福建省龙岩市蛟洋中学2013届九年级数学上学期第一次月考试题.

福建省龙岩九年级上学期数学第一次月考试卷你（五四学制）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）已知抛物线y=x2+x-1经过点P(m，5)，则代数式m2+m+2006的值为（）A . 2012B . 2013C . 2014D . 20152. （2分） (2017九上·罗湖期末) 已知二次函数y=ax2的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+x+a ﹣1=0的根的存在情况是（）A . 没有实数根B . 有两个相等的实数根C . 有两个不相等的实数根D . 无法确定3. （2分） (2018九上·衢州期中) 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c<0；③b2﹣4ac<0；④当y>0时，﹣1<x<3．其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）如果一次函数y=（a-1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是（）A . a>1B . a<1C . a>0D . a<05. （2分）(2017·安徽模拟) 如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A . 45°B . 60°C . 25°D . 30°6. （2分）(2019·岐山模拟) 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠AC D＝50°，则∠ADB＝（）A . 30°B . 50°C . 70°D . 80°7. （2分）已知正六边形的边心距为，则它的周长是（）A . 6B . 12C . 6D . 128. （2分）(2019·葫芦岛) 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A . 70°B . 55°C . 45°D . 35°9. （2分） (2019八下·慈溪期中) 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ② ③S 平行四边形ABCD=AB•AC ④ ，正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共8题；共9分)10. （2分） (2018九上·湖州期中) 如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N．如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线C1和C2 ，使四边形ANBM恰好是矩形．你所写的一对抛物线解析式是________和________．11. （1分） (2019九上·松滋期末) 把抛物线y＝x2﹣2x+5的图象向下平移2个单位，再向左移动1个单位，得到的新图象的解析式为________.12. （1分）(2018·徐汇模拟) 已知抛物线C的顶点坐标为（1，3），如果平移后能与抛物线y= +2x+3重合，那么抛物线C的表达式是________．13. （1分）(2017·盘锦模拟) 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有________ （填序号）14. （1分）(2020·长春模拟) 如图，抛物线y= x2-4与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ。

2013年秋期九年级（上）第一次月考试卷数学试题（总分：90分 考试时间：120分钟）姓名 班级 得分一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）Ａ．－4 B ．32a C ．x 2+1 Ｄ．x-1 2．）A ．8 ； BC ．5； D1 3．下列方程中，是一元二次方程的是：（ ）A ．962++x xB ．01=++y xC ．x 2 = 2xD ．0512=++xx 4．方程x 2-4x+5=0根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根;B 、有两个相等的实数根;C 、有一个实数根;D 、没有实数根5．下列计算中，正确的是（ ）A 、562432=+B 、3327=÷ C、= D 、3)3(2-=-6． 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=7. 等式－11－12X X X =∙+成立的条件是( )A. x ≧1B. x ≧－1C. －1≦x ≦1D. x ≦1或x ≧－1 8．若α，β是一元二次方程0132=-+x x 的两个实数根，则βα11+的值是（ ）A 、2B 、－1C 、－2D 、19. 关于x 的一元二次方程()22120a x x -+-=是一元二次方程，则a 满足（ ）A. 1a ≠B. 1a ≠-C. 1a ≠±D.为任意实数10. 某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次 降价的百分率为x ，则列出方程正确的是 ( ) A.2580(1+x)=1185 B ．21185(1+x)=580C ．2580(1-x)=1185 D ．21185(1-x)=580 二、填空题（每题2分，共20分） 11______=． 12．当x_______时，二次根式3－x 有意义．13．一元二次方程210x -=的解是__________. 14. 计算()()1212-+ =____________.15. 在比例尺为1：400000的地图上，量得A 、B 两地的距离为5cm, 那么A 、B 两地的实际距离为_____________米.16.将一元二次方程22312x x x -=+化成一般式为_________________.17. 当2a <18.20b c -=，那么()ca b -=__________.19．关于x 的一元二次方程2(1)2m x x -+ + 21m -=0有一个根为0， 那么m 的值为__________.20．如果方程230x x k ++=和方程20x x k --=有一个相同的根， 那么k =_____.三、解答题（50分）21．（共12分）计算：(1)2(3)ππ--（2）+ （3）.()()3312325325+++-22．（共16分）解方程：（1） 2(1)9x -=（2） 232(32)x x -=+（3）21302x x --= （4）48632=-x x （限用配方法）23（4分）已知2y =，求y x 的值．24．（4分）已知关于x 的一元二次方程260x kx +-=的一个根是2，求方程的另一个根和k 的值。

九年级（上）第一次联考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程x2=4的解是（ ）A. x1=4，x2=−4B. x1=x2=2C. x1=2，x2=−2D. x1=1，x2=42.下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.抛物线y=（x-2）2+3的顶点坐标是（ ）A. (2,3)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (−2,−3)4.已知点P（-b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，则a、b的值分别是（ ）A. −1、3B. 1、−3C. −1、−3D. 1、35.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定6.正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（ ）A. 36∘B. 54∘C. 72∘D. 108∘7.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）A. x(x+1)=1035B. x(x−1)=1035×2C. x(x−1)=1035D. 2x(x+1)=10358.若A（-6，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2-1图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A. y3<y2<y1B. y2<y3<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y39.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y-1.59-1.16-0.71-0.240.250.76则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（ ）A. 1.2<x<1.3B. 1.3<x<1.4C. 1.4<x<1.5D. 1.5<x<1.610.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a＋b＋c＞0；③a＋c＞b；④2a＋b＝0；⑤Δ＝b2－4ac＜0中成立式子（）A. ②④⑤B. ②③⑤C. ①②④D. ①③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若（m-2）xm2−2-mx+1=0是一元二次方程，则m的值为______．12.一元二次方程（a+1）x2-ax+a2=1的一个根为0，则a=______．13.将抛物线：y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是______．14.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C的度数是______．15.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（2，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是______．16.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.解方程（1）2x2-4x=-1（2）3x（2x+1）=4x+2．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（-3，-2），B（-5，3），C（0，4）．（1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标；（2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）．19.已知抛物线y=ax2-bx+3经过点A（1，2），B（2，3）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上．20.已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．21.二次函数y=ax2+2x-1与直线y=2x-3交于点P（1，b）．（1）求出此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．22.如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE．（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；（2）当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？请说明理由．23.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？24.如图，在ABCD中，AB=1，BC=5，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为______时，四边形ABEF是平行四边形；（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．25.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x2=4，∴x=2或x=-2，故选：C．直接开平方法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故错误；C、不是中心对称图形．故正确；D、是中心对称图形．故错误．故选：C．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】A【解析】解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．4.【答案】A【解析】解：∵P（-b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，∴-b+3=0，2+2a=0，解得a=-1，b=3，故选：A．让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a，b的值．用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0．5.【答案】A【解析】解：∵a=1，b=-2，c=-1，∴△b2-4ac=4+4=8，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．把a=1，b=-2，c=-1代入△=b2-4ac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6.【答案】C【解析】解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是=72度．故选：C．根据旋转的定义，最小旋转角即为正五边形的中心角．考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．【链接】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．7.【答案】C【解析】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x-1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035．故选：C．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．8.【答案】A【解析】解：∵A（-6，y1）、B（-3，y2）、C（1，y3）为二次函数y=x2-1图象上的三点，∴y1=35，y2=8，y3=0，∴y3＜y2＜y1．故选：A．根据二次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．故选：C．仔细看表，可发现y的值-0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得．本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可.【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故②错误，∵x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，∴a+c＞b，故③正确，∵对称性x=1，∴-=1，∴2a+b=0，故④正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，故⑤错误，故选D．11.【答案】-2【解析】解：根据题意得：，解得：m=-2．故答案是：-2．本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．12.【答案】1【解析】解：∵一元二次方程（a+1）x2-ax+a2=1的一个根为0，∴a+1≠0且a2=1，∴a=1．故答案为：1．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2-1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．13.【答案】y=（x-5）2+2或y=x2-10x+27【解析】解：y=x2-2x=（x-1）2-1，根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：y=（x-5）2+2，将顶点式展开得，y=x2-10x+27．故答案为：y=（x-5）2+2或y=x2-10x+27．先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析式．主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14.【答案】45°【解析】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，∴∠AOB=105°-40°=65°，∵△AOD中，AO=DO，∴∠A=（180°-40°）=70°，∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，由旋转可得，∠C=∠B=45°，故答案为：45°．先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．15.【答案】（-2，23）【解析】解：如图，∵点P0的坐标为（2，0），∴OP0=OP1=2，∵将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，∴OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，OH=OP3=2，P3H=OH=2，∴P3（-2，2）．故答案为（-2，2）．利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，利用含30度的直角三角形求出OH、P3H，从而得到P3点坐标．本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．16.【答案】x1=-1，x2=5【解析】解：∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），∴抛物线与x轴的另一交点是（5，0），∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1=-1，x2=5．故答案为：x1=-1，x2=5．根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一交点，然后根据二次函数与一元二次方程的关系写出即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程与二次函数的关系，难点在于熟练掌握二次函数的对称性确定出与x轴的另一交点坐标．17.【答案】解：（1）2x2-4x=-1，x2-2x=-12，x2-2x+1=-12+1，（x-1）2=12，x-1=±22x=2±22；（2）方程整理得：3x（2x+1）-2（2x+1）=0，分解因式得：（3x-2）（2x+1）=0，可得3x-2=0或2x+1=0，解得：x1=23，x2=-12．【解析】（1）利用配方法解方程．配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；（2）先移项，然后提取公因式（2x+1）进行因式分解，再来解方程即可．此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．18.【答案】解：（1）如图：∴点A1的坐标（6，1）（2）点B旋转到点B1所经过的路径长=π×BC×90°180∘=26π2【解析】（1）根据旋转图形的作法，画出△A1B1C1；（2）根据弧长公式可求点B旋转到点B1所经过的路径长．本题考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式．19.【答案】解：（1）将点A（1，2），B（2，3）代入y=ax2-bx+3，得a−b+3=24a−2b+3=3解得a=1b=0.5，∴抛物线的函数解析式为y=x2-0.5x+3，（2）当x=-1时，y=1+0.5+3=4.5≠-4，∴点B（-1，-4）不在此抛物线上．【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题；（2）求出x=-1时的函数值即可判断；本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则12×（5-x）×2x=6，整理得：x2-5x+6=0，解得：x=2或x=3．答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ．（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则12×（5-x）×2x=8，整理得：x2-5x+8=0，△=25-32=-7＜0，所以，此方程无解，故△PQB的面积不能等于8cm2．