高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十二等比数列及其前n项和理

5．3 等比数列及其前n 项和[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．27答案 B解析 依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B.2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2答案 D解析 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.故选D.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里．故选B.4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C.5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33.故选D.6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．4032答案 B解析 由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n，S 10＝－2101－2＝211－2＝2046，S 4＝－241－2＝25－2＝30，所以S 10－S 4＝2016.故选B.7．(2018·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4 C.4027 D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84，S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得－q 31－q＝1－q 61－q，解得q ＝3. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.8．(2018·衡水模拟)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故－q 31－q＝1－q 61－q，解得q ＝2，又a 1＝120，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －120. 因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －120≤1，2n20≥1，得n ＝5.故选C.9．(2018·河南洛阳模拟)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析 ∵a ，b 是函数f (x )＝x 2－px 十q (p >0，q >0)的两个不同的零点，∴a ＋b ＝p ，ab ＝q .∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a －2，ab ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b －2，ab ＝4，②解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4. ∴p ＋q ＝9.故选D.10．(2017·广东清远一中一模)已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256 D ．不存在答案 A解析 ∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21， ∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21，∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋n ＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等)， ∴1m ＋4n 的最小值是32.故选A. 二、填空题11．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案 －12解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.12．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1·a 2·…·a 20) ＝ln (a 10·a 11)10＝10ln (a 10·a 11)＝10ln e 5＝50.13．(2017·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________. 答案 12－13n ＋1－1解析 由a n ＝2×3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝－3n1－3＝3n－1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1. 14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．答案 6解析 由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255. 当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25.又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26， ∴a 1·a 2·…·a 11＝a 116.故有a 116＝255，即a 6＝25. ∴抽出的应是第6项． 三、解答题15．(2017·海淀区模拟)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4，∴a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)． 设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c 1＝a 1－b 1＝2－1＝1，c 4＝a 4－b 4＝14－6＝8，设{c n }的公比为q ，则q 3＝c 4c 1＝8，故q ＝2. 则c n ＝2n －1，即a n －b n ＝2n －1.∴b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．故{b n }的通项公式为b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．(2)由题意，b k 应为数列{b n }的最大项． 由b n ＋1－b n ＝4(n ＋1)－2－2n－4n ＋2＋2n －1＝4－2n －1(n ∈N *)．当n ＜3时，b n ＋1－b n ＞0，b n ＜b n ＋1，即b 1＜b 2＜b 3；当n ＝3时，b n ＋1－b n ＝0，即b 3＝b 4；当n ＞3时，b n ＋1－b n ＜0，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞…. 综上所述，数列{b n }中的最大项为b 3和b 4. 故存在k ＝3或4，使∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立．16．(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋54 )＋1，解得a 4＝78.(2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤S n ＋1－S n －12S n －S n －1，∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤S n ＋1－S n －12S n －S n －1， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n .又a 3－12a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12a 1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列．(3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，两边同乘以2n ＋1，得a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n＝4.又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n}是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝n －2n ＝2n －12n －1.。

5.3 等比数列及其前n 项和[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(2017届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(2017届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(2018届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(2017届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(2017届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n。

