高考数学二轮复习对点练：专题七 解析几何 专题对点练22

专题对点练22 直线与圆及圆锥曲线1.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.2.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN 的面积为S,求的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.5.已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.(2018天津,文19)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.专题对点练22答案1.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.解 (1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,所以椭圆的方程为=1(x≠-2).(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.∵A(-2,0)在椭圆=1上,∴x0×(-2)=,则x0=,∴|AM|=.同理|AN|=.所以S=|AM|·|AN|=.,令k2+1=t>1,,所以∈(0,6).4.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,所以+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).5.解 (1)由题意,|RM|=|RF|,∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|,∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=,∴曲线E的方程为=1;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x,假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|.直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,∴y1+y2=, ①y1y2=-4, ②∵|AF|=|FB|,∴=-2, ③∴由①②③解得k=±2.k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),解得A,B(2,2).直线与椭圆方程联立解得P,A.∵y B≠2y Q,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.同理可得k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点,∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.6.解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM 的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.。

专题对点练24圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.已知椭圆Γ:+y2=1(a>1)与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,圆C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线l与抛物线E交于A,B两点,与圆C切于点P.(1)当切点P的坐标为时,求直线l及圆C的方程;(2)当a=2时,证明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.4.设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.已知椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2上斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值;若不能垂直,请说明理由.6.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.专题对点练24答案1.(1)解∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2,∴动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立化为x2-4kx+8=0,Δ=16k2-32>0,解得k>或k<-.∴x1+x2=4k,x1x2=8.直线AC的方程为y-y2=-(x+x2),又y1=kx1-2,y2=kx2-2,∴4k-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2),∵x1=4k-x2,∴4y=(x1-x2)x+8,令x=0,则y=2,∴直线AC恒过一定点(0,2).2.(1)解由题意得A,B两点关于y轴对称,设x B=,则圆心E到AB的距离为1,∴y B=,∴B,代入椭圆方程得=1,解得a2=4,∴e=.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D,当直线MN斜率存在时,设其方程为y=kx-消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.∴x1+x2=,x1x2=,直线MN'的方程y-y1=(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1-=-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2).综上,直线MN'过定点(0,-2).3.(1)解由圆(x-a)2+y2=4,则圆心(a,0),半径为2,将P代入圆方程,解得a=2或a=-,∴圆的方程为(x-2)2+y2=4或+y2=4,当a=2,圆心C(2,0),则直线CP的斜率k==-,由直线l的斜率为-,则直线l的方程y-,整理得4y-3x-4=0;当a=-,圆心C,则直线CP的斜率k=,由直线l的斜率为-=-,则直线l的方程y-=-,整理得20y+15x-44=0,综上可知,直线l方程为4y-3x-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4,或直线l方程为20y+15x-44=0,圆C的方程为+y2=4;(2)证明当a=2时,圆C的方程(x-2)2+y2=4,当l垂直于x轴时,则x=4,A(4,4),B(4,-4),∴|FA|=|FB|=5,|AB|=8,∴|FA|+|FB|-|AB|=2;当l不垂直于x轴时,设直线l:y=kx+b(k≠0),直线l与圆C相切,则=2,则4kb+b2=4,结合图象知kb<b(图略).则整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,由Δ=(2kb-4)2-4k2b2=-16kb+4(4kb+b2)=4b2>0,x1+x2=-,x1x2=,|AB|=====,由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=x1+x2+2,∴|FA|+|FB|=-+2,∴|FA|+|FB|-|AB|=-+2-=2,∴|FA|+|FB|-|AB|是定值,定值为2.4.(1)解因为圆N与直线x=-1相切,所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径, 所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),由得y2-y-kx0+y0=0,又=4x0,所以y2-y-+y0=0.因为直线l与曲线C相切,所以Δ=1-k=0,解得k=.所以直线l的方程为4x-2y0y+=0.动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l的距离d=.当动圆M的面积最小时,即d最小,而当a>2时,d=≥2.当且仅当=4a-8,即x0=a-2时取等号,所以当动圆M的面积最小时,a-x0=2,即当动圆M的面积最小时,M,P两点的横坐标之差为定值.5.解(1)依题意椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.得c=,e=,可得a=2,则b=1,故椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,∵直线l与圆x2+y2=1相切,∴=r,即m2=r2(k2+1).①由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+16>0,∴m2<4k2+1,可得r2<4.令P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,若OP与OQ能垂直,则=x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)+m2=0,整理得5m2-4(k2+1)=0,把①代入得(k2+1)(5r2-4)=0,∴r=,满足r2<4,∴OP与OQ能垂直.6.解(1)∵椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为,∴c, ab=,∴a=2,b=,∴椭圆方程为=1.(2)假设直线y=2上存在点Q满足题意,设Q(m,2),当m=±2时,从点Q所引的两条切线不垂直.当m≠±2时,设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k,则l的方程为y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,∵Δ=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)[2(mk-2)2-4]=0,∴(m2-4)k2-4mk+2=0.设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的两个根,∴k1k2==-1,解得m=±,点Q坐标为(,2)或(-,2).∴直线y=2上两点(,2),(-,2)满足题意.。