【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．21.【答案】解：（1）∵点P（1，b）在直线y=2x-3上，∴b=2-3=-1，∴P（1，-1），把P（1，-1）代入y=ax2+2x-1，得到a=-2，∴二次函数的解析式为y=-2x2+2x-1．（2）∵y=-2（x-12）2-12，∴顶点坐标为（12，-12），当x＞12时，y随x的增大而减小．【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用配方法求出顶点坐标即可解决问题；本题考查二次函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．22.【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，∴△ABC≌△EFC，∴CA=CE，CB=CF，∴四边形ABEF是平行四边形；（2）解：当∠ABC=60°时，四边形ABEF为矩形，理由是：∵∠ABC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵CA=CE，CB=CF，∴AE=BF，∵四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是矩形．【解析】（1）根据旋转得出CA=CE，CB=CF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，求出AE=BF，根据矩形的判定得出即可．本题考查了旋转的性质和矩形的判定、平行四边形的判定、等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．23.【答案】解：（1）由题意得：y=60-x10（2分）（2）p=（200+x）（60-x10）=-110x2+40x+12000（3分）（3）w=（200+x）（60-x10）-20×（60-x10）（2分）=-110x2+42x+10800=-110（x-210）2+15210当x=210时，w有最大值．此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．【解析】（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间-每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；（3）支出费用为20×（60-），则利润w=（200+x）（60-）-20×（60-），利用配方法化简可求最大值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．24.【答案】90°【解析】解：（1）结论：旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形．理由：∵∠AOF=90°，∠BAO=90°，∴∠BAO=∠AOF，∴AB∥EF，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EB，∴四边形ABEF是平行四边形；（2）当旋转角∠AOF=45°时，四边形BEDF是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO=DO，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，在△DFO和△BEO中∵，∴△DFO≌△BEO（AAS），∴OF=OE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AB=1，BC=，∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=2，∴AO=1=AB，∵∠BAO=90°，∴∠AOB=45°，又∵∠AOF=45°，∴∠BOF=90°，∴BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形，即在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°．（1）根据∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF，根据平行四边形性质得出AF∥BE，即可推出四边形ABEF是平行四边形；（2）证△DFO≌△BEO，推出OF=OE，得出四边形BEDF是平行四边形，根据勾股定理求出AC，求出OA=AB=1，求出∠AOB=45°，根据∠AOF=45°，推出EF⊥BD，根据菱形的判定推出即可．本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定．菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，此题综合性比较强，但是一道比较好的题目．25.【答案】解：（1）当y=-x2-2x+3中y=0时，有-x2-2x+3=0，解得：x1=-3，x2=1，∵A在B的左侧，∴A（-3，0），B（1，0）．当y=-x2-2x+3中x=0时，则y=3，∴C（0，3）．∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点D（-1，4）．（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．∵C（0，3），∴C′（0，-3）．设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有b=−3−k+b=4，解得：k=−7b=−3，∴直线C′D的解析式为y=-7x-3，当y=-7x-3中y=0时，x=-37，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（-37，0）．（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有c=3−3a+c=0，解得：a=1c=3，∴直线AC的解析式为y=x+3．假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90°时，P（m，-m-3），∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，∴-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=-3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，-5）；②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，∴0=-（2m+3）2-2×（2m+3）+3，解得：m3=-3（舍去），m4=-1，此时点P的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，∴0=-m2-2m+3，解得：m5=-3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，-5）或（1，0）．【解析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C 的坐标，利用配方法求出顶点坐标；（2）找出点E的位置；（3）分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点F的坐标，再根据等腰直角三角形的性质表示出点P的坐标是关键．。

福建省龙岩九年级上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（每小题3分，共30分） (共10题；共30分)1. （3分） (2017九上·常山月考) 下列事件是必然事件的是（）A . 任意买张票，座位号是偶数B . 三角形内角和180度C . 明天是晴天D . 打开电视正在放广告2. （3分）若我们把十位上的数字比个位和百位上的数字都大的三位数称为凸数，如：786，465．则由1，2，3这三个数字构成的，数字不重复的三位数是“凸数”的概率是（）A .B .C .D .3. （3分） (2018九上·海安月考) 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为（）A .B .C .D .4. （3分）(2018·平顶山模拟) 如图，已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③若点A坐标为(−1，0)，则线段AB=5；④若点M(x1 ， y1)、N(x2 ， y2)在该函数图象上，且满足0<x1<1，2<x2<3，则y1<y2其中正确结论的序号为（）A . ①，②B . ②，③C . ③，④D . ②，④5. （3分） (2020九上·长兴期末) 如图，抛物线y=x2+2x与直线y= x+1交于A，B两点，与直线x=2交于点D将抛物线沿着射线AB方向平移2 个单位在整个平移过程中，点D经过的路程为（）A .B .C .D . 66. （3分）某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖．老师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的2人中恰好一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是（）．A .B .C .D .7. （3分）小明在一只装有红色和白色球各一只的口袋中摸出一只球，然后放回搅匀再摸出一只球，反复多次实验后，发现某种“状况”出现的机会约为50%，则这种状况可能是（）.A . 两次摸到红色球B . 两次摸到白色球C . 两次摸到不同颜色的球D . 先摸到红色球，后摸到白色球8. （3分）某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（）A . 0B .C .D . 19. （3分）已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A . abc>0B . 4a-b=0C . 9a+3b+c=0D . 5a+c>010. （3分）(2017·陕西模拟) 已知二次函数y=x2﹣2x+c的图象沿x轴平移后经过（﹣1，y1），（5，y2）两点若y1＞y2 ，则图象可能的平移方式是（）A . 向左平移5单位B . 向左平移3单位C . 向右平移1单位D . 向右平移2单位二、填空题（每小题4分，共24分） (共6题；共24分)11. （4分）一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有________个白球．12. （4分）某彩票的中奖率是1‰，某人一次购买一盒（200张）其中每张彩票的中奖率为________.13. （4分） (2017九上·相城期末) 若二次函数的图像的对称轴是直线 ,则关于的方程的解为________.14. （4分）(2011·嘉兴) 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x 的增大而增大时，x的取值范围是________．15. （4分） (2016九上·罗庄期中) 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2 ，该型号飞机着陆后滑行________m才能停下来．16. （4分）点A（x1,y1）、B（x2,y2）在二次函数的图象上，若x2＞x1≥m，有y2＞y1,则m的取值范围为________．三、解答题（本大题有7小题，共66分） (共7题；共40分)17. （5分）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？18. （5分） (2017七下·龙华期末) 如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘,甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份,每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色.转动转盘,当转盘停止后,指针指向的颜色即为转出的颜色.小明与小颖参与游戏:小明转动甲盘,小颖转动乙盘.（1）小明转出的颜色为红色的概率为________；（2）小明转出的颜色为黄色的概率为________；（3）小颖转出的颜色为黄色的概率为________；（4）两人均转动转盘，如果转出的颜色为红，则胜出.你认为该游戏公平吗？为什么？19. （5分）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2 ，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．20. （5分）小明为了检测自己实心球的训练情况，再一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点A的坐标为（0，），球在最高点B的坐标为（3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知某市男子实心球的得分标准如表：得分16151413121110987654321掷远（米）8.68.387.77.3 6.9 6.5 6.1 5.8 5.5 5.2 4.8 4.4 4.03.5 3.0假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分；（3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由．21. （10分） (2017九上·江津期末) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣3，0）和点B（2，0）．直线（为常数，且）与BC交于点D，与轴交于点E，与AC交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE，求为何值时，△AEF的面积最大；（3）已知一定点M（﹣2，0）．问：是否存在这样的直线，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．22. （5分）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（1）若a=3k，b=5k，c=k+1，试说明此类函数图象都具有的性质；（2）若a=， c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值；（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．23. （5分）(2012·深圳) 如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分） (共10题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题（每小题4分，共24分） (共6题；共24分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题（本大题有7小题，共66分） (共7题；共40分)17-1、18-1、18-2、18-3、18-4、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、23-1、23-2、23-4、。

九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.二次函数y=x2-2x+2的顶点坐标是（）A. (1,1)B. (2,2)C. (1,2)D. (1,3)2.关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（）A. 1B. −1C. 1或−1D. 123.已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（）A. 11B. 17C. 17或19D. 194.已知实数（x2-x）2-4（x2-x）-12=0，则代数式x2-x+1的值为（）A. −1B. 7C. −1或7D. 以上全不正确5.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A. 200(1+x)2=1000B. 200+200×2x=1000C. 200+200×3x=1000D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=10006.二次函数与y=kx2-8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k<2B. k<2且k≠0C. k≤2D. k≤2且k≠07.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且-1＜x1＜x2，x3＜-1，则y1、y2、y3的大小关系为（）A. y1<y2<y3B. y3<y1<y2C. y3<y2<y1D. y2<y1<y38.若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）A. 直线x=1B. 直线x=−2C. 直线x=−1D. 直线x=−49.关于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m+1）x+m-2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A. m>34B. m>34且m≠2C. −12<m<2D. 34<m<210.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.一元二次方程2x2-2=0的解是______．12.如果关于x的二次函数y=x2-2x+k与x轴只有1个交点，则k=______．13.设m、n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则m2+3m+n=______．14.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是______．15.廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=-140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米．（精确到1米）16.直线y=kx+b与抛物线y=14x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为______．[提示：直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2互相垂直，则k1•k2=-1]三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）17.解方程：（1）x2-2x-8=0；（2）（2x+1）2=（x-1）2．18.已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=31，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）19.已知关于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y2-3y+m=0有两个实数根y1和y2（1）当k为整数时，确定k的值；（2）在（1）的条件下，若m≥-2的整数，试求m的最小值．20.已知抛物线y=-12x2-3x-52（1）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y 有最大值还是最小值？最值为多少？21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．22.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）23.2016年，龙岩市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2018年的均价为每平方米5265元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2018年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）24.2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？25.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：y=x2-2x+2的顶点横坐标是-=1，纵坐标是=1，y=x2-2x+2的顶点坐标是（1，1）．故选：A．根据顶点坐标公式，可得答案．本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是（-，）．2.【答案】B【解析】解：根据题意得：a2-1=0且a-1≠0，解得：a=-1．故选：B．根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．