第五章 数列 5.3 等比数列及其前n 项和练习 理[A 组·基础达标练]1．[2016·邢台摸底]已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．27答案 B解析 依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9，选B.2．[2015·唐山期末]设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B.73 C.310 D ．1或2答案 B解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.3．[2014·重庆高考]对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列答案 D解析 不妨设公比为q ，则a 23＝a 21q 4，a 1·a 9＝a 21q 8，a 2·a 6＝a 21·q 6，当q ≠±1时，A 、B 均不正确；又a 24＝a 21q 6，a 2·a 8＝a 21q 8，同理，C 不正确；由a 26＝a 21q 10，a 3·a 9＝a 21q 10，知D 正确．4．[2015·太原一模]在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2答案 B解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，设其公比为q ，∴a 2＝2，a 4＝12，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝12，a 1＝a 2q＝4.5．[2015·洛阳模拟]已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D解析列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 21q 9＝－8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 31＋q 3＝2， ①a 21q 9＝－8. ②①2÷②得 1＋q 3 2q 3＝－12， 解得q 3＝－2或q 3＝－12.当q 3＝－2时，a 1＝1，a 10＝－8， 则a 1＋a 10＝－7；当q 3＝－12时，a 1＝－8，a 10＝1，则a 1＋a 10＝－7.6．[2016·南昌调研]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2015<0B ．若a 4>0，则a 2014<0C ．若a 3>0，则S 2015>0D ．若a 4>0，则S 2014>0 答案 C解析 等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2015＝a 1q 2014>0，所以A 不正确；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2014＝a 1q2013>0，所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2015>0，当q ≠1时，S 2015＝a 1 1－q 2015 1－q>0(1－q 与1－q2015同号)，所以C 正确，同理可知D 错误，故选C.7．[2016·山西四校联考]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．31B ．36C ．42D ．48答案 A解析 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，所以S 5＝1× 1－251－2＝31，故选A.8．[2016·郑州一检]已知等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，则S 6＝________.答案634解析 记等比数列{a n }的公比为q ，则有q 3＝a 4＋a 5a 1＋a 2＝8，q ＝2，S 6＝(a 1＋a 2)＋q 2(a 1＋a 2)＋q 4(a 1＋a 2)＝21(a 1＋a 2)＝634. 9．[2013·江苏高考]在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．答案 12解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q >0，由 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 4＝12，a 1·q 5＋a 1·q 6＝3，得a 1＝132，q ＝2.由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，得2n－1>2 n －1 n －102 .检验知n ＝12时，212－1>211；n ＝13时，213－1<218，故满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值是12.10．[2016·兰州诊断]数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2015 110，则a 21＝________.答案 2015 解析 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝1，得b 1＝a 2a 1＝a 2；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；……；b n －1＝a na n －1，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2015110 )10＝2015.11．[2015·洛阳期末]已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)∵a n ＝13n ，∴b n ＝－log3 13n ＝2n ，从而1b n b n ＋1＝14n n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4 n ＋1 . 12．[2015·山东高考]设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n >1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n >1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13.当n >1时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n .经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .[B 组·能力提升练]1．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 答案 C解析 验证①f a n ＋1 f a n ＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，③f a n ＋1 f a n ＝|a n ＋1||a n |＝|q |，∴①③为“保等比数列函数”，故选C.2．[2016·泰安模拟]在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 由题知表格中第三纵列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12.所以y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，因此x ＋y ＋z ＝2. 3．[2015·沈阳一模]数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.答案323(1－4－n) 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．4．[2015·临沂模拟]在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， 因为a 3－a 2＝8，则a 2＝8， 所以q ＝2，a 1＝4， 所以a n ＝2n ＋1.(2)因为b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n n ＋34.因为1S n＝4n n ＋3 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3，所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3＝43×116－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＝229－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3当n ＝1时，1S 1＝1<2<229当n ≥2时，1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝229－43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3<229<3.故存在k ＝3时，对任意的n ∈N *都有1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<3.。

第五章第三节等比数列及其前n项和一、选择题1．如果等比数列{a n}中，a3·a4·a5·a6·a7＝4错误!，那么a5＝A．2C．±2 D．±错误!2．设数列{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则以下结论正确的是A．a2＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b63．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则错误!的值为D．14．已知等比数列{a n}中，a n＞0，a10a11＝e，则n a1＋n a2＋…＋n a20的值为A．12 B．10C．8 D．e5．若等比数列{a n}满足a n a n＋1＝16n，则公比为A．2 B．4C．8 D．166．a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列按原来的顺序是等比数列，则错误!的值为A．－4或1 B．1C．4 D．4或－1二、填空题7．已知{a n}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________8．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n－3，则数列{a n}的通项公式为________．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1n＝1,2，…，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n·已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n·11．已知等比数列{a n}中，a1＝错误!