考点39 均值与方差在生活中运用(讲解)(原卷版)

理科必做题 专题4离散型随机变量的分布列、均值与方差【三年高考】1.【2017江苏，理23】已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,k m n =+． 1 2 3（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．2.【2014江苏，理22】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X .3．【2012江苏，理22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．4．【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的频率。

初中数学知识归纳方差与标准差的应用初中数学知识归纳：方差与标准差的应用统计学是一门研究和分析数据的学科，方差和标准差是其中重要的统计量。

本文将介绍方差和标准差的定义、计算方法以及在实际生活中的应用。

1. 方差的定义与计算方法方差是衡量数据分散程度的统计量。

对于一组数据，假设有n个观测值，分别为x1, x2, ..., xn，其平均值为x。

方差的计算公式如下：方差 = ((x1 - x)^2 + (x2 - x)^2 + ... + (xn - x)^2) / n其中，(x1 - x)^2表示每一个观测值与平均值的差的平方，然后将这些平方差相加，并除以观测值的个数n。

2. 标准差的定义与计算方法标准差是方差的平方根，它表示数据分散程度的一种度量。

标准差的计算公式如下：标准差= √方差标准差是方差开方得到的结果，它与原始数据具有相同的单位。

3. 方差与标准差的应用方差和标准差在实际应用中具有广泛的意义，在以下几个方面得到了广泛的应用：3.1 统计数据的比较方差和标准差可以用于比较不同数据集的分散程度。

如果两个数据集的方差或标准差相差很大，则说明它们的数据分布情况存在较大的差异。

3.2 风险评估在金融领域，方差和标准差用于评估投资的风险。

投资组合的方差和标准差越大，代表其风险越高，投资者需要更加谨慎。

3.3 质量控制在生产领域，方差和标准差可以用于衡量产品质量的一致性。

通过收集一批产品的相关数据，计算方差和标准差可以判断产品制造过程的稳定性，从而改进生产流程。

3.4 结果分析在调查研究中，方差和标准差可以帮助分析和解释结果的可靠性。

如果调查结果的方差或标准差较大，则说明数据的可靠性较低，需要进一步深入分析。

4. 实例说明为了更好地理解方差和标准差的应用，我们以学生成绩为例进行说明。

假设有一组学生的数学成绩如下：80, 85, 90, 75, 95。

首先，计算平均值：平均值x = (80 + 85 + 90 + 75 + 95) / 5 = 85然后，计算方差：方差 = ((80 - 85)^2 + (85 - 85)^2 + (90 - 85)^2 + (75 - 85)^2 + (95 -85)^2) / 5= (25 + 0 + 25 + 100 + 100) / 5= 50最后，计算标准差：标准差 = √方差= √50 ≈ 7.07通过计算，我们可以得出这组学生成绩的平均值为85，方差为50，标准差为7.07。

离散型随机变量的均值与方差考纲解读 1.根据离散型随机变量分布列求均值与方差；2.根据正态分布、二项分布的公式求均值与方差；3.利用均值、方差的特性解决一些实际应用问题．[基础梳理]1．离散型随机变量X 的分布列2.离散型随机变量3.(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a ，b 为常数)． (2)D (aX ＋b)＝a 2D (X )(a ，b 为常数)． 4．两点分布的均值与方差若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 5．二项分布的均值与方差若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．[三基自测]1．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E(Y)A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 答案：A2．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12C.12 D ．1答案：C3．已知随机变量X 的分布列为则D(X)＝( ) A ．1.44 B ．1.2 C. 1.2 D ．2答案：B4．(选修2－3·2.3练习改编)若随机变量满足P (x ＝c )＝1，其中c 为常数，则D (X )＝________.答案：05．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D(X)＝________.答案：916考点一 离散型随机变量的均值与方差|模型突破[例1] (2018·保定调研)近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A 、B 两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A 城到B 城(两车发生情况互不影响)，A 城发车时间及其概率如下表所示：六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)设乙候车所需时间为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； (2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．[解析] (1)X 的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下：X 的数学期望E (X )＝10×12＋30×13＋50×136＋70×112＋90×118＝2459(分钟)．(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为P 甲10＝16，P 甲30＝12，P 甲50＝13；P 乙10＝12，P 乙30＝13，P 乙50＝16×16＝136.所以所求概率P ＝16×12＋12×13＋13×136＝727.即甲、乙二人候车时间相等的概率为727.[模型解法][高考类题](2016·高考全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解析：(1)设“一续保人本年度的保费高于基本保费”为事件A ，则“一续保人本年度的保费不高于基本保费”为事件A ，P (A )＝1－P (A )＝1－(0.30＋0.15)＝0.55.(2)设“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”为事件B ， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.10＋0.050.55＝311.(3)设续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为平均保费 1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.23a ，所以平均保费与基本保费的比值为1.23.考点二 与二项分布有关的均值与方差问题|方法突破[例2] 为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率.X 的数学期望；(2)已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？[解析] (1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ，则P (A )＝35.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，X 服从二项分布，即X ～B (10，35)，故E (X )＝10×35＝6.(2)设该县山区居民户年均用电量为E(Y)，由抽样可得E (Y )＝100×550＋300×1550＋500×1050＋700×1550＋900×550＝500(度)．则该自然村年均用电约150 000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150 000度，能为该村创造直接收益120 000元．[方法提升][跟踪训练]某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P(A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125， 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.考点三 均值、方差的实际应用|方法突破[例3] 为庆祝香港回归20周年，某商场在抽奖箱中放置了除图案外，其他无差别的8张卡片，其中有2张印有金紫荆广场图案，n(2≤n ≤4)张印有青马大桥图案，其余卡片上印有“庆祝香港回归20周年”图案．(1)若n ＝4，从抽奖箱中任意取一张卡片，记下图案后放回，连续抽取三次，求三次取出的卡片中，恰有两张印有“庆祝香港回归20周年”图案卡片的概率．(2)从抽奖箱中任意抽取两张卡片，如果两张卡片图案相同的概率是27.求n 的值．(3)①当n ＝3时，随机抽取一次，若规定取出印有金紫荆广场图案的卡片获得16元购物券，取出印有青马大桥图案的卡片获得8元购物券，取出印有“庆祝香港回归20周年”图案的卡片没有奖励，用ξ表示获得奖券的面值，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．②在①的条件下，若商场每天有800人参与抽奖活动，顾客获得的购物券全部用于捆绑其他商品消费，每1元购物券能给商场带来10元纯利润，则商场每天在这个活动中能获得的纯利润是多少？[解析] (1)当n ＝4时，印有“庆祝香港回归20周年”的卡片有2张， 记“从中任取一张卡片是‘庆祝香港回归20周年’”为事件A ，则P (A )＝14，则恰有两张印有“庆祝香港回归20周年”图案卡片的概率为：P ＝C 23⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫34＝964. (2)因为从抽奖箱中任意抽取两张卡片，如果两张卡片图案相同的概率是27，所以由题意得C 22＋C 2n ＋C 26－nC 28＝27，解得n ＝2或n ＝4.(3)①n ＝3时，则8张卡片中印有金紫荆广场图案的卡片有2张，印有青马大桥图案的卡片有3张，印有“庆祝香港回归20周年”图案的卡片有3张，ξ的可能取值为16,8,0，P (ξ＝16)＝14，P (ξ＝8)＝38，P (ξ＝0)＝38.∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝16×14＋8×38＋0×38＝7(元)．②由①知，在一次抽奖中，一人所得奖券的面值为7元，800人所得奖券的面值总数为800×7＝5 600(元)，所以商场的利润是5 600×10＝56 000(元)． [方法提升][跟踪训练]某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解析：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－415＝1115， 即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝⎛⎭⎫2，23，X 2～B ⎝⎛⎭⎫2，25， 所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件．因为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．1.[考点二](2017·高考全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝__________.解析：由题意得X ～B (100,0.02)，∴DX ＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.962.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？解析：(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X 的分布列为(2)200，因此只需考虑200≤n ≤500.当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ，若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．。

