斐波那契数列

阅读与思考----关于斐波那契数列山西省长治市武乡中学魏春妍高中数学必修五《数列》一章中有一篇阅读与思考---斐波那契数列。

斐波那契数列也称“兔子数列”，这是一个非常有趣的数列，它是自然界中经过长期的适应和进化隐藏着的神秘的数学规律，而且在现代物理、化学、经济等领域都有直接的应用。

为此，笔者对斐波那契数列进行了粗浅的收集整理，以供学生参考学习。

一、斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...二、相关公式（1）递推公式，，（n>=3,n∈N*）（2）前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+……+an=1+a1+a2+a3+……+an-1=a2+a1+a2+a3+……+an-1=a3+a2+a3+……+an-1=a4+a3+……+an-1……=an+an-1+an-1=2an+an-1-1（3）通项公式：三、斐波那契数列的由来兔子繁殖问题：斐波那契数列又因数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”。

问题：一般而言，若一对成年兔子每个月恰好生下一对小兔子(一雌一雄)。

在年初时，只有一对小兔子。

在第一个月结束时，他们成长为成年兔子，并且第二个月结束时，这对成年兔子将生下一对小兔子。

这种成长与繁殖的过程会一直持续下去，并假设生下的小兔子都不会死，那么一年之后共可有多少对小兔子？繁殖的过程可以通过一棵“家族树”来表示：让我们来推算一下在第五个月结束时兔子的总数：第1个月：只有1对兔子；第2个月：兔子没有长成，仍然只有1对兔子；第3个月：这对兔子生了1对小兔子，这时共有2对小兔子；第4个月：老兔子又生了1对小兔子，而上个月出生的兔子还未成熟，这时共有3对兔子；第5个月：这时已有2对兔子可以生殖，于是生了2对兔子，这时共有5对兔子；如此推算下去，我们不难得出下面的结果(如下表)：从表中可知，一年后(第13个月时)共有233对兔子。

这就是说，在短短的一年时间，一对兔子就能自由地繁殖成233对兔子，这是多么惊人的繁衍速度啊！如此往复继续下去，是否要一直这样麻烦地推算下去呢？不妨让我们仔细寻找一下这些数字之间的关系吧：即：“第n个月的兔子总数=第(n-1)个月的兔子总数+第(n-2)个月的兔子总数”四、有趣的关系（1）与黄金分割的关系：在斐波那契数列中，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。

斐波那契数
斐波那契数，亦称之为斐波那契数列，又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，F n=F n-1+F n-2（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列列由0 和1 开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。

此级数中任何相邻的两个数，次第相除，其比率都最为接近0.618034……这个值，它的极限就是所谓的"黄金分割数"。

特别指出：0不是第一项，而是第零项。

在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

斐波那契数1、1、2、3、5、8、13、21、……
一、将前几项除以3,得余数为：1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2—1，2，0，2，2…
因此余数以8为1个周期，所以第2017项余数与第5项相等，为2。

即2017÷8=251 (5)
二、将前几项除以5,得余数为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0—1,1,2,3,0…
因此余数以20为1个周期，所以第2017项余数与第17项相等，为2。

即2017÷20=100 (17)
三、将前几项除以8,得余数为：1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0—1,1,2,3…
因此余数以12为1个周期，所以第2017项余数1与第1项相等，为1。

即2017÷12=168 (1)。

斐波那契额数列的通项公式
斐波那契数列是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：
F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）。

斐波那契数列的通项公式是：
F(n) = (1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 其中，√5表示5的正平方根。

这个公式可以用来求解斐波那契数列中任意一个项的值，不需要递推。

这个公式的推导过程比较复杂，可以用数学归纳法和求解一元二次方程的方法来证明。

但是，这里不再详细阐述。

总之，斐波那契数列的通项公式是一个十分有用和重要的公式，在数学和计算机科学等领域都有广泛的应用。

- 1 -。

斐波拉契数列的简介斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。

这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。

籍贯大概是比萨）。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

■斐波拉契数列的出现13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。

书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。

斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。

这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。

斐波拉契数列的简介：“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。

籍贯大概是比萨）。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。

其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。

13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。

书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。

斐波那契数列斐波纳契数列即斐波那契数列。

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F1=，F2=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