，公比q＝错误!1S n为{a n}的前n项和，证明：S n＝错误!；2设b n＝og3a1＋og3a2＋…＋og3a n，求数列{b n}的通项公式．12．已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1＝aa>0，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝31若a＝1，求数列{a n}的通项公式；2若数列{a n}唯一，求a的值．详解答案一、选择题1．解析：依题意得a错误!＝252，a5＝错误!答案：B2．解析：设等差数列的公差为d，等比数列公比为q，由a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，得d＝－1，q＝错误!，于是a2＝3＞b2＝2错误!答案：A3．解析：由题意得a2＝2a1，a3＝4a1，a4＝8a1∴错误!＝错误!＝错误!答案：A4．解析：n a1＋n a2＋…＋n a20＝n[a1a20·a2a19…a10a11]＝ne10＝10答案：B5．解析：由a n a n＋1＝16n，得a n＋1·a n＋2＝16n＋1，两式相除得，错误!＝错误!＝16，∴q2＝16∵a n a n＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4答案：B6．解析：若删去a1或a4，知数列既为等差也为等比时，公差d＝0，由条件知不成立．若删去a2，则a1＋2d2＝a1a1＋3d，若删去a3，则a1＋d2＝a1a1＋3d，解得错误!＝－4或1答案：D二、填空题7．解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1又{a n}单调递增，得q＞1，∴q＝2 答案：28．解析：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以a n＝错误!答案：a n＝错误!9．解析：∵b n＝a n＋1，∴a n＝b n－1，而{b n}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，∴{a n}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中．∵{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，∴{a n}中的连续四项为－24，36，－54，81∵q＝－错误!＝－错误!，∴6q＝－9答案：－9三、解答题10．解：设{a n}的公比为q，由题设得错误!解得错误!或错误!当a1＝3，q＝2时，a n＝3×2n－1，S n＝3×2n－1；当a1＝2，q＝3时，a n＝2×3n－1，S n＝3n－111．解：1证明：因为a n＝错误!×错误!n－1＝错误!，S n＝错误!＝错误!，所以S n＝错误!2因为b n＝og3a1＋og3a2＋…＋og3a n＝－1＋2＋…＋n＝－错误!所以{b n}的通项公式为b n＝－错误!12．解：1设数列{a n}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得2＋q2＝23＋q2．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋错误!，q2＝2－错误!所以数列{a n}的通项公式为a n＝2＋错误!n－1或a n＝2－错误!n－12设数列{a n}的公比为q，则由2＋aq2＝1＋a3＋aq2，得aq2－4aq＋3a－1＝0*，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程*有两个不同的实根．由数列{a n}唯一，知方程*必有一根为0，代入*得a＝错误!。

2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标30 等比数列及其前n 项和 理[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0C ．12D ．24解析：由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( C ) A ．13B ．－13C ．12D ．－12解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ·3n －1－16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n －2)＝2x ·3n －2， 因为{a n }是等比数列，所以a 1＝a 2q ＝2x ·32－23＝2x3，②由①②得x －16＝2x 3，解得x ＝12.3．(2017·云南昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( B )A ．－2B ．－ 2C ．± 2D ． 2解析：根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.4．已知等比数列{a n }中的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( D )A ．4n －1B ．4n－1C ．2n －1D ．2n－1解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1，选D ． 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( B )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log3a 1＋log3a 2＋…＋log3a 10＝log3(a 1·a 2·…a 10)＝log3(a 5a 6)5＝log395＝log3310＝10.6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( B )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析：由题意知a 4>0，a 14>0，a 4·a 14＝8，a 7>0，a 11>0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14＝216＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B ．二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是4. 解析：设公比为q ，则由a 8＝a 6＋2a 4，得a 1q 7＝a 1q 5＋2a 1q 3，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2(q 2＝－1舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝4.8．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5.解析：由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是，由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log2a 1＋log2a 2＋log2a 3＋log2a 4＋log2a 5＝log2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log232＝5.9．(2017·江苏徐州模拟)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝2；前n 项和S n ＝2n ＋1－2.解析：由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q＋q2＝20，a 1q 2＋q2＝40，解得q ＝2，a 1＝2，所以S n ＝a 1－qn1－q＝－2n1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64 ，且a 4，a 5的等差中项为3a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6435，q ＝－3，(舍去)，所以a n＝2n.(2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1， 所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.11．(2017·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 ,2S 2,3S 3成等差数列，且S 4＝4027.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <32.解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 11－q 41－q＝4027，解得a 1＝1，所以 a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)证明：由(1)得S n ＝a 11－q n1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .因为n ∈N *，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <1，所以0<1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n<1，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <32.12．(2017·湖北华中师大附中期中)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解析：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝542＝27，从而q ＝3，b n ＝2·3n －1.又∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24， ∴a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝8－2＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋6(n －1)＝6n －4. ∴a n ＝6n －4，b n ＝2·3n －1.(2)c n ＝a n b n ＝4(3n －2)·3n －1.令S n ＝4[1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)×3n －2＋(3n －2)×3n －1]，则3S n ＝4[1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)×3n －1＋(3n －2)×3n]．两式相减得－2S n＝4[1＋3×31＋3×32＋…＋3×3n －1－(3n －2)×3n]，∴－2S n ＝4[1＋32＋33＋ (3)－(3n －2)×3n] ＝2[(7－6n )·3n－7]．∴S n ＝7＋(6n －7)·3n.。

