2018届高三数学(理)二轮复习巩固作业17 直线与圆锥曲线的位置关系

第九章 解析几何 第八节 直线与圆锥曲线本节主要包括2个知识点：1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.圆锥曲线中弦的问题.突破点(一) 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为Δ，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．[例1] (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 9＋y 4＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0[解析] (1)直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．(2)因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点． [答案] (1)A (2)A[例2] 若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合．[解] 因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 有唯一一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ， 整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①.(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.1.[考点一]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线y ＝1，以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线y ＝x ＋1.2.[考点一]若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0解析：选B ∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d ＝4m 2＋n2 ＞2，∴m 2＋n 2＜4.∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1， ∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个．3.[考点二]若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)＞0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，－1. 4.[考点二]已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ② 将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．突破点(二) 圆锥曲线中弦的问题圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.求解弦长的四种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x 1－x 2)2，(y 1－y 2)2，代入两点间的距离公式．(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．[例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4.(1)求椭圆的方程； (2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2.同理，|CD |＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3k 2＋4.所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝487，解得k ＝±1， 所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.[易错提醒](1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．中点弦问题处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：考法(一) 由中点弦确定直线或曲线方程[例2] (1)(2017·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x(2)(2017·江西九校联考)已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦交椭圆于A ，B 两点，且此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x . (2)法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1.又∵x 1＋x 2＝2， ∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.[答案] (1)B (2)x ＋2y －3＝0 考法(二) 对称问题[例3] 已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线l ：y ＝－kx ＋92对称，求k 的取值范围．[解] 法一：由题意知k ≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线上关于直线l 对称的两点，则MN 的方程可设为y ＝1k x ＋b (b >0)，代入y ＝x 2，得x 2－1kx －b ＝0，所以Δ＝1k 2＋4b >0，①x 1＋x 2＝1k .设MN 中点的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12k ，y 0＝12k2＋b ， 因为(x 0，y 0)在直线l ：y ＝－kx ＋92上，所以12k 2＋b ＝－k ·12k ＋92，所以b ＝4－12k 2.② 将②代入①，得1k 2＋16－2k2>0.所以1k 2<16，即k 2>116，所以k >14或k <－14.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 法二：设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线l 对称， 因为MN ⊥l ，所以x 21－x 22x 1－x 2＝1k ，即x 1＋x 2＝1k .又MN 的中点在l 上，所以x 21＋x 222＝－k ·x 1＋x 22＋92＝－k ·12k ＋92＝4，因为MN 的中点必在抛物线内，所以x 21＋x 222>⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222，即4>⎝⎛⎭⎫12k 2， 所以k 2>116，即k >14或k <－14.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞.[方法技巧]解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直于直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二·考法(一)](2017·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y解析：选D 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .2.[考点二·考法(一)]已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P 12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋y －5＝0解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1上，所以⎩⎨⎧y 219＋x 21＝1，y 229＋x 22＝1，两式相减得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9⎝⎛⎭⎫x －12，即9x ＋y －5＝0. 3.[考点一]设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A 为抛物线上一点(A 不同于原点O )，过焦点F 作直线平行于OA ，交抛物线于P ，Q 两点．若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ，则|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝________.解析：设OA 所在的直线的斜率为k ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px得到A ⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，易知B ⎝⎛⎭⎫p 2，kp 2，P ，Q 的坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px 得到，消去x 得，ky 22p －y －kp 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得，y 1y 2＝－p 2，根据弦长公式，|FP |·|FQ |＝ 1＋1k 2·|y 1|· 1＋1k 2·|y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2|y 1y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2p 2，而|OA |·|OB |＝ ⎝⎛⎭⎫2p k 22＋⎝⎛⎭⎫2p k 2·⎝⎛⎭⎫p 22＋⎝⎛⎭⎫kp 22＝1＋1k2p 2，所以|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝0.答案：04.[考点一]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1.①又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.②解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝⎛⎭⎫－1，32，B ⎝⎛⎭⎫－1，－32， S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|·|F 1F 2|＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝|k |⎝⎛⎭⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1⎝⎛⎭⎫k 2＝－1817舍去，所以k ＝±1， 所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.5.[考点二·考法(二)]已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．求实数m 的取值范围．解：由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0.①将线段AB 中点⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m ＜－63或m ＞63.故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－63∪⎝⎛⎭⎫63，＋∞.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：选C 法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA |，即m 3m ＝|MB ||MB |＋4m，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx ＝∠MAA 1＝60°，由抛物线的对称性可知∠AFx ＝120°时也符合题意．结合选项知选C 项．法二：由|AF |＝3|BF |可知 AF ＝3 FB ，易知F (1,0)，设B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x A ＝3(x 0－1)，－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)．因为点A ，B 都在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝4x 0，(－3y 0)2＝4(4－3x 0)，解得x 0＝13，y 0＝±23，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝±3.故直线l 的方程为y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)．2．(2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 解：设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k 3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 故k 的取值范围是(32，2)．3．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解：(1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．4．(2012·新课标全国卷)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝|FB |＝|FD |＝2p .由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝|FB |＝|FD |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)． 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的纵截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3. [课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3， 3 ]解析：选C 由题意知，右焦点为F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤－33，33，故选C. 2．已知经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－22，22 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－2，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意得，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.故选B.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B ∵通径2p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3>2p ，故这样的直线有且只有两条．4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2· ⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，故当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b ＝( ) A.32B.233C.932D.2327解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0＝－a b ·23＝－1，所以a b ＝32.2．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则 OA ·OB 等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴ OA ·OB ＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得 OA ·OB ＝－13. 3．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选D 16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由|AK |＝2|AF |得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0， 又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3.4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵两点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1＋y 2＝4， 又直线的斜率为1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2p ＝4，p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1.5．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：选C ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 25＝1解析：选C 由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线的方程为3x ＋4y －5＝0，可求得切点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，易知另一切点的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)，故a 2＝b 2＋c 2＝5，所以所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.二、填空题7．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：32158．在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C (0，c )任作一条直线，与抛物线y＝x 2相交于A ，B 两点，若 OA ·OB ＝2，则c 的值为________．解析：设过点C 的直线为y ＝kx ＋c (c >0)，代入y ＝x 2得x 2＝kx ＋c ，即x 2－kx －c ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－c ， OA ＝(x 1，y 1)， OB ＝(x 2，y 2)，因为 OA · OB＝2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2，即x 1x 2＋(kx 1＋c )(kx 2＋c )＝2，即x 1x 2＋k 2x 1x 2＋kc (x 1＋x 2)＋c 2＝2，所以－c －k 2c ＋kc ·k ＋c 2＝2，即c 2－c －2＝0，所以c ＝2或c ＝－1(舍去)．答案：29．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为________． 解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y2a2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝110．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若 MA ·MB ＝0，则k ＝________. 解析：如图所示，设F 为焦点，易知F (2，0)，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由 MA ·MB ＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，由|MP |＝|AP |，得∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1kMF＝2.答案：2 三、解答题11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程． 解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2. 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0， 所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋3k 2，所以AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3. 因为四边形MF 1NF 2为矩形， 所以F 2M ―→·F 2N ―→＝0， 即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0， 所以4－x 23－y 23＝0.所以4－2(9k 2＋1)1＋3k 2＝0.解得k ＝±33.故直线l 的方程为3x －3y －23＝0或3x ＋3y －23＝0.12．(2016·大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM · ON ＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)(my 1＋4)(my 2＋4)＝－8mp ＋8mp(my 1＋4)(my 2＋4)＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为 OM · ON ＝2，所以4＋y N y M ＝2， 即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0(y 2＋y 1)＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0(y 2＋y 1)＋y 20 ＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p (－4p ＋2pmy 0＋y 20)－4p ＋2pmy 0＋y 2＝－2， 故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .。

