(新)高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程成长训练新人教A版选修4-41

三 简单曲线的极坐标方程一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.两条直线 B.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆D.圆解析 由ρ·sin θ＝2sin 2θ，得ρsin θ＝4sin θcos θ，即sin θ(ρ－4cosθ)＝0，∴sin θ＝0或ρ－4cos θ＝0.∴极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为直线sin θ＝0和圆ρ＝4cos θ. 答案 C4.在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( ) A.直线θ＝π3对称B.直线θ＝5π6对称C.点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3对称D.极点对称解析 由方程ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ，即x 2＋y 2＝2y －23x .配方，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.它表示圆心为(－3，1)、半径为2且过原点的圆. 所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称.答案 B5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析 直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2).答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12B.ρcos θ＝2C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3 D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析 曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.答案2211.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1， 得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2，0). 当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的坐标(2，0)，点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为MN 的中点，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ).三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。

[课时作业][组基础巩固]．极坐标方程θ＝(ρ≥)表示的曲线是( )．两条相交直线．余弦曲线．一条射线．两条射线解析：∵θ＝，∴θ＝±＋π(∈)．又∵ρ≥，∴θ＝表示两条射线．答案：．极坐标方程分别为ρ＝θ和ρ＝θ的两个圆的圆心距是( )．．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：＋＝，＋＝，所以两圆的圆心坐标为，，故两圆的圆心距为.答案：．在极坐标系中，点()到直线θ＝(ρ∈)的距离是( )．解析：因为直线θ＝(ρ∈)的直角坐标方程为＝，即－＝，所以点()到直线－＝的距离为.答案：．直线θ＝(ρ∈)与圆ρ＝θ的一个公共点的极坐标为( )解析：由(\\(θ＝(π)，,ρ＝θ))得故选.答案：．在极坐标系中，过点(，π)作圆ρ＝－θ的切线，则切线长为( )．．．．解析：如图，切线长为＝.答案：．圆ρ＝( θ－θ)的圆心的极坐标是．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(－)＋(＋)＝，故圆心坐标为(，－)，其极坐标为.答案：．已知圆的极坐标方程为ρ＝θ，圆心为，点的极坐标为，则＝.解析：由圆的极坐标方程ρ＝θ，得直角坐标方程为：(－)＋＝，由极坐标得直角坐标()，又()，所以＝＝.答案：．直线ρθ＝与圆ρ＝θ相交的弦长为．解析：由公式＝ρθ，＝ρθ，得直线ρθ＝的直角坐标方程为＝，圆ρ＝θ⇒ρ＝ρθ的直角坐标方程为＋－＝⇒(－)＋＝，由于圆心()到直线的距离为－＝，所以弦长为＝.答案：．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：()＝；()＋－－＝.解析：()将＝ρθ，＝ρθ代入＝，得(ρθ)＝ρθ.化简，得ρθ＝θ.()将＝ρθ，＝ρθ代入＋－－＝，得(ρθ)＋(ρθ)－ρθ－＝，化简，得ρ－ρθ－＝.．在极坐标系中，直线的方程是ρ＝，求点到直线的距离．解析：点的直角坐标为(，－)．直线：ρ＝可化为ρθ·－ρθ·＝，即直线的直角坐标方程为－＋＝.∴点(，－)到直线－＋＝的距离为＝＝＋.故点到直线ρ＝的距离为＋.[组能力提升]．极坐标方程ρ＝表示的曲线是( )．椭圆．圆．双曲线．抛物线解析：∵＝(－θ)，。

三 简单曲线的极坐标方程1．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线，过极点或圆心在极点的圆)的方程． 2．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．1．圆的极坐标方程(1)曲线C 的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中____________________，并且坐标________________________都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．(1)由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．有些表示形式可能不满足方程．例如，对极坐标方程ρ＝θ，点M (π4，π4)可以表示为(π4，π4＋2π)或(π4，π4－2π)等多种形式，其中只有(π4，π4)的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程．(2)今后我们遇到的极坐标方程多是ρ＝ρ(θ)的形式，即ρ为θ的一个函数． (3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O 对称．(2)圆经过极点O ，圆与极轴的另一个交点是A (2a,0)，圆的半径是a ，圆心坐标是C (a,0)(a ＞0)，则圆的极坐标方程是________________．【做一做1－1】 极坐标方程ρ＝1表示( )．A ．直线B ．射线C ．圆D ．椭圆【做一做1－2】 在极坐标系中，求圆心为A (8，π3)，半径为5的圆的方程．2．直线的极坐标方程直线l 经过极点，极轴与直线l 的夹角是α，则直线l 的极坐标方程为________(ρ∈R )．求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形的面积相等等来建立ρ，θ之间的关系．【做一做2－1】 极坐标方程sin θ＝13(ρ∈R )表示的曲线是( )．A ．两条相交直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线【做一做2－2】 曲线θ＝0，θ＝π3(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积是__________．【做一做2－3】 极坐标方程ρcos θ＝sin 2θ所表示的曲线是__________．答案：1．(1)至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0 适合方程f (ρ，θ)＝0的点 (2)ρ＝2a cos θ 【做一做1－1】 C【做一做1－2】 解：在圆上任取一点P (ρ，θ)，那么，在△AOP 中，|OA |＝8，|AP |＝5，∠AOP ＝π3－θ或θ－π3.由余弦定理得cos ∠AOP ＝82＋ρ2－522×8×ρ，即ρ2－16ρcos (θ－π3)＋39＝0为所求圆的极坐标方程． 2．θ＝α【做一做2－1】 A 【做一做2－2】8π3【做一做2－3】 一条直线和一个圆 ∵ρcos θ＝sin 2θ＝2sin θcos θ， ∴cos θ＝0或ρ＝2sin θ. cos θ＝0表示一条直线(y 轴)；ρ＝2sin θ＝2cos (θ－π2)表示圆心为(1，π2)，半径为1的圆．1．直角坐标系与极坐标系的区别剖析：(1)在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x ，y )是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ，θ)只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对(ρ，θ)对应．例如(ρ，2n π＋θ)与(－ρ，(2n ＋1)π＋θ)(n 为整数)表示的是同一个点，所以在极坐标系内点与有序实数对(ρ，θ)不是一一对应的．(2)在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程)．可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的．(3)在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P 的一个极坐标为(π4，π4)，那么点P 适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(π4，9π4)就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一种形式适合曲线C 的方程即可．