3.【答案】D【解析】解：解方程x2-14x+48=0得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19．故选D．易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．4.【答案】B【解析】解：∵（x2-x）2-4（x2-x）-12=0，∴（x2-x+2）（x2-x-6）=0，∴x2-x+2=0或x2-x-6=0，∴x2-x=-2或x2-x=6．当x2-x=-2时，x2-x+2=0，b2-4ac=1-4×1×2=-7＜0，∴此方程无实数解．当x2-x=6时，x2-x+1=7故选B．由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2-x的值就可以求出结论．本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时因式分解法解一元二次方程是关键．5.【答案】D【解析】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．故选：D．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵二次函数与y=kx2-8x+8的图象与x轴有交点，∴△=b2-4ac=64-32k≥0，k≠0，解得：k≤2且k≠0．故选：D．直接利用△=b2-4ac≥0，进而求出k的取值范围．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出△的符号是解题关键．7.【答案】D【解析】解：对称轴为直线x=-1，且-1＜x1＜x2，当x＞-1时，y2＜y1，又因为x3＜-1，由一次函数的图象可知，此时点P3（x3，y3）在二次函数图象上方，所以y2＜y1＜y3．故选D．因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1＜x1＜x2，当x＞-1时，由图象知，y随x的增大而减小，根据图象的单调性可判断y2＜y1；结合x3＜-1，即可判断y2＜y1＜y3．本题考查了一次函数、二次函数概念图象及性质，需要灵活掌握．8.【答案】C【解析】解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），∴-2a+b=0，即b=2a，∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-=-=-1．故选：C．先将（-2，0）代入一次函数解析式y=ax+b，得到-2a+b=0，即b=2a，再根据抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-即可求解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-．9.【答案】D【解析】解：根据题意得m-2≠0且△=（2m+1）2-4（m-2）（m-2）＞0，解得m＞且m≠2，设方程的两根为a、b，则a+b=-＞0，ab==1＞0，而2m+1＞0，∴m-2＜0，即m＜2，∴m的取值范围为＜m＜2．故选：D．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m-2≠0且△=（2m+1）2-4（m-2）（m-2）＞0，解得m＞且m≠2，再利用根与系数的关系得到-＞0，则m-2＜0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为＜m＜2．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．10.【答案】B【解析】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以②正确；∵x=-=1，即b=-2a，而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0），∴当-1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选：B．利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】x1=1，x2=-1【解析】解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=-1．故答案为：x1=1，x2=-1方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12.【答案】1【解析】解：∵二次函数y=x2-2x+k的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=b2-4ac=4-4k=0，∴k=1．故答案为：1．二次函数的图象与x轴交点个数取决于△，△＞0图象与x轴有两个交点；△=0，图象与x轴有且只有一个交点；利用此公式直接求出k的值即可此题主要考查了二次函数图象与x轴交点个数的判定方法，可以与一元二次方程的判别式相结合．13.【答案】5【解析】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，∴m+n=-2，∵m是原方程的根，∴m2+2m-7=0，即m2+2m=7，∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7-2=5，故答案为：5．根据根与系数的关系可知m+n=-2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m-7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．14.【答案】-2或-94【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．先由（x1-2）（x1-x2）=0，得出x1-2=0或x1-x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1-2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，解方程求出k=-2；②如果x1-x2=0，那么△=0，解方程即可求解．【解答】解：∵（x1-2）（x1-x2）=0，∴x1-2=0或x1-x2=0．①如果x1-2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=-2；②如果x1-x2=0，则△=（2k+1）2-4（k2-2）=0．解得：k=-．所以k的值为-2或-．故答案为：-2或-．15.【答案】18【解析】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y=8，把y=8代入y=-x2+10得：x=±4，∴由两点间距离公式可求出EF=8≈18（米）．由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．以丽水市“古廊桥文化”为背景呈现问题，考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力，感觉不到“老调重弹”，在考查提取、筛选信息，分析、解决实际问题等能力的同时，发挥了让学生“熏陶文化，保护遗产”的教育功能．16.【答案】（0，4）【解析】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b=x2，化简，得x2-4kx-4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4b，又∵OA⊥OB，∴×=====-1，解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．依据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可得∴x1+x2=4k，x1x2=-4b，再根据OA⊥OB，即可得到b=4，进而得出直线恒过顶点（0，4）．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为-1．17.【答案】解：（1）（x-4）（x+2）=0，x-4=0或x+2=0，所以x1=4，x2=-2；（2）2x+1=±（x-1）所以x1=-2，x2=0．【解析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程．18.【答案】解：（1）关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0，△=（2k+1）2-4（4k-3）=4k2-12k+13=4(k−32)2+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k-3③，因为（b+c）2-2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2-2（4k-3）=31，整理得：4k2+4k+1-8k+6-31=0，即k2-k-6=0，解得：k1=3，k2=-2，∵b+c=2k+1＞0即k＞-12．bc=4k-3＞0即k＞34，∴k2=-2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=31，则△ABC的周长=a+b+c=31+7．【解析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．19.【答案】解：（1）当k=0时，方程kx2+（2k-1）x+k-1=0化为-x-1=0，x=-1，方程有整数根，当k≠0时，方程（1）可化为（x+1）（kx+k-1）=0解得x1=-1，x2=−k+1k=-1+1k；∵方程（1）的根是整数，所以k为整数的倒数．∵k是整数∴k=±1此时△=（2k-1）2-4k（k-1）=1＞0但当k=1时，（k-1）y2-3y+m=0不是一元二次方程∴k=1舍去∴k=0，k=-1；（2）当k=0时，方程（2）化为-y2-3y+m=0∵方程（2）有两个实数根∴△=9+4m≥0，即m≥-94，若m≥-2∴当m≥-2时，∴m的最小值为-2；当k=-1时，方程（2）化为-2y2-3y+m=0，方程有两个实数根∴△=9+8m≥0，即m≥-98∵m≥-2，∴m≥-98，∵m为整数∴此时m的最小值为-1．【解析】（1）要分两种情况讨论：①k=0时，（1）方程为一元一次方程，可计算出此时方程的根是否为整数，若是，则k=0符合要求；②k≠0时，（1）方程为一元二次方程，用因式分解法求出该方程的两个根，再根据这个方程只有整数根的特点，求出k的整数值，再根据的判别式将不合题意的k值舍去．（2）将（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根据根的判别式判断出m的范围，本题考查了根与系数的关系以及根的判别式；需注意的是（1）题不要忽略了（1）方程为一元一次方程的情况．20.【答案】解：（1）y=-12x2-3x-52=-12（x2+6x+9）+2=−12（x+3）2+2，开口向下；对称轴为x=-3；顶点坐标（-3，2）；（2）当x＜-3时y随x的增大而增大；x＞-3时，y随x的增大而减小；函数y有最大值是2．【解析】（1）首先把解析式化为顶点式，然后再根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）根据当a=-＜0，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值可得答案．此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确把解析式化为顶点式．21.【答案】解：（1）依题意：a−b+c=0a+b+c=8c=5，解得a=−1b=4c=5∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5（2）令y=0，得（x-5）（x+1）=0，x1=5，x2=-1，∴B（5，0）．由y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，得M（2，9）作ME⊥y轴于点E，可得S△MCB=S梯形MEOB-S△MCE-S△OBC=12（2+5）×9-12×4×2-12×5×5=15．【解析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．（2）可根据抛物线的解析式先求出M和B的坐标，由于三角形MCB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M作ME⊥y轴，三角形MCB的面积可通过梯形MEOB的面积减去三角形MCE的面积减去三角形OBC的面积求得．本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．22.【答案】解法（1）：解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，根据题意得：（20-x）（32-x）=540整理得：x2-52x+100=0解得：x1=50（舍去），x2=2答：道路宽为2米．解法（2）：解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，根据题意得：20×32-（20+32）x+x2=540整理得：x2-52x+100=0解得：x1=2，x2=50（舍去）答：道路宽应是2米．【解析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32-x）（20-x）米2，进而即可列出方程，求出答案．这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．23.【答案】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意得：6500（1-x）2=5265，解得：x=0.1=10%，或x=1.9（不合题意，舍去），答：平均每年下调的百分率为10%，（2）100平方米的住房的总房款为：100×5265=526500（元）=52.65（万元），∵20+30＜52.65，∴张强的愿望不能实现，答：张强的愿望不能实现．【解析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据“2016年，龙岩市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2018年的均价为每平方米5265元”，列出关于x的一元二次方程，解之，取符合实际意义的解即可，（2）根据总房款=每平方米的均价×平方数，求出总房款，与张强持有的现金与银行贷款之和比较，即可得到答案．本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知：y=180-10（x-12）=-10x+300（12≤x≤30）．（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x-10）y=-10x2+400x-3000，令W=840，则-10x2+400x-3000=840，解得：x1=16，x2=24，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．（3）∵W=-10x2+400x-3000=-10（x-20）2+1000，∵a=-10＜0，∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．【解析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出结论；（3）利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=-10（x-20）2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y关于x 的函数关系式；（2）根据数量关系找出W关于x的函数关系式；（3）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数的关系式是关键．25.【答案】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：16a−4b+c=0c=−44a+2b+c=0解得a=12b=1c=−4，所以此函数解析式为：y=12x2+x−4；（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m，12m2+m−4），∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=12×4×（-12m2-m+4）+12×4×（-m）-12×4×4=-m2-2m+8-2m-8=-m2-4m，=-（m+2）2+4，∵-4＜m＜0，当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S有最大值S=4．（3）设P（x，12x2+x-4）．当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（12x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±25．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．由此可得Q（-4，4）或（-2+25，2-25）或（-2-25，2+25）或（4，-4）．【解析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM-S△AOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．。

2013年福建省龙岩市初中毕业、升学考试数学试题(满分：150分，考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．(2013福建龙岩，1，4分)计算：5＋(－2)＝( )A．3 B．－3 C．7 D．－7【答案】A2．(2013福建龙岩，2，4分)右图是由四个相同的小正方体组合而成的立体图形，它的俯视图是( )A B C D 正面【答案】C3．(2013福建龙岩，3，4分)下列计算正确的是( )A．a＋a＝a2B．a2·a3＝a6C．(－a3)2＝－a6D．a7÷a5＝a2【答案】D4．(2013福建龙岩，4，4分)下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形【答案】D5．(2013福建龙岩，5，4分)在九年级某次体育测试中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)成绩如下(单位：次/分)：45、44、45、42、45、46、48、45，这组数据的平均数、众数分别为( )A．44、45 B．45、45 C．44、46 D．45、46【答案】B6．(2013福建龙岩，6，4分)如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为( )A．2B．2 C．22D．4【答案】C7．(2013福建龙岩，7，4分)若我们把十位上的数字比个位和百位上的数字都大的三位数称为凸数，如：786，465．则由1，2，3这三个数字构成的，数字不重复的三位数是“凸数”的概率是( )A ．31B ．21C ．32D ．65【答案】A8．(2013福建龙岩，8，4分)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠ 0)的图象如图所示，则下列选项正确的是( )A ．a > 0B ．c > 0C ．ac > 0D ．bc < 0【答案】C9．(2013福建龙岩，9，4分)如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT ＝( ) A ．2 B ．22 C ．2 D ．1【答案】B10．(2013福建龙岩，10，4分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，A (0，2)，B (0，6)，动点C在y ＝x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)11．(2013福建龙岩，11，3分)分解因式a 2＋2a ＝_____________． 【答案】a (a ＋2)12．(2013福建龙岩，12，3分)已知x ＝3是方程x 2－6x ＋k ＝0的一个根，则k ＝______． 【答案】913．(2013福建龙岩，13，3分)已知|a －2|＋3 b ＝0，则a b ＝_______． 【答案】814．(2013福建龙岩，14，3分)如图，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，B 是⊙O 上一点，BC ⊥AP 于点C ，且OB ＝BP ＝6，则BC ＝_________．【答案】315．(2013福建龙岩，15，3分)如图，AB // CD ，BC 与AD 相交于点M ，N 是射线CD 上的一点．若∠B ＝65°，∠MDN ＝135°，则∠AMB ＝________．【答案】70°16．