课时作业 A 组 基础对点练1．(2017·惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 无交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(]1，2 C ．(1，5)D ．(]1，5解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 无交点，所以ba ≤2，故e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤5，又e ＞1，故双曲线的离心率e 的取值范围是(1，5]．故选D. 答案：D2．(2017·韶关模拟)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且点A 在第一象限，若|AF |＝3，则直线l 的斜率为( ) A ．1 B ． 2 C. 3D ．2 2解析：由题意可知焦点F (1,0)，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由|AF |＝3＝x A ＋1，得x A ＝2，又点A 在第一象限，故A (2,22)，故直线l 的斜率为22，选D. 答案：D3．若F (c,0)为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，椭圆C 与直线x a ＋yb ＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点在直线x ＝c 上，则椭圆的离心率为( ) A.32 B ．12 C.22D ．33解析：因为直线x a ＋yb ＝1在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，所以不妨取A (a,0)，B (0，b )，又线段AB 的中点在直线x ＝c 上，所以c ＝a 2，即e ＝c a ＝12，选B. 答案：B4．(2017·河南九校联考)已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是() A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3,0)D．(－2,0)解析：因为直线与圆相切，所以|t＋1|1＋k2＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.选A.答案：A5．(2017·石家庄模拟)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)截得的弦长为7，有下列直线：①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.其中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：易知直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.选C.答案：C6．若双曲线mx2－y2＝1(m为常数)的一条渐近线与直线l：y＝－3x－1垂直，则双曲线的焦距为________．解析：由题意可知11m＝13，故m＝19，双曲线的焦距为29＋1＝210.答案：2107．(2017·江南十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a 2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝255. 答案：2558．过抛物线：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，且点A 在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为________．解析：设A (x 0，y 0)，则|AF |＝2(x 0－p 2)，又|AF |＝x 0＋p 2，故2(x 0－p 2)＝x 0＋p2，解得x 0＝3p 2，y 0＝32|AF |＝32×2p ＝3p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p ，∵A 在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线上，∴3p ＝b a ×32p ，∴b 2＝43a 2，由a 2＋b 2＝c 2，得a 2＋43a 2＝c 2，即c 2a 2＝73，∴双曲线的离心率为c a ＝213.答案：2139．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线l ′与抛物线C ：x 2＝1m y (m ≠0)相切，求直线l和抛物线C 的方程．解析：(1)由题意得点P (－m,0)，且MP ⊥l ，所以k MP ·k 1＝0－(－1)－m －2·1＝－1(k 1为直线l 的斜率)．解得m ＝－1，所以点P (1,0)．设所求圆的半径为r ，则r 2＝|PM |2＝1＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.(2)将直线l ：y ＝x ＋m 中的y 换成－y ，可得直线l ′的方程为y ＝－x －m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1m y y ＝－x －m，得mx 2＋x ＋m ＝0(m ≠0)，Δ＝1－4m 2， 因为直线l ′与抛物线C ：x 2＝1m y 相切，所以Δ＝1－4m 2＝0，解得m ＝±12.当m ＝12时，直线l 的方程为y ＝x ＋12，抛物线C 的方程为x 2＝2y ； 当m ＝－12时，直线l 的方程为y ＝x －12，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .10．(2017·武汉模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，F 1为其左焦点．当直线AB ⊥x 轴时，△AF 1B 为正三角形，且其周长为4 3. (1)求椭圆的方程；(2)设C 为直线x ＝2上的一点，且满足CF 2⊥AB ，若OA →＝BC →(其中O 为坐标原点)，求四边形OACB 的面积．解析：(1)由椭圆的定义，得4a ＝43，即a ＝ 3. 由△AF 1B 为正三角形，得|F 1F 2|＝3|AF 2|.由AB ⊥x 轴，求得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即|AF 2|＝b 2a .∴2c ＝3b 2a ，即b 2＝2c . ∵a 2＝b 2＋c 2， ∴(3)2＝2c ＋c 2， ∴c ＝1，b 2＝2.故椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)由(1)知F 2(1,0)，依题意，直线AB 的方程可设为x ＝ty ＋1. 由CF 2⊥AB 可知，CF 2的方程为y ＝－t (x －1)． 由⎩⎨⎧x ＝2y ＝－t (x －1)，得C (2，－t )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 23＋y 22＝1，消去x 并整理，得(2t 2＋3)y 2＋4ty －4＝0，其判别式Δ＝16t 2＋16(2t 2＋3)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－4t 2t 2＋3，y 1y 2＝－42t 2＋3，∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2＝62t 2＋3. ∵OA→＝BC →，∴四边形OACB 为平行四边形，且(x 1，y 1)＝(2－x 2，－t －y 2)． ∴⎩⎨⎧ x 1＝2－x 2y 1＝－t －y 2，即⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2y 1＋y 2＝－t ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧62t 2＋3＝2－4t2t 2＋3＝－t，解得t ＝0.此时y 1＋y 2＝0，y 1y 2＝－43.∴S ▱OACB ＝2S △OAB ＝2×12×|OF 2|·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝0－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝433.B 组 能力提速练1．(2017·天津模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点B 为圆O ：x 2＋y 2＝a 2与y 轴的交点，过点B 的直线l (斜率为正)与椭圆相切于点D ，并交x 轴于点C ，O 为坐标原点，如图．(1)若切点坐标为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，求椭圆E 的方程；(2)若直线l 与圆O 的另一交点为A ，且满足BD→＝2DA →，求椭圆E 的离心率．解析：(1)由题知，B (0，a )，显然直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋a ，由条件直线l 与椭圆相切，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 2c 2＝0，①Δ＝4a 6k 2－4a 2c 2(b 2＋a 2k 2)＝0， 得k ＝ca ，∴直线l 的方程为y ＝ca x ＋a ， 方程①化简得x 2＋2cx ＋c 2＝0， ∴切点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，由题知点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，∴c ＝1，b 2a ＝32，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝3，则所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)，直线l 的方程为y ＝ca x ＋a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c a x ＋a x 2＋y 2＝a 2，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x 2＋2cx ＋a 2＝a 2，解得x ＝0(舍)或x ＝－2a 2c a 2＋c2，即x A ＝－2a 2c a 2＋c 2，进而y A ＝ab 2a 2＋c2，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2ca 2＋c 2，ab 2a 2＋c 2，由(1)，切点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，因而BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a －a ，DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2c a 2＋c2＋c ，ab 2a 2＋c 2－b 2a ， 由于BD →＝2DA →，因而－c ＝－4a 2c a 2＋c 2＋2c ，得a 2＝3c 2，即e 2＝13，解得e ＝33.2．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程； (2)求|AB ||MN |的最大值．解析：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上， 所以2px 0＝4⇒x 0＝2p . 由抛物线的定义知， 2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0.Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，① y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ， 因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2.同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0， 即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3. 代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3. 因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3， 又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ，则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2＝2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋132＋43， 故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433.。

