灯彼此相互独立．现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位：min)，得到下面的频数表：以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长．(1)试估计p的值；(2)设X表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目．①求X的数学期望E(X)和方差D(X)；②若随机变量Z满足Z=D(X)，则认为Z∽N(0,1).假设当4900<X≤5000时，灯光展处于最佳灯光亮度．试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).附：①某盏灯在某一时刻亮灯的概率p等于亮灯时长与灯光展总时长的商；②若Z∽N(0,1)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9973．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，上、下顶点分别为B1、B2，且△B1F1F2为等边三角形．(1)求椭圆E的方程；(2)设点M(4,0)，直线B 1M 与椭圆E 相交于另一点A ，证明：A ，F 2，B 2三点共线．21. 已知函数f(x)=[ax 2−(2a +1)x +2a +1]e x ，求函数f(x)的单调区间．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.(1)求关于x的不等式|x+1|+|x−2|<5的解集；(2)若关于x的不等式x2−|2x−1|≥m在x∈R时恒成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：A={x|2<x<4}，B={2,3}；∴A∩B={3}．故选：B．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，2.答案：B解析：解：|1−i|=√12+(−1)2=√2．故选：B．直接利用复数的模的求法求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：C解析：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．解：设等比数列{a n}的公比为q，q>0，∵a3⋅a5=64，a2=2，∴a4=8=a2q2=2q2，解得q=2．=1．则a1=22故选C．4.答案：C解析：解：由约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1作出可行域如图，联立{y =2x +y =4，解得A(2,2)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8． 故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用绵竹市的几何意义，通过数形结合即可的得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．5.答案：C解析：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n =C 53=10，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m =C 21C 21C 11=4，由此能求出三种粽子各取到1个概率． 解：有题意得：基本事件总数n =C 53=10，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m =C 21C 21C 11=4，则三种粽子各取到1个概率是p =m n=410=25．故选C ．6.答案：C解析：本题考查了面面平行的判定与性质，属于中档题．过E 作出与平面BB 1D 1D 平行的截面，得出F 的轨迹，从而得出EF 的长度范围． 解：如图所示，取AD 的中点N ，A 1D 1的中点M ，连接MN ，NE ，ME ，则NE//BD，MN//DD1，NE,MN⊄平面BB1D1D，BD,DD1⊂平面BB1D1D，可得NE//平面BB1D1D，MN//平面BB1D1D，NE∩MN=N，且NE,MN⊂平面MNE，则平面MNE//平面BDD1B1，∴当F在线段MN上时，EF始终与平面BB1D1D平行，故EF的最小值为NE=√2，最大值为ME=√4+2=√6．则EF长度的范围为[√2,√6].故选C．7.答案：A解析：【试题解析】考查函数奇偶性，利用特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．，解：函数y=cos3x+13x−3−x由y=cos3x+1是偶函数，y=3x−3−x是奇函数．那么原函数就是奇函数，排除B选项；当时，y的函数值是正，且变小，当x=π3时，函数值为0．故选：A．8.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．解：(√x−2)5的展开式中，通项公式为Tr+1=C5r⋅(−2)r⋅x5−r2，令5−r2=2，求得r=1，可得x2的系数为C51⋅(−2)=−10，故选：C．9.答案：D解析：解：由题意，T=8=2πω，∴ω=π4，∵f(5)=sin(54π+φ)=1，−π≤φ<π∴φ=−3π4，故选：D．利用周期求出ω，利用最高点求出φ的值．本题考查三角函数的图象，考查函数解析式的求解，比较基础．10.答案：D解析：本题考查球的体积、棱锥的结构特征，补形法的应用，属于中档题．根据题意，得出三棱锥P−ABC为正三棱锥，由PB⊥平面PAC和正三棱锥的对称性，可将原图形补形为正方体，即可求出结果．解：由PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P−ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影为底面三角形的中心，∵PB⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，ΔPAB,ΔPBC为等腰直角三角形，∴PA=PB=PC=√2，由正三棱锥的对称性可得PA⊥PC，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为2R=√PA2+PB2+PC2=√6，半径为R=√62，∴球的体积为．故选D．11.答案：D解析：本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．解：设切点为M，则EM//PF1，又F2EF2F1=14，所以|PF1|=4r=b，所以|PF2|=2a+b，因此b2+(2a+b)2=4c2，所以b=2a，所以c=√a2+b2=√5a，∴离心率e=ca=√5．故选D．12.答案：B解析：因为x2+ax−4=0在区间[2,4]上有实数根，令f(x)=x2+ax−4所以f(2)f(4)≤0，即2a(12+4a)≤0，∴−3≤a≤0，故选B.13.答案：√26解析：解：∵p⃗⊥q⃗，∴p⃗⋅q⃗=0，即2x−3×2=0，解得x=3，∴q⃗=(3,2)，∴p ⃗ +q ⃗ =(5,−1)，∴|p ⃗ +q ⃗ |=√52+(−1)2=√26．