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一．复变函数积分计算方法：
1． 线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2． 参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。
参考课本37页例3.1（2） 3． 原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4． 柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。
二．课本难点
课本47页例3.10（2） 他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。
作业题很多都要用到这个技巧。
三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。
四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域中都有着广泛的应用。
复变函数的积分与实变函数的积分有着很大的不同，它涉及到复数域上的积分运算，因此需要特殊的技巧和理论来处理。
本文将从基本概念开始，逐步介绍复变函数的积分，并探讨其在不同领域中的应用。
首先，我们来回顾一下复变函数的基本概念。
复变函数是定义在复数域上的函数，它可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部。
在复变函数中，我们引入了复数域上的积分运算，即复积分。
复积分的定义是在复平面上对复变函数的积分运算，它可以表示为∫f(z)dz，其中积分路径可以是曲线、环路或者区域。
复积分的计算需要用到复变函数的积分定理，其中最重要的是柯西积分定理和柯西-黎曼积分公式。
柯西积分定理指出，如果在一个简单闭合曲线内部的区域上f(z)是解析的，那么f(z)在这个区域上的积分为0。
柯西-黎曼积分公式则给出了解析函数在闭合曲线上的积分与函数在这个曲线内部的性质之间的关系。
这些定理为复积分的计算提供了重要的工具和方法。
在实际应用中，复变函数的积分在物理学、工程学和数学等领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，复变函数的积分可以用来描述电磁场、流体力学和量子力学等问题。
在工程学中，复变函数的积分可以用来解决电路分析、信号处理和控制系统等问题。
在数学中，复变函数的积分可以用来研究解析函数的性质、级数和积分变换等问题。
除了在理论研究中的应用，复变函数的积分在实际计算中也有着重要的作用。
通过复变函数的积分，我们可以求解复杂的积分问题，计算曲线和曲面的长度、面积和体积等。
同时，复变函数的积分还可以用来解决微分方程、积分方程和边界值问题等。
因此，复变函数的积分在数学和物理学等领域中都有着重要的应用价值。
总之，复变函数的积分是复分析中的重要概念，它涉及到复数域上的积分运算，需要特殊的技巧和理论来处理。
复变函数积分计算公式一、复变函数的积分定义复变函数f(z)的积分定义为：∫f(z)dz = ∫[u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∫[u(x, y)dy + v(x, y)dx]其中，u(x,y)和v(x,y)为复变函数f(z)的实部和虚部分别对x和y 的偏导数。
1.第一类曲线积分公式设C是定义在[a,b]上的光滑曲线，而f(z)是C上的复变函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(z(t))z'(t)dt其中，z(t)表示C上的参数方程，z'(t)表示z(t)对t的导数。
2.第二类曲线积分公式设C是封闭的简单光滑曲线，内部有有向单位法向量n，并设f(z)是C内的解析函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = 2πi Res[f(z), a]其中，a表示C内的任意一个孤立奇点，Res[f(z), a]表示f(z)在a 处的留数。
3.圆弧积分公式对于参数方程z(t) = a + re^(it)，其中t∈[θ1, θ2]，a为圆心，r为半径，则复变函数f(z)沿圆弧C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(a + re^(it))ire^(it)dt4.辐角积分公式设f(z)是C所在区域的解析函数，它在z=a处有极点，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = i∫R[f(z) - f(a)]dz其中，C是以a为圆心的环形曲线，R是C所围成的圆环区域。
5.亚纯函数积分公式设f(z)是C所在区域的亚纯函数，它在z=a处有一级极点∫f(z)dz = 2πiI(C, a)其中，I(C,a)为C围绕a的索引。
三、复变函数积分计算技巧1.选择适当的路径进行积分，常常选择直线、弧线或封闭曲线。
2.利用柯西-黎曼条件和柯西-黎曼方程进行变量转换和求导。
3.利用留数定理计算包括奇点与不同路径的积分。
4.利用对称性和奇偶性简化积分计算。
复变函数积分计算公式复变函数积分计算是复变函数理论中的重要内容之一，是对复变函数在给定路径上的定积分进行求解的过程。
复变函数的积分计算公式可以通过两种方式得到：一是基于实变函数定积分的工具，如Cauchy-Riemann方程等，通过对实变函数的求解来得到复变函数的积分计算公式；二是利用复平面上的路径积分来进行计算和推导，通过考虑路径的参数化来得到计算公式。
下面将详细介绍这两种方式。
一、基于实变函数的工具1. Cauchy-Riemann方程：设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)为实部和虚部，z=x+iy是复变量。
如果f(z)在其中一点满足Cauchy-Riemann方程，即u和v满足以下偏导数关系：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x那么f(z)在该点处解析，且在该点处的积分计算公式为：∫ f(z) dz = ∫ (u(x,y)+iv(x,y)) (dx+idy) = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)。
2.基于保守场的路径积分：设f(z)是复平面上的解析函数，且存在实部u(x,y)和虚部v(x,y)，则对于f(z)满足的路径积分公式：∫ f(z) dz = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)其中路径积分沿着点A到点B的路径P进行计算，路径P上的起点为z1，终点为z2二、利用复平面上的路径积分1. 曲线的参数化：考虑路径积分时，首先需要对路径进行参数化。
一般来说，可以将路径P表示为z(t)=x(t)+iy(t)，其中x(t)和y(t)分别是t的函数，而t属于一些区间[a,b]。
这样，路径P上的积分计算问题就转化为对参数t的积分计算问题。