第讲 直线与圆锥曲线的位置关系)．直线与圆锥曲线的位置关系的判定()代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去，整理得到关于的方程＋＋＝.()几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为(≠)的直线与圆锥曲线相交于，两点，(，)，(，)，则＝－＝＝－＝.．辨明两个易误点()直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．()直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．．“点差法”求解弦中点问题的步骤—↓—↓—↓—．已知直线－－＝与抛物线＝相切，则等于( )．．由消去得－＋＝，所以解得＝.．双曲线：－＝(＞，＞)的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，则直线与双曲线的左，右两支都相交的充要条件是( )．＞－．＜．＞或＜－．－＜＜由双曲线渐近线的几何意义知－＜＜.．过点的直线与抛物线＝－交于、两点，为坐标原点，则·的值为( )．－．－．－．无法确定设(，)、(，)，直线的方程为＝－，代入抛物线方程得＋－＝，由此得所以·＝＋＝＋＝(＋)·－(＋)＋＝－(＋)－·(－)＋＝－.故选．．过点(，)作倾斜角为的直线，与抛物线＝交于、两点，则＝．过(，)且倾斜角为的直线方程为＝－，代入＝得－＋＝.设(，)，(，)，有＋＝，＝，所以＝－＝·＝·＝.。

考点41直线与圆锥曲线的位置关系（1)了解圆锥曲线的简单应用。

(2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ,已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y Cg x y ==,求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的实数解. 方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点。

若方程组无实数解,则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组,消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.（1）当0a≠时，∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线0有两个交点;∆=⇔方程有两个相同的实数解,即直线与圆锥曲线有0一个交点；∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点。

（2）当a=0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b=0，c≠0,方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点,与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切;直线与椭圆没有交点⇔相离。

(2）直线与双曲线有两个交点⇔相交。

当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行。

直线与双曲线没有交点⇔相离. (3)直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有交点⇔相离。

二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解(1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长2222121121221()()1|1|(0)＝AB x x y y k x x y y k k-+-+-=+-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长。

