例说变上限积分问题

定积分变换上下限摘要：1.引言2.定积分的定义和性质3.定积分变换上下限的方法4.举例说明5.总结正文：1.引言在数学分析中，定积分是一种重要的概念和工具，广泛应用于各种实际问题中。

在求解定积分时，常常需要对积分区间进行变换，以便于计算。

本文将介绍如何通过变换上下限来计算定积分。

2.定积分的定义和性质定积分是指将一个函数在某一区间上的值与区间长度相乘后求和，其结果表示该函数在该区间上的平均值。

定积分的定义为：∫[a, b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1 to n] f(xi)Δx，其中a 和b 是积分区间的上下限，f(x) 是被积函数，Δx 是区间长度的分割数，n 是分割点数量。

根据定积分的性质，我们可以将积分区间的上下限进行变换，而不改变积分的结果。

3.定积分变换上下限的方法为了方便计算，我们可以通过变换上下限来改变积分区间。

假设我们需要计算积分∫[a, b] f(x)dx，我们可以将其变换为∫[b, a] f(x)dx。

具体操作如下：(1) 将被积函数f(x) 取相反数，即-f(x)；(2) 交换积分区间的上下限，即变为∫[b, a] -f(x)dx；(3) 对被积函数进行积分，得到新的积分式子：-∫[a, b] f(x)dx。

通过这种方法，我们可以将原来的积分区间[a, b] 变为[b, a]，从而简化计算过程。

4.举例说明假设我们需要计算积分∫[0, π] sin(x)dx，根据上述方法，我们可以进行如下变换：(1) 将被积函数sin(x) 取相反数，即-sin(x)；(2) 交换积分区间的上下限，即变为∫[π, 0] -sin(x)dx；(3) 对被积函数进行积分，得到新的积分式子：-∫[0, π] sin(x)dx。

然后我们可以利用定积分的性质，即∫[a, b] f(x)dx = -∫[b, a] f(x)dx，得到：-∫[0, π] sin(x)dx = ∫[π, 0] sin(x)dx。

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt=⎰形如上式的积分，叫做变限积分。

注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。

2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量在积分区间上变动。

t ],[x a （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。

）关于积分上限函数的理论定理1如果在上连续，则在（a ，b ）上可积，而可积，则)(x f ],[b a )(x f )(x f 在上连续。

⎰=xa dt t f x F )()(],[b a 定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a ，b ）上可积。

)(x f ],[b a )(x f 定理3如果在上连续，则在上可导，而且有)(x f ],[b a ⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：)(x f 可积改进为连续；连续改进为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的。

)(x f )(x f ' （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。

它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：推论1 <变上限积分改变上下限，变号。

>)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 <上限是复合函数的情况求导。

>)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 <上下限都是变的时候，用上限的减去)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰下限的。

变限积分定义域【实用版】目录1.变限积分的定义2.变限积分的定义域3.求解变限积分定义域的方法4.举例说明正文1.变限积分的定义变限积分，又称为广义积分，是一种扩展了定限积分的概念，用于处理更复杂的数学问题。

在变限积分中，积分的上下限不再是常数，而是含有一个或多个变量。

这使得变限积分能够描述更广泛的函数类型，从而更灵活地解决实际问题。

2.变限积分的定义域变限积分的定义域是指积分区间内所有可能的取值范围。

通常，我们可以将变限积分表示为：∫[a(x), b(x)] f(x) dx其中，a(x) 和 b(x) 是两个关于 x 的函数，f(x) 是被积函数。

a(x) 和 b(x) 称为积分的上下限，它们的取值范围构成了变限积分的定义域。

3.求解变限积分定义域的方法求解变限积分定义域的方法通常分为以下两步：（1）确定积分区间：根据被积函数 f(x) 的性质，找到合适的积分区间 [a(x), b(x)]。

这可能涉及到求解不等式、方程或其他约束条件。

（2）确定上下限函数的定义域：对于积分的上下限函数 a(x) 和b(x)，分别求出它们的定义域，并取交集。

这将得到变限积分的定义域。

4.举例说明假设我们要求解以下变限积分的定义域：∫[x^2, x^3] (x^2 + 1) dx首先，我们需要确定积分区间。

由于被积函数为 (x^2 + 1)，它在整个实数范围内都是非负的，因此我们可以选择任意积分区间。

为了简化问题，我们选择 [0, 1] 作为积分区间。

接下来，我们需要确定上下限函数的定义域。

对于上限函数 x^2，它的定义域为 [0, 1]；对于下限函数 x^3，它的定义域也为 [0, 1]。

因此，变限积分的定义域为 [0, 1]。

科 技 教 育151科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATIONDOI：10.16661/ki.1672-3791.2018.12.151变限积分求导的口诀记忆法及应用①王旭坡(广东理工学院基础课教学研究部 广东肇庆 526100)摘　要：变限积分的计算结果为函数形式，对其求导就体现了重要的意义，同时变限积分的引入，为后续定积分的求解起到了铺垫作用，然而许多教材并没有着重讲解变限积分问题.本文在研究三类变限积分求导过程的基础上，总结出相应的记忆口诀，通过形象生动地语言描述，使初学者能够快速理解并掌握变限积分的求导，同时举例说明了口诀的可行性与便捷性。

关键词：变限积分 求导 口诀记忆法中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2018)04(c)-0151-02变限积分，又叫变限积分函数，是一种特殊形式的定积分，主要分为三种形式，即变上限积分()、变下限积分()以及上下限同时变化的积分()。

由于变限积分的计算结果为函数形式，对其求导就体现了重要的意义。

同时变限积分作为定积分求解的引入环节，是大学阶段高等数学课程中比较重要的知识模块，也是硕士研究生入学考试的重要考点之一[1]，然而许多教材中并没有着重讲解变限积分的性质以及求导思路。

对于初学者而言，就很难接受教材中讲解的简略求导过程。

在课堂教学过程中，枯燥的理论讲解很容易让学生在学习时产生抵触心理，进而影响到课程教学进度和课堂教学效果。

对于数学课程而言，更是被很多学生冠以“枯燥无味的课程”的称谓。

如何才能改善高等数学课程教学的效果，进而创造出良好的课堂教学氛围。

为此，许多教学研究者都积极参与到了改善教学方法及教学手段的设计行列中。

如张波[2]等在研究常用教学方法和教学手段的基础上，对各种教学原则进行了综合比较，从而给出了高等数学课程教学过程中最优教学法选择的依据和策略。

同时强调在高等数学课程教学过程中，应将初等数学与高等数学建立连接，着重数学思想及数学方法的培养和应用，在教学过程中灵活运用多媒体，根据问题情境创造数学建模氛围，从而激发学生学习高等数学的兴趣；王晓峰[3]等针对应用型本科院校，在分析高等数学课堂教学过程中所面临的一些问题的基础上，提出了高等数学课程“走班制”分层教学法的教学理念，提倡对学生数学水平、教材选用、教学内容及方法和考核方式等方面进行分层次教学的手段，以期做到改善高等数学的课堂教学效果，使学生逐渐养成“我要学数学”的心态，从而营造出良好的课堂教学氛围。

从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系白秀琴 杨宝玉（平顶山工业职业技术学院基础部 河南平顶山 467001）摘 要：通过一类考研题的讨论，表明不定积分⎰dx x f )(只能作为运算符号，无法用来讨论)(x f 的某一原函数的性质；而变限定积分函数⎰xadt t f )(为某一确定的原函数。