2．求极坐标方程的步骤 剖析：求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标ρ，θ的关系式f (ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．3．常见的直线和圆的极坐标方程 剖析：(1)直线的极坐标方程(a ＞0)．①过极点，并且与极轴成α角的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R )； ②垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ； ③平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程：ρsin θ＝a ；④不过极点，和极轴成α角，到极点距离为a 的直线的极坐标方程：ρsin(α－θ)＝a .(2)圆的极坐标方程(a ＞0)．①圆心在极点，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝a ；②圆心在(a,0)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝2a cos θ；③圆心在(a ，π)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝－2a cos θ；④圆心在(a ，π2)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝2a sin θ；⑤圆心在(a ，3π2)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝－2a sin θ；⑥圆心在(a ，θ0)，半径为a 的圆的极坐标方程：ρ＝2a cos (θ－θ0)．题型一 圆的极坐标方程【例1】 求圆心在A (2，3π2)，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．反思：在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出ρ与θ的函数关系，即要求的极坐标方程．题型二 直线的极坐标方程【例2】 求过点A (1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．分析：本题可用两种解法：(1)可先根据题意画出草图，并设点M (ρ，θ)是直线上的任意一点，从而由等量关系建立关于ρ，θ的方程并化简，最后检验是否是所求即可；(2)可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程，然后由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ化为极坐标方程即可．反思：解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而建立了以ρ，θ为未知数的方程；解法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过利用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解．题型三 直角坐标方程与极坐标方程的互化【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线y ＝3x (x ≤0)；(2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．分析：由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ化简即可．反思：化曲线的直角坐标方程f (x ，y )＝0为极坐标方程f (ρ，θ)＝0，只要将x ＝ρcosθ，y ＝ρsin θ代入到方程f (x ，y )＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x 2＋y 2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都表示以极点为圆心，以5为半径的圆．题型四 易错辨析【例4】 把直角坐标方程x ＋y ＝0化为极坐标方程． 错解：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得 ρcos θ＋ρsin θ＝0.∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴tan θ＝－1.所以极坐标方程是θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：【例1】 解：如图，设M (ρ，θ)为圆上除O 、B 外的任意一点，连接OM ，MB ，则有OB ＝4，|OM |＝ρ，∠MOB ＝|θ－3π2|，∠BMO ＝π2，从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM |＝|OB |cos ∠MOB ，即ρ＝4cos(θ－3π2)＝－4sin θ，点O (0,0)，B (4，3π2)也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.【例2】解法一：如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4，∠OMA ＝π4－θ，在△OAM 中，由正弦定理得OM sin ∠OAM ＝OAsin ∠OMA，即ρsin 3π4＝1sin π4－θ， 所以ρsin(π4－θ)＝22，即ρ(sin π4cos θ－cos π4sin θ)＝22，化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.解法二：以极点O 为直角坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 直线的斜率k ＝tan π4＝1，直线方程为y ＝x －1，将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ(ρ≥0)代入上式，得 ρsin θ＝ρcos θ－1，所以ρ(cos θ－sin θ)＝1.【例3】 解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ，∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2 θ＋ρ2sin 2 θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0，∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)，半径为r ＝|a |.【例4】 错因分析：由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里通常约定θ只在[0,2π)范围内取值．正解：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得 ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0，∴tan θ＝－1.∴θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．综上所述，直线x ＋y ＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)或θ＝3π4(ρ∈R )或θ＝7π4(ρ∈R )．1极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线2在极坐标系中，过点P (3，3π)且垂直于极轴的直线方程为( )． A ．ρcos θ＝32 B ．ρsin θ＝32C ．ρ＝32cos θD ．ρ＝32sin θ3(2012广东惠州一模)在极坐标系中，点P (2，32π)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．4求过A (2，4π)且平行于极轴的直线． 5在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．答案：1．D ∵cos θ＝2，∴θ＝4π±＋2k π(k ∈Z )． 又∵ρ≥0，∴cos θ＝2表示两条射线． 2．A 设直线与极轴的交点为A ， 则|OA |＝|OP |·cos332π=， 又设直线上任意一点M (ρ，θ)， 则|OM |·cos θ＝|OA |，即ρcos θ＝32. 3．1 在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程：3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离：d1=.4.解：如图所示，在直线l 上任意取一点M (ρ，θ)，∵A (2，4π)， ∴|MH |＝2sin 4π.在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ， 即ρsin θ，∴过A (2，4π)且平行于极轴的直线方程为ρsin θ. 5．解：设M (ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．。