高考达标检测（四十一）圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．(2017·韶关一模)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且点A 在第一象限，若|AF |＝3，则直线l 的斜率为( )A ．1B 、 2C 、 3D ．2 2解析:选D 由题意可知焦点F (1,0)，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由|AF |＝3＝x A ＋1，得x A ＝2，又点A 在第一象限，故A (2,22)，故直线l 的斜率为22，选D 、2．(2017·丰台期末)若F (c,0)为椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，椭圆C 与直线x a ＋yb＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点在直线x ＝c 上，则椭圆的离心率为( ) A 、32 B 、12 C 、22D 、33解析:选B 因为直线x a ＋y b＝1在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，所以不妨取A (a,0)，B (0，b )，又线段AB 的中点在直线x ＝c 上，所以c ＝a 2，即e ＝c a ＝12，选B 、3．若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 有一个公共点，则实数k 的值为( ) A 、18 B ．0 C 、18或0 D ．8或0解析:选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝x ，得ky 2－y ＋2＝0，若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，则y ＝2， 若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，∴k ＝18，综上可知k ＝0或18、4．已知抛物线C :y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ―→·MB ―→＝0，则k ＝ ( )A 、12B 、22C 、 2D ．2解析:选D 如图所示，设F 为焦点，取AB 中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ―→·MB ―→＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2、 5．(2016·惠州三调)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 无交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1, 5 ]解析:选D 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 无交点，所以b a≤2，故e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2≤5，又e ＞1，故双曲线的离心率e 的取值范围是(1，5]．故选D 、6．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B 、455C 、4105 D 、8105解析:选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0、则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5、∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105、二、填空题7．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析:由题设知p ＝12a ＝2，∴a ＝14、抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1、联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6，∵直线过焦点F ，∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8、 答案:88．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C :x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析:设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e＝22、 答案:22、 9．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上的两点，直线 l 是AB 的垂直平分线．当直线 l 的斜率为12时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是________．解析:设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝12x ＋b ，过点A ，B 的直线可设为y ＝－2x ＋m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－2x ＋m 得2x 2＋2x －m ＝0，从而有x 1＋x 2＝－1，Δ＝4＋8m ＞0，m ＞－12，①又AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m ＋1在直线 l 上，即m ＋1＝－14＋b ，得m ＝b －54，将m ＝b －54代入①得b ＞34，所以直线 l 在y 轴上的截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞、答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 三、解答题10．设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． 解:(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43、(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2、A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0， 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b 2、因为直线AB 的斜率为1， 所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|、 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－b 2＋b 22－－2b 21＋b2＝8b 4＋b22，因为0＜b ＜1，所以b ＝22、 11．(2017·广州联考)已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (1,0)，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，354、(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，过F 作FQ ⊥l ，垂足为Q ，求证:|OQ |为定值(其中O 为坐标原点)．解:(1)由题意可设椭圆C 的左焦点为F ′(－1,0)， 则半焦距c ＝1、 由椭圆定义可知: 2a ＝|PF |＋|PF ′| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝⎛⎭⎪⎫0－3542＝4，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1、(2)证明:①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝±2，Q (－2,0)或Q (2,0)，此时|OQ |＝2；②当直线l 的斜率为0时，l 的方程为y ＝±3，Q (1，－3)或Q (1，3)，此时|OQ |＝2；③当直线l 的斜率存在且不为0时，设为k ，其方程可设为y ＝kx ＋m (k ≠0)． 因为FQ ⊥l ，所以直线FQ 的方程为y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0、 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(8km )2－4×(3＋4k 2)·(4m 2－12)＝0， 整理得:m 2＝4k 2＋3、 (*)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝－1k x －，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－km k 2＋1，k ＋m k 2＋1， 所以|OQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－km k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋m k 2＋12 ＝1＋k 2m 2＋k 2＋m2k 2＋2，将(*)式代入上式得:|OQ |＝4()k 4＋2k 2＋1k 2＋2＝2、综上所述:|OQ |＝2，|OQ |为定值．12．(2017·武汉武昌区调研)已知抛物线E :y 2＝2px (p ＞0)上一点M (x 0,4)到焦点F 的距离|MF |＝54x 0、(1)求E 的方程；(2)过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，AB 的垂直平分线l ′与E 相交于C ，D 两点，若AC ―→·AD ―→＝0，求直线l 的方程．解:(1)由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋p2，又|MF |＝54x 0，∴x 0＋p 2＝54x 0，即x 0＝2p ，∴M (2p,4)．∵M (2p,4)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴4p 2＝16，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2、 故E 的方程为y 2＝4x 、(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，且不等于0， 故可设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y 并整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0、其判别式Δ1＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16(k 2＋1)＞0、 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝4k、∴AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k ，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝k 2＋k 2、又l ′的斜率为－1k ，其方程为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2＋2k 2，即x ＝－ky ＋3＋2k2、由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－ky ＋3＋2k 2，y 2＝4x消去x 并整理，得y 2＋4ky －4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k 2＝0、其判别式Δ2＝(4k )2＋16⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋k 2＋3＞0、设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4k ，y 3y 4＝－4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k 2、∴x 3＋x 4＝－k (y 3＋y 4)＋2⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k 2＝4k 2＋6＋4k 2＝4k 4＋6k 2＋4k2、 ∴CD 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4＋3k 2＋4k 2，－2k ，|CD |＝1＋k 2|y 3－y 4| ＝1＋k 2·y 3＋y 42－4y 3y 4＝1＋k 2·－4k2＋16⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k2＝k 2＋k 2＋2|k |，|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2－2k 4＋3k 2＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k 2＝k 2＋k 2＋1|k |、∵AC ―→·AD ―→＝0， ∴AC ―→⊥AD ―→，即AC ⊥AD ， ∴|AQ |＝12|CD |、又⎝ ⎛⎭⎪⎫12|AB |2＋|PQ |2＝|AQ |2， ∴14|AB |2＋|PQ |2＝14|CD |2， 即14⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋k 22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋k 2＋1|k |2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋k 2＋2|k |2，化简， 得k 2－1＝0，解得k ＝±1、故所求直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0或x ＋y －1＝0、高考达标检测（一） 集 合一、选择题1．(2017·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析:选A 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A 、 2．(2017·福州模拟)集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x<8}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3} B ．{－1,2} C ．{－3，－1,2}D ．{－3，－1,2,4}解析:选C 由题意知，集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x <8}＝{x |x <3}，则A ∩B ＝ {－3，－1,2}，故选C 、3．(2017·重庆适应性测试)设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R|0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[1,2]解析:选B 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1,2)，选B 、 4．(2017·武汉调研)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)B ．(2,3]C ．(－∞，3]∪(4，＋∞)D ．[－2,2)解析:选A 因为B ＝{x |x >2或x <－4}，所以A ∪B ＝{x |x <－4或x ≥－2}，故选A 、 5．(2016·浙江高考)已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析:选B ∵Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )A．7 B．10C．25 D．52解析:选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3、所以元素(x，y)的所有结果如下表所示:所以A*B中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是( )A．{a|a<1} B．{a|0≤a<1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤1}解析:选B 由题意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，画出数轴(图略)．若A∩B 中只有一个元素，则0≤a<1，故选B、8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝( )A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}解析:选B 由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}．由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．二、填空题9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)·x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析:由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18、综上可知，实数a 的值为1或－18、答案:1或－1810．(2017·湖南岳阳一中调研)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析:由∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 且A ∪(∁R B )＝R ， 可得a ≥2、 答案:[2，＋∞)11．(2017·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件:①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A 、则集合A ＝________、(用列举法表示)解析:假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案:{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．解析:设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知:①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)． ②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．2018数学高考2018数学高考 由于⎩⎪⎨⎪⎧ 16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14、所以(43－y )min ＝43－14＝29、答案:①16 ②29三、解答题13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解:(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3、故实数a 的取值范围是(2,3)．14．(2017·青岛模拟)若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}．(1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围． 解:(1)证明:若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，即m ＝－1且m ＝3，不成立． 故M 与P 不可能相等．(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1；若M P ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧ －3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是PM ，此时必有m ≥－1，即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。

规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系典例8 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――→已知离心率e a 2＝b 2＋c 2基本量法求得椭圆C 的方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ和S △OAB的关系得S △ABQ 的最大值评分细则 (1)第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；(2)第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练8 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． (1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1， 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．。