均值和方差
均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是有限的。

方差（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。

在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。

均值就是所有数的平均数，就是把所有数都加起来再除以个数。

方差就是把每个数减去它们的平均数再平方，把这些平方加起来再除以个数。

方差表示统计数据的离散程度。

考点39 均值与方差在生活中运用解析版1．设102a <<，随机变量X 的分布列是：则当D X 最大时的a 的值是（ ） A ．14B ．316C ．15D ．325【答案】D【解析】依题意可得()11511222222a a a E X a ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯++⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()231141222a a a E X ⎛⎫=⨯-+⨯=+ ⎪⎝⎭所以()()()2222235253253109112242425100a a a D X E X E X a a ⎛⎫⎛⎫=-=+-=-++=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为102a <<，所以当325a =时，()D X 取得最大值，故选：D 2．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)DX -=（ ） A ．9B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】1()3E X =∴由随机变量X 的分布列得：1161163a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2221111115()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，5(32)9()959D X D X ∴-==⨯= 故选：C ．3．已知102a <<，102b <<，随机变量X 的分布列是：若()3E X =，则a =________，()D X =________. 【答案】13 59【解析】由题意可得()112223102102a b E X a b a b ⎧++=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪<<⎩，解得1316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，()22221212150123233369D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：13；59.4．如下为简化的计划生育模型：每个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不能再生下一胎，而女孩可以多个.为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育3个小孩，即若第一胎或前两胎为女孩，则继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了.设每一胎生男生女等可能，且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定，令X 为某一家庭所生的女孩数，Y 为此家庭所生的男孩数.（1）求X ，Y 的分布列，并比较它们数学期望的大小； （2）求概率()()P X D X >，其中()D X 为X 的方差. 【答案】（1）分布列见解析：EX EY =（2）14【解析】（1）易知X 的取值为0，1，2，3，对应取值的概率为别为：()102P X ==，()211124P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()311228P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 即得X 的分布列如下()()1038P Y P X ====，()()71108P Y P Y ==-==；得Y 的分布列如下：由X ，Y 的分布列可得它们的期望分别为：11117()012324888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， 177()01888E Y =⨯+⨯=，因此()()E X E Y =；（2）()()22222221111771(012)32488864D XE X EX ⎛⎫=-=⨯+⨯+⨯+⨯-=⎪⎝⎭， 故()()()()71123644P X D X P X P X P X ⎛⎫>=>==+== ⎪⎝⎭． 5．某投资公司在2020年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为35和25； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．【答案】投资项目一更合理，理由见解析【解析】由题意知，项目一：到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为35和25，若按“项目一”投资，设获利1ξ万元，1ξ∴的分布列为：∴1)400(10020505E ξ=⨯+-⨯=（万元）；而项目二：到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚， 且这三种情况发生的概率分别为35，13和115， 若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：∴2311500(300)02005315E ξ=⨯+-⨯+⨯=（万元）；又2212(400200)(100200)60355000D ξ=-⨯+--⨯=， 2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，12E E ξξ∴=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥，综上所述，该投资公司投资项目一更合理. 6．某超市计划在九月订购一种时令水果，每天进货量相同，进货成本每个8元，售价每个12元（统一按个销售）．当天未售出的水果，以每个4元的价格当天全部卖给水果罐头厂根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C ）有关.如果最高气温不低于30，需求量为500个；如果最高气温位于区间[)25,30，需求量为350个；如果最高气温低于25，需求量为200个．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求九月份这种水果一天的需求量X （单位：个）的分布列．（2）设九月份一天销售这种水果的利润为Y （单位：元）．当九月份这种水果一天的进货量n （单位：个）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】（1）分布列见解析；（2）350.【解析】（1）由题意可得，随机变量X 的分布列如下表所示：（2）当0200n ≤≤时，[]40,800Y n =∈； 当200350n <≤时，()()(]1412200420044320800,1160555Y n n n =⨯⨯+-⨯-+⨯=+∈⎡⎤⎣⎦； 当350500n <≤时，()()()()12242002004435035044555Y n n n =⨯⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯-+⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦[)414401040,11605n =-∈；当500n >时，()()()()12420020044350350455Y n n =⨯⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2500450043040410405n n +⨯⨯+-⨯-=-<⎡⎤⎣⎦. 综上所述，当350n =时，Y 的数学期望取最大值.7.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【答案】(1)12,参考解析;(2)参考解析 【解析】(1)设顾客所获的奖励为X. ①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12.②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.232411(60),(20)22C P X P X C =====.即X 的分布列为所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=,1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为2X 的期望为2()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=,2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.8．已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：其中i p （0,1,2,,i n =）满足：[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由ξ生成的函数2012()n n f x p p x p x p x =++++，令()()g x f x '=．（I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值； （II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1)E g ξ=， ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ+-'=；（2()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值． 【答案】(1)12;(2)详见解析;(3)441. 【解析】（I ） ()122P ξ==． （II ）由于()012012n E p p p n p ξ=⋅+⋅+⋅++⋅，()()1122n n g x f x p p x np x -==+++'，所以()()g 1E ξ=．由ξ的方差定义可知22200()(())()2()nn n ni i i i i i i i D i E p i p E p E i p ξξξξ=====-⋅=⋅+⋅-⋅∑∑∑∑221(1)()2()nnnni i i i i i i i i i p i p E p E i p ξξ=====-⋅+⋅+⋅-⋅∑∑∑∑ 222(1)()()2()ni i i i p E E E ξξξ==-⋅++-∑22(1)()()n i i i i p E E ξξ==-⋅+-∑ 22(1)(1)(1)ni i i i p g g ==-⋅+-∑由于()1122n n g x p p x np x -=+++，所以有 ()()2232321n n g x p p x n n p x -=+⨯⋅++-⋅'，这样()()()232123211nn i i g p p n n p i i p ==+⨯⋅++='--∑，所以有()()()()()2111D g g g ξ=+-'．（III ）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量ξ的生成的函数为：()()2345616f x x x x x x x =+++++．投掷骰子两次次对应的生成函数为: ()()22345616h x x x x x x x ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦． 所以()2221441h ==． 方法2：ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12． 则ξ的分布列为()2345678910111212345654321+3636363636363636363636h x x x x x x x x x x x x =+++++++++则()()41412328019232051276810241024236h ++++++++++=3969=4419=． 9．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(I)80243. (II) 见解析. 【解析】(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，），所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率3225218033243P C ＝＝⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……， ()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭， ()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：()2312121212121231333333333n nE n n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (1) ()()2311221212121212213333333333n nn E n n n ξ-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)(1)－(2)得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2311212121212133333333333n nE ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2312222233333n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22133213n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 2213n ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以2223n E ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.10．2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图. 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数by a x=+对两个变量的关系进行拟合.参考数据（其中1i iu x =）：（1）求y 关于x 的回归方程，并求y 关于u 的相关系数（精确到0.01）.（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.参考公式：对于一组数据()11,u υ，()22,u υ，…，(),n n u υ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ni i i nii u nu unuυυβ==-=-∑∑，u αυβ=-，相关系数ni iu nu r υυ-=∑.【答案】（1）10100y u =+，0.96；（2）单价应选择80元，理由见解析 【解析】（1）令1u x =，则b y ax =+可转化为y a bu =+，因为306516y ==， 所以6162216173.860.415148.341001.49260.16810.48346i ii i i u y u ybu u==--⨯⨯====-⨯-∑∑，则511000.4110a y bu =-=-⨯=，所以10100y u =+，因此y 关于x 的回归方程为10010y x=+；y 与u 的相关系数为： 626i iu yu yr -=∑48.340.9650.39==≈，（2）法一：（i ）若产品单价为80元，记企业利润为X （元）， 订单为9千件时，每件产品的成本为10010010304099++=+元， 企业的利润为100804090002600009⎡⎤⎛⎫-+⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（元）， 订单为10千件时，每件产品的成本为10010305010++=元，企业的利润为()805010000300000-⨯=（元），企业利润X （元）的分布列为（元）； （ii ）若产品单价为70元，记企业利润为Y （元）， 单为10千件时，每件产品的成本为10010305010++=元， 企业的利润为()705010000200000-⨯=（元）， 订单为11千件时，每件产品的成本为1001001030401111++=+元， 企业的利润为10070401100023000011⎡⎤⎛⎫-+⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（元），企业利润Y （元）的分布列为（元），又∵EX EY >，故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元. 法二：（i ）若产品单价为80元，记企业的产量为X （千件），其分布列为所以90.7100.39.3EX =⨯+⨯=，企业的利润为：100804093002720009.3⎡⎤⎛⎫-+⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ii ）若产品单价为70元，记企业的产量为Y （千件），其分布列为所以100.3110.710.7EY =⨯+⨯=企业的利润为：10070401070022100010.7⎡⎤⎛⎫-+⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又∵272000221000>, 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.11.．袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为n X ．（1）求随机变量2X 的概率分布及数学期望2()E X ； （2）求随机变量n X 的数学期望()n E X 关于n 的表达式． 【答案】（1）概率分布详见解析，2267()64E X =；（2）1357()8()88n n E X -=-． 【解析】（1）由题意可知2X =3，4，5．当23X =时，即二次摸球均摸到白球，其概率是1133211889(3)64C C P X C C ==⨯=；当24X =时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是1111355421111888835(4)64C C C C P X C C C C ==+=； 当25X =时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是1154211885(5)16C C P X C C ===，所以随机变量2X 的概率分布如下表：数学期望2()34564641664E X =⨯+⨯+⨯=. （2）设(3)n k P X k p =+=，k =0，1，2，3，4，5．则0123451p p p p p p +++++=，012345()345678n E X p p p p p p =+++++．103(3)8n P X p +==，10154(4)88n P X p p +==+，11245(5)88n P X p p +==+， 12336(6)88n P X p p +==+，13427(7)88n P X p p +==+，14518(8)88n P X p p +==+， ∴1()n E X +001122335445364()5()6()88888388p p p p p p p +⨯++⨯++⨯+=⨯34277()88p p +⨯+45188()88p p +⨯+012345293643505764888888p p p p p p =+++++012345012345345678)7(8p p p p p p p p p p p p +++++++++++=7()18n E X =+， 由此可知，17()8(()8)8n n E X E X +-=-， 又135()88E X -=-，故{}()8n E X -是首项为358-，公比为78的等比数列， ∴1357()8()88n n E X --=-，即1357()8()88n n E X -=-.。

