逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
1待定系数法;
2利用公式A1
A ;
A
3初等变换法下一章介绍.
思考题
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?
答:是的。这是由于A-1的唯一性决定的。
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ,且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若A可逆, 即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
反之,当|A|≠0时,因
例1 下列矩阵A、B是否可逆?若可逆,求出其逆阵
2 1
A
5
3 ,
2 3 1
B
1
3
5 .
1 5 3
解 因|A|=1≠0, 故A可逆。
又因为A11=3,A12=-5,A21=-1,A22=2
A1
1 A
A
3 5
1
2
2 3 1 由于 B 1 3 5
0,
153
故B不可逆.
二阶可逆阵的逆阵公式为
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.