等比数列及其前n 项和【考纲传真】1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.【知识扫描】知识点1 等比数列的有关概念1．定义；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，公比的表达式为a n ＋1a n＝q . 2．等比中项；如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 知识点2 等比数列的有关公式1．通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .2．前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．必会结论；等比数列的性质 (1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{|a n |}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．(5)若等比数列{a n }共2k (k ∈N *)项，则S 偶S 奇＝q . 2．必清误区(1)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，与等差数列不同．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)并不能断言{a n }是等比数列，还要验证a 1≠0.【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列a ，a ，a ，…(a ∈R )必为等比数列．( )(2)当q ＜0时，等比数列{a n }为递减数列．( )(3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }是等比数列．( )2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A ．－12B ．－2C ．2 D.12 3．(2015·广东高考)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.5．(2014·重庆高考)已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .参考答案1【解析】 (1)错误．a ＝0时不能构成等比数列．(2)错误．当q ＜0时，{a n }为摆动数列．(3)错误．G 2＝abD ⇒/G 为a ，b 的等比中项．(4)错误．若a 1＝0，则{a n }不是等比数列．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2【解析】 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12. 【答案】 D3【解析】 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，∴b ＝1.【答案】 14【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0.∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S5S 2＝a 1－q 51－q ·1－q a 1－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－51－4＝－11.【答案】 －115【解】 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n a 1＋a n 2＝n ＋2n －2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0，所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1－q n1－q ＝23(4n －1)．。

第五章 数列授课提示：对应学生用书第293页[A 组 基础保分练]1．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案：A2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578 D ．558答案：A3．(2021·西安模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5D ．159.5 解析：因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.答案：C4．正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( ) A ．1 B ．2 C.22D ．2答案：D5．(2021·南宁统一考试)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1.答案：D6．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，若S 2＋a 2＝S 3－3，则a 4＋3a 2的最小值为( )A ．12B ．9C ．16D ．18解析：因为S 3－S 2＝a 3，所以由S 2＋a 2＝S 3－3，得a 3－a 2＝3，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＝3q q －1，由于{a n }的各项为正，所以q ＞1.a 4＋3a 2＝a 1q 3＋3a 1q ＝a 1q (q 2＋3)＝3q q －1q (q 2＋3)＝3q 2＋3q －1＝3(q －1＋4q －1＋2)≥18，当且仅当q －1＝2，即q ＝3时，a 3＋3a 2取得最小值18.答案：D7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S 6S 3＝65，则数列{a n }的公比为________．答案：48．(2021·安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________． 答案：29．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．解析：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21.(2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n＋1，∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2，∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．[B 组 能力提升练]1．(多选题)如图，在每个小格中填上一个数，使得每一行的数依次成等差数列，每一列的数依次成等比数列，则( )A.x ＝1 C ．z ＝3D ．x ＋y ＋z ＝2解析：因为每一列成等比数列，所以第一列的第3,4,5个小格中的数分别是12，14，18，第三列的第3,4,5个小格中的数分别是1，12，14，所以x ＝1.又每一行成等差数列，所以y ＝14＋3×12－142＝58，z －18＝2×18，所以z ＝38，所以x ＋y ＋z ＝2.故A ，D 正确；B ，C错误． 答案：AD2．已知等比数列{a n }满足a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，a 5＝4，记等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则当T n取最大值时，n ＝( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7D ．7或8答案：C3．已知正项等比数列{a n }满足a 2·a 27·a 2 020＝16，则a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017 C ．41 018 D ．21 018答案：B4．(多选题)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＋b 2＝7，a 3＋b 3＝13.记c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，数列{c n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．a n ＝2n －1 B ．b n ＝2nC ．S 9＝1 409D ．S 2n ＝2n 2－n ＋43(4n－1)解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q ≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2n －1，b n ＝2n ，故A ，B 正确；则c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n ，所以数列{c n }的前2n 项和S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝n 1＋4n －32＋41－4n 1－4＝2n 2－n ＋43(4n －1)，S 9＝S 8＋a 9＝385，故C 错误，D 正确． 答案：ABD5．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案：2n ＋1－26．(2021·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________.答案：317．