现代经济信息438方差在实际中的应用胡玉婷 成都理工大学管理科学学院摘要：数学期望反映了随机变量的平均值，在许多实际问题中，只需要知道这个平均值就可以了。

但是数学期望毕竟只能反映平均值，有很大的局限性。

因此，我们使用方差来解决一些实际中的问题。

关键词：方差；离散程度；数学期望；应用中图分类号：O211 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)013-0438-01一、方差的定义和性质数学期望是反映随机变量的平均值。

在很多实际问题中，大多用平均值来解决问题。

但其也存在着一定的局限性。

因此，在一些情况中，仅仅知道平均值是不够的。

因此，引入方差的概念。

１．方差的定义定义1[1] 设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记为,或。

即称为方差，而称为标准差(或均方差)。

方差是随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。

(标准差、方差越大，离散程度越大。

否则，反之)。

若的取值比较集中，则方差较小，若的取值比较分散，则方差较大。

因此，是刻画取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。

２．方差的性质(1)设C 是常数，则；(2)设是随机变量，C 是常数，则有；(3)设 与是两个随机变量，则,特别的，当两个不相关的随机变量,有,,事实上，，因为和独立，所以从而有。

(4)的取以概率为的常数值C，即其中。

(5)。

二、方差在实际中的应用方差的应用非常广泛，以下两个例子分别讲了方差在经济管理和农业决策方面的应用１．方差在经济管理决策中的应用例1 某企业在是否转型需要做出决策，通过调查给出了以下评估，若转型失败将损失万元/月；若转型成功的概率为，若转型成功可增加利润万元/月；若不转型利润不变。

那么该企业应该做出何种决策呢？解 选择转型能够增加的利润值用表示，那么的概率分布是,所以，选择转型能增加的利润期望值为，若不转型，增加的利润为零，因此，该企业应该作出转型的决策。