由p⃗ ⊥q ⃗ ，得出p ⃗ ⋅q ⃗ =0，求出q ⃗ ，再求出p ⃗ +q ⃗ 和|p ⃗ +q ⃗ |即可． 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用两向量垂直，它们的数量积为0，利用坐标求向量的模长，是基础题．14.答案：6解析：解：由y =f(x −1)是偶函数，可知y =f(x)的图象关于直线x =−1对称 故有{a +1>3−2a a +1+3−2a =−2，解得a =6， 故答案为：6由y =f(x −1)为偶函数，可知函数y =f(x)的图象关于直线x =−1对称，故函数f(x)定义域的两端点关于−1对称．本题主要考查了函数奇偶性的性质和定义，函数图象的对称变换法则，属于中等题．15.答案：13(12100−1)解析：解：由S n =(−1)n a n −12n ，n ∈N ∗， 当n =1时，a 1=S 1=(−1)1a 1−12，a 1=−14．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(−1)n a n −12−(−1)n−1+12， 即a n =(−1)n a n +(−1)n a n−1+12n ． 若n 为偶数，则a n−1=−12n (n ≥2)， ∴a n =−12n+1(n 为正奇数)；若n 为奇数，则a n−1=−2a n +12n =(−2)⋅(−12n+1)+12n =12n−1． ∴a n =12n (n 为正偶数)．则−a 1=−(−122)=122，a 2=122，−a 1+a 2=2×122． −a 3=−(−124)=124，a 4=124，−a 3+a 4=2×124．…−a99+a100=2×12100．∴S1+S2+⋯+S100=(−a1+a2)+(−a3+a4)+⋯+(−a99+a100)−(12+122+⋯+12100)=2(14+116+⋯+12100)−(12+122+⋯+12100)=2⋅14(1−1450)1−14−12(1−12100)1−12=13(12100−1)．故答案为：13(12100−1)．由递推式求出数列的首项，当n≥2时分n为偶数和奇数求出a n，代入S n=(−1)n a n−12n,n∈N∗后分组，然后利用等比数列的前n项和公式求解．本题考查了数列的和的求法，考查了分组求和，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的计算能力，是中档题．16.答案：6解析：解：由题意可得FD=p，点F是AE的中点，则AM=2p，可得AN=p，∠MAF=60°，所以DF=p=2+2cos60°=3，|AF|=|EB|=2P=6．故答案为：6．利用抛物线y2=2px(p>0)的性质，结合点F是AE的中点，推出AM，得到，∠MAF=60°，通过|BF|=2，转化求解|BE|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．17.答案：解：(I)由已知以及正弦定理可得2sinBcosC=2sinA−sinC=2sin(B+C)−sinC=2sinBcosC+2cosBsinC−sinC，所以：2cosBsinC−sinC=0，由于：0<C<π，cosB=12，解得：B=π3．(II)∵b =√3，B =π3，A +C =π−B =2π3，则0<C <2π3，∴由正弦定理可得：a =2sinA ，c =2sinC =2sin(2π3−A)， ∴2a +c =4sinA +2sin(2π3−A)=5sinA +√3cosA =2√7sin(A +φ)≤2√7，其中tanφ=√35，则2a +c 的最大值为2√7．解析：(Ⅰ)直接由已知条件和正弦定理求出B 的值；(Ⅱ)由已知可得2a +c =2√7sin(A +φ)，其中tanφ=√35，由正弦函数的性质即可求得2a +c 的最大值．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)在图(1)中，∵AD//BC ，AB =BC =1，AD =2，E 是AD 的中点，∠BAD =π2，∴四边形ABCE 为正方形，∴BE ⊥AC ，AO =OC ， 即在图2中，A 1O ⊥BE ，BE ⊥OC ，A 1O =OC =√22，∵A 1C =1，∴在△A 1OC 中，A 1O 2+OC 2=A 1C 2， ∴A 1O ⊥OC ，OC ∩BE =O,OC,BE ⊂平面BCDE ， ∴A 1O ⊥平面BCDE ，∵A 1O ⊂平面A 1BE ，∴平面A 1BE ⊥平面BCDE ．解：(2)由(1)知OA 1，OB ，OC 互相垂直，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵A 1B =A 1E =BC =ED =1，∴O(0,0，0)，B(√22,0，0)，A 1(0,0，√22)，C(0,√22,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√22)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)， 设平面A 1BC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22y −√22z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 易知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)是平面A 1BE 的法向量，设二面角C −A 1B −E 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√223⋅√22=√33． ∴二面角C −A 1B −E 的余弦值为√33．解析：(1)推导出BE ⊥AC ，AO =OC ，A 1O ⊥BE ，A 1O ⊥OC ，从而A 1O ⊥平面BCDE ，由此能证明平面A 1BE ⊥平面BCDE ．(2)分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −A 1B −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)估计p =55×10+65×20+75×40+85×20+95×102.5×60×100=12．(2)①由题意可得：X ～B(10000,12).∴E(X)=10000×12=5000，方差D(X)=10000×12×(1−12)=2500． ②随机变量Z 满足Z =D(X)=150X −100，∴−2<Z ≤0.又Z ～N(0,1)．∴P(−2<Z ≤0)=12×P(−2<X ≤2)=12×0.9545≈0.4773．由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长=0.4773×150=71.595min ≈72min ．解析：本题考查了平均数的计算方法、二项分布列与正态分布分布及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用平均数的计算方法可得：估计p ．(2)①由题意可得：X ～B(10000,12).即可得出：E(X)，D(X)． ②随机变量Z 满足Z =D(X)=150X −100，可得−2<Z ≤0.