(2021·山东德州模拟)给出以下三个条件：①数列{a n }是首项为2，满足S n ＋1＝4S n ＋2的数列；②数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )的数列； ③数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝a n ＋1－2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足________，记数列b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解析：选条件①.由已知S n ＋1＝4S n ＋2，可得当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2， 两式相减，得a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2，解得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1， 所以b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，所以c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n n ＋1n 2n ＋12＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1. 故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.选条件②.由已知3S n ＝22n ＋1＋λ，可得当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ，两式相减，得3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1，即a n ＝22n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1，故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1. 以下同选条件①. 选条件③.由已知3S n ＝a n ＋1－2，可得当n ≥2时，3S n －1＝a n －2， 两式相减，得3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n＝1时，3a1＝a2－2，又a1＝2，所以a2＝8，满足a2＝4a1，故数列{a n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n＝22n－1.以下同选条件①.[C组创新应用练]1．(多选题)设数列{a n}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n 项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中正确的是( )A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值解析：若K6＝K7，则a7＝K7K6＝1，故B正确；由K5＜K6可得a6＝K6K5＞1，则q＝a7a6∈(0,1)，故A正确；由数列{a n}是各项为正数的等比数列且q∈(0,1)，可得数列{a n}单调递减，则有K9＜K5，故C错误；结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．答案：ABD2．(2021·湖南常德模拟)某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时第一次服药，至第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留( )A．220毫克B．308毫克C．123.2毫克D．343.2毫克解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×(1－60%)＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×(1－60%)＝343.2.答案：D3．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件是( )A．{a n}是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 答案：D。

高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n 项和教学案含解析理第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝a b.2．等比数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.(5)当q ≠－1时，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列．[常用结论]1．“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．2．若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n(k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列． ( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝a b.( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36C.812D ．54C [公比q ＝a 4a 3＝1812＝32，则a 6＝a 4q 2＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝812.]3．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]4．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝________.4 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝1，a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝52，消去a 1得1q ＋q ＝52，解得q ＝12或q ＝2.又0＜q ＜1，故q ＝12，此时a 1＝4.]5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________. 6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n＝126，∴21－2n1－2＝126，解得n＝6.]等比数列基本量的运算1．(2019·太原模拟)已知公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S3＝3a3，则S5＝( )A．1 B．5 C.3148D.1116D[由S3＝3a3得a1＋a2＝2a3，∴1＋q＝2q2，解得q＝－12或q＝1(舍)．∴S5＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－1251－⎝⎛⎭⎪⎫－12＝23×3332＝1116，故选D.]2．(2017·江苏高考)等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.32[设{a n}的首项为a1，公比为q，则⎩⎪⎨⎪⎧a11－q31－q＝74，a11－q61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝14，q＝2，所以a8＝14×27＝25＝32.]3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m.[解](1)设{a n}的公比为q，由题设得a n＝q n－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故a n＝(－2)n－1或a n＝2n－1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.[规律方法] 解决等比数列有关问题的两种常用思想 方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解.分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n)(q ＜1)或S n ＝a 1q －1(qn－1)(q ＞1).等比数列的判定与证明【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解] (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.[规律方法] 等比数列的判定方法 1定义法：若q 为非零常数，n ∈N *，则{a n }是等比数列.2等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a \o\al(2,n ＋1)＝a n ·a n ＋2n ∈N*，则数列{a n }是等比数列.3通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·qnc ，q 均是不为0的常数，n ∈N *，则{a n }是等比数列.4前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝kq n－k k 为常数且k ≠0，q ≠0，1，则{a n }是等比数列.说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.等比数列性质的应用►考法1 【例2】 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________. (1)50 (2)31 [(1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n ＞0，q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×1－251－2＝31.]►考法2 等比数列前n 项和的性质【例3】 (1)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________． (2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式a n ＝________.