２．方差在农业决策问题中的应用例2 两种黄瓜试验品种A、B 连续5年的平均单位面积产量如下表(单位：吨/平方千米)品种第一年第二年第三年第四年第五年A9.89.910.11010.2B9.410.310.89.79.8解 先求出A、B 两种黄瓜产量的期望值求出两种黄瓜产量的方差甲比较稳定，所以选择种植A 黄瓜。

9.7 均值与方差在生活中的运用题型一 均值与方差【例1】（1）（2022·江苏省前黄高级中学高三）若随机变量()5,XB p ，()54D X =，则()E X =（ ） A ．15B ．14C ．1516D ．52（2）（2022·浙江高三开学考试）设随机变量()~,X B n p ，若二项式()201322nn n x p a x x a x +=++++，则（ ）A ．()3E X =，()2D X =B ．()4E X =，()2D X =C ．()2E X =，()1D X = D ．()3E X =，()1D X =【题型专练】1．（2022·安徽蚌埠·高三（理））若随机变量13,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ） A ．()1E X = B ．()23D X =C ．()22E X =D ．()423D X =2．（2022·福建泉州·高三）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm ）服从正态分布()2200,N σ，且()2200.1P ξ≥=，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ不．在()180,220的人数为X ，则（ ） A ．()1802200.9P ξ<<= B ．() 2.4E X = C ．()0.16D X =D ．()10.488P X ≥=3．（2022·湖北汉阳一中高三）已知随机变量()~12,B p ξ，且()235E ξ-=，则()3D ξ=（ ） A ．83B ．8C ．12D ．244（多选）（2022·沙坪坝·重庆一中高三）下列说法中正确的是（ ） A ．对于独立性检验，2K 的值越大，说明这两个变量的相关程度越大 B ．己知随机变量~(,)X B n p ，若()30E X =，()20D X =，则13p =C ．某人在10次射击中，击中目标的次数~(10,0.8)X B ，则当8x =时概率最大D ．(23)2()3E X E X +=+，(23)4()3D X D X +=+题型二 均值在实际生活中运用【例2】（2022·北京房山区·）某商场为促销举行抽奖活动，设置了,A B 两种抽奖方案，方案A的中奖率为2 3，中奖可得2分；方案B的中奖率为25，中奖可得3分；未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，活动后顾客凭分数兑换相应奖品.（1）若顾客甲选择方案A抽奖，顾客乙选择方案B抽奖，记他们的累计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）顾客甲、乙决定选择同一种方案抽奖（即都选择方案A或都选择方案B进行抽奖）.如果从累计得分的角度考虑，你建议他们选择方案A还是方案B？说明理由.【题型专练】1．（2022·沙坪坝·重庆一中高三）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？2（2022·福建高三）某同学利用假期到一超市参加社会实践活动，发现该超市出售种水果礼盒，每天进货一次，每销售1个水果盒可获利50元，卖不完的水果礼盒则需当天降价处理，每盒亏损10元.若每天该礼盒的需求量在{}10,11,12,,19⋅⋅⋅(单位：个)范围内等可能取值. （1）求该礼盒的日需求量不低于15盒的概率；（2）若某日超市进货13个水果礼盒，请写出该水果礼盒日销售利润ξ(元)的分布列，并求出ξ的数学期望； （3）这位同学想让水果礼盒的日销售利润最大，他应该建议超市日进货多少个水果礼盒？请说明理由.3．（2022·广东实验中学高三）某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学参加打扫校园志愿活动.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单.抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学可参加活动.（1）设该校高二年级报名参加活动的甲同学的编号被抽取到的次数为Y ，求Y 的分布列和数学期望； （2）设两次都被抽取到的人数为变量X ，则X 的可能取值是哪些？其中X 取到哪一个值的可能性最大？请说明理由.题型三 方差在实际生活的运用【例3】（2022·全国高三专题练习）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p (01)p <<，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -.（1）若投资项目一，记1X 为盈利的天坑院的个数，求()1E X （用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 百万元，求()2E X （用p 表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.【题型专练】1．（2022·贵州高三（理））2020年遵义市高中生诗词大赛如期举行，甲、乙两校进入最后决赛的第一环节．现从全市高中老师中聘请专家设计了第一环节的比赛方案：甲、乙两校从6道不同的题目中随机抽取3道分别作答，已知这6个问题中，甲校选手只能正确作答其中的4道，乙校选手正确作答每道题目的概率均为23，甲、乙两校对每道题的作答都是相互独立，互不影响的．（1）求甲、乙两校总共正确作答2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两校哪所学校获得第一环节胜利的可能性更大？2．（2022·全国高三专题练习）某地举行一场游戏，每个项目成功率的计算公式为P i＝i RN，其中P i为第i 个项目的成功率，R i为该项目成功的人数，N为参加游戏的总人数．现对300人进行一次测试，共5个游戏项目．测试前根据实际情况，预估了每个项目的难度，如下表所示：（2）从抽样的20人中随机抽取2人，记这2人中第5个项目成功的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）游戏项目的预估难度和实测难度之间会有偏差，设P′i为第i个项目的实测成功率，并定义统计量S＝1n[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－P n)2]，若S<0.05，则本次游戏项目的成功率预估合理，否则不合理，试检验本次测试对成功率的预估是否合理．3．（2022·山西运城·高三开学考试（理））为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额，4个球除所标面值外完全相同．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个所标的面值均为10元．求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列与均值．（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由。

