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第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案）一、解题方法1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？解题思路：解题过程：把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20厘米，所以这两块木板的总长度是160+20＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2＝90（厘米）答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。
三(2)班共有多少人？解题思路：解题过程：根据题意画右图。
由图可看出：亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，说明横有5+4－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）人。
所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5＝40（人）答：三（2）班共有40人。
三年级奥数：重叠问题，包含与排除问题的解题方法
在日常生活中，我们经常需要统计一些数据，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现。
为了使重复的部分不被重复计算，人们研究出一种新的计算方法，然后再把重复计算的数目排除，使得计算的结果既不重复也不遗漏。
解决重叠问题时，我们常常利用韦恩图（圆圈图）来帮助分析死牢，关键是找出重复的次数。
木板重叠问题
两块一样长的木块叠在一起，求每块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再除以2；两块不一样长的木块重叠在一起，求其中一块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再减去另一块木块的长度。
韦恩图解题
韦恩图解题
做这类重叠问题时，首先根据题目条件画出韦恩图：
总人数=分别参加两项的人数-两项都参加的人数；
两项都参加的人数=分别参加两项的人数和-总人数；
参加某一项的人数=总人数+两项都参加的人数-参加另一项的人数。
韦恩图解题
当题目中提到至少存在一种情况的时候，那么总人数中还可能会有两种情况都不存在的情况。
此时候的总人数=至少参加一项的人数+两项都不参加的人数。
第20讲重叠问题仁解题思路与参考答案）一、解题方法1 .解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当 两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2 .解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出 图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一 部分，从而找出解答方法。
3 .在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关 系，这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米， 如图，这两块木板各长多少厘米?解题思路: 把等长的两块木板的一端搭起来，搭 在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20 厘米，所以这两块木板的总长度是160+20 = 180 （厘米），每块木板的长度是180-2 =90 （厘米） 答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1.把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根 绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？4 .两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长 22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？5 . 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接 起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？ 解题过程:解：（160+20）-2= 180-2 =90 （厘米）例题2.三（2）班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5 个，巩固练习1.同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是 第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。