(2013福建龙岩，16，3分)下列说法：①对顶角相等；②打开电视机，“正在播放《新闻联播》”是必然事件； ③若某次摸奖活动中奖的概率是51，则摸5次一定会中奖； ④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查；⑤若甲组数据的方差S 2＝0.01，乙组数据的方差S 2＝0.05，则乙组数据比甲组数据更稳定．其中正确的说法是_______________．(写出所有正确说法的序号) 【答案】①④17．(2013福建龙岩，17，3分)对于任意非零实数a 、b ，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2＝23-，2⊕1＝23，(－2)⊕5＝1021，5⊕(－2)＝1021-，…，则a ⊕b ＝_________．【答案】abb a 22-三、解答题(本大题共8小题，共89分) 18．(2013福建龙岩，18，10分)(1)计算：32)1()3(8201303-+-+--π； (2)解方程：112124++=+x xx ． 【答案】(1)解：原式 ＝2－1＋(－1) ＋2－3＝2－3； (2)解：方程两边同乘(2x ＋1)，得：4＝x ＋2x ＋1， 3＝3x ， x ＝1，检验：把x ＝1代入2x ＋1＝3 ≠ 0， ∴原分式方程的解为x ＝1．19．(2013福建龙岩，19，8分)先化简，再求值：32194332+⋅-÷-x x x x ，其中x ＝2． 【答案】解：原式 ＝3213)32)(32(32+⋅-+⋅-x x x x x＝3x 当x ＝2时，原式＝32．20．(2013福建龙岩，20，10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 是对角线AC 上的两点，∠1＝∠2． (1)求证：AE ＝CF ；(2)求证：四边形EBFD 是平行四边形．【答案】(1)证明：(法一)如图①：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD // BC ，∠3＝∠4， ∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6， ∠1＝∠2， ∴∠5＝∠6， ∴△ADE ≌△CBF ， ∴AE ＝CF ；(法二)如图②，连接BD 交AC 于点O ，在平行四边形ABCD 中， OA ＝OC ，OB ＝OD ， ∵∠1＝∠2，∠7＝∠8， ∴△BOF ≌△DOE ， ∴OE ＝OF ，图②图①∴OA －OE ＝OC －OF ， 即：AE ＝CF ． (2)证明： (法一)如图①，∵∠1＝∠2， ∴DE // BF ， ∵△ADE ≌△CBF ， ∴DE ＝BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形． (法二)如图②∵OE ＝OF ，OB ＝OD ， ∴四边形EBFD 是平行四边形．21．(2013福建龙岩，21，10分)某市在2013年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主要和谁在一起生活进行了抽样调查．下面是根据这次调查情况制作的不完整的频数分布表和扇形统计图．根据上述信息，回答下列问题：频数分布表A 父母B 爷爷奶奶C 外公外婆D 其它(1)a ＝______，b ＝______；(2)在扇形统计图中，和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是______； (3)若该市八年级学生共有3万人，估计不与父母一起生活的学生有_________人． 【答案】(1) 0.11 ， 540 ；(2)36°； (3)9000．22．(2013福建龙岩，22，12分)如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝3＋1，AD ＝3． (1)如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D 恰好落在AB 边上的D'处，压平折痕交CD于点E ，则折痕AE 的长为____________；(2)如图③，再将四边形BCED' 向左翻折，压平后得四边形B'C'ED'，B'C'交AE 于点F ，则四边形B'FED'的面积为____________；(3)如图④，将图②中的△AED' 绕点E 顺时针旋转α角，得△A'ED''，使得EA' 恰好经过顶点B ，求弧D'D'' 的长．(结果保留π)【答案】(1)6； (2)213-； (3)∵∠C ＝90°，BC ＝3，EC ＝1， ∴tan ∠BEC ＝3=CEBC， ∴∠BEC ＝60°，由翻折知：∠DEA ＝45°， ∴∠AEA′ ＝75°＝∠D′ED′′， ∴'''D D l ＝12353236075ππ=⋅⋅．23．(2013福建龙岩，23，12分)某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A 产品80件、B产品100件．已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A 产品12件和B 产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A 产品7件和B 产品10件．(1)若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多少天恰好完成生产任务？(2)若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁7天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天(两种设备的租赁天数均为整数)，问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是多少？ 【答案】解：(1)设需租赁甲、乙两种设备分别为x 、y 天．则依题意得：⎩⎨⎧=+=+100101080712y x y x ，解得⎩⎨⎧==82y x ，答：需租赁甲种设备2天，乙种设备8天．(2)设租赁甲种设备a 天，乙种设备(10 － a )天，总费用为w 元． 依题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+≥-+≤-≤100)10(101080)10(7127105a a a a a a ，∴3≤a ≤5， ∵a 为整数， ∴a ＝3，4，5． 方法一：∴共有三种方案．方案(1)甲3天，乙7天，总费用400×3＋300×7＝3300； 方案(2)甲4天，乙6天，总费用400×4＋300×6＝3400； 方案(3)甲5天，乙5天，总费用400×5＋300×5＝3500； ∵3300 < 3400 < 3500，∴方案(1)最省，最省费用为3300元．方法二：则w ＝400a ＋300(10－a )＝100a ＋3000∵100 > 0，∴w 随a 的增大而增大，∴当a ＝3时，w 最小＝3300.答：共有3种租赁方案：①甲3天，乙7天；②甲4天，乙6天；③甲5天，乙5天．最少租赁费用为3300元．方法三：能用穷举法把各种方案枚举出来，并得出三种符合条件的方案，求出最少费用．24．(2013福建龙岩，24，13分)如图，将边长为4的等边三角形AOB 放置于平面直角坐标系xoy 中，F 是AB 边上的动点(不与端点A 、B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝xk(k > 0，x > 0)与OA 边交于点E ，过点F 作FC ⊥x 轴于点C ，连结EF 、OF ． (1)若S △OCF ＝3，求反比例函数的解析式；(2)在(1)的条件下，试判断以点E 为圆心，EA 长为半径的圆与y 轴的位置关系，并说明理由；(3)AB 边上是否存在点F ，使得EF ⊥AE ？若存在，请求出BF ∶F A 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)设F (x ，y )，(x > 0，y > 0)，则OC ＝x ，CF ＝y ， ∴S △OCF ＝21xy ＝3， ∴xy ＝32， ∴k ＝32，∴反比例函数解析式为y ＝x32 (x > 0) （2）该圆与y 轴相离理由：如图①，过点E 作EH ⊥x 轴，垂足为H ，过点E 作EG ⊥y 轴，垂足为G ． 在△AOB 中，OA ＝AB ＝4，∠AOB ＝∠ABO ＝∠A ＝60°． 设OH ＝m ，则tan ∠AOB ＝3 OHEH， ∴EH ＝m 3，OE ＝2m ， ∴E 坐标为(m ，3m )， ∵E 在反比例y ＝x32图象上， ∴3m ＝m32， ∴m 1＝2，m 2＝－2(舍去)．∴OE ＝22，EA ＝4－22，BG ＝2， ∵4－22<2， ∴EA < EG ，∴以E 为圆心，EA 长为半径的圆与y 轴相离．（3）存在．(如图②)方法一：假设存在点F ，使AE ⊥FE ．过点F 作FC ⊥OB 于点C ，过E 点作EH ⊥OB 于点H ．设BF ＝x ． ∵△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝OB ＝4，∠AOB ＝∠ABO ＝∠A ＝60°， ∴BC ＝FB ·cos ∠FBC ＝x 21， 图①FC ＝FB ·sin ∠FBC ＝23x ， ∴AF ＝4－x ，OC ＝OB －BC ＝4－x 21， ∵AE ⊥FE ，∴AE ＝AF ·cos ∠A ＝2－x 21， ∴OE ＝OA －AE ＝x 21＋2， ∴OH ＝OE ·cos ∠AOB ＝141+x ， EH ＝OE ·sin ∠AOB ＝343+x ， ∴E (141+x ，343+x )，F (4 －x 21，23x ) ∵E 、F 都在双曲线y ＝xk 的图象上， ∴(141+x )(343+x )＝(4 －x 21)·23x ， 解得 x 1＝4，x 2＝54． 当BF ＝4时，AF ＝0，AF BF 不存在，舍去， 当BF ＝54时，AF ＝516，AFBF ＝41． 方法二：假设存在点F ，使AE ⊥FE ．过点E 作EH ⊥OB 于H ．∵△AOB 是等边三角形，设E (m ，3m )，则OE ＝2m ，AE ＝4－2m ．∴AB ＝OA ＝AB ＝4，∠AOB ＝∠ABO ＝∠A ＝60°，∵cos ∠A ＝AFAE ＝21， ∴AF ＝2AE ＝8－2m ，FB ＝4m －4．∴FC ＝FB ·sin ∠FBC ＝23m －23，BC ＝FB ·cos ∠FBC ＝2m －2，∴OC ＝ 6－2m ，∴F (6－2m ，23m －23)，∵E 、F 都在双曲线y ＝xk 上， ∴m ·3m ＝ (6－2m )(23m －23)，化简得：5m 2－16m ＋12＝0，解得m 1＝2，m 2＝56． 当m ＝2时，AF ＝8－4m ＝0，BF ＝4，F 与B 重合，不合题意，舍去；当m ＝56时，AF ＝8－4m ＝516，BF ＝4 －516＝54， ∴BF ∶F A ＝1∶4．25．(2013福建龙岩，25，14分)如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，且AC ＝80，BD ＝60．动点M 、N 分别以每秒1个单位的速度从点A 、D 同时出发，分别沿A →O →D 和D →A 运动，当点N 到达点A 时，M 、N 同时停止运动．设运动时间为t 秒．(1)求菱形ABCD 的周长；(2)记△DMN 的面积为S ，求S 关于t 的解析式，并求S 的最大值；(3)当t ＝30秒时，在线段OD 的垂直平分线上是否存在点P ，使得∠DPO ＝∠DON ？若存在，这样的点P 有几个？并求出点P 到线段OD 的距离；若不存在，请说明理由．【答案】（1）如图①)在菱形ABCD 中，OA ＝21AC ＝40，OD ＝21BD ＝30， 图②∵AC ⊥BD ，∴AD ＝50403022=+，∴菱形ABCD 的周长为200．（2）(如图②)过点M 作MP ⊥AD 于点P ．① (如图②甲)①当0 < t ≤ 40时，∵sin ∠OAD ＝53==AD OD AM MP ， ∴MP ＝53t ， ∴S ＝21DN ·MP ＝103t 2．②(如图②乙)当40 < t ≤ 50时，∴MD ＝80－t ，∵sin ∠ADO ＝AD AO MD MP =， ∴MP ＝54(70 － t )， ∴S ＝21DN ·MP图①甲 乙图②＝52-t 2 ＋28t ＝ 52-(t － 35)2 ＋490． ∴S ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤<5040490)35(5240010322t t t t ，，当0 < t ≤ 40时，S 随t 的增大而增大，当t ＝ 40时，最大值为480． 当40 < t ≤ 50时，S 随t 的增大而增大，当t ＝ 40时，最大值为480． 综上所述，S 的最大值为480．(3)存在2个点P ，使得∠DPO ＝∠DON ．方法一：(如图③)过点N 作NF ⊥OD 于点F ，则NF ＝ND ·sin ∠ODA ＝30×5040＝5120＝24， DF ＝ND ·cos ∠ODA ＝30×5030＝590＝18， ∴OF ＝12，∴tan ∠NOD ＝21224==OF NF ． 作∠NOD 的平分线交NF 于点G ，过点G 作GH ⊥ON 于点H ．∴S △ONF ＝21OF ·NF ＝S △OGN ＋S △OFG ＝21OF ·FG +21ON ·GH ＝21(OF ＋ON )·FG ， ∴FG ＝5124512122412+=++=+∙ON OF NF OF ， ∴tan ∠GOF ＝512125124+=+=OF GF ， 设OD 中垂线与OD 的交点为K ，由对称性可知：∴∠DPK ＝21∠DPO ＝21∠DON ＝∠FOG ， ∴tan ∠DPK ＝51215+==PK PK DK ， ∴PK ＝2)15(15+， 根据菱形的对称性可知，在线段OD 的下方存在与点P 关于OD 成轴对称的点P′，∴存在两个点P 到OD 的距离都是2)15(15+．方法二：(如图④) 作ON 的垂直平分线，交EF 于点I ，连接OI ，IN ．过点N 作NG ⊥OD ，NH ⊥EF ，垂足分别为G ，H ．当t ＝30时，DN ＝OD ＝30，易知△DNG ∽△DAO ， ∴ODDG AO NG DA DN ==． 即：30504030NG DG ==， ∴NG ＝24，DG ＝18．∵EF 垂直平分CD ，∴OE ＝ED ＝15，EG ＝NH ＝3，设OI ＝R ，EI ＝x ，则在Rt △OEI 中，有R 2＝152＋x 2 ……①在Rt △NIH 中，有R 2＝32＋(24 － x )2 ……② 由①、②可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2515215R x ∴PE ＝PI ＋IE ＝2)15(15+． 根据对称性可得，在BD 下方还存在一个点P ′ 也满足条件， ∴存在两个点P ，到OD 的距离都是2)15(15+． 图③图④＋－×÷＝≤≥＜＞⊥∥∠⊙≌∽∵∴±．。

九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.方程x2=4的解为（）A. x=2B. x=−2C. x1=4，x2=−4D. x1=2，x2=−22.关于x的一元二次方程2x2+3x-1=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定3.关于二次函数y=-12x2的图象及其性质的说法错误的是（）A. 开口向下B. 顶点是原点C. 对称轴是y轴D. 函数有最小值是04.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感；设每轮传染中平均一个人传染x个人，则所列方程正确的是（）A. x(x−1)=81B. x(x+1)=81C. (x−1)2=81D. (1+x)2=816.比较抛物线y=x2、y=2x2-1、y=0.5（x-1）2的共同点，其中说法正确的是（）A. 顶点都是原点B. 对称轴都是y轴C. 开口方向都向上D. 开口大小相同7.方程x2-14x+48=0的两根是菱形两条对角线的长，则这个菱形的周长是（）A. 20B. 30C. 28D. 408.矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（）A. y=−x2+6x(3<x<6)B. y=−x2+6x(0<x<6)C. y=−x2+12x(6<x<12)D. y=−x2+12x(0<x<12)9.若关于x的方程kx2+4x-1=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k≥−4且k≠0B. k≥−4C. k>−4且k≠0D. k>−410.已知k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0的一个非0实数根，若记y=m（k+1k）-2k+2，则y与m的关系式是（）A. y=m+1B. y=m2+1C. y=m−1D. y=m2−1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.方程（x-2）（x-1）=0的根是______．12.抛物线y=12x2-3的顶点坐标是______．13.若关于x的一元二次方程（a+1）x2-x+a2-1=0有一个根是0，则a=______．14.某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到只有98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程是______．（可不必化成一般形式！）15.已知二次函数y=（a-1）x a2−2的图象开口向下，则a=______．16.若二次函数y=2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为______．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）17.按规定的方法解下列方程：（1）x2-4x-3=0（配方法）（2）3x（2x-1）=2（2x-1）（因式分解法）18.先化简，后求值：x−2x÷（x-4x−4x）；其中x是方程x2-3x+2=0的一根．四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）19.已知二次函数y=-12(x+1)2+2．（1）填空：此函数图象的顶点坐标是______；（2）当x______时，函数y的值随x的增大而减小；（3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积．20.已知关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0．（1）不解方程，试说明该方程根的情况；（1）当该方程的一个根为2时，求k的值及方程的另一根．21.如图，O为矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，若DE∥AC，CE∥BD，试判断四边形OCED的形状，并说明理由．22.用硬纸板剪成的两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形按如图图示拼成一个直角梯形；请你结合图示数据，利用图形中的面积关系证明勾股定理．23.我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？24.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形沿直线EF折叠，使得点A恰好落在BC边上的点G处，且点E，F分别在AB，AD上（含端点），连接CF．（1）当BG=32时，求AE的长；（2）当AF取得最小值时，求折痕EF的长；（3）连接CF，当△FCG是以FG为腰的等腰三角形时，求BG的长．25.如图，抛物线y=-（x-2）2+m+4与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）请问：在此抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得△MAC的周长有最小值？如果存在，请你求出点M的坐标；如果不存在，请你说明理由！（3）若点P 是y轴上的一点，且满足△PAC是等腰△，请你直接写出满足条件的点P坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：x2=4，x1=2，x2=2，故选：D．两边开方，即可得出方程的解．本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．2.【答案】A【解析】解：∵2x2+3x-1=0，∴△=32-4×2×（-1）=9+8=17＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．计算方程根的判别式，求其符号进行判断即可．本题主要考查根的判别式，掌握方程根的判别式与方程根的情况是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：A、由a=-＜0知开口向下，此选项正确；B、顶点坐标为（0，0），此选项正确；C、对称轴是直线x=0，即y轴，此选项正确；D、函数有最大值0，此选项错误；故选：D．根据二次函数的性质逐一判断可得．对称轴，以及增减性．4.【答案】A【解析】解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，故选：A．