(1)63 (2)12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1[(1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n .因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q＝48，①a 11－q 2n1－q＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n＝14.③将③代入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 11－q 3n 1－q ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝S 2n －S n2S n＋S 2n ＝60－48248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为S 2n ＝S n ＋q nS n ，所以q n＝S 2n －S n S n ＝14， 所以S 3n ＝S 2n ＋q 2nS n ＝60＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13. 又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64， 所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.][规律方法] 应用等比数列性质解题时的两个关键点1在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.(1)已知等比数列{a n }的公比q ＞0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50(1)B (2)B [(1) a 5·a 7＝a 26＝4a 24， ∴a 6＝2a 4，则a 6a 4＝q 2＝2. ∴q ＝2，从而a 1＝12＝22，故选B. (2)S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝4＋8＋16＋32＝60.]等差、等比数列的综合问题【例4】 (1)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，2a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12 C.3－52D.3＋52A [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 31＋q2a 41＋q2＝1q＝25＋1＝25－15＋15－1＝5－12，故选A.] (2)(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. ①求{a n }的通项公式； ②求e a 1＋e a 2＋…＋e a n . [解] ①设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2， 所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. ②因为e a 1＝eln 2＝2，＝＝eln 2＝2，所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)．[规律方法] 等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a 1，d q 充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，就不难解决这类问题.在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d 2＝a 1＋d a 1＋7d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ， ∴b n ＝2n，∴b n ＋1b n＝2， ∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴T n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C.12D.18C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)， 将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.]2．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n n ＋12D.n n －12A [由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1＝2.∴S n＝2n ＋n n －12×2＝2n ＋n 2－n ＝n (n ＋1)．]3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. －8 [设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1，① a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2. ∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

第三讲 等比数列及其前n 项和知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 等比数列的概念 (1)等比数列的定义如果一个数列__从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q __表示．符号语言：__a n ＋1a n＝q __(n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么__G __叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝__ab __.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab >0时，a 、b 才有等比中项，且有互为相反数的两个．知识点二 等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝__a 1q n －1__＝__a m q n －m __.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧__na 1__，q ＝1，__a 1(1－q n )1－q __(__a 1－a n q1－q __)，q ≠1. 知识点三 等比数列的主要性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列．当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(5)等比数列{a n }的单调性①满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．②满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．③当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．④当q <0时，{a n }为摆动数列．归纳拓展1．等比数列的概念的理解(1)等比数列中各项及公比都不能为零．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n ；若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .(5)若{a n }是等比数列，且a n >0(n ∈N *)，则{log a a n }(a >0且a ≠1)成等差数列，反之亦然． (6)若{a n }是等差数列，则{aa n }(a >0，a ≠1)成等比数列，反之亦然．(7)三个数成等比数列可设三数为bq ，b ，bq ，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为b q 3，bq，bq ，bq 3.2．等比数列前n 项和公式的推导方法__错位相减法__.双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )(2)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (3)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二 走进教材2．(必修5P 46T4改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( D )A ．－12B ．－2C ．2D ．12[解析] 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.3．(必修5P 54A 组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__12,48__.[解析] 设该数列的公比为q ，由题意知，192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.4．(必修5P 62B 组T2改编)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝__－⎝⎛⎭⎫－12n －1__. [解析] 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝－⎝⎛⎭⎫－12n －1. 题组三 走向高考5．(2020·课标Ⅰ，10,5分)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( D )A ．12B ．24C ．30D ．32[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ， 故a 2＋a 3＋a 4＝q (a 1＋a 2＋a 3)，又a 2＋a 3＋a 4＝2，a 1＋a 2＋a 3＝1，∴q ＝2， ∴a 6＋a 7＋a 8＝q 5(a 1＋a 2＋a 3)＝25＝32，故选D ．6．