表演的同学共有 多少人？2 .小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，“国"字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。
小红一共写了多少个 字？3 .同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从 后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？例题3.三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有 29巩固练习1.三(1)班有60人，每人都参加了航模或书法课外兴趣小组，参 加航模小组的有34人，参加书法小组的有40人。
多个量之间的重叠问题，听说难倒不少⼈，其实只需看懂这5张图！多个量之间的重叠问题前两节的内容我们讲的重叠问题时⽐较基础的⼀般只涉及两个集合之间的计数，这节的内容我们把难度上升，来讲解多个量之间的重叠问题。
这⾥有⼀个重点就是韦恩图的画法和集合之间的关系，所以⼀定要好好理解，这节的内容也是⽐较重要的，是奥数中常考的题型。
经典例题1、对全班同学作⽂、数学、科学这三门功课进⾏调查，其中有20⼈喜欢作⽂，32⼈喜欢数学，34⼈喜欢科学，12⼈既喜欢作⽂⼜喜欢数学，9⼈既喜欢作⽂⼜喜欢科学，20⼈既喜欢数学⼜喜欢科学，5⼈这三门可都喜欢，另外有3⼈这门功课都不喜欢。
这个班⼀共有多少⼈？这道题就是⾮常典型的多个量之间的重叠问题，题⽬中的数量关系⾮常多，我们来画图分析，如下图：我们先来看12个⼈既喜欢作⽂⼜喜欢数学说的是D+G这个部分等于12，D本⾝表⽰只喜欢作⽂和数学，G表⽰三种都喜欢，那么这12个⼈说的是既喜欢作⽂⼜喜欢数学，所以包含D+G=12，我们有⼜知道G=5，所以可以得到如下图：那么同样的道理有9个⼈既喜欢作⽂⼜喜欢科学，也就是说G+E=9，题⽬中已经告诉我们G=5了，所以E=4，如下图：很显然既喜欢科学⼜喜欢数学的⼈有20个，那么G+F=20，G=5，所以F=20-5=15⼈，得到如下图：那么接下来我们再分别求出A、B、C就可以了，A代表的是只喜欢作⽂，题⽬中告诉我们有20⼈喜欢作⽂，我们那么A=20-7-4-5=4⼈，同样的道理求出B=5⼈，C=10⼈，如下图：那么全班的⼈数就是把图中的7个部分，再加上3个三项都不喜欢的⼈数：4+5+10+7+4+15+5+3=53⼈。
解决这类题⽬⼀定要学会画韦恩图，就是我们上⾯这种画图的⽅式。
典型考题2、学⽣⾷堂的管理⼈员做了⼀个调查：全班50⼈，爱吃鸡腿的有40⼈，爱吃鱼的有32⼈，爱吃蔬菜的有40⼈，既爱吃鸡腿⼜爱吃鱼的28⼈，既爱吃鱼⼜爱吃蔬菜的有22⼈，既爱吃鸡腿⼜爱吃蔬菜的有30⼈，那么鸡腿、鱼、蔬菜都爱吃的有多少⼈？我们先来看鸡腿40⼈的部分包含①+④+⑤+⑥=40，鱼的部分包含②+④+⑤+⑥=32，蔬菜的部分包含③+⑤+⑥+⑦=40。
重叠问题练习题重叠问题是数学中常见的问题类型之一，涉及到平面上两个或多个图形之间的重叠关系。
解决重叠问题需要运用一些几何概念和技巧。
本文将介绍几道常见的重叠问题练习题，并逐步解答这些问题。
练习题一：已知平面上有两个圆，圆A的半径为r，圆心为O1；圆B的半径为R，圆心为O2。
如果两个圆的圆心距离为d，求问这两个圆是否重叠？解答一：为了判断这两个圆是否重叠，我们可以分情况讨论。
首先，两个圆没有重叠的情况是，当两个圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，即d > r + R。
此时，两个圆之间没有交集，因此不重叠。
另一种情况是，两个圆完全包含在对方内部，即一个圆被另一个圆包围。
这种情况下，两个圆重叠。
具体来说，当两个圆心之间的距离小于两个圆的半径之差时，即d < |r - R|。
在这种情况下，大圆完全包围小圆，或者小圆完全包围大圆。
最后一种情况是，两个圆相互交叠但不能完全包含对方。
这种情况下，两个圆相交的部分形成一个圆环。
具体来说，当两个圆心之间的距离介于两个圆的半径之和和半径之差之间时，即|r - R| < d < r + R，两个圆形成一个圆环，重叠的部分就是这个圆环。
因此，通过对两个圆心距离和半径进行比较，我们可以判断出两个圆是否重叠。
练习题二：已知平面上有一个长方形ABCD，其中AB = a，BC = b。
另外，还有一个正方形EFGH，边长为s。
如果正方形完全位于长方形的内部，并且正方形的顶点之一恰好位于长方形的顶点A处，求问这两个图形的重叠面积是多少？解答二：首先，我们需要考虑正方形EFGH的位置。
根据题意，正方形的一个顶点位于长方形的顶点A处，那么我们可以确定正方形的位置。