又Z ～N(0,1).即可得出P(−2<Z ≤0)=12×P(−2<X≤2)．20.答案：解：(1)由题设知c=1，因为△B1F1F2为等边三角形，则a=2c=2，又a2=b2+c2，所以b=√3，则E的方程为x24+y23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x√3=1，因为853√35√3=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：由题意可知，f′(x)=(ax2−x)e x，当a=0时，f′(x)=−xe x，令f′(x)>0解得x<0，令f′(x)<0解得x>0，所以函数f(x)的增区间是(−∞,0)，减区间是(0,+∞)；当a<0时，令f′(x)>0解得1a <x<0，令f′(x)<0解得x<1a或x>0，所以函数f(x)的增区间是(1a ,0)，减区间是(0,+∞)，(−∞,1a);当a>0时，令f′(x)>0解得x<0或x>1a ，令f′(x)<0解得0<x<1a，，函数f(x)的增区间是(−∞,0)，(1a ,+∞) ，减区间是(0,1a ) ．综上当a =0时，f(x)的增区间是(−∞,0)，减区间是(0,+∞)；当a <0时，f(x)的增区间是 (1a ,0) ，减区间是(0,+∞)，(−∞,1a ) ;当a >0时，f(x)的增区间是(−∞,0)，(1a ,+∞) ，减区间是(0,1a ) ．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求导，根据导数的正负即可得到原函数的单调区间，注意分类讨论．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1， 故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos α，t 2=−2sinαcos α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)原不等式化为：{x <−1−x −1−x +2<5或 {−1≤x ≤2x +1−x +2<5或 {x >2x +1+x −2<5, 解得−2<x <−1或−1≤x ≤2或2<x <3． ∴原不等式的解集为{x|−2<x <3}；(2)令f(x)=x 2−|2x −1|，由题意可得只须m ≤f(x)min 即可． ①当x ≥12时，f(x)=x 2−2x +1=(x −1)2≥0(x =1时取等)； ②当x <12时，f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2≥−2(x =−1时取等)． 可得f(x)的最小值为−2， ∴m ≤−2，则实数m 的取值范围是(−∞,−2]．解析：本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题． (1)运用绝对值的意义，去绝对值可得x 的不等式组，解不等式可得所求解集；(2)令f(x)=x 2−|2x −1|，由题意可得只须m ≤f(x)min 即可，去绝对值结合二次函数的最值求法，可得m 的范围．。

高三数学月考试题理一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知，，则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后结合集合的运算法则求解集合运算即可.【详解】求解函数的定义域可得：，即求解函数的值域可得，则，据此可得=.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合不等式的性质逐一考查所给的不等式是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：当时，，选项A错误；当时，，选项B错误，当时，，且，选项C错误；由不等式的性质可知，，选项D正确.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知随机变量服从正态分布,若,则=( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性求解的值即可.【详解】由正态分布的性质可知正态分布的对称轴为，则，故.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.4.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解的值即可.【详解】由题意可得：，由于，故，据此可知.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.下列函数中是奇函数且在区间上单调的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合函数的解析式逐一考查函数的性质即可.【详解】逐一考查所给函数的性质：A.，函数为奇函数且时，，当时，，当时，，据此可知函数在区间不具有单调性，不合题意；B.，函数为奇函数，由于函数为周期函数，故函数在上不具有单调性；C.，易知函数的定义域为，且，故函数为奇函数，由于函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，满足题意；D.，该函数为偶函数，不合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.下列说法中错误的是（）A. 在分层抽样中也可能用到简单随机抽样与系统抽样；B. 从茎叶图中可以看到原始数据，没有任何信息损失；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1;D. 若随机变量，，，则【答案】C【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：A. 在分层抽样中对每层的抽样可能用到简单随机抽样与系统抽样,原命题正确；B. 从茎叶图中可以看到所有的原始数据，没有任何信息损失,原命题正确；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1,原命题错误;D. 若随机变量，，，则,据此可得:，原命题正确．本题选择C选项.【点睛】本题主要考查分层抽样的方法，茎叶图的理解，随机变量的相关性，二项分布的均值方差公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知直线与圆：相交于两点，若三角形为等腰直角三角形，则（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】由题意结合几何性质首先确定圆心到直线的距离，据此得到关于m的方程，解方程即可求得实数m的值.【详解】圆C的方程即：，则圆心坐标为，圆的半径为，易知等腰直角三角形ABC的直角顶点为点C，故圆心到直线的距离为，结合点到直线距离公式有：，解得：或.本题选择B选项.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8.