2013届高三北师大版文科数学一轮复习课时作业(41)空间点、直线、平面之间的位置关系

课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2.如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1与AA1的中点，则下列判断正确的是()A.直线AC与BF是相交直线B.直线C1E与AC互相平行C.直线C1E与BF是异面直线D.直线DB与AC互相垂直3.(2020浙江，6)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱B1C1的中点，则平面AD1E截该正方体所得的截面面积为()A.4√2B.2√2C.4D.926.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的是()7.已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是.8.如图，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是.9.如图，点A在平面α外，△BCD在平面α内，E，F，G，H分别是线段BC，AB，AD，DC的中点.(1)求证:E，F，G，H四点在同一平面上;(2)若AC=6，BD=8，异面直线AC与BD所成角为60°，求EG的长.综合提升组10.如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论不正确的是()A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1四点共面C.C1，O，C，M四点共面D.D，B1，O，M四点共面11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M 为线段AP的中点，则下列说法中不正确的是()A.CM与PN是异面直线B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BB1D1DD.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有条.13.(2021湖南长沙一中月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点，F为棱AA1的中点，且CE=2C1E，AB=2，AA1=3，BC=4，则平面BEF截该长方体所得截面为边形，截面与侧面ADD1A1，侧面CDD1C1的交线长度之和为.14.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC ∥AD ，且BC=12AD ，BE ∥AF 且BE=12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形. (2)C ，D ，E ，F 四点是否共面?为什么? (3)证明:直线FE ，AB ，DC 相交于一点.创新应用组15.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K 为棱A1B1的中点，则截面面积为，若截面把正方体分成体积之比为2∶1的两部分，则A1K=.KB1课时规范练34空间点、直线、平面之间的位置关系1.C解析:由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线.若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.故选C.2.D解析:由题知，AC⊂平面ABCD，BF与平面ABCD交于点B，B∉AC，所以直线AC与BF是异面直线，故A错误;AC⊂平面ACC1A1，EC1与平面ACC1A1交于点C1，C1∉AC，所以直线C1E与AC是异面直线，故B错误;根据正方体性质EF∥AD1∥BC1，所以E，F，B，C1四点共面，所以直线C1E与BF不是异面直线，故C错误;正方体各个表面均为正方形，所以直线DB与AC互相垂直，故D正确.故选D.3.B解析:由条件可知，当m，n，l在同一平面内时，三条直线不一定两两相交，有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来，当空间中不过同一点的三条直线m，n，l两两相交时，如图，三个不同的交点确定一个平面，则m，n，l在同一平面内，所以“m，n，l”共面是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件.故选B.4.B解析:对于A，通过常见的正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错误;对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B正确;对于C，如三棱柱中的三条侧棱平行，但不共面，故C错误;对于D，如三棱锥的三条侧棱共点，但不共面，故D错误.故选B.5.D解析:由题意可得，如图所示，因为E，F分别是B1C1，BB1的中点，所以BC1∥EF，在正方体中，AD1∥BC1，所以AD1∥EF，所以A，D1，E，F在同一平面内，所以平面AD1E截该正方体所得的截面为平面AD1EF.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，所以EF=√2，AD 1=2√2，等腰梯形的高为√2，所以四边形AD 1EF 的面积S=(√2+2√2)×√22=92，故选D .6.C 解析:对于A ，连接PR ，QS ，得PR ，QS 与正方体的(竖立的)棱平行且相等，因此四边形PQSR 是平行四边形，故PQ ，RS 共面;对于B ，RS 与正方体的面对角线AB 平行，PQ 与CD 平行，又AB ∥CD ，故PQ ∥RS ，则PQ ，RS 共面;对于C ，RS ⊂平面PRS ，P ∈平面PRS ，P ∉RS ，Q ∉平面PRS ，所以QP 与RS 是异面直线，故PQ 与RS 不共面;对于D ，设QP 与BA 延长线交于点C 1，SR 与BA 延长线交于点C 2，P ，Q 是正方体棱的中点，所以EP=EQ.又∠C 1AP=∠QEP=90°，所以∠EPQ=∠EQP=45°，所以∠C 1PA=∠EPQ=45°，从而∠AC 1P=45°，所以AC 1=AP.同理AC 2=AR ，所以AC 1=AP=AR=AC 2，即C 1，C 2重合， 所以PQ ，RS 相交，即PQ ，RS 共面.故选C . 7.平行或异面解析:如图，由于ABCD 是梯形，AB ∥CD ，所以AB 与CD 无公共点，又CD ⊄平面α，所以CD 与平面α无公共点.当m ∥AB 时，则m ∥DC ;当m 与AB 相交时，则m 与DC 异面.8.直线CD 解析:由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β.因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ， 所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上. 又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上， 所以平面ABC ∩平面β=CD.9.(1)证明因为E ，F ，G ，H 分别是线段BC ，AB ，AD ，DC 的中点.故FG ∥BD ，且FG=12BD ，同理EH ∥BD ，且EH=12BD ，故FG ∥EH ，且FG=EH.故四边形EFGH 为平行四边形.故E ，F ，G ，H 四点在同一平面上.(2)解由(1)知四边形EFGH 为平行四边形，且FG=12BD=4，FE=12AC=3.又异面直线AC 与BD 所成角为60°，故∠GFE=60°或120°.当∠GFE=60°时，EG 2=FE 2+FG 2-2FE ·FG cos60°=25-12=13. 此时EG=√13;当∠GFE=120°时，EG 2=FE 2+FG 2-2FE ·FG cos120°=25+12=37. 此时EG=√37，所以EG 的长为√13或√37.10.D 解析:平面AA 1C ∩平面AB 1D 1=AO ， ∵直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ， ∴M ∈AO ，即A ，O ，M 三点共线; 根据A ，O ，M 三点共线，知A 1A ∩AO=A ， ∴M ，O ，A 1，A 四点共面; 同理，M ，O ，C 1，C 四点共面;由图知，OM ，B 1D 是异面直线，故O ，M ，B 1，D 四点不共面. 故选D .11.A 解析:由题知，点C ，N ，A 共线，即CN ，PM 交于点A ，所以A ，N ，C ，P ，M 共面，因此CM ，PN 共面，故A 错误;记∠PAC=θ，则PN 2=AP 2+AN 2-2AP ·AN cos θ=AP 2+14AC 2-AP ·AC cos θ，CM 2=AC 2+AM 2-2AC ·AM cos θ=AC 2+14AP 2-AP ·AC cos θ，又AP<AC ，CM 2-PN 2=34(AC 2-AP 2)>0，CM 2>PN 2，即CM>PN ，故B 正确;在正方体中，AN ⊥BD ，BB 1⊥平面ABCD ，则BB 1⊥AN ，BB 1∩BD=B ，可得AN ⊥平面BB 1D 1D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面BB 1D 1D ，故C 正确;过P ，A ，C 三点的正方体的截面与C 1D 1相交于点Q ，则AC ∥PQ ，且PQ<AC ，因此一定是等腰梯形，故D 正确，故选A .12.无数 解析:(方法1)在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点.如图所示.(方法2)在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α.因为CD 与平面α不平行，所以CD 与平面α相交，设CD 与平面α交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线.由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交. 13.五10+9√56解析:如图，设平面BEF 与棱C 1D 1，A 1D 1分别交于G ，H ，则截面为五边形BEGHF.易知BF ∥EG ，BE ∥FH ，则∠ABF=∠EGC 1，∠CBE=∠A 1HF ， ∴C 1EC1G=AFAB =322,A 1F A 1H=CE CB =24，而C 1E=1，A 1F=32， ∴C 1G=43，A 1H=3.则FH=√9+94=3√52，GE=√169+1=53，故交线长度之和为FH+GE=3√52+53=10+9√56.14.(1)证明因为G ，H 分别为FA ，FD 的中点，AD.所以GH∥AD，且GH=12AD，又BC∥AD，且BC=12故GH∥BC，且GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形.(2)解C，D，E，F四点共面.理由如下:AF，G是FA的中点可知，由BE∥AF且BE=12BE∥GF且BE=GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF BG.由(1)知BG CH，所以EF∥CH，所以四边形ECHF为平行四边形，所以EC∥FH，故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，E，F四点共面.(3)证明由(2)可知，EC∥DF.所以四边形ECDF为梯形.所以FE，DC交于一点.设FE∩DC=M.因为M∈FE，FE⊂平面ABEF，所以M∈平面ABEF.同理M∈平面ABCD.又平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以点M在AB的延长线上，所以直线FE，AB，DC交于一点.15.98√5-12解析:(1)取B 1C 1的中点M ，连接KM ，MC ，∵KM ∥A 1C 1，而A 1C 1∥AC ， ∴KM ∥AC ，∴A ，C ，M ，K 四点共面，且AK=MC. ∴四边形ACMK 是等腰梯形，如图，KM=√22，AC=√2，AK=√12+(12) 2=√52，AH=√2-√222=√24， ∴KH=√AK 2-AH 2=√(√52)2-(√24)2=3√24， ∴S 四边形ACMK =12×√22+√2×3√24=98.(2)设B 1K=x ，取B 1C 1上的点M ，使B 1K=B 1M=x ，连接KM ，MC ，∵KM ∥A 1C 1，A 1C 1∥AC ，∴KM ∥AC ，∴A ，C ，M ，K 四点共面，∵V B 1MK -BCA =13V A 1B 1CD 1-ABCD =13，∴V B 1MK -BCA =13×12+12x 2+√12×12x 2×1=13， 即x 2+x-1=0. ∵x>0， ∴解得x=-1+√52.即B 1K=-1+√52，则A 1K=1--1+√52=3−√52，故A 1KKB 1=3−√52-1+√52=√5-12.。