庖丁巧解牛知识·巧学一、求极坐标方程的步骤1.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.2.求曲线的极坐标方程的方法和步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ,θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.二、极坐标系中的平面曲线的极坐标方程为f(ρ,θ)=0设极坐标方程f(ρ,θ)=0及坐标平面上的曲线C ，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C 上的点；曲线C 上的点的坐标中至少有一个能满足这个方程，那么，方程f(ρ,θ)=0称为曲线C 的极坐标方程，曲线C 称为方程f(ρ,θ)=0的曲线.深化升华在找平面曲线的极坐标方程时，要找极径ρ和极角θ之间的关系式,这常用到解三角形（正弦定理,余弦定理）的知识，如利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.问题·探究问题1 极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？探究:根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的.这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.如直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.问题2 为何不能把对直角坐标系内点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？探究:（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对，即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(2n+1)π+θ)（n 为整数）表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(ρ,θ)不是一一对应的.（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程ρ1=1,ρ2=1,ρ3=1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的.（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P 的极坐标为(4π,4π)，那么点P 适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(4π,49π)就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，当且仅当点P 的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C 的方程.典题·热题例1求：(1)过A(2,4π)且平行于极轴的直线；(2)过A(3,3π)且和极轴成43π的直线. 思路分析：(1)在直线上任意取一点M ，根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知OA 的长度，还知∠AOx=4π，还可以得到MH 的长度，从而在Rt △OMH 中找到变量ρ、θ之间的关系.(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量ρ、θ之间的关系.解：(1)如图1-3-1所示,在直线l 上任意取点M(ρ,θ)，∵A(2,4π)，图1-3-1∴|MH|=2·sin4π=2.在Rt △OMH 中,|MH|=|OM|sinθ,即ρsinθ=2, ∴过A(2,4π)平行于极轴的直线方程为ρsinθ=2. (2)如图1-3-2所示,A(3,3π)，|OA|=3,∠AOB=3π，由已知∠MBx=43π，图1-3-2∴∠OAB=43π-3π=125π. ∴∠OAM=π-127125ππ=. 又∠OMA=∠MBx-θ=43π-θ.在△MOA 中， 根据正弦定理得127sin )43sin(3πρθπ=-， ∵sin 127π=sin(4π+3π)=462+， 将sin(43π-θ)展开，化简上面的方程，可得ρ(sinθ+cosθ)=23233+. ∴过A(3,3π)且和极轴成43π的直线为ρ(sinθ+cosθ)=23233+.深化升华 可以看到，在求曲线方程时，要找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.例2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y 2=4x;(2)y 2+x 2-2x-1=0;(3)θ=3π; (4)ρcos 22θ=1;(5)ρ2cos(2θ)=4;(6)ρ=θcos 21-. 思路分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置的方法.在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.解：(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y 2=4x ，得(ρsinθ)2=4ρcosθ.化简得ρsin 2θ=4cosθ.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y 2+x 2-2x-1=0,得(ρsinθ)2+(ρcosθ)2-2ρcosθ-1=0.化简得ρ2-2ρcosθ-1=0.(3)∵tanθ=x y ，∴tan 3π=xy =3.化简得y=3x(x≥0). (4)∵ρcos 22θ=1, ∴ρ·2cos 1θ+=1,即ρ+ρcosθ=2. ∴22y x ++x=2,化简得y 2=-4(x-1).(5)∵ρ2cos(2θ)=4,∴ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即x 2-y 2=4.(6)∵ρ=θcos 21-,∴2ρ-ρcosθ=1. ∴222y x +=1,化简得3x 2+4y 2-2x-1=0.方法归纳 在进行两种坐标间的互化时，要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在,是等价变形，否则不是等价变形.例3判断点(35,21π-)是否在曲线ρ=cos 2θ上. 思路分析：在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的,不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程，还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解：∵点(35,21π-)和点(32,21π)是同一点，而cos 232π=cos 3π=21, ∴点(32,21π)在曲线ρ=cos 2θ上，即点(35,21π-)在曲线ρ=cos 2θ上.误区警示 本题容易犯的错误是:当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不相同的.在极坐标系中，尽管点(35,21π-)并不满足ρ=cos 2θ，但是据此并不能肯定这个点不在曲线上. 例4从极点O 作圆C ：ρ=8cosθ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程.思路分析：在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.图1-3-3解：如图1-3-3，圆C 的圆心C(4,0)，半径r=|OC|=4，连结CM.∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上.∴动点M 的轨迹方程是ρ=4cosθ.方法归纳 这种解法是定义法，下面我们用转移法来解决这个问题：设M 点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).N 点在圆ρ=8cosθ上，∴ρ1=8cosθ1(*).∵M 是ON 的中点，∴⎩⎨⎧==.,211θθρρ它代入(*)式得2ρ=8cosθ.故M 的轨迹方程是ρ=4cosθ.在极坐标系中，曲线可以用含有ρ,θ这两个变数的方程f(ρ,θ)来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.常见的曲线方程如下：①过极点，极角为α的直线方程：θ=α(ρ∈R ).②与极轴平行并且与极轴距离等于a 的直线方程：ρsinθ=±a(a>0).③与极轴所在直线垂直且与极点距离为a 的直线方程：ρcosθ=±a(a>0).④圆的极坐标方程：圆心为(ρ0,θ0)，半径为r ：ρ2-2ρ0-ρcos(θ-θ0)+ρ02-r 2=0；圆心为(ρ0,0)，半径为r ：ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02-r 2=0；圆心为(r,0)，半径为r ：ρ=2rcosθ(r>0)；圆心为(-r,0)，半径为r ：ρ=-2rcosθ(r>0)；圆心为(r,2π)，半径为r ：ρ=2rsinθ(r>0)； 圆心为(r,2π-)，半径为r ：ρ=-2rsinθ(r>0)； 圆心为(0,θ),半径为r ：ρ=r(r>0).例5极坐标ρ=cos(4π-θ)表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 思路解析：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)；2ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.答案：D拓展延伸 方法一：将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得ρ2=ρcos(4π-θ)=ρ(22cosθ+22sinθ)=22(ρcosθ+ρsinθ). 这样，在以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴的直角坐标系中，ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x 2+y 2,因此有x 2+y 2=22(x+y).∴方程ρ=cos(4π-θ)表示圆. 方法二：极坐标方程ρ=2acosθ表示圆，而4π-θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ=cos(4π-θ)表示圆. 例6设M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连结MA ，自M 作MP ⊥MA 交OA 于P ，求P 点的轨迹方程.图1-3-4思路分析：如图1-3-4,求P 点的轨迹方程关键是解△APM ，利用余弦定理，可以建立P(ρ,θ)点中ρ、θ之间的关系.解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系.如图1-3-4.设定圆O 的半径为r ，OM=a ，P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.∵MP ⊥MA ，∴|MA|2+|MP|2=|PA|2.由余弦定理,可知|MA|2=a 2+r 2-2arcosθ，|MP|2=a 2+ρ2-2aρcosθ.而|PA|=r-ρ，由此可得a 2+r 2-2arcosθ+a 2+ρ2-2aρcosθ=(r -ρ)2.整理化简，得ρ=ra r a a --θθcos )cos (. 深化升华 若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.。