(2018·北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D )A ．32fB ．322f C ．1225fD ．1227f[解析]本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用．由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为122的等比数列，设此数列为{a n}，则a8＝1227f，即第八个单音的频率为1227f，故选D．7．(2019·全国卷Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝__1213__.[解析]解法一：设等比数列{a n}的公比为q，因为a24＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q ＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1(1－q5)1－q＝13×(1－35)1－3＝1213.解法二：设等比数列{a n}的公比为q，因为a24＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1(1－q5)1－q＝13×(1－35)1－3＝1213.考点突破·互动探究考点一等比数列的基本运算——自主练透例1 (1)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(C)A．2 B．1C．12D．18(2)(2019·全国卷Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3＝34，则S4＝__58__.(3)(2020·课标Ⅱ，6,5分)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n.若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k＝(C)A．2 B．3C．4 D．5(4)(2020·课标Ⅱ，6,5分)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则S na n＝(B)A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1D．21－n－1[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝⎛⎭⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，即q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12，故选C ．(2)解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝34，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝34，得1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－12＝58. 解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝⎝⎛⎭⎫－123＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋⎝⎛⎭⎫－18＝58. 解法三：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q＝－12.所以S 4＝23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－124＝58. (3)由a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1可得a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n＝2×2n －1＝2n，则a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝2k ＋1＋2k ＋2＋…＋2k ＋10＝2k ＋1(1－210)1－2＝2k ＋11－2k ＋1＝215－25，∴k ＝4.故选C ．(4)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 6－a 4a 5－a 3＝a 5·q －a 3·q a 5－a 3＝q ＝2412＝2，∴S na n ＝a 1(1－2n )1－2a 1×2n －1＝2－21－n .故选B ．名师点拨等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a 1，q 的方程组求解，体现了方程思想的应用．特别提醒：在使用等比数列的前n 项和公式时，q 的值除非题目中给出，否则要根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．考点二 等比数列的判定与证明——师生共研例2 (2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．[解析] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.名师点拨等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中． 〔变式训练1〕已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .[解析] (1)记b n ＝1a n－1，则b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －11a n－1＝2a n ＋1－3a n3－3a n ＝1－a n 3(1－a n )＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1，即a n ＝2·3n －11＋2·3n －1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －11＋2·3n －1. (2)由(1)知，1a n －1＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1，即1a n ＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＋n ＝34⎝⎛⎭⎫1－13n ＋n . 考点三 等比数列性质的应用——多维探究角度1 等比数列项的性质的应用例3 (1)(2021·洛阳市第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( B )A ．－2＋22B ．－ 2C ． 2D ．－2或 2(2)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝__5__.[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.故选B ．(2)由题意知a 1a 5＝a 23＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2.所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25.所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.名师点拨(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，m 、n 、p 、q ∈N *，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．角度2 等比数列前n 项和的性质例4 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝__2__.(2)(2021·浙江丽水模拟)已知各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 3＝10，S 9＝70，则S 12＝( A )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50[分析] (2)可将S 3，S 9用a 1和公比q (显然q ≠1)表示，解方程组求出a 1、q 进而可求S 12；但利用S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列运算简便；注意到S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)＝a 11－q－a 11－q·q n ，故可设S n ＝A －Aq n 求解． [解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)解法一：设等比数列的公比为q ，显然q ≠1， 又S n ＝a 1(1－q n )1－q，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝q 6＋q 3＋1＝7.∴q 3＝2或－3(舍去)． 又S 12S 3＝1－q121－q 3＝1－(q 3)41－q 3＝15. ∴S 12＝15S 3＝150.故选A ．解法二：∵S 9＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9) ＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3＝S 3(1＋q 3＋q 6)， ∴10(q 6＋q 3＋1)＝70，∴q 3＝2或－3(舍去)， ∴S 12＝S 9＋q 9S 3＝70＋80＝150.故选A ．解法三：由等比数列的性质知S 3、S 6－S 3、S 9－S 6、S 12－S 9是等比数列，∴(S 6－10)2＝10(70－S 6)，解得S 6＝30或－20(舍去)，又(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)(S 12－S 9)，即402＝20(S 12－70)，解得S 12＝150.故选A ．解法四：设等比数列前n 项和为S n ＝A －Aq n ，则⎩⎪⎨⎪⎧A (1－q 9)＝70，A (1－q 3)＝10，两式相除得1＋q 3＋q 6＝7， 解得q 3＝2或－3(舍去)，∴A ＝－10. ∴S 12＝－10(1－24)＝150.故选A ．