小题对点练(七) 解析几何(1)(建议用时：40分钟)一、选择题1．设m ∈R ，则“m ＝0 ”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件A [由直线l 1与l 2垂直可得(m ＋1)(m －1)＋(1－m )(2m ＋1)＝0，解得m ＝0或m ＝1.所以“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．选A.]2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752 C [由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8. 解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72.]3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6D.π6A [圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，∵直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，∴由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜角为π6或5π6，故选A.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝2x ，则该双曲线的离心率等于( )A.62B. 2C. 3D. 6C [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ， ∴由题意得ba ＝2，即b ＝2a ， ∵c 2＝a 2＋b 2＝3a 2， ∴c ＝3a ， ∴离心率e ＝ca ＝ 3.]5．Rt △ABC 中，|BC |＝4，以BC 边的中点O 为圆心，半径为1的圆分别交BC 于P ，Q ，则|AP |2＋|AQ |2＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10D [法一：特殊法．当A 在BC 的中垂线上时， 由|BC |＝4，得|OA |＝2.所以|AP |2＋|AQ |2＝2OP 2＋2OA 2＝2(12＋22)＝10.选D.法二：以O 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，P (－1,0)，Q (1,0)，图18设A (x 0，y 0)，由AB ⊥AC 得 y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－1. 即x 20＋y 20＝4.所以|AP |2＋|AQ |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20 ＝2(x 20＋y 20)＋2＝2×4＋2＝10.即|AP |2＋|AQ |2＝10.故选D.]6．已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4D [F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，又中点(2,2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，得p ＝4.故选D.]7．(2018·丹东市五校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C.52D.62D [由题意得圆方程即为(x －3)2＋y 2＝4，故圆心为(3,0)，半径为2. 双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，故圆心到渐近线的距离为d ＝|3b |a 2＋b2＝3b a 2＋b2.∵渐近线被圆截得的弦长为2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3ba 2＋b 22＋12＝22，整理得b 2a 2＝12.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋12＝62.选D.]8．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.13C [由题意，b 2a c ＝22 ，得ac ＝2(a 2－c 2)， 即2e 2＋e －2＝0，所以e ＝22，故选C.]9．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，若△ABO 与△AFO 的面积分别为S 1和S 2，则S 1＋4S 2最小值是( )A.732B ．6C.132D ．4 3B [设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴交点为M (m,0)，∴联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋my 2＝x ，可得y 2＝ty ＋m ，根据根与系数的关系得y 1·y 2＝－m .∵OA →·OB →＝6，∴x 1x 2＋y 1y 2＝6，即(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0.∵A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1·y 2＝－3， ∴m ＝3，设点A 在x 轴的上方，则y 1＞0， ∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，∴S 1＋4S 2＝12×3×(y 1－y 2)＋4×12×14y 1 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋12y 1＝2y 1＋92y 1≥6，当且仅当2y 1＝92y 1，即y 1＝32时取等号，∴S 1＋4S 2的最小值是6.]10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，以OF 2为直径作圆C ，再以CF 1为直径作圆E ，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为( )图19A.2＋63B.42－33C.42－32D.32＋62D [由题意，F 1P ⊥CP ，CP ＝12c ，CF 1＝32c ，所以PF 1＝2c ，又cos ∠PF 1F 2＝223＝2c 2＋4c 2－PF 222×2c ×2c，得PF 2＝63c ，所以PF 1－PF 2＝2c －63c ＝2a ，所以e ＝c a ＝32＋62，故选D.]11．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2D [设AB 的中点为M ，焦点为F (0,1)，过点M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN ，垂足为N ，过点A 作AC ⊥l 于点C ，过点B 作BD ⊥l 于点D ，则|MN |＝|AC |＋|BD |2|AF |＋|BF |2≥|AB |2＝3，当且仅当直线AB 过焦点F 时等号成立，所以AB的中点到x 轴的最短距离d min ＝3－1＝2.故选D.]12．(2018·长郡中学模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1，e 2的关系为( )A ．e 1＝13e 2B ．e 21＋13e 22＝4 C.1e 21＋3e 22＝4D ．e 21＋3e 22＝4C [设椭圆与双曲线的方程分别为x 2a 21＋y 2b 21＝1，x 2a 22－y 2b 22＝1满足a 21－b 21＝a 22＋b 22＝c 2，则根据椭圆及双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c .又因∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos ∠F 1PF 2，化简得a 21＋3a 22＝4c 2，故1e 21＋3e22＝4.] 二、填空题13．(2018·天津模拟)圆心在直线y＝－4x上且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为________．(x－1)2＋(y＋4)2＝8[∵圆心在直线y＝－4x上，设圆心C为(a，－4a)，圆与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则k PC＝4a－23－a＝1，∴a＝1.即圆心为(1，－4)．r＝|CP|＝(3－1)2＋(－4＋2)2＝22，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋4)＝8.]14．若双曲线x225－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于________．13[∵||PF1|－|PF2||＝2a＝10，∴|3－|PF2||＝10，∴|PF2|＝13或－7(舍)．]15．已知双曲线S与椭圆x29＋y234＝1的焦点相同，如果y＝34x是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为________．y2 9－x216＝1[∵椭圆方程为x29＋y234＝1，双曲线S与椭圆x29＋y234＝1的焦点相同，∴双曲线S的焦点坐标为(0，±5)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则c＝5，∵y＝34x是双曲线S的一条渐近线，∴ab＝34，∵c2＝a2－b2，∴a＝3，b＝4，∴双曲线S的方程为y29－x216＝1.]16．(2018·张掖市模拟)已知抛物线y2＝2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)，则x0的取值范围是________．(用区间表示)(1，＋∞)[设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，∴AB不平行于y轴，即x1≠x2，又|P A|＝|PB|，即(x1－x0)2＋y21＝(x2－x0)2＋y22，得(x1－x2)(x1＋x2－2x0)＝y22－y21，∵A，B是抛物线上的两点，∴y21＝2x1，y22＝2x2，代入上式，得x0＝1＋x1＋x22，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1＋x2＞0，即x0＞1，故答案为(1，＋∞)．]。

专题对点练257.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.9.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min=,所以d min=.14.解(1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。

专题对点练22直线与圆及圆锥曲线1.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.2.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN的面积为S,求的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.5.已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.(2018天津,文19)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.专题对点练22答案1.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.解(1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,所以椭圆的方程为=1(x≠-2).(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.∵A(-2,0)在椭圆=1上,∴x0×(-2)=,则x0=,∴|AM|=.同理|AN|=.所以S=|AM|·|AN|=.,令k2+1=t>1,,所以∈(0,6).4.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,所以+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).5.解(1)由题意,|RM|=|RF|,∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|,∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=,∴曲线E的方程为=1;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x,假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|.直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,∴y1+y2=,①y1y2=-4,②∵|AF|=|FB|,∴=-2,③∴由①②③解得k=±2.k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),解得A,B(2,2).直线与椭圆方程联立解得P,A.∵y B≠2y Q,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.同理可得k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点,∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.6.解(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.。

专题对点练25 7.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B 满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E :=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM 与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.2专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C 的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.39.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x 的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解 (1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M 满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,4线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min =,所以d min =.14.解 (1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E 的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ =d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ =.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.56 又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP 的方程为x=my-c (m>0),则直线FP 的斜率为.由(1)知a=2c ,可得直线AE 的方程为=1,即x+2y-2c=0, 与直线FP 的方程联立,可解得x=,y=,即点Q 的坐标为. 由已知|FQ|=c ,有, 整理得3m 2-4m=0,所以m=,即直线FP 的斜率为.②由a=2c ,可得b=c ,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0, 与椭圆方程联立消去y ,整理得7x 2+6cx-13c 2=0, 解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P ,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP. 因为QN ⊥FP ,所以|QN|=|FQ|·tan ∠QFN=, 所以△FQN 的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM 的面积等于, 由四边形PQNM 的面积为3c ,得=3c ,整理得c 2=2c ,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。

专题对点练257.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.9.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min=,所以d min=.14.解(1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。

专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.2.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右交点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,A是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN与x轴交于点Q,求证:|PN|·|QM|为定值.5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q 两点,O为坐标原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.6.已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点坐标;②若O为坐标原点,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)==0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.2.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.解(1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,联立解得则M(2k,-1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2= (|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积取最小值1.4.(1)解由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8.∴a=4,∴b2=a2-c2=4,e=.∴椭圆C的标准方程为=1,e=.(2)证明T(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),则=1.M(4,0),N(0,2),∴直线TN的方程为y-2=x,令y=0,得Q,直线TM的方程为y=(x-4),令x=0,得P.则|MQ|=,则|PN|=.|QM|·|PN|==16,∴|PN|·|QM|为定值16.5.解(1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=,∴x2+y2=.∵左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°,得圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ>0,得2k2+1>m2,(※)且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4, 即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4,化简得m2=,代入(※)得k≠0.又m2==1+=1+.由k≠0,得>0,∴>0,∴m2>1,得m的取值范围为m<-1或m>1.6.解(1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),由题意可得a2-b2=2,e=,c=,解得a=,b=1,即有椭圆的标准方程为+x2=1;(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由A(0,-),直线AM与AN的斜率之积为1,可得=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,则+3,化为t2+3t+6=0,解得t=-2(-舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点坐标为(0,-2);②由①可得=x1x2+y1y2==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,即有-3,由m>12,可得-3<-3<.则的取值范围是.7.解(1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为, 则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d=,令=t∈,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)= -2t在上是减函数,所以d∈.。

专题对点练257.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM 与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.9.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min=,所以d min=.14.解(1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。