三 简单曲线的极坐标方程[课时作业] [A 组 基础巩固]1．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( ) A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线解析：∵cos θ＝22，∴θ＝±π4＋2k π(k ∈Z)． 又∵ρ≥0，∴cos θ＝22表示两条射线． 答案：D2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B. 2 C ．1D.22解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝14，所以两圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 故两圆的圆心距为22. 答案：D3．在极坐标系中，点F (1,0)到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是( )A.12B.22C ．1D. 2解析：因为直线θ＝π6(ρ∈R)的直角坐标方程为y ＝33x ，即x －3y ＝0，所以点F (1,0)到直线x －3y ＝0的距离为12.答案：A4．直线θ＝π4(ρ∈R)与圆ρ＝2cos θ的一个公共点的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π4，ρ＝2cos θ得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π4，ρ＝2，故选C.答案：C5．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3D ．215解析：如图，切线长为42－22＝2 3.答案：C6．圆ρ＝4(cos θ－sin θ)的圆心的极坐标是________． 解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(x －2)2＋(y ＋2)2＝8， 故圆心坐标为(2，－2)，其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，7π47．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析：由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ，得直角坐标方程为： (x －2)2＋y 2＝4，由P 极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π3得直角坐标P (2,23)，又C (2,0)，所以|CP |＝－2＋3－2＝2 3.答案：2 38．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：由公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x ＝1， 圆ρ＝2cos θ⇒ρ2＝2ρcos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0⇒(x －1)2＋y 2＝1， 由于圆心(1,0)到直线的距离为1－12＝12，所以弦长为21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 答案： 39．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0.解析：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.10．在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，求点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l 的距离． 解析：点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标为(3，－1)．直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1可化为 ρsin θ·cos π6－ρcos θ·sin π6＝1，即直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0. ∴点P (3，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离为d ＝|3＋3＋2|1＋－32＝3＋1.故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离为3＋1. [B 组 能力提升]1．极坐标方程4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：∵sin2θ2＝12(1－cos θ)， 原方程化为2ρ(1－cos θ)＝5， ∴2ρ－2ρcos θ＝5，即2x 2＋y 2－2x ＝5，平方化简，得y 2＝5x ＋254，它表示的曲线是抛物线，故选D.答案：D2．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4解析：将ρ＝4sin θ两边乘以ρ，得ρ2＝ρ·4sin θ，再把ρ2＝x 2＋y 2，ρ·sin θ＝y ，代入得x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.故选B.答案：B3．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，点Q 是圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3上的动点，则|PQ |的最小值是________．解析：已知圆的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53π，半径为1，将点P 、C 的极坐标化为直角坐标为P (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.由圆的几何性质知，|PQ |的最小值应是|PC |减去圆的半径， 即|PQ |min ＝|PC |－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322－1 ＝3－1＝2. 答案：24．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a ＝________.解析：由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ, ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2＝x 2＋y 2.∴圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝2x,3x ＋4y ＋a ＝0.将圆的方程配方得(x －1)2＋y 2＝1， 依题意得，圆心C (1,0)到直线的距离为1， 即|3＋a |32＋42＝1，整理，得|3＋a |＝5，解得a ＝2或a ＝－8. 答案：2或－85．从极点作圆ρ＝2a cos θ(a ≠0)的弦，求各弦中点的轨迹方程． 解析：设所求轨迹上的动点M 的极坐标为(ρ，θ)，圆ρ＝2a cos θ(a ≠0)上相应的弦为端点(非极点)的极坐标为(ρ1，θ1)，如图所示为a ＞0的情形，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧θ1＝θ，ρ1＝2ρ.∵ρ1＝2a cos θ1，∴2ρ＝2a cos θ， ∴ρ＝a cos θ即为各弦中点的轨迹方程， 当a ＜0时，所求结果相同．6．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)，求： (1)两曲线(含直线)的公共点P 的极坐标；(2)过点P ，被曲线C 1截得的弦长为2的直线的极坐标方程．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1.联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ，得点P (－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.(2)方法一 由上述可知，曲线C 1：ρ＝2sin θ即圆x 2＋(y －1)2＝1，如图所示，过P (－1,1)，被曲线C 1截得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O ，倾斜角为3π4，直线的直角坐标方程为y ＝－x ，极坐标方程为θ＝3π4(ρ∈R)；另一条过点A (0,2)，倾斜角为π4，直线的直角坐标方程为y ＝x ＋2，极坐标方程为ρ(sin θ－cos θ)＝2，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. 方法二 由上述可知，曲线C 1：ρ＝2sin θ即圆x 2＋(y －1)2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，被曲线C 1截得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O ，倾斜角为3π4，极坐标方程为θ＝3π4(ρ∈R)；另一条倾斜角为π4，极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.。

