2015广东高考复习数学专项训练4(三角)

三角恒等变换一、选择题1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A ．63B ．－63C ．±63D ．±33A [由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63.] 2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34C [原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12 sin 30°＝54.]3．已知tan α＋1tan α－1＝2，则cos 2α＝( )A ．－35B ．35C ．－45D ．45C [∵tan α＋1tan α－1＝2，∴解得tan α＝3，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.故选C ．]4．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－35，cos θ<0，则tan θ2的值等于( )A ．－3B ．3C ．－13D ．13A [由题意知θ为第三象限角，cos θ＝－1－925＝－45，所以tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351－45＝－3.]5．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．±1C [sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝0，sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0.] 6．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A ．724B ．－724C ．247D ．－247D [cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2× ⎝⎛⎭⎫－34 1－⎝⎛⎭⎫－342＝－247.] 7．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A ．1－m 2 B ．－1－m 2 C ．m 2－1D ．－m 2－1B [∵sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ， ∴sin[(α－β)－α]＝－sin β＝m ， 即sin β＝－m ，又β为第三象限角，∴cos β<0，由同角三角函数的基本关系可得： cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2，故选B ．]8．已知向量a ＝(sin α，cos 2α)，b ＝(1－2sin α，－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，若ab ＝－85，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( )A ．17B ．27C ．－17D ．－27C [∵－85＝a ·b ＝sin α(1－2sin α )－cos 2α，∴－85＝sin α－2sin 2α－(1－2sin 2α)，化为sin α＝－35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2， ∴α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2. ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17.故选C ．]9．已知sin (45°＋α)＝55，则sin 2α等于( ) A ．－45B ．－35C ．35D ．45B [sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55，∴sin α＋cos α＝105. 两边平方，∴1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－35.]10．在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上均有可能A [由tan A tanB ＞1，得角A ，B 均为锐角，然后切化弦，得sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos(A ＋B )＜0，∴cos(π－C )＜0，∴－cos C ＜0，∴cos C ＞0，∴角C 为锐角，∴△ABC 是锐角三角形，故选A ．]11．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．2B [原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.]12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ的值可以是( ) A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12A [由题得tan ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0， 即tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0， π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，故选A ．]13．若锐角α，β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( )A ．1725B ．35C ．725D ．15C [∵cos α＝45，cos(α＋β)＝35，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，∴sin α＝35，sin(α＋β)＝45.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝45×45－35×35＝725.]14．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2C [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故x ＝π是函数y ＝cos x 的一条对称轴．] 15．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．17B ．－17C ．27D ．－27B [因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0， 即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17.]二、填空题16．若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝ . 75 [tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝16，解得tan α＝75.]17．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为 ． －1 [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 18.3tanπ81－tan 2π8＝ .32 [原式＝32×2tanπ81－tan 2π8＝32tan ⎝⎛⎭⎫2×π8＝32tan π4＝32.] 19．函数y ＝sin 2x －2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin 3π2的图象的对称轴是 ，对称中心是 ．x ＝k π2＋π4(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫k π2，－1(k ∈Z ) [∵y ＝sin 2x －2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin 3π2 ＝sin 2x －2sin x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －1＝－3sin x cos x －1＝－32sin 2x －1. 令2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，令2x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2(k ∈Z )．∴该函数的对称轴为x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，－1(k ∈Z )．] 三、解答题20．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·sin x的值．[解] (1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos 2x －sin 2x 2⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )sin x.由(1)知cos x －sin x ≠0，所以上式＝cos x ＋sin xsin x＝cot x ＋1＝⎝⎛⎭⎫－34＋1＝14. 21．已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(22＋sin x,22－cos x )，函数f (x )＝m·n ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值；(2)若x ∈⎝⎛⎭⎫－3π2，－π且f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的值． [解] (1)因为f (x )＝m·n ＝cos x (22＋sin x )＋sin x (22－cos x ) ＝22(sin x ＋cos x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(x ∈R )， 所以f (x )的最大值是4.(2)因为f (x )＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝14. 又因为x ∈⎝⎛⎭⎫－3π2，－π，即x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫－5π4，－3π4.所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－154. cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin π615 4×32－14×12＝－35＋18.＝－。

1.【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ． 【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin α、cos α、tan α三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．2.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A.【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角β用已知角α和αβ+表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性. 3.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于x 加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混.4.【2015高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 【答案】A【解析】22cos 20cos sin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A . 【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.【名师点睛】1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开cos 20α=，求出sin cos αα=或sin cos αα=-.2.本题属于基础题，高考常考题型.【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D【解析】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，所以341tan =α，m n =+)3tan(απ，3313341313413=⋅-+=m n ，即2216927n m =， 因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去）， 所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.【名师点睛】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则αtan =OA k ，)3tan(απ+=OB k ，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m 、n 的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.5.【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =（ ） A． B ．2 C．D ．3 【答案】B【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 【考点定位】余弦定理．【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“b c <”， 否则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即2222cos a b c bc =+-A ． 6.【2015高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．【答案】π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =-. 【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.7.【2015高考福建，文14】若ABC ∆中，AC =，045A =，075C =，则BC =_______．【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．【考点定位】正弦定理．【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．关键是计算准确细心，属于基础题．8.【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________. 【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;故填：4. 【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin 2sin A B =转化为3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方.9.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8【解析】由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.【考点定位】三角函数的图像和性质.【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin()16x π+Φ=-时，y 取得最小值，继而求得k 的值，当sin()16x π+Φ=时，y 取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.【2015高考上海，文1】函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π【解析】因为x x 2cos 1sin 22-=，所以x x x f 2cos 2321)2cos 1(231)(+-=--=，所以函数)(x f 的最小正周期为ππ=22. 【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为x x f 2cos 2321)(+-=，再根据ωπ2=T 求周期. 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.10.【2015高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为ω =_____. 【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.11.【2015高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.12.【2015高考四川，文13】已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________. 【答案】－1【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++ 【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1，解出sin α与cos α的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tan α的值，对所求式除以sin 2α＋cos 2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan α的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题. 13.【2015高考安徽，文12】在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .【答案】2【解析】由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力. 14.【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此 山的高度CD =_________m.1006030，000753045ACB ∠=-=，根据正弦定理知，sin sin BC ABBAC ACB=∠∠， 即1sin sin 2AB BC BAC ACB =⨯∠==∠，所以tan 6CD BC DBC =⨯∠==故应填.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.AB【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.【2015高考上海，文14】已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 . 【答案】8【解析】因为函数x x f sin )(=对任意i x ，jx ),,3,2,1,(m j i ⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|min max =-≤-x f x f x f x f j i ，欲使m 取得最小值，尽可能多的让),,3,2,1(m i x i ⋅⋅⋅=取得最高点，考虑π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m 按下图取值满足条件，所以m 的最小值为8.【考点定位】正弦函数的性质，最值.【名师点睛】本题重点考查分析能力，转化能力，理解函数x y sin =对任意i x ，j x ),,3,2,1,(m j i ⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|min max =-≤-x f x f x f x f j i 是关键.15.【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B ==sin B =4B π∠=. 【考点定位】正弦定理.【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即sin sin a b=A B．16.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2xf x x =-．（I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（I ）2π；（II ）.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题．解题时要注意重要条件“20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即211sin cos 222αα=-+，()sin cos a x b x x ϕ+=+，函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>）的最小正周期是2πωT =．17.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为10 【解析】 （Ⅰ）因为x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质，以及正弦函数的性质.【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.18.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．【解析】（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a（0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为()sin()f x A x ωφ=+进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于()f x 而言，即()()f x Af x →和()()f x f x k →+，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量x 而言，即()()f x f x ω→和()()f x f x a →+；本题第（ⅱ）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，转化为解集长度大于1，是本题的核心． 19.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+- 222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.【名师点晴】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．解本题需要掌握的知识点是两角和的正切公式、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-，sin tan cos ααα=． 20.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.21.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===【解析】试题分析：（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【考点定位】正弦定理及其运用【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．22.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=由,sin sin a c A C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 【考点定位】1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想，在正确理解题意的情况下，准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误区.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识，同时考查考生的计算能力、思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力. 23.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ； (II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I) 3A π=；(II)【解析】试题分析： (I)因为//m n，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3A π=；(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，代入数值求得3c =，由面积公式得ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二：由正弦定理，得2sin B =，从而sin B =，又由a b >知A B >，所以cos B =，由sin sin()sin()3C A B B π=+=+，计算得sin C =，所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =.试题解析：(I)因为//m n，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =【考点定位】1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.【名师点睛】1.本题考查解三角形和三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出A 的值；可利用余弦定理求出c的值，代入到三角形面积公式求解计算.2.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.24.【2015高考四川，文19】已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2px－p＋1＝0(p∈R)两个实根. (Ⅰ)求C的大小(Ⅱ)若AB＝1，AC，求p的值【解析】(Ⅰ)由已知，方程x2px－p＋1＝0的判别式△＝p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0所以p≤－2或p≥2 3由韦达定理，有tanA＋tanBp，tanAtanB＝1－p于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0从而tan(A＋B)＝tan tan1tan tanA BA B+== -所以tanC＝－tan(A＋B)所以C＝60°(Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sinAC CAB==解得B＝45°或B＝135°(舍去) 于是A＝180°－B－C＝75°则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝0000tan45tan302 1tan45tan30+==+ -所以p(tanA ＋tanB )(21)＝－1 【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C ＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B ＝135°，否则造成失误.属于中档题.25.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C =（II . 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值.试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.26.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B = ，且a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1 【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积. 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==.（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a ==. 所以D ABC 的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.27.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】(1)25；(2)9 【解析】 (1)利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；(2)利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =， 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 【考点定位】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题主要考查三角函数的基本计算以及解三角形应用.根据两角和的正切公式，计算角A 的正切值，利用同角三角函数基本关系式计算得到第一题的结论；根据角A 的正切值计算得到其正弦值，利用正弦定理计算得到边b 的值，根据三角形内角和为180 及两角和的正弦公式计算得到角C 的正弦值，有两边一夹角的面积公式计算得到面积.本题属于中等题，主要考查学生三角函数有关公式的正确应用以及正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用，考查学生基本的计算能力.28.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-，（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数21()sin 22f x x x =-的解析式化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式，从而就可求出()f x 的最小周期和最小值，（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数()g x 的表达式，再由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦并结合正弦函数的图象即可求出其值域．试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--. 当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p -?， 从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2p p 上的值域是. 【考点定位】1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.【名师点睛】本题考查三角恒等变形公式及正弦函数的图象及性质，第一问采用先降幂再用辅助角公式将已知函数化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式求解，第二小问在第一问的基础上应用三角函数图象变换知识首先求出函数()g x 的解析式，再结合正弦函数的图象求其值域.本题属于中档题，注意公式的准确性及变换时的符号.28.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C =（II . 【解析】 （I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值.试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a c A C = ,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.。