考点39 均值与方差在生活中运用1．设0＜a ＜1，已知随机变量X 的分布列是X 0 a 1P13 13 13若，则a ＝（ ） ()16D X =A ．B ．C ．D ．121314152．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则1ξ2ξ（ ）A ．，B ．， 12E E ξξ<12D D ξξ<12E E ξξ=12D D ξξ>C ．，D ．，12E E ξξ=12D D ξξ<12E E ξξ>12D D ξξ>3．随机变量的分布列是ξξ 2 3 4pa 14b 若，则随机变量的方差的值为（ ） 11()4E ξ=2ξ(2)D ξA ．B ．C ．D ．11161181141124．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a ，a ，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．5．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，y n ）的函数解析式；n N （2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方X X 差；②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.6．某景区有A ，B 两个出入口，在景区游客中随机选取了100人作为样本进行调查，调查结果显示从A 出入口进入景区的有55人，从B 出入口进入景区的有45人，（1）从上述样本中选取2人，求两人恰好从不同出入口进入景区的概率；（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，景区计划在今年国庆节当日投入1到3列往返两个景区出入口的通勤小火车，根据过去5年的数据资料显示，每年国庆节当日客流量(单位：万人)的频数表如下：X 国庆节当日客流量 X 13X ≤< 35X ≤<5X ≥频数 1 2 2以这5年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间发生的概率，且每年国庆节当日客流量相互独立.已知国庆节当日小火车的使用量(单位：列)受当日客流量(单位：万人)的影响，其X 关系如下表：国庆节当日客流量 X 13X ≤< 35X ≤<5X ≥小火车的使用量 1 2 3若某列小火车在国庆节当日投入且被使用，则景区当日可获得利润3万元；若某列小火车在国庆节当日投入却未被使用，则景区当日亏损0.5万元；记(单位：万元)表示该景区在国庆节当日获得的总利润，则Y 该景区在今年国庆节当日应投入多少列小火车才能使获得利润的期望最大？7．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产——腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户2019中随机抽取了户，统计了他们年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成1002019以下五组：、、、、，统计结果如下表所示：[)1,3[)3,5[)5,7[)7,9[]9,11所获纯利润（单位：万元）[)1,3[)3,5[)5,7[)7,9[]9,11农户户数1015452010（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）近似地服Z 从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若该县有万户农户()2,N μσμx 2σ222.1s ≈1在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润在区间内的户数.（每区间数据用该区间的中Z ()1.9,8.2间值表示）（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有次抽奖8机会，每次抽奖的中奖率均为.每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结12束，每次中奖的奖金都为元.求参与调查的某农户所获奖金的数学期望. 1024X 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，X ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-<≤+≈.()220.9545P X μσμσ-<≤+≈8．某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有n 两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为.记，分别表示甲，乙第23i X ()1,2,3,,i Y i n =L i 次射击的得分.（1）若，记乙的累计得分为，求的概率. 3n =Y 3Y >（2）①求数学期望，，；()1E X ()1E Y ()2E X ②记，，，….证明：数列为等比数列. ()11a E X =()21a E Y =()32a E X ={}3n a -9．近些年随着我国国民消费水平的升级，汽车产品已经逐渐进入千家万户，但是我国的城市发展水平并不能与汽车保有量增速形成平衡，城市交通问题越发突出，因此各大城市相继出现了购车限号上牌的政策.某城市采用摇号买车的限号上牌方式，申请人提供申请，经审查合格后，确认申请编码为有效编码，这时候就可以凭借申请编码参加每月一次的摇号.假设该城市有20万人参加摇号，每个月有2万个名额，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续下个月摇号. （1）平均每个人摇上号需要多长时间?（2）如果每个月都有2万人补充进摇号队伍，以每个人进入摇号的月份算第一个月，他摇到号的月份设为随机变量.X ①证明：为等比数列；*{()}(,135)P X n n N n =∈≤≤②假设该项政策连续实施36个月，小王是第一个月就参加摇号的人，记小王参.加摇号的次数为，试求Y 的数学期望（精确到0.01）.Y 参考数据：，. 340.90.028≈350.90.025≈5G5G10．2019年10月，工信部颁发了国内首个无线电通信设备进网许可证，标志着基站设备将正式接4G5G入公用电信商用网络.某手机生产商拟升级设备生产手机，有两种方案可供选择，方案1：直接引5G4G5G进手机生产设备；方案2：对已有的手机生产设备进行技术改造，升级到手机生产设备.该生产5G商对未来手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟，得到如下统计表：市场销售状态畅销平销滞销p市场销售状态概率2p13p方案1 70 40 -40预期年利润数值（单位：亿元）方案2 60 30 -10（1）以预期年利润的期望值为依据，求的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？ p （2）设该生产商升级设备后生产的手机年产量为万部，通过大数据模拟核算，选择方案1所生产的5G x 手机年度总成本（亿元），选择方案2所生产的手机年度总成为5G 210.00020.250y x x =++5G （亿元）.已知，当所生产的手机市场行情为畅销、平销和滞销220.00010.160y x x =++0.2p =5G 时，每部手机销售单价分别为0.8万元，（万元），（万元），根据（1）的决0.80.001x -0.80.002x -策，求该生产商所生产的手机年利润期望的最大值？并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年5G 利润数值.11．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，从均值与方差的角度比较甲乙两地新增确诊人数的统计结论（不用计算数据）；（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A 项目或乙地区的B 项目投入研发资金.经过评估，对于A 项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元、1.18万元、1.14万元的概率分别为；对于B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知B 项目产品价格在一年内进行2次独111,,623立的价格调研，每次调研后，产品价格下调的概率都是，记B 项目一年内产品价格的下调次(01)p p <<数为，每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元.记对A 项目ξξ投资十万元，一年后利润的随机变量为，记对B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为. 1ξ2ξ①求的概率分布列和数学期；12,ξξ()()12,E E ξξ②如果你是投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由.12．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布[)100,110[)110,120[)120130,[)130140,[]140,150直方图．（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为的概率；2（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A 、B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人n ()*2,n n N ≥∈在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩2n π2cos n n π总数量分别为，．X Y ①求的分布列及数学期望； X ()E X ②求当的数学期望取最大值时正整数的值．Y ()E Y n 如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

什么是⽅差分析⽣活中的应⽤ ⽅差分析是从观测变量的⽅差⼊⼿，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。

那么你对⽅差分析了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是⽅差分析的内容，希望⼤家喜欢! 什么是⽅差分析 ⽅差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，⼜称“变异数分析”，是R.A.Fisher发明的，⽤于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。

由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。

造成波动的原因可分成两类，⼀是不可控的随机因素，另⼀是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。

⽅差分析是从观测变量的⽅差⼊⼿，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。

⽅差分析的原理 ⽅差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个： (1) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。

⽤变量在各组的均值与总均值之偏差平⽅和的总和表⽰，记作SSb，组间⾃由度dfb。

(2) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异，⽤变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平⽅和的总和表⽰，记作SSw，组内⾃由度dfw。

总偏差平⽅和 SSt = SSb + SSw。

组内SSw、组间SSb除以各⾃的⾃由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n为样本总数，m为组数)，得到其均⽅MSw和MSb，⼀种情况是处理没有作⽤，即各组样本均来⾃同⼀总体，MSb/MSw≈1。

另⼀种情况是处理确实有作⽤，组间均⽅是由于误差与不同处理共同导致的结果，即各样本来⾃不同总体。

那么，MSb>>MSw(远远⼤于)。

MSb/MSw⽐值构成F分布。

⽤F值与其临界值⽐较，推断各样本是否来⾃相同的总体。

⽅差分析的应⽤ ⽅差分析主要⽤途：①均数差别的显著性检验，②分离各有关因素并估计其对总变异的作⽤，③分析因素间的交互作⽤，④⽅差齐性检验。

在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理⽅法对实验结果的影响。

均值与方差在生活中的应用作者：潘汶奇来源：《中学生数理化·高二版》2016年第04期风险指未来结果的不确定性或损失，风险具有客观性、普遍性、社会性、不确定性、发展性等特点。