§8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系A 组 基础达标一、选择题1．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件2．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；②若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ；③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( ) A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．相交、平行或异面4．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定5．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( ) A.45 B.35 C.23 D.57二、填空题6.如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)7.如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________.8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．三、解答题9.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．10．如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P ­ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．B 组 能力提升1．设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥α C ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α D ．若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α2．如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，点E 在侧棱AA 1上，满足∠C 1EB ＝90°，则异面直线BE 与C 1B 1所成的角为________，侧棱AA 1的长的最小值为________.3．已知三棱锥A ­BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角.——★ 参 考 答 案 ★——A 组 基础达标一、选择题 1． 『答案』A『解析』若l 1，l 2异面，则l 1，l 2一定不相交；若l 1，l 2不相交，则l 1，l 2是平行直线或异面直线，故p ⇒q ，qD ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件． 2．『答案』B『解析』法一：在空间中，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确． 3．『答案』D『解析』依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．4．『答案』D『解析』如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直．因此l 1与l 4的位置关系不能确定． 5．『答案』B『解析』连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝⎛⎭⎫52a 2＋⎝⎛⎭⎫52a 2－a 22·52a ·52a ＝35.二、填空题6.『答案』③④『解析』由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.7.『答案』60°『解析』取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝32，AE＝32，故∠AB1E＝60°.8．『答案』4『解析』取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.三、解答题9. 解：(1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.(2)直线D1B和CC1是异面直线.理由：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立， 即D 1B 和CC 1是异面直线.10．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ­ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.B 组 能力提升1．『答案』B『解析』若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；易知B 正确；若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故C 错误；若a ∥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α或b 与α相交，故D 错误． 2．『答案』90° 2『解析』连结BC 1，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，CB ⊥平面ABB 1A 1，∴∠CBE ＝90°，又C 1B 1∥BC ，∴异面直线BE 与C 1B 1所成的角为90°.设AA 1＝x ，AE ＝m (m ≥0)，所以BE 2＝1＋m 2，EC 21＝(x －m )2＋2，BC 21＝1＋x 2，因为∠C 1EB ＝90°，所以BC 21＝EC 21＋BE 2，即1＋x2＝(x －m )2＋2＋1＋m 2，即m 2－mx ＋1＝0，所以x ＝m ＋1m ≥2⎝⎛⎭⎫当且仅当m ＝1m ，即m ＝1时“＝”成立. 3．解：如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角). 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，①若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 和MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形， 所以∠PMN ＝30°，即AB 和MN 所成的角为30°. 综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.。

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ­ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理101两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内． 公理2：经过02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有03且只有一条过04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A 在平面α内记作05A ∈α，点A 不在平面α06A ∉α. (2)点与直线的位置关系点A 在直线l 07A ∈l ，点A 不在直线l 08A ∉l .(3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作09l ⊂α，直线l 不在平面α内记作10l ⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a 11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A 12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A 13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线14平行，15相交.16任何一个平面内的两条直线.(2)空间平行线的传递性公理417互相平行．(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角18相等或互补．(4)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的19锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：20(0°，90°]．4．空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A 1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面,平行个α∥β0个相交α∩β＝l,无数个1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个方法过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α答案 D解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c 与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b为异面直线矛盾，D 错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成的角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以直线PD与直线AB所成的角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF ，CD 1，A 1B .∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，∴EF ∥A 1B . 又A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1. ∴E ，C ，D 1，F 四点共面． (2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1，∴直线CE 与直线D 1F 必相交，设交点为P . 则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．1．证明点或线共面问题的两种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2．证明点共线问题的两种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； 3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．[即时训练] 1.如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设直线EG 与直线FH 交于点P .求证：P ，A ，C 三点共线． 证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知EF 綊12BD ，GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形， ∴直线GE 与直线HF 交于一点， 设EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点， 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 精准设计考向，多角度探究突破 考向二 空间两条直线的位置关系 角度1 两条直线位置关系的判定例2 (1)(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 答案 B解析 如图，取CD 的中点F ，DF 的中点G ，连接EF ，FN ，MG ，GB ，BD ，BE .∵点N 为正方形ABCD 的中心， ∴点N 在BD 上，且为BD 的中点． ∵△ECD 是正三角形，∴EF ⊥CD .∵平面ECD ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD . ∴EF ⊥FN .不妨设AB ＝2，则FN ＝1，EF ＝3， ∴EN ＝FN 2＋EF 2＝2.∵EM ＝MD ，DG ＝GF ，∴MG ∥EF ， ∴MG ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥BG .∵MG ＝12EF ＝32，BG ＝CG 2＋BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52，∴BM ＝MG 2＋BG 2＝7.∴BM ≠EN . ∵BM ，EN 都是△DBE 的中线， ∴BM ，EN 必相交．故选B.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m ，n 是两条直线，A 是一个点，若m ⊄α，n ⊂α，且A ∈m ，A ∈α，则m ，n 的位置关系不可能是( )A ．垂直B ．相交C ．异面D ．平行答案 D解析 ∵α是一个平面，m ，n 是两条直线，A 是一个点，m ⊄α，n ⊂α，A ∈m ，A ∈α，∴n 在平面α内，m 与平面α相交，A 是m 和平面α的交点，∴m 和n 异面或相交，也可能异面垂直或相交垂直，但一定不平行．故选D.角度2 异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．答案 ②④解析 ①中GH ∥MN ；③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，所以直线GH 与MN 必相交；②④中直线GH 与MN 是异面直线．[即时训练] 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；当l ⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；当l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(写出所有正确结论的序号)．答案③④解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1的中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三异面直线所成的角例4 (1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．答案60°解析取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE.在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝32，因为B1E⊥A1C1，平面A1B1C1⊥平面AA1C1C，平面A1B1C1∩平面AA1C1C＝A1C1，所以B1E⊥平面AA1C1C，又AE⊂平面AA1C1C，所以B1E⊥AE，所以cos∠AB1E＝12，故∠AB1E＝60°.(2)正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是________．答案60°解析如图所示，连接A1B，可知A1B∥E1D，∴∠A1BC1是异面直线E1D与BC1所成的角．连接A1C1，可求得A1C1＝C1B＝BA1＝3，∴∠A1BC1＝60°，即侧面对角线E1D与BC1所成的角是60°.求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法．平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成角的三步曲：“一作、二证、三求”．①一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． ②二证：证明作出的角是异面直线所成的角．③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．④其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．[即时训练] 4.如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 与AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG . ∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG .∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ，∴∠FGE ＝90°， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.5．(2019·湖南常德模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2FA ，则EF 与BD 1的位置关系是( )A ．相交但不垂直B ．相交且垂直C ．异面D ．平行答案 D解析 连接D 1E 并延长，与AD 交于点M ，则△MDE ∽△D 1A 1E ，因为A 1E ＝2ED ，所以M 为AD 的中点．连接BF 并延长，交AD 于点N ，同理可得，N 为AD 的中点．所以M ，N 重合，又ME ED 1＝12，MF BF ＝12，所以ME ED 1＝MF BF ，所以EF ∥BD 1.(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22答案 C解析 解法一：如图，补上一相同的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.易知AD 1∥DE 1，则∠B 1DE 1为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，所以DE 1＝DE 2＋EE 21＝12＋32＝2，DB 1＝ 12＋12＋32＝5，B 1E 1＝ A 1B 21＋A 1E 21＝12＋22＝5，在△B 1DE 1中，由余弦定理，得cos ∠B 1DE 1＝22＋52－522×2×5＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.解法二：如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C. 解法三：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，则由向量夹角公式，得cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C. 答题启示 (1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形．对点训练(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析 解法一：如图所示，将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，5＋2－3 2×5×2＝105，故选C.所以cos∠B1AD1＝解法二：如图，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1的中点，连接MN ，NP ，MP ，则MN ∥AB 1，NP ∥BC 1，所以∠PNM 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．易知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22.取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，可知△PQM 为直角三角形，PQ ＝1，MQ ＝12AC .在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以AC ＝7，MQ ＝72. 在Rt △MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则在△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫11222×52×22＝－105，所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.故选C.解法三：作BH ⊥AC ，H 为垂足．以H 为坐标原点，HB →方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知可得|BH |＝217，|AH |＝577，|CH |＝277， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－577，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫217，0，0， B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫217，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，277，1， 从而AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫217，577，1，BC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－217，277，1， cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝105.故选C.。

