[2013高三数学]第78课时-两条直线的位置关系(一)

两条直线的位置关系教学目标（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断.（2）理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角.（3）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标.（4）掌握点到直线距离公式的推导和应用.（5）进一步掌握求直线方程的方法.（6）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法.（7）通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法.教学建议一、教材分析1.知识结构2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离.难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导.本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要.（1）平行与垂直①平行在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况.②垂直教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在.（2）夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念.到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则＋＝.与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向.当到的角为锐角时，则和的夹角也是；当到的角为钝角时，则和的夹角也是.②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出.再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式这种把“形”转化为“数”的方法，是解析几何的基本方法，要认真揣摩.③对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用.（3）交点①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解.②在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无解、无数多个解.但在实际判定时，利用直线的斜率和截距更方便.若，，则：与相交；且；与重合且.（4）点到直线的距离①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具.教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式.在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程.②利用点到直线的距离公式可推出两平行线，间的距离公式：.③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们思考，下面介绍一种较简便的方法.如右图，设，过点作直线的垂线，垂足为，则有即得，即，.当时，上述公式也成立.（5）当直线中有一条没有斜率时，讨论平行、垂直、角、距离的问题，不必套用以上结论，这时可结合图形几何性质；直接求解.二、教法建议1.本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密，教学时应加强启发和引导.如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联系：同位角—倾斜角—斜率（直线方程）.又如，在求到的角时，根据图形中角的关系，建立与倾斜角和的联系（有且只有或两种情况），进而借助三角建立与斜率的关系，得出公式.2.本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深刻.所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式的推导.3.本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上.本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力.本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学.4.不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会根据所给条件选用.5.已知两直线的方程会求其交点即可，不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系.6.在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力.7.本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题.教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的能力.方案课题：点到直线的距离教学目标：（1）理解点到直线距离公式的推导过程.（2）会求点到直线的距离.（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神.教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：一、引入点到直线的距离是指过点作的垂线，与垂足之间的长度【问题1】已知点（-1，2）和直线：，求点到直线的距离.（由学生分析、解答）分析：先求出过点和垂直的直线：：，再求出和的交点∴如果把问题1一般化就有如下问题：【问题2】已知：和直线：（不在直线上，且，），试求点到直线的距离.二、点到直线距离分析1：要求的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求的长度.∵ 点坐标已知，∴只要求出点坐标就可以了.又∵点是直线和直线的交点又∵直线的方程已知∴只要求出直线的方程就可以了.即：←点坐标←直线与直线的交点←直线的方程←直线的斜率←直线的斜率（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结）问：这种解法好不好，为什么?根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出分析2：如果垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段和，如图1所示，显然相对而言，和好求一些，事实上，设到直线的距离为，坐标为，坐标为，则易求：，所以：，所以：根据三角形面积公式：所以：（至此问题2已经解决）公式的完善.容易验证（由学生完成）：当，即轴时，公式成立；当，即轴时，公式成立；当点在上时，公式成立.公式结构特点师生一起总结：（1）分子是点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数、系数平方和的算术根.类似于勾股定理求斜边的长三、检测与巩固练习1（1）到直线的距离是________.（2）到直线的距离是_______.（3）用公式解到直线的距离是______.（4）到直线的距离是_________.订正答案：（1）5；（2）0；（3）；（4）.练习21.求平行直线和的距离.解：在直线上任取一点，如，则两平行线的距离就是点到直线的距离.因此，＝＝【问题3】两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线与0的距离.解：在直线上任取一点，如则两平行线的距离就是点到直线的距离，（如图2）.因此，＝＝注意：用公式时，注意一次项系数是否一致.四、小结作业1、点到直线的距离公式及其推导；师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：2、利用公式求点到直线的距离.3、探索两平行直线的距离4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离.作业：P54 13、14、16思考研究：运用多种方法推导点到直线的距离公式.。