可以用它来讨论)(x f 的原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等. 关键词：不定积分 原函数 变限定积分函数From a few s see the indefinite integral with change to limitthe definite integral of relationBAI Xiu-qin,Yang Bao-yu(Pingdingshang Industrial College Of Technology,Pingdingshan,Henan,467001) Abstract: Through the discussion of this kind of problems in the entranceexams for pastgraduate schools ,it showa that the indefinite integration can just be used as mathematical symbol, but can ’t used to discuss the primary function of f(x); while the Change tolimit the definite integral ，⎰xadt t f )( as one certain primary function,can discuss the quality of f(x), such as the odd or even quality, monotonity extremeum, and value etc.Key words: indefinite integration; primary function, Change to limit the definite integral求导数(或微分)的逆运算问题——求不定积分，是积分学的基本问题之一，而定积分是通过微元分析，并归结为同一类型的黎曼和的极限，这是从两个完全不同的角度引进的两个不同的概念，两者之间的联系之一就是微积分第二基本定理，也就是我们熟悉的牛顿——莱布尼兹公式：)()()(b F a F dx x f ba-=⎰该公式表明，在定理条件下，函数)(x f 在],[b a 上定积分的值等于它任意一个原函数)(x F 在该区间上的改变量)()(b F a F -，它将定积分的计算转化为求原函数的函数值问题.上面公式的重要性不用置疑，然而很多人往往忽视他们之间的另外一个联系，也就是从微积分第一基本定理得到的，这也是本文主要讨论的内容；不定积分与定积分中的变限定积分的关系，绝大部分的高等数学教材，例如同济大学的《高等数学》介绍不定积分与变限定积分的关系，主要就介绍变上限函数求导定理，并引出原函数存在定理 ，同时证明牛顿——莱布尼兹公式.，现在首先来看 变上限积分函数的求导定理：设)(x f 在],[b a 上连续，则)()(x f dt t f xx a ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰.，由此可知⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数，很多高等数学教材就只介绍上面这个求导的式子，接下来并没有强调另一关键的式子:C dt t f dx x f xa+=⎰⎰)()( (*)因为要注意的是不定积分⎰dx x f )(只能作为运算符号，或者说它表示一类函数的集合，不能表示)(x f 的一个具体的原函数，特别当)(x f 为一个抽象的函数时，无法用⎰dx x f )(来讨论它的某一原函数的性质，而dt t f xa⎰)(的最大优点在于它的确定性，可以用它来讨论)(x f 原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等等，以下我们通过几个例子来看看变限积分函数⎰xadt t f )(的应用以及它的重要性。

变上限函数的性质及其应用作者连永龙系别统计与数学学院专业数学与应用数学年级2008级学号802091149指导教师邢华导师职称副教授评语：成绩：指导教师：年月日摘要：了解变上限函数的的定义并掌握其性质，用来解决定理、积分不等式、积分等式、敛散性的证明；极限、概率密度函数、重积分、不定积分的求解等问题。

从而，体会变上限函数的应用价值。

关键词：变上限函数性质应用变上限积分的改进引言变上限函数的引入及其定义：对于定义在[],a b 上的可积函数()f x 的定积分()d b af x x ⎰，若()f x 已知，则定积分为一确定的数。

现考虑，对任意的x 属于[],a b ，由定积分的性质得()f t 在[],a x 可积，且其结果为定义在[],a b 的函数。

于是定义这种函数为变上限函数： ()()d x aF x f t t =⎰[],x a b ∈变上限函数的性质及其相关定理一、 与定积分相同的有关性： 性质1、若()()d x aF x f t t =⎰[],x a b ∈，k 为常数，则()()d ()x aG x kf t t kF x ==⎰性质2、若f 、g 都在[],a b 上积分，且()()d x aF x f t t =⎰、()()d x aG x g x t=⎰[],x a b ∈，则()()f t g t ±在[],a x 可积，且[]()()d ()d ()d x xx a aaf tg t t f t t g t t ±=±⎰⎰⎰性质3、若f 、g 都在[],a x 上可积[],x a b ∈，则()()f tgt 在[],a x 上可积[],x a b ∈性质4、设()f x 为[],a b 上的可积函数，若()0f x ≥，[],x a b ∈，则()d 0xaf t t ≥⎰性质5、若()f x 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上也可积，且[]()d ()d ,x x aaf t t f t tx a b ≤∈⎰⎰这些性质可以类似证明定积分的性质来证明二、不定积分的特殊性质：（一）变上限函数的连续性定理：若()f x 在[],a b 上可积，则()()d x aF x f t t =⎰在[],a b 上是连续的。

变限积分确定的函数的性质及其应用变限积分确定的函数的性质及应用摘要由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。

本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。

关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。

ABSTRACTLimited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications.Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.目录一.变限积分的概念及其性质 (5)1.1变限积分的概念 (5)1.2变限积分的性质 (5)二.变限积分函数的应用 (9)2.1问题的提出 (9)2.2 变限积分函数的应用 (11)2.2．1利用变限积分求原函数 (11)2.2．2 化积分问题为微分学问题 (11)2.2.3 求定积分 (12)2.2.4变限积分的积分变量替换 (14)三．结论 (16)一、 变限积分的概念及其性质 1.1变限积分的概念定义1：如果函数)(x f 在区间[]b a ,可积，则称 ⎰=Φxa dt t f x )()(，[]b a x ,∈叫变动上限积分。