课时作业(四十二) [第42讲空间两直线][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线2．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC＋AD＝2a，则MN与a的大小关系是( )A．MN>a B．MN＝aC．MN<a D．不能确定4．[2011·临沂模拟] 如图K42－1，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．能力提升5．[2011·福州二检] 给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．46．[2011·济宁一模] 已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交7．正四面体P－ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为( )图K42－2A.32B.34C.36D.338．已知异面直线a，b互相垂直，定点P不在直线a，b上，若过P点的直线l与a成25°角，则l与b所成角θ的取值范围为( )A．[0°，45°) B．[65°，90°]C．[45°，90°) D．(0°，25°]9．如图K42－3是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE 是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直，以上命题中，正确的序号是( )A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④10．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上) 11．ABCD与CDEF是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，则DF与AC所成角的大小为________．12．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．13．在图K42－4中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)K42－14．(10分)如图K42－5所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1的中点．试判断四边形EBFD1的形状．15．(13分)[2011·长宁期末] 若四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD (如图K42－6)，且PA ＝2 3.(1)求异面直线PD 与BC 所成角的大小； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．难点突破16．(12分)已知：如图K42－7，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 上的点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ(0<λ、μ<1)，试判断FE 、GH 与AC的位置关系．课时作业(四十二)【基础热身】1．C [解析] c 与b 不可能是平行直线，否则与条件矛盾．2．A [解析] 直线EF 和GH 不相交，则EF 与GH 平行或异面，故E 、F 、G 、H 四点可能共面．3．C [解析] 取AC 中点E ，则ME ∥BC ，且ME ＝12BC ，NE ∥AD ，且NE ＝12AD .∴BC ＋AD ＝2(ME ＋NE )＝2a ，在△MNE 中，MN <ME ＋NE )＝a .故选C.4．③④ [解析] 由已知：①错．因为AM 与CC 1为异面直线；②错，因为若AM ∥BN ，则取DD 1中点G ，连接AG ，由AG ∥BN 可得AM ∥AG ，这与AM 和AG 相交矛盾．③④正确．【能力提升】5．B [解析] 没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；③④显然正确．6．D [解析] 若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB ∥CD ；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线，故选D.7．C [解析] 如图，取PB 中点N ，连接CN 、MN ，则MN ∥PA ，故∠CMN 为PA 与CM 所成的角(或所成角的补角)， 设PA ＝2，则CM ＝3，MN ＝1，CN ＝3，∴cos ∠CMN ＝CM 2＋MN 2－CN 22CM ·MN ＝36，故选C.8．B [解析] 将异面直线a ，b 平移至相交于P 点，当平移后的直线a ，b 与l 这三条直线在同一平面内时，θ取得最小值65°，当b 垂直于a ，l 所在的平面时，θ取得最大值90°.9．C [解析] 首先将展开图还原(如图)，然后可利用排除法，容易观察出命题①②都是错误的，通过观察选择支，即可知选择C.10．② [解析] 对于①可举反例，如AB ∥CD ，A 、B 、C 、D 没有三点共线，但A 、B 、C 、D 共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.11.π3[解析] 如图，将该图补成一个正方体，则AG ∥DF ，则∠CAG 即为DF 与AC 所成的角，由AG ＝AC ＝CG 知，∠CAG ＝π3.12．24 [解析] 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线必须是面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)．13．②④ [解析] 图①中，直线GH ∥MN ； 图②中，G 、H 、N 三点共面，但M ⊄面GHN ， 因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面； 图④中，G 、M 、N 共面，但H ⊄面GMN ， ∴GH 与MN 异面．所以图②④中GH 与MN 异面．14．[解答] 如图，取BB 1的中点M ，连接A 1M 、MF .∵M 、F 分别是BB 1、CC 1的中点， ∴MF 綊B 1C 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1綊B 1C 1， ∴MF 綊A 1D 1，∴四边形A 1MFD 1是平行四边形， ∴A 1M ∥D 1F .又E 、M 分别是AA 1、BB 1的中点， ∴A 1E 綊BM ，∴四边形A 1EBM 为平行四边形， ∴EB ∥A 1M ，故EB ∥D 1F . 同理BF ∥ED 1，∴四边形EBFD 1是平行四边形． 又Rt △EAB ≌Rt △FCB ，∴BE ＝BF ，故四边形EBFD 1为菱形．15．[解答] (1)∵AD ∥BC ，∴∠PDA 的大小即为异面直线PD 与BC 所成角的大小． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，由PA ＝23，AD ＝2，得tan ∠PDA ＝3，∴∠PDA ＝60°， 故异面直线PD 与BC 所成角的大小为60°. (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×22×23＝833.【难点突破】16．[解答] ∵AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ， ∴EH ∥BD ，FG ∥BD .∴EH ∥FG ，EH ＝λ·BD ，FG ＝μ·BD . ①当λ＝μ时，EH ∥FG ，且EH ＝FG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH . AH AD ＝CGCD，∴HG ∥AC . 由公理4知，EF ∥GH ∥AC .②当λ≠μ时，EH ∥FG ，但EH ≠FG .∴四边形EFGH 是梯形，且EH 、FG 为上下两底边，∴EF 、GH 为梯形的两腰，它们必交于点P ，P ∈直线EF ，P ∈直线HG .又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ADC ，∴P 是平面ABC 和平面ADC 的公共点．又∵平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈直线AC ， ∴三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF 、GH 、AC 互相平行； 当λ≠μ时，三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．。

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课时作业(四十一）第41讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础热身1。

[2017·闽南八校二联]已知直线a,b分别在两个不同的平面α，β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交"的(）A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C.充要条件D。

既不充分也不必要条件2.[2017·郑州一模］已知直线a和平面α，β，α∩β=l，a⊄α，a⊄β，且a在α,β内的射影分别为直线b，c,则直线b和c的位置关系是(）A.相交或平行B.相交或异面C。

平行或异面D.相交、平行或异面3.下面四个说法中正确的个数为(）（1）如果两个平面有四个公共点，那么这两个平面重合;(2)两条直线可以确定一个平面;（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l,则M∈l；(4)在空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.A。

1 B.2C。

3 D.44。

[2017·佛山模拟]如图K41-1所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC 的中点,AA1∶AB=∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为。

图K41—15。

如图K41—2是某个正方体的展开图，l1,l2是两条侧面对角线，则在正方体中，下面关于l1与l2的四个结论中正确的是.(填序号)①互相平行;②异面垂直；③异面且夹角为；④相交且夹角为.图K41—2能力提升6.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(）A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B。

课时作业(四十四)空间点、直线、平面之间的位置关系[授课提示：对应学生用书第251页]一、选择题1.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．答案：D2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C. 不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．答案：C3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∵A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，错误；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误．B1C1中，AA1⊥底面1的中点，则直线EF和BCC，B1C与BC1交于点连接HB，在三角形GHBHGB＝60°.下列命题中正确的个数是解析：对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图1所示的三棱锥P－ABC中，PB⊥面ABC，BA⊥BC，满足P A，PC两边在底面的射影相互垂直，但P A与PC不垂直，故②错误；对于③，在如图2所示的三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝AC ＝P A＝2，PB＝PC＝3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥P－ABC不是正三棱锥，故③错误；对于④，直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α，β可以平行，故④错误．所以正确命题的个数为0.选A.答案：A二、填空题7．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：③④8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．解析：B1C与AD1异面，连接B1C，BC1(图略)，则BC1∥AD1，且BC1⊥B1C，所以AD1与B1C所成的角为90°.答案：19.中，M，N分别为棱C不必说明画法和理由)；把该长方体分成的两部分体积的比值．EHGF如图所示．M，则AM＝A1E＝4，EB1＝为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.AH＝10，HB＝6.11．如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．证明：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立．∴AD和BC是异面直线．12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.。

模块： 十一、立体几何课题： 1、平面、空间直线教学目标： 知道平面的含义，理解平面的基本性质，会用文字语言、图形语言、集合语方表述平面的基本性质；掌握确定平面的方法，并能运用于确定长方体的简单截面．掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系，并能用图形、符号和集合语言予以表示．重难点： 平面的基本性质，平行线的传递性，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及其表示方法．一、 知识要点1、平面的基本性质公理1、如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 公理2、如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．公理3、经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．推论2、经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面．公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行．2、空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点． 3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．二、 例题精讲例1、四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC=2∶3，DH ∶HA=2∶3求证：EF 、GH 、BD 交于一点．答案：证明略．例2、已知n 条互相平行的直线123,,,,n l l l l 分别与直线l 相交于点12,,,n A A A ， 求证：123,,,,n l l l l 与l 共面．例3、已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，四条边AB ，BC ，DC ，AD （或其延长线）分别与平面α相交于E ，F ，G ，H 四点，求证：四点E ，F ，G ，H 共线．例4、平面α平面βC =，a α⊂，且//a c ，b β⊂，b c M =，求证：直线a b 、是异面直线．例5、A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．答案：（1）略；（2）45︒例6、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =a ，BC =b ，AA 1=c ，且a >b ，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB 与CC 1；AB 与A 1C 1；AB 与B 1C ．（2）异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值．答案：（1）;;b c 22c b bc +；（2）))((2222222c b a b a b a +++-．例7、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ︒∠=，//AD BC ，AB BC a ==，2AD a =，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30︒角．（1） 若AE PD ⊥，E 为垂足，求证：BE PD ⊥；（2） 求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．答案：（1）略；（2）4．三、 课堂练习1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于 ．2、在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若EFGH 是正方形，则AC 与BD 满足的条件是 ．答案：垂直且相等．3、已知,a b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则,a b 在α上的射影可能是：（1）两条平行直线；（2）两条互相垂直的直线；（3）同一条直线；（4）一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是 ．答案：（1）（2）（4）4、已知m n 、为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A 、与m n 、都相交B 、与m n 、中至少一条相交C 、与m n 、都不相交D 、至多与m n 、中的一条相交答案：B5、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：（1）AB EF ⊥；（2）AB 与CM 成60︒；（3）EF 与MN 是异面直线；（4）//MN CD ，其中正确的是（ ）A 、（1）（2）B 、（3）（4）C 、（2）（3）D 、（1）（3）答案：D6、与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点（ ）A 、有且只有1个B 、有且只有 2个C 、有且只有3个D 、有无数个 答案：D四、 课后作业一、填空题1、空间中有8个点，其中有3个点在一条直线上，此外再无任何三点共线，由这8个点可以确定 条直线，最多可确定 个平面．答案：26，452、已知PA ⊥平面ABC ，90ACB ︒∠=，且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于 ．答案：2．3、（1）若//,//a b b c ，则//a c ；（2）若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥；（3）若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交；（4）若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 也异面．上面的四个命题中，正确命题的题号是 ．答案：（1）4、已知平面//αβ，A C α∈、，B D β∈、，直线AB 与CD 交于S ，且AS=8，BS=9，CD=34，则CS= ．答案：16或2725、以下命题：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线是异面直线；（3）过直线外一点作该直线的垂线是唯一的；（4）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．则其中正确的命题的题号是 ．答案：（1）（4）6、对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 ．（1）相对棱、AB 与CD 所在的直线异面；（2）由顶点A 作四面体的高，其垂足是BDC ∆的三条高线上的交点；（3）若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；（4）分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；（5）最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．答案：（1）（4）（5）二、选择题7、正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，则这个棱柱的侧面对角线1E D 与1BC 所成的角是（ ）A 、90︒B 、60︒C 、45︒D 、30︒ 答案：B8、已知直线a 和平面αβ、，l αβ=，a α⊄，a β⊄，a 在αβ、内的射影分别为直线b 和c ，则b c 、的位置关系是（ ）A 、相交与平行B 、相交或异面C 、平行或异面D 、相交、平行或异面答案：D9、空间中有五个点，其中有四个点在同一个平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：D三、解答题10、正方体1111ABCD A B C D -中，对角线1A C 与平面1BDC 交于点O ，AC BD 、交于点M ，求证：点1C O M 、、共线．11、如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，如PQ 、CB 的延长线交于点M ，RQ 、DB 的延长线交于点N ，RP 、DC 的延长线相交于点K ．求证：M 、N 、K 三点共线．11、长方体1111ABCD A B C D -中，12,,AB BC a A A a E H ===、分别是11A B 和1BB的中点，求：（1）EH 与1AD 所成的角；（2）11A D 与1B C 之间的距离；（3）1AC 与1B C 所成的角．答案：（1）1arccos5；（2）2a ；（3）arccos 5．。