高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。

此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。

2专题二：数列、推理与证明。

数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。

3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。

平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。

近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。

平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。

4专题四：立体几何。

注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。

5专题五：解析几何。

直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。

近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。

我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

6专题六：概率与统计、算法与复数。

要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。

高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。

高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。

专题对点练直线与圆及圆锥曲线
.设为曲线上两点与的横坐标之和为.
()求直线的斜率;
()设为曲线上一点在处的切线与直线平行,且⊥,求直线的方程.
.(全国Ⅱ,文)设抛物线的焦点为,过且斜率为(>)的直线与交于两点.
()求的方程.
()求过点且与的准线相切的圆的方程.
.在平面直角坐标系中,已知圆:()和:(),动圆与圆外切,与圆内切.
()求圆心的轨迹的方程;
()过()作两条互相垂直的直线分别交曲线于两点,设的斜率为(>),△的面积为,求的取值范围. .在平面直角坐标系中,以坐标原点为圆心的圆与直线相切.
()求圆的方程;
()若圆上有两点关于直线对称,且,求直线的方程;
()圆与轴相交于两点,圆内的动点使成等比数列,求的取值范围.
.已知点()()为平面直角坐标系内两定点,点是以为圆心为半径的圆上任意一点,线段的垂直平分线交于点.
()点的轨迹为曲线,求曲线的方程;
()抛物线的顶点在坐标原点为其焦点,过点的直线与抛物线交于两点,与曲线交于两点,请问:是否存在直线使是线段的四等分点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
.(天津,文)设椭圆(>>)的右顶点为,上顶点为.已知椭圆的离心率为.
()求椭圆的方程;
()设直线(<)与椭圆交于两点与直线交于点,且点均在第四象限.若△的面积是△面积的倍,求的值.
专题对点练答案
.解()设()(),则≠,于是直线的斜率.
()由,得'.
设(),由题设知,解得,于是().
设直线的方程为,故线段的中点为().
将代入得.
当Δ()>,即>时±.
从而.
由题设知,即(),。

解析几何1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π6，π)2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋yb ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．答案152613 4．两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．[问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 答案 －1 12 m ≠3且m ≠－1 35．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16．直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切． (2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当|O 1O 2|>r 1＋r 2时，两圆外离；②当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2时，两圆相交；④当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|时，两圆内含．[问题6] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．答案 内切7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：Fl ，否则定点的轨迹可能是过点F 且垂直于直线l 的一条直线．[问题7] 已知平面内两定点A (0,1)，B (0，－1)，动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 23＋y 24＝18．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(4)抛物线标准方程焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p >0)； 焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)．[问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为________．答案 4x 29－y 24＝19．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则(1)焦半径|CF |＝x 1＋p 2；(2)弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[问题9] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案 54解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误例1 已知直线x sin α＋y ＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________． 错解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，34π.找准失分点 直线斜率k ＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续． 正解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当－1≤k <0时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎭⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4. 故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π 易错点2 忽视斜率不存在情形致误例2 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．错解 直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t， 直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1， 解得t ＝－1.找准失分点 (1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形． 正解 方法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时，由k 1·k 2＝－1得，t ＝－1. (2)若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上t ＝－1或t ＝1.方法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0⇔t ＝1或t ＝－1. 答案 －1或1易错点3 忽视“判别式”致误例3 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 错解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2， 故所求直线方程为2x －y －1＝0.错解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以符合题设条件的直线的方程为2x －y －1＝0.找准失分点 没有判断直线2x －y －1＝0与双曲线是否相交． 正解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为 y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2>32， 故不存在被点A (1,1)平分的弦．正解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1①x 22－y222＝1 ②式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③因为A (1,1)为线段PQ 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝12(y 1－y 2)．若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.所以直线l 的方程为2x －y －1＝0， 再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x 2－y 22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0.根据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．1．(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D解析 方法一 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，OA ＝1， 则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.故D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3]．2．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，1 B.⎝⎛⎭⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎫0，22解析 由于m 、n 可互换而不影响，可令m >n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 2n ＝1，x 2＋y 2＝m －n ，则x 2＝2m ·n －m 2n －m ，若两曲线无交点，则x 2<0，即m <2n ，则e ＝ m －nm< m －m 2m ＝22， 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知点F 1、F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是()A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)， PF →2＝(1－x 0，－y 0)．∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2，∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1.∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.5．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.6．(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．一直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，则此弦所在的直线方程为________．答案 x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0解析 ①当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3， 代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4. 所以弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．②当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， 所以|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3，解得k ＝－34，所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 向其一条渐近线作垂线，垂足为M ，已知∠MFO＝30°(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________． 答案 2解析 由已知得点F 的坐标为(c,0)(c ＝a 2＋b 2)， 其中一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则|MF |＝bca 2＋b 2＝b ， 由∠MFO ＝30°可得|MF ||OF |＝b c ＝cos 30°＝32，所以c 2－a 2c ＝32，所以e ＝ca＝2.10．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b)，所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52.。