数学高考复习名师精品教案第78课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线与平面、直线与直线所成的角课题；直线与平面、直线与直线所成的角 一．复习目标：1．掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角． 二．知识要点：1．异面直线,a b 所成角的定义： ． 2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ． （2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为 ． 3．最小角定理： ．1．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为,AC BD 的交点， 则1C O 与1A D 所成的角 （ ）D()A 60 ()B 90 ()C arccos3 ()D arccos 62．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60 ，则直线PC 与平面APB 所成的角的余弦是（ ）()A 12 ()B ()C ()D 3．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V-中，E 是BC的中点，若VAE ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 ． （结果用反三角函数值表示）四．例题分析：例1．在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB和棱l 所成的角．例2．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．ABC VE· B 1PA CDA 1C 1D 1BO H·例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//,EF DC AM EF =．（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．五．课后作业：AMBCDF EP1．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则α=（ ）()A 13 ()B 4π ()C ()D 2．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是（ ）()A [,)2ππ ()B [0,2π ()C (0,2π ()D [0,2π3．已知AB 是两条异面直线,AC BD 的公垂线段，1AB =，10AC BD ==，CD =则,AC BD 所成的角为 ．4．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形90PCA ∠= ，D 是PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==，（1）求证：AC BD ⊥； （2）求BD 与平面ABC 所成角．5．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，侧面1AB 与侧面1AC 所成的ABCPD二面角为60 ，M 为1AA 上的点，1130A MC ∠= ，190CMC ∠= ，AB a =． （1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；（2）求顶点A 到面1BMC 的距离．6．如图直四棱柱 1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．D 1C 1B 1A 1DCB A。

两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。

在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。

下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。

1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。

此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。

如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。

在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。

用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。

相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。

直线相交的条件是它们的斜率不相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。

重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。

这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。

在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。

直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。

解析几何中两条直线的位置关系几何是一门独特的学科，它以空间形体的性质加以分析和研究。

在几何学的研究中，解析几何是一种十分重要的数学方法。

解析几何的基础内容包括坐标系、点、直线、平面等，它是高中数学必修课程中的重要章节。

而两条直线的位置关系就是解析几何中的一项主要内容，它涉及到两条直线在平面上的交点、平行、垂直等关系。

下面我们将结合一些实例，从不同角度来解析几何中两条直线的位置关系。

一、平行的直线两条直线如果在平面上没有交点，那么我们就称它们是平行的。

在解析几何中，判断两条直线是否平行的方法是通过它们的斜率来决定的。

斜率是直线上两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，我们用 k1 和 k2 来表示两条直线的斜率。