课时分层训练(四十一) 空间图形的基本关系与公理A组基础达标一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1 B．2C．3 D．4B[根据公理2可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据公理3可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD 不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]3．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )【导学号：79140226】A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 4．(2018·某某实战模拟)已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )A ．64 B ．63 C ．26D ．36A [连接AC ，AB 1(图略)，由长方体性质可知AB 1∥DC 1，所以∠AB 1C 就是异面直线B 1C 和C 1D 所成的角．由题知AC ＝1＋(3)2＝2，AB 1＝(3)2＋(3)2＝6，CB 1＝1＋(3)2＝2，所以由余弦定理得cos∠AB 1C ＝AB 21＋CB 21－AC 22AB 1·CB 1＝64，故选A.]5．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B ．22C.33D ．13A [设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m . ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1， 同理可证CD 1∥n .因此直线m ，n 所成的角与直线B 1D 1，CD 1所成的角相等，即∠CD 1B 1为m ，n 所成的角． 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32.] 二、填空题6．(2018·某某调考)已知正六棱锥S ­ABCDEF 的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为________．π4[设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所以SO ＝BC ＝CO ＝1，所以∠SCO ＝π4.]7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．1或4 [如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．]8．(2017·某某模拟)在图7­2­7中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).【导学号：79140227】(1) (2) (3) (4)图7­2­7(2)(4) [图(1)中，直线GH ∥MN ；图(2)中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图(3)中，连接MG (图略)，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图(4)中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面，所以在图(2)(4)中，GH 与MN 异面．]三、解答题9.如图7­2­8所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：图7­2­8(1)AM 和是否是异面直线？说明理由；(2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．[解] (1)AM ，不是异面直线．理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1. 又因为A 1A ═∥C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ， 所以A ，M ，N ，C 在同一平面内， 故AM 和不是异面直线．(2)直线D 1B 和CC 1是异面直线．理由：因为ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B 平面α，CC 1平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立， 即D 1B 和CC 1是异面直线．]10．如图7­2­9所示，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：图7­2­9(1)三棱锥P ­ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ­ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.B 组 能力提升11．(2018·某某质检(一))已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°A [取AC 中点为O ，连接OM ，ON ，则易证OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，所以∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝12BC ＝2，ON ＝12AP ＝23，则cos∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22×ON ×MN ＝32，所以∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小是30°，故选A.]12.如图7­2­10，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________.【导学号：79140228】图7­2­1036[取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ═∥12AD ， 所以∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)． 在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos∠GFH ＝(2)2＋(6)2－(6)22×2×6＝36.]13．如图7­2­11，在四棱锥O ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．图7­2­11(1)求四棱锥O ­ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值． [解] (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4， ∴四棱锥O ­ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE .又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形， ∴tan∠EMD ＝DE EM＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。

课时作业(四十二)空间中的垂直关系A级1．(2012·沈阳模拟)已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m β，则“α∥β”是“l⊥m”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直3．已知直线m，l和平面α，β，则α⊥β的充分条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m α4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB＞PCB．P A＝PB＜PCC．P A＝PB＝PCD．P A≠PB≠PC5．(2012·浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)9．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________．10．(2012·新课标全国卷)如图，在三棱柱ABC －A1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．11．Rt △ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .B级1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．2.如图，四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，设AB＝2.(1)证明：AB⊥平面VAD；(2)E是VA上的动点，当面DCE⊥面VAB时，求三棱锥V－ECD的体积．答案课时作业(四十二)A 级1．B 当α∥β，l ⊥α时，有l ⊥β， 又m β，故l ⊥m .反之，当l ⊥m ，m β时，不一定有l ⊥β，故α∥β不一定成立． 因此“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．2．C 在图1中的等腰直角三角形ABC 中，斜边上的中线AD 就是斜边上的高，则AD ⊥BC ，翻折后如图2，AD 与BC 变成异面直线，而原线段BC 变成两条线段BD ，CD ，这两条线段与AD 垂直，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ，故AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BC .3．D 由⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥l m ∥αl ∥β⇒/ α⊥β，如图.由⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥lα∩β＝m l α⇒/ α⊥β，如图.由⎭⎪⎬⎪⎫m ∥l m ⊥αl ⊥β⇒/ α⊥β，如图.所以选项A ，B ，C 都不对．又选项D 能推出α⊥β，所以D 正确，故选D.4．C ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故P A ＝PB ＝PC .5．B 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l α，l β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A 错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以B 正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此D 错误．6．解析： ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ； ∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面P AC ， ∴AB ⊥PC .与AP 垂直的直线是AB .答案： AB ，BC ，AC AB7．解析： 若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β. 答案： ②④8．解析： 由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 即有PC ⊥平面MBD ，而PC 平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案： DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等) 9.解析： 如图，∵P －ABC 为正三棱锥， ∴PB ⊥AC ；又∵DE ∥AC ，∴AC ∥平面PDE .故①，②正确． 答案： ①②10．解析： (1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1 平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1 平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC . (2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，设AC ＝1.由题意得 V 1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1. 故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.11．证明： (1)取AB 的中点E ，连结SE ，DE ， 在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点， 故DE ∥BC ，且DE ⊥AB .∵SA ＝SB ，∴△SAB 为等腰三角形．SE ⊥AB . 又∵DE ⊥AB ，SE ∩DE ＝E ， ∴AB ⊥平面SDE .而SD 平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又∵SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，而BD 平面ABC，∴SD⊥BD.又∵BD⊥AC，SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.B级1．解析：(1)证明：连接A1B，则AB1⊥A1B，又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，∴AB1⊥平面A1BF.∵BF 平面A1BF，∴AB1⊥BF.(2)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG＝∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.∵BF 平面BFG，∴AE⊥BF.(3)存在．取CC1中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面AEP.2．解析：(1)证明：∵平面VAD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．∴AB⊥AD.又平面VAD∩底面ABCD＝AD.故AB⊥平面VAD.(2)由(1)可知AB⊥平面VAD，∴CD⊥平面VAD.∴平面VAD⊥平面ECD.又∵△VAD是正三角形，∴当E是VA中点时，ED⊥VA.∴VA⊥面EDC，∵VA 面VAB，∴面VAB⊥面EDC.此时三棱锥V－EDC的体积等于三棱锥C－VED的体积，V C －EDV ＝13·S △VED ·DC ＝13×12×3×1×2＝33.。