高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程练习（含解析）新人教A版选修44课时过关·能力提升基础巩固1极坐标方程cos θ≥0)表示的曲线是()A.余弦曲线B.两条相交直线C.一条射线D.两条射线解析∵cosθ∈Z).又ρ≥0,∴cosθ.答案D2极坐标方程ρ=7cos θ表示的圆的半径是()A答案D3在极坐标系中,点A(1,π)到直线ρcos θ=2的距离是()A.1B.2C.3D.4解析点A(1,π)化为直角坐标为(-1,0),直线ρcosθ=2化为直角坐标方程为x=2.因为点A(-1,0)到直线x=2的距离为3,所以点A(1,π)到直线ρcosθ=2的距离为3.答案C4在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标可能是()AC.(1,0)D.(1,π)解析因为该圆的直角坐标方程为x2+y2=-2y,即为x2+(y+1)2=1,圆心的直角坐标为(0,-1),化为极坐标可以B.答案B5在极坐标系中,过点A.ρcos θB.ρsin θC.ρD.ρ解析设直线与极轴的交点为A,则|OA|=|OP|·co又设直线上任意一点M(ρ,θ)(除点P外),则|OM|·cosθ=|OA|,即ρcosθ因为,所以所求的直线方程为ρcosθ答案A6在极坐标系中,与圆ρ=6cos θ相切的一条直线方程为()A.ρsin θ=6B.ρcos θ=3C.ρcos θ=6D.ρcos θ=-6解析圆的极坐标方程可化为直角坐标方程(x-3)2+y2=9,四个选项所对应的直线方程分别为y=6,x=3,x=6,x=-6,易知x=6满足题意.故选C.答案C7圆心在点(-1,1)处,且过原点的圆的极坐标方程是()A.ρ=2(sin θ-cos θ)B.ρ=2(cos θ-sin θ)C.ρ=2sin θD.ρ=2cos θ解析如图,圆的半径所以圆的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=2,即x2+y2=-2(x-y).将其化为极坐标方程,为ρ2=-2(ρcosθ-ρsinθ).因为圆过极点,所以方程可简化为ρ=2(sinθ-cosθ).答案A8(2018·天津模拟)在极坐标系中,解析(1,1),直线ρcosθ-ρsinθ-1=0的直角坐标方程为x-y-1=0,点到直线的距离答案9在极坐标系中,点解析在相应的平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,-2),直线l的方程为3x-4y-3=0,所以点P到直线l的距离d答案110在极坐标系中,曲线C1为ρ解析ρθ+sinθ)=1,θ+ρsinθ=1对应的直角坐标方程x2+y2=a2.,令y=0,得x x2+y2=a2,得a答11求过点解如图,在直线l上任意取除点A外的一点M(ρ,θ),连接OA,OM,过点M作极轴的垂线交极轴于点H.因|MH|=2si在Rt△OMH中,|MH|=|OM|sinθ,即ρsinθ.故过ρsinθ12在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹.解设M(ρ,θ)(ρ≠0)是所求轨迹上的任意一点.连接OM并延长交圆A于点P(ρ0,θ0),则有θ0=θ,ρ0=2ρ.由圆心为(4,0),半径为4的圆的极坐标方程,得ρ0=8cosθ0.所以2ρ=8cosθ,即ρ=4cosθ.故所求轨迹方程是ρ=4cosθ(ρ≠0).它表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆(不含极点).能力提升1极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0的直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1解析∵ρ(ρcosθ-1)=0,∴ρρcosθ=x=1.答案C2极坐标方程分别为ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是()A.2 B解析如图,两圆的圆心的极坐标分别答案D3在极坐标系中,曲线ρ=4siA.直线θB.直线θC.D.极点中心对称解析把原方程化为直角坐标方程,得(x圆心为(故选B.答案B4(2018·北京朝阳区二模)在极坐标系中,直线l:ρcos θ+ρsin θ=2与圆C:ρ=2cos θ的位置关系为()A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离解析由直线l:ρcosθ+ρsinθ=2,可知直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.由圆C:ρ=2cosθ,可知圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x,整理得(x-1)2+y2=1.所以圆心(1,0)到直线x+y-2=0的距离d因此直线与圆相交但不过圆心.答案B5已知曲线C1:ρ=解析将方程ρ=ρco x2+y2=(x-y-2=0,则C1是圆心在坐标原点,半径,C2是直线.因为圆心到直线x-y-2=0的距离3.答案36在极坐标系中,定点≥0,θ∈[0,2π))解析将ρcosθ+ρsinθ=0化为直角坐标方程为x+y=0,A(0,1).如图,过点A作AB⊥直线l于点B,因为△AOB为等腰直角三角形,又因为|OA|=1,则|OB|∠BOx故点B的极坐标答7已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(0≤θ<2π),曲线C在解析根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρ=2可化为x2+y2=4,因为x2+y2=4上,故圆在x+y-x+y-答案x+y-8圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O1、圆O2的交点的直线的直角坐标方程.解以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ.根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x2+y2-4x=0,故圆O1的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.同理可得圆O2的直角坐标方程为x2+y2+4y=0.(2)即圆O1、圆O2相交于点(0,0)和(2,-2),过两圆的交点的直线的直角坐标方程为y=-x.★9在极坐标系中,已知圆C的圆心(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点P在直线OQ上,解(1)将圆C的圆心的极坐标化为直角坐标C的直角坐标方程将其化为极坐标方程为ρ2-6ρco(2)设点P的坐标为(ρ,θ),点Q的坐标为(ρ0,θ0),则由题意可因为点Q在圆C上,所以点Q的坐标适合圆C的方程,代入P 的轨迹的极坐标方程为ρ2-15ρco。

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三简单曲线的极坐标方程1．了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程．（重点、易错点)3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点）［基础·初探］教材整理1 曲线与方程阅读教材P12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程f（x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：（1)曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)＝0的解;(2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．教材整理2 极坐标方程阅读教材P12～P13“例1"以上部分，完成下列问题．一般地，在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（ρ，θ）＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ，θ）＝0叫做曲线C的极坐标方程．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ）A.错误!B。

错误!C.错误!D.错误!【解析】点错误!的极坐标满足ρ＝错误!，θ＝－错误!，且ρ≠cos θ＝cos错误!＝－错误!。