关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。

弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。

1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。

（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。

它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。

不定积分和微分一、公式)()(x f dx x f dx d =⎰和⎰⎰+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/的应用 注意：)(x f 的不定积分为⇔+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数⇔)(x f 是)(x F 的导数,即 ⎰+=c x F dx x f )()(或)()(/x f x F =1、已知不定积分的值,求被积函数或被积函数中的一部分,利用两边求导处理已知⎰+=c x F dx x f )())((ϕ,求)(x f方法：求导得)())((/x F x f =ϕ,令t x =)(ϕ,则)(1t x -=ϕ,即))(()(1/x F x f -=ϕ 例11⎰+=c x dx x f 2)(,求⎰-dx x xf )1(2解：对⎰+=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=,2222)1(x x f -=-则c x x dx x x dx x xf +-=-=-⎰⎰32)22()1(22222⎰+=c x dx x xf arcsin )(,求⎰)(x f dx解：对⎰+=c x dx x xf arcsin )(两边求导得211)(xx xf -=,即211)(xx x f -=c x xd x dx x x x f dx +--=---=-=⎰⎰⎰232222)1(31)1(1211)( 2、已知导数值,求原函数,利用两边积分的方法处理 已知)())((/x f x F =ϕ,求)(x F方法：令t x =)(ϕ,则)(1t x -=ϕ,即))(()(//t f t F ϕ=,故⎰=dt t f x F ))(()(/ϕ 例21x x f 22/tan )(sin =,求)(x f解：令t x =2sin ,则t t -=1cos 2,ttx x x -==1cos sin tan 222即t t t f -=1)(/ 两边积分的⎰+---=-=c t t dt tt t f |1|ln 1)( 2已知]1)([)(//-=-x f x x f ,求)(x f解：令t x =-,则上式为]1)([)(//---=t f t t f ,即]1)([)(//---=x f x x f由上面两式得12)(2/+=x xx f 两边积分得c x dx x xx f ++=+=⎰)1ln(12)(223设)(u f 在+∞<<∞-u 内可导,且0)0(=f ,又101(ln )1x f x x <≤⎧⎪'=>,求)(u f解：令t x =ln 得t e x =,则⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=1101)(/tt t e ee tf 即⎪⎩⎪⎨⎧>≤=01)(2/t et t f t当0≤t 时,1)(/=t f ,两边积分得⎰+==1)(c t dt t f 当0>t 时,2/)(t e t f =,两边积分得⎰+==2222)(c e dt e t f t t又因为设)(t f 在+∞<<∞-u 内可导,所以)(t f 在+∞<<∞-u 内连续 而222002)2(lim )(lim c c e t f tt t +=+=++→→,1100)(lim )(lim c c t t f t t =+=--→→因为)(t f 在0=t 处连续,则0212==+c c ,即2,021-==c c故⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0220)(2t e t tt f t4设)(x f y =在x 处的改变量为)(1x o x xyy ∆+∆+=∆0→∆x ,1)0(=y ,求)1(/y解：由)(1x o x x y y ∆+∆+=∆ 知 x yy +=1/ 即x dx y dy +=1 两边积分得⎰⎰+=xdxy dy 1 得 c x y ++=)1ln(ln 而1)0(=y 故 0=c ,即x y +=1 故1)1(/=y 5设⎰-=ππ0sin )(dt ttx f ,求⎰π0)(dx x f解：dx x x x dx xxdx x xf x xf dx x f ⎰⎰⎰⎰---=-=ππππππππ00/00sin sin )(|)()(⎰==π2sin xdx二、已知)(x F 是)(x f 的原函数⎪⎩⎪⎨⎧+==⇔⎰c x F dx x f x f x F )()()()(/,求被积函数中含有))((x f ϕ的积分1、由)()(/x F x f =求出)(x f ,代入积分计算2、把积分转化为⎰))(())((x d x f ϕϕ的形式,利用⎰+=c x F dx x f )()(求值例31x x sin 是)(x f 的原函数,0≠a ,求⎰dx a ax f )( 解：因为x x sin 是)(x f 的原函数,所以⎰+=c xxdx x f sin )(而c xa ax c t a t dt t f a dx a ax f t ax +=+==⎰⎰=322sin sin )(1)(2x e -是)(x f 的原函数,求⎰dx x f x )(ln 2解：因为x x e e x f ---==/)()(,所以xx f 1)(ln -=则⎰⎰+-=-=c x xdx dx x f x 2)(ln 22三、已知)(x f 的表达式,求被积函数中含有))((x f ϕ的积分 1、由)(x f 求))((x f ϕ,再把))((x f ϕ的表达式代入积分计算2、由)(x f 先求⎰dx x f )(,把含有))((x f ϕ的积分转化为⎰)())((x d x f ϕϕ的形式处理 例41x x x f sin )(sin 2=,求⎰-dx x f xx )(1 解：在⎰-dx x f xx )(1中,令t x 2sin =得⎰⎰⎰⋅=-=-dt t f t t d t f tt dx x f xx )(sin sin 2)(sin )(sin sin 1sin )(1222222ct t t tdt t t t td tdt t ++-=+-=-==⎰⎰⎰sin 2cos 2cos 2cos 2)(cos 2sin 2因为x t x t x t arcsin ,1cos ,sin =-== 所以c x x x dx x f xx ++⋅--=-⎰2arcsin 12)(122ln )1(222-=-x x x f ,且x x f ln )]([=ϕ求⎰dx x )(ϕ解：令t x =-12,则11ln )(-+=t t t f ,而x x f ln )]([=ϕ 则x x x ln 1)(1)(ln=-+ϕϕ 即11)(-+=x x x ϕc x x dx x x dx x +-+=-+=⎰⎰|1|ln 211)(ϕ 3)()(/2x f e x =-,)(/x f 连续,求⎰dx x xf )(/解：因为)()(/2x f e x =-,所以22)(x xe x f --=,⎰+=-c e dx x f x 2)(c e e x dx x f x xf x f xd dx x xf x x +--=-==--⎰⎰⎰222/2)()()]([)( 4x xe x f =)(,求⎰⋅xdx x f ln )(/解：⎰⎰⎰-==⋅dx xx f x x f x f xd xdx x f )(ln )()]([ln ln )(/ c e x xe dx e x xe x x x x +-=-=⎰ln ln5x x f cos )(ln =,求⎰dx x f x xf )()(/ 解：dx x f x f x x f xd dx x f x xf ⎰⎰⎰-==)(ln )(ln )]([ln )()(/ c x x x xdx x x +-=-=⎰sin cos cos cos6设dt ttx f x ⎰=21sin )(,求⎰10)(dx x xf解：因为dt tt x f x ⎰=21sin )(,所以x x x x x x f 222/sin 22sin )(=⋅= ⎰⎰⎰⎰-=-==10210/210210210sin )(21|2)()(21)(dx x x dx x f x x f x dx x f dx x xf 2121cos |cos 21sin 211021022-==-=⎰x dx x 四、利用凑微分法求积分注意：))](([)]([)]([)()]([///x g f d x g d x g f dx x g x g f =⋅=⋅ 例511)0(=f ,3)2(=f ,5)2(/=f ,求⎰10//)2(dx x xf解：⎰⎰⎰⎰-====20/20/20/20//210//)(41|4)()]([41)(41)2(dt t f t tf t f td dt t tf dx x xf tx 令 24)0()2(2)2(/=--=f f f 2设)(x f 二阶可导,a b f =)(/, b a f =)(/,求⎰badx x f x f )()(///解：2|2)]([)]([)()()(222//////b a x f x f d x f dx x f x f b a baba -===⎰⎰3设5sin )]()([0//=+⎰xdx x f x f π,2)(=πf ,求)0(f 解：⎰⎰⎰-==πππ0//0//cos )()]([sin sin )(xdx x f x f xd xdx x f⎰⎰--=-=πππ0sin )()()0()]([cos xdx x f f f x f xd因为5sin )]()([0//=+⎰xdx x f x f π,所以5)()0(=-πf f 而2)(=πf ,故7)0(=f五、已知)()(/x f x F =,且)()()(x g x F x f =⋅,求)(x f方法：两边积分⎰⎰=dx x g dx x F x F )()()(/,得⎰=dx x g x F )(2)(2,求)(x f 例61)(x F 是)(x f 的原函数,且0≥x 时,有x x F x f 2sin )()(2=⋅,又1)0(=F ,0)(≥x F ,求)(x f解：因为)(x F 是)(x f 的原函数,所以)()(/x f x F =, 由于 x x F x f 2sin )()(2=⋅ 故x x F x F 2sin )()(2/=⋅, 两边积分得12/84sin 24cos 21212sin )()(c x x xdx dx xdx dx x F x F +-=-==⎰⎰⎰⎰ 而 22/2)()]([)()()(c x F x F d x F dx x F x F +==⎰⎰ 故c xx x F +-=44sin )(2,又1)0(=F 得1=c 而0)(≥x F ,所以144sin )(+-=xx x F 44sin 44cos 1)(+--=x x x x f2)(x f 连续,且当1->x 时,2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰,求)(x f 解：令dt t f x g x⎰=0)()(,)()(/x f x g =,由于2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰则 2/)1(2]1)()[(x xe x g x g x+=+两边积分得 dx x xe dx x g x g x⎰⎰+=+2/)1(2]1)()[( 即 ⎰⎰⎰⎰+-+=+=++dx x e dx x e dx x xe x g d x g xx x 22)1(21121)1(2]1)([]1)([ 故 c xe x g x++=+1]1)([2因为 dt t f x g x⎰=0)()( 令0=x 得0)0(=g ,代入上式0=c故11)(-+±=xe x g x ,23/)1(2)(x e x x f x +±= 3已知)(x f 为非负连续函数,且0>x 时,30)()(x dt t x f x f x=-⎰,求)(x f提示：因为⎰⎰==-x xdu u f x f dt t x f x f 0ut -x 0)()()()(令,令⎰=xdu u f x g 0)()(处理六、变上限积分的导数运算注意：1如],[,)()(b a x dt t f x F bx⎰∈=,则⎰-=xbdt t f x F )()(,则)()(/x f x F -=2如⎰ϕ=)()()(x adt t f x F ,则由复合函数的求导法则有)()]([)()()()(///x x f x u f dxduu F dx d x F ϕϕϕ⋅=⋅=⋅=3如⎰ϕφ=)()()()(x x dt t f x F ,可得成⎰⎰ϕφ+=)()()()()(x cc x dt t f dt t f x F ,则)()]([)()]([)(///x x f x x f x F φφϕϕ⋅-⋅=例71已知)(x f 满足⎰+=xdt t f t x xf 02)(1)(,求)(x f解：两边求导得)()()(2/x f x x xf x f =+ 即dx xx x f x f d )1()()]([-=两边积分得c x x x f +-=ln 2)(ln 2,所以xCe x f x 22)(=2求一个不恒等于零的连续函数)(x f ,使它满足⎰+=xdt ttt f x f 02cos 2sin )()(解：两边求导得xxx f x f x f cos 2sin )()()(2/+=即 0)cos 2sin )(2()(/=+-⋅xxx f x f因为)(x f 是不恒等于零的连续函数,故xxx f cos 24sin )(/+=两边积分得c x dx x x x f ++-=+=⎰)cos 2ln(21cos 2sin 21)(在⎰+=x dt t t t f x f 02cos 2sin )()(中令0=x ,得0)0(=f 代入上式有3ln 21=c故3ln 21)cos 2ln(21)(++-=x x f注意：1上题要充分利用已知条件确定初始条件0)0(=f2定积分或变上限积分的被积函数有参变量时,必须通过换元,使被积函数不含参变量,然后再求导例81已知)(x f 连续,⎰=-xx dt t x tf 02arctan 21)2(,1)1(=f 求⎰21)(dx x f解：令u t x =-2,则⎰⎰⎰⎰-=--=-x xxxx x xdu u uf du u f x du u f u x dt t x tf 2202)()(2)()2()2(即 222arctan 21)()(2x du u uf du u f x xx xx =-⎰⎰两边求导得：421)()(2x xx xf du u f x x +=-⎰因为 1)1(=f ,上式中令1=x 得21)1()(221=-⎰f du u f所以 43)(21=⎰dx x f2求可导数)(x f ,使它满足⎰+=1sin )()(x x x f dt tx f解：令u tx =,则du u f xdt tx f x⎰⎰=01)(1)( 因为⎰+=1sin )()(x x x f dt tx f ,所以x x x xf du u f x sin )()(20+=⎰两边求导得x x x x f cos sin 2)(/--=两边积分得c x x x xdx x xdx x f +-=--=⎰⎰sin cos cos sin 2)( 3由方程1sin e 22y0t =+⎰⎰dt tt dt x 0>x 确定y 是x 的函数,求dxdy解：对x 求导得0sin 22/2=+⋅x y e y ,故22sin 2y ex dx dy -=4)(x y y =是由012=-⎰+-dt e x xy t 确定的函数,求0//=x y解：对x 求导得0)1(1/)(2=+-+-y e x y 故12)(/-=+x y ey在012=-⎰+-dt e x xy t 中令0=x 时,有012=⎰-dt e yt ,即1=y故1/0/-==e y x注意：此题确定y 的方法5设)(x f 为已知可导奇函数,)(x g 为)(x f 的反函数,则⎰--)()(x f x xdt x t xg dx d 解：令u x t =-,则du u g x dt x t xg x f x f x x⎰⎰--=-)(0)()()(所以⎰⎰---⋅-=-)(0/)()]([)()()(x f x f x xx f g x xf du u g dt x t xg dx d 令⎰-=)(0)()(x f du u g x h ,则)()]([)()(///x xf x f g x f x h =-⋅-=两边积分得⎰⎰-==dx x f x xf dx x xf x h )()()()(/ 故⎰⎰-+=--dx x f x f x x xf dt x t xg dxd x f x x )()()()(/2)( 6设函数)(x f 可导,且0)0(=f ,⎰-=-x n n n dt t x f t x g 01)()(,求nx x x g 20)(lim → 解：令u t x nn=-,则⎰⎰=-=-nx xnnn du u f n dt t x f tx g 01)(1)()(由于 )()(1/n n x f x x g -=故n f x f x f n x x f n nx x g x x g n n x n n x n x n x 2)0(0)0()(lim 21)(lim 212)(lim )(lim /0012/020=--===→→-→→ 七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数)(x f 的各分段在相应区间的原函数)(x F ,然后考虑函数)(x F 在分段点处的连续性.如果)(x f 在分段点0x 处连续,则)(x F 在0x x =处连续例91⎩⎨⎧>≤+=1211)(x xx x x f ,求⎰dx x f )(解：当1≤x 时,⎰⎰++=+=122)1()(c x x dx x dx x f 当1>x 时,⎰⎰+==222)(c x xdx dx x f 因为⎰dx x f )(在1=x 处连续,故12231c c +=+,即c c c +=+=212112 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰12112)(22x c x x c x x dx x f2dx x ⎰),1max(2解：⎪⎩⎪⎨⎧-<>≤≤-=11111),1max (222x x x x x x当11≤≤-x 时,⎰⎰+==12),1max(c x dx dx x当1>x 时,⎰⎰+==23223),1max (c x dx x dx x当1-<x 时,⎰⎰+==33223),1max (c x dx x dx x求满足1)1(=F 的原函数由于)(lim )1(11x F F x +→==,即213111c c +=+= 得01=c ,322=c又由于)(lim )1(1x F F x -→=-,即3311c +-=- 得323-=c⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+->++≤≤-+=⎰1323132311),1max(332x c x x c x x c x dx x 3⎰dx x ][0≥x解：分别求出在区间]1,[+n n 3,2,1,0=n 上满足0)0(=F 的原函数 在]1,[+n n 上,n c nx dx x +=⎰][,n n F n F =-+)()1(在],1[x n +上,1)1(][+++=⎰n c x n dx x ,)1)(1()1()(--+=+-n x n n F x F 故c n x n c n x n n dx x +--+=+--++++++=⎰)12)(1()1)(1(3210][ 八、分段函数的变上限积分例101⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=πππx c x x x f 220cos )(,求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ,并讨论)(x ϕ在],0[π的连续性解：当20π≤≤x 时,⎰⎰===xx x tdt dt t f x 0sin cos )()(ϕ当ππ≤<x 2时,⎰⎰⎰-+=+==2020)2(1cos )()(ππππϕx c cdt tdt dt t f x x)(x ϕ在],2(,)2,0[πππ上连续,在2π=x 处,1)]2(1[lim )(lim 22=-+=++→→πϕππx c x x x ,1sin lim )(lim 22==--→→x x x x ππϕ故)(x ϕ在2π=x 