解析几何小题基础练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)一、单选题1.(2023·福建莆田·统考二模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|=()A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】根据AF中点的横坐标求出A点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：F1,0，准线方程为x=-1，设A m,n，则AF中点的横坐标为m+1 2，故m+12=2，解得：m=3，由抛物线的焦半径可知：|AF|=3+1=4.故选：B2.(2023·广东惠州·统考模拟预测)“m>2”是“方程x22-m +y2m+1=1表示双曲线”的( )条件A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用集合法进行求解.【详解】因为方程x22-m+y2m+1=1表示双曲线，所以2-mm+1<0，解得m<-1或m>2.即m∈(-∞,-1)∪(2,+∞).因为(2,+∞)是(-∞,-1)∪(2,+∞)的真子集，所以“m>2”是“方程x22-m+y2m+1=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B．3.(2023·浙江·统考一模)设直线y=2x与抛物线y=x-32交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的横坐标是()A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】直接联立直线方程与抛物线方程，消y整理得x2-8x+9=0，利用韦达定理以及中点坐标公式即可得解．【详解】联立y=2xy=x-32，消y整理得x2-8x+9=0，则x A+x B=8，所以x M=x A+x B 2=4．故选：B．4.(2023·浙江·校联考模拟预测)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，若a-c=4，b=6，则C的离心率为()A.512B.35C.513D.1213【答案】C【分析】由a-c=4b=6a2=b2+c2解出a=132,c=52，再由离心率公式计算即可.【详解】由a-c=4b=6a2=b2+c2，解得a=132,c=52，即C的离心率为ca=52×213=513.故选：C5.(2023·江苏·统考一模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F c,0，点P，Q在直线x=a2c 上，FP⊥FQ，O为坐标原点，若OP⋅OQ=2OF2，则该椭圆的离心率为()A.23B.63C.22D.32【答案】B【分析】根据平面向量数量积的坐标运算公式和离心率公式求解.【详解】依题意，设Pa2c,m，Q a2c,n，则FP ⋅FQ =a2c-c2+mn=0，又OP⋅OQ=a2c2+mn=2c2，两式做差可得a2c2-a2c-c2=2c2即2a2=3c2，所以e=ca=63.故选；B6.(2023·广东肇庆·统考二模)已知F为双曲线C:x24-y25=1的左焦点，P为其右支上一点，点A0,-6，则△APF周长的最小值为()A.4+62B.4+65C.6+62D.6+65【答案】B【分析】设双曲线的右焦点为M，由双曲线方程可求出a，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出△APF的周长的最小值．【详解】设双曲线的右焦点为M，由双曲线的方程可得：a2=4,b2=5，则a=2,b=5,c=3，所以F(-3,0),M(3,0)，且|PF|-|PM|=2a=4，所以|PF|=|PM|+4，△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PM|+4+∣AF=PA+PM+4+35≥AM+4+35=4+65，当且仅当M，P，A三点共线时取等号，则△APF周长的最小值为4+65．故选：B．7.(2023·广东佛山·统考一模)已知双曲线C的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线4x+3y-20=0与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为()A.54B.43C.53D.74【答案】C【分析】根据条件得到渐近线方程为y=±34x，分类讨论双曲线焦点在x轴和y轴的情况，求出e即可.【详解】解：根据渐近线与直线4x+3y-20=0垂直可得渐近线方程为y=±34 x，当双曲线的焦点在x轴上时渐近线为y=±bax，即ba=34，因为双曲线的虚轴比实轴长，故不符合题意，舍去，当双曲线的焦点在y轴上时渐近线为y=±abx，即ab=34，满足虚轴比实轴长，所以a b=ac 2-a 2=1e 2-1=34，解得e =53或e =-53(舍去)，所以e =53.故选：C ．8.(2023·江苏常州·校考一模)设点A -2,3 ,B 0,a ，若直线AB 关于y =a 对称的直线与圆(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围是()A.13,32B.-∞,13 ∪32+∞ C.12,1 D.-∞,12 ∪1+∞【答案】A【分析】根据直线关于直线的对称性求出直线AB 关于y =a 对称的直线方程，结合直线与圆的位置关系计算即可求解.【详解】由题意知，直线AB 的斜率为k AB =a -32，所以直线AB 关于y =a 对称的直线的斜率为k =3-a2，故对称直线的方程为y -a =k (x -0)，即(3-a )x -2y +2a =0，由(x +3)2+(y +2)2=1知，圆心为(-3,-2)，半径为1，因为对称直线与圆有公共点，所以3(a -3)+4+2a4+(3-a )2≤1，整理，得6a 2-11a +3≤0，解得13≤a ≤32，即实数a 的取值范围为13,32.故选：A .二、多选题9.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知双曲线x 2-y 23=1的右顶点为A ，右焦点为F ，双曲线上一点P 满足PA =2，则PF 的长度可能为()A.2B.3C.4D.5【答案】AB【分析】设P x ,y ，根据点P 在双曲线上且PA =2，则可求得x 的值，从而可求得y 的值，进而可求得PF 的长度．【详解】设P x ,y ，则y 2=3x 2-1 ，A 1,0 ，F 2,0 ，则PA =(x -1)2+y 2=2，得x =-1或32，当x =-1时，P -1,0 ，此时PF =3，当x=32时，y2=154，此时PF=32-22+154=2．故选：AB．10.(2023·山东枣庄·统考二模)已知曲线C1：5x2+y2=5，C2：x2-4y2=4，则()A.C1的长轴长为5B.C2的渐近线方程为x±2y=0C.C1与C2的离心率互为倒数D.C1与C2的焦点相同【答案】BC【分析】将曲线C1，C2化为标准方程，可知分别表示椭圆与双曲线，结合它们的几何性质逐项判断即可．【详解】曲线C1:5x2+y2=5整理得y25+x2=1，则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中a21=5,b21=1，所以c21=a21-b21=4，离心率为e1=c1a1=25=255，故曲线C1的长轴长2a1=25，故A错误；曲线C2:x2-4y2=4整理得x24-y2=1，则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线，其中a22=4,b22=1，所以c22=a22+b22=5，离心率为e2=c2a2=52，C2的渐近线方程为y=±12x，即x±2y=0，故B正确；e1⋅e2=255×52=1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故C正确；C1的焦点在y轴上，C2的焦点在x轴上，焦点位置不同，故D错误．故选：BC.11.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)若椭圆x2m2+2+y2m2=1(m>0)的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有()A.5B.7C.2D.2【答案】BCD【分析】讨论两顶点的位置，由椭圆的性质结合勾股定理求解.【详解】由题意可知，a=m2+2,b=m2=m，若这两个顶点为长轴的两个端点时，2m2+2=4,m=2；若这两个顶点为短轴的两个端点时，2m=4,m=2；若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，m2+2+m2=4,m=7；故选：BCD12.(2023·湖北·校联考模拟预测)已知F1,F2是椭圆E:y24+x23=1的两个焦点，点P在椭圆E上，则A.点F 1,F 2在x 轴上B.椭圆E 的长轴长为4C.椭圆E 的离心率为12D.使得△F 1PF 2为直角三角形的点P 恰有6个【答案】BC【分析】根据椭圆的方程可判断椭圆焦点的位置，以及求出长轴的长，计算出离心率，判断A ，B ，C ；结合向量的坐标运算判断∠F 1MF 2为锐角，根据椭圆对称性可判断D .【详解】由题意E :y 24+x 23=1的长半轴长a =2，短半轴长b =3，焦半距c =1，椭圆E :y 24+x 23=1的焦点在y 轴上，A 错误；椭圆E 的长轴长为2a =4，B 正确；椭圆E 的离心率为c a =12，C 正确；椭圆的右顶点M (3,0)，焦点F 1(0,-1),F 2(0,1)，所以MF 1 =(-3,-1),MF 2 =(-3,1),cos ‹MF 1 ,MF 2 ›=MF 1 ⋅MF 2MF 1 ⋅MF 2=12>0，则‹MF 1 ,MF 2 ›∈0,π2，即∠F 1MF 2为锐角，故根据椭圆的对称性可知，使得△F 1PF 2为直角三角形的点P 恰有4个(以F 1或F 2为直角)，D 错误．故选：BC ．13.(2023·湖南长沙·统考一模)已知双曲线的方程为y 264-x 216=1，则()A.渐近线方程为y =±12xB.焦距为85C.离心率为52 D.焦点到渐近线的距离为8【答案】BC【分析】A 选项，先判断出双曲线焦点在y 轴上，利用公式求出渐近线方程；B 选项，求出c =45，得到焦距；C 选项，根据离心率公式求出答案；D 选项，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】y 264-x 216=1焦点在y 轴上，故渐近线方程为y =±a b x =±2x ，A 错误；c 2=64+16=80，故c =45，故焦距为85，B 正确；离心率为c a =458=52，C 正确；焦点坐标为0,±45 ，故焦点到渐近线y =±2x 的距离为±454+1=4，D 错误.14.(2023·湖南·模拟预测)已知圆C 1：x -1 2+y -3 2=12与圆C 2：x +1 2+y -m 2=4，则下列说法正确的是()A.若圆C 2与x 轴相切，则m =±4B.直线kx -y -2k +1=0与圆C 1始终有两个交点C.若m =-3，则圆C 1与圆C 2相离D.若圆C 1与圆C 2存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x +6-2m y +m 2+2=0【答案】BC【分析】选项A ：若圆C 2与x 轴相切，则m 等于圆的半径；选项B ：直线恒过定点2,1 ，点2,1 在圆C 1内部，故直线与圆C 1始终有两个交点；选项C ：利用圆心距与半径之和的关系，判断两圆是否外离；选项D ：若圆C 1与圆C 2有公共弦，联立两个圆的方程可得公共弦所在的直线方程为．【详解】对于选项A ：圆C 2：x +1 2+y -m 2=4，半径为2，若圆C 2与x 轴相切，则m =±2，故A 错误；对于选项B ：直线kx -y -2k +1=0，即y -1=k x -2 ，恒过定点2,1 ，又由2-1 2+1-3 2=5<12，则点2,1 在圆C 1内部，故直线kx -y -2k +1=0与圆C 1始终有两个交点，故B 正确；对于选项C ：若m =-3，圆C 2为x +1 2+y +3 2=4，其圆心为-1,-3 ，半径r =2，圆C 1：x -1 2+y -3 2=12，其圆心为1,3 ，半径R =23，圆心距d =C 1C 2 =4+36=210>R +r ，两圆外离，故C 正确；对于选项D ：若圆C 1与圆C 2有公共弦，联立两个圆的方程可得4x +6-2m y +m 2-1=0即公共弦所在的直线方程为4x +6-2m y +m 2-1=0，故D 错误．故选：BC ．15.(2023·广东江门·统考一模)已知曲线C :x 2sin α+y 2cos α=10≤α<π ，则下列说法正确的是()A.若曲线C 表示两条平行线，则α=0B.若曲线C 表示双曲线，则π2<α<πC.若0<α<π2，则曲线C 表示椭圆 D.若0<α<π4，则曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆【答案】BD【分析】根据曲线的形状求出参数α的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若曲线C 表示两条平行线，则有sin α=0或cos α=0，且0≤α<π.若sin α=0，则α=0，此时曲线C 的方程为y 2=1，可得y =-1或y =1，合乎题意，若cos α=0，则α=π2，此时曲线C 的方程为x 2=1，可得x =-1或x =1，合乎题意，故A 错；对于B 选项，若曲线C 表示双曲线，则sin αcos α<0，由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0，可得cos α<0，则π2<α<π，B 对；对于C 选项，若曲线C 表示椭圆，则sin α>0cos α>00≤α<πsin α≠cos α ，解得0<α<π2且α≠π4，C 错；对于D 选项，若0<α<π4，则0<sin α<cos α，则1sin α>1cos α>0，曲线C 的方程可化为x 21sin α+y 21cos α=1，此时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，D 对.故选：BD .16.