[引申]本例(2)中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？[解析] 由本例解法一知q 3＝2或－3， 当q 3＝2时，S 12＝S 9＋q 9S 3＝70＋80＝150；当q 3＝－3时，S 12＝S 9＋q 9S 3＝70－270＝－200.故选C ．名师点拨(1)等比数列前n 项和的性质主要是：若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列． (2)利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口．(3)注意等比数列前n 项和公式的变形．当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n，即S n＝A －Aq n (q ≠1)．(4)S 2n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n (1＋q n ＋q 2n )，…. 〔变式训练2〕(1)(角度1)在等比数列{a n }中，若a 3＝4，a 9＝1，则a 6＝__±2__，若a 3＝4，a 11＝1，则a 7＝__2__.(2)(角度1)(2021·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( B )A ．8B ．16C ．32D ．64(3)(角度2)(2021·吉林统考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝( C )A ．13B ．13或12C ．3D ．3或－2[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 3，a 6，a 9组成的新数列的公比为q 3. 若a 3＝4，a 9＝1，则a 26＝4，a 6＝±2，符合题意； a 3，a 7，a 11组成的新数列的公比为q 4，由a 3＝4，a 11＝1，得a 27＝4，当a 7＝2时，q 4＝12，合题意，当a 7＝－2时，q 4＝－12，不合题意，舍去．(2)由已知a 1a 2…a 9＝1，又a 1a 9＝a 2a 8＝a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，所以a 95＝1，即a 5＝1，所以a 1⎝⎛⎭⎫－124＝1，a 1＝16.故选B ．(3)不妨设S 4＝1，则S 12＝7， ∵S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， ∴(S 8－1)2＝7－S 8，解得S 8＝3或－2， 又S 8＝(1＋q 4)S 4>0，∴S 8＝3，∴S 8S 4＝3.故选C ．另解：由题意S 12S 4＝(1＋q 4＋q 8)S 4S 4＝1＋q 4＋q 8＝7即q 8＋q 4－6＝0，∴q 4＝2或－3(舍去)，∴S 8S 4＝(1＋q 4)S 4S 4＝1＋q 4＝3，故选C ．名师讲坛·素养提升等差、等比数列的综合运用例5 (2021·重庆巴蜀中学期中)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，{b n }为各项均为正数的等比数列，b 1＝2，且b 2＋S 2＝7，a 2＋b 3＝10.(1)求a n 与b n ；(2)定义新数列{C n }满足C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，(n 为奇数)b n ，(n 为偶数)(n ∈N *)，求{C n }前20项的和T 20.[分析] (1)用等差、等比数列基本公式求解． (2)分组求和即可．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＋2＋d ＝7，1＋d ＋2q 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－1d ＝7(舍去)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，b n ＝b 1q n －1＝2n . (2)由题意知C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，2n (n 为偶数).∴T 20＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋…＋C 19＋C 20 ＝1＋22＋3＋24＋…＋19＋220 ＝(1＋3＋…＋19)＋(22＋24＋…＋220) ＝10(1＋19)2＋4(1－410)1－4＝100＋43(410－1)．[引申](1)本例中数列{C n}的前n 项和T n＝__⎩⎨⎧n 24＋43(2n－1)(n 为偶数)，(n ＋1)24＋43(2n －1－1)(n 为奇数).__.(2)本例中若C n ＝a n ·b n ，则{C n }的前n 项和T n ＝__(n －1)·2n ＋1＋2__.[解析] (1)当n 为偶数时T n ＝＋＝n 24＋4(1－4n2 )1－4＝n 24＋43(2n －1)．当n 为奇数时T n ＝＋＝(n ＋1)24＋4(1－4n －12 )1－4＝(n ＋1)24＋43(2n －1－1)．∴T n＝⎩⎨⎧n 24＋43(2n－1)(n 为偶数)，(n ＋1)24＋43(2n －1－1)(n 为奇数).(2)T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ① 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.名师点拨(1)若{a n }，{b n }分别为等差、等比数列，则求{a n ·b n }前n 项和时用“错位相减法”． (2)求奇数项与偶数项表达式不同的数列的前n 项和一般用分组求和法．(注意当n 为偶数时，奇数项、偶数项都是n2项；当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项为n －12项)需对n 进行分类讨论求解．〔变式训练3〕(理)(2021·吉林调研)已知数列{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝8，{b n }是等差数列，b 1＝3，b 4＝12.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .(文)(2019·课标Ⅱ，18,12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．[解析] (理)(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得8＝1×q 3，所以q ＝2，所以a n ＝2n－1.设{b n }的公差为d ，由b 4＝b 1＋3d 得12＝3＋3d ，所以d ＝3，所以b n ＝3n . (2)因为数列{a n }的前n 项和为a 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1，数列{b n }的前n 项和为b 1n ＋n (n －1)2d ＝3n ＋n (n －1)2×3＝32n 2＋32n ，所以S n ＝2n －1＋32n 2＋32n . (文)(1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0，解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.。

第3课时等比数列及其前n项和考纲索引1.等比数列的概念及其性质.2.等比数列的通项公式与前n项和公式.课标要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中,识别数列的等比数列,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的定义如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,通常用字母表示.2.等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1,公比是q,则它的通项a n= .3.等比中项若,那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质5.等比数列的前n项和公式等比数列{a n}的公比为q(q≠0),其前n项和为S n.当q=1时,S n= ;当q≠1时,S n= = .基础自测指点迷津◆一个常数◆两种防范(1)由a n+1=qa n,q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列,还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.◆等比中项的存在情况(1)任何两个数不一定有等比中项G2=ab>0(a,b同号),如-1,1之间无等比中项.(2)两个数之间可能有一个或者两个等比中项.如:2,3之间等比中项可为,-(之一或之二).考点透析考向一等比数列的基本计算例1(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.【审题视点】利用等比数列的定义求得q,进而求得a6.【方法总结】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,a n,S n一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.变式训练1. (2014·全国大纲)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6等于().A. 31B. 32C. 63D. 64考向二等比数列的判定或证明【审题视点】构造a n+1+1与a n+1的关系,并断定a1+t,故讨论t的取值.变式训练考向三等比数列的性质及应用A. 3B. 9C. 27D. 81【审题视点】利用等比数列的性质或等比中项求解.【方法总结】求解数列问题,利用其性质可使求解过程简单.涉及到等比数列的“两项积”时,可考虑性质的应用.3. (2014·广东)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .真题体验2. (2014·福建)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.参考答案与解析知识梳理1.二同一个公比q2.a1·q n-13.a,G,b成等比数列4.(1)q n-m(2)a k·a l=a m·a n(4)q n5.na1基础自测考点透析变式训练经典考题真题体验。