2.几种常见路径的积分公式：(1)闭合路径上的积分：如果路径P是一个闭合路径，且f(z)在P内解析，那么闭合路径上的积分计算公式为：∮ f(z) dz = 0其中∮表示对路径P上的积分。
复变函数的积分方法一、引言复变函数是数学中的重要概念，它与实变函数有着很大的区别。
复变函数的积分方法是研究复变函数在复平面上的积分性质和计算积分值的方法。
本文将介绍一些常见的复变函数的积分方法。
二、复变函数的积分定义在复变函数中，积分是对函数的一种运算，类似于实变函数中的积分。
复变函数的积分定义如下：设f(z)是定义在复平面上的一个函数，如果存在一个复数C，使得对于给定曲线γ上的任意两个点A和B，都有：∫[A,B]f(z)dz = C那么我们就说f(z)在曲线γ上是可积的，并且称C为f(z)沿曲线γ的积分。
三、复变函数的积分方法1. 直线积分直线积分是最常见的一种复变函数的积分方法。
它是沿着一条直线对复变函数进行积分。
直线积分的计算方法是将直线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个直线的积分值。
2. 曲线积分曲线积分是复变函数的另一种常见的积分方法。
它是沿着一条曲线对复变函数进行积分。
曲线积分的计算方法是将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个曲线的积分值。
3. 围道积分围道积分是复变函数的一种特殊的积分方法。
它是沿着一个围道对复变函数进行积分。
围道积分的计算方法是将围道分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个围道的积分值。
围道积分的计算方法比直线积分和曲线积分要复杂一些，需要使用复变函数的柯西-黎曼积分定理等相关定理。
四、复变函数的积分应用复变函数的积分方法在数学和物理中有着广泛的应用。
它可以用来计算复变函数的积分值，求解一些特殊的微分方程，研究复杂的物理现象等。
在数学中，复变函数的积分方法可以用来计算复变函数的奇点，判断函数是否解析，计算函数的留数等。
在物理中，复变函数的积分方法可以用来计算电场、磁场等物理量的积分，求解电磁场的边界值问题，研究光学现象等。
五、总结复变函数的积分方法是研究复变函数的重要内容，它在数学和物理中有着广泛的应用。
复变函数积分计算方法总结
1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：
()C
C
C
f z dz udx vdy i udy vdx =-++⎰
⎰⎰
若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：
()[()]()C
f z dz f z t z t dt β
α
'=⎰
⎰
2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：
()0C
f z dz =⎰
由闭路变形原理可得重要积分：10
0, 01
2, 0()n C n dz i n z z π+≠⎧=⎨
=-⎩⎰ 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。
3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：
00()
2()f z dz if z z z πΓ=-⎰
高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：
()
01
0()2()()!
n n f z i dz f z z z n π+Γ=-⎰ 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。
4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分
00101()
()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz i
z z π∞
+=-∞
=
--<=
-∑⎰，其中：
其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。
当1n =-时，-1次项的系数为11()2C
c f z dz i
π-=
⎰
，因此
1()2C
f z dz ic π-=⎰
5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2C
s f z z f z dz i
π=
⎰
，即洛朗级数展开式中-1
次项的系数。
留数定理：函数()f z 在正向简单曲线C 上处处解析，在C 内部除了有限个孤立奇点12, ... n z z z 外解析，则有：
1
()2Re [(),]n
k C
k f z dz i s f z z π==∑⎰
6、用留数计算定积分 (1)10
22cos ,sin
d I f α
πθπθθαα⎛⎫
=
⎪⎝
⎭
⎰
积分中[]0,θα∈，令2π
ϕθα
=
，则[]0,2ϕπ∈且有2d d π
ϕθα
=
，()210
cos ,sin 2I f d π
αϕϕϕπ
=
⎰。
再令i z e ϕ
=，则有：1
d dz iz
ϕ=，21cos 2z z ϕ+=，21cos 2z z ϕ+= .
由于[]0,2ϕπ∈，故可以作为圆周||1z =的参数方程的参数，将原积分转换为沿单位圆的积分
22221||1||1111111,,222222z z z z z z I f dz f dz z iz iz i z z iz α
απ
π==⎛⎫⎛⎫
+-+-=
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰
若上式中被积函数()F z 在单位圆||1z =内只有有限个奇点12, ... n z z z ，则由留数定理得：
()10
Re [,]n
k k I s F z z α==∑
(2)()2I f x dx ∞
-∞
=
⎰
定理：设函数()f z 在实轴上解析，在上半平面除了奇点12, ... n z z z 外解析。
条件：当||z →∞时有|()|0zf z →，则该积分存在 计算公式：()21
2Re ,n
k
k I i
s f z z
π==⎡⎤⎣⎦∑
意义：转换为沿上半平面内半圆形路径的积分，路径中包含n 个奇点。
注意：若被积函数为偶函数，从0到∞积分或-∞到0积分，可等价于-∞到∞积分值的一半。
(3)()3i x I f x e dx β∞
-∞
=
⎰
定理：设函数()f z 在实轴上解析，在上半平面除了奇点12, ... n z z z 外解析。
条件：当||z →∞时有|()|0f z →，则该积分存在
计算公式：()312Re ,n
i z
k
k I i
s f z e z
β
π=⎡⎤=⎣⎦∑
注意：以上公式所得的积分值是复数。
若被积函数可表示为有理函数和三角函数的积，则被积函数中cos x β和
sin x β都要视为i x e β的一部分，此时计算()i x f x e dx β∞
-∞
⎰
，分别取实部和虚部可得积分()cos f x xdx β∞
-∞
⎰
和
()sin f x xdx β∞
-∞
⎰
的值。