(2023·浙江·校联考模拟预测)已知圆O 1:(x -1)2+y 2=4，圆O 2:(x -5)2+y 2=4m ，下列说法正确的是()A.若m =4，则圆O 1与圆O 2相交B.若m =4，则圆O 1与圆O 2外离C.若直线x -y =0与圆O 2相交，则m >258D.若直线x -y =0与圆O 1相交于M ，N 两点，则|MN |=142【答案】AC【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.【详解】解：圆O 1:(x -1)2+y 2=4的圆心O 11,0 ，半径r 1=2若m =4，O 2:(x -5)2+y 2=16，则圆心O 25,0 ，半径r 2=4，则O 1O 2=4,r 1+r 2=6,r 1-r 2 =2，所以r 1-r 2 <O 1O 2<r 1+r 2，则圆O 1与圆O 2相交，故A 正确，B 错误；若直线x -y =0与圆O 2相交，则圆心O 25,0 到直线x -y =0的距离d =5-02<4m ，解得m >258，故C 正确；若直线x -y =0与圆O 1相交于M ，N 两点，则圆心O 11,0 到直线x -y =0的距离d =1-02=22，所以相交弦长MN =2r 21-d 2=24-222=14，故D 错误.故选：AC .三、填空题17.(2023·山东青岛·统考一模)已知O 为坐标原点，在抛物线y 2=2px p >0 上存在两点E ，F ，使得△OEF 是边长为4的正三角形，则p =．【答案】3 3【分析】根据抛物线的对称性以及边长可得E23,2，进而代入抛物线方程即可求解.【详解】根据抛物线的对称性可知：由△OEF为等边三角形，所以E,F关于坐标轴x对称，由EO=4,∠AOx=30°，所以E23,2,将E23,2代入可得4=43p⇒p=3 3，故答案为：3 318.(2023·浙江·统考一模)已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2-y2=1a>0的左右焦点，且C上存在点P使得PF1=4PF2，则a的取值范围是．【答案】34,+∞【分析】根据双曲线的定义结合条件可得PF1=8a3，PF2=2a3，进而可得103a≥2a2+1，即得.【详解】因为PF1=4PF2，双曲线C:x2a2-y2=1a>0，又PF1-PF2=2a，所以PF1=8a3，PF2=2a3，又103a=PF1+PF2≥F1F2=2c=2a2+1，解得a≥3 4，即a的取值范围是34,+∞.故答案为：34,+∞.19.(2023·浙江温州·统考二模)已知抛物线y2=4x和椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点，且抛物线的焦点F也是椭圆的焦点，若直线AB过点F，则椭圆的离心率是．【答案】2-1##-1+2【分析】由题意可判断AB为抛物线和椭圆的通径，通过通径的公式可求出a、c的值，进而求出椭圆的离心率.【详解】显然c =p2=1，由对称性易知AB 为双通径，所以4=2b 2a ⇒b 2=2a ⇒a 2-c 2=2a ⇒a 2-2a -1=0⇒a =1+2，所以e =c a =11+2=2-1．故答案为：2-1.20.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)直线y =23x 与双曲线x 2a2-y 28=1(a >0)相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的横坐标之积为-9，则离心率e =.【答案】213##1321【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a ，进一步求出离心率【详解】由A ，B 两点在直线y =23x 上，设A x 0,23x 0 (x 0>0)，因为A ，B 两点关于原点对称，所以B -x 0,-23x 0 ，由A ，B 两点的横坐标之积为-9得x 0×(-x 0)=-9，解得x 0=3，所以A 3,2 ，代入双曲线方程得9a2-48=1，所以a =6，所以c =a 2+b 2=14，所以离心率为ca=146=213.故答案为：21321.(2023·江苏泰州·统考一模)已知圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)，设直线x +3y -3=0与两坐标轴的交点分别为A ,B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足AP =BP ，则r 的值为.【答案】12##0.5【分析】根据AP =BP 可得P 在AB 的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.【详解】A 3,0 ,B 0,1 ,PA =PB ,∴P 在AB 的垂直平分线上，k AB =-33,所以中垂线的斜率为3，AB 的中点为32,12，由点斜式得y -12=3x -32，化简得y =3x -1，P 在圆O :x 2+y 2=r 2满足条件的P 有且仅有一个，∴直线y =3x -1与圆相切，∴r =d =13+1=12，故答案为:12.22.(2023·江苏·统考一模)已知圆C :x 2-2x +y 2-3=0，过点T 2,0 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，点P 在圆C 上，若CP ∥AB ，PA ⋅PB =12，则AB =【答案】15【分析】根据向量的加减法运算可得PA ⋅PB =PD 2-AB 24，再根据圆的性质可得PD 2=PC 2+CD 2=PC 2+AC 2-AB 24即可求解.【详解】易知圆心1,0 ，半径r =2，取AB 中点D ，则CD ⊥AB ，因为PD =12(PA +PB ),AB =PB -PA ，所以PD 2-14AB 2=14(PA +PB )2-14(PB -PA )2=PA ⋅PB ，所以PA ⋅PB =PD 2-AB 24，则PD 2=AB 24+12，又PD 2=PC 2+CD 2=PC 2+AC 2-AB 24，所以AB 24+12=PC 2+AC 2-AB 24即AB 2=15，故AB =15.故答案为:15.23.(2023·江苏·统考一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为.【答案】3【分析】根据题意分别设出点B ,P ,A 的坐标，根据AP ⊥PF 可建立变量之间的等式，再根据A 、B 、F 在一条直线上，可再建立一个等式，两等式联立求出点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求得结果.【详解】解：因为抛物线y 2=4x ，所以F 1,0 ，根据题意不妨设B m 24,m ，P -1,m ，A 0,n ，因为AP ⊥PF ，所以AP ⋅PF =0，即1,n -m ⋅2,-m =0，解得2-mn +m 2=0，即2=m n -m ①，因为A 、B 、F 三点共线，所以k AF =k BF ，即n -1=mm 24-1，即m 2n -4n +4m =0，即m 2n =4n -m ②，①除以②可得，2m 2n=m 4，即m 3n =8，即n =8m 3，将n =8m 3代入①中可得2-8m2+m 2=0,即m 4+2m 2-8=0，解得m 2=-4(舍)或m 2=2，所以m =±2，代入n =8m3中可得n =±22，所以AF =1+n 2=3.故答案为：324.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知圆M 满足与直线l :x -6=0和圆N :x -1 2+y -2 2=9都相切，且直线MN 与l 垂直，请写出一个符合条件的圆M 的标准方程．【答案】x -5 2+y -2 2=1(答案不唯一)【分析】不妨设圆M 与圆N 外切，根据直线MN 与l 垂直，可得圆M 的纵坐标，由两圆的位置关系列出横坐标和半径的等量关系，求解可得圆M 的一个方程.【详解】由条件可知：直线x =6与圆N 相离，不妨设圆M 与圆N 外切，设M a ,b ，半径为r ，因为直线MN 与l 垂直，所以b =2，则有r =6-a a -1=r +3 ，解得：a =5b =2r =1，所以圆M 的标准方程为：x -5 2+y -2 2=1.故答案为：x -5 2+y -2 2=125.(2023·湖北·校联考模拟预测)过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的射线与抛物线交于点A ，与准线交于点B ，若|AF |=2,|BF |=6，则p 的值为.【答案】3【分析】作出辅助线，结合焦半径公式和AMDF =AB BF 求出答案.【详解】过点A 作AM ⊥准线于点M ，则AM =AF =2，∵|AF |=2,|BF |=6，∴|AB |=4，由AM ⎳DF 可得：AM DF =AB BF ，即2p =46，解得：p =3，故答案为：326.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)若两条直线l 1:y =3x +m ,l 2:y =3x +n 与圆x 2+y 2+3x +y +k =0的四个交点能构成矩形，则m +n =.【答案】8【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.【详解】由题意直线l 1,l 2平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆x 2+y 2+3x +y +k =0的圆心为：-32,-12 ，圆心到l 1:y =3x +m 的距离为：d 1=3×-32 --12 +m10=m -410，圆心到l 2:y =3x +n 的距离为：d 2=3×-32 --12 +n 10=n -4 10，所以m -4 10=n -410⇒m -4 =n -4 ，由题意m ≠n ，所以m -4=4-n ⇒m +n =8，故答案为：8.27.(2023·广东茂名·统考一模)过四点-1,1 、1,-1 、2,2 、3,1 中的三点的一个圆的方程为(写出一个即可).【答案】x -1 2+y -1 2=4(答案不唯一)【分析】利用圆的一般式方程求过三点的圆.【详解】过-1,1 ，1,-1 ，3,1 时，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则2-D +E +F =02+D -E +F =010+3D +E +F =0 ，解得D =-2E =-2F =-2，圆的方程是：x 2+y 2-2x -2y -2=0，即x -1 2+y -1 2=4；同理可得：过1,-1 、2,2 、3,1 时，圆的方程是：x -32 2+y -122=52；过-1,1 ，1,-1 ，2,2 时，圆的方程是：x -34 2+y -34 2=5016；过-1,1 ，2,2 ，3,1 时，圆的方程是：x -1 2+y 2=5.故答案为：x -1 2+y -1 2=4.(x -1 2+y -1 2=4、x -32 2+y -12 2=52、x -34 2+y -34 2=5016、x -1 2+y 2=5写其中一个即可)28.(2023·广东·统考一模)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的边AB 所在直线斜率为23，则边AC 所在直线斜率的一个可能值为.【答案】-335或37【分析】由等边三角形的性质和直线的倾斜角与斜率的关系以及两角和与差的正切公式，得出边AC 所在直线斜率.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，由已知得k AB =tan α=23，设直线AC 的倾斜角为θ，则k Ac =tan θ，因为在等边三角形ABC 中，∠BAC =60°，所以θ=α±60°，当θ=α+60°，tan θ=tan (α+60°)=tan α+tan60°1-tan αtan60°=23+31-23×3=-335，所以k AC =tan θ=-335当θ=α-60°，tan θ=tan (α-60°)=tan α-tan60°1+tan αtan60°=23-31+23×3=37，所以k AC =tan θ=37综上，k AC =-335或k AC =37，故答案为：-335或3729.(2023·广东·统考一模)已知动圆N 经过点A -6,0 及原点O ,点P 是圆N 与圆M :x 2+(y -4)2=4的一个公共点,则当∠OPA 最小时,圆N 的半径为.【答案】5【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时∠OPA 最小,根据位置关系可得圆N 的半径.【详解】如图:记圆N 半径为R ,∠OPA =θ,则∠ANO =2θ,∠BNO =θ,所以sin ∠OPA =sin ∠BNO =BOON =3R,当∠OPA 最小时,R 最大,此时两圆内切.由已知设动圆N 的圆心为N -3,t ,又圆心M 0,4 可得R -2=MN即(-3-0)2+(t -0)2-2=(-3-0)2+(t -4)2,解得t =4,所以R =5,即圆N 的半径为5.故答案为:5.30.(2023·浙江温州·统考模拟预测)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，点M 在C 上，且MF 1 ⋅MF 2 的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为．【答案】22##122.【分析】先结合椭圆的定义表示出MF 1 ⋅MF 2 =MF 1 2a -MF 1 ，化简后结合MF 1 的范围可求出MF 1 ⋅MF 2 的最值，然后列方程可表示出a ,c 的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】因为MF 1 +MF 2 =2a ，所以MF 1 ⋅MF 2 =MF 1 2a -MF 1 =-MF 1 2+2a MF 1 =-MF 1 -a 2+a 2，所以当MF 1 =a 时，MF 1 ⋅MF 2 取得最大值a 2，因为MF 1 =[a -c ,a +c ]，所以MF 1 ⋅MF 2 的最小值为-c 2+a 2=b 2，因为MF 1 ⋅MF 2 的最大值是它的最小值的2倍，所以a 2=2b 2，所以c 2=a 2-b 2=b 2，所以a =2b ,c =b ，所以椭圆的离心率为e =c a =b 2b =22，故答案为：22.。