2020年精品试题芳草香出品第一讲 坐标系三、简单曲线的极坐标方程A 级 基础巩固一、选择题1．极坐标方程ρcos θ＝－6表示( )A ．过点(6，π)垂直于极轴的直线B ．过点(6，0)垂直于极轴的直线C ．圆心为(3，π)，半径为3的圆D ．圆心为(3，0)，半径为3的圆解析：将ρcos θ＝－6化为直角坐标方程是：x ＝－6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．答案：A2．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，化为极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4. 答案：A3．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )A ．ρcos θ＝2B ．ρsin θ＝2C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3解析：将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，它与直线x－2＝0相切，将x－2＝0化为极坐标方程为ρcos θ＝2.答案：A4．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的方程是()A．ρ＝1 B．ρ＝cos θC．ρ＝－1cos θD．ρ＝1cos θ解析：设M为所求直线上任意一点(除P外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM中(O为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－1cos θ.经检验，(1，π)也适合上述方程．答案：C5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1解析：由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.答案：B 二、填空题6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比。

三、简单曲线的极坐标方程[A 级 基础巩固]一、选择题 1．4ρsin2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：4ρsin 2 θ2＝5⇒4ρ1－cos θ2＝5⇒2ρ＝2ρcos θ＋5.因为ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，代入上式得2x 2＋y 2＝2x ＋5，两边平方整理得y 2＝5x ＋254，所以它表示的曲线为抛物线．答案：D2．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心的直角坐标是⎝⎛⎭⎪⎫22，22，化为极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫1，π4.答案：A3．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是( )解析：如图所示．设M (ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM ＝∠MOx ＝θ，在Rt △NMO 中，|OM |＝|ON |sin ∠ONM ， 即ρ＝2r sin θ＝a sin θ. 答案：C4．已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直于极轴的直线的方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ解析：设M 为所求直线上任意一点(除P 外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM 中(O 为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－1cos θ.经检验，(1，π)也适合上述方程．答案：C5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1解析：由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.答案：B 二、填空题6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是________．解析：因为直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心，所以直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.答案：1∶17．在极坐标系中，定点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B的极坐标是________．解析：将极坐标化为直角坐标得为：A (0，1)，l ：x ＋y ＝0，设点B 的坐标为(x ，－x )，则 |AB |＝x 2＋（x ＋1）2＝2x 2＋2x ＋1.当x ＝－12时，|AB |取最小值，所以此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4 8．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．解析：由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得y －x ＝1.所以x －y ＋1＝0.而点A 对应的直角坐标为A (2，－2)，则点A (2，－2)到直线x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522.答案：522三、解答题9．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A 、B 两点，且|AB |＝6.求直线AB的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－2cos （θ1＋π）＝31＋2cos θ1.|AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1， 所以11－4cos 2θ1＝±1， 所以cos θ1＝0或cos θ1＝±22， 故直线AB 的极坐标方程分别为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.10．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)(ρ2，θ)， 则|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．B 级 能力提升1．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B.7解析：ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)．切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形， 由勾股定理，得切线长为（23）2＋（2－2）2－22＝2 2. 答案：C2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________． 解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y .ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.点(－1，1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4 3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆C ：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝r 2. (1)求圆心C 的极坐标；(2)当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3.解：(1)圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝r 2的圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22.因为ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 又tan θ＝1且C 在第三象限，所以θ＝5π4.所以圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，5π4.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，得ρcos θ＋ρsin θ＝1.所以直线l ：x ＋y －1＝0.圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝r 2的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22到直线l 的距离为因为圆C上的点到直线l的最大距离为3，所以1＋22＋r＝3，即r＝2－22，所以当r＝2－22时，圆C上的点到直线l的最大距离为3.。

三简单曲线的极坐标方程
．了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．
．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点、易错点) ．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理曲线与方程
阅读教材“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．
在平面直角坐标系中，平面曲线可以用方程(，)＝表示．曲线与方程满足
如下关系：
()曲线上
点的坐标
都是方程(，)＝的解；
()以方程(，)＝的解为
坐标的点
都在曲线上．
教材整理极坐标方程
阅读教材～“例”以上部分，完成下列问题．
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个
，并且坐标适合方程
θ
，
满足方程
ρ(
ρ(
)＝
，
，
ρ(
θ
θ
)＝
的点都在曲线上，那么方程
)
＝叫做曲线的极坐标方程．
下列点不在曲线ρ＝θ上的是( )
【解析】点的极坐标满足ρ＝，θ＝－，且ρ≠θ＝＝－.