专题四 解三角形8.【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . 15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值；（II ）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.9.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = .4.（15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =2. 【15北京文科】在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 10.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C= ． 13.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.14.【2015高考重庆，理13】在 ABC 中，B =120o ，AB ，A 的角平分线AD ,则AC =_______.8. 【15年福建文科】若ABC ∆中，AC ，045A =，075C =，则BC =_______．16.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．11.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin B C∠∠ ； （II ）若60BAC ∠= ,求B ∠.20.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.29．【2015高考陕西，理17】C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a = 与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ；（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．6. 【15年安徽文科】在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC 。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角形应用举例1. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，由此计算出A 、B 两点的距离为________m.答案：50 2解析：∵ ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴ ∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC 中，由正弦定理得AB sinC ＝ACsinB，∴ AB＝AC·sinCsinB ＝50×2212＝502[m]．2. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为________m.答案：507解析：连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，解得OC ＝507[m]．3. 在△ABC 中，已知∠A ＝60°，b ＝2，S △ABC ＝23，则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝________．答案：4解析：由S △ABC ＝12bcsinA ＝23，∠A ＝60°，b ＝2，得c ＝4，从而a ＝b 2＋c 2－2bccosA＝4＋16－2×2×4×12＝2 3.由a sinA ＝b sinB ＝c sinC ，得a ＋b ＋c sinA ＋sinB ＋sinC ＝a sinA ＝2332＝4.4. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是________海里．答案：10 2解析：如图，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin30°＝ABsin45°，解得BC ＝102[海里]．5. 在△ABC 中，若a cosA ＝b cosB ＝ccosC，则△ABC 的形状是________________．答案：等边三角形解析：由正弦定理得a sinA ＝b sinB ＝c sinC ，又a cosA ＝b cosB ＝c cosC ，所以sinA cosA ＝sinB cosB ＝sinCcosC，即tanA ＝tanB ＝tanC ，所以∠A ＝∠B ＝∠C ，故△ABC 为等边三角形．6. 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________m.答案：10 6 解析：在△BCD 中，CD ＝10[m]，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BC sin45°＝CD sin30°，BC ＝CDsin45°sin30°＝102[m]．在Rt △ABC 中，tan60°＝ABBC ，AB ＝BCtan60°＝106[m]．7. 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案：15 3解析：不妨设∠A ＝120°，c<b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是由cos120°＝b 2＋（b －4）2－（b ＋4）22b （b －4）＝－12，解得b ＝10，S ＝12bcsin120°＝15 3.8. 若△ABC 的三边长为连续三个正整数，且A>B>C ，3b ＝20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC ＝________．答案：6∶5∶4解析：由A>B>C ，得a>b>c.设a ＝c ＋2，b ＝c ＋1，则由3b ＝20acosA ，得3[c ＋1]＝20[c ＋2]·（c ＋1）2＋c 2－（c ＋2）22（c ＋1）c，即3[c ＋1]2c ＝10[c ＋1][c ＋2][c －3]，解得c ＝4，所以a ＝6，b ＝5.sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.9. 如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距5[3＋3]海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5[3＋3][海里]，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴ ∠ADB ＝180°－[45°＋30°]＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴ DB ＝AB·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5（3＋3）·sin45°sin105°＝5（3＋3）·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53（3＋1）3＋12＝103[海里]． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋[90°－60°]＝60°，BC ＝203[海里]，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD·BC·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴ CD＝30[海里]，则需要的时间t ＝3030＝1[小时]．即该救援船到达D 点需要1小时．10. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝6，BC ＝7，AD 是∠BAC 的角平分线． [1] 求证：DC ＝2BD ；[2] 求AB →·DC →的值．[1] 证明：在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD①，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠CAD②，又AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ，sin ∠BAD ＝sin ∠CAD ，sin ∠ADB ＝sin[π－∠ADC]＝sin ∠ADC ，由①②得BD DC ＝AB AC ＝36，所以DC ＝2BD.[2] 解：因为DC ＝2BD ，所以DC →＝23BC →.在△ABC 中，因为cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝32＋72－622×3×7＝1121，所以AB →·DC →＝AB →·错误!＝错误!|错误!|·|错误!|cos[π－B]＝错误!×3×7×⎝⎛⎭⎫－1121＝－223. 11. 某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5 m 长的材料弯折而成，边BA 、AD 用一根9 m 长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC.[1] 设AB ＝x m ，cosA ＝f[x]，求f[x]的解析式，并指出x 的取值范围； [2] 求四边形ABCD 面积的最大值．解：[1] 在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cosA. 同理，在△CBD 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB·CD·cosC.因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2＋AD 2－2AB·AD·cosA ＝CB 2＋CD 2－2CB·CD·cosC ＝CB 2＋CD 2＋2CB·CD ·cosA.即x 2＋[9－x]2－2x[9－x]cosA ＝x 2＋[5－x]2＋2x[5－x]·cosA.解得cosA ＝2x ，即f[x]＝2x，其中x ∈[2，5]．[2] 四边形ABCD 的面积S ＝12[AB·AD ＋CB·CD]sinA ＝12[x[9－x]＋x[5－x]]1－cos 2A＝x[7－x]1－⎝⎛⎭⎫2x 2＝（x 2－4）（7－x ）2＝（x 2－4）（x 2－14x ＋49）. 记g[x]＝[x 2－4][x 2－14x ＋49]，x ∈[2，5]． 由g′[x]＝2x[x 2－14x ＋49]＋[x 2－4][2x －14] ＝2[x －7][2x 2－7x －4]＝0，解得x ＝4⎝⎛⎭⎫x ＝7和x ＝－12舍. 函数g[x]在区间[2，4]内单调递增，在区间[4，5]内单调递减．因此g[x]的最大值为g[4]＝12×9＝108.所以S 的最大值为108＝6 3.答：所求四边形ABCD 面积的最大值为63m 2.。