课时作业41 空间点、直线、平面之间的位置关系[基础达标]一、选择题1．[2020·江西七校联考]已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( ) A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．答案：D2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．答案：D3.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A ，M ，O 三点共线． 答案：A4．[2020·河北张家口模拟]三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.35 C.710 D.45解析：取BC 的中点O ，连接NO ，AO ，MN ，因为B 1C 1綊BC ，OB ＝12BC ，所以OB ∥B 1C 1，OB ＝12B 1C 1，因为M ，N 分别为A 1B 1，A 1C 1的中点，所以MN ∥B 1C 1，MN ＝12B 1C 1，所以MN 綊OB ，所以四边形MNOB 是平行四边形，所以NO ∥MB ，所以∠ANO 或其补角即为BM 与AN 所成角，不妨设AB ＝2，则有AO ＝3，ON ＝BM ＝5，AN ＝5，在△ANO 中，由余弦定理可得cos∠ANO ＝AN 2＋ON 2－AO 22AN ·ON＝5＋5－32×5×5＝710.故选C. 答案：C5．[2020·陕西省高三质检]已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30° B．45° C ．60° D．90° 解析：本题考查异面直线所成角，取AC 中点为O ，连接OM ，ON ，则易证OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，所以∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝12BC ＝2，ON＝12AP ＝23，则cos∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22×ON ×MN ＝32，所以∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小是30°，故选A.答案：A 二、填空题6．设P 表示一个点，a ，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α； ②a ∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β；③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α； ④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b . 解析：当a ∩α＝P 时，P ∈a ，P ∈α， 但a ⊄α，∴①错；a ∩β＝P 时，②错；如图∵a ∥b ，P ∈b ，∴P ∉a ，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α， 又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面γ， 但γ经过直线a 与点P ，∴γ与α重合，∴b ⊂α，故③正确； 两个平面的公共点必在其交线上，故④正确． 答案：③④7．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图(1)中，直线GH ∥MN ；图(2)中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面； 图(3)中，连接MG ，HN ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面； 图(4)中，G ，M ，N 共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图(2)，(4)中GH与MN异面．答案：(2)(4)8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成的角的大小为________．解析：如图，连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C(或其补角)即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°三、解答题9.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．10．[2020·福建四地六校联考]已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求异面直线AB与MN所成角的大小．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD . ∴∠MPN 或其补角为AB 与CD 所成的角，则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， ∵PM ∥AB ，∴∠PMN 或其补角是AB 与MN 所成的角， ∵AB ＝CD ，∴PM ＝PN ， 若∠PMN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，∴∠PMN ＝60°， ∴AB 与MN 所成的角为60°. 若∠MPN ＝120°，则∠PMN ＝30°，∴AB 与MN 所成的角为30°， 综上，异面直线AB 与MN 所成的角为30°或60°. 答案：30°或60°[能力挑战]11．[2020·四川成都一诊]在各棱长均相等的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知M 是棱BB 1的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为( )A. 3 B ．1 C.63 D.22解析：通解 取AA 1的中点P ，连接PN ，PB ，则由直三棱柱的性质可知A 1M ∥PB ，则∠PBN 为异面直线A 1M 与BN 所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN ＝2，PB ＝5，BN ＝3，所以PN 2＋BN 2＝PB 2，所以∠PNB ＝90°，在Rt△PBN 中，tan∠PBN ＝PNBN＝23＝63，故选C.优解以N 为坐标原点，NB ，NC 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过点N 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝2，则N (0,0,0)，A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，M (3，0,1)，所以NB →＝(3，0,0)，A 1M →＝(3，1，－1)．设直线A 1M 与BN 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈NB →，A 1M →〉|＝|NB →·A 1M →||NB →|·|A 1M →|＝33×5＝155，则sin θ＝105，tanθ＝63，故选C. 答案：C12．[2020·安徽联合检测]若在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠A 1AC ＝∠BAC ＝60°，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝AB ，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为( )A.22 B.24 C.32 D.34解析：解法一 如图，在平面ABC ，平面A 1B 1C 1中分别取点D ，D 1，连接BD ，CD ，B 1D 1，C 1D 1，使得四边形ABDC ，A 1B 1D 1C 1为平行四边形，连接DD 1，BD 1，则AB ＝C 1D 1且AB ∥C 1D 1，所以AC 1∥BD 1，故∠A 1BD 1即异面直线AC 1与A 1B 所成的角．连接A 1D 1，过点A 1作A 1M ⊥AC 于点M ，连接BM ，设AA 1＝2，由∠A 1AM ＝∠BAC ＝60°，得AM ＝1，BM ＝3，A 1M ＝3，因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1M ⊂平面A 1ACC 1，所以A 1M ⊥平面ABC ，所以A 1M ⊥BM ，所以A 1B ＝6，在菱形A 1ACC 1中，易求得AC 1＝23＝BD 1，在菱形A 1B 1D 1C 1中，易求得A 1D 1＝23，所以cos∠A 1BD 1＝A 1B 2＋BD 21－A 1D 212A 1B ·BD 1＝6＋12－1226×23＝24，所以异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为24.解法二 令M 为AC 的中点，连接MB ，MA 1，易得MA ，MB ，MA 1两两垂直．以M 为原点，MA →，MB →，MA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝AC ＝AB ＝2，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，A 1(0,0，3)，C 1(－2,0，3)，所以AC 1→＝(－3,0，3)，A 1B →＝(0，3，－3)，所以cos 〈AC 1→，A 1B →〉＝－323×6＝－24，故异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为24. 答案：B13．[2020·广东广州质检]如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点．在这个正四面体中：①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，由正四面体的性质易知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .答案：②③④。

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：点、直线、平面之间的位置关系本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知m ，n 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是 ( ）A ．,n αββ⊥⊂B ．//,n αββ⊥C ．,//n αββ⊥D ．,m n m α⊥⊥【答案】B2．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d 1，平面α2，α3之间的距离为d 2，直线l 与α1，α2，α3分别相交于P 1，P 2，P 3.那么“P 1P 2＝P 2P 3”是“d 1＝d 2”的( )A ．充分不必要条件．充分【答案】C3．3个平面把空间分成6个部分，则（ ）.A ．三平面共线B ．三平面两两相交C ．有两平面平行且都与第三平面相交D ．三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交【答案】D4．从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的线条数不可能是（ ）A ．0条或1条B ．0条或无数条C ．1条或2条D ．0条或1条或无数条【答案】D5．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ；②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥. 其中正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ． 2个D ． 3个【答案】B6．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A ． 直线a 必垂直于平面βB ． 直线b 必垂直于平面αC ． 直线a 不一定垂直于平面βD ． 过a 的平面与过b 的平面垂直【答案】C7．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：（1）//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭(2）//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭（3）//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭（4）////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭，其中，假命题是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（1）（3）D ．（2）（4）【答案】D8．若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ）A ．过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行B ． 过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行C ． 过A 在平面α内可作两条直线与l 平行D ． 与A 的位置有关【答案】B9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出一列四个命题：①若,α⊥m α//n ，则n m ⊥；②若βα//，γβ//，,α⊥m 则γ⊥m ；③若,//αm α//n ，则n m //；④若γα⊥，γβ⊥，则βα//. 其中正确．．命题的序号是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 【答案】A10．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得（ ）A ．αα⊂⊂b a ,B ．b a ,α⊂∥αC ．αα⊥⊥b a ,D ．αα⊥⊂b a , 【答案】B11．已知α、β是两上不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若m ,m ,⊥α⊂β则α⊥β；②若m ,n ,m //,n //,⊂α⊆αββ则//αβ③如果m ,n ,m,n ⊂α⊄α是异面直线，那么n α与相交④若m,n //m,n ,n ,α⋂β=⊄α⊄β且则n //n //αβ且。