在充满生存竞争的风险世界里，人们为了规避风险，减少风险，甚至利用风险，就必须在多个可供选择的决策中，选择一个最优的决策。

一般情况下，人们利用均值（也叫数学期望）与方差进行风险决策。

均值反映的是随机变量取值的平均数，方差衡量随机变量围绕平均值的离散程度。

二.风险决策的基本步骤第一步依据问题，明确决策目标；第二步依据条件，寻找所有方案；第三步依据概率，分析各自损失；第四步依据均值，选择最优方案。

三.均值在风险决策中的应用例1生活中有人喜欢去精品店买名牌，有人喜欢逛地摊找便宜。

假设名牌电饭锅600元一个，无折扣，不合格率为O.1%，某杂牌电饭锅200元一个，可以打8折，不合格率为5%，如何选择？解析：解决策目标是在两种购买方案中点评：宁吃鲜桃一口，不吃烂杏一筐，何况杂牌电饭锅损害了健康就更得不偿失了。

侧2马谡失街亭后，司马懿率15万大军蜂拥而至，诸葛亮身边只剩2 500军士在城中，于是打开城门，自己城楼焚香操琴，司马懿疑其有诈，急速退去。

司马懿有进攻和撤退两种策略，诸葛亮城中有空城与埋伏两种可能。

如何分析司马懿的行动决策呢？小说中司马懿（很狡诈）认为城中有埋伏的概率是99%，空城的概率1%，司马懿若进攻，记为d1，则中埋伏时会损兵折将，收益为一10；空城时，可以大获全胜，收益为10。

司马懿若撤退，记为d2，则不损一兵一卒，但名声受损，收益为5。

《三国演义》这样描述：司马懿之子司马昭问：“父亲何故退兵？”司马懿日：“亮平生谨慎，不曾弄险。

今大开城门，必有埋伏。

我兵若进，中其计也。

”这是小说描写，不合逻辑，司马懿为什么不围城几个月或派小股部队进城打探呢？点评：司马懿选择期望收益最大的策略（撤退），成就了诸葛亮的空城计。

所以当p>O.8，投入股市；p—O.8，两种方案无差异；p点评：分析p的变化对投资决策的影响，称为敏感性分析。

均值和方差独立均值和方差是统计学中常用的两个概念，它们分别描述了一组数据的集中趋势和离散程度。

在统计学中，均值和方差是两个独立的概念，没有直接的关系。

首先，均值是用来衡量一组数据的集中趋势的统计量。

它是将所有数据的数值相加后再除以数据的个数。

均值给出的是数据集中的一个数值，它可以告诉我们数据整体的中心位置在哪里。

比如，如果一个班级的学生平均年龄是18岁，那么我们可以认为这个班级里的学生年龄大部分集中在18岁左右。

均值的计算公式为：均值=数据的总和/数据的个数其次，方差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