2015 届高三理科数学小综合专题练习—三角与向量一、选择题1. ABC 中，A、B 的对边分别是 a、b ，且 A=60 , a 6 , b 4 ，那么满足条件的 ABC ( )A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定2.（1）已知向量 a (1, 2) ， b (2, 3) ，若向量 c 满足 (c a) ∥ b ， c (a b) ，则 c （ ）(7 , 7) A. 9 3( 7 , 7) B. 3 9(7 , 7) C. 3 9( 7 , 7) D. 9 33.在 △ABC 中， AB c ， AC b ．若点 D 满足 BD 2DC ，则 AD =（ ）2b 1c A． 3 35c 2b B． 3 32b 1c C． 3 31b 2c D． 3 3 4.将函数 y sin(2x ) 的图象沿 x 轴向左平移 8 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可能取值为( )3A. 4B. 4C.0D. 4sin 2 2 cos2 ( ) 5. 已知3 ，则4（ ）A． B． C． D．二、填空题6.已知向量 a ， b 的夹角为120 ，|a | 1，| b | 3 则| 5a b |． ( , ) 7 设 sin 2 sin , 2 ,则 tan 2 的值是___ _____.8. 若 角 的 顶 点 在 原 点 ， 始 边 与 x 轴 非 负 半 轴 重 合 ， 终 边 为 射 线 4x 3y 0(x 0) ， 则sin2 cos(cos tan) 的值为.9.在△ABC 中， A 60°, b 1, S 3,则sinAabc sin B sin C.f (x) 3sin(2x π)10．函数3 的图象为 C ，如下结论中正确的是.（写出所有正确结论的编号）x 11 π( 2π ，0)①图象 C 关于直线 12 对称；②图象 C 关于点 3 对称；③函数f(x)在区间(π 12，5π 12)内是增函数；④由y3sin2x的图角向右平移π 3个单位长度可以得到图象C．三、解答题11.已知函数f(x)A sin x 6 ,(A0,x R)的最大值为2.(1) 求 f 的值；(2)sin 若3 5, 2,0 ,求f 2 6 ．12.已知向量 a (2sin x, cosx),b ( 3 cosx,2cosx),定义函数f (x) a b 1.（1）求函数 f (x) 的最小正周期；（2）求函数 f (x) 的单调减区间；y f (x), x [ 7 , 5 ]（3）作出函数12 12 的图象.y 2 1 7 51212 4 12012-1 45 12x-23113．己知函数 f（x）＝ 4 sin x 一 4 cos x.（1)若cosx＝－5 13，x 2, ，求函数f(x)的值；(2)将函数 f(x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0<m< ，试求 m 的值.14.如图，A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 P 在单位圆上，AOP （ 0 ），平行四边形 OAQP 的面积为 S( ) .（Ⅰ）求 OA OQ + S( ) 的最大值及此时 的值0 ；34（Ⅱ）设点B(的坐标为5,) 5， AOB =，在（Ⅰ）的条件下，求 cos( 0 ).15.设向量 a (4 cos ,sin ),b (sin , 4 cos ), c (cos , 4sin ) . （1）若 a 与 b 2c 垂直，求 tan( ) 的值； （2）求| b c | 的最大值； （3）若 a ∥ b ，求 tan tan 的值.第 14 题16.已知向量 a (2sin x, cos x),b (sin x 3 cos x, 4 cos x) ， f (x) a b 3, x R .（1）求函数 f (x) 解析式；sin （2）已知 sin cos cos2，求f( ) 的值；, [0, ],（3）设2f ( 2 ) 10 , 12 13f ( 2) 665 求 cos 的值.17.已知函数f(x) Asin(x )(A 0, 0, , xR)2的图象的一部分如下图所示.(1)求函数 f (x) 的解析式;(2)当x [6, 2] 3 时,求函数yf(x) f(x 2) 的最大值与最小值及相应的 x的值.第 17 题18.在 ABC中， a、b、c 为角 A、B、C 所对的三边，已知 b2 +c2 a2 bc ． （Ⅰ）求角 A 的值； （Ⅱ）若 a 3 ，设内角 B 为 x ，周长为 y ，求 y f (x) 的最大值.19.在 ABC中, a 、b 、c 分别为内角 A、B、C 的对边，已知向量 m (c,b) ，n (sin 2B,sin C) ，且 m n .(1)求角 B 的度数；33 (2)若 ABC面积为 4 ，求 b 的最小值. 20.已知向量 a (cos,sin ) , b (cos ,sin ) ,| a b|255.（Ⅰ）求 cos( ) 的值；0 0 sin 5（Ⅱ）若2, 2,且13 , 求 sin .2015 届高三理科数学小综合专题练习—三角与向量参考答案 一、选择题：C D A B A1 二、填空题: 6.7 7. 3 8. 5三、解答题：2 39 9. 310. ①②③11.解：∵函数f(x)A sin x 6 的最大值为2,∴A2f(x)2sin x 6 (1)f( )2sin 6 2 sin 62 1 21sin （2）∵3 5, 2,0 cos，∴1 sin2 1 3 52 4 5sin22 sin cos2 3 5 4 524 25，cos22 cos21 2 4 52 17 25，∴f 2 6 2sin 2 3 2 sin2cos 32 cos2sin 32 24 25 1 227 2537 23 24 25 .12.解： f (x) a b 1 2 3 sin xcosx 2cos2 x 1 3 sin 2x cos2x 2sin(2x ). 6 T 2 .（1）最小正周期： | |2k 2x 2k 3 2k 2x 2k 4（2）∵26233， k x k 2 (k Z )63函数f (x)的单调减区间为[k , k 2 ](k Z ).63（3）列表如下：x 7 512 3 12 6 122x 0622y0－2020y f (x), x [ 7 , 5 ]根据表格数据用光滑曲线连接各点得到函数12 12 的图象如图所示.13.解：（1）因为cos＝－5 13，x 2, ，所以，sinx＝12 13所以，（2），51所以，把 f（x）的图象向右平移 6 个单位，得到，y＝－ 2 sinx 的图象，其图象关于原点对称，5 故 m＝ 614.解：（Ⅰ）由已知 A，P 的坐标分别为（1，0），（ cos ， sin ），∴ = (1 cos ,sin ) ， OAOQ =1 cos ， 又 S( ) = sin ，∴ OAOQ + S( ) = sin + cos +1， 5 1 sin( ) 1∵44424，故 OAOQ + S( ) 的最大值是，此时；（Ⅱ），∴.15.解：（1）∵ a 与 b 2c 垂直，∴ a ⊥ (b 2c) 0 (4cos,sin) (sin 2cos , 4cos 8sin ) 0 ，∴ 4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 0即 sin( ) 2cos( ) 0∴ tan( ) 2 .（2）| b c | (b c)2 (sin cos )2 (4cos 4sin )2 17 15sin 2 4 2 ，所以| b c | 的最大值为 4 2 .sin sin 16 tan tan 16（3）∵ a ∥ b 16cos cos sin sin 0 cos cos .16.解：∵ f (x) a b 3 (2sin x, cos x)(sin x 3 cos x, 4 cos x) 3 2sin2 x 2 3 sin x cos x 4cos2 x 3 3 sin 2x cos 2x 2sin(2x ) 6f (x)=2sin(2x )∴6.sin cos 2 tan 3（2）∵ sin cos， f (x)=2sin2 x 2 3 sin x cos x 4 cos2 x 3 2sin2 x 2 3 sin x cos x 4 cos2 x 3 sin2 x cos2 x 2 tan2 x 2 3 tan x 4 3 29 6 3 4 3 4 3 3 .tan2 x 1105, [0, ]（3）∵2，f ( ) 2sin( ) 2sin 10 sin 5 , cos 12∴ 2 12661313 故13 ，f ( ) 2sin( ) 2cos 6 cos 3 sin 4263655 ，故5，cos cos cos sin sin 12 3 5 4 16∴13 5 13 5 65 .T 2 T 8 2 f (x) 2sin( x )17.解:(1)由图像知 A 2 , 4 ,∴ 4 ,得4. 1 f (x) 2sin( x )由对应点得当 x 1 时, 424 .∴4 4;y 2sin( x ) 2sin[ (x 2) ] 2sin( x ) 2cos( x )(2)444444442 2 sin( x ) 2 2 cos x=424,x [6, 2] x [ 3 , ]∵3 ,∴ 42 6,∴当 4x 6,即x2 3时,y的最大值为6;当 4x,即x4时,y的最小值22.18.解：（Ⅰ） b2 +c2 a2 bc ，cos A b2 c2 a2 12bc20 AA 3 AC （Ⅱ） sin xBC sin A ,ACBC sin 3 sinx3 sin x 2sin x 3 2AB BC sin C 2sin(2 x)同理：sin A3 y 2sin x 2sin(2 x) 3 2 3 sin(x ) 336A 30 B x 2 3 5 x ( , )6 66x 6 即x 2 时, 3ymax3319.解:（1）由 m n ,得 m n = csin 2B bsin C 0 ,由正弦定理得, sin C 2sin BcosB sin Bsin C 0 ,∵ 0 B,C ，∴ sin B 0 ， sin C 0∴c os B1 2，故B120.（2）由S ABC=1 2ac s inB33 4，得ac3.又由余弦定理， b2 a 2 c 2 2ac cos B,b2 a2 c2 2ac( 1) a2 c2 3 2ac 3=9即2，当且仅当得 a c 3 时取等号,所以, b 的最小值为 3 .20.解：（Ⅰ） a (cos ,sin ) , b (cos ,sin ) , a b cos cos ，sin sin .a b 2 5 cos cos 2 sin sin 2 2 55,5,2 2cos 4 cos 3即55.0 , 0, 0 （Ⅱ）22,cos 35,sin 5 sin 4135，cos 12 13sin sin sin cos cos sin ，4 5 12 133 5 5 13 33 65.。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用1. 若函数f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx [ω>0]的最小正周期为π，则ω＝________．答案：1解析：由于f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx ＝12sin2ωx ，所以T ＝2π2ω＝＝1.2. 在△ABC 中，若∠B ＝π4，b ＝2a ，则∠C ＝________.答案：7π12解析：根据正弦定理可得a sinA ＝b sinB ，即a sinA ＝2a sin π4，解得sinA ＝12.因为b ＝2a>a ，所以A<B ，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝7π12.3. 已知tanx －1tanx ＝32，则tan2x ＝________．答案：－43解析：由tanx －1tanx ＝32，可得tanx 1－tan 2x ＝－23，所以tan2x ＝2tanx 1－tan 2x＝－43. 4. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝[4，4cos α－3]，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝________．答案：－14解析：a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14.5. 设函数f[x]＝cos[ωx ＋φ]－3sin[ωx ＋φ]⎝⎛⎭⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为x 1＝0，x 2＝π2，则φ＝________．答案：－π3解析：由已知条件，得f[x]＝2cos[ωx ＋φ＋π3]，由题意得T 2＝π2，∴ T ＝π.∴ T ＝2πω，∴ ω＝2.∵ f[0]＝2cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π3，x ＝0为f[x]的对称轴，∴ f[0]＝2或－2.∵ |φ|<π2，∴ φ＝－π3.6. 已知函数f[x]＝2sinx ，g[x]＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，直线x ＝m 与f[x]，g[x]的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为________．答案：2 2解析：构造函数F[x]＝2sinx －2cosx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故最大值为2 2.7. 已知f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3[ω>0]，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f[x]在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________．答案：143解析：由题意知直线x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω×π4＋π3＝2k π－π2[k ∈Z ]，∴ ω＝8k －103[k ∈Z ]． ①又π3－π6≤2πω[ω>0]，∴ 0<ω≤12. ② 由①②得k ＝1，∴ ω＝143.8. 已知函数f[x]＝sin[2x ＋φ]，其中φ为实数．f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，则f[x]的单调递增区间是________． 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3[k ∈Z ]解析：由x ∈R ，有f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f[x]取最值，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，∴ π3＋φ＝±π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π[k ∈Z ]．∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，∴ sin[π＋φ]>sin[2π＋φ]，∴ －sin φ>sin φ，∴ sin φ<0.∴ φ取－5π6＋2kπ[k ∈Z ]．不妨取φ＝－5π6，则f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π[k ∈Z ]，∴ π6＋k π≤x ≤2π3＋k π[k ∈Z ]．∴ f[x]的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π[k ∈Z ]．9. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c.[1] 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；[2] 若sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：[1] ∵ c ＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4. ∵ △ABC 的面积为3， ∴ 12absinC ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.[2] 由sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，得sin[A ＋B]＋sin[B －A]＝2sinAcosA ， 即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·[sinA －sinB]＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0， 当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形．10. 已知函数f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32[ω∈R ，x ∈R ]的最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π6对称．[1] 求f[x]的解析式；[2] 若函数y ＝1－f[x]的图象与直线y ＝a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上只有一个交点，求实数a 的取值范围．解：[1] f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32＝32sin2ωx －12[1＋cos2ωx]＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋1.∵ 函数f[x]的最小正周期为π，∴ 2π|2ω|＝π，即ω＝±1，∴ f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫±2x －π6＋1.① 当ω＝1时，f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＋1不是函数的最大值或最小值，∴ 其图象不关于x ＝π6对称，舍去．② 当ω＝－1时，f[x]＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π2＋1＝0是最小值，∴ 其图象关于x ＝π6对称．故f[x]的解析式为f[x]＝1－sin ⎝⎛⎫2x ＋π6.[2] y ＝1－f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，在同一坐标系中作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝a 的图象：由图可知，直线y ＝a 在a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1时，两曲线只有一个交点，∴ a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1.11. [2013·江苏]如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC ＝35.[1] 求索道AB 的长；[2] 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？[3] 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：[1] 在△ABC 中，因为cosA ＝1213，cosC ＝35，所以sinA ＝513，sinC ＝45.从而sinB ＝sin[π－[A ＋C]]＝sin[A ＋C]＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sinC ＝ACsinB ，得AB ＝AC sinB ×sinC ＝1 2606365×45＝1 040[m]．所以索道AB 的长为1 040 m.[2] 假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了[100＋50t]m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝[100＋50t]2＋[130t]2－2×130t ×[100＋50t]×1213＝200[37t 2－70t ＋50]，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537[min]时，甲、乙两游客距离最短．[3] 由正弦定理BC sinA ＝AC sinB ，得BC ＝AC sinB ×sinA ＝1 2606365×513＝500[m]．乙从B 出发时，甲已走了50×[2＋8＋1]＝550[m]，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514[单位：m/min]范围内．。

第1讲 三角函数的图象与性质考情解读 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )； 对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z ) 对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心： (k π2，0)(k ∈Z )3.三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ―————————―→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin xy ＝sin ωx―———————―→向左φ>0或向右φ<0平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α的值为________．思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 答案 (1)A (2)－34解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.(2)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4 答案 (1)1825 (2)D解析 (1)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.(2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.热点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式例2 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin(2x ＋2π3)D ．y ＝sin(2x －π6)(2)若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在[0，π2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值X 围为________．思维启迪 (1)先根据图象确定函数f (x )的解析式，再将得到的f (x )中的“x ”换成“x －π6”即可．(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数． 答案 (1)D (2)(－2，－1]解析 (1)由图知，A ＝1，3T 4＝11π12－π6，故T ＝π＝2πω，所以ω＝2，又函数图象过点(π6，1)，代入解析式中，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，故φ＝π6.则f (x )＝sin(2x ＋π6)向右平移π6后，得到y ＝sin[2(x －π6)＋π6)＝sin(2x －π6)，选D.(2)由题意可知y ＝2sin(2x ＋π6)＋a ，该函数在[0，π2]上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin(2x ＋π6)在[0，π2]上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a <2，所以－2<a ≤－1.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.833B.1633 C ．8 D ．16(2)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小正值为( ) A.16B.14 C.13D.12答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝2－a22＋a22＝25，解得a ＝8，由此得，T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.(2)y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6，得到y ＝tan(ωx ＋π4－ωπ6)的图象，与y ＝tan(ωx＋π6)重合，得π4－ωπ6＝k π＋π6，故ω＝－6k ＋12，k ∈Z ， ∴ω的最小正值为12.热点三 三角函数的性质例3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)．解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时sin(2x ＋π4)＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z . 思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象；若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值． 解 (1)由题意得：f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx － 3 ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π3)，由周期为π，得ω＝1，得f (x )＝2sin(2x －π3)，函数的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y ＝2sin 2x＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间 (1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min 2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解． (2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身．真题感悟1．(2014·某某)将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增答案 B解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x－23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z . 令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．2．(2014·)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π 解析 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 押题精练1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M (m,0)，N (n,2)，P (π，0)，且mn <0，则f (x )在下列哪个区间中是单调的( )A ．(0，π4)B ．(π4，2π3)C ．(π2，3π4)D ．(2π3，π)答案 B解析 ∵mn <0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M 点在原点时，此时T ＝π，则ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x )，在(π4，3π4)上为减函数，(0，π4)上为增函数；当图象的最高点在y 轴上时，即N 点在y 轴上，34T ＝π，ω＝32，∴f (x )＝2sin(32x )，在(0，2π3)上是减函数，(2π3，π)上为增函数．所以f (x )在(π4，2π3)上是单调的． 2．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，某某数k 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象， 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g (x )＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.∴－12<k ≤12或k ＝－1.(推荐时间：50分钟)一、选择题1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 答案 C解析 由三角函数的定义可知，初始位置点P 0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.2．将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π2个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－2cos xC ．y ＝－2sin 4xD ．y ＝－2cos 4x 答案 D解析 函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝2cos 2(x －π2)＝2cos(2x －π)＝2cos(π－2x )＝－2cos 2x ，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝－2cos[2·(2x )]，即y ＝－2cos 4x .3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( ) A.12B.22 C.32D.6＋24答案 A解析 依题意知T 2＝2π3－π6，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，将点(π6，1)代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，φ＝π6，故y ＝sin(2x ＋π6)，与y 轴交点纵坐标为12.4．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6B.7π12C.7π6D.7π3 答案 C解析 由题中图象知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)<f (π)，则下列结论正确的是( )A ．f (1112π)＝－1B ．f (7π10)>f (π5)C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )答案 D解析 由f (x )≤|f (π6)|恒成立知x ＝π6是函数的对称轴，即2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又f (π2)<f (π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sinφ.所以sin φ>0，得φ＝π6，即f (x )＝sin(2x ＋π6)，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．6．已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6答案 A解析 因为A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，所以T ＝4×(π12＋π6)＝π，所以ω＝2，因为A (－π6，0)，所以f (－π6)＝sin(－π3＋φ)＝0,0<φ<π2，φ＝π3.二、填空题7．(2014·某某)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f (2×π12)＝f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝32.9．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值X 围是________．答案 [－32，3]解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]．10．给出命题：①函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )(x ∈R )的最小值等于－1；②函数y ＝sin πx cos πx 是最小正周期为2的奇函数；③函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π2]上单调递增的；④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________． 答案 ①④解析 对于①，函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )＝sin(π3－x )，所以其最小值为－1；对于②，函数y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数，但其最小正周期为1；对于③，函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π4]上单调递增，在区间[π4，π2]上单调递减；对于④，由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α<0cos α－sin α<0⇒cos α<0，sin α>0，所以α一定为第二象限角．三、解答题11．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.解 (1)f (x )的最小正周期T ＝2π3.(2)由函数的最大值为4，可得A ＝4. 所以f (x )＝4sin(3x ＋φ)． 当x ＝π12时，4sin(3×π12＋φ)＝4，所以sin(π4＋φ)＝1，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π4.所以f (x )的解析式是f (x )＝4sin(3x ＋π4)．(3)因为f (23α＋π12)＝125，故sin(2α＋π4＋π4)＝35.所以cos 2α＝35，即1－2sin 2α＝35，故sin 2α＝15.所以sin α＝±55.12．已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)函数f (x )在区间[－π6，π3]上的值域．解 (1)由二倍角的正、余弦公式及其变形，得f (x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x ＋31＋cos 2x2＝2＋3sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2(32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)＋2.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，∵－π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z 时f (x )为单调递增函数，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .(2)由题意得－π6≤x ≤π3，∴2x ＋π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，即1≤2sin(2x ＋π6)＋2≤4，∴f (x )区间[－π6，π3]上的值域为[1,4]．。