已知二项式的展开式中的系数是，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定展开式的通项公式，然后结合题意得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果.【详解】展开式的通项公式为：，令可得，令可得，结合题意有：，据此可得：.本题选择D选项.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．9.从区间中任取一个值，则函数在上是增函数的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由函数的单调性求得实数a的取值范围，然后结合几何概型计算公式求解概率值即可. 【详解】由函数的解析式：为增函数，则，为增函数，则，且当时，有：，即，解得，综上可得，若函数在上是增函数，则，由题意结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.数列前项和为，，，，若，则＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数k的值即可.【详解】由题意有：当时，，两式作差可得：，由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，，据此可得，则数列的通项公式为：，，，加2后能被3整除，则.本题选择C选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知是双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为,有下列四个命题中真命题个数为（）个．①双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为；②若，则的最大值为；③的内切圆的圆心横坐标为；④若直线的斜率为，则．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合双曲线的性质和定义逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：由双曲线焦点弦公式：可得：双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为.说法①错误.对于②,若,则由双曲线的定义可得.，,故有,即离心率的最大值为，故②不正确.对于③,设△PF1F2的内切圆与PF1和PF2的切点分别为M，N，与x轴的切点为K，由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF1|−|NF2|=2a=|KF1|−|KF2|，又|KF1|+|KF2|=2c,∴|KF1|=a+c,故K为双曲线的右顶点,又△PF1F2的内切圆的圆心在切点K的正上方,故△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确.对于④若直线PF1的斜率为k,则由题意可得，∴，故④正确.综上可得，四个命题中真命题个数为2个.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，双曲线的焦点弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：依题意：，，因为两曲线，有公共点，设为，所以，因为，所以，因此构造函数，由，当时，即单调递增；当时，即单调递减，所以即为实数的最大值.考点：函数的导数与最值.二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为_______【答案】【解析】【分析】由题意首先求得m的值，然后求解圆锥曲线的离心率即可.【详解】由题意可得：，则圆锥曲线方程为：，则.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．14.若实数满足约束条件则的最大值是_______.【答案】8【解析】【分析】由题意首先确定可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15.袋中有个红球，个黑球和个白球，从中任取个球，则其中三种颜色的球都有的概率是______________．【答案】【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】由题意可得，所求概率为：.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.16.已知平面向量，，满足，，，且，则（）的取值范围为_________________【答案】【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件和向量绝对值不等式的性质求解其取值范围即可.【详解】令，则，设向量的起点均为坐标原点，终点分别为，易知三点共线，如图所示，不妨设，易知，，由向量的绝对值不等式的性质可得：，注意到，且，故，即（）的取值范围为.【点睛】本题主要考查向量中三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，向量不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)在中，A，B，C的对边分别为a,b,c,，求的值．【答案】(1) 函数的单减区间为;(2) .【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式为，结合三角函数的性质可得，单调减区间为(2)由题意结合余弦定理得到关于边长的方程组，求解方程组可得.试题解析：(1)周期为因为所以所以函数的单调减区间为（2）因为，所以所以，(1)又因为，所以 (2)由（1），（2）可得18.已知数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)首先将递推关系式整理变形，然后结合等比数列通项公式确定数列的通项公式即可；(2)由题意结合(1)中求得的通项公式放缩证明题中的不等式即可.【详解】（1）由已知（2）左边=不等式成立【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．19.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】（1）（2）有的把握（3）395【解析】分析：（1）根据已知列关于m,n的方程组解之即得.(2)先完成2×2列联表，再计算的值判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求b的值.详解：（1）由频率分布直方图可知，，由中间三组的人数成等差数列可知，可解得（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，∴.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.20.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上滑动，若面积的最大值是且有且仅有2个不同的点使得为直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于点,与轴交于点。