根据图象左移加，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．5.【答案】D【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：（1+x）2=81．故选：D．设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：y=x2的顶点坐标为原点，对称轴是y轴，开口向上；y=2x2-1的顶点坐标为（0，-1），对称轴是y轴，开口向上；y=0.5（x-1）2的顶点坐标为（1，0），对称轴是x=1，开口向上；综合判断开口方向都向上，故选：C．分别写出判断出抛物线的顶点坐标、对称轴以及开口方向，进而作出判断．称轴以及开口方向的判断，此题难度不大．7.【答案】A【解析】解：x2-14x+48=0，（x-6）（x-8）=0，x-6=0或x-8=0，所以x1=6，x2=8，所以菱形的边长==5，所以菱形的周长=4×5=20．故选：A．先利用因式分解法求出x2-14x+48=0的解为x1=6，x2=8，再根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理计算出菱形的边长，然后求菱形的周长．本题考查了解一元二次方程-因式分解法和菱形的性质以及勾股定理的运用，正确解方程得出方程的根是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）．则y=x（6-x）化简可得y=-x2+6x，（0＜x＜6），故选：B．已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm，根据矩形的面积公式即可解答．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般．9.【答案】B【解析】解：当k=0时，原方程为-4x+1=0，解得：x=，∴k=0符合题意；当k≠0时，∵方程kx2-4x-1=0有实数根，∴△=（-4）2+4k≥0，解得：k≥-4且k≠0．综上可知：k的取值范围是k≥-4．故选：B．分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10.【答案】A【解析】解：∵k为原方程的非零实数根，∴将方程两边都除以k，得（m-2）k-（m-1）+=0．整理，得m（k+）-2k=m-1．∴y=m（k+）-2k+2=m+1．故选：A．由于k为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k，便可得到关于y与m的关系式．本题考查的是一元二次方程根的解的定义和一元二次方程的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．11.【答案】x1=2；x2=1【解析】解：（x-2）（x-1）=0，x-2=0，x-1=0，x1=2，x2=1，故答案为：x1=2，x2=1．根据方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．．本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．12.【答案】（0，-3）【解析】解：∵抛物线y=x2-3，∴抛物线y=x2-3的顶点坐标是：（0，-3），故答案为：（0，-3）．根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．13.【答案】1【解析】解：∵（a+1）x2-x+a2-1=0是一元二次方程，∴a+1≠0，∴a≠-1，把x=0代入（a+1）x2-x+a2-1=0得：a2-1=0，解得：a=1或a=-1，又∵a≠-1，∴a=1，故答案为1．根据“（a+1）x2-x+a2-1=0是一元二次方程”，得到：a+1≠0，根据“一元二次方程（a+1）x2-x+a2-1=0有一个根是0”把x=0代入方程，解之，结合a+1≠0，即可得到答案．本题考查一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程二次项系数不为0和一元二次方程的解法为解题的关键．14.【答案】200（1-x）2=98【解析】解：设该厂平均每月下降的百分率是x，根据题意得：200（1-x）2=98．故答案为：200（1-x）2=98．设该厂平均每月下降的百分率是x，根据该厂七月份及九月份出口创汇的金额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】-2【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x的图象开口向下，∴a2-2=2，a-1＜0，解得：a=-2．故答案为：-2．直接利用二次函数的性质得出a的值．此题主要考查了二次函数的性质，注意开口方向是解题关键．16.【答案】5【解析】解：∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y=2（x+1）2+3的图象上，∴2（x+1）2+3=4，∴2x2+4x+1=0，根据根与系数的关系得，x1+x2=-2，∵B（x1+x2，n）在二次函数y=2（x+1）2+3的图象上，∴n=2（-2+1）2+3=5，故答案为5．先根据点A，C的坐标，建立方程求出x1+x2=-2，代入二次函数解析式即可得出结论．此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出x1+x2=-2是解本题的关键．17.【答案】解：（1）移项得：x2-4x=3，配方：x2-4x+4=3+4，（x-2）2=7，x−2=±7，x1=2+7，x2=2-7；（2）移项得：3x（2x-1）-2（2x-1）=0，（2x-1）（3x-2）=0，2x-1=0，3x-2=0，x1=12，x2=23．【解析】（1）先移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18.【答案】解：原式=x−2x÷(x2x−4x−4x)=x−2x÷x2−4x+4x=x−2x⋅x(x−2)2=1x−2，解方程x2-3x+2=0得：x1=1、x2=2，∵x-2≠0，即x≠2，∴当x=1时，原式=11−2=−1．【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程得出x的值，由分式有意义的条件得出符合分式的x的值，代入计算可得．本题主要考查分式的混合运算及解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序与运算法则．19.【答案】（-1，2）x＞-1（或x≥-1）【解析】解：（1）二次函数y=-+2的顶点坐标是（-1，2）．故答案是：（-1，2）；（2）因为二次函数y=-+2的开口方向向下，且对称轴是直线x=-1，所以当x＞-1（或x≥-1）时，函数y的值随x的增大而减小．故答案是：x＞-1（或x≥-1）；（3）令x=0时，易求：∴点C的坐标为即：OC=令y=0时，易求：x1=1，x2=-3易求：AB=4．∴．（1）根据抛物线解析式直接得到答案；（2）结合抛物线的性质填空；（3）由抛物线与坐标轴的交点的求法求得三角形ABC的底边以及底边上的高线的长度，结合三角形的面积公式解答．考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标以及三角形的面积公式．需要掌握二次函数解析式的三种形式，二次函数图象的增减性．20.【答案】解：（1）△=k2-4（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2，∵（k-2）2≥0，∴该方程有两个实数根；（2）把x=2代入方程中得：4+2k+k-1=0，∴k=-1，∴当k=-1时，方程为：x2-x-2=0，解得：x1=2，x2=-1，∴k的值为-1，另一根为-1．【解析】（1）由根的判别式的符号来判定关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况．（2）将x=2代入求得k，再代回方程，解之可得另一个根．本题考查了根的判别式与根与系数的关系，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．21.【答案】解：四边形OCED是菱形，证明如下：∵OC∥DE，CE∥OD∴四边形OCED是平行四边形，∵矩形ABCD∴OC=12ACOD=12BD，且AC=BD∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形．【解析】根据矩形的对角线互相垂直平分求出OC=OD，然后求出四边形OCED是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明．本题考查了菱形的判定，矩形的对角线互相垂直平分的性质，以及平行四边形的判定与一组邻边相等的平行四边形是菱形．22.【答案】证明：设AB=DE=a，AE=CD=b，BE=CE=c，∵S梯形=S△ABE+S△CDE+S△BCE，∴12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2，∴12a2+ab+12b2=ab+12c2∴a2+b2=c2．【解析】根据梯形的面积的两种求法，构建关系式即可解决问题；本题考查勾股定理的证明、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：设每件纪念品应降价x元，则：(40−x)(20+x4×8)=1200化简得：x2-30x+200=0解得：x1=20，x2=10∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大∴x=20答：每件纪念品应降价20元．【解析】先设每件纪念品应降价x元，然后根据题意可列出方程，解出即可．此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意得出降价后每天的销量及每件的盈利，难度一般．24.【答案】解：（1）由折叠易知：AE=EG，设AE=EG=x，则有BE=6-x，∴由勾股定理易得：x2=(6−x)2+(32)2，解得：x=92，即：AE=92；（2）由折叠易知：AF=FG，而当FG⊥BC时，FG的值最小，即此时AF能取得最小值，又因为当FG⊥BC时，点E与点B重合，如图1，此时四边形AEGF是正方形，∴折痕EF=62+62=62；（3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①当FG=FC时，如图2，过F作FH⊥CG于H，则有：AF=FG=FC，CH=DF=GH设AF=FG=FC=x，则DF=10-x=CH=GH在Rt△CFH中∵CF2=CH2+FH2∴x2=62+（10-x）2解得：x=345，∴DF=CH=GH=10-x=165，即BG=10−165×2=185，②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，∴此方程没有实数根．综上可知：BG=185．【解析】（1）根据折叠得出AE=EG，据此设AE=EG=x，则有BE=6-x，由勾股定理求解可得；（2）由FG⊥BC时FG的值最小，即此时AF能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC；②FG=GC；分别求解可得．本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点．25.【答案】解：（1）把点A（1，0）代入解析式中得-（1-2）2+m+4=0，解得m=-3；（2）存在点M，使得△MAC的周长最小．抛物线解析式为y=-（x-2）2+1，抛物线的对称轴是直线x=2令x=0时，y=-3，则点C的坐标为（0，-3），令y=0时，-（x-2）2+1=0，解得：x1=3，x2=1∴A（1，0）、B（3，0），连接BC交对称轴于点M，如图，∵点A与点B关于直线x=2对称，∴MA=MB，∴MA+MC=MB+MC=BC，∴此时MA+MC的值最小，而线段AC是定长，∴此时△MAC的周长有最小值，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有3k+b=0b=−3，解得k=1，b=-3∴直线BC的解析式是y=x-3∵当x=2时，y=-1∴点M的坐标为（2，-1）；（3）∵A（1，0），C（0，-3），∴AC=12+32=10，当CP=CA=10时，P点坐标为（0，10-3）或（0，-3-10）；当AP=AC时，P点与C点关于x轴对称，P点坐标为（0，3）；当PA=PC时，设P（0，t），则12+t2=（t+3）2，解得t=-43，P点坐标为（0，-43），综上所述，P点坐标为P（0，3）或（0，10-3）或（0，−43）或（0，-3-10）．【解析】（1）把点A点坐标代入解析式中可求出m的值；（2）利用抛物线解析式得到对称轴是直线x=2，确定点C的坐标为（0，-3），解方程-（x-2）2+1=0得A（1，0）、B（3，0），连接BC交对称轴于点M，如图，利用两点之间线段最短判断此时此时MA+MC的值最小，△MAC的周长有最小值，再利用待定系数法求直线BC的解析式为y=x-3，计算x=2对应的函数值得到点M的坐标；（3）先计算出AC=，再分类讨论：以C为顶点，CA为半径画弧交y轴于P 点，易得此时P点坐标；以A为顶点，AC为半径画弧交y轴于P点，易得此时P点坐标；作AC的垂直平分线交y轴于P点，设P（0，t），利用两点间的距离公式得到12+t2=（t+3）2，解方程求出t得到此时P点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；能利用两点之间线段最短问题解决路径最短问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

福建省龙岩九年级上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单项选择题(每小题2分，共12分) (共6题；共12分)1. （2分） (2016九上·三亚期中) 二次函数y=﹣（x+3）2+2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A . 向下，x=3，（3，2）B . 向下，x=﹣3，（3，2）C . 向上，x=﹣3，（3，2）D . 向下，x=﹣3，（﹣3，2）2. （2分）解方程（5x﹣1）2=（2x+3）2的最适当方法应是（）A . 直接开平方法B . 配方法C . 公式法D . 因式分解法3. （2分）(2016·慈溪模拟) 用配方法解方程x2-4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A . (x-2)2=1B . (x-2)2=-1C . (x-2)2=3D . (x+2)2=34. （2分） (2015九上·龙华期末) 将二次函数y=x2﹣4的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的函数表达式为（）A . y=（x+2）2﹣7B . y=（x﹣2）2﹣7C . y=（x+2）2﹣1D . y=（x﹣2）2﹣15. （2分）(2013·百色) 在反比例函数y= 中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx 的图象大致是图中的（）A .B .C .D .6. （2分） (2019九上·交城期中) 某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（）A .B .C .D .二、填空题(每小题3分，共24分) (共8题；共24分)7. （3分） (2019九上·沭阳月考) 若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为________.8. （3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．9. （3分）(2017·陆良模拟) 已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+12=0的根，则这个三角形的周长为________．10. （3分）(2016·眉山) 设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=________．11. （3分） (2020九上·长兴开学考) 抛物线y=3(x-1)2+8的顶点坐标为 ________。

九年级（上）月考数学试卷（12月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2.若方程（a-2）x2-2017x+2018=0是关于x的一元二次方程，则（ ）A. a≠1B. a≠−2C. a≠2D. a≠33.等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）A. 8B. 10C. 8或10D. 不能确定4.已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ）A. a=5，b=1B. a=−5，b=1C. a=5，b=−1D. a=−5，b=−15.抛物线y=-2（x-1）2-3与y轴的交点纵坐标为（ ）A. −3B. −4C. −5D. −16.在一次排球联赛中，每两个代表队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个代表队参加比赛？设有x个代表队参加比赛，则可列方程（ ）A. x(x−1)=28B. (x−1)2=28C. x(x+1)=28D. 12x(x−1)=287.如图是某石圆弧形（劣弧）拱桥，其中跨度AB=24米，拱高CD=8米，则该圆弧的半径r=（ ）A. 8 米B. 12 米C. 13米D. 15 米8.如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）A. 50∘B. 40∘C. 30∘D. 25∘9.如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A. 36mB. 312mC. 32mD. 1m10.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如果x=-1是方程x2-x+k=0的解，那么常数k=______．12.抛物线y=-12x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为______．13.圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆心角是______°．14.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为____．15.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积S来近似估计圆O的面积，则S=______．（结果保留根号）16.如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A的坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；（2）求出点B旋转到点B1所经过的路径长．19.已知二次函数y=-x2+2x-3（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）直接说出x在什么范围内，y随x的增大而减小．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠BAC的平分线交BC于点O，再以O为圆心OC为半径作⊙O．（要求：用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．21.求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）22.已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．23.如图，要建一个面积为130m2的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长为am），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门．现有能围成32m长的木板，求建仓库的方案．24.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y=16x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）点Q（8，m）在抛物线y=16x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：由题意得：a-2≠0，解得：a≠2，故选：C．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a-2≠0，再解即可．此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握二次项的系数不等于0．3.【答案】B【解析】解：∵方程x2-6x+8=0的解是x=2或4，（1）当2为腰，4为底时，2+2=4不能构成三角形；（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长=4+4+2=10．