方差描述的是数据的分散程度，它是每个数据与均值之差的平方值的平均数。

方差可以告诉我们数据集的离散程度有多大，如果方差较大，说明数据的分散程度较大，反之则说明数据相对集中。

方差的计算公式为：方差= Σ(数据-均值)² /数据的个数均值和方差之间独立，意味着一个数据集的均值不会决定它的方差，同样一个数据集的方差也不会决定它的均值。

这是因为均值和方差是从不同的角度描述数据的特征，它们分别关注数据的集中程度和离散程度，所以它们之间没有直接的联系。

举个例子来说明均值和方差独立的概念。

假设有两组数据集，分别是[1,2,3,4,5]和[1,2,3,10,20]，这两组数据的均值都是3，但是它们的方差分别是2和55。

可以看出，尽管均值相同，但是数据的分散情况是完全不同的。

这就说明了均值和方差是独立的概念，均值并不能决定方差。

在实际应用中，均值和方差经常同时出现。

我们可以通过均值了解数据的集中趋势，通过方差了解数据的分散情况。

在描述数据的特征时，一般会同时使用均值和方差来提供更全面的信息。

例如，在研究一个产品的质量时，我们可以使用均值来描述产品的平均质量水平，然后使用方差来描述产品的质量稳定性。

均值和方差的独立性使得它们能够独立地提供关于数据特征的信息。

综上所述，均值和方差是统计学中常用的两个概念，它们分别描述了一组数据的集中趋势和离散程度。

8.4均值与方差在生活中的运用（精讲）（提升版）考点一均值与方差的性质【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X 的分布列如下：236P1213a则(32D X +）的值为（）A ．2B ．6C ．8D ．18【例1-2】（2022·广西桂林）设0＜1．随机变量X 的分布列是X 0a 1P131313则当a 在（0，1）内增大时，（）A ．E （X ）不变B ．E （X ）减小C ．V （X ）先增大后减小D ．V （X ）先减小后增大【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ的分布列为下表所示，若()14E ξ=，则()D ξ=（）ξ1-01P13abA ．56B ．4148C ．1D ．232．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X 的分布列如下所示，则()E X =（）．X 012P 13a 16A ．16B ．13C ．23D ．563．（2023·全国·高三专题练习（理））设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ0p 1P1p-2p2p 则当p 在区间(0,1)内增大时，（）A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小考点二利用均值最决策【例2】1（2022·湖北·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为12，答对选择题的概率均为P ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．【一隅三反】1（2022·枣庄模拟）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为(300500)a a ≤≤元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，商品日销售量（单位：件）678910甲平台的天数1426262410乙平台的天数1025352010假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，（1）求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；（2）已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．2．（2022·南京模拟）空气质量指数AQI 与空气质量等级的对应关系如下：空气质量指数AQI 空气质量等级[0，50]优（50，100]良（100，150]轻度污染（150，200]中度污染（200，300]中度污染（300，＋¥）严重污染下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：空气质量指数AQI [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]频数（单位：天）36156（1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI 的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）（2）如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.77≈0.0824，结果精确到0.01）（3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：更换滤芯数量（单位：个）345概率0.20.30.5已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n（n≥8，且n∈N*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）考点三均值与其他知识的结合【例3】（2022·云南师大附中）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为A，不合格者为C B.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；(2)设2轮比赛中甲获得B的个数为X，求X的分布列和数学期望；(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得k（010k≤≤，k∈N）个B的概率为()P k ，当()P k 最大时，求k .【一隅三反】1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p ，且每件零件是否合格是相互独立的.(1)已知0.9p =，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为0.6.工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p 的最小值？2.（2022·内蒙古）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：分段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数510a30a +510(1)①求表中a 的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；②在[40，50)，[50，60)，[60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为(01)p p <<，每次考实践操作合格的概率均为12，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求p 的取值范围.8.4均值与方差在生活中的运用（精练）（提升版）1．（2020·浙江·磐安县第二中学）已知随机变量()1,2i i ξ=的分布列如下表所示：ξ012P13ip 23i p -若1212023p p <<<<，则（）A ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξB ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξC ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ2．（2023·全国·高三专题练习）设01a <<，随机变量X 的分布列为X 012P23a -13b则当a 在(0,1)内增大时（）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先减小后增大D ．()D X 先增大后减小3．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设103a <<，随机变量X 的分布列是（）X 1-01P12a -b13a +则当a 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭内增大时，（）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大再减小D ．()D X 先减小再增大4．（2022·全国·高三专题练习）从装有2个白球和3个黑球的袋中无放回任取2个球，每个球取到的概率相同，规定：（1）取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2个球所得分数和记为随机变量1ξ;（2）取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2个球所得分数和记为随机变量2ξ.则（）A ．()()12ξξE E <，()()12ξξD D =B ．()()12ξξE E <，()()12ξξD D <C ．()()12ξξE E >，()()12ξξD D =D ．()()12ξξE E >，()()12ξξD D <5．（2022·浙江·三模）随机变量(1,2)i i ξ=的分布列如下所示，其中12122p p ≤<≤，则下列说法中正确的是（）iξ1-01P14ip 1144i i p p --4i p A ．()()12D D ξξ>B ．()()12D D ξξ<C ．()()12E E ξξ>D ．()()12E E ξξ<6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设01(1,2)i p i <<=，随机变量(1,2)i i ξ=的分布列分别如下，则()2ξ012P23p 23213-p A ．若1212p p <<，则()()12D D ξξ<B ．若1212p p <<，则()()12D D ξξ>C ．若1212p p <<，则()()12D D ξξ<D ．若1212p p <<，则()()12D D ξξ>7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X 0=，a ，2，根据以往销售经验可得02a <<，随机变量X 的分布列为X 0a 2P12b16其中结论正确的是（）A ．13b =B ．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为516C ．min 1()2D X =D ．当min ()D X 最小时，1()3E X =1．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．(1)求该团队能进入下一关的概率；(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小？并说明理由．2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为14．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．3．（2022·惠州模拟）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为2 3.甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？4．（2022·福建模拟）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中20km男子个人赛的规则如下：①共滑行5圈（每圈4km），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；③如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为45和34.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.5．（2022·湛江模拟）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为1315，B组3人康复的概率分别为910，34，34.（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求()P CD；（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？1．（2022·平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n 人，每人一份血样，共()*n n N ∈份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n 次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有()*2k k N k ∈≥，份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k 个人全部为阴性，因而这k 个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k 个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k 个人的血样再逐份检验，因此这k 个人的总检验次数就为1k +．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为()01p p <<．（1）若5n =，0.2p =，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；（2）记ζ为用方案乙对k 个人的血样总共需要检验的次数．①当5k =，0.2p =时，求()E ζ；②从统计学的角度分析，p 在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：4560.80.410.80.330.80.26===，，）2．（2022·武昌模拟）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A、B、C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A、B、C三种号码(产生每个号码的可能性都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗(例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推).若甲、乙、丙、丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.（1）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗A的人数为X，求随机变量X的数学期望；（2）记甲、乙、丙、丁四个人中接种疫苗的种数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望.3（2022·黄山模拟）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和4道“信息连线”题，其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出2道“是非判断”和4道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.（1）设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的2道“是非判断”题和4道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的4题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；（2）已知该校高三（1）班共有47位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为X.①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；②求随机变量X的方差.4．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得3分，否则得1分．一位顾客可最多连续参加5次游戏．(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数ξ的分布列与期望；(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于11分，即可获得一份大奖．顾客乙准备连续参加5次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？5．（2022·北京市第五中学三模）2022年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发.该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒.我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者.一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察.调查发现某位感染者共有10位密切接触者，将这10位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测.核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用“k 合1检测法”.“k 合1检测法”是将k 个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，;若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性.通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为()01p p <<，且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.(1)现对10个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率()f p 的表达式;(2)若对10个样本采用“5合1检测法”进行核酸检测.用p 表示以下结论:①求某个混合样本呈阳性的概率;②设总检测次数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .6（2022·泰安二模）为提升教师的命题能力，某学校将举办一次教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行3轮比赛，3轮比赛命制的题目分别适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，3轮比赛中，至少获得2次“优秀奖”的教师将进入复赛．为能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．（1）若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获“优秀奖”的概率；（2）若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大16，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？8.4均值与方差在生活中的运用（精练）（提升版）1．（2020·浙江·磐安县第二中学）已知随机变量()1,2i i ξ=的分布列如下表所示：ξ012P13ip 23i p -若1212023p p <<<<，则（）A ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξB ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξC ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ【答案】A【解析】1111124()012333E p p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭，2222124()012333E p p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭，由于12p p <，所以12()()E E ξξ>.22211111141442()01233333D p p p p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222111114112233333p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21118=39p p --+，同理可得222218()=39D p p ξ--+.()()22122121212111()()033D D p p p p p p p p ξξ⎛⎫-=-+-=-++> ⎪⎝⎭，所以12()()D D ξξ>.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）设01a <<，随机变量X 的分布列为X 012P23a-13b则当a 在(0,1)内增大时（）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先减小后增大D ．()D X 先增大后减小【答案】A【解析】根据随机变量分布列的性质可知2111333a b b a -++=⇒=，211()012(12)333a E Xb a -=⨯+⨯+=+，22212111()[0(12)][1(12)][2(12)]333333a aD X a a a -=-+⨯+-+⨯+-+⨯2248242(1)99993a a a =-++=--+，因为01a <<，所以()D X 单调递增，故选：A3．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设103a <<，随机变量X 的分布列是（）X 1-01P12a -b13a +则当a 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭内增大时，（）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大再减小D ．()D X 先减小再增大【答案】C 【解析】因为11123-+++=a b a ，所以16b =，因为()21111515()1012,102636666⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯=-=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E X a a a E X，所以()22251()(())266⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭D X E X E X a 所以当10,12⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a 时，a 增大()D X 增大，当11,123a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，a 减小()D X 减小.故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）从装有2个白球和3个黑球的袋中无放回任取2个球，每个球取到的概率相同，规定：（1）取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2个球所得分数和记为随机变量1ξ;（2）取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2个球所得分数和记为随机变量2ξ.则（）A ．()()12ξξE E <，()()12ξξD D =B ．()()12ξξE E <，()()12ξξD D <C ．()()12ξξE E >，()()12ξξD D =D ．()()12ξξE E >，()()12ξξD D <【答案】C【解析】根据题意14ξ=，5，6，()()()11222332111222555C C C C 1334,5,6C 10C 5C 10P P P ξξξ========，分布列如下：1ξ456P11035310根据题意24ξ=，5，6，()()()21123232222222555C C C C 3314,5,6C 10C 5C 10P P Pξξξ=========，分布列如下：2ξ456P31035110()1163264561010105E ξ=⨯+⨯+⨯=，()222222126126626361134345651051051051055510D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2361244561010105E ξ=⨯+⨯+⨯=，()222222224324624143136145651051051051055510D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ=故选：C.5．（2022·浙江·三模）随机变量(1,2)i i ξ=的分布列如下所示，其中12122p p ≤<≤，则下列说法中正确的是（）iξ1-01P14ip 1144i i p p --4i p A ．()()12D D ξξ>B ．()()12D D ξξ<C ．()()12E E ξξ>D ．()()12E E ξξ<【答案】D【解析】根据分布列可得：()()2211221211221111,444444p p p p E E p p p p ξξ--=-+==+=，则()()()()22122121212112111444p p p p p p E E p p p p ξξ+----=-=，因为12122p p ≤<≤，故()()120E E ξξ-<，即()()12E E ξξ<．()1111011444444i i i i i i i p p p E p p p ξ⎛⎫=-⨯+⨯--+⨯=-+ ⎪⎝⎭()()()()22211011444i ii i i i i i p p D E p E E p ξξξξ⎛⎫=--+---+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭221111616448i i i i p p p p =--+++令()221111616448x x g x x x =--+++（122x ≤≤）则()()()()2323111111188448x x x g x x x x x +--'=-++-=当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减又因为12122p p ≤<≤所以()1D ξ与()2D ξ大小无法确定故选：D ．6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设01(1,2)i p i <<=，随机变量(1,2)i i ξ=的分布列分别如下，则()1ξ012P113-p 2313p 2ξ012P23p 23213-pA ．若1212p p <<，则()()12D D ξξ<B ．若1212p p <<，则()()12D D ξξ>C ．若1212p p <<，则()()12D D ξξ<D ．若1212p p <<，则()()12D D ξξ>【答案】A【解析】设随机变量为X ，其可能的取值是()*1,2,3,...,,i x i n n =∈N ，对应概率为()*1,2,3,...,,i p i n n =∈N ，则其数学期望(均值)为1()ni i i E X p x ==∑，其方差为：[][]{}22211()()()2()nni i i i i i i D X x E X E p x X x E X p ===-=+-∑∑[]22111()2()nnni ii i i i i i x p p X p E X E x ====+⋅-⋅∑∑∑()[][]()[]22222()2()()E X E X E X E X E X =+-=-，则()()11122121333p E p ξ=⨯+⨯=+，()2111422143333p p E ξ=⨯+⨯=+，()()()()222211111112442441339999=-=+-+=+-⎡⎤⎣⎦p p D E E p p ξξξ；()()222122122333p E p ξ-=⨯+⨯=-，()2222124142333p E p ξ-=⨯+⨯=-，()()()()22222222222442442239999D E E p p p p ξξξ⎡⎤=-=---=+-⎣⎦；∴()()()()()()221212*********1999D D p p p p p p p p ξξ⎦-=---=+-⎡⎤⎣-，若1212p p <<，则120p p -<，121p p <，故()()120D D ξξ-<，即()()12D D ξξ<，故A 正确，B 错误；若1212p p <<，则120p p -<，但无法判断12p p +与1的大小，故无法判断()()12,D D ξξ的大小，故CD 错误．故选：A ．7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X 0=，a ，2，根据以往销售经验可得02a <<，随机变量X 的分布列为X 0a 2P12b16其中结论正确的是（）A ．13b =B ．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为516C ．min 1()2D X =D ．当min ()D X 最小时，1()3E X =【答案】ABC【解析】由题意，11126b ++=，13b ∴=，故选项A 正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为3235115C 2216⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；随机变量X 的期望值1111()02(1)2363E X a a =⨯+⨯+⨯=+，可知方差()()()()22211111101[121323336D X a a a a ⎡⎤⎤⎡⎤=-+⨯+-+⨯+-+⨯=⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦⎦⎣⎦21(121230)54a a ⨯-+=2111227542a ⎡⎤⎛⎫⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当12a =时，min 1()2D X =，故选项C 正确；当min 1()2D X =时，111()+1322E X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选项D 错误.故选：ABC.1．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．(1)求该团队能进入下一关的概率；(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小？并说明理由．【答案】(1)0.96【解析】（1）解：记“团队能进入下一关”的事件为A ，则“不能进入下一关”的事件为A ，()()()()10.810.610.50.04P A =---=，所以该团队能进入下一关的概率为()()110.040.96P A P A =-=-=．（2）解：设按先后顺序各自能完成任务的概率分别1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等，根据题意知X 的所有可能的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1121212122131132E X p p p p p p p p p =+-+--=--+，所以()()121213E p p p p p X =-++-．若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，由交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---，所以交换后的派出顺序则变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值．所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．2．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为14．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．【答案】(1)175256(2)方案二较“优”；理由见解析【解析】(1)用ξ表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，。