处连续2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤=2220cos )(πππx x x x x f ,求⎰-xdt t x tf 0)(解：令u t x =-,则⎰⎰⎰-=-xxxdu u uf du u f x dt t x tf 0)()()(当20π≤≤x 时,⎰⎰==x xx udu du u f 0sin cos )(1cos sin cos )(0-+==⎰⎰x x x du u u du u uf x x此时x dt t x tf xcos 1)(0-=-⎰当2π>x 时,⎰⎰⎰++-=-+=x xx x du u udu du u f 0202221822)2(cos )(πππππ⎰⎰⎰-++-=-+=x xx x udu u udu u du u uf 0203232124843)2(cos )(ππππππ此时1248)18(46)(32230+--++-=-⎰ππππx x x dt t x tf x九、积分估值估计积分⎰ba dx x f )(的值方法：1令)(x f y =,],[b a x ∈2求)(//x f y =,确定0)(/=x f 和)(/x f 不存在的点 3在],[b a 上确定)(x f y =的最值4利用⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(估计积分值例11估计积分值⎰-22dx e xx解：设函数xxe xf y -==2)(,其中]2,0[∈xxxe x y --=2)12(/令0/=y ,得21=x 因为1)0(=f ,41)21(-=e f ,2)2(e f =,故241e y e ≤≤-所以 2241222e dx e exx≤≤⎰--十、形如⎰+=badx x f x h x g x f )()()()(的等式,求)(x f 和⎰badx x f )(方法：1令A dx x f ba=⎰)(2两端积分⎰⎰⎰+==b abab adx x Ah dx x g A dx x f )()()(得⎰⎰+=b abadx x h A dx x g A )()(,求A 的值3把A 的值代入原式求)(x f例12设⎰⎰++=203102)()()(dx x f xdx x f xx x f ,求)(x f解：令a dx x f =⎰10)(,b dx x f =⎰20)( 则 32)(bx ax x x f ++=两边积分⎰⎰++=++=13214321)()(b a dx bx ax x dx x f 即 638=-b a两边积分⎰⎰++=++=23224382)()(b adx bx ax x dx x f 即 638=-b a故83=a ,1-=b ,即3283)(x x x x f -+= 十一、已知函数)(x f 在],[b a 上的形式,求)(x f 方法：1求)(/x f2对)(/x f 两边积分得c x F x f +=)()(3取],[b a d ∈,由已知条件求)(d f 的值确定c 例131设20π≤≤x ,求⎰=x dt t x f 2sin 0arcsin )(+dt t x ⎰2cos 0arccos解：两边求导得02sin 2sin )(/=-=x x x x x f ,所以c x f =)(c 为常数 又因为当0=x 时,⎰⎰=-==1010341arccos )(dt tt dt t x f 所以 34)(=x f 2设0>x , ⎰+=xdt t x f 0211)(+dt t x⎰+10211,求)(x f解：两边求导得0111111)(222/=+⋅-+=xx x x f ,所以c x f =)(c 为常数又因为当1=x 时,2112)(102π=+=⎰dt t x f 所以 2)(π=x f十二、例14 已知111)(432-=--+++⎰⎰⎰⎰⎰dx yydx y dx y ydx dx ,求()x f y =. 解：因为111)(432-=--+++⎰⎰⎰⎰⎰dx y ydx y dx y ydx dx 所以⎰⎰⎰⎰⎰---=+++dxy y dx y dx y ydx dx 432111两边对x 求导得⎰----=+++24432)11(111dx yy y y y y y故2424)11()11(y y dx y y --=--⎰ 即441111y y dx y y --=--⎰或441111y y dx y y ---=--⎰ 当441111y y dx y y --=--⎰时,令411)(yy x u --=,则)()(/x u x u =,此时两边积分得 x Ce x u =)( 而 411)(y y x u --=所以411y y Ce x--=)1(132y y y C e x +++=,即c y y y x ++++-=)1ln(32 同理略 十三、计算1、如果⎰=badx x f I )(1,令tx 1=得⎰=badx x f I )(2则 A dx x f x f I ba=+=⎰)]()([221 得2A I =例15⎰∞+++=02)1)(1(1dx x x I p解：令t x 1=,即dt t dx 21-= 则 dt ttt dx x x I p p )1()11)(11(1)1)(1(120202-⋅++=++=⎰⎰∞+∞+ dt t t t p p⎰∞+++=2)1)(1(所以 21)1)(1()1)(1(12020202π=+=+++++=⎰⎰⎰∞+∞+∞+xdx dx x x x dx x x I p p p 即 4π=I2、形如⎰+20tan 1παx dx 的积分,令x y -=2π,然后相加处理 例16dx xx x⎰+2200520052005sin cos cos π解：令x t -=2π,则dt dx -=⎰⎰⎰+=-+---=+=202005200520050220052005200520200520052005sin cos sin )2(sin )2(cos )2(cos sin cos cos ππππππdt tt tdt t t t dx xx xI所以⎰⎰=+++=20200520052005202005200520052sin cos sin sin cos cos 2πππdx x x x dx xx x I故4π=I3、形如⎰++dx xD x C xB x A cos sin cos sin令)cos sin ()cos sin (cos sin '+++=+x D x C b x D x C a x B x A 确定b a , 例171⎰+-dx xx xx cos 2sin cos 4sin 3解：令/)cos 2(sin )cos 2(sin cos 4sin 3x x b x x a x x +++=- 比较上式两端得⎩⎨⎧-=+=-4232b a b a 即1-=a ,2-=bcx x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x ++--=++-++-=+-⎰⎰⎰|cos 2sin |ln 2cos 2sin )cos 2(sin 2cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos 4sin 3/2⎰+dx xx xcos 4sin 3sin解：令/)cos 4sin 3()cos 4sin 3(sin x x b x x a x +++=比较上式两端得⎩⎨⎧=+=-034143b a b a 即253=a ,254-=bc x x x dxx x x x dx x x x x dx x x x ++-=++-++=+⎰⎰⎰|cos 4sin 3|ln 254253cos 4sin 3)cos 4sin 3(254cos 4sin 3cos 4sin 3253cos 4sin 3sin /4、利用公式⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x dx xb x a 22222tan ][tan tan sec cos sin 1处理 例18⎰+2022cos 4sin 3πxx dx解：⎰⎰⎰+=+=+20220222022)2tan 3(1][tan 41tan 34sec cos 4sin 3πππx x d dx x x xx dx123|)2tan 3arctan(321]2tan 3[)2tan 3(1132120202πππ==+=⎰x x d x 5、利用⎰⎰----⋅-=dx x e k x e k dx xe k xk x k x 111111计算,每用一次分部积分法,被积函数的分母次数降低一次例191⎰+dx x xe x2)1( 解：因为 dx x e dx x e dx x xe xx x ⎰⎰⎰+-+=+22)1(1)1( 而 dx x e x e x d e dx x e x x xx ⎰⎰⎰+++-=+-=+11)11()1(2故 c x e dx x xe xx ++=+⎰1)1(24⎰-⋅-dx xxe x )24(sin 2sin 4sin π 解：4)sin 1(]2)2cos(1[)24(sin 224x x x -=--=-ππ 则)(sin )sin 1(sin 8)24(sin 2sin 2sin 4sin x d x xe dx x x e x x ⎰⎰-⋅=-⋅--π 令t x =-sin ,则原式=⎰+⋅dt t te t 2)1(8 由上式知t e dt t t e tt +=+⋅⎰18)1(82,原式=c x e x +--sin 18sin 6、当)(x f 在],[a a -上可积,则⎰⎰⎰---+=-+=aaa a adx x f x f dx x f x f dx x f 0)]()([)]()([21)( 例201dx x ⎰-+44sin 11ππ解：dx x dx x x dx x ⎰⎰⎰----=-++=+4424444sin 11]sin 11sin 11[21sin 11ππππππ2|tan cos 44442===--⎰ππππx x dx2dx x e x ⎰-++112)1)(1(1解：dx x e x e dx x e x x x ⎰⎰---+++++=++1122112])1)(1(1)1)(1(1[21)1)(1(1 4|arctan 21112111112π==+=⎰--x dx x 7、积分⎰=bdx x f I 0)(,作变量替换x b t -=得⎰-=b dx x b f I 0)(则 ])()([2100⎰⎰-+=b bdx x b f dx x f I例211dx xx xx n n n ⎰+π222cos sin sin解：dxx x x x x x x x dx xx x x n n n n n n n n n ⎰⎰-+---++=+ππππππ02222220222])(cos )(sin )(sin )(cos sin sin [21cos sin sin ⎰⎰+++=202222222cos sin sin cos sin sin πππππdx x x xdx xx x n n nn n n ⎰⎰+=+=-2022222222cos sin cos cos sin sin ππππdx x x x dx x x xn n n tx n n n令所以dx x x x x n n n ⎰+π222cos sin sin 2cos sin cos cos sin sin 22022220222πππππ=+++=⎰⎰dx xx x dx x x x n n n n n n 2dx x ⎰+4)tan 1ln(π解：⎰⎰-+++=+4040))]4tan(1ln()tan 1[ln(21)tan 1ln(πππx x dx x42ln 2ln 21)]tan 12ln()tan 1[ln(214040πππ==+++=⎰⎰dx dx x x 8、利用被积函数的奇偶性求积分如果)(x f 是],[a a -上的偶函数,则⎰⎰-=aa adx x f dx x f 0)(2)(如果)(x f 是],[a a -上的奇函数,则⎰-=aadx x f 0)(例22⎰-+22223cos )sin (ππxdx x x解：因为函数x x 23sin 是奇函数,故0cos 2223=⎰-ππxdx x所以dx x dx x x xdx x x ⎰⎰⎰----==+22222222223)4cos 1(81cos sin cos )sin (ππππππ8π=9、凑微分法利用第一换元法和分部积分法 常见的凑微分公式)1()1(12232x x d dx x +=+)11()1(2232x d dx x x +-=+)11()1(2232xd dx x x -=-)1()1(12232xx d dx x -=-)]1[ln(1122x x d dx x ++=+)1(122x d dx x x +=+)1(122x d dx x x --=-例231⎰+dx x x x )ln 1(解：⎰⎰⎰+=+==+=+c x c e x x d e dx x e dx x x x x x x x x x x ln ln ln )ln ()ln 1()ln 1(2⎰dx e xe xx 222sin sin 解：⎰⎰⎰--=⋅=--)22(sin 41sin sin 22sin 222sin 222sin x x d e dx x e dx ex e x x x x x x c e xx +-=-22sin 41 3dx x x ⎰+362解：)3()3(11933)()(31332323362x d x x x d dx x x ⎰⎰⎰+=+=+c x +=)3arctan(93310、分段函数的定积分 例241dx x ⎰+π20sin 1解：dx xx x x dx x ⎰⎰++=+ππ2022202cos 2cos 2sin 22sin sin 1 dx x dx x x |)42(sin |2|2cos 2sin |2020πππ+=+=⎰⎰⎰⎰+-+=230223)42sin()42sin(πππππdx x dx x42222=-++=2dx xx ⎰-1])1[1(解：令t x =1,dt tdx 21-=,当1,1==t x ；当+∞→+→t x ,0 则∑∑⎰⎰⎰∞=∞=+∞++--+=-=-=-11121210]11ln )1[ln()1()][1(])1[1(n n n n n n n dt t n t dt t t t dx x x c n n n -=++++-+=∞→1)]113121()1[ln(lim 注意：∑=++=++++=nk n n c n k1ln 1312111ε ,其中 577216.0=c 称为欧拉常数,且0lim =∞→n n ε 3dx i x n ni ⎰∑=-01||解：∑∑⎰⎰⎰⎰∑===-+-=-=-ni ni i ni nn ni dx i x dx x i dx i x dx i x 110001])()([||||62)2(3122nn n in i ni +=+-=∑= 4dx x f x a⎰0/)(][解：∑⎰⎰⎰=++=][01/][/0/)(][)()(][a k k k aa adx x f a dx x kf dx x f x])([)2()1(])([][)(][)1]([][a f f f a f a a f a a f a ----++=5dx x x x ⎰-π42cos cos解：⎰⎰⎰⎰-==-20200422sin 212sin 21|2sin |21cos cos πππππxdx x xdx x dx x x dx x x x488πππ=+=6dx x x ⎰-33)sgn(解：⎰⎰⎰-=-=-10313031)sgn(dx dx dx x x7dx e x ⎰2][解：令t e x =,dt tdx 1=,当2=x 时,2e t =；当0=x 时,1=t 所以!7ln 147][][227161120-=+==⎰⎰∑⎰⎰=+dt t dt t k dt t t dx e e e k k k x7 dx x ⎰10)]sgn[sin(ln解：当0)sin(ln >x ,得πππ+--<<n n e x e 22,其中 ,3,2,1=n当0)sin(ln <x ,得ππππ222+-+-<<n n e x e ,其中 ,3,2,1=n故∑∑⎰⎰⎰∞=-∞=--=-=+--+-+-122110)12(][)]sgn[sin(ln 22222n n n e ee ee ee dx dx dx x n n n n ππππππππππ11222---=πππe e e 8dx x ⎰-π10002cos 1解：∑⎰⎰⎰=+==-9910001000|sin |2|sin |22cos 1k k k dx x dx x dx x πππππ∑⎰==--=99|sin )1(|2k k tk x dt t ππ令2198=9dx x x n ⎰π0|sin |解：∑∑⎰⎰⎰-=-==-++==110sin )(|sin ||sin |n k n k t k x k k n tdt t k dxx x dx x x πππππππ令ππ21)12(n k n k =+=∑-=11、利用第二换元法求积分 例251dx e e ex x x ⎰+)1(arctan 22解：令t e x =2arctan ,则t x tan ln 2=,dt tt dx cos sin 2⋅=dt t t dt tt t t t dx e e ex x x ⎰⎰⎰=⋅+⋅=+2222cot 2cos sin 2)tan 1(tan )1(arctan ⎰⎰+--=-=c t t t t tdt tdt t 2cot 2|sin |ln 22csc 22c e e ee x x x x x+--+-=-222arctan 2arctan 2)1ln(2dx xne ⎰-1/2|)]1[cos(ln |πn 为自然数 解：因为|)sin(ln ||)]1[cos(ln |/xx x =则 ⎰⎰--=11/22|)sin(ln ||)]1[cos(ln |ππn n e e dx xx dx x令 u x =ln ,则u e x =,du e dx u =所以 du u dx x n e n ⎰⎰-=-021/|sin ||)]1[cos(ln |2ππ 再令t u -=则 ⎰⎰⎰==--πππn n e dt t du u dx xn 20021/|sin ||sin ||)]1[cos(ln |2nvdvdtt n k n k v k t k k4sin |sin |120120===∑⎰∑⎰-=-==-+πππππ令3)1)(2(])2()1ln[(21++⋅+⋅+⎰++x x dxx x x x解：⎰⎰+++++=++⋅+⋅+++dx x x x x x x dx x x x x ]1)2ln(2)1ln([)1)(2(])2()1ln[(21cx x dx x x dx x x x x dx x x x d x +++=+++++-++=+++++=⎰⎰⎰⎰)2ln()1ln(1)2ln(1)2ln()2ln()1ln(1)2ln()]2[ln()1ln(12、被积函数中含有)(22a x x n +的形式,一般作代换tx 1= 例26⎰+dx x x )1(128解：令t x 1=,dt t dx 21-= cx x xx x ct t t t t dt tt t t dt t t dx x x ++--+-=++--+-=++-+--=+-=+⎰⎰⎰1arctan 1315171arctan 357)111(1)1(13573572246282813、杂题 例２７1dx x x ⎰++1021)1ln(解：令t x tan =,则dt t dx xx ⎰⎰+=++4012)tan 1ln(1)1ln(π而 dt t t dt t ⎰⎰-+++=+404))]4tan(1ln()tan 1[ln(21)tan 1ln(πππ82ln 2ln 2140ππ==⎰dt2dx xxx ex⎰--sin sin cos 2解：dx x e dx xxedx xxx exx x ⎰⎰⎰----=-sin sin cos sin sin cos 222cx edx x edx x e x edxx ex d e x x x x x x +=-+=-=------⎰⎰⎰⎰sin 2sin sin sin 2sin )sin (22222224⎰+40tan )1(tan πxdx x e x解：⎰⎰+-=+40240)tan 1(sec tan )1(tan ππdx x x e xdx x e x x12tan |tan |tan tan ][tan 440404040404040-=++-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ππππππππe xdx e e xdx e x e xdxe dx e x d e x xxxx x x５⎰---+112004))(1(dx e e x x x x分析：⎰⎰⎰-----+-+=-+111120052005112004)()())(1(dx e x x dx e x x dx e e x x x x x x而⎰⎰⎰--=---+-=---=+112005112005112005)()()(dt e t t dt e t t dx e xx t t tx x令故⎰⎰⎰-----+=+=-+112005111200511200424)(2))(1(dx e x e dx e xx dx e e xx x x xx此方法易想到但太繁,解略 十四、积分的应用 1、利用转轴公式求值如果平面内一点的旧坐标和新坐标分别为),(y x 和),(11y x ,则转轴公式为⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos 1111y x y y x x例２８：设D ：4,2,,422≤+≥+≥≤-y x y x x y x y ,1)求D 的面积；2求D 绕x y =旋转一周的绕旋体体积.