【答案】
教材整理常见的极坐标方程
阅读教材～，完成下列问题．
极坐标方程ρ＝所表示的曲线是( )
．双曲线
．椭圆
．圆
．抛物线
【解析】∵ρ＝＝θ＋θ，
ρ＝ρθ＋ρθ，
∴＋＝＋，这个方程表示一个圆．
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：。

1．4ρsin2＝5表示的曲线是()＝5⇒4ρ＝5⇒2ρ＝2ρcosθ＋5.因为ρ＝x2＋y2，ρcos θ＝x，代入上式得2x2＋y2＝2x＋5，两边平方整理得y2＝5x＋，所以它表示的曲线为抛物⎛π⎫4⎭A. 1，⎪⎛1π⎫⎝24⎭⎛π⎫4⎭C. 2，⎪⎛π⎫4⎭D. 2，⎪⎛2⎛π⎫，⎪，化为极坐标是 1，⎪.三、简单曲线的极坐标方程[A级基础巩固]一、选择题θ2A．圆C．双曲线的一支B．椭圆D．抛物线解析：4ρsin2θ1－cosθ22254线．答案：D2．圆ρ＝2(cosθ＋sinθ)的圆心的极坐标是()⎝⎝B. ，⎪⎝解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－2x－2y＝0，圆心的直角坐标是⎝22⎭⎝4⎭答案：A3．极坐标方程ρ＝a sinθ(a＞0)所表示的曲线的图形是()解析：如图所示．cos θcosθ(O 为极点)，ρ cos|π －θ |＝1，即 ρ ＝－ A ．θ ＝0(ρ ∈R)和 ρ cos θ ＝2B ．θ ＝ (ρ ∈R)和 ρ cos θ ＝2C ．θ ＝ (ρ ∈R)和 ρ cos θ ＝1D ．θ ＝0(ρ ∈R)和 ρ cos θ ＝11)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为 x ＝0 和 x ＝2，相应的极坐标方程为 θ ＝ (ρ ∈R) 6．在极坐标系中，圆 ρ ＝4 被直线 θ ＝ 分成两部分的面积之比是________．解析：因为直线 θ ＝ 过圆 ρ ＝4 的圆心，所以直线把圆分成两部分的面积之比是 1∶1.7．在极坐标系中，定点 A 1， ⎪，点 B 在直线 l ：ρ cos θ ＋ρ sin θ ＝0 上运动，当线设 M (ρ ，θ )是圆上任意一点，则∠ONM ＝∠MOx ＝θ ，在 △R t NMO 中，|OM |＝|ON |sin ∠ONM ， 即 ρ ＝2r sin θ ＝a sin θ .答案：C4．已知点 P 的极坐标是(1，π )，则过点 P 且垂直于极轴的直线的方程是( )A ．ρ ＝1C ．ρ ＝－1B ．ρ ＝cos θ1D ．ρ ＝解析：设 M 为所求直线上任意一点(除 P 外)，其极坐标为(ρ ，θ )，在直角三角形 OPM 中1cos θ.经检验，(1，π )也适合上述方程．答案：C5．在极坐标系中，圆 ρ ＝2cos θ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()π2π2解析：由 ρ ＝2cos θ ，得 ρ 2＝2ρ cos θ ，化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －π2和 ρ cos θ ＝2.答案：B二、填空题π4π4答案：1∶1⎛π ⎫ ⎝ 2 ⎭段 AB 最短时，点 B 的极坐标是________．解析：将极坐标化为直角坐标得为：A (0，1)，l ：x ＋y ＝0，设点 B 的坐标为(x ，－x )，则|AB |＝ x 2＋（x ＋1）2＝ 2x 2＋2x ＋1.1 ⎛ 1 1⎫⎛ 2 3π ⎫ ⎝ 2 ， 4 ⎭ 当 x ＝－ 时，|AB |取最小值，所以此时点 B 的坐标为 － ， ⎪，化为极坐标为 ⎪.答案： 2 3π ⎫⎛ ⎛7π ⎫ 8．已知直线 l 的极坐标方程为 2ρ sin θ － ⎪＝ 2，点 A 的极坐标为 A 2 2， ⎪，则解析：由 2ρ sin θ － ⎪＝ 2得 y －x ＝1.所以 x －y ＋1＝0.而点 A 对应的直角坐标为 A (2，－2)，则点 A (2，－2)到直线 x －y ＋1＝0 的距离为 ＝ .22 9．已知双曲线的极坐标方程为 ρ ＝ ，过极点作直线与它交于 A 、B 两点，且|AB |1－2cos θ 1 1－2cos （θ 1＋π ） 1＋2cos θ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ |AB |＝|ρ 1＋ρ 2|＝ ⎪1－2cos θ 1 1＋2cos θ 1⎪ ⎪1－4cos 2θ 1⎪，1－4cos 2θ 14 ⎭ 2故直线 AB 的极坐标方程分别为 θ ＝，θ ＝ 或 θ ＝ .2 ⎝ 2 2⎭⎝ 2 ， 4 ⎭⎝ ⎝4 ⎭点 A 到直线 l 的距离为________．⎛π ⎫ ⎝4 ⎭|2＋2＋1| 5 225 2答案：三、解答题31－2cos θ＝6.求直线 AB 的极坐标方程．