专题对点练组合练(限时分钟,满分分)一、选择题(共小题,满分分).直线与圆()()相交所得弦长为()...圆的圆心到直线的距离为,则()..圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是().已知直线(∈)是圆的对称轴,过点()作圆的一条切线,切点为,则为().若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()....已知点()是直线(>)上一动点是圆的两条切线为切点,若四边形面积的最小值是,则的值是()...(全国Ⅲ,文)已知双曲线(>>)的离心率为,则点()到的渐近线的距离为()...已知双曲线(>>)的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,△是边长为的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为().已知离心率为的双曲线(>>)的左、右焦点分别为是双曲线的一条渐近线上的点,且⊥为坐标原点,若,则双曲线的实轴长是()二、填空题(共小题,满分分).设抛物线的焦点为,准线为,已知点在上,以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点,若∠°,则圆的方程为. .(江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线(>>)的右焦点()到一条渐近线的距离为,则其离心率的值为..(浙江)已知点(),椭圆(>)上两点满足,则当时,点横坐标的绝对值最大.三、解答题(共个题,满分分别为分分分).已知在三角形中()(),且.()求动点的轨迹的方程;()为轨迹上动点,△的外接圆为☉(为圆心),当在上运动时,求点到轴的距离的最小值..已知点(),椭圆(>>)的离心率为是椭圆的右焦点,直线的斜率为为坐标原点.()求的方程;()设过点的动直线与相交于两点,当△的面积最大时,求的方程..已知椭圆(>>)的左焦点为(),右顶点为,点的坐标为(),△的面积为.()求椭圆的离心率;()设点在线段上,延长线段与椭圆交于点,点在轴上∥,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为.①求直线的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练答案解析圆()()的圆心坐标为(),半径,圆心到直线的距离,故弦,故选.解析由,得()(),所以圆心坐标为().因为圆的圆心到直线的距离为,所以,解得,故选.解析由,得()(),∴圆半径.圆上的点到直线的最大距离与最小距离分别是,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线的最大距离与最小距离的差是,故选.解析由,得()(),∴圆心().由题意可得,直线经过圆的圆心(),则,∴,故点().∵,∴切线的长.解析圆的内接四边形对角互补,因为轴与轴垂直,所以与垂直.所以××,解得,直线与坐标轴的交点为(),(),与坐标轴的交点为,(),两直线的交点纵坐标为,。