课时作业(四十一) 空间点、直线、平面的位置关系一、单项选择题1．若l 1、l 2为异面直线，直线l 3∥l 1，则l 3与l 2的位置关系是( ) A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交2．[2024·山东郯城一中月考]若直线a ，b 是异面直线，且a ∥α，则直线b 与平面α的位置关系是( )A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b 与α相交D ．以上都有可能3．[2024·河南开封模拟]在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的全部面对角线中，所在直线与直线A 1B 互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．若∠AOB ＝∠A ′O ′B ′，OA ∥O ′A ′，且OA 与O ′A ′的方向相同，则OB 与O ′B ′( )A ．肯定平行且方向相同B ．肯定平行且方向相反C ．肯定不平行D ．不肯定平行5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定6．如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是( )7.[2024·河南扶沟二中期末]如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若AA 1＝AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1C ，AB 所成角的大小是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．[2024·江西南昌期末]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，假如直线EF 与GH 相交于点M ，那么( )A．点M肯定在直线AC上B．点M肯定在直线BD上C．点M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.点M既不在直线AC上，也不在直线BD上9．(实力题)设a，b是异面直线，那么( )A．必定存在唯一的一个平面，同时平行于a，bB．必定存在唯一的一个平面，同时垂直于a，bC．过直线a存在唯一的一个平面平行于直线bD．过直线a存在唯一的一个平面垂直于直线b10.(实力题)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为线段BD上随意一点(包括端点)，则肯定有( )A．PC1与AA1异面B．PC1与AA1相交C．PC1与平面AB1D1平行D．PC1与平面AB1D1相交二、多项选择题11.如图，是正方体的平面绽开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确的是( ) A．BM与ED平行B．CN与BM成60°角C．CN与BE是异面直线D．DM与BN是异面直线12.(实力题)[2024·山东潍坊一中模拟]如图所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，SD＝AB，则下列选项中两异面直线所成夹角大于45°的是( ) A．BC与SD B．AB与SCC．SB与AD D．AC与SB三、填空题13．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．则四边形EFGH是________．14．(实力题)[2024·河南商丘一中学期末]已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为正方形且AB ＝2，AA 1＝4，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为________．四、解答题15．[2024·广东韶关期末]如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是AB ，AA 1的中点．(1)求直线B 1E 与直线C 1D 1所成角的正切值； (2)求三棱锥D ­B 1EF 的体积． 优生选做题16．[2024·山东聊城模拟]已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线l 是底面所在平面内的一条直线，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤223，1 17．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、AA 1的中点．求证：(1)CE 、D 1F 、DA 三线共点；(2)直线BC 和直线D 1F 是异面直线．课时作业（四十一）空间点、直线、平面的位置关系1．解析：∵l1、l2为异面直线，∴直线l1与l2所成角为锐角或直角，∵l3∥l1，∴直线l3与l2所成角为锐角或直角，由此可得：l3与l2不平行，即直线l3与l2的位置关系为相交或异面．答案：D2．解析：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD视为平面α，直线A1B1为直线a，点E，F分别为棱AA1，DD1的中点，如图，明显有a∥α，当直线b为直线AD时，直线a，b是异面直线，此时b⊂α；因EF∥AD，AD⊂平面α，EF⊄平面α，则EF∥α，当直线b为直线EF时，直线a，b 是异面直线，此时，b∥α；当直线b为直线CC1时，直线a，b是异面直线，此时，b与α相交，所以直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内．故选D.答案：D3．解析：如图，易知△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，又AC∥A1C1，所以异面直线AC 与A1B的夹角为60°，符合题设．同理，面对角线B1C，B1D1，AD1也满意题意，所以满意条件的面对角线共4条．故选B.答案：B4．解析：如图，若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，OB与O′B′不肯定平行．故选D.答案：D5．解析：如图所示：连接D1C，由题意得D1C∩C1D＝E，因为D1C∥A1B，所以D1，C，A1，B共面，所以直线D1C，A1B，EF共面，因为EF∩D1C＝E，所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A.答案：A6．解析：由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点明显不共面．对于D选项，如图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选D.答案：D7．解析：如图所示，连接B1C，∵A1B1∥AB，∴∠B1A1C即为异面直线A1C，AB所成角，∵AA1＝AC＝BC＝1，∴A1C＝2，B1C＝2，又AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝2，在△B1A1C中，∵A1B1＝A1C＝B1C＝2，∴△B1A1C是正三角形，∴∠B 1A 1C ＝π3.故选C. 答案：C 8．解析：如图，空间四边形ABCD ，因为EF ⊂平面ABC ，GH ⊂平面ACD ，所以点M ∈平面ABC ，且M ∈平面ACD ，而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ， 所以点M ∈直线AC .因为AC 与BD 为异面直线，所以M ∈/直线BD . 答案：A9．解析：A 选项，存在平面，同时平行于a ，b ，但不唯一，如图，a ，b 是异面直线，存在平面α，β同时平行于a ，b ，A 错误；B 选项，假设存在唯一的一个平面，同时垂直于a ，b ，则可推出a ∥b ，明显这与a ，b 是异面直线冲突，故B 错误；C 选项，首先证明这样的平面存在，如图，a ，b 为异面直线，过直线b 作一个平面β，交直线a 于点F ，过点F 作直线c 平行于b ， 直线a ，c 确定平面α，所以平面α与直线b 平行，故这样的平面存在， 接下来证明唯一性，假设过直线a 存在另一平面γ，平行于直线b ， 则有α∩γ＝a ，由线面平行的性质可知，过直线b 的平面χ交γ于直线d ，则b ∥d ∥c ，且a 与d 相交，则a ，d 确定平面γ，由于c ∥d ，所以a ，c 确定的平面与a ，d 确定的平面为同一平面，即α与γ重合，证毕．C 正确．D 选项，假设过直线a 存在唯一的一个平面垂直于b ，则可推出a ⊥b ，由已知可知a ，b 是异面直线，但不肯定垂直，故这样的平面可能不存在，所以D 不肯定正确．故选C. 答案：C 10．解析：连接AC 、A 1C 1，因为AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，所以，四边形AA 1C 1C 为平行四边形， 当P 为AC 、BD 的交点时，PC 1与AA 1相交，当P 不为AC 、BD 的交点时，PC 1与AA 1异面，AB 选项都不肯定成立；连接BC 1、C 1D ，因为AB ∥C 1D 1且AB ＝C 1D 1，故四边形ABC 1D 1为平行四边形， ∴BC 1∥AD 1，∵BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1， 同理可证C 1D ∥平面AB 1D 1，因为BC 1∩C 1D ＝C 1，BC 1、C 1D ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，∵PC 1⊂平面BC 1D ，∴PC 1∥平面AB 1D 1，C 选项肯定满意，D 选项肯定不满意． 故选C. 答案：C 11．解析：正方体的直观图如图所示：很明显，BM 与ED 不平行，A 错误；连接AN ，AC ，易知△ACN 是等边三角形，CN 与BM 的夹角即为∠ANC ＝60°，B 正确； 很明显，CN ∥BE ，C 错误； DM 与BN 是异面直线，D 正确． 故选BD. 答案：BD12．解析：对于A ，因为SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥BC ，则BC 与SD 所成角的大小为90°，A 项符合．对于B ，因为底面ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ，则AB 与SC 所成的角为∠SCD ＝45°，B 项不符合．对于C ，因为AD ∥BC ，所以SB 与AD 所成的角为∠SBC ，由题知tan∠SBC ＝SC BC＝2>1，所以∠SBC >45°，C 项符合．对于D ，因为SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥AC .因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 又因为SD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面SBD .因为SB ⊂平面SBD ，所以AC ⊥SB ，则AC 与SB 所成角的大小为90°，D 项符合．故选ACD.答案：ACD 13．解析：如图，依据中位线性质可知：EH ∥FG 且EH ＝FG ＝12BD ，所以四边形EFGH 是平行四边形． 答案：平行四边形14．解析：取A 1B 1中点F ，连接AE 、EF 、AF ，则EF ∥B 1C 1，又BC ∥B 1C 1，则BC ∥EF ，则∠AEF 为异面直线AE 与BC 所成的角或其补角， 又△AEF 中，EF ⊥AF ，EF ＝2，AF ＝17，则AE ＝21， 则cos∠AEF ＝221＝22121则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为22121.答案：2212115．解析：（1）在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有AB ∥C 1D 1， 所以∠B 1EB 即为直线B 1E 与直线C 1D 1所成角， 在Rt△B 1EB 中，易知BE ＝1，BB 1＝2， 所以tan∠B 1EB ＝BB 1BE＝2， 所以直线B 1E 与直线C 1D 1所成角的正切值为2. （2）在正方形ABB 1A 1中， 有＝－S △AEF －－＝32，又DA ⊥平面ABB 1A 1. 所以＝13××DA ＝1，即三棱锥D ­B 1EF 的体积为1. 16．解析：设底面圆的半径为r ，母线长为R ，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，所以12·2πr ·R ＝3πr 2，即R ＝3r ，因为直线与直线所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以当直线l 与底面圆相切时，直线l 与母线所成角最大为π2，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的最小值为cos π2＝0；当直线l 过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线l与母线所成角最小，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的最大值为OC AC ＝r R ＝13，即该直线l与母线所成的角的余弦值的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13.故选A. 答案：A 17．证明：（1）分别延长D 1F ，DA ，交于点P ， ∵P ∈DA ，DA ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD .∵F 是AA 1的中点，FA ∥D 1D ， ∴A 是DP 的中点， 连接CP ，∵AB ∥DC ，∴CP ，AB 的交点为线段AB 的中点，即为E ， ∴CE ，D 1F ，DA 三线共点于P .（2）假如直线BC 和直线D 1F 不是异面直线，则存在一个平面α，使得BC ⊂α，D 1F ⊂α，由于在正方体中AD ∥BC ，BC ⊂α，AD ⊄α， 因此AD ∥α，又因为AD ⊂平面ADD 1A 1，且平面ADD 1A 1∩α＝D 1F ，故AD ∥D 1F ，在正方形ADD 1A 1中，明显AD ，D 1F 不平行，故冲突，因此假设不成立，即直线BC和直线D1F是异面直线．。