专题6.3 离散型随机变量的均值与方差【基础知识梳理】 (1)【考点1：求离散型随机变量的均值】 (1)【考点2：均值的性质】 (7)【考点3：求离散型随机变量的方差】 (11)【考点4：方差的性质】 (16)【基础知识梳理】1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n量取值的平均水平．(2)称D(X)＝(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．[方法技巧]求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；(4)利用公式求均值或方差.【考点1：求离散型随机变量的均值】【知识点：求离散型随机变量的均值】1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得−1分，若该局为平局，则两人各得2分．(1)求甲、乙各赢一局的概率；(2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望．【答案】(1)0.36(2)3.4【分析】（1）由题可知比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局.据此可得答案；（2）依次写出对局情况及相应概率，后可计算期望.【详解】（1）依题意可得每局比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局，故甲、乙各赢一局的概P=2×0.6×0.3=0.36．（2）若甲赢两局，得分6分，P(X=6)=0.62=0.36；若甲一赢一平，得分5分，P(X=5)=2×0.6×0.1=0.12；若甲平两局，得分4分，P(X=4)=0.12=0.01；若甲一赢一输，得分2分，P(X=2)=2×0.6×0.3=0.36；若甲一平一输，得分1分，P(X=1)=2×0.3×0.1=0.06；若甲输两局，得分−2，P(X=−2)=0.32=0.09.故E(X)=6×0.36+5×0.12+4×0.01+2×0.36+1×0.06−2×0.09=3.42．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球．(1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；(2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)2756.(2)分布列见解析，数学期望E(ξ)=189112【分析】（1）分“从甲袋中取出1红球投入乙袋”和“从甲袋中取出1白球投入乙袋” 两个类型，利用组合数和古典概型公式。