高考数学二轮复习7大专题、62个高频考点七大专题专题一函数与不等式以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点。

函数的性质：着重掌握函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性。

这些性质通常会综合起来一起考查，并且有时会考查具体函数的这些性质，有时会考查抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向、与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间、极值及最值的目的。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法、均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列以等差、等比数列为载体，考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法。

这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形三角函数是每年必考的知识点，难度较小。

选择、填空、解答题中都有涉及。

有时候考查三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域；有时候考查三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦、余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考查建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离、线面角、二面角等。

另外，需要掌握棱锥、棱柱的性质。

在棱锥中，着重掌握三棱锥、四棱锥；棱柱中，应该掌握三棱柱、长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考查的方法为间接证明。

专题五：解析几何直线与圆锥曲线的位置关系，动点轨迹的探讨，求定值、定点、最值这些为近年来考的热点问题。

2024年对口高考数学二轮复习专题七：直线与圆的方程1．直线与圆的位置关系：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心到直线l 的距离d ＝||Aa ＋Bb ＋C A 2＋B 2．若l 与圆C 相离⇔d >r ；l 与圆C 相切⇔d ＝r ；l 与圆C 相交⇔d <r .若通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两解，即Δ>0，则相交；若有一解，即Δ＝0，则相切；若无解，即Δ<0，则相离． 2．圆的弦和切线：圆的半径为r ，直线l 与圆相交于A 、B ，圆心到l 的距离为d ，则|AB |＝2r 2－d 2．过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．练习1、已知直线l 经过两条直线2x ﹣3y +10＝0和x +2y ﹣2＝0的交点．且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0，则直线l 的方程为（ ）A ．2x +3y ﹣2＝0B ．2x +3y +2＝0C ．2x ﹣3y +10＝0D ．2x ﹣3y ﹣10＝02、若直线3x +4y +k ＝0与圆x 2+y 2﹣6x +5＝0相切，则k 的值为（ ）A ．﹣1或19B ．1或﹣19C ．1D ．±103、直线x ﹣y +8＝0与圆x 2+y 2＝r 2相切，则r 的值是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．4、已知过点P （2，2）的直线l 与圆（x ﹣1）2+y 2＝5相切，则直线l 的斜率为（ ）A ．1B ．C ．2D ．5、过圆x 2+（y ﹣1）2＝9外一点P （3，5）向圆引切线，则点P 与切点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56、已知点P 在直线l ：x ﹣y ﹣6＝0上，点Q 在圆O ：x 2+y 2＝2上，则|PQ |的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0上的点到直线x +y ﹣14＝0的最大距离与最小距离的差是（ ）A ．30B ．18C ．6D ．58、已知直线x ﹣y ﹣4＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 是圆x 2+y 2＝2上的一个动点，则△ABP 面积的取值范围是（ ）A ．[4，8]B ．[4，12]C ．[8，12]D ．[12，16]9、从点P （4，5）向圆（x ﹣2）2+y 2＝4引切线，切线方程为________________________10、过点（1，2）作圆x 2+y 2＝5的切线，则切线方程为（ ）A ．x ＝1B ．3x ﹣4y +5＝0C ．x +2y ﹣5＝0D ．x ＝1或x +2y ﹣5＝011、过点P （2，1）作圆x 2+y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在的直线方程为 ．12、过点P （2，1）作圆x 2+y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则|AB |＝13、过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线(O 为坐标原点)，切点分别为A ，B ，则P A →·PB→＝____14、过直线0x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．15、如图所示，已知两点A （﹣3，0），B （3，2）在圆C 上，直线：x +y ﹣2＝0过圆心C 。