故选：B．先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．4.【答案】D【解析】解：∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，∴a=-5，b=-1．故选：D．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．5.【答案】C【解析】解：当x=0时，y=-2-3=-5，所以，抛物线与y轴的交点纵坐标为-5．故选：C．令x=0，直接求出抛物线与y轴的交点纵坐标．主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点．6.【答案】D【解析】解：设有x个代表队参加比赛，则可列方程x（x-1）=28．故选：D．设有x个队参赛，根据参加一次排球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛28场，可列出方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．7.【答案】C【解析】解：拱桥的跨度AB=24m，拱高CD=8m，∴AD=12m，利用勾股定理可得：122=AO2-（AO-8）2，解得AO=13m．即圆弧半径为13米．故选：C．将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选：D．先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．9.【答案】A【解析】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=．则AB=2AD=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2π×1=，解得：r=．故选：A．连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．10.【答案】C【解析】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．11.【答案】-2【解析】解：把x=-1代入方程x2-x+k=0得1+1+k=0，解得k=-2．故答案为-2．把x=-1代入方程x2-x+k=0得1+1+k=0，然后解关于k的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12.【答案】y=-12x2+1【解析】解：抛物线y=-x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y=-x2+1，故答案为：y=-x2+1．直接根据平移规律作答即可．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13.【答案】90【解析】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为n．根据题意得2π×1=解得n=90°．故答案为：90°根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，把相关数值代入即可．此题主要考查了圆锥的计算；关键是掌握计算公式：圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开图的弧长．14.【答案】61°【解析】解：连接OD，∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，C，D共圆，∵点D对应的刻度是58°，∴∠BOD=58°，∴∠BCD=∠BOD=29°，∴∠ACD=90°-∠BCD=61°．故答案为：61°．首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．15.【答案】23【解析】解：依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM=，∴AB=，∴S=6S△ABO=6×××1=2．故答案为：2．根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．16.【答案】（3，3）【解析】解：点G的坐标为（a，a2），则点D的坐标为（-a，a2），∴点A的坐标为（a2，a），∵射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，∴tan30°=，即，解得，a=，∴点A的坐标为（3，）．根据点G在y=x2（x＞0）上，可以设出点G的坐标，从而可以表示出点D和点A的坐标，然后根据特殊角的三角函数值可以求得点A的坐标．本题考查二次函数图象上点的坐标特征、翻折变换、坐标与图形变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17.【答案】解：（1）∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，∴△=（-3）2-4×1×（-k）＞0，解得k＞-94；（2）当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，因式分解得（x-1）（x-2）=0，解得x1=1，x2=2．【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围；（2）k取负整数，再解一元二次方程即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．18.【答案】解：（1）如图：；（2）如图2：，OB=42+22=25，点B旋转到点B1所经过的路径长90⋅π25180=5π．【解析】（1）根据旋转的性质，可得答案；（2）根据线段旋转，可得圆弧，根据弧长公式，可得答案．本题考查了作图，利用旋转的性质是解题关键，又利用了弧长公式．19.【答案】解：（1）y=-x2+2x-3=-（x2-2x+3）=-（x-1）2-2，所以顶点坐标为（1，-2）对称轴为x=1；（2）∵函数图象开口向下，又其对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．【解析】（1）根据配方法的要求把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标；（2）当a＜0时，抛物线向下开口，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，据此求解即可．本题考查了二次函数的性质，配方法，二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．20.【答案】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）AB与⊙O的位置关系是相切．证明：过O作OD⊥AB于D，如图，∵AO平分∠BAC，OC⊥AC，OD⊥AB，∴OD=OC，∴AB与⊙O相切．【解析】（1）先利用基本作图作∠BAC的平分线AO，然后作⊙O；（2）过O作OD⊥AB于D，如图，根据角平分线的性质得OD=OC，然后根据切线的判定定理可判断AB与⊙O相切．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21.【答案】已知：平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，求证：四边形ABCD是矩形，证明：∵平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B=∠D，∠B+∠D=180°，∴∠B=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．【解析】根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°，根据平行四边形的性质得出∠B=∠D，求出∠B=90°，根据矩形的判定得出即可．本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，圆内接四边形的性质等知识点，能求出∠B=90°是解此题的关键．22.【答案】证明：（1）连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵AC=BC，∴AD=BD．（2）连接OD；∵AD=BD，OB=OC，∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线．【解析】（1）由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得．（2）连接OD，再证明OD⊥DE即可．本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识点．要注意的是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23.【答案】解：设与仓库与墙垂直的一边是x米，（32-2x+1）x=130，x=10或x=6.5，①当0＜a＜13设，没有符合题意的方案．②当13≤a＜20时，建仓库的方案：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；③当a≥20时，方案一：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；方案二：与仓库与墙垂直的一边是6.5米，另一边是20米；【解析】设与仓库与墙垂直的一边是x米，长是（32-2x+1），根据面积为130平方米可列方程求解，再分类讨论即可；本题考查一元二次方程的应用、理解题意的能力，关键是设出长，表示出宽，以面积做为等量关系列方程求解．24.【答案】（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=AO=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD=60⋅π×22360=23π．【解析】（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO 是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．25.【答案】解：（1）∵点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B，∴A（2，0），B（6，0），∵抛物线y=x2+bx+c过点A和B，∴y=16（x-2）（x-6）∴y=16x2-43x+2．∴C（0，2）．抛物线的大致图象如图下所示：（2）如下图所示：连结AQ交直线x=4与点P，连结PB．∵A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PB+PQ=AP+PQ，∴当点A、P、Q在一条直线上时，PQ+PB有最小值．∵Q（8，m）抛物线上，∴m=2．∴Q（8，2）∴AQ=(8−2)2+(2−0)2=210．∴PQ+PB的最小值=AQ=210．（3）如下图所示：连结EM，CM，可知EM=OC=2．∵CE是切线，∴∠DEM=90˚∴∠DEM=∠DOC．又∵∠ODC=∠EDM，∴△DEM≌△DOC．∴OD=DE，CD=MD．在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC，则　OE∥CM．设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴4k+b=0b=2解得k=−12b=2直线CM的解析式为y=-12x+2．又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，则OE的解析式为y=-12x．【解析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标可知抛物线的解析式为y=（x-2）（x-6），然后再进行整理即可；（2）连结AQ交直线x=4与点P，连结PB，先求得点Q的坐标，然后再依据轴对称的性质可知当点A、Q、P在一条直线上时，PQ+PB有最小值；（3）连结EM，CM，然后证明OE∥CM，接下来，再求得CM的解析式，然后可得到OE的解析式．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、轴对称-最短路径问题、全等三角形的性质和判定等知识，证得CM∥OE是解答本题的关键．。

九年级（上）第一次月考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1. 如果（m +3）x -mx+1=0 是一元二次方程，则（）A. C. m ≠−3m ≠0B. D. m ≠3m ≠−3 且 m ≠02.3. 一元二次方程 x -6x -5=0 配方后可变形为（ ）A.(x −3)2=14 B. (x −3)2=4C. (x+3)2=14 下列方程中有两个相等实数根的是（）D.(x+3)2=4 A. x2−1=0B. (x+2)2=0C. x2+3=0D. (x −3)(x+5)=04.将抛物线 y =x 2 先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是（）A. y=(x−2)2−3B. y=(x+2)2−3C. y=(x −2)2+3D. y=(x+2)2+35.对于二次函数 y =（x -1） +2 的图象，下列说法正确的是（ ）A. C. 开口向下 对称轴是 x=−1B. D. 顶点坐标是(1,2) 有最大值是 26.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安 排 10 场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）A. 7 队B. 6 队C. 5 队D. 4 队7.若关于 x 的一元二次方程 x -2x +kb +1=0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y =kx +b 的大致图象可能是（ ）A. B.C.D.8.在同一直角坐标系中，一次函数 y =ax+c 和二次函数 y =ax +c 的图象大致为（ ）A.B. C. D.9. 三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x -16x +60=0 的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A. 24B. 24 或 85C. 48D. 8510. 若 x 、x 是关于 x 的方程 x +bx -3b =0 的两个根，且 x +x =7．那么 b 的值是（ ）2 2 2 2 2 22 2 2A. 1B. −7C. 1 或−7D. 7 或−1二、填空题（本大题共 7 小题，共 28.0 分） 11. 方程（x -2）（x +3）=0 的解是______．12. 已知方程 x +3x +2=0，代数式 3x +9x -2 的值是______． 13. 有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有 144 人患了红眼病，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则可列方程为______． 14. 已知 A （-4，y ），B （-3，y ）两点都在二次函数 y =-2（x +2） 的图象上，则 y ， 1 2 1y 的大小关系为______． 2 15. 已知抛物线 y =x +4x +b 与 x 轴的一个交点 A （-1，0），求抛物线与 x 轴的另一个交 点坐标______．16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离 y （单位：m ）与滑行时间 x （单位：s ）之间的函 数关系式是 y =60x -1.5x ，该型号飞机着陆后滑行______m 才能停下来．17. 若关于 x 的一元二次方程（a -1）x -x +1=0 有实数根，则 a 的取值范围为______． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分）18. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利润 120 元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1 元，每天可多售出 2 箱．如 果要使每天销售饮料获利 14000 元，问每箱应降价多少元？四、解答题（本大题共 6 小题，共 74.0 分） 19. 解方程：（1）x-5x +2=0； （2）3x （x -2）=2（2-x ）．20. 已知关于 x 的方程 x -2（m +1）x +m =0 （1）当 m 取何值时，方程有两个相等的实数根；（2）为 m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．21. 抛物线 y =-x +2x +3． （1）画出它的图象2 2 2 22 2 2 2 2 2第2 页，共16 页xy…… ……（2）根据图象回答下列问题：①x 满足______时，y 随 x 的增大而减小？ ②x 满足______时，y =0；③当 0≤x ≤3 时，y 的取值范围是______．22. 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m ，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面下降 1m 时，则水面的宽度为多少？23. 如图，有长为 24m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为 10m ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 xm ，面积为 Sm ．（1）求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围；（2）要围成面积为 45m 的花圃，AB 的长是多少米？ （3）、当 AB 的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？2 224. 如图，抛物线y=-x2+bx+c．经过A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于C点．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）△若PCM是以CM为底边的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式中二次项系数不能为 0．一元二次方程的一般形式是：ax +bx+c=0（a ，b ，c 是常数且 a ≠0）特别要注意 a ≠0 的条件． 因为（m+3）x -mx+1=0 是一元二次方程，所以（m+3）≠0，即：m ≠-3．【解答】解：如果（m+3）x -mx+1=0 是一元二次方程，（m+3）≠0，即：m≠-3．故选 A ．2.【答案】A【解析】解：x -6x-5=0，x -6x=5，x -6x+9=5+9，（x-3） =14，故选：A ．先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上 3 ，这样方程左边就为完 全平方式．本题考查了利用配方法解一元二次方程 ax +bx+c=0（a ≠0）：先把二次系数变为 1，即方程两边除以 a ，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一 次项系数的一半．3.【答案】B【解析】解：A 、x -1=0 中 x=1 或 x=-1，错误；B 、（x+2） =0 中 x=-2，正确；C 、方程 x+3=0 无实数根，错误； 22 22 2 2 2 222 2 2D 、（x-3）（x+5）=0 中 x=3 或 x=-5，错误；故选：B ．分别求出每个方程的根即可判断．本题主要考查解方程的能力，根据方程的特点灵活选择解方程的方法是解题 的关键．4.【答案】A【解析】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线 y=x 先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是 y=（x-2） -3． 故选：A ．根据函数图象平移的法则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是 解答此题的关键．5.【答案】B【解析】解：二次函数 y=（x-1） +2 的图象的开口向上，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为 （1，2），函数有最小值 2．故选：B ．根据二次函数的性 质对各开口方向、 顶点坐 标、对称轴与最 值进行判断即可．本题考查了二次函数的性质，掌握利用顶点式求抛物线的开口方向、顶点坐 标、对称轴与最值是解决问题的关键．6.【答案】C【解析】解：设邀请 x 个球队参加比赛，依题意得 1+2+3+…+x -1=10，即=10，∴x -x-20=0，2 222∴x=5 或 x=-4（不合题意，舍去）． 