高三数学二轮复习——圆锥曲线的综合一、直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．二、有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．三、圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |∈[b ，a ]． ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]． ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]． ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |≥a . ②|PF 1|≥c －a . (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有： ①|PF |≥p2.②A (m ，n )为一定点，则|PA |＋|PF |有最小值． 小题一览例1、(2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D 解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a 2，设直线方程为y ＝b 2a 2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0， 所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2；又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18. 例2、 (2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－3答案 B解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)．例3、 (2013·大纲全国)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]答案 B解析 利用直线PA 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线PA 1斜率的边界值． 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程式为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38. 同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程， 消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.例4、 (2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是________．答案 3解析 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.例5、(2012·北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为______．答案3解析 ∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)， 又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°， 故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0， 即3x 2－10x ＋3＝0.∴x ＝13或x ＝3. 又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.综合题演练：题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题例6、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为3.(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，b )，求b 的取值范围． 审题破题 (2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k 的范围；(3)寻找b 和k 的关系，利用(2)中k 的范围求解．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，由已知，得a ＝3，c ＝2，b 2＝c 2－a 2＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意，知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2>0，x A ＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k 2>0，解得33<k <1.所以当33<k <1时，直线l 与双曲线的左支有两个交点．(3)由(2)，得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2，所以AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2.设l 0的方程为y ＝－1k x ＋b ，将P 点的坐标代入l 0的方程，得b ＝421－3k 2，∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0，∴b <－22.∴b 的取值范围是(－∞，－22)．反思归纳 求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．变式训练(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例7、(2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ， 证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．审题破题 (1)先求出B 点坐标，代入抛物线方程，可得p 的值；(2)假设在y 轴上存在定点M ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点M ，转化为MP →·MQ →＝0，从而判断点M 是否存在．(1)解 依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明 方法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 方法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20， 且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 2，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)， 以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2， 交y 轴于点M 1(0,1)、M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2， 所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．反思归纳 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 变式训练 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝33a 2＝b 2＋c2b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0y 23＋x22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0， 整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1. 题型三 圆锥曲线中的存在性问题例8、如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．审题破题 (1)列方程组求出a 、c 即可；(2)由k OM ·k ON ＝－12先确定点M 、N 坐标满足条件，再根据OP →＝OM →＋2ON →寻找点P 满足条件：点P 在F 1、F 2为焦点的椭圆上． 解 (1)由e ＝c a＝22，a 2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4， 故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率， 由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2252＋y 2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝252－102＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．反思归纳 探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论． 变式训练 已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q满足DQ →＝23DP →.(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使OE →＝12(OM→＋ON →)(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，点D 的坐标为D (x 0，0)， 所以DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)， 又DQ →＝23DP →，故⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，因为P 在圆O 上，故有x 20＋y 20＝9， 所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22＝9，即x 29＋y 24＝1，所以点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减，得x 1－x 2x 1＋x 29＋y 1－y 2y 1＋y 24＝0，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，故直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.所以椭圆上存在点M ，N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.例9、抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． 规范解答解 (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.[2分] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .[6分](2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2， y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·－2－－2－2|22＋－12＝45＝455.[9分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·－42－4·－4＝410. 于是，△ABP 面积的最大值为12×410×455＝82.[12分]评分细则 (1)由OA →＋OB →＝(－4，－12)得到关于p ，k 的方程组得2分；解出p 、k 的值给1分；(2)确定△ABP 面积最大的条件给1分；(3)得到方程x 2＋4x －4＝0给1分． 阅卷老师提醒 最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值． 课后练习：1． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2.2． 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为 ( ) A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 答案 A解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.3． 设AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2(a >b >0)中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，则△F 1AB 的面积最大为 ( ) A ．bcB ．abC ．acD ．b 2答案 A解析 如图，由椭圆对称性知O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半．又OF 1＝c ，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值为b .所以△F 1OB 的面积最大值为12cb .所以△F 1AB 的面积最大值为bc .4． 已知点A (－1,0)，B (1,0)及抛物线y 2＝2x ，若抛物线上点P 满足|PA |＝m |PB |，则m 的最大值为( ) A ．3B ．2C.3D.2答案 C解析 据已知设P (x ，y )， 则有m ＝|PA ||PB |＝x ＋12＋y 2x －12＋y 2＝x ＋12＋2x x －12＋2x＝x 2＋4x ＋1x 2＋1＝1＋4xx 2＋1＝1＋4x ＋1x，据基本不等式有m ＝ 1＋4x ＋1x≤ 1＋42x ×1x＝3，即m 的最大值为 3.故选C.5． 直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16B ．116C ．4D ．14答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 6． 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)答案 C解析 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标(c ，±b 2a)，已知k ∈(13，12)，∴B (c ，b 2a)．又A (－a,0)，则斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. 7． 已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4 答案 A解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2， 所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.8． 设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，33C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1解析 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cya 2＋c 2，kQF 2＝cyb 2－2c 2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝a 2＋c 2·2c 2－b 2c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c－c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1.9． 已知椭圆的焦点是F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长是6，直线y ＝x ＋2与此椭圆交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15解析 由已知得椭圆方程是x 29＋y 2＝1，直线与椭圆相交有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋9y 2＝9，y ＝x ＋2，则10x 2＋36x ＋27＝0，AB 中点(x 0，y 0)有x 0＝12(x A ＋x B )＝－95，y 0＝x 0＋2＝15，所以，AB 中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15.10．点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|PA |最小，则相应P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，14解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|PA |最小．11． 斜率为3的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝_______.答案 163解析 如图，过A 作AA1⊥l ′，l ′为抛物线的准线．过B 作BB 1⊥l ′， 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过焦点F 作FM ⊥A 1A 交 A 1A 于M 点，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos 60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.12．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32 解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.13．(2013·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值． 解 (1)设F (－c,0)，由c a＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有－c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3， 于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程．(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则d ＝x －02＋y －22＝x 2＋y －22＝3b 2－3y 2＋y －22＝－2y ＋12＋3b 2＋6，∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝21－1m 2＋n 2.∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2.∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋n2＋1－1m 2＋n 222＝12， 当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n 2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－62，22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.。

2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第三篇主题20 直线与圆锥曲线的位置关系【主题考法】本主题考题形式解答题，与函数、导数、向量、三角、不等式等知识结合第一小题重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质，第二小题考查直线与椭圆、直线与抛物线的的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力及设而不求思想，综合性较强，第一小题为基础题。