解 把直角坐标系xoy 顺时针转4π,使x y =为1ox 轴,此时转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=)(224cos 4sin )(224sin 4cos 11111111y x y x y y x y x x ππππ 则D 的各边界在新坐标系下的坐标为111x y =,01=y ,21=x ,221=x 12ln 2ln 22ln |ln 1222222111=-===⎰x dx x S 242|)1(2221122221πππ=-==⎰x dx x V 2、求值例２９１设直线ax y =与抛物线2x y =所围成的图形面积为1S ,它们和直线1=x 围成的图形面积为2S ,且1<a .1求a ,使21S S +最小2求该最小值所对应的平面绕x 轴旋转所得旋转体的体积２设平面图形由x y x 222≤+与x y ≥所确定,求该图形绕直线2=x 旋转所得旋转体的体积.３求曲线x x y 23-=与2x y =所围成图形绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积４过点)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,该切线与抛物线及x 轴围成一个平面图形,求该图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积.５在曲线x e y -=0≥x 上求一点,使该点的切线被两坐标轴所截的线段和该曲线以及过线段端点而垂直于x 轴的两直线所围图形的面积最小. ６求常数k ,使曲线2x y =与直线0,2,=+==y k x k x 所围图形的面积最小 ７设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内,有0)(/>x f ,证明：在),(b a 内存在唯一的点ξ,使曲线)(x f y =与两直线)(ξf y =和a x =所围成图形的面积1S 是曲线)(x f y =与两直线)(ξf y =和b x =所围成图形的面积2S 的面积. ８已知⎰-=xdt t t x f 1||)(1>x ,求)(x f 与x 轴围成的面积.９设c bx ax y ++=2过)0,0(,当10≤≤x 时,0≥y ,如果它与x 轴、直线1=x 所围图形面积为31,求c b a ,,使图形绕x 轴旋转所成的体积最小. 注意：补充隐函数的积分例：设函数)(x f y =是由33)(x y x y =+确定的隐函数,求⎰dx y31换元法 习题1、求值1⎰+=c xe dx x f x )(,求)(x f 2⎰+=c e dx x f x 22)(,求)(x f 3⎰++=c edx e f e xx x 11)(,求⎰dx e f e x x )(2 2求值1x e f x +=1)(/,求)(x f 21)(ln /+=x x f ,求)(x f3x x f 22/sin )(cos =,且0)0(=f ,求)(x f 42/)13(x xe x f =+,且0)1(=f ,求)(x f5设)(x f y =在x 处的改变量为)(sin 12sin 2x o x xx y y ∆+∆+=∆,1)(=πy ,求)2(πy 6)(x f 是x e -的原函数,求⎰dx x f x )(2 3 x e -是)(x f 的原函数,求⎰dx x f x )(ln 2 41xe xf -=)(,求⎰dx xx f )(ln ,⎰dx x x f )(ln / 2x x x f )1ln()(ln +=,求⎰dx x f )( 3xxx F sin )(=是)(x f 的一个原函数,求⎰dx x f x )(/34ax x f sin )(=,求⎰dx x xf )(// 5xxx f sin )(=,求⎰dx x xf )(// 6)()(/x f e x =-,求⎰dx x xf )( 7)()(/x f x F =,求dx x xf ⎰)(sin cos8)(x f 的一个原函数为2x e -,求⎰dx x f x )(251dx x f x xf ⎰)()(2/22dx x f x f ⎰+)(1)(2/ 3⎰+=c x dx x f 2)(ln )(,求⎰dx x xf )(/421)2(=f ,0)2(/=f 且⎰=201)(dx x f ,求⎰10//2)2(dx x f x61)(x F 是)(x f 的原函数,且0≥x 时,有2)1(2)()(x xe x F x f x+=⋅,又1)0(=F ,0)(>x F ,求)(x f2设,)()(的原函数是x f x F ,且π42)1(=F ,当0>x 时,有)1(arctan )()(x x x x F x f +=,试求)(x f .71设0≥x 时,⎰+=2203)(x x x dt t f ,其中)(x f 连续,求)3(f2设)(x f 是),(+∞-∞上的已知连续函数,求函数)(x ϕ,使⎰⎰=211)()(x xdt t dt t f ϕ,且当x x f sin )(=时,)(x ϕ的表达式3⎰=x x dt t f 032)(,求⎰-20)sin (cos πdx x xf4求⎰=xt tdt e x f 0sin )(,在]2,0[π∈x 上的极值和最值5)(x f 在)2,0(π内连续,0)(>x f 且dt tt t f x f x ⎰+=022tan 21tan )()]([,求)(x f6⎰+=21sin )211()(x x t t dt tx f 0>x ,求n n f n 1sin )(lim ∞→ 81已知)(x f 连续,⎰-=-xx dt t x tf 0cos 1)(,求⎰20)(πdx x f2已知)(x g 连续,⎰-=x dt t g t x x f 02)()(21)(,求)(/x f 、)(//x f 3设)(x f 是x 的连续函数,求⎰xx)dt -f(t dx d4设⎰-=--y x tdt y x x 02sec )tan(2y x ≠,求dxdy50→x ,dt t f t x x F x)()()(/022⎰-=的导数与2x 为等价无穷小,求)0(/f6设fx 在－∞,+∞内连续,且10()()xn n n x s f x s ds ϕ-=⋅-⎰,求()x ϕ'. 7求()[()]()x d x t f t dt dx ϕϕ-⎰,其中ft 为已知的连续函数,()x ϕ为已知可微函数.8已知当0→x 时,⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小,则)0(f ''9设)(x ϕ在]1,0[上可导,有⎰=1)()(x a dt tx ϕϕ,其中a 为常数,求)(x ϕ1022ln 2x 0t 1te x y e dt t dt =++⎰⎰0t e ,求/y11已知⎰++=xudu e y sin 111)1(,其中)(x t t =由方程组⎩⎨⎧==vt v x 2sin 2cos 确定,求dx dy91⎩⎨⎧<-≥=010sin )(x e x x x f x ,求⎰-dx x f )1(2⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=121010)(x x x x x x f ,求⎰dx x f )( 3⎰-dx e x || 4⎰dx x x || 5⎰xdx sgn 6⎰dx x )sgn(sin 7⎰-dx x ][)1(8||x e 的不定积分为c x F +)(,求)(x F 9求⎰xdt t f 0)(,其中⎩⎨⎧><=lt lt t f ||0||1)(101⎩⎨⎧≤<+≤<=21110)(x x x xx f ,求⎰x dt t f 0)(2设x x f =)()0(>x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=2020sin )(ππx x x x g ,求⎰-x dt t x g t f 0)()(3设)(x f 在],[b a 上连续,⎰-=badt t f t x x F )(||)(,且],[b a x ∈,求)(//x F111证明⎰<+<30341160dx x x 2证明222121212≤≤⎰---dx e e x 2估计积分值⎰⋅331arctan xdx x121设⎰-++=1022)(111)(dx x f x xx f ,求)(x f 和⎰10)(dx x f 2设⎰+=1)(2)(dt t f x x f ,求)(x f3设⎰-+=102)()(3)(dx x f x g x x f ,⎰+-=1)(2)(4)(dx x g x f x x g 求)(/x f 、)(x g131设2121≤≤-x 时,求)43arccos(arccos 3)(3x x x x f --= 2当1>x 时,设x x f arctan )(=,212arctan 21)(x xx g -=.求)(),(x g x f 的关系14设)(x y y =,如果⎰⎰-=⋅11dx yydx ,1)0(=y ,且+∞→x 时,0→y ,求)(x y y =15求积分1⎰∞++=0411dx xI 2⎰∞++=0421dx x x I 16求积分1)0(022>-+⎰a x a x dx a2 ⎰+201993tan 1πxdx17求积分1⎰+-dx x x x x cos 2sin 5cos 3sin 7 2⎰-+dx xx 211 3⎰+dx x tan 53118求积分⎰+π20cos 5.01xdx19求积分1⎰-dx e x x 2)21(2⎰-dx xx 2ln 1ln20求积分1dx e x x ⎰--+2221sin ππ2dx e x x ⎰--+2261cos ππ 211证明⎰⎰⎰==2)(sin )(sin 2)(sin πππππdx x f dx x f dx x xf2求dx x x ⎰π10sin 3dx xx x⎰+203cos sin sin π4dx xx x ⎰+203cos sin cos π5dx x xx ⎰+π02cos 1sin。