2015届高三数学三角与向量专题训练（带解析）一、选择、填空题1、（2014广东高考）已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）2、（2012广东高考）若向量()2,3BA =，()4,7CA =，则BC =（ ）A .()2,4--B .()2,4C .()6,10D .()6,10--3、（2011广东高考）若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．04、（2014广东高考）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则ab= 5、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且3,若AC AB AP +=λ,且0)(=-⋅AB AC AP ，则实数λ的值为( ）A ．73B ．712C ．6D ．136、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）已知菱形ABCD 的边长为2，0120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上， ,BE BC λ=DF DC μ=.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+= A ．12 B ．23 C ．56 D ．7127、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）在ABC ∆中，已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是（ ）A ．34B ．38C ．34或38D ．38、（惠州市2015届高三第二次调研考试）设向量(1,0)a =，11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是( )A ．a b =B ．22a b ⋅=C ．//a bD ．a b -与b 垂直 9、（江门市普通高中2015届高三调研测试）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（ ）A ． 5B ． 5C ． 10D ．1010、（韶关市十校2015届高三10月联考）将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（ ）A. )42sin(1π++=x y ；B ．12cos -=x y ；C.12cos +-=x y ；D.12cos +=x y11、（深圳市2015届高三上学期第一次五校联考）已知函数()3sin f x x x x =--+，当02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，恒有()()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->成立，则实数m 的取值范围（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭12、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）在△ABC 中，边a 、b 所对的角分别为A 、B ，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=．13、（肇庆市2015届高三10月质检）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．0二、解答题1、（2014广东高考）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。

高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题（含答案解析）1.(2015广东高考)已知5件产品有两件次品，其余为合格品.现从5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.12.在由数字1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的二位数中，得到的数不能被5和2整除的概率为（）A.0.2B.O.4C.0.6D.0.83．已知三棱锥S­ABC，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<V S­ABC的概率是()A. B.C. D.4．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B.C. D.5．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是()A. B.C. D.6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数、得点，则点在圆内的概率为.10．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加2010年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________．11．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．12．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．13.(2015重庆高考)在区间上随机地选择一个数p,则方程有两个负根的概率为.14．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．15.（2015菏泽一模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．16．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．【参考答案】1.【答案】B【解析】这是一个古典概型,从5件产品任取2件的取法为;基本事件总数为10;设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为故选B.2．【答案】B【解析】总的事件数为，得到的数不能被5和2整除的个位数只能为1或3，有，故所求概率为0.4.3．【答案】A【解析】当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，4．【答案】A【解析】5．【答案】A【解析】∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．∴6．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是7．【答案】B【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9.【答案】【解析】连续两次抛掷一枚骰子得到的结果有种，点落在圆内的有，，，共4种，故所求的概率为.10．【答案】【解析】依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是.11．【答案】【解析】若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为.12．【答案】【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．∴13.【答案】【解析】方程有两个负根等价于解关于p的不等式组可得或所求概率为14．【答案】解析：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝，S扇形COD＝，所以豆子落在区域N内的概率为15.【解析】（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．16．【解析】(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a2≥4b”的概率为，即函数f(x)有零点的概率为.(2)a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此为几何概型．所以事件“f(1)>0”的概率为【巩固练习】1.(2015鄂州三模)已知函数若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B. C. D.2.某公共汽车每15分钟一班，乘客甲随机的到达车站，则甲等待的事件不超过3分钟的概率为（）A. B. C. D.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B.C. D.4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.5.在长为10的线段AB上任取一点M，以AM为半径作圆，则该圆的面积在和之间的概率为（）A. B. C. D.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.7．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是()A. B.C. D.10．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A. B.C. D.11.(2015江西二模)在区间内随机取两个数a,b，则使得函数有零点的概率为.12．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．13.（2015河东区一模）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率．14.（14分）设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从1，2，3，4，5四个数中任取的一个数，是从1，2，3，4三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间[1,5]任取的一个数，是从区间[1,4]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．15．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【参考答案】1.【答案】D【解析】求导可得要满足题意需有两个不等实根即即，又a,b的取法共种，其中满足的有共6种故所求的概率为故选D.2.【答案】A【解析】甲等待的事件不超过3分钟的概率为.3．【答案】D【解析】在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为.4．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是5.【答案】A【解析】以半径为准，概率为.6．【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝7．【答案】D【解析】由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9．【答案】A【解析】依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于10．【答案】B【解析】因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为11.【答案】【解析】两个数a、b在区间内随机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A(0,4)，B(4,4),C(4,0),O为坐标原点，若函数有零点，则解之得，满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为正方形OABC的面积为函数有零点的概率为12．【答案】【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为(，0)，(0，)，又当m∈(0,3)时，，∴··<，解得0<m<2，∴P＝三、解答题13.【解析】（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝，1红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况，所以概率为．14.【解析】设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共20个：事件中包含个基本事件，所以事件发生的概率为．（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为，∴,构成事件的区域为，∴,所以所求的概率为．15．【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝＝.∴所求事件的概率为。