第二小题为难题，分值12分. 【主题考前回扣】1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2＝2px(p＞0)图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b x≥0顶点(±a,0)，(0，±b) (0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)⎝⎛⎭⎪⎫p2，0轴长轴长2a，短轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)e＝1准线x＝－p2渐近线2.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.3．解决范围、最值问题的常用解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 4．定点问题的思路(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．5．求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值 此值一般就是定值 →证明定值：将问题转化为证明待证式与参数 某些变量 无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 6．解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； 第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在； 第三步：得出结论． 【易错点提醒】1.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误． 3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ＞0”下进行． 【主题考向】考向一 椭圆的标准方程与几何性质【解决法宝】1.涉及椭圆上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用椭圆的定义；2.求解椭圆的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的22,b a 的值，最后代入写出椭圆的标准方程.3.椭圆的离心率是椭圆的主要性质，是反映椭圆的扁平程度的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出a 和c 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c b a ,,的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围；例1．【江西省临川一中等九校2018届联考】已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点2366,,,2233P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆交于,A B 两点， O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值.【分析】（1）根据点在曲线上，将点代入曲线可得到方程；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据弦长公式得到弦长AB ，又因为2222121212AOB m S AB d k m k∆=⋅=+-+｜｜，根据基本不等式可得到最值. 【解析】（1）设椭圆的方程为221mx ny +=将带入方程，可得1,12m n ==故椭圆的标准方程为（2）设()()1122,,,A x y B x y2212y kx mx y =++= ()222124220k ykmx m ⇒+++-=∆ ()()222216412220k m k m=-+-＞原点到直线l 的距离2111m d k=+()2222222212212121212AOBm S AB d k m m k m k k∆∴=⋅=+-=+-++｜｜由得又由基本不等式222222121222AOBm k m S k ∆++-≤⋅=+ 当且仅当22212k m +=时，不等式取“=”号考向二 抛物线的标准方程与几何性质【解决法宝】1.涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化为到抛物线的准线的距离； 2.抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的p 的值，最后代入写出抛物线的标准方程.3.抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，无渐近线，p 的几何意义是焦点到准线的距离.例2．【山东省济南市2018届一模】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,1M 在抛物线C ： 2x ay =上，直线l ： ()0y kx b b =+≠与抛物线C 交于A ， B 两点，且直线OA ， OB 的斜率之和为-1.（1）求a 和k 的值；（2）若1b >，设直线l 与y 轴交于D 点，延长MD 与抛物线C 交于点N ，抛物线C 在点N 处的切线为n ，记直线n ， l 与x 轴围成的三角形面积为S ，求S 的最小值.【分析】（1）将点()2,1M 代入抛物线C ： 2x ay =，得4a =，联立直线y kx b =+与抛物线方程，消去y ，得2440x kx b --=，则124x x k +=， 124x x b =-，由1OA OB k k +=-，求出1k =-；（2）求出直线DM 的方程为()12b x y b-=+，联立直线DM 的方程和抛物线的方程，求出()22,N b b -，利用导数的几何意义，求出切线n 的斜率为b -，得到切线n 的方程2y bx b =--，联立直线DM 、n 的方程，求出Q 点的纵坐标221Q b y b =-，且32=1b S b -，采用导数的方法得出单调性，由单调性求出最小值。

2.6.3 直线与圆锥曲线的位置关系1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由已知可得直线的方程为y ＝23(x ＋2)，即x ＝32y －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝32y －2得y 2－6y ＋8＝0.由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝6，y 1y 2＝8， ∴x 1＋x 2＝32(y 1＋y 2)－4＝5，x 1x 2＝y 1y 2216＝4，∵F (1,0)，∴FM →·FN →＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝4－5＋1＋8＝8，故选D.[答案] D2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[解析] 由题意可知，点F 的坐标为(1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，故设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x得y 2－4my －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4， ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4.∵AB ⊥DE ，∴直线DE 的方程为x ＝－1m y ＋1，|DE |＝4m2＋4，∴|AB |＋|DE |＝4m 2＋4＋4m2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋8≥4×2＋8＝16， 当且仅当m 2＝1m2，即m ＝±1时，等号成立．∴|AB |＋|DE |的最小值为16.故选A. [答案] A3．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，是k ＝________.[解析] 由题意可知C 的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为k 的直线方程为x ＝y k ＋1，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k ＋1，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2k ＋1，y 2，将直线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y k ＋1，y 2＝4x ，整理得y 2－4k y －4＝0，从而得y 1＋y 2＝4k，y 1·y 2＝－4.∵M (－1,1)，∠AMB ＝90°，∴MA →·MB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2k＋2＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，即k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.[答案] 24．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，或k ＝1，因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋2＝y 0－x 0＋22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16 或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大．直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、定点、定值、最值、范围以及存在性问题都是考查的重点，常与向量、函数、不等式等知识结合．解题时，常以直线与圆锥曲线的位置关系为突破口，利用设而不求、整体代换的技巧求解，要注重数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想在解题中的指导作用．。