2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列命题中正确的是()A.梯形的四个顶点共面B.两条平行直线确定一个平面C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等D.四边形确定一个平面2.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是()A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bB.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交3.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是()A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线4.(5分)如图,在三棱锥D ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是()A.147B.77C.357D.27【加练备选】如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为 的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.665.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为DB 的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面7.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的个数为.8.(5分)如图,在正三棱柱ABC A1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为.9.(5分)如图所示,在正三棱柱ABC A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.10.(10分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠F AB=90°,BC∥AD且BC=12AD,BE∥AF且BE=12AF,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?11.(10分)如图所示,三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,P A=AB=AC=2,E 是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;.(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.【能力提升练】12.(5分)三棱柱ABC A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为()A.1B.13C.33D.6313.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为.14.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.(1)求该圆锥的体积;(2)求异面直线PE,BD所成角的余弦值.2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列命题中正确的是()A.梯形的四个顶点共面B.两条平行直线确定一个平面C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等D.四边形确定一个平面【解析】选AB.显然选项A正确;对于选项B,两条平行直线确定唯一一个平面,故选项B正确;对于选项C,由空间角的等角定理知,空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项C错误;对于选项D,因为空间四边形不在一个平面内,故选项D错误.2.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是()A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bB.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交【解析】选C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b没有交点,故a与b平行或异面,故A,B 错误,C正确;若α∩β=b,a⊂α,当a∥b时,a与β平行,故D错误.3.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是()A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线【解析】选A.根据题意,设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2a,取BC的中点P,连接C1P,OP,由于OP∥NC1且OP=NC1,则四边形OPC1N是平行四边形,则有ON∥PC1且ON=PC1,在四边形BCC1B1中,边长为2a,P为BC的中点,M是CC1的中点,BM与PC1相交且BM=PC1=4 2+ 2=5a,故ON=BM,且直线ON,BM是异面直线.4.(5分)如图,在三棱锥D ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是()A.147B.77C.357D.27【解析】选A.由题意知EH∥FG,又FG⊂平面ADC,EH⊄平面ADC,所以EH∥平面ACD,所以EH∥AC,同理HG∥BD,因为AC⊥BD,所以EH⊥HG,记EG与AC所成角∠GEH为θ,则sinθ= = 2+ 2=27=147.【加练备选】如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为 的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.66【解析】选D.由题意可知AD∥BC,所以∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连接OE,OA,ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=5,从而AE=ED=6,则cos∠EAD16=66,即AE与BC所成角的余弦值为66.5.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选B.取OB的中点P,AB的中点Q,连接MP,PN,CQ,OQ,由中位线定理可知MP∥AB,则∠PMN(或补角)为异面直线MN与AB所成角,MP∥AB,PN∥OC,OQ⊥AB,CQ ⊥AB,且CQ∩OQ=Q,所以AB⊥平面OCQ,则AB⊥OC,所以PM⊥PN,四面体OABC 棱长均相等,则PM=PN,所以△MPN为等腰直角三角形,所以∠PMN=45°.6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为DB 的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面【解析】选ABC.在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,在选项A中,因为直线A1C交平面C1BD于点M,所以M∈平面C1BD,M∈直线A1C,又A1C⊂平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,因为O为DB的中点,BD⊂平面C1BD,所以O∈平面C1BD,且O∈平面ACC1A1,又C1∈平面C1BD,且C1∈平面ACC1A1,所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;在选项B中,因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;在选项C中,因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,A四点共面,故C正确;在选项D中,因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误.7.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的个数为.【解析】因为AB∥CD,由题图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面,与另外四个面相交.答案:48.(5分)如图,在正三棱柱ABC A1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为.【解析】如图,取A1B1的中点E,连接DE,EC1,在△A1BB1中,D为B1B的中点,所以DE为中位线,所以DE∥A1B,所以∠EDC1或其补角为A1B与C1D所成的角,在△EDC1中,ED=32+12=10,DC1=32+22=13,EC1=22-12=3,所以cos∠EDC1= 2+ 12- 122 · 1=10+13-310×13=13013,所以A1B与C1D所成角的余弦值为13013.答案:130139.(5分)如图所示,在正三棱柱ABC A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.【解析】取A1C1的中点E,连接B1E,ED,AE,在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求,设AB=1,则A1A=2,AB1=3,B1E=32,AE=32,故∠AB1E=60°.答案:60°10.(10分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠F AB=90°,BC∥AD且BC=12AD,BE∥AF且BE=12AF,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;【解析】(1)由已知得FG=GA,FH=HD,可得GH12AD.又BC12AD,所以GH BC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?【解析】(2)共面.理由如下:因为BE12AF,G是F A的中点,所以BE FG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BG CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.11.(10分)如图所示,三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,P A=AB=AC=2,E 是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为α,因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.【解析】(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角.因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,所以AF=3,AE=2,EF=2,cos∠AEF= 2+ 2- 22· · ==14,故异面直线AE与PB所成角的余弦值为14.【能力提升练】12.(5分)三棱柱ABC A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为()A.1B.13C.33D.63【解析】选D.如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDC A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设A1B=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=3a,A1D1=2a,所以sin∠A1BD1=63.13.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为.【解析】如图,把此六面体补成正方体,连接AH,AC,由题可知AH∥BG,所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角,在△AHC中,AH=32+42=5,CH=12+42+42=33,AC=42,则cos∠AHC= 2+ 2- 22× × ==1333165.答案:133316514.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.(1)求该圆锥的体积;【解析】(1)由勾股定理可知:PO= 2- 2=4-1=3,所以圆锥的体积为13·π·12·3=3π3;(2)求异面直线PE ,BD 所成角的余弦值.【解析】(2)连接BD ,过E 作EF ∥BD ,连接PF ,所以∠PEF 是异面直线PE ,BD 所成的角(或其补角),如图所示,因为线段AB 和线段CD 都是底面圆的直径,且AB ⊥CD ,所以∠BFE =∠DBO =π4,即∠OFE =3π4,而∠COE =π3,所以∠FOE =π6,因此∠OEF =π12,在△OEF 中,由正弦定理可知: sin π12= sin 3π4= sin π6⇒ sin(π3-π4)=2= 12⇒EF =22,OF =2(2×3-2×1)=3-1,PF = 2+ 2=由余弦定理可知:cos ∠PEF = 2+ 2- 22 · =4+12-=2+68.【误区警示】空间图形中作出的角无法直观确定是否是锐角,也可能是钝角,书写步骤时应注明,不然容易混淆.。

A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(★)(2011·广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析 法一 (直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离 d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故选C. 法二 (数形结合法)画图可得，故选C. 答案 C【点评】 本题法二采用数形结合法求解与法一比较显得更容易、更直观. 2．(2011·济南调研(二))已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2－4x ＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 设圆心为C (m,0)(m ＞0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0. 答案 A3．(2012·长春模拟)若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围( )．A ．－2－5＜a ＜－2＋ 5B ．－2－5≤a ≤－2＋ 5C ．－5≤a ≤ 5D ．－5＜a ＜ 5解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1，解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 B4．(2011·全国)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )．A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，将点(4,1)代入得a 2－10a ＋17＝0，解得a ＝5±22，设C 1(5－22，5－22)，则C 2(5＋22，5＋22)，则|C 1C 2|＝32＋32＝8. 答案 C5．(2012·杭州模拟)直线y ＝k x ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.[]－3，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析 如图，若|MN |＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1.∵ 直线方程为y ＝k x ＋3，∴d ＝|k ·2－3＋3|1＋k 2＝1，解得k ＝±33.若|MN |≥23，则－33≤k ≤33. 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析 显然x ＝2为所求切线之一．另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即k x －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝07．(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析 将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即k x －y ＋k －2＝0，∴|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，∴k ＝1或k ＝177.答案 1或1778．(2011·青岛二模)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________． 解析 依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案 4三、解答题(共23分)9．(11分)(2012.枣庄月考)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程． 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.10．(12分)(2012·湛江六校联考)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0①由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，② y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )．A ．1B ．2 2 C.7 D ．3解析 切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7，故选C 项． 答案 C2．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值是( )． A ．4 B ．2 C.12 D.14 解析 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋21＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号，∴1a ＋1b 的最小值为4. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(★)从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3， ∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π【点评】 数形结合法是把题中的“数”与“形”有效结合，相辅相助，解题方便、直观，在圆的有关问题中较为常见.4．(2012·金华模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13. 答案 (－13,13) 三、解答题(共22分)5．(10分)求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x 1＝－15、x 2＝－1， ∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)为端点的线段为直径的圆，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.6．(12分)(2012·西安模拟)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程；(3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解 (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即k x －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则23＝24－d 2，得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，M 点坐标是(x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)⇒x ＝x 0，y ＝2y 0.∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4，即x 24＋y 216＝1.∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．。