阶段性测试题四(三角函数与三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·威海期中)角α的终边经过点P (sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为( ) A ．10° B ．80° C ．－10° D ．－80°[答案] D[解析] 由条件知tan α＝－cos10°sin10°＝－tan80°＝tan(－80°)，故选D.2．(文)(2014·北京海淀期中)在△ABC 中，若tan A ＝－2，则cos A ＝( ) A.55B ．－55 C.255 D ．－255[答案] B[解析] 在△ABC 中，若tan A ＝－2，则A ∈(π2，π)，cos A ＝－11＋tan 2A＝－15＝－55，故选B.(理)(2014·三亚市一中月考)若tan α＝2，则cos2α＋sin2α的值为( ) A ．0 B.15 C ．1 D.54[答案] B[解析] ∵tan α＝2，∴cos2α＋sin2α＝cos 2α－sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝15.3．(文)(2014·江西临川十中期中)已知sin(θ＋π2)＝35，则cos2θ等于( )A.1225B ．－1225C ．－725D.725[答案] C[解析] ∵sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.(理)(2014·枣庄市期中)化简cos (π＋α)cos (π2＋α)cos (11π2－α)cos (π－α)sin (－π－α)sin (9π2＋α)的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．tan α D ．－tan α[答案] C[解析] 原式＝－cos α·(－sin α)·(－sin α)－cos α·sin α·cos α＝tan α，故选C.4．(2014·山东省菏泽市期中)要得到y ＝sin(2x －2π3)的图象，只要将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移( )个单位即可( )A.π3 B ．π C.2π3 D.π2 [答案] D[解析] ∵sin[2(x －π2)＋π3]＝sin(2x －2π3)，∴只需将y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位可得到y ＝sin(2x －2π3)的图象．5．(2014·九江市七校联考)在△ABC 中，AC ＝7，∠B ＝2π3，△ABC 的面积S ＝1534，则AB ＝( )A ．5或3B ．5C ．3D ．5或6 [答案] A[解析] 设AB ＝x ，BC ＝y ，则x >0，y >0，由条件得，⎩⎨⎧72＝x 2＋y 2－2xy cos 2π3，12xy sin 2π3＝1534，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋xy ＝49，xy ＝15， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴AB ＝3或5. 6．(2014·山东省菏泽市期中)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C ．2sin －11D ．sin2[答案] C[解析] 设圆半径为R ，由条件知sin1＝1R ，∴R ＝1sin1，∴l ＝2R ＝2sin1，故选C.7．(文)(2014·辽宁师大附中期中)在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] C[解析] ∵cos A ＝sin(π2－A )>sin B,0<π2－A <π2，0<B <π2，∴π2－A >B ，∴A ＋B <π2，∴C >π2，故选C.(理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC 中，“sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由条件式得sin A ≥1，∴sin A ＝1，∴A 为直角，但△ABC 为直角三角形时，不一定A 为直角，故选A.8．(2014·浙江省五校联考)函数y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x2)的图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2[答案] C[解析] y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x 2)＝2sin(π4－x 2)cos(π4－x 2)＝sin(π2－x )＝cos x ，其对称轴方程为x ＝k π，k ∈Z .9．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A ．[0，π2]B ．[π4，3π4]C ．[－π4，π4]D ．[π2，π][答案] A[解析] 由2k π≤2x ≤2k π＋π得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选A.(理)(2014·福州市八县联考)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2] [答案] A[解析] 由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2及ω>0得，2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z . ∵f (x )在(π2，π)上单调递减，∴(π2，π)⊆[2k πω＋π4ω，2k πω＋5π4ω]， ∴k ＝0，⎩⎨⎧π4ω≤π2，5π4ω≥π.∴12≤ω≤54，故选A. 10．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1[答案] C[解析] ∵x 1，x 2∈(－π6，π3)时，f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f (π6)，由图象知，T 2＝π3－(－π6)＝π2，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，由于f (x )的图象过点(π12，1)，∴sin(π6＋φ)＝1，∴φ＝π3，∴f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝sin 2π3＝32，故选C.11．(2014·哈六中期中)2sin 225°－1sin20°cos20°的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] 原式＝－cos50°12sin40°＝－2.12．(文)(2014·威海期中)函数f (x )＝sin x ＋cos2x 的图象为( )[答案] B[解析] f (0)＝sin0＋cos0＝1，排除A 、D ；f (－π)＝sin(－π)＋cos(－2π)＝1，排除C ，故选B. (理)(2014·山东省菏泽市期中)函数f (x )＝2x －tan x 在(－π2，π2)上的图象大致为( )[答案] C[解析] ∵f (－x )＝－2x －tan(－x )＝－(2x －tan x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A 、B ； f ′(x )＝(2x －sin x cos x )′＝2－1cos 2x ，令f ′(x )≥0得，cos 2x ≥12，∴cos x ≥22或cos x ≤－22， ∵x ∈(－π2，π2)，∴－π4≤x ≤π4，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．[答案] 135°[解析] ∵a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∵0°<C <180°，∴C ＝135°.14．(文)(2014·甘肃临夏中学期中)函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C ，则如下结论中正确的序号是________．①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点(2π3，0)对称；③函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .[答案] ①②③[解析] ①当x ＝11π12时，f (11π12)＝3sin 3π2＝－3，∴正确；②当x ＝2π3时，f (2π3)＝0，∴正确；③由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k∈Z )，∴正确；④y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝3sin2(x －π3)，∴④错误．(理)(2014·威海期中)将函数y ＝sin(x －π3)，x ∈[0,2π]的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的单调递增区间为____________．[答案] [－π6，3π2]，[7π2，23π6][解析]由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2得，4k π－π2≤x ≤4k π＋3π2，k ∈Z ，由已知函数中x ∈[0,2π]得所求函数的定义域为[－π6，23π6]，令k ＝0得，－π2≤x ≤3π2，令k ＝1得，7π2≤x ≤11π2，故所求函数的单调增区间为[－π6，3π2]和[7π2，23π6]．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝________.[答案]2425[解析] ∵α为锐角，∴0<α＋π6<π，∵cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)·cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425.(理)(2014·吉林延边州质检)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则sin A1－cos A＝________.[答案] 4[解析] ∵S ＝12bc sin A ，a 2－(b －c )2＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)＝2bc －2bc cos A ，S ＝a 2－(b －c )2，∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，∴sin A 1－cos A＝4. 16．(2014·浙江省五校联考)已知O (0,0)，A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，C (cos γ，sin γ)，若kOA →＋(2－k )OB →＋OC →＝0(0<k <2)，则cos(α－β)的最大值是________．[答案] －12[解析] ∵kOA →＋(2－k )OB →＋OC →＝0，OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)，OC →＝(cos γ，sin γ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k cos α＋(2－k )cos β＋cos γ＝0，k sin α＋(2－k )sin β＋sin γ＝0， ∵cos 2γ＋sin 2γ＝1，∴k 2＋(2－k )2＋2k (2－k )cos αcos β＋2k ·(2－k )sin αsin β＝1， ∴cos(α－β)＝－2k 2＋4k －3－2k 2＋4k ＝1＋32k 2－4k ， ∵0<k <2，∴－2≤2k 2－4k <0，∴cos(α－β)≤－12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )． (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值．[解析] f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos2x ＋sin2x＝2(22sin2x －22cos2x )＋1 ＝2sin(2x －π4)＋1，(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f (x )取得最大值，且最大值为f (3π8)＝2sin π2＋1＝2＋1.(理)(2014·北京东城区联考)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及相应的x 的值．[解析] (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin(2x －π6)－12，所以T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12.18．(本小题满分12分)(文)(2014·辽宁师大附中期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． [解析] (1)∵cos B ＝45，∴sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin30°＝103.∴a ＝53.(2)∵△ABC 的面积S ＝12ac sin B ，sin B ＝35，S ＝3，∴ac ＝10.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， 4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.∴(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40，∴a ＋c ＝210.(理)(2014·威海期中)△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋b sin B －c sin C ＝a sin B .(1)求角C ；(2)若a ＋b ＝5，S △ABC ＝323，求c 的值．[解析] (1)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，原等式可转化为：a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝332，∴ab ＝6，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－18＝7， ∴c ＝7.19．(本小题满分12分)(2014·江西白鹭洲中学期中)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B＝－3，c ＝7，三角形面积为332.(1)求∠C 的大小； (2)求a ＋b 的值．[解析] (1)∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，且tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )， ∴tan C ＝3，又∵0<C <π，∴∠C ＝π3.(2)由题意可知：S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ＝332，∴ab ＝6.由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴(a ＋b )2＝3ab ＋c 2＝3×6＋(7)2＝25， 又a >0，b >0，∴a ＋b ＝5.20．(本小题满分12分)(文)(2014·马鞍山二中期中)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值． [解析] (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC →2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α，BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π4. (2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23.① 又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α. 由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59. (理)(2014·辽宁师大附中期中)已知向量a ＝(2sin x ，sin x －cos x )，b ＝(cos x ，3(cos x ＋sin x ))，函数f (x )＝a ·b ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值； (2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)f (x )＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3， ∴f (x )的最大值是3，最小值是2.(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ， ∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ， 同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 得，f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 21．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析] 由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得，DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°·cos60°＋sin60°·cos45°＝53(3＋1)3＋12＝103(n mile)． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900， ∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)． 答：救援船到达D 点需要1h.22．(本小题满分14分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0，12)，最小正周期为2π3，且最小值为－1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈[π6，m ]，f (x )的值域是[－1，－32]，求m 的取值范围． [解析] (1)由函数的最小值为－1，可得A ＝1，因为最小正周期为2π3，所以ω＝3.可得f (x )＝cos(3x ＋φ)，又因为函数的图象过点(0，12)，所以cos φ＝12，而0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝cos(3x ＋π3)． (2)由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32，且cosπ＝－1，cos 7π6＝－32， 由余弦曲线的性质知，π≤3m ＋π3≤7π6，得2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]． (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)． (1)∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f (x )＝sin(x 2＋π6)． 由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： 4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3. ∴f (x )的单调递增区间是[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A >0，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3， ∴0<A <2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f (A )∈(12，1)．。

一、选择题1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×(－35)<0. cos θ＝cos2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角． 答案：C2．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725 C.1225 D ．－1825 解析：∵sin α＝55，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝35. ∴cos 4α＝2cos 22α－1＝2×(35)2－1＝－725. 答案：B3．若－2π<α<－3π2，则 1－cos α－π2的值是( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin α2 D ．－cos α2 解析： 1－cos α－π2＝ 1－cos π－α2＝ 1＋cos α2＝|cos α2|， ∵－2π<α<－3π2，∴－π<α2<－3π4， ∴cos α2<0，∴|cos α2|＝－cos α2. 答案：D4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( ) A.35B.45 C ．±35 D ．±45解析：∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角． ∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425， ∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35. 答案：C5．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( ) A.1－a 2 B ．－ 1－a 2 C. 1＋a 2 D ．－ 1＋a 2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2；又x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a 2. 答案：D6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝( ) A ．－12B.12 C ． 2 D ．－2解析：∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35. ∴tan α＝34. 由tan α＝34＝2tan α21－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α2＝－3. 又∵π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ，∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z. 当k ＝2n (n ∈Z)时，π2＋2n π<α2<3π4＋2n π，α2在第二象限； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，3π2＋2n π<α2<7π4＋2n π，α2在第四象限． ∴tan α2＝－3.∴1＋tan α21－tan α2＝1－31－－＝－12. 答案：A二、填空题7．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________. 解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38. 答案：388． sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝－3，则tan 2B ＝________. 解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B ＝2sin B cos B 2cos 2B＝tan B ＝－3. ∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34. 答案：349．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________. 解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限的角，∴cos α2<0. ∵tan α＝－43， ∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－55 三、解答题10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x ) 解：原式＝22[12sin(π4－x )＋32cos(π4－x )] ＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π6－π4＋x ) ＝22cos(x －π12)． 11．求3tan 10°＋1210°－的值．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10° ＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10° ＝2sin 40°sin 20°cos 20° ＝2sin 40°12sin 40°＝4. 12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值；(2)求函数f (x )的零点的集合．解：(1)因为f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x )＝2sin(2x ＋π6)－1， 所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值1.(2)法一：由(1)及f (x )＝0得sin(2x ＋π6)＝12， 所以2x ＋π6＝2k π＋π6或2x ＋π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ， 即x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z. 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}． 法二：由f (x )＝0得23sin x cos x ＝2sin 2x ，于是sin x ＝0或3cos x ＝sin x 即tan x ＝ 3.由sin x ＝0可知x ＝k π；由tan x ＝3可知x ＝k π＋π3. 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}。

2015年高考一轮复习备考试题--三角与向量一、选择题 1、[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1，1，0)B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1) 2、（2012广东高考）若向量()2,3BA =，()4,7CA =，则BC =（ ）A .()2,4--B .()2,4C .()6,10D .()6,10--3、（2011广东高考）若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．04、（2014广州一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C5、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））设函数sin 23cos2y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,2A = B . T π=,2A = C ．2T π=,2A = D ．2T π=,2A = 6、（2015广州六中8月摸底）已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且3,2==AC AB ,若AC AB AP +=λ,且0)(=-⋅AB AC AP ，则实数λ的值为( ）A ．73 B ．712 C ．6 D ．13二、解答题7、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.8、（2013广东高考）已知学科网函数()2cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．9、（2012广东高考）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.10、（2011广东高考）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求5()4f π的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．11、（2015广州六中第一学科网次质检） 已知函数21()3sin cos cos ,2f x x x x x R =--∈． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ)已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．12、（2014广州一模）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（1）求实数a 的值；（2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间．13、（2015广州海珠区综合测试一）已知函数()2cos 24x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R ∈. （1）求()f x 的单调递减区间； （2）若3sin 5θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()4f θπ+．14、已知函数21cos 2sin 23)(2--=x x x f ，x R ∈． （I ）若]43,245[ππ∈x ，求函数()f x 的最大值和最小值，并写出相应的x 的值； （II ）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足3c =，()0f C =且sin 2sin B A =，求a 、b 的值.15、（2015广东七校摸底）已知函数1()2sin()3f x x ϕ=+（,02x R πϕ∈<<）的图象过点(,3)2M π.（1）求ϕ的值；（2）设,[0,]2παβ∈，1056(3),(3),1325f f παπβ+=+=-求sin()αβ-的值.参考答案：1、B2、A3、D4、B5、C6、B7、解：（1）依题意有55233sin sin 12124322f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3A = （2）由（1）得()3sin(),4f x x x R π=+∈，()()33sin sin 6cos 442f f ππθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦6cos 4θ∴=，2310(0,)sin 1cos 1284πθθθ∈∴=-=-= 33303sin 3sin 4444f πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8、(Ⅰ)2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ)22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.9、解析：（Ⅰ）210T ππω==，所以15ω=.（Ⅱ）515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3s i n 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以24c o s 1s i n 5αα=-=，215sin 1cos 17ββ=-=，所以()4831513cos c os co s s i n s i n 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 10、解：（1）515()2sin()2sin 243464f ππππ=⨯-== （2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= ∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=11、12、解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即3022a -+=．解得3a =． （2）由（1）得()sin 3cos f x x x =+．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 3cos 2x x =+-22sin 23sin cos 3cos 2x x x x =++-3sin 2cos2x x =+312sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()g x 的最小正周期为22π=π． 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增， 即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．12、解：（Ⅰ）∵C B A ,,为ABC ∆的内角，且552cos =A ，10103cos =B∴555521cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=A A 1010101031cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B B ∴()B A +cos B A B A sin sin cos cos += 10105510103552⨯-⨯=22=（Ⅱ）由（I ）知， 45=+B A ∴ 135=C ∵10=a ，由正弦定理BbA a sin sin =得555101010sin sin =⨯=⨯=A Ba b∴ABC S ∆252251021sin 21=⨯⨯⨯==C ab13、14、解（Ⅰ）31cos 21()sin 2sin(2)12226x f x x x π+=--=--…….............3分 令,62π-=x t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,4ππt ()1sin -=∴t t f 。

阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·某某调研)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79 [答案]A[解析]sin(π4＋θ)＝22(sin θ＋cos θ)＝13，sin θ＋cos θ＝23，两边平方得，1＋2sin θcos θ＝29，故sin2θ＝－79.2．(文)(2014·某某期末测试)已知tan α2＝2，则6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值为( )A.76B ．7C ．－67D ．－7[答案]A[解析]由已知得tan α＝2tanα21－tan 2α2＝－43，故6sin α＋cos α3sin α－2cos α＝6tan α＋13tan α－2＝76. (理)(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x ), f ′(x )是f (x )的导函数，则sin2x ＝( )A.13B ．－35 C.35D ．－13 [答案]C[解析]由f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )得 cos x ＋sin x ＝2sin x －2cos x ，所以tan x ＝3，sin2x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 1＋tan 2x ＝610＝35，故选C.3. (文)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43[答案]D[解析]因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43，选D.(理)(2014·潍坊质检)已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin120°，cos120°)，则α可以是( )A ．60°B ．330°C ．150°D ．120° [答案]B[解析]由三角函数的定义得sin α＝cos120°＝－12，在选项中只有B 选项的正弦值为－12.4．(2014·某某一中月考)函数y ＝3sin 2(ω2x ＋π4)的最小正周期为π，则ω为 ( )A ．2B ．4C ．±2D ．±4 [答案]C[解析]∵y ＝3sin 2(ω2x ＋π4)＝32[1－cos(ωx ＋π2)]＝32(1＋sin ωx )，所以2π|ω|＝π，解得ω＝±2，故选C.5．(2014·某某联考)为了得到函数y ＝3sin(2x －π6)的图像，只需把函数y ＝3sin(x －π6)的图像上所有的点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变[答案]B[解析]将函数y ＝3sin(x －π6)中的x 变为2x ，即得到y ＝3sin(2x －π6)，故横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，选B.6．(2014·某某调研)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 [答案]D[解析]sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C ) ＝1－2cos A sin B ，sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1， 所以A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．7．(文)(2014·武昌中学月考)计算sin15°sin75°＋cos15°cos75°＝( ) A.32B.12C.1＋32D.3－12[答案]B[解析]sin15°sin75°＋cos15°cos75°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.(理)(2014·潍坊期末)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.4π3B.2π3 C ．π D.π3[答案]D[解析]由正弦曲线知，在一个周期内sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1，∴可取a ＝5π6，3π2≤b ≤2π＋π6，∴2π3≤b －a ≤4π3，D 中π3不在此X 围内，故选D. 8．(2014·某某一模)△ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或3D.32或34[答案]D[解析]由余弦定理cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，代入各值整理可得AC 2－3AC ＋2＝0，解得AC ＝1或AC ＝2三角形面积S ＝12AB ·AC ·sin A 所以面积为32或34.9．(文)(2014·某某一中第三次联考)将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A ．(π2，0)B ．(π4，0)C ．(π9，0)D ．(π16，0)[答案]A[解析]将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点横坐标伸长到原来的3倍后得y ＝sin(2x ＋π4)，再向右平移π8个单位得y ＝sin[2(x －π8)＋π4]＝sin2x ，由2x ＝k π(k ∈Z)得对称中心为(k π2，0)(k ∈Z)，故选A.(理)(2014·某某一中第三次联考)将函数f (x ) ＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )在[0，π4]上为增函数，则ω的最大值( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案]B[解析]由题意g (x )＝2sin ωx ，要使其在[0，π4]为增函数，如图所示，只需π2ω≥π4，所以0<ω≤2，选B.10．(文)(2014·某某一中月考) 如下图是函数y ＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)图像的一部分，则 ( )A ．ω＝135，φ＝5π6B ．ω＝115，φ＝π6C ．ω＝75，φ＝5π6D ．ω＝235，φ＝π6[答案]C[解析]∵y ＝4sin(ωx ＋φ)的图像过点(0,2)，所以4sin φ＝2⇒sin φ＝12，由于函数y ＝4sin(ωx ＋φ)在x ＝0附近单调递减，且|φ|<π，故φ＝5π6，∴y ＝4sin(ωx ＋5π6)．由于(5π6，0)是函数y ＝4sin(ωx ＋5π6)的图像在y 轴右侧第二个对称中心，故有5π6ω＋5π6＝2π，解得ω＝75，故选C.(理)(2014·某某一中月考)设x ∈R ，则f (x )＝coscos x 与g (x )＝sinsin x 的大小关系为( )A ．f (x )<g (x )B ．f (x )≤g (x )C ．f (x )>g (x )D ．f (x )≥g (x ) [答案]C[解析]∵f (x )＝coscos x ＝sin(π2－cos x )，由于sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2<π2，所以sin x <π2－cos x ，且－π2<sin x <π2－cos x <π2，由于函数y ＝sin x 在(－π2，π2)上单调递增，所以sinsin x <sin(π2－cos x )＝coscos x ，即f (x )>g (x )，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2014·某某月考)若sin (3π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tan α＝________.[答案]－33[解析]sin(3π＋α)＝12，α∈(－π2，0)得sin α＝－12，cos α＝32，故tan α＝－3312．(文) (2014·某某师大附中调研)直线2x －y ＋1＝0的倾斜角为θ，则1sin 2θ－cos 2θ的值为________．[答案]53[解析]由题意可知，tan θ＝2，则 1sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θsin 2θ－cos 2θ＝tan 2θ＋1tan 2θ－1＝53.(理)若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则cos(2α＋3π2)的值等于________．[答案]－45[解析]因为点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，所以sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，所以cos(2α＋3π2)＝sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝－45.13．(2014·某某区模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若cos Bcos C ＝－b 2a ＋c，则B ＝________.[答案]2π3[解析]由已知得cos B cos C ＝－sin B2sin A ＋sin C ，化简得2sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin A ＝0，因此cos B ＝－12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.14．(2014·长丰一模)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________m.[答案]10 6[解析]由题意知，∠BCD ＝90°＋15°＝105°，又∠BDC ＝45°，CD ＝10，故∠CBD ＝30°，由正弦定理得BC ＝DCsin ∠CBD ·sin ∠CDB ＝102，又因为∠ABC ＝90°，∠ACB ＝60°， 所以AB ＝BC ·tan60°＝10 6.15．(2014·某某调研测试)对于△ABC ，有如下四个命题： ①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin B ＝cos A ，则△ABC 不一定是直角三角形； ③若sin 2A ＋sin 2B >sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形；④若a cos A 2＝B cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 是等边三角形．其中正确的命题是________．[答案]④[解析]对于命题①，若A ＋B ＝π2，则2A ＋2B ＝π，所以2A ＝π－2B ，所以sin2A ＝sin(π－2B )＝sin2B ，故△ABC 也可能是直角三角形，故命题①为假命题；对于命题②，取A ＝30°，B ＝120°，则 sin B ＝32＝cos A ，此时△ABC 为钝角三角形，故△ABC 不一定是直角三角形，故命题②为真命题；对于命题③，由于sin 2A ＋sin 2B >sin 2C ，所以a 2＋b 2>c 2.故有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，故角C 为锐角，并不能说明A ，B 其中一个为钝角，即△ABC 不一定是钝角三角形，所以命题③为假命题；对于命题④，由于a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，所以sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2，于是得到sin A 2＝sin B 2＝sin C2，由于0<A <π，所以0<A 2<π2，同理可得0<B 2<π2，0<C 2<π2，由于函数y ＝sin x 在(0，π2)上是单调递增的，故A 2＝B 2＝C2，于是有A ＝B ＝C ，所以△ABC 为等边三角形． 故正确的命题为②④.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(文)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． [解析](1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tanθ＝3＋12.(2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ ＝(sin θ＋cos θ)2，得1＋m ＝(3＋12)2，即m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.(理)(2014·某某一模)已知函数f (x )＝－cos 2x －sin x ＋1. (1)求函数f (x )的最小值； (2)若f (α)＝516，求cos2α的值．[解析](1)因为f (x )＝－cos 2x －sin x ＋1 ＝sin 2x －sin x ＝(sin x －12)2－14，又sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝12时，函数f (x )的最小值为－14.(2)由(1)得(sin α－12)2－14＝516，所以(sin α－12)2＝916.于是sin θ＝54(舍)或sin α＝－14.故cos2α＝1－2sin 2α＝1－2(－14)2＝78.17．(本小题满分12分)(文)(2014某某模拟)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －2. (1)求f (π4)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解析](1)依题意f (x )＝2sin 2x ＋sin2x －1 ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)．则f (π4)＝2sin(2×π4－π4)＝1.(2)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2时，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8时，f (x )为增函数．则函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋3π8]，k ∈Z.(理)(2014·某某模拟)已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(sin x,2sin x )，函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若不等式f (x )≥m 对x ∈[0，π2]都成立，某某数m 的最大值．[解析](1)f (x )＝2sin 2x ＋23sin x cos x ＝1－cos2x ＋23sin x cos x ＝3sin2x －cos2x ＋1 ＝2sin(2x －π6)＋1由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴f (x )的单调增区间是[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z)(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.∴－12≤sin(2x －π6)≤1， ∴f (x )＝2sin(2x －π6)＋1∈[0,3]， ∴m ≤0，m 的最大值为0.18．(本小题满分12分)(文)(2014·海淀期中)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b cos C ＝2a －c .(1)求B ；(2)若cos C ＝23，求sin A 的值． [解析](1)由余弦定理知得2b ×a 2＋b 2－c 22ab＝2a －c ， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴cos B ＝12，又0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵cos C ＝23，0<C <π，∴sin C ＝53， ∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(2π3－C ) ＝sin 2π3cos C －cos 2π3sin C ＝23＋56. (理)(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝sin(π2－x )cos x －sin x ·cos(π＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在△ABC 中，若A 为锐角，且f (A )＝1，BC ＝2，B ＝π3，求AC 边的长． [解析](1)f (x )＝sin(π2－x )cos x －sin x ·cos(π＋x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝cos 2x ＋12sin2x ＝12(sin2x ＋cos2x ＋1) ＝22sin(2x ＋π4)＋12令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z. 可得函数f (x )的单调增区间为：[－3π8＋k π，π8＋k π]， k ∈Z.同理可得函数f (x )的单调减区间为：[π8＋k π，5π8＋k π]，k ∈Z. (2)因为f (A )＝1，所以22sin(2A ＋π4)＋12＝1 所以sin(2A ＋π4)＝22， 因为A 为锐角，所以π4<2A ＋π4<5π4所以2A ＋π4＝3π4，所以A ＝π4， 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B， 即2sin π4＝AC sin π3， 解得AC ＝ 6.19．(本小题满分12分)(文)(2014·内江市第一次模拟)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝(m ＋n )·m . (1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在[0，π2]上的最大值，求A 和b . [解析](1)f (x )＝(m ＋n )·m＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12， ＝1－cos2x 2＋1＋32sin2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＋2 ＝sin(2x －π6)＋2， ∴T ＝2π2＝π. (2)由(1)知，f (x )＝sin(2x －π6)＋2， x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6∴当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3，此时x ＝π3.由f (A )＝3得A ＝π3. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋16－2×4b ×12，∴b ＝2. (理)(2014·内江市第一次模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC→＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求bc 的最大值及θ的取值X 围；(2)求函数f (θ)＝3sin2θ＋cos2θ＋1的最大值和最小值．[解析](1)bc ·cos θ＝8，b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32，又b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤16，即bc 的最大值为16.即8cos θ≤16， 所以cos θ≥12，又0<θ<π，所以0<θ≤π3. (2)f (θ)＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1 因0<θ≤π3，所以π6<2θ＋π6≤5π6， 12≤sin(2θ＋π6)≤1， 当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2， 当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3. 20．(本小题满分13分)(2014·东城综合练习)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；(2)求2sin 2A ＋cos(A －C )的X 围．[解析](1)∵a cos C ，b cos B ，a cos A 成等差数列，∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入得2R sin A cos C ＋2R cos A sin C ＝4R sin B cos B ，即：sin(A ＋C )＝sin2B ，∴sin B ＝sin2B ，∵B 是三角形内角，∴B ＝2B 或B ＋2B ＝π，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos2A ＋cos(2A －2π3) ＝1－cos2A －12cos2A ＋32sin2A ＝1＋32sin2A －32cos2A ＝1＋3sin(2A －π3)． ∵0<A <2π3，∴－π3<2A －π3<π， ∴－32<sin(2A －π3)≤1， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的取值X 围是(－12，1＋3]． 21．(本小题满分14分)(文) (2014·东北三校模拟)已知函数g (x )＝34－12sin x cos x －32sin 2x ，将其图像向左移π4个单位，并向上移12个单位，得到函数f (x )＝a cos 2(x ＋φ)＋b (a >0，b ∈R ，|φ|≤π2)的图像． (1)某某数a ，b ，φ的值；(2)设函数φ(x )＝g (x )－3f (x )，x ∈[0，π2]，求函数φ(x )的单调递增区间和最值． [解析](1)依题意化简得g (x )＝12sin(π3－2x )， 平移g (x )得f (x )＝12sin(π3－2(x ＋π4))＋12＝12sin(－2x －π6)＋12＝12cos(2x ＋2π3)＋12＝cos 2(x ＋π3) ∴a ＝1，b ＝0，φ＝π3.(2)φ(x )＝g (x )－3f (x )＝12sin(2x ＋2π3)－32cos(2x ＋2π3)－32＝sin(2x ＋π3)－ 32， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)得 －π12＋k π≤x ≤π12＋k π，因为x ∈[0，π2]， 所以当k ＝0时，在[0，π12]上单调增， ∴φ(x )的单调增区间为[0，π12]， 值域为[－3，1－32]， 故φ(x )的最小值为－3，最大值为1－32. (理)已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－32. (1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对角为B ，试求cos B 的取值X 围，并确定此时f (B )的最大值．[解析](1)f (x )＝2cos x ·sin(x ＋π3)－32＝2cos x (sin x cos π3＋cos x sin π3)－32＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－32＝sin x cos x ＋3cos 2x －32＝12sin2x ＋3·1＋cos2x 2－32＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)． ∴T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac及b 2＝ac 得， cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac＝a 2＋c 22ac －12≥2ac 2ac －12＝12， ∴12≤cos B <1， 而 0<B <π，∴0<B ≤π3.函数f (B )＝sin(2B ＋π3)， ∵π3<2B ＋π3≤π， ∴当2B ＋π3＝π2，即B ＝π12时，f (B )max ＝1.。