第29练 直线与圆锥曲线的位置关系[明考情]直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置. [知考向] 1.直线与椭圆. 2.直线与抛物线.考点一 直线与椭圆方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式.(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系.(3)一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|.1.(2017·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程. 解 (1)设点F 的坐标为(－c ，0)，依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m .将x ＝my ＋1与x 2＋4y23＝1联立，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62， 故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0， 解得|m |＝63，所以m ＝±63. 所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.2.(2016·全国Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t . 由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k 3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)， 当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于P ，Q两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e . 解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |知，|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|， 解得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.4.已知椭圆H ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，原点O 到直线MN 的距离为32，其中，点M (0，－1)，点N (a ，0).(1)求椭圆H 的离心率e ；(2)经过椭圆右焦点F 2的直线l 和该椭圆交于A ，B 两点，点C 在椭圆上，若OC →＝12OA →＋32OB →，求直线l 的方程.解 (1)由题意得直线MN 的方程为x －ay －a ＝0， 则a1＋a2＝32⇒a ＝3， 所以c ＝2，所以离心率e ＝23＝63. (2)椭圆H 的方程为x 23＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，①当直线l 的斜率为0时，其方程为y ＝0， 此时A (3，0)，B (－3，0)，不符合题意，舍去.②当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x 23＋y 2＝1，消去x 得(m 2＋3)y 2＋22my －1＝0， 所以Δ＞0， ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－22m m 2＋3，y 1y 2＝－1m 2＋3.因为OC →＝12OA →＋32OB →，所以x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2.因为点C 在椭圆上，所以x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2 ＝14＋34＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1， 所以x 1x 2＋3y 1y 2＝0.又因为x 1x 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＝m 2y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋2＝m 2×－1m 2＋3＋2m ×－22mm 2＋3＋2＝－3m 2＋6m 2＋3， 所以x 1x 2＋3y 1y 2＝－3m 2＋6m 2＋3＋3×－1m 2＋3＝0，化简得m 2－1＝0. 所以m ＝±1.所以直线l 的方程 x ＝±y ＋ 2.综上，直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.5.已知O 为坐标原点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆x 24＋y 22＝1上的点，且x 1x 2＋2y 1y 2＝0，设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m (m ≠0)与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值. 解 (1)设点P (x ，y )，则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2. 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2).又因为x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋2y 2＝20.(2)将曲线C 与直线l 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝20，y ＝x ＋m ，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－20＝0.因为直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，所以Δ＝16m 2－4×3×(2m 2－20)＞0.又m ≠0，所以0＜m 2＜30， x 3＋x 4＝－4m 3，x 3x 4＝2m 2－203.又点O 到直线AB ：x －y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝(1＋k 2)[(x 3＋x 4)2－4x 3x 4]＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫16m 29－4×2m 2－203＝169(30－m 2)， 所以S △OAB ＝12169(30－m 2)×|m |2＝23×m 2(30－m 2)≤23×m 2＋(30－m 2)2＝52， 并且仅当m 2＝30－m 2，即m 2＝15时取等号. 所以△OAB 面积的最大值为5 2. 考点二 直线与抛物线方法技巧 (1)判断直线与抛物线的位置关系时，可以借助数形结合法，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，但并非相切.(2)涉及中点弦问题，可用“点差法”求解，但要注意对其存在性的检验. 6.(2017·全国Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程. 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24，得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2|m ＋1|， 解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.7.已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点. (1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.解 (1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等，故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0).∴S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|＝12×1×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2). (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ， 得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.又由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|－t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.例 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值. 审题路线图(1)椭圆C 上的点满足条件―→列出a ，b 的关系式――――――――→已知离心率e ＝32，a 2＝b 2＋c 2基本量法求得椭圆C 的方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系→ 用m ，k 表示S △OAB →求S △OAB 最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系得S △ABQ 的最大值规范解答·评分标准解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.……………………………………………………………………………………………2分 (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. ①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ(λ＞0)，由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 2＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.…………………………………………………………………5分②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，(*)则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k 2.…………………………………………………………8分 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.……………………………………………………………9分设m 21＋4k2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2. (**)由(*)和(**)可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，…………………………………………………10分 故0＜S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.……………11分 由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.………………12分 构建答题模板[第一步] 求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程.[第二步] 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系.[第三步] 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系.[第四步] 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系.[第五步] 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.1.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求椭圆E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求椭圆E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，化简得(a2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知，x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.2.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E的方程.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得 10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，①依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2， 得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入①得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得 10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.3.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点.若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积.解 (1)因为过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为433，所以2b 2a ＝433.因为椭圆的离心率为33，所以c a ＝33， 又a 2＝b 2＋c 2，可解得b ＝2，c ＝1，a ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)可知F (－1，0)，则直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y22＝1，消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.又A (－3，0)，B (3，0)， 所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝± 2.从而x 1＋x 2＝－6×22＋3×2＝－32，x 1x 2＝3×2－62＋3×2＝0.所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－4×0＝32， |CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋2×32＝332.而原点O 到直线CD 的距离d ＝|k |1＋k2＝21＋2＝63， 所以△OCD 的面积S ＝12|CD |×d ＝12×332×63＝324.4.(2017·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点.5.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过原点，且线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－32，求直线l 的方程. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k2.所以y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝t 2－4k 21＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t1＋4k2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点，所以OA →·OB →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝4t 2－41＋4k 2＋t 2－4k 21＋4k 2＝0⇒5t 2＝4＋4k 2.由Δ＝(8kt )2－4(1＋4k 2)(4t 2－4)＝16(4k 2＋1－t 2)＞0， 可得4k 2＋1＞t 2⇒t ＜－32或t ＞32. 设A ，B 的中点为D (m ，n )，则m ＝x 1＋x 22＝－4kt 1＋4k 2，n ＝y 1＋y 22＝t1＋4k2.因为直线PD 与直线l 垂直，所以k PD ＝－1k ＝－32－n －m ＝－32－t1＋4k 2－－4kt 1＋4k2＝－12k 2＋2t ＋38kt，整理得t 1＋4k 2＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋4k 2＝12，5t 2＝4＋4k 2，解得t ＝1或－35.当t ＝－35时，Δ＞0不成立.当t ＝1时，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x ＋1.。