,训 练 手 册A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲4，5，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.A ，B ，C 为空间三点，经过这三点能确定（C ） A. 一个平面 B. 无数个平面C. 一个或无数个平面D. 一个平面或不能确定平面解析：若三点不共线则确定一个平面，若三点共线则确定无数个平面.故选C.2.（2012·上海高考）已知空间三条直线l ，m ，n.若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（D ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交 C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能解析：在如图所示的长方体中，m ，n 1与l 都异面，但是m ∥n 1，故A ，B 错误；m ，n 2与l都异面，但是m ，n 2异面，故C 错误.3.（2013·江西联考）已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是（D ） A. 相交或平行 B. 相交或异面C. 平行或异面D. 相交、平行或异面解析：依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.4.四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为（B ） A. 255 B. 55C. 45D. 35解析：如图所示，∵四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与PA 所成的角即为AB 与PA所成的角∠PAB ，在△PAB 内，PB ＝PA ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知：cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22×PA ×AB ＝5＋4－52×2×5＝55，故选B.二、 填空题（每小题5分，共10分）5.如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直 线的图形有 ②④ .解析：①中HG ∥MN ；③中GM ∥HN 且GM≠HN，∴HG ，MN 必相交. 6.给出下面四个命题：①在空间中，过直线外一点，作这条直线所在平面的平行线只能作一条； ②既不平行，又不相交的两条不同直线是异面直线； ③两两互相平行的三条直线可确定3个平面；④设a ，b 为异面直线，则a 与b 没有公共点，反之也成立. 其中真命题的个数是 1 .解析： 由异面直线的定义可知②正确，①③④均不正确.三、 解答题（共20分）7.（10分）正方体ABCD －A1B1C1D1中，体对角线A1C 与平面BDC1交于点O ，AC ，BD 交于点M.求证：C1，O ，M 三点共线.解析：如图，∵AA1∥CC1，∴AA1，CC1确定一个平面AA1C1C ，显然有A1C ⊂平面AA1C1C ， （3分） 又A1C ∩平面BC1D ＝O ，AC ∩BD ＝M ，∴点C1，O ，M 三点在平面AA1C1C 内，也在平面BC1D 内， （7分） 从而C1，O ，M 三点都在这两个平面的交线上，即C1，O ，M 三点共线. （10分）8.（10分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中.（1）AA1与CC1是否在同一平面内？（2）点B，C1，D是否在同一平面内？（3）画出平面AA1C1C与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线.解析：（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵AA1∥CC1，∴由公理2的推论可知，AA1与CC1可确定平面AA1C1C，∴AA1与CC1在同一平面内. （3分）（2）点B，C1，D不共线，由公理2可知，点B，C1，D可确定平面BC1D，∴点B，C1，D在同一平面内. （6分）（3）设AC∩BD＝O，D1C∩DC1＝E，∴点O∈平面AA1C1C，O∈平面BC1D，（8分）又C1∈平面AA1C1C，C1∈平面BC1D，∴平面AA1C1C∩平面BC1D＝OC1，同理平面ACD1∩平面BDC1＝OE.作出交线如图所示.（10分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲4，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.如图，平面α，β相交于EF ，分别在平面α，β内作∠EAC ＝∠FBD ，则AC 和BD 的关系是（A ）A. 异面B. 平行C. 相交D. 不确定解析：若AC 与BD 共面，则可推得EF 也在A ，B ，C ，D 四点确定的平面内，从而平面α与β重合，与已知矛盾.故选A.2.（2013·南昌模拟）已知命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，那么x ⊥z”是假命题，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形可能是 （D ） A. 全是直线 B. 全是平面C. x ，z 是直线，y 是平面D. x ，y 是平面，z 是直线解析：当x ，y ，z 是A ，B ，C 中的几何图形时，命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，那么x ⊥z”是真命题，故选D.3.（2013·湖北联考）对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题是真命题的是（D ） A. 若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n B. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D. 若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n解析：由m ⊂α，n ∥α可知m 与n 不相交，又m 与n 共面，故 m ∥n.4.正四棱锥S －ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA 的中点，则异面直线BE 和SC 所成的角为（C ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：连接AC ，BD ，设其交于点O ，连接OE ，则OE ∥SC ，∠BEO （或其补角）即为异面直线BE 和SC 所成的角.EO ＝12SC ＝22，BO ＝12BD ＝62.∴cos ∠SAB ＝12AB SA ＝322＝64＝AB 2＋AE 2－BE22AB ·AE ，∴BE ＝ 2.∴在△BEO 中，cos ∠BEO ＝BE 2＋EO 2－BO 22BE ·EO ＝12，∴∠BEO ＝60°.二、 填空题（每小题5分，共10分）5.已知平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，那么这四点能确定的平面个数为 1或4 .解析：若四点共面，显然确定一个平面；若四点不共面，由公理2知，其中任三点都确定一个平面，共确定4个平面.6.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是 90° .解析：如图，连接B 1G ，B 1F ，EG ，FC.∵E ，G 分别为DD 1，CC 1的中点，∴EG 綊C 1D 1.又A 1B 1綊C 1D 1，∴EG 綊A 1B 1，∴四边形EA 1B 1G 为平行四边形，∴A 1E 綊B 1G ，∴∠B 1GF （或其补角）即为所求.在Rt △B 1GC 1中，B 1C 1＝AD ＝1，C 1G ＝12CC 1＝1，从而B 1G ＝ 2.在Rt △FBB 1中，BF＝12AB ＝1，BB 1＝2，∴B 1F ＝ 5.在Rt △FCG 中，FC ＝2，CG ＝1，∴FG ＝ 3.在△FGB 1中，B 1G ＝2，GF ＝3，B 1F ＝5，∴B 1G 2＋GF 2＝B 1F 2，∴∠B 1GF ＝90°.三、 解答题（共20分）7.（10分）已知E ，E 1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD ，A 1D 1的中点.求证：∠BEC ＝∠B 1E 1C 1解析：连接EE 1.∵E 1，E 分别为A 1D 1，AD 的中点，∴A 1E 1綊AE ， ∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形，∴A 1A 綊E 1E.（3分） 又A 1A 綊B 1B ，∴E 1E 綊B 1B ，∴四边形E 1EBB 1是平行四边形，∴E 1B 1∥EB.（6分） 同理E 1C 1∥EC.（8分）又∠C1E1B1与∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1＝∠CEB.（10分）8.（10分）（2013·北京模拟）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB ＝a.（1）求证：AD⊥B1D；（2）求证：A1C∥平面AB1D；（3）求三棱锥C－AB1D的体积.解析：（1）∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1.又△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC. （2分）又BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面B1BCC1.又B1D⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1D.（4分）（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE.∵AA1＝AB，∴四边形A1ABB1是正方形，又D是BC的中点，∴DE∥A1C.∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄∴E是A1B的中点.（6分）平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.（8分）（3）VC－AB1D＝VB1－ADC＝13S△ADC·BB1＝324a3.（10分）。

课时作业(三十八) [第38讲空间点、直线、平面之间的位置关系][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．下面列举的图形一定是平面图形的是( )A．有一个角是直角的四边形B．有两个角是直角的四边形C．有三个角是直角的四边形D．有四个角是直角的四边形2．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为( ) A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分3．[2011·浙江卷] 若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交4．[2011·江西重点中学模拟] 已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行能力提升5．四面体S－ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于( )A．90° B．60°C．45° D．30°6．[2011·湖北重点中学二联] 正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为( )A.156B.155C.153D.15107．[2011·四川卷] l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面8．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有( )①这三条直线必共点；②其中必有两条是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内．A．4个 B．3个C．2个 D．1个9．图K38－2是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共．．面．的一个图是( )图K3810．正方体各面所在的平面将空间分成________部分．11．[2011·银川一中五测] 如图K38－3，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．12．以下四个命题中，正确命题的序号是________．①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．13．下列命题中正确的是________(填序号)．①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于点P、Q、R，则P、Q、R 三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．14．(10分)如图K38－4，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．15．(13分)已知：如图K38－5，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 上的点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ(0<λ、μ<1)，试判断FE 、GH与AC 的位置关系．难点突破 16．(12分)已知：在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，求证：ABCD 是矩形．课时作业(三十八)【基础热身】1．D [解析] 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．2．C [解析] 垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．3．B [解析] 在α内存在直线与l 相交，所以A 不正确；若α内存在直线与l 平行，又∵l ⊄α，则有l ∥α，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在α内不过l 与α交点的直线与l 异面，D 不正确．4．C [解析] 若c 与a ，b 都不相交，则与a ，b 都平行，根据公理4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．【能力提升】5．C [解析] 取SB 的中点G ，连接GE ，GF ，则GE ＝GF ＝a2，∠EFG 为异面直线EF 与SA 所成的角，EF ＝22a ，在△EFG 中，∠EFG ＝45°.6．B [解析] 如图，取CD 的中点N ，连接BN ，D 1N ，则BN ∥DM ，∠D 1BN 就是直线DM与D 1B 所成角，设正方体棱长为1，在△D 1BN 中，BD 1＝3，BN ＝D 1N ＝52，由余弦定理得cos∠D 1BN ＝32＋⎝⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×3×52＝155.7．B [解析] 对于A ，直线l 13l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线，而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.8．D [解析] (1)三条直线两两垂直时，它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱)，也可能不共点(如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的棱AA 1，AB ，BC )，故结论①不正确，也说明必有结论②不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行，就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论，故三条直线不可能在同一个平面内，结论③正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面(如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的棱AA 1，BC ，D 1C 1)，故结论④不正确．正确选项D.9．D [解析] 对于A ，因为PS ∥MN ∥QR ，所以图中的四点是共面的；对于B ，如下图，N 也是棱的中点，且R 在平面PQNS 上，故P 、Q 、R 、S 共面；对于C ，PQ ∥MN ∥SR ，P 、Q 、R 、S 共面；对于D ，容易看出直线PS 和RQ 既不平行也不相交，所以P 、Q 、R 、S 四点不共面．10．27 [解析] 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分． 11.23[解析] 折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线所成角转化到一个三角形的内角来计算．如图，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32，PK ＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝72，故cos ∠PGK ＝32＋⎝⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×3×32＝23，即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.12．① [解析] 个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．13．①② [解析] 在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 内，又在平面α内，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．14．[解答] (1)取CD 的中点G ，连接MG ，NG .因为四边形ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.因为平面ABCD ⊥平面DCEF ，平面ABCD ∩平面DCEF ＝CD ，所以MG ⊥平面DCEF ，可得MG ⊥NG ，所以MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6.(2)证明：假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN ， 由已知，两正方形不共面，故AB ⊄平面DCEF .又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF .而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线， 所以AB ∥EN . 又AB ∥CD ∥EF ，所以EN ∥EF ，这与EN ∩EF ＝E 矛盾，故假设不成立． 所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．15．[解答] ∵AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ，∴EH ∥BD ，FG ∥BD .∴EH ∥FG ，EH ＝λ·BD ，FG ＝μ·BD ，①当λ＝μ时，HG ∥AC ，EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH .由公理4知，EF ∥GH ∥AC .②当λ≠μ时，EH ∥FG 但EH ≠FG ，∴四边形EFGH 是梯形且EH 、FG 为上、下两底边，∴EF 、GH 为梯形的两腰，它们必交于点P ，P ∈直线EF ，P ∈直线HG ，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ADC ，∴P 是平面ABC 和平面ADC 的公共点． 又∵平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈直线AC ， ∴三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF 、GH 、AC 互相平行； 当λ≠μ时，三条直线EF 、GH 、AC 交于一点． 【难点突破】16．[解答] 证明：由已知，若证得四边形ABCD 是平面图形，则四边形ABCD 是矩形， 下面用反证法证明：A 、B 、C 、D 四点共面．假设A 、B 、C 、D 四点不共面，又设B 、C 、D 确定的平面为α，则A ∉α.作AA 1⊥α，垂足为A 1，连接A 1B 、A 1D ，由已知和三垂线定理的逆定理，可得：∠CBA 1＝∠CDA 1＝90°，从而∠DA 1B ＝90°.又A 1B ＜AB ，A 1D ＜AD ，A 1B 2＋A 1D 2＝BD 2，可得：BD 2＜AB 2＋AD 2⇒∠DAB ≠90°，这与∠DAB ＝90°矛盾． 所以，A 、B 、C 、D 四点共面，从而四边形ABCD 是矩形．。