2013年高三第三次模拟考试试卷数学文科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =( ) A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{|36}x x <≤ D.{|36}x x ≤<2．已知i 是虚数单位，则i i+-221等于（ ）A ．i -B ．i -54C ．i5354- D ．i3. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为( )A.12-B.12 C.1- D. 1 4．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．5021- B ．262(41)3- C ．5121- D ．252(41)3-6. 某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（ ） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+125 D. 60+1257．已知函数()sin()3cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则( ) A ．f(x)的最小正周期为2π，且在(0, π)上为单调递增函数 B ．f(x)的最小正周期为2π，且在(0, π)上为单调递减函数C ．f(x)的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．f(x)的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数 8．函数f(x)=ln(x-1x )的图象是( )A ．B ．C ．D ．9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为( )A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．223y x =10．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6 , 则该球的表面积为 ( )A ．16πB ．24πC ．323πD ．48π11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆：2224a x y += 的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为( )A.B.12．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈(0, 1)，x2∈(1,+∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13.某市有A 、B 、C 三所学校共有高三文科学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取________人.14．已知函数490,10,33x y x y x y z x yy +-≥⎧⎪--≤=-⎨⎪≤⎩满足则的最大值是 .15. 设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 ．16．观察下列算式：13 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+11,43 =13 +15 +17 +19 ， … …若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n= ．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a, b, c, 且2(a2+b2-c2)=3ab.（Ⅰ）求2sin 2A B+；（Ⅱ）若c=2，求△ABC 面积的最大值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.0.375等级0.250频率0.2000.075科目：数学与逻辑0.025频率等级0.1500.375科目：阅读与表达（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2,D 为AA1的中点，BD 与AB1交于点O ，CO 丄侧面ABB1A1. (Ⅰ)证明: BC ⊥AB1;(Ⅱ)若OC=OA ，求三棱锥B1-ABC 的体积. 20．（本小题满分12分） 如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D 、E两点．（Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）记△GFD 的面积为S1，△OED （O 为原点）的面积为S2． 试问：是否存在直线AB ，使得S1=S2？说明理由.21．（本小题满分12分）已知x xx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈（Ⅰ）当1=a 时, 研究()f x 的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：1()()2f x g x >+；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE2 = EF·EC . （Ⅰ）求证：CE·EB = EF·EP；（Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA 的长.23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 541531(t 为参数）.若以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=.(Ⅰ) 求曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求直线l 被曲线C 所截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲． 设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3| , x ∈R.(Ⅰ)解不等式f(x)≤5；(Ⅱ)若mxfxg+=)(1)(的定义域为R，求实数m的取值范围.2013年高考三模参考答案 数学文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAACDBCBDDAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13. 40 14. -1 15. -2 16. 45三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）22222233,cos 224a b c a b c ab C ab +-+-=∴==()21cos 1cos 7,sin 2228A B A B C A B C π-++++=-∴=== ………６分 （Ⅱ）ab ，b a ，c ab c b a 2342,2322222=-+∴==-+且又2232,24,82a b ab ab ab ab +≥∴≥-∴≤3cos ,sin 44C C =∴===,7sin 21≤=∴∆C ab S ABC当且仅当22==b a 时，△ABC 面积取最大值，最大值为7. …………12分 18（本小题满分12分）解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分（II ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ………………12分19. (本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，12AA=22AD =,所以在直角三角形1ABB 中,112tan AB AB B BB ∠==,在直角三角形ABD 中,12tan AD ABD AB ∠==,所以1AB B ∠=ABD ∠,…………………2分又1190BAB AB B ∠+∠=， 190BAB ABD ∠+∠=，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=， 即1BD AB ⊥， ……………………………4分又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面,所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面,故1BC AB ⊥………………………6分（Ⅱ）在Rt ∆ABD 中，可求得62BD =,21326AD AB OC OA BD ⨯====11122ABB S AB BB ∆=⋅=111--1133B ABC C ABB ABB V V S OC ∆==⋅==.……………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+．将其代入22143x y +=，整理得2222(43)84120k x k x k +++-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以2122843k x x k -+=+．…………4分 故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+． 依题意，得2241434k k -=-+， 解得12k =±． ………………6分（Ⅱ）假设存在直线AB ，使得12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343k k G k k -++．因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dkk k k x k +⨯=---+，解得2243D k x k -=+， 即 22(,0)43k D k -+． 因为 △GFD ∽△OED ， 所以12||||S S GD OD =⇔=．所以2243k k -=+，整理得 2890k +=．因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． ………………12分21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，x x x x f 111)(-=-='∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分 （Ⅱ） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴ 0)(>x f ，min ()1f x =令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，2/ln 1)(x xx h -=，当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（Ⅰ）的条件下，1()()2f x g x >+……………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=① 当0≤a 时，(]e x ,0∈，所以0)(/<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件.③ 当ea ≥1时，(]e x ,0∈，所以0)(/<x f ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3 .……12分22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲（I ）∵EC EF DE ⋅=2，∴C EDF ∠=∠，又∵C P ∠=∠，∴P EDF ∠=∠，∴EDF ∆∽PAE ∆∴EP EF ED EA ⋅=⋅又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅ ………………5分（II ）29=CE ，3=BE ，415=BPPA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA ………………10分23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)由2sin()4πρθ=+得：ρ=cos θ+sin θ两边同乘以ρ得：ρ2=ρcos θ+ρsin θ∴x2+y2-x-y=0 即(x-12)2+(y-12)2=12 ………………5分 (Ⅱ) 将直线参数方程代入圆C 的方程得: 5t2-21t+20=0∴t1+t2=215, t1t2=4∴∣MN∣=∣t1-t2∣………………10分24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．解：(Ⅰ)∵ f(x)=|2x-1|+|2x-3| , f(x)≤5∴有12445xx⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或132225x⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩或32445xx⎧>⎪⎨⎪-≤⎩解得：11,42x-≤<或13,22x≤≤或39,24x<≤∴不等式的解集为：{x∣19,44x-≤≤}. ………………5分(Ⅱ) 若mxfxg+=)(1)(的定义域为R，则f(x)+m≠0恒成立，即f(x)+m=0在R上无解.又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，∴f(x)最小值为2,∴m >-2 ………………10分。