专题五 解析几何
第三讲 直线与圆锥曲线的位置关系
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1.由直线与圆锥曲线的位置关系解决直线的方程、圆锥曲线的方程及其性质等问题．
2．求动点的轨迹问题，以椭圆和抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、范围等综合问题
.
1．(2016·全国Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
[解析] 由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，当x ＝－c 时，y ＝k (a －c )，当x ＝0时，y ＝ka ，所以M (－c ，k (a －c ))，E (0，ka )．如图，设OE 的中点为N ，
则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ka 2，由于B ，M ，N 三点共线，所以k BN ＝k BM ，即ka 2－a ＝k (a －c )－c －a ，。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作解析几何(见学生用书P132)1．突出解析几何的基本思想：解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一．求曲线的方程的常用方法有两类：一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等)，常用待定系数法求方程．另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：(1)直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式．(2)代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标(x，y)表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程．(3)参数法：通过一个(或多个)中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程．2．熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识(1)直线和圆①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向．需要注意的是：(i)倾斜角α的范围是：0≤α<π；(ii)所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率．②直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条件下灵活使用．如截距式不能表示平行于x轴，y 轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况．③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点到圆心的距离、圆心到直线的距离或两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何特征较为简捷、实用．(2)椭圆①完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用．椭圆是平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点的轨迹．②椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴．焦点是F(±c，0)时，标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)；焦点是F(0，±c)时，标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．这里隐含a2＝b2＋c2，此关系体现在直角三角形OFB(B为短轴端点)中．③深刻理解a，b，c，e，ca的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何性质．(3)双曲线①类比椭圆，双曲线定义，两种标准方程形式．同样要重视定义在解题中的运用，要深刻理解几何量a，b，c，e，ca的本质含义及其相互间的关系．②双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直线．③双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1(a >0，b >0)隐含了一个附加公式c 2＝a 2＋b 2，此关系体现在△OAB (A ，B 分别为实轴，虚轴的一个端点)中．特别地，当a ＝b 时的双曲线称为等轴双曲线，其离心率为 2.(4)抛物线①抛物线的定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹(F ∉l )．定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用．②抛物线方程(标准)有四种形式：y 2＝±2px 和x 2＝±2py (p >0)，选择时必须判定开口与对称轴．③掌握几何性质，注意分清2p ，p ，p 2的几何意义．3．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法(1)判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，然后利用“Δ”法．(2)有关弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线的定义的运用，以简化运算．(3)有关弦的中点问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算．(4)有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系(或向量方法)及韦达定理，设而不求，整体处理．(5)有关圆锥曲线关于直线l 的对称问题中，若A ，A ′是对称点，则应抓住AA ′的中点在l 上及k AA ′·k 1＝－1这两个关键条件解决问题．(6)有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”．考点一 求椭圆的离心率求离心率e 的值，只需根据题目条件，寻找一个a ，b ，c 等量的关系式．求离心率e 的取值范围，只需根据题目条件，寻找一个a ，b ，c 的不等关系式．例 1－1(2015·安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．分析：(1)先由|BM |＝2|MA |，得出M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，再根据OM 的斜率建立关于a ，b 的等式求离心率．(2)利用点N 关于直线AB 的对称点的坐标建立关于b ，x 1的等式，再结论(1)中的结论，求出系数a ，b ，即可求出椭圆E 的方程．解析：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b .故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋y b＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b . 设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72， 则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74. 又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.例 1－2(2015·陕西卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．分析：(1)直接根据点到直线的距离公式列出关于a ，b ，c 的方程求解离心率e .(2)由题意知，M (－2，1)是线段AB 中点，且|AB |＝10，可设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，中点坐标公式、弦长公式，列出关于直径AB 的等式，求出a 、b 、c ，从而得到椭圆E 的方程．解析：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bc a ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)(方法1)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.(方法2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B ，关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.考点二 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的综合问题，一般要用到直线和圆锥曲线的位置关系，用待定系数法求直线或圆锥曲线的方程．直线与圆锥曲线的相交相切问题转化为方程联立，根据Δ和根与系数的关系等基础知识与基本方法求解，用到弦长公式，焦点三角形，圆锥曲线的标准方程及其性质等等．例 2－1 (2014·辽宁卷)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)若椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．分析：(1)设切点P (x 0，y 0)，(x 0>0，y 0>0)，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可求出方程．(2)由(1)可得椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1(b 1>0)．把P 的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l 的方程为x ＝my ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即求出m .解析：(1)设切点P (x 0，y 0)，(x 0>0，y 0>0)，则切线的斜率为－x 0y 0， 可得切线的方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)， 化为x 0x ＋y 0y ＝4.令x ＝0，可得y ＝4y 0； 令y ＝0，可得x ＝4x 0. ∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积S ＝12·4y 0·4x 0＝8x 0y 0.∵4＝x 20＋y 20≥2x 0y 0，当且仅当x 0＝y 0＝2时取等号．∴S ≥82＝4，此时P (2，2)．由题意可得2a 2－2b 2＝1，e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝3，解得a 2＝1，b 2＝2.故双曲线C 1的方程为x 2－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线C 1的焦点(±3，0)，即为椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1(b 1>0)． 把P (2，2)代入可得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3， 因此椭圆C 2的方程为x 26＋y 23＝1.由题意可知直线l 的斜率为0时不符合条件，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 2＋2y 2＝6，化为(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，∴y 1＋y 2＝－23m 2＋m 2，y 1y 2＝－32＋m 2. ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋23＝43m 2＋2， x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋3＝6－6m 2m 2＋2. ∵AP→⊥BP →，∴AP →·BP →＝0， 而AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)， ∴x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0， ∴2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1， 因此直线l 的方程为：x －⎝ ⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0. 例 2－2(2015·浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．分析：(1)由已知，可设出直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b ，将直线AB 的方程与椭圆方程联立组成方程组，消去y 转化为关于x 的一元二次方程，根据线段AB 的中点在直线y ＝mx ＋12上，直线AB 与椭圆有两个不同交点，利用判别式Δ大于0列不等式求解．(2)利用弦长公式和点到直线的距离公式把△AOB 的面积用一个参数表示，再结合式子特点，用配方法求最值．解析：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m ＜－63或m ＞63.(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62， 则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.考点三 圆锥曲线的最值与取值范围问题圆锥曲线的最值与取值范围问题，先建立一个一元或二元的函数关系式．最后一般都用到函数求值域或基本不等式解决问题．综合性很强，要用到很多知识，如斜率计算公式、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识以及换元法和转化法等等．例 3－1(2014·北京卷)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．分析：(1)椭圆C ：x 2＋2y 2＝4化为标准方程为x 24＋y 22＝1，求出a ，c ，即可求椭圆C 的离心率． (2)先表示出线段AB 的长度，再利用基本不等式，求出最小值． 解析：(1)椭圆C ：x 2＋2y 2＝4化为标准方程为x 24＋y 22＝1，∴a ＝2，b ＝2，c ＝2，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设A (t ，2)，B (x 0，y 0)，则x 0≠0.∵OA ⊥OB ，∴OA→·OB →＝0， ∴tx 0＋2y 0＝0，∴t ＝－2y 0x 0. ∵x 20＋2y 20＝4，∴|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝x 202＋8x 20＋4≥4＋4＝8， 当且仅当x 202＝8x 20，即x 20＝4时等号成立． ∴线段AB 长度的最小值为2 2.例 3－2(2015·山东卷)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．分析：(1)直接利用椭圆的定义得2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，从而可求出椭圆方程．(2)(ⅰ)利用O 、P 、Q 三点共线及点P 、Q 分别在椭圆C 、E 上的条件建立等式求解；(ⅱ)先求S △OAB 的最大值，再利用①的结论求S △ABQ 的最大值．解析：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2， 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，②由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.考点四 圆锥曲线的探索性问题圆锥曲线的探索性问题，一般先假设结论是成立的，然后求解或证明．如果在求证过程中得出矛盾，则结论不成立．例 4－1(2015·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．分析：(1)根据题目条件列出关于a ，b ，c 的方程组并求解，然后进一步确定点M 的坐标．(2)先假设存在这样的点，再将∠OQM ＝∠ONQ 转化为|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |求解点的坐标．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1＜n ＜1，直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N ，0)，则x N ＝m 1＋n. “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n，m 22＋n 2＝1， 所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．例 4－2)(2015·四川卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据已知条件，列方程组求出a ，b ，即得椭圆E 的方程．(2)先考虑特殊情况，探讨出点Q 的坐标，然后再进行一般性证明．解析：(1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝ 2. ∴椭圆E 的方程为：x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点．如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1， 解得y 0＝1或y 0＝2.所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0，2)．下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)．又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1， 所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线，所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |. 故存在与P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．。