【备战2015】（十年高考）广东省高考数学分项精华版 专题4 三角函数与三角形（含解析）一．基础题组1.【2010高考广东卷.理.11】已知a ，b ， c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b =3，A +C =2B ，则sinC = .2.【2010高考广东卷.理.16】 (本小题满分l 4分)已知函数()sin(3)(0,(,),0)f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的解析式；(3)若212()3125f πα+=，求sin α.3.【2008高考广东卷.理.11】经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 .4.【2008高考广东卷.理.12】已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 .5.【2008高考广东卷.理.16】 (本小题满分13分)已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，， x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，. (1)求()f x 的解析式；(2)已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值.【考点定位】本题考查了三角函数的化简求值,属于基础题 6.【2007高考广东卷.理.3】若函数21()sin ()2f x x x =-∈R，则()f x 是( )A .最小正周期为π2的奇函数 B .最小正周期为π的奇函数 C .最小正周期为2π的偶函数D .最小正周期为π的偶函数7.【2006高考广东卷.理.15】 (本小题满分14分)已知 函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 的最大值和最小值； (3)若43)(=αf ,求α2sin 的值.8.【2005高考广东卷.理.15】 (本小题满分12分) 化简),,)(23sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期. 【答案】[]4,4,π-二．能力题组1.【2014高考广东卷.理.12】在ABC ∆中，角A .B .C 所对应的边分别为a .b .c ，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba.2.【2014高考广东卷.理.16】 (本小题满分12分)已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值； (2)若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【答案】(1)3A =30. 【解析】(1)55233sin sin sin sin 121243332f A A A A A πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3A =，()3sin 4f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；3.【2013高考广东卷.理.16】 (本小题满分12分)已知函数π()2cos 12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(1)求π6f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；(2)若cos θ＝35,θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭,求π23f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.【2012高考广东卷.理.16】 (本小题满分12分)已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈的最小正周期为10π(1)求ω的值； (2)设,[0,]2παβ∈，56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=；求cos()αβ+的值5.【2011高考广东卷.理.16】已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R .(1)求5()4f π的值； (2)设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值.6.【2009高考广东卷.理.16】 (本小题满分12分)已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈.(1)求θsin 和θcos 的值； (2)若10sin(),0102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值.7.【2007高考广东卷.理.16】 (本小题满分１2分)已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3,4).B (0,0).Ｃ(c ,0)(1)若c =5，求sin ∠A 的值； (2)若∠A 为钝角，求c 的取值范围；。