故选：C ．设邀请 x 个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x -1）场球，然后根据计划安排 10 场比赛即可列出方程求解．此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍 去不合题意的解．7.【答案】C【解析】解：∵关于 x 的一元二次方程 x -2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，∴△=4-4（kb+1）＞0， 解得 kb ＜0，A ．k ＞0，b ＞0，即 kb ＞0，故 A 不正确；B ．k ＜0，b ＜0，即 kb ＞0，故 B 不正确；C ．k ＞0，b ＜0，即 kb ＜0，故 C 正确；D ．k ＜0，b=0，即 kb=0，故 D 不正确；故选：C ．根据一元二次方程 x -2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，得到判别式大于 0， 求出 kb 的符号，对各个图象进行判断即可．本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程ax +bx+c=0（a ≠0）的根与△=b △-4ac 有如下关系：①当△＞△ 0 时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0△ 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜△ 0 时，方程无实数根．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和222 2一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下.根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象.【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选D.9.【答案】B【解析】2解：x -16x+60=0⇒（x-6）（x-10）=0，∴x=6或x=10．当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．∴高h==2，∴S×8×2=8；错误!当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．∴S×6×8=24．错误!∴S=24或8．故选：B．本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式S=×底×高求出面积．本题考查了三角形的三边关系．看到此类题目时，学生常常会产生害怕心理，不知如何下手答题，因此我们会在解题时一步一步地计算，让学生能更好地解出此类题目．10.【答案】A【解析】解：x 、x 是关于 x 的方程 x +bx-3b=0 的两个根，1 2得 x +x =-b ，x x =-3b ．1 21 2又 x +x =7，则（x +x ） -2x x =b +6b=7，解得 b=-7 或 1，12121 2当 b=-7 时，△=49-84＜0，方程无实数根，应舍去，取 b=1．故选：A ．根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可．设 x ，x12是关于 x 的一元二次方程 ax+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则x +x =12，x x = ．根据 x +x =（x +x ） -2x x 代入数值列出方程解即可． 1 2 1 2 1 2 1 2本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形 相结合解题是经常使用的一种解题方法．11.【答案】x =2，x =-3 1 2【解析】解：（x-2）（x+3）=0，可得 x-2=0 或 x+3=0，解得：x =2，x =-3．12故答案为：x =2，x =-312方程利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方 程来求解．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键．12.【答案】-8【解析】解：∵x +3x+2=0，∴x+3x=-2，∴3x +9x-2=3（x +3x ）-2=3×（-2）-2=-8．故答案为-8．22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2由已知条件变形得到x+3x=-2，再把3x+9x-2表示为3（x +3x）-2，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法．13.【答案】x+1+x（x+1）=144【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，由题意，得x+1+x（x+1）=144．故答案为x+1+x（x+1）=144．患红眼病的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：x+1+x（1+x）=144．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题时要注意的是，患红眼病的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．14.【答案】y＜y12【解析】解：把A（-4，y），B（-3，y）分别代入y=-2（x+2）得12y =-2（x+2）=-8，y=-2（x+2）=-2，12所以y ＜y．12故答案为y＜y．12分别计算出自变量为-4，-3时的函数值，然后比较函数值得大小即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．15.【答案】（-3，0）【解析】解：由抛物线y=x+4x+b知，该抛物线的对称轴是x=-∵该抛物线与x轴的两交点一定关于对称轴对称，=-2．2222222∴另一个交点为（-3，0）．故答案是：（-3，0）．抛物线是轴对称图形，与 x 轴的交点一定关于对称轴对称，根据对称性就可 以求出另一交点的坐标．本题主要考查了抛物线的性质，注意抛物线是轴对称图形，要求同学们熟练 掌握待定系数法求函数解析式的应用．16.【答案】600【解析】解：∵a=-1.5＜0，∴函数有最大值．∴y最大= = =600，即飞机着陆后滑行 600 米才能停止．故答案为：600．根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配 方法得出是解题关键．17.【答案】a ≤54 且 a ≠1【解析】解：∵一元二次方程（a-1）x -x+1=0 有实数根，∴a-1≠0 即 a ≠1， △且≥0，即有△=△ （-1）2-4（a-1）=5-4a ≥0，解得 a≤ ，∴a 的取值范围是 a ≤ 且 a ≠1．故答案为：a≤ 且 a≠1．由一元二次方程（a-1）x -x+1=0 有实数根，则 a-1≠0，即 a ≠1，且△≥0△ ， △即=（-1）2-4（a-1）=5-4a≥0，然后解两个不等式得到a 的取值范围．本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b2-4ac ． △当＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0△ ，方程有两个相等的实数根；当△＜△ 0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．值 222第11 页，共16 页18.【答案】解：设要使每天销售饮料获利 14000 元，每箱应降价 x 元，依据题意列方程得，（120-x ）（100+2x ）=14000，整理得 x -70x +1000=0，解得 x =20，x =50；1 2∵扩大销售， ∴x =50答：每箱应降价 50 元，可使每天销售饮料获利 14000 元． 【解析】此题利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润×销售总箱数=销售总利润，由 此列方程解答即可．此题考查最基本的数量关系是： 润．19.【答案】解：（1）x -5x+2=0∵a =1，b =-5，c =2，∴b -4ac =（-5） -4×1×2=17，∴x =5±172；（2）3x （x -2）=2（2-x ） （3x +2）（x-2）=0 3x +2=0 或 x -2=0，销售每箱饮料的利润×销售总箱数=销售总利∴x 1=-23，x =2． 【解析】（1）利用公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程．考查了一元二次方程的解法，对于方程的解法的选择，需要根据方程的特点 进行选择．20.【答案】解：（1）由题意知 △：=b -4ac =[-2（m +1）] -4m =[-2（m +1）+2m ][-2（m +1） -2m ]=-2（-4m -2）=8m +4=0，解得 m =-12．∴当 m =-12 时，方程有两个相等的实数根．（2）方程有两个不相等的实数根， △即=8m +4＞0，可以解得 m ＞-12， 选取 m =0．（答案不唯一，注意开放性）方程为 x -2x =0， 解得 x =0，x =2．1 2【解析】（1）方程有两个相等实数根，必须满足△=b △ -4ac=0，从而建立关于 m 的方程，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2求出m的值即可．（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，△即＞0，可以解得m＞-，在m＞- 的范围内选取一个合适的整数求解就可以．此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的△关系：（1）△＞△0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0△⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜△0⇔方程没有实数根．21.【答案】x＞1x=-1或x=3【解析】解：（1）画出它的图象0≤y≤4x y ……-1314233……函数图象如下：（2）根据图象回答下列问题：①x满足x＞1时，y随x的增大而减小？②x满足x=-1或x=3时，y=0；③当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4；故答案为：①x＞1；②x=-1或x=3；③0≤y≤4．（1）列表、描点即可得；（2）结合函数图象求解可得．本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是掌握描点法画二次函数的图象及二次函数的性质．22.【答案】解：（1）设这条抛物线的解析式为 y =ax +bx+c （a ≠0）．由已知抛物线经过点 A （-2，0），B （2，0），C （0，2），将三点坐标代入得：c=24a+2b+c=04a−2b+c=0 解得：a =-1，b =0，c =2，故抛物线的解析式为 y =-12x +2． （2）当 y =-1 时，即-12x +2=-1，解得：x =±6，故当水面下降 1m 时，则水面的宽度为 26m ． 【解析】（1）设出抛物线的解析式，由图中点在抛物线上，用待定系数法求出抛物线解 析式；（2）把 y=-1 代入 y=- x +2，即可得到结论．本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据图中信息得出函数 经过的点的坐标是解题的关键．23.【答案】解：（1）根据题意，得 S =x （24-3x ），即所求的函数解析式为：S =-3x +24x ，又∵0＜24-3x ≤10， ∴143≤x ＜8，（2）根据题意，设 AB 长为 x ，则 BC 长为 24-3x∴-3x +24x=45．整理，得 x -8x +15=0， 解得 x =3 或 5，当 x =3 时，BC =24-9=15＞10 不成立， 当 x =5 时，BC =24-15=9＜10 成立， ∴AB 长为 5m ；（3）S =24x -3x =-3（x -4） +48∵墙的最大可用长度为 10m ，0≤BC =24-3x ≤10， ∴143≤x ＜8，∵对称轴 x =4，开口向下，∴当 x =143m ，有最大面积的花圃．即：x =143m ，最大面积为：=24×143-3×（143） =46.67m 【解析】（1）根据 AB 为 xm ，BC 就为（24-3x ），利用长方体的面积公式，可求出关系式． （2）将 s=45m 代入（1）中关系式，可求出 x 即 AB 的长．（3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出2 2 2 22 2 2 2 2 2 2的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的 有三道篱笆．24.【答案】解：（1）将点 A （-1，0），B （5，0）代入 y =-x +bx+c ， 得：−1−b+c=0−25+5b+c=0，解得：b=4c=5，∴此抛物线解析式为 y =-x +4x +5；（2）当 a =1 时，E （1，0），F （2，0），OE =1，OF =2．设 P （x ，-x +4x +5）， 如图 1，过点 P 作 PN ⊥y 轴于点 N ，则 PN =x ，ON =-x +4x+5， ∴MN =ON -OM =-x +4x +4．S四边形=SMEFP梯形 OFPN△S △P MN △OME =12（PN +OF ）•ON -12PN •MN -12OM •OE=12（x +2）（-x +4x +5）-12x •（-x +4x +4）-12×1×1=-x +92x +92 =-（x -94）+15316 ∴当 x =94 时，四边形 MEFP 的面积有最大值为 15316，把 x =94 时，y =-（94-2） +9=14316．此时点 P 坐标为（94，14316）．（3）∵M （0，1），C （0，5） △，PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形， ∴点 P 的纵坐标为 3．令 y =-x +4x +5=3，解得 x =2±6．∵点 P 在第一象限， ∴P （2+6，3）．四边形 PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要 ME +PF 最小，则 PMEF 的周 长将取得最小值．如图 2，将点 M 向右平移 1 个单位长度（EF 的长度），得 M （1，1）；1作点 M 关于 x 轴的对称点 M ，则 M （1，-1）；1 2 2连接 PM ，与 x 轴交于 F 点，此时 ME +PF =PM 最小．2 22 2 2 2 2 - -S 2 2 2 2 2 2设直线 PM 的解析式为 y =mx +n ，将 P （2+6，3），M （1，-1）代入得：(2+6)m+n=3m+n=−1， 解得：m =46−45，n =-46+15， ∴y =46−45x -46+15．当 y =0 时，解得 x =6+54． ∴F （6+54，0）． ∵a +1=6+54， ∴a =6+14．∴a =6+14 时，四边形 PMEF 周长最小． 【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形 MEFP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最 值及点 P 坐标；（3）四边形 PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要 ME+PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．将点 M 向右平移 1 个单位长度（EF 的长度），得M （1，1）；作点 M 关于 x 轴的对称点 M ，则 M （1，-1）； 1122连接 PM ，与 x 轴交2于 F 点，此时 ME+PF=PM 最小．2本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称-最短路线的性 质．试题计算量偏大，注意认真计算．2 2。

福建省龙岩市2013年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（4分）（2013•龙岩）计算：5+（﹣2）=（）A．3B．﹣3C．7D．﹣7考点：有理数的加法分析：根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．解答：解：5+（﹣2）=+（5﹣2）=3．故选A．点评：本题考查了有理数的加法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．2．（4分）（2013•龙岩）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图分析：俯视图是从物体上面看所得到的图形．解答：解：上面看，是上面2个正方形，左下角1个正方形，故选C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．3．（4分）（2013•龙岩）下列计算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a3=a6C．（﹣a3）2=﹣a6D．a7÷a5=a2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方专题：计算题．分析：分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法与除法法则、幂的乘方法则对各选项进行逐一分析即可．解答：解：A、a+a=2a，故本选项错误；B、a2•a3=a5，故本选项错误；C、（﹣a3）2=a6，故本选项错误；D、a7÷a5=a7﹣5=a2，故本选项正确．故选D．点评：本题考查的是同底数幂的乘法与除法法则、幂的乘方法则及合并同类项的法则，熟知以上知识是解答此题的关键．4．（4分）（2013•龙岩）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称及中心对称概念，结合选项即可得出答案．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．5．（4分）（2013•龙岩）在九年级某次体育测试中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）成绩如下（单位：次/分）：45、44、45、42、45、46、48、45，则这组数据的平均数、众数分别为（）A．44、45B．45、45C．44、46D．45、46考点：众数；加权平均数专题：计算题．分析：根据平均数的定义计算这组数据的平均数，由于数据中45出现了4次，出现次数最多，则可根据众数的定义得到这组数据的众数为45．解答：解：数据的平均数=（45+44+45+42+45+46+48+45）=45，数据中45出现了4次，出现次数最多，所以这组数据的众数为45．故选B．点评：本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了平均数．6．（4分）（2013•龙岩）如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB 的长为（）A．B．2C．2D．4考点：圆周角定理；等腰直角三角形分析：由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．解答：解：∵A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB=OA=2．故选C．点评：此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．（4分）（2013•龙岩）若我们把十位上的数字比个位和百位上的数字都大的三位数称为凸数，如：786，465．则由1，2，3这三个数字构成的，数字不重复的三位数是“凸数”的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字不重复的三位数是“凸数”的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有27种等可能的结果，数字不重复的三位数是“凸数”的有9种情况，∴数字不重复的三位数是“凸数”的概率是：=．故选A．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．8．（4分）（2013•龙岩）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．a＞0B．c＞0C．a c＞0D．b c＜0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c小于0，即可作出判断．解答：解：根据图象得：a＜0，c＜0，b＞0，则ac＞0，bc＜0，故选C．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9．