专题七 解析几何 第一讲 直线与圆1.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( )A.5B.5C.5D.52.下列说法中不正确的是( )A.平面上任一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示B.当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示的直线过原点C.当0,0,0A B C =≠≠时,方程0Ax By C ++=表示的直线与 x 轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化3.已知设点M 是圆224690C x y x y +--+=上的动点，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值为( )2 2- 2+ 2 4.已知直线1l ，2l 分别过点(1,3)P -，(2,1)Q -，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,)+∞D.5.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.D.6.已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,过点()1,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A.1B.2C.4D.87.已知点(2,0),(1,1)A B --，射线AP 与x 轴的正方向所成的角为π4，点Q 满足||1QB =，则||PQ 的最小值为( )1 B.1 C.1 18.（多选）已知直线12:210,:20l ax y a l x ay a --+=+--=,圆22:4240E x y x y +-+-=,则以下命题正确的是( )A.直线12,l l 均与圆E 不一定相交B.直线1l 被圆E 截得的弦长的最小值C.直线2l 被圆E 截得的弦长的最大值6D.若直线1l 与圆E 交于2,,A C l 与圆E 交于,B D ,则四边形ABCD 面积最大值为14 9. （多选）已知圆221:()1C x a y ++=，圆2222:()(2)2C x a y a a -+-=，下列说法正确的是( )A.若12C OC △（O 为坐标原点）的面积为2，则圆2C 的面积为2πB.若a ，则圆1C 与圆2C 外离C.若a ，则y x =1C 与圆2C 的一条公切线D.若a 1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为610. （多选）已知直线11:0l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a ∈R ，则下列结论中正确的是( )A.不论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直B.当a 变化时，1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -C.不论a 为何值，1l ，2l 都关于直线0x y +=对称D.若1l ，2l 相交于点M ，则MO11.过两直线10x +=0y +的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________________.12.圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=的交点为A ，B ，则弦AB 的长为_____.13.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若存在圆C 的弦AB ，使得AB =，且其中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是___________.14.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以20,5E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.15.已知半圆224(0)x y y +=≥，动圆与此半圆相切（内切或外切，如图），且与x 轴相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹.（2）是否存在斜率为13的直线l ，它与（1）中所得的轨迹由左至右顺次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足||2||AD BC =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：设圆心为()00,P x y ，半径为r ，圆与x 轴，y 轴都相切，00x y r ∴==，又圆经过点(2,1)，00x y r ∴==且()()2220021x y r -+-=，222(2)(1)r r r ∴-+-=，解得1r =或5r =.①1r =时，圆心(1,1)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==②5r =时，圆心(5,5)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==故选B. 2.答案：D解析：对于选项A,在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,当90α≠︒时,直线的斜率k 存在,其方程可写成y kx b =+,它可变形为0kx y b -+=,与0Ax By C ++=比较,可得,1,A k B C b ==-=；当90α=︒时,直线的斜率不存在,其方程可写成1x x =,与0Ax B C ++=比较,可得11,0,A B C x ===-,显然,A B 不同时为0,所以此说法是正确的.对于选项B,当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0),即0Ax By +=,显然有000A B ⨯+⨯=,即直线过原点()0,0,故此说法正确.对于选项C,因为当0A =,0,0B C ≠≠时,方程0Ax By C ++=可化为Cy B=-,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.D 说法显然错误. 3.答案：B解析：由题意可知圆心(2,3)C ，半径2r =，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值min22d =-=-，故选B. 4.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P ，Q 两点间的距离，由两点间的距离公式得||5PQ .故1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为(0,5].5.答案：A解析：由圆22(2)2x y -+=可得圆心坐标为()2,0，半径r ABP △的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有1||2S AB d =⋅.易知||AB =max d ==，min d =26S ≤≤，故选A.6.答案：C解析：已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,圆心()3,1C ,半径3r =,所以直线l 过圆心()3,1C ,故310a +-=,故2a =-.所以点()1,2A --,||5AC =,||4AB ==.故选C.7.答案：A解析：因为||1QB =，所以点Q 在以点B 为圆心，1为半径的圆上， 显然当射线AP 在x 轴的下方时||PQ 取得最小值，此时直线:20AP x y ++=，点B 到AP 的距离d ==所以||PQ 1，故选A. 8.答案：BCD解析：由题意,直线1:210l ax y a --+=,即(2)10a x y --+=.令20x -=,得2,1x y ==,即直线1l 过定点()2,1;直线2:20l x ay a +--=,即2(1)0x a y -+-=,令10y -=,得2,1x y ==,即直线2l 过定点()2,1,所以直线12,l l 过同一个定点()2,1,记为点M .圆22:4240E x y x y +-+-=可化为22(2)(1)9x y -++=,而点()2,1M 在圆E 内部,所以直线12,l l 均与圆E 相交,所以A 选项错误;对于直线1l ,当0a =时,直线1l 被圆E 截得的弦长最小,且最小值为所以B 选项正确;对于直线2l ,当0a =时,直线2l 被圆E 截得的弦长最大,且最大值恰好为圆E 的直径6,所以C 选项正确;又当0a ≠时,直线1l 的斜率为a ,直线2l 的斜率为1a-,即直线12l l ⊥.设圆心E 到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,则12d d ==又22212||4d d EM +==,即22||||99444AC BD -+-=,所以22||||56AC BD +=,所以2211||||||||14222ABCDAC BD S AC BD +=⋅≤⨯=四边形,当且仅当||||AC BD ==,等号成立,故四边形ABCD 面积最大值为14,所以D 选项正确,故选BCD. 9.答案：BC解析：本题考查圆与圆的位置关系.依题意1(,0)C a -，2(,2)C a a ，圆1C 半径11r =，圆2C 半径2|r a =.对于选项A ，1221|||2|22C OC S a a a =-⋅==△，则a =2|2r a ==，则圆2C 的面积为22π4πr =，选项A 错误；对于选项B，12|C C a，121|r r a +=+，若圆1C 与圆2C 外离，则1212C C r r >+，即|1|a a >，得2a >或2a <，选项B 正确；对于选项C ，当a =时，1C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2C ⎝，121r r ==，1212|2C C a r r ===+，所以圆1C 与圆2C 外切，且121C C k =，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1，设切线方程为0x y b -+=1=，解得2b =-或2b =，则一条切线方程为0x y -=，即y x =，选项C 正确；对于选项D，当a =1(C，2C ，11r =，22r =，12|4C C a ==，圆1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为1247r r ++=，选项D 错误.故选BC.10.答案：ABD解析：因为110a a ⨯-⨯=，所以无论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直，故A 正确；1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -，故B 正确；1:10l ax y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为10ay x -++=，不是2:10l x ay ++=，故C 错误；由10,10,ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩解得221,11,1a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO =≤MO的最大值是D 正确.故选ABD.11.答案：12x =或10x +=解析：联立10,0,x y ⎧+=⎪+解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即两直线的交点为12⎛ ⎝⎭.当直线的斜率不存在时，12x =，到原点的距离等于12，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220kx y k -+=.因为直线与原点的最短距离为12，所以12=，解得k =，所以所求直线的方程为10x +=，所以所求直线的方程为12x =或10x +=. 12.答案：解析：圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=联立可得： 公共弦的方程为260x y -+=，222:440C x y x y ++-=变形为()()222:228C x y ++=-，故222:440C x y x y ++-=的圆心为()22,2C -，半径为， 而()22,2C -满足260x y -+=，故弦AB 的长为圆2C 的直径， 故弦AB的长为.故答案为：. 13.答案：k 解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，圆心(1,2)C -，半径2r =，由于弦AB满足||AB =M，则||1CM ， 因此M 点在以(1,2)C -为圆心，1为半径的圆上， 又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=1≤，解得k ≤14.答案：（1）见解析（2）当0t =时，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 解析：（1）证明：依题意，可设:AB y kx b =+，1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠.联立2,2,x y y kx b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2220x kx b --=. 2480k b ∆=+>，122x x k +=，122x x b =-.又直线DA 与抛物线相切，则2111122x x x t+=-， 所以211210x tx --=，同理222210x tx --=. 所以1222k x x t =+=，1221b x x -=⋅=-， 所以k t =，12b =，则直线1:2AB y tx =+，必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）解法一：由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,22y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=. 于是122x x t +=，()21212121y y t x x t +=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 解法二：设M 为线段AB 的中点，由（1）可知212,M t t ⎛+⎫ ⎪⎝⎭.所以()2,2EM t t =-，()2,FM t t =，又EM FM ⊥，则()2220t t t t ⋅+-⋅=， 解得0t =或1t =或1t =-.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 15.答案：（1）见解析（2）不存在满足题意的直线l .理由见解析解析：（1）设动圆圆心(,)M x y ，作MN x ⊥轴于点N . ①若动圆与半圆外切，则||2||MO MN =+，2y +， 两边平方得22244x y y y +=++，化简得211(0)4y x y =->. ②若动圆与半圆内切，则||2||MO MN =-，2y =-， 两边平方得22244x y y y +=-+，化简得211(0)4y x y =-+>.综上，当动圆与半圆外切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =->； 当动圆与半圆内切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =-+>. 动圆圆心的轨迹如图所示.（2）假设满足题意的直线l 存在，可设l 的方程为13y x b =+.依题意，可得直线l 与曲线211(0)4y x y =->交于A ，D 两点，与曲线211(0)4y x y =-+>交于B ，C 两点.由21,3114y x b y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩与21,311,4y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 整理可得23412120x x b ---=①与23412120x x b ++-=②. 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，(),D D D x y ，则43A D x x +=，12123A D b x x --=，43B C x x +=-，12123B C b x x -=.又||A D AD x =-，||B C BC x -，且||2||AD BC =，2A D B C x x x x ∴-=-，即()()22444A D A D B C B C x x x x x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦， 整理得2244(1212)44(1212)43333b b ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得23b =.将23b =代入方程①，得2A x =-，103D x =. 函数211(0)4y x y =->的定义域为(,2)(2,)-∞-+∞，∴假设不成立，即不存在满足题意的直线l .。