考研——积分上限的‎函数（变上限积分‎）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的‎积分，叫做变限积‎分。

注意点：1、在求导时，是关于x 求‎导，用课本上的‎求导公式直‎接计算。

2、在求积分时‎，则把x 看作‎常数，积分变量在‎t 积分区间上‎],[x a 变动。

（即在积分内‎的x 作为常‎数，可以提到积‎分之外。

）关于积分上‎限函数的理‎论定理1如果‎)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则在上连续‎⎰=xadt t f x F )()(],[b a 。

定理2如果‎)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限‎个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。

定理3如果‎)(x f 在],[b a 上连续，则在上可导‎⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理‎可看出，对作变上限‎)(x f 积分后得到‎的函数，性质比原来‎的函数改进‎了一步：可积改进为‎连续；连续改进为‎可导。

这是积分上‎限函数的良‎好性质。

而我们知道‎，可导函数经‎)(x f 过求导后，其导函数甚‎)(x f '至不一定是‎连续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函‎数存在定理‎。

它说明：连续函数必‎存在原函数‎，并通过定积‎分的形式给‎出了它的一‎个原函数。

我们知道，求原函数是‎求导运算的‎逆运算，本质上是微‎分学的问题‎；而求定积分‎是求一个特‎定和式的极‎限，是积分学的‎问题。

定理（3）把两者联系‎了起来，从而使微分‎学和积分学‎统一成为一‎个整体，有重要意义‎。

重要推论及‎计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dxd bx -=⎰ <变上限积分‎改变上下限‎，变号。

变上限积分求导例题
变上限积分是微积分中的一个重要概念，求解变上限积分的导数可以运用基本的微积分知识。

下面以一个简单的例题进行说明：
例题：求导函数 F(x) = ∫[0, x] (t^2 + 1) dt
解答：
首先，我们要注意这里的积分是变上限积分，即积分的上限是一个变量 x。

我们需要求解这个积分对 x 的导数 F'(x)。

根据变上限积分的求导法则，我们有：
d/dx ∫[0, x] (t^2 + 1) dt = d/dx [ F(x) ]
根据牛顿-莱布尼茨公式，可得到 F'(x) 等于积分被求导后的被积函数，即：F'(x) = x^2 + 1
因此，F(x) 的导数 F'(x) 等于 x^2 + 1。

这个例题中的变上限积分求导比较简单，但在实际应用中，变上限积分的求导可能会更加复杂，需要结合不定积分和链式法则等高级求导方法进行推导。

变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。

本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。

通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

关键词：变限积分；连续性；可微性；奇偶性；单调性；周期性；应用引言随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。

下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。

1. 变限积分的概念与理解 1.1变限积分的定义设f 在[,]a b 上可积，根据定积分的性质，对任何[,]x a b ∈，f 在[,]a x 也可积，于是，由()(),[,]xa x f t dt x ab Φ=∈⎰ （1）定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上限函数.类似地，又可定义变下限的定积分：(),(),[,].bx x f t dt x a b ψ=∈⎰ （2）Φ与ψ统称为变限积分; 变量复合函数定义为：()()()()(),(),(),u x bu x av x v x f t dt f t dt f t dt ⎰⎰⎰其中()u x 、()v x 是定义在[,]αβ上的函数且()u x ，()v x [,]a b ∈.注：在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量写成x （例如()xa f x dx ⎰），以免与积分上、下限的x 混淆。

利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式积分不等式在数学中有着非常重要的应用，其可以用来证明其他更加复杂的定理，同时也具有广泛的实际应用。

在本文中，我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式。

1. 变上限积分变上限积分，又称为广义积分，是指积分上限不确定的积分。

更具体地说，如果$f(x)$是在$[a,b)$上的可积函数，那么$f(x)$在$[a,b]$上的变上限积分定义为：$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx$$$t \to b^-$表示$t$从左侧逼近$b$，也就是说，$t$可以任意接近$b$但不等于$b$。

可以看出，如果$\int_a^t f(x)dx$无限趋近于一个确定的值，那么$\int_a^bf(x)dx$就存在。

反之，如果无限趋近于$\infty$或$-\infty$，那么$\int_a^b f(x)dx$就不存在。

2. 构造辅助函数下面我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数。

如果$f(x)$是一个连续可导的函数，那么我们可以通过构造辅助函数来研究$f(x)$的性质。

具体地说，我们定义函数$F(x)$如下：$a$是一个常数。

然后，我们利用$f(x)$和$F(x)$之间的关系，构造一个函数$g(x)$：我们可以通过对$g(x)$求导来研究$f(x)$的性质。

具体来说，我们有：于是，如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相同，那么$f(x)$就是单调递增或单调递减的。

如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相反，那么$f(x)$就在$x$处有极值。

这个结论非常有用，在证明一些积分不等式时经常会用到。

3. 应用举例下面我们将通过举例来演示如何使用上述方法证明一些积分不等式。

例1：证明斯特林公式：$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$证明：定义函数：$$f(x) = ln(x)$$函数的图像如下所示：然后，我们计算$F(x)$：$$g(x) = ln(x)e^{-\lambda((x-1)ln(x)-x+1)}$$我们要证明的是：$$\int_1^n ln(x)dx - \frac{1}{2}(ln(2\pi)+ln(n)+ln(1-\frac{1}{n^2})) \to 0$$我们现在对$f(x)$和$g(x)$分别使用上面的结论。