（4分）（2013•龙岩）如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）A．B．2C．2D．1考点：正方形的性质分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．解答：解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∴∠ADB=∠CGE=45°，∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△DGT是等腰直角三角形，∵两正方形的边长分别为4，8，∴DG=8﹣4=4，∴GT=×4=2．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．10．（4分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C，1∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6﹣2=4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，∵0B=6，∴点B到直线y=x的距离为6×=3，∵3＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）（2013•龙岩）因式分解：a2+2a= a（a+2）．考点：因式分解-提公因式法．分析：直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．解答：解：a2+2a=a（a+2）．点评：考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．12．（3分）（2013•龙岩）已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= 9 ．考点：一元二次方程的解分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解答：解：把x=3代入方程x2﹣6x+k=0，可得9﹣18+k=0，解得k=9．故答案为9．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，比较简单．13．（3分）（2013•龙岩）若|a﹣2|+=0，则a b= 8 ．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．分析：根据非负数的性质由|a﹣2|+=0得a﹣2=0，b﹣3=0，求出a，b的值，代入所求代数式计算即可求值．解答：解：∵|a﹣2|+=0，∴a﹣2=0，b﹣3=0，∴a=2，b=3，∴a b=23=8．点评：本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．14．（3分）（2013•龙岩）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，B是⊙O上一点，BC⊥AP于点C，且OB=BP=6，则BC= 3 ．考点：切线的性质；三角形中位线定理分析：由PA是⊙O的切线，BC⊥AP，可得BC∥OA，又由OB=BP=6，可得BC是△PAO的中位线，OA=6，继而求得答案．解答：解：∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∵BC⊥AP，∴BC∥OA，∵OB=BP=6，∴OA=6，∴BC=OA=3．故答案为：3．点评：此题考查了切线的性质与三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．（3分）（2013•龙岩）如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点．若∠B=65°，15．∠MDN=135°，则∠AMB=70°．考点：平行线的性质；三角形的外角性质分析：根据平行线的性质求出∠BAM，再由三角形的内角和定理可得出∠AMB．解答：解：∵AB∥CD，∴∠A+∠MDN=180°，∴∠A=180°﹣∠MDN=45°，在△ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．故答案为：70°．点评：本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行同胖内角互补，及三角形的内角和定理．16．（3分）（2013•龙岩）下列说法：①对顶角相等；②打开电视机，“正在播放《新闻联播》”是必然事件；③若某次摸奖活动中奖的概率是，则摸5次一定会中奖；④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查；⑤若甲组数据的方差s2=0.01，乙组数据的方差s2=0.05，则乙组数据比甲组数据更稳定．其中正确的说法是①④．（写出所有正确说法的序号）考点：方差；对顶角、邻补角；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义．分析：根据方差、随机事件、对顶角、概率的意义对每个命题进行判断即可．解答：解：①对顶角相等，正确；②打开电视机，“正在播放《新闻联播》”是随机事件，错误；③若某次摸奖活动中奖的概率是，则摸5次不一定会中奖，错误；④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查，正确；⑤若甲组数据的方差s2=0.01，乙组数据的方差s2=0.05，则甲组数据比乙组数据更稳定，错误．正确的有：①④；故答案为：①④．点评：此题考查了方差、随机事件、对顶角、概率的意义，关键是根据有关定义和性质对每个命题是否正确作出判断．17．（3分）（2013•龙岩）对于任意非零实数a、b，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2=﹣，2⊕1=，（﹣2）⊕5=，5⊕（﹣2）=﹣，…，则a⊕b=．考点：规律型：数字的变化类专题：新定义．分析：根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案．解答：解：∵1⊕2=﹣=，2⊕1==，（﹣2）⊕5==，5⊕（﹣2）=﹣=，…，∴a⊕b=．故答案为：．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，共89分）18．（10分）（2013•龙岩）（1）计算：﹣（π﹣3）0+（﹣1）2013+|2﹣|；（2）解方程：．考点：解分式方程；实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用﹣1的奇次幂为﹣1，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）原式=2﹣1+（﹣1）+2﹣=2﹣；（2）方程两边同乘（2x+1），得：4=x+2x+1，解得：x=1，检验：把x=1代入2x+1=3≠0，故原分式方程的解为x=1．点评：此题考查了解分式方程，以及实数的运算，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．19．（8分）（2013•龙岩）先化简，再求值：，其中x=2．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：原式先利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=••=，当x=2时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．20．（10分）（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE=CF；（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．解答：（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4，∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∴∠1=∠2∴∠5=∠6∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF；（2））证明：∵∠1=∠2，∴DE∥BF．又∵由（1）知△ADE≌△CBF，∴DE=BF，∴四边形EBFD是平行四边形．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．21．（10分）（2013•龙岩）某市在2013年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主要和谁在一起生活进行了抽样调查．下面是根据这次调查情况制作的不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表代码和谁一起生活频数频率A父母42000.7B爷爷奶奶660aC外公外婆6000.1D其它b0.09合计60001请根据上述信息，回答下列问题：（1）a= 0.11 ，b= 540 ；（2）在扇形统计图中，和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是36°；（3）若该市八年级学生共有3万人，估计不与父母一起生活的学生有9000 人．考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图．专题：计算题．分析：（1）由表格中的总计减去其它的数字，即可求出a与b的值；（2）由和外公外婆一起生活的学生的频率为0.1，乘以360度即可得到结果；（3）求出不与父母一起生活学生的频率，乘以30000即可得到结果．解答：解：（1）根据表格得：a=1﹣（0.7+0.1+0.09）=0.11，b=6000﹣（4200+660+600）=540；（2）根据题意得：和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是360°×0.1=36°；（3）根据题意得：30000×（1﹣0.7）=9000（人），则估计不与父母一起生活的学生有9000人．故答案为：（1）0.11；540；（2）36°；（3）9000．点评：此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（12分）（2013•龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=+1，AD=．（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为；（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为﹣；（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；弧长的计算．专题：探究型．分析：（1）先根据图形反折变换的性质得出AD′，D′E的长，再根据勾股定理求出AE的长即可；（2）由（1）知，AD′=，故可得出BD′的长，根据图形反折变换的性质可得出B′D′的长，再由等腰直角三角形的性质得出B′F的长，根据梯形的面积公式即可得出结论；（3）先根据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论．解答：解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合，∴AD′=AD=D′E=DE=，∴AE===；（2）∵由（1）知AD′=，∴BD′=1，∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，∴B′D′=BD′=1，∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=，∴四边形ADED′是正方形，∴B′F=AB′=﹣1，∴S梯形B′FED′=（B′F+D′E）•B′D′=（﹣1+）×1=﹣；（3）∵∠C=90°，BC=，EC=1，∴tan∠BEC==，∴∠BEC=60°，由翻折可知：∠DEA=45°，∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，∴=•2π•=．故答案为：；﹣．点评：本题考查的是图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．23．（12分）（2013•龙岩）某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A产品80件、B产品100件．已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件．（1）若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多少天恰好完成生产任务？（2）若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁7天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天（两种设备的租赁天数均为整数），问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是多少？考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为x、y天，然后根据生产A、B产品的件数列出方程组，求解即可；（2）设租赁甲种设备a天，表示出乙种设备（10﹣a）天，然后根据租赁两种设备的天数和需要生产的A、B产品的件数列出一元一次不等式组，求出解集，再根据天数a 是正整数设计租赁方案，然后求出各种方案的费用或列出关于费用的一次函数，然后根据一次函数的增减性确定租赁费用最少的方案．解答：解：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为x、y天，则依题意得，解得，答：需租赁甲种设备2天、乙种设备8天；（2）设租赁甲种设备a天、乙种设备（10﹣a）天，总费用为w元，根据题意得，，∴3≤a≤5，∵a为整数，∴a=3、4、5，方法一：∴共有三种方案．方案（1）甲3天、乙7天，总费用400×3+300×7=3300；方案（2）甲4天、乙6天，总费用400×4+300×6=3400；方案（3）甲5天、乙5天，总费用400×5+300×5=3500；∵3300＜3400＜3500，∴方案（1）最省，最省费用为3300元；方法二：则w=400a+300（10﹣a）=100a+3000，∵100＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a=3时，w最小=100×3+3000=3300，答：共有3种租赁方案：①甲3天、乙7天；②甲4天、乙6天；③甲5天、乙5天．最少租赁费用3300元．点评：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键．24．（13分）（2013•龙岩）如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy 中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0，x＞）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式；（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．考点：反比例函数综合题．专题：计算题．分析：（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式；（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断；（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．解答：解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，∴S△OCF=xy=，∴xy=2，∴k=2，∴反比例函数解析式为y=（x＞0）；（2）该圆与y轴相离，理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，设OH=m，则tan∠AOB==，∴EH=m，OE=2m，∴E坐标为（m，m），∵E在反比例y=图象上，∴m=，∴m1=，m2=﹣（舍去），∴OE=2，EA=4﹣2，EG=，∵4﹣2＜，∴EA＜EG，∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离；（3）存在．假设存在点F，使AE⊥FE，过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．∵△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，∴BC=FB•cos∠FBC=x，F C=FB•sin∠FBC=x，∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=4﹣x，∵AE⊥FE，∴AE=AF•cosA=2﹣x，∴OE=OA﹣AE=x+2，∴OH=OE•cos∠AOB=x+1，EH=OE•sin∠AOB=x+，∴E（x+1，x+），F（4﹣x，x），∵E、F都在双曲线y=的图象上，∴（x+1）（x+）=（4﹣x）•x，解得：x1=4，x2=，当BF=4时，AF=0，不存在，舍去；当BF=时，AF=，BF：AF=1：4．点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．25．（14分）（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A 运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题分析：（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；（3）如答图3所示，在Rt△PKD中，DK长可求出，则只有求出tan∠DPK即可．为此，在△ODM中，作辅助线，构造Rt△OND，作∠NOD平分线OG，则∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF 中，求出tan∠GOF的值，从而问题解决．解答中提供另外一种解法，请参考．解答：解：（1）在菱形ABCD中，∵AC⊥BD∴AD==50．∴菱形ABCD的周长为200．（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．①当0＜t≤40时，如答图1，∵sin∠OAD===，∴MP=AM•sin∠OAD=t．S=DN•MP=×t×t=t2；②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t，∵sin∠ADO===，∴MP=（70﹣t）．∴S△DMN=DN•MP=×t×（70﹣t）=t2+28t=（t﹣35）2+490．∴S=当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480．综上所述，S的最大值为480．（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．方法一：如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，则NF=ND•sin∠ODA=30×=24，DF=ND•cos∠ODA=30×=18．∴OF=12，∴tan∠NOD===2．作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，则FG=GH．∴S△ONF=OF•NF=S△OGF+S△OGN=OF•FG+ON•GH=（OF+ON）•FG．∴FG===，∴tan∠GOF===．设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG∴tan∠DPK===，∴PK=．根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′．∴存在两个点P到OD的距离都是．方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN．过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，∴，即．∴NG=24，DG=18．∵EF垂直平分OD，∴OE=ED=15，EG=NH=3．设OI=R，EI=x，则在Rt△OEI中，有R2=152+x2①在Rt△NIH中，有R2=32+（24﹣x）2②由①、②可得：∴PE=P I+IE=．根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件．∴存在两个点P，到OD的距离都是．（注：只求出一个点P并计算正确的扣（1分）．）点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解．希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。