如果 k1 = k2，那么这两条直线是平行的，它们在平面上永远不会相交。

例如，对于直线 y = 2x + 1 和 y = 2x + 2，我们可以求出它们的斜率分别为 2，因此它们是平行的。

二、垂直的直线两条直线在平面上相交，并且它们的交点与坐标轴构成的角度为 90 度，那么我们就称它们是垂直的。

在解析几何中，判断两条直线是否垂直的方法是通过它们的斜率的互为倒数来决定的。

斜率的倒数是指直线上两个点横坐标之差与纵坐标之差的比值，用k1 和 k2 来表示两条直线的斜率。

如果 k1 × k2 = -1，那么这两条直线是垂直的。

例如，对于直线 y = -0.5x + 4 和 y = 2x - 1，我们可以求出它们的斜率分别为 -0.5 和 2，因此它们不垂直。

如果我们对第一条直线求出它的斜率的倒数为 -2，再对第二条直线求出它的斜率的倒数为 -0.5，就能得出它们是垂直的。

三、相交的直线如果两条直线在平面上相交，那么我们就需要考虑它们的交点和交角。

直线交点是直线在平面上的交点，我们用 (x0, y0) 来表示直线的交点坐标。

交角是指两条直线在交点处所夹的角度，它的度数可以通过反正切函数求出。

两条直线的位置关系知识点总结在几何学中，直线是最基本的几何元素之一。

考虑两条直线之间的位置关系是几何学的一个基本问题。

在这篇文章中，我们将讨论两条直线的位置关系，并总结一些重要的知识点。

平行线当两条直线在同一平面内，且它们不相交（或在一个点相交）时，这两条直线被称为平行线。

我们常常使用符号“||”来表示平行线。

如果直线l和m平行，则我们可以表示它们为l || m。

平行线有一些重要的性质。

首先，平行线之间的距离始终相等。

其次，平行线之间的夹角始终相等。

因此，如果我们有两条平行线和一条横穿它们的第三条直线，则其中每一组相邻角度都相等。

这被称为平行线的交错内角定理。

垂直线另一种常见的直线位置关系是垂直线。

当两条直线在同一平面内且它们交叉成直角时，这两条直线被称为垂直线。

我们通常使用符号“⊥”来表示垂直。

垂直线也有一些重要的性质。

首先，当两条直线垂直相交时，它们之间的夹角恰好是90度。

其次，如果我们有一条直线和另一条线的垂线交叉，那么其中每一组相邻的角都是补角相等的。

这称为垂线的垂直角定理。

倾斜线倾斜线是指既不是平行线也不是垂直线的直线。

在考虑倾斜线的位置关系时，我们可能需要使用一些比较专业的术语。

首先，我们可以使用夹角的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

如果两条倾斜线之间的夹角小于90度，则这两条线是锐角。

如果夹角等于90度，则这两条线是垂直线。

如果夹角大于90度，则这两条线是钝角。

其次，我们可以使用距离的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

两条倾斜线之间的距离是它们之间最短的距离。

如果两条倾斜线从不相交，则它们的距离为零。

如果两条倾斜线相交，它们的距离将大于零。

总结在几何学中，考虑两条直线之间的位置关系是一个基本问题。

平行线的距离相等，夹角相等；而垂直线的夹角为90度，其相邻角度是补角相等的。

倾斜线的位置关系可以用夹角和距离来描述。

对于倾斜线，我们可以使用术语锐角、垂直线和钝角来描述它们之间的夹角。

两条直线的位置关系洋葱数学在数学中，直线是一种基本的几何图形，它们广泛应用于各个领域。

而两条直线之间的位置关系也是数学中一个重要的概念。

在这篇文章中，我们将会探讨两条直线的位置关系，并介绍一种有趣的数学方法——洋葱数学，来解决这个问题。

首先，让我们来看看两条直线的位置关系。

两条直线可以平行、相交或重合。

如果两条直线的方向相同，它们就是平行的。

如果两条直线的方向不同，它们就是相交的。

当两条直线完全重合时，它们就是重合的。

接下来，我们将会详细介绍这三种情况。

平行的直线两条直线平行的条件是它们的斜率相同。

斜率是指直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

如果两条直线的斜率相同，它们就是平行的。

在图1中，直线AB和直线CD是平行的。

相交的直线两条直线相交的条件是它们的斜率不同。

如果两条直线的斜率不同，它们就是相交的。

在图2中，直线AB和直线CD是相交的。

重合的直线两条直线重合的条件是它们的方程相同。

在图3中，直线AB和直线CD是重合的。

现在，我们来介绍一个有趣的数学方法——洋葱数学。

洋葱数学是一种几何学的方法，它可以用来求解两条直线的位置关系。

它的基本思想是将两条直线之间的空间分成多个区域，然后用洋葱的图像来表示这些区域。

具体来说，我们可以用一条直线上的点来分割平面。

将这条直线上的点称为“基准点”。

我们可以将这条直线分成两个区域：上部和下部。

接下来，我们在每个区域中选择一个点作为新的“基准点”，并将该区域继续分成两个区域。

我们不断重复这个过程，直到我们无法再分割为止。

最终，我们将得到一个由许多圆环组成的图像，这就是洋葱图像。

在图4中，我们可以看到两条直线的洋葱图像。

其中，红色的圆环表示两条直线相交的区域，绿色的圆环表示两条直线平行但不重合的区域，蓝色的圆环表示两条直线重合的区域。

通过洋葱数学，我们可以更加直观地理解两条直线之间的位置关系。

同时，它也为我们提供了一种全新的求解方法。

总结在本文中，我们介绍了两条直线的位置关系，包括平行、相交和重合三种情况。