2015届广东数学高考复习小题专题汇编答案一、集合与简易逻辑1. B2. 13. D4. D5. B3. [解析] 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}．∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0,1)∪(－∞，－1]．故选D. 二、复数1. B 因为z ＝－2i ，所以1z ＋1＝1－2i ＋1＝1＋2i (1－2i )(1＋2i )＝15＋25i ，所以虚部为25.2. D [解析] ∵z ＝11＋i 3＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i. 3. D [解析]由|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，∴z 1＝z 2，所以z 1＝z 2，故A 为真命题；由于z 1＝z 2，则z1＝z 2＝z 2，故B 为真命题；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2，则有z 1·z 1＝z 2·z 2，故C 为真命题，D 为假命题． 三、函数1. D [解析] 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数为奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(－x )．∴f (1100)＝lg 1100＝－2，f (f (1100))＝f (－2)＝－lg2.2. B [解析] 设f (x )＝x α，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∴f (x )＝x －3，由f (x )＝27得，x －3＝27，∴x ＝13.3. C [解析] 解法1：∵偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数，又f (13)＝0，∴f (－13)＝0，由f (log 18 x )>0得，log 18 x >13或log 18 x <－13，∴0<x <12或x >2，故选C.4. B [解析] 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称．显然不符．故选B.5. [2，＋∞) [解析] ∵f (x )＝x 2－4x ＋3在[2，＋∞)上为增函数，f (x ＋a )在[0，＋∞)上为增函数，∴应将f (x )的图象至少向左平移2个单位得到f (x ＋a )的图象，∴a ≥2.6. (1)±1 (2) －207. 49<a ≤1 [解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ＝0，x ≤0，且方程x 2－3ax ＋a ＝0有两不等正根，∴0<a ≤1，且⎩⎪⎨⎪⎧3a >0，a >0，9a 2－4a >0，∴49<a ≤1. 8.D [解析] f (7－x )＝f (7＋x )＝f (2＋(5＋x ))＝f (2－(5＋x ))＝f (－3－x )，即f (x ＋10)＝f (x )，所以函数的周期为10，且对称轴为x ＝2，x ＝7，在[0,10]内，f (1)＝f (3)＝f (11)＝f (13)，所以一个周期内只有2个零点，在[0,2 011]内2 011＝201×10＋1有201×2＋1＝403个，在[－2 011,0]内－2 011＝201×(－10)－1，有201个周期且f (－1)≠0，此时有201×2＝402个零点，合计805，故选D. 四、导数1. B [解析] 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )， 又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，从而y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.2. (0，12) [解析] f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，解得0＜b ＜12.3. A [解析] 由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．4. 0<t <1或2<t <3 [解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x.由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.5. (316，65) [解析] 依题意得，f ′(1)＝0，又f ′(x )＝ax 2＋ax －b ，∴b ＝2a ，∴f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， ①当a ＝0时，不合题意；②当a >0时，要使图象过四个象限，只需⎩⎨⎧ f (－2)＝163a －1>0，f (1)＝56a －1<0，结合a >0，解得a ∈(316，65)；③当a <0时，要使图象过四个象限，只需⎩⎨⎧f (－2)＝163a －1<0，f (1)＝56a －1>0，结合a <0.可知不存在符合条件的实数a ；综上得，a 的取值范围是(316，65)．6. C [解析] f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由a ≠0，结合导函数y ＝f ′(x )，知导函数图象为③，从而可知a 2－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－a ＞0知a ＝－2，代入可得函数f (x )＝13x 3＋(－2)x 2＋1，可得f (1)＝－23.7. D [解析] x >0时⎣⎡⎦⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)．五、框图1. 62. A3. A4. B3.[解析]第一次循环，得a ＝2，S ＝1＋2＝3＜10；第二次循环，得a ＝4，S ＝3＋4＝7＜10；第三次循环，得a ＝8，S ＝7＋8＝15＞10，输出S ，故输出的S ＝15. 六、统计与概率1. D [解析] 把52人分成4组，每组13人，第一组抽6号，则第二组抽19号，故未知的学生编号是19.2. A [解析] 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87.∴平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.3. 80 [解析] 第四小组和第五小组的频率之和是5×(0.0125＋0.0375)＝0.25，故前三个小组的频率之和是0.75，则第二小组的频率是0.25，则抽取的男生人数是12÷0.25＝48人，抽取的女生人数是48×23＝32人，全校共抽取80人．4. A [解析] ①④正确，②③⑤错误，⑤设样本容量为n ，则3501500＝7n ，∴n ＝30，故⑤错．5. B [解析] 由题意知x ＝34，y ＝38，故样本中心为(34，38)，代入回归直线方程y ^＝13x ＋a ^，得a ^＝18.6. A [解析] 在△ABC 中，设AB ＝5，BC ＝6，AC ＝13，则cos B ＝52＋62－(13)22×5×6＝45，则sin B ＝35，S △ABC ＝12×5×6×35＝9，分别以A ，B ，C 为圆心，以1为半径作圆，则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率为S △ABC －12×π×12S △ABC＝1－π18.七、解析几何1. A [解析] “直线a 2x －y ＋1＝0与直线x －ay －2＝0互相垂直”的充要条件是a 2＋a ＝0，即a ＝－1或a ＝0，所以a ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．2. x ＝－3或5x －12y ＋15＝0 [解析] 因为直线被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离d ＝25－42＝3.当直线斜率不存在时，恰好符合，此时直线l 的方程为x ＝－3；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0，所以圆心(0，－2)到直线kx －y ＋3k ＝0的距离d ＝|2＋3k |k 2＋1＝3，解得k ＝512，所以直线l 的方程为y ＝512(x ＋3)，即5x －12y ＋15＝0.3. B [解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．4. C [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.5. A [解析] 依题意得2b 2a ＝2c ，c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，(e －12)2＝54，又e >1，因此e －12＝52，e＝5＋12，故选A. 6. D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差并化简变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)，而y 1－y 2x 1－x 2＝12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以a 2＝2b 2，又因为a 2－b 2＝c 2＝9，于是a 2＝18，b 2＝9. 7. D [解析] 设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，则有m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，因此12＋2mn ＝16，所以mn ＝2， 而(m －n )2＝(2a )2＝(m ＋n )2－4mn ＝16－8＝8，因此双曲线的a ＝2，c ＝3，则有e ＝32＝62. 8. a ≥1 [解析] 显然a >0，不妨设A (a ，a )，B (－a ，a )，C (x 0，x 20)，则CB →＝(－a －x 0，a －x 20)， CA →＝(a －x 0，a －x 20)，∵∠ACB ＝90°.∴CA →·CB →＝(a －x 0，a －x 20)·(－a －x 0，a －x 20)＝0.∴x 20－a ＋(a －x 20)2＝0，则x 20－a ≠0.∴(a －x 20)(a －x 20－1)＝0，∴a －x 20－1＝0.∴x 20＝a －1，又x 20≥0.∴a ≥1.八、数列1. D [解析] 由题意，7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝35，所以a 4＝5.2. D [解析] 设等差数列的公差为d ，由a 4－2a 27＋3a 8＝0，得a 7－3d －2a 27＋3(a 7＋d )＝0，从而有a 7＝2或a 7＝0(a 7＝b 7，而{b n }是等比数列，故舍去)，设{b n }的公比为q ，则b 7＝a 7＝2，∴b 2b 8b 11＝b 7q 5·b 7q ·b 7q 4＝(b 7)3＝23＝8.3. C [解析] ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.4. B [解析] 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1， －2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 014＝6×335＋4， ∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.5. B [解析] 由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0，又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n ，所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.九、三角函数与解三角形1. D [解析] f (x )＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ， 令k ＝1，得x ＝2π3.2. B [解析] y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．3.(1) 52 [解析] sin 2α＋cos 2(π－α)1＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52. (2) －23 [解析] ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝169，∴2cos θcos θ＝79， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－79＝29，又θ∈(0，π4)，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.4. C [解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 5. C [解析] 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin C sin C ，因为sin(B ＋A )＝sin C ，所以sin C ＝1，C ＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cosA ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°.十、向量1. 5 [解析] ∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，即x ＋2＝0，∴x ＝－2，∴|n|＝(－2)2＋12＝ 5.2. B [解析] 由题意可知向量a 与b 为基底，所以不共线，m 1≠2m －33，得m ≠－3.3. 5 [解析] 方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)，∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.4.A [解析] 依题意得，(3OA →＋5OC →)2＝(－4OB →)2,9OA →2＋25OC →2＋30OA →·OC →＝16OB →2，即34＋30cos ∠AOC＝16，cos ∠AOC ＝－35，sin ∠AOC ＝1－cos 2∠AOC ＝45，△AOC 的面积为12|OA →||OC →|sin ∠AOC ＝25.十一、不等式1.B [解析] ∵c <d <0，∴1d <1c <0，∴－1d >－1c >0，又∵a >b >0，∴－a d >－b c >0，即a d <bc.选B.2.[－12，1)∪(1,3] 解析 ∵(x －1)2≥0且x ≠1，∴x ＋5(x －1)2≥2⇔x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1⇔2x 2－5x －3≤0且x ≠1，解得－12≤x ＜1或1＜x ≤3.3. [－1,4 ] [解析] 由绝对值的几何意义知，|x ＋3|＋|x －1|的几何意义为数轴上点x 到点－3,1的距离的和， 则|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，∴不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.∴a 的取值范围为[－1,4]．4.{x |－2≤x ≤5} [解析] 由|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．5. 8 [解析] AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1.∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (2a ＋b)＝4＋b a ＋4ab ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a 时等号成立．十二、线性规划1. 3 [解析] OM →·ON →＝2x ＋y ，如图：当直线2x ＋y ＝z 经过点(1,1)时，达到最大值，z max ＝3.2. C [解析] 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，表示的平面区域，直线kx －y ＋1＝0过定点(0,1)，则k ＝0或k ＝－12，如图所示：A (25，45)，B (12，1)，∴所求三角形的面积为15或14.3. D [解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M (x ，y )与点P (－1,1)连线斜率的取值范围．由图可知w min ＝1－0－1－1＝－12，w max <1，∴w ∈[－12，1)．4. 4 [解析] 画图后易知，目标函数在点(2,3)处取到最大值11，所以2k ＋3＝11，即k ＝4. 十三、立体几何第3题1.D [解析] 在选项A 中，a ，b 有可能不平行；在选项B 中，b 可能在平面α内；在选项C 中，缺少a 与b 相交的条件，故不正确．由此可知选D.2. [解析] AB 与CD 的长度不变，仍为6和4，高CB 为.3. A4.A [解析] 依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于 23＋14×43π×13＝8＋π3.十四、排列组合1. 14 [解析] 若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位、十位、百位、千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有16个4位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．2. B [解析] 甲同学有2种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，分组方案有C 14·C 33＋C 24C 22A 22＝7，再将其分到两项比赛中去，共有分配方案数为7×A 22＝14；若剩下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，分组方法数是C 24，分到三项比赛上去的分配方法数是A 33，故共有方案数C 24A 33＝36.根据两个基本原理共有方法数2×(14＋36)＝100(种)．3. 36 [解析] 先只考虑A 与产品B 相邻，此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有A 44＝24种方法，而A 和B 有2种摆放顺序，故总计24×2＝48种方法，再排除既满足A 和B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况，此时用捆绑法，将A 、B 、C 作为一个元素考虑，共有A 33＝6种方法，而A 、B 、C 有2种可能的摆放顺序，故总计6×2＝12种方法．综上，符合题意的摆放共有48－12＝36种．4. 8 [解析] 由已知从1,2,3，…，n 中取出的两数之和等于5，有以下情况：(1,4)，(2,3)，从n 个正整5. B [解析] 当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，故一次摸奖能够获奖的概率为1＋5C 26＝25，因此所求概率等于C 34·(25)3·(1－25)＝96625，选B.6.811[解析] 六个面的对角线共有12条，从中任取两条共有C 212＝66种不同的取法． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ，BC 1，A 1D ，AD 1，AB 1，A 1B ，DC 1，D 1C ，共8条，同理与DB 成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其他四个相邻面上的对角线成60°角的情形共有16对，故6个面共有16×6＝96对，因为每对被计算了2次，因此共有12×96＝48对，∴所求概率P ＝4866＝811.十五、二项式1.D [解析] (x 2－1x)5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 5(－1)r x 10－3r.令r ＝1，则第二项的系数是C 15(－1)1＝－5.2.C [解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 3. B [解析] M ＝⎝⎛⎭⎫5×1－11n ＝4n ，N ＝2n ⇒4n －2n ＝240⇒2n ＝16⇒n ＝4，T r ＋1＝(－1)r C r 4·54－r ·342rx - ⇒r ＝2，则(－1)2C 24·52＝150. 4.2 [解析] 本题考查二项式定理，均值不等式．T r ＋1＝C r 6·(ax 2)6－r ·(b x)r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，∴r ＝3，∴C 36a 3b 3＝20，即ab ＝1.∴a 2＋b 2≥2ab ＝2.十六、定积分 ）的图象与直线2. 23 [解析] 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x ＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－(－23)＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.3. B [解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4，∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.十七、选做题 1. 66 [解析] ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△P AD .∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD. ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66.2. 3,233[解析] ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD . ∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3. 在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2，∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233.3. 22 [解析] 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2. 4. (6－2，6＋2) [解析] 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos 5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24， sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2，y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2. 十八、推理与证明、新定义1. C 【解析】由数学归纳法易知当1=n 时，左端计算所得的项为21a a ++2. 1253.A.4.①④5. C11。

专题三 三角函数1.（15北京理科）已知函数2()cos 222x x xf x ．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】（1）2π，（2）12-- 【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：12--. 试题解析：(Ⅰ)211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=sin cos x x =+-sin()4x π=+-(1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：12--考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.2.（15北京文科）已知函数()2sin 2x f x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（1）2π；（2）考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 3.（15年广东文科）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.4.（15年安徽文科）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ （1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（1）π ；（2）最大值为10考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.5.（15年福建理科）已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析． 【解析】试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移：()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f()2sin x x =，则f()g()2sin cos x x x x +=+，利用辅助角公式变形为f()g()x x +)x j +（其中sinj j ==），方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ，等价于直线y m =和函数)y x j +有两个不同交点，数形结合求实数m 的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2p a b j -和3+=2()2pa b j -，进而利用诱导公式结合已知条件求解．试题解析：解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) f()g()2sin cos )x x x x x x +=+)x j +（其中sinj j =） 依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当|1<，故m 的取值范围是(.2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(a j +，sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当-时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+所以2222cos )cos 2()2sin ()11 1.5m a b b j b j -=-+=+-=-=-(解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(a j +，sin(b j +.当1£+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即当-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1] 1.5m b j a j b j =-++++=--+=-考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式． 6.（15年福建文科）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系式．7.（15年福建文科）已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10s i n 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．试题解析：（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由452<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．8.（15年新课标1理科）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ） （B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.9.(15年新课标1理科) 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f （x ）的单调递减区间为 (A)（）,k(b)（）,k(C)（）,k (D)（）,k【答案】B10.（15年陕西理科）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．11.（15年陕西文科）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8 【解析】试题分析：由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.12.（15年天津理科）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质. 13.（15年天津文科）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【答案】2【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.14.（15年湖南理科）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.考点：三角函数的图象和性质.10.（15年江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式11.（15年江苏）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（12 【解析】考点：余弦定理，二倍角公式专题四 解三角形1.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】 试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理2.（15北京文科）在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π【解析】试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B =，=所以sin B =所以4B π∠=. 考点：正弦定理.3.（15年广东理科）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1sin 2B =，6C =π，则b = 【答案】1．【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．4.（15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）A ．B ．2C ．D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 考点：余弦定理．5.(15年安徽理科) 在ABC ∆中，,6,4A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长。

2015届三角函数、向量、解三角形（文）专题小练一、选择题1、若，则的值为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2、已知向量)4 , 3( -=a ，) , 1( m b =，若0) ( =-⋅b a a ，则=mA ．211B ．211-C ．7D ．7-3、为了得到函数的图象，可以将函数的图象 （ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度4、若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、函数)为增函数的区间是( )A 、B 、C 、D 、6、若非零向量满足，则与的夹角为（ ）A. 300B. 600C. 1200D. 1500 7、 已知=1，=2，与的夹角为120°，++=0，则与的夹角为………（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°8、已知△ABC 的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,且sin sin 2BAa b=, 则cos B 的值为A. 32B. 12C. 12-D.32- 9、 在△ABC 中，=15，b=10, ∠A=，则( )A. B. C. D.10、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A.a ＞bB.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定11、在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形12、在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>”的 （ ）A 、 充分而不必要条件B 、 必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件二、填空题13、已知扇形的周长为6cm ，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为_____14、已知向量，，则向量在方向上的投影为15、有一种波，其波形为函数的图象，若其区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t 的最小值是16.如图，在平行四边形中，，则.PBAO17、函数的图象为，如下结论中正确的是_____（写出所有正确结论的编号）．①图象关于直线对称； ②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．解答题 18．（本小题满分12分）已知向量(1 2)=，a ，向量(3 2)=-，b . （1）若向量k +a b 与向量3-a b 垂直，求实数k 的值；（2）当k 为何值时，向量k +a b 与向量3-a b 平行？并说明它们是同向还是反向. 19．（本小题满分12分）在OAB ∆中，已知点P 为线段AB 上的一点， 且2AP PB=.(1)试用 OA OB 、表示OP ； (2)若3 2OA OB ==，，且3AOB π∠=，求OP AB ⋅的值.20、设函数。