第二章 2续
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第二章极限与连续第一节数列的极限一、观察下列数列{%…}的变化趋势,判断是否有极限?若有极限,写出其极限1、2、3^ x z/=lnn4、心=1 + (_1)“ 丄n二、利用数列极限的定义证明:、v 3n + l 3K lim --------- =—;n* 2/7 + 1 22.lim0.999_9=l三、设数列{x I满足lim兀=01〃T8 n 证明:lim £H—>oo2/1-12〃(-1)〃第二节函数的极限一、填空题1、当x->2吋,y“T4,问当5取_时,只要Ov|兀-2|v5,必有卜-4|<0.001.丫2_12^当兀T8时,y = —------------- 1,问当z取__________ 时,只要\x\ > z,必有|y-l| <0.01.”+3二、用函数极限的沱义证明:三、试证:函数/(兀)当JVTX。
时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.四、讨论:函数0(兀)二包在兀T0时的极限是否存在?第三节极限的性质填空题1、 limx —» 2— 3 x-32. v x~l lim——XT 】- 1 3、 4、 5、 limHT8(〃 + l )G +2)(〃 + 3)limx 2 sin —= “TO x / 】• COS X 6、 lim -----------XTZ x+ 厂 r .. 4x 4 - 2x 2 + x 7^ lim -------- ; ------z ) 32 + 2x8、 lim•Y T8(2兀一 3严(3兀+ 2严 二、求下列各极限2、 lim U + /?)2-x2 D h3、lim (— ------- 二)z \-x \-x 34、lim"Tv 2 + ijxlim (l + 丄 +第四节无穷大、无穷小一、填空题1、凡无穷小量皆以 _________ 为极限2、lim /(兀)=A是/(x) = A + Q _ 条件,(其中limo = 0)XT々)尤-»心3、在同一过程中,若/(兀)是无穷大,则 ____ 是无穷小.4^当XT O时,无穷小l-cosx与mx n等价,贝ij m = ____________ ,n ____ .i _L?r二、根据定义证明:当XT O时,函数丁 =匸2是无穷大,问兀应满足什么条件,x能使卜|〉104・三、证明函数y = -sin丄在区间(0,1]上无界,但当XT()+时,这个函数不是无穷大. XX四、证明:当兀->0时,兀'一1与3兀2 -兀一2是同阶无穷小第五节极限的存在准则一、填空题-…sin 2x“ sin cox 1、 lim --------- =2、.hm ----------- =go sin 3x 3、cotx lim ------------ = 4、 lim x ・ cot 3x=XT O %XT O 5、 sinx lim =6> 1 lim(l +兀)* =XT8 2X大TO 1 + x 八]r7、 lim( )2r- 8、 lim(l — —Y =XToo %28X二、 求下列各极限1 — cos2x1、 lim -------------2、 lim(tanx),an2xgo xsmx4三、利用极限存在准则证明数列V2J2+V2J2+V2+V2,……的极限存在,并求出该 极限.3、 血(斗XT® x-a 4、 lim("d"T8 n * 1 )"第六节:连续函数及其性质填空题21、 ____________________________________ 指出尸 x j 在x = l 是第 ______ 类间断点;在x = 2是第 _____________________________ 类间断点.兀2 — 3x + 2 2、 _________________________________ 指出• J 在x = 0是第 ________ 类间断点;在x = l 是第 _____________________________ 类间断点;在x|(x 2 -1) x = -1是第 类间断点 3、limln(2cos2x) = _________ .61-®二、讨论函数 /(x)=lim —— 的连续性,若有间断点,判断其类型.三、指出下列函数在指定范围内的间断点,并说明这些间断点的类型,如果是可去间断点 则补充或改变函数的定义使它连续.X2、/(%)=——在XG R 上tanx4.1、 /(兀)=四.五、六、使x<0设f(x) = < 1 , X =()已知/(%)在x = 0处连续,试确定G和b ln(b + x + x ), x>0设Q>0,b>0,证明方程x = asinx + b,至少有一个不超过a^b正根若/(%)在[d,b]上连续,a<x l<x2<-'<x n<b则在[兀],暫]上必有丁© = /(西)+ /(兀2)+ ……+ /(£)的值.复习题二一、选择题:X1、 函数/(X )= —在定义域为()1 + JT(A)有上界无下界; (B)有下界无上界; (C)有界,且 ^</(x)<^ ;(D)有界,且—25—^52 •L1 +厂2、 当XTO 时,下列函数哪一•个是其它三个的高阶无穷小() (A) x 2 ;(B) 1-cosx ;(C) x-tanx ; (D) ln(l + x)3、设认冲则当()时有卿甞:當:二篇遗(A) m > /7 ;(B) m - n ; (C) m < n ;(D) m. n 任意取4、 设 f(x)= :U 则 limgO< X< 1XTO(A)-l ; (B)l ; (C)0 ;(D)不存在5、 (A)l ;(B)-l ; (C)0; (D)不存在.二、求极限:1、v 2/ + 〃 + l lim -------------- — “T8 (i-/?y 2、1曲"-2XT 3x-33、lim(l + ;r)AXT O 4、lim x(e x -1)XT81x arctan ------四、讨论函数/(x)= --------------- 的连续性,并判断其间断点的类型.• 71sin —x2x< x>\试确定a 的值使/(x)在x = l 连续•x X5、当 xHO 吋,limcos —cos — .............. cos — ........................................................................ ;2 • 丄 x sin — 6、lim / *f 如 2 — i三、设冇函数/(x) =sin ax.五、证明奇次多项式:P(兀)=兔兀2“+1+坷兀2”+..・+夠出(勺北0)至少存在一个实根.六、若/(x)在|0,2°]上连续,/(0)=/(2G),证明在|0卫]上至少存在一点g ,使。