解：设直线 AB 的极坐标方程为 θ ＝θ 1，A (ρ 1，θ 1)，B (ρ 2，θ 1＋π )，3 3 3ρ 1＝ ，ρ 2＝ ＝ .3 3 6 ＋ ⎪＝⎪ ⎪1所以 ＝±1，所以 cos θ 1＝0 或 cos θ 1＝± 2，π π3π 2 4 410．已知圆 C ：x 2＋y 2＝4，直线 l ：x ＋y ＝2，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程；(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R ，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将 x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ 分别代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C ：ρ ＝2，1．在极坐标方程中，曲线 C 的方程是 ρ ＝4sin θ ，过点 4， ⎪作曲线 C 的切线，则切线，所以 解析：ρ ＝4sin θ 化为直角坐标方程为 x 2＋(y －2)2＝4，点 4， ⎪化为直角坐标为(2 3， ⎛ 3π ⎫ 点(－1，1)的极坐标为 2， ⎪.⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 答案： 2， 3π ⎫4 ⎭ 程为 ρ sin θ ＋ ⎪＝ ，圆 C ： x ＋ ⎪ ＋ y ＋ ⎪ ＝r 2.2 ⎭l ：ρ (cos θ ＋sin θ )＝2.(2)设 P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ 1，θ )，(ρ ，θ )(ρ 2，θ )， 则|OQ |·|OP |＝|OR |2 得 ρ ρ 1＝ρ 2.2 2ρ又 ρ 2＝2，ρ 1＝cos θ ＋sin θ cos θ ＋sin θ ＝4，故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )(ρ ≠0)．B 级 能力提升⎛π ⎫ ⎝ 6 ⎭长为()A ．4C ．2 2B. 7D ．2 3⎛ π ⎫ ⎝ 6 ⎭2)．切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理，得切线长为 （2 3）2＋（2－2）2－22＝2 2.答案：C2．在极坐标系(ρ ，θ )(0≤θ <2π )中，曲线 ρ ＝2sin θ 与 ρ cos θ ＝－1 的交点的极坐标为________．解析：由 ρ ＝2sin θ ，得 ρ 2＝2ρ sin θ ，其直角坐标方程为 x 2＋y 2＝2y .ρ cos θ ＝－1 的直角坐标方程为 x ＝－1.⎧x 2＋y 2＝2y ， ⎧x ＝－1， 联立⎨ 解得⎨⎪x ＝－1， ⎪y ＝1.⎝4 ⎭⎛⎝⎪3．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的极坐标方⎛ π ⎫ 2 ⎛ 2⎫2 ⎛ 2⎫2⎝ 4 ⎭ 2 ⎝⎝ 2 ⎭(1)求圆心 C 的极坐标；(2)当 r 为何值时，圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3.解：(1)圆 C ： x ＋ 2⎫2＋⎛y ＋ 2⎫2 ⎪ ＝r 2的圆心 C 的直角坐标为 － 2 ，－ 2 ⎭ ⎪ 又 tan θ ＝1 且 C 在第三象限，所以 θ ＝5π⎛ 5π ⎫ 所以圆心 C 的极坐标为 1， ⎪. (2)由 ρ sin θ ＋ ⎪＝ 22 ，得 ρ cos θ ＋ρ sin θ ＝1.圆 C ： x ＋ 2 ，－ 2 ⎭2 － 2＝1＋ 2 所以 1＋ 2所以当 r ＝2－ 2⎛⎛⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2⎫ ⎪.因为 ρ ＝⎛－ 2⎫2＋⎛－ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2⎫2⎪ ＝1，2 ⎭4 .⎝4 ⎭⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭所以直线 l ：x ＋y －1＝0.⎛ ⎝ 2⎫2 ⎛ 2⎫2 ⎛ 2 2⎫ ⎪ ＋ y ＋ ⎪ ＝r 2 的圆心 － ⎪2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝到直线 l 的距离为⎪ ⎪－ d ＝⎪2 ⎪ 2 －1⎪ 2 2，因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3， 2 ＋r ＝3，即 r ＝2－ 2 2 ，2 时，圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3.。