中文名斐波那契数列外文名Fibonacci Sequence别名黄金分割数列所属学科数论目录1定义2通项公式▪递推公式▪通项公式▪通项公式的推导3与黄金分割▪关系▪证明4特性▪平方与前后项▪与集合子集▪奇数项求和▪偶数项求和▪平方求和▪隔项关系▪两倍项关系▪其他公式5应用▪生活中斐波那契▪黄金分割▪杨辉三角▪质数数量▪尾数循环▪自然界中巧合▪数字谜题6推广▪斐波那契—卢卡斯数列▪广义斐波那契数列7相关数学▪排列组合▪兔子繁殖问题▪数列与矩阵8前若干项9斐波那契弧线10社会文明▪艾略特波浪理论▪人类文明的斐波那契演进11程序实现▪ Java语言▪用C语言输出菲波那契数列第a项1定义编辑斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...特别指出：第一个1是第0项，不是第1项。

这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。

他被人称作“比萨的列昂纳多”。

1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

斐波那契数列
斐波那契数列是一种数学构造，由一组数字组成，每个数字都是前两个数字的和。

斐波那契数列的通项公式为：
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)
其中，F(0) = 0，F(1) = 1。

斐波那契数列的前几项通常为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……
斐波那契数列在许多领域都有广泛应用，例如递推算法、图论、生物学等。

斐波那契数列也有许多有趣的性质，例如：
1.斐波那契数列的数字之和为斐波那契数。

2.斐波那契数列的每一项都是前两项的平方之和。

3.斐波那契数列的数列中，任意一项都是前两项的比值的近似值。

斐波那契数列还有许多其他性质，这里只列举了几个。

斐波那契数列是一个非常有趣的数学构造，值得进一步研究。

斐波那契数列及其特点斐波那契数列是数学中一列相邻两项之和等于后一项的数列，以0和1作为起始项的斐波那契数列如下所示：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, ...斐波那契数列最早出现在12世纪的西方数学和艺术领域，由意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）发现并命名。

斐波那契数列的特点使其在数学、自然科学、计算机科学等领域具有广泛的应用。

斐波那契数列的特点：1. 递推关系：斐波那契数列的第n项等于前两项之和，即F(n) =F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。

这种递推关系定义了斐波那契数列的生成规则，使得我们可以通过计算前两项的和得到后一项。

2. 黄金比例：斐波那契数列中，相邻两项的比例趋于黄金比例φ（约等于1.61803）。

当n趋于无穷大时，F(n)/F(n-1)将趋近于φ。

这一特性使得斐波那契数列与黄金分割点在数学和美学上具有广泛的应用。

3. 自然界中的应用：斐波那契数列在自然界中有许多应用。

例如，植物的花瓣数、种子排列、螺旋状物体的形态等都与斐波那契数列相关。

许多花朵的花瓣数目就是斐波那契数列中的某个数。

4. 黄金矩形：斐波那契数列还与黄金矩形密切相关。

黄金矩形是指矩形的长宽比接近黄金比例φ。

斐波那契数列的性质使得将正方形按照斐波那契数列依次放大，得到的长方形就是黄金矩形。

5. 近似无理数：斐波那契数列中的项数随着n的增大而趋近于无穷大，使得斐波那契数列中的每一项都是近似无理数。

虽然每一项不是真正的无理数，但它们可以无限接近黄金比例，从而在实际应用中具有重要价值。

总结起来，斐波那契数列是一种具有递推关系的数列，其中相邻两项的比例趋近于黄金比例。

斐波那契数列不仅在数学领域有重要应用，还广泛应用于自然科学、美学和计算机科学等领域。

通过了解斐波那契数列的特点，我们可以更好地理解和应用这一数列。