由于正方形完全位于长方形的内部，那么正方形的另外三个顶点必然分别位于长方形的其他三个顶点，即B、C、D处。
接下来，我们需要求解两个图形的重叠面积。
重叠面积可以看作是正方形EFGH与长方形ABCD之间的交集部分。
(英特)加减重叠问题有的书中称为包含与排除问题，也有称为容斥原理的，英特数学教研组认为把这类问题称为加减重叠问题更好理解和记忆。
学习这个专题的捷径：可以结合圆的面积来思考、推理和记忆公式，把题目中的相关数量看着面积来理解，把应用题中的已知量对应代入到公式当中，再用加减运算方法推出公式中的未知量，问题就很快得到解决。
我们学习和考试的重叠问题不会超出两种情况，第一种情况是两个量重叠；第二种情况是三个量当中两两重叠和三个重叠。
第一讲：两个量重叠公式和理解记忆公式的图形如下：1.基础公式分析图：基础公式如下：圆A面积+圆B面积-A与B重叠部分= A和B所覆盖的面积基础公式使用方法：等式左右两边共有四个量，把题目中三个具体数量对号入座代入到公式中，再按加减的方法推算出第四个量。
基础公式表述：两圆面积和，减去重叠部分面积，等于两圆所覆盖的面积。
例1. 圆A的面积是50，圆B的面积是60，圆A、圆B重叠的面积是30。
求两圆所覆盖的总面积。
例2.英特外语学校参加英语竞赛的有50人，参加数学竞赛的有60人，既参加英语竞赛又参加数学竞赛的有30人，问参加两科竞赛的共有多少人？例3.英特外语学校参加英语和数学竞赛的共有80人，其中有50人参加英语竞赛，60人参加数学竞赛，问既参加英语竞赛又参加数学竞赛的有多少人？例4. 英特外语学校参加英语和数学两科竞赛的共有80人，其中有50人参加英语竞赛，有30人既参加英语竞赛又参加数学竞赛，问有多少人参加数学竞赛？家庭作业：自编题并求解。
方法：给出公式中已知数量，求另一数量。
1. A + B - A交B = A、B所覆盖的总面积2. 50 + 60 - 30 = ？3. 50 + 60 - ？ = 804. 50 + ？ - 30 = 805．？ + 60 - 30 = 802.通用公式分析图：通用公式如下：圆A面积+圆B面积-A与B重叠部分+两圆外的面积=长方形总面积通用公式使用方法：等式左右两边共有五个量，把题目中具体的四个数量对号入座代入到公式中，再按加减的方法推算出第五个量。
智慧广场—借助直观图解决重叠问题教学内容：青岛版数学一年级上册第74页—75页。
教学目标1．结合具体情境，学会借助画直观图的方法分析、解决简单的重叠问题。
2．经历独立思考、合作探究的过程，初步形成运用几何直观解决问题的策略，培养学生养成善于思考的习惯。
3．学生在解决实际问题的过程中感受选择解决问题策略的重要性，激发学生学习数学的兴趣，产生学好数学的自信心。
教学重难点重点：会借助画直观图的方法分析、解决简单的重叠问题。
难点：学生理解简单重叠问题的结构。
教学准备教具：多媒体课件。
教学过程一、创设情境提出问题师谈话：同学们秋天到了，天气变凉了，大雁要飞到南方去了。
快看！课件出示学生说一说从图中发现了什么？在学生交流的基础上，师：天空中有一行大雁，有的大雁被云彩挡住了。
有一只大雁与众不同，穿着花衣服。
出示信息和问题穿花衣服的大雁，从前面数它排在第6；从后面数，它排在第3。
这一行大雁一共有多少只？二、自主学习合作探究（一）读信息、问题。
全班学生试着小声读信息和问题，找一名学生读信息问题，把信息和问题读顺。
师引导学生初步理解题意“从前面数它排第6”是从哪儿往哪儿数？“从后面数，它排第3”从哪儿往哪儿数的？问题“这一行大雁一共有多少只？”都包括图中的哪些大雁。
（二）猜一猜师：猜一猜，这一行大雁一共有多少只？（三）思考、交流解决问题的方法1.在学生猜一猜的基础上，师抛出问题：同学们猜的准不准，采用什么样的方法能准确的知道“一行大雁一共有多少只？”呢？2．学生独立思考。
3.汇报质疑针对学生的汇报，教师有针对性的质疑：生1：用加法6+3=9只师：同意它的想法吗？为什么不同意？错在哪儿呢？理解能力强的孩子可能会说：穿大衣的大雁数了两次，应该再从9里面去掉1个，9-1=8理解能力弱的学生可能不容易理解，师引导：怎样才能让他明白他的想法不对呢？预设：有的学生可能会想到用画图的方法说明在学生产生画图需求的基础上师确定思考问题的方法：采用画直观图的方法，是帮助我们解决问题的一种很好的方法。
pythonmatplotlib画盒图、⼦图解决坐标轴标签重叠的问题在使⽤matplotlib画图的时候将常会出现坐标轴的标签太长⽽出现重叠的现象，本⽂主要通过⾃⾝测过好⽤的解决办法进⾏展⽰，希望也能帮到⼤家，原图出现重叠现象例如图1：代码为：data1=[[0.3765,0.3765,0.3765,0.3765,0.3765],[0.3765,0.3765,0.3765,0.3765,0.3765],[0.3765,0.3765,0.3765,0.3765,0.3765],[0.3765,0.3765,0.3765,0.3765,0.3765]]data2=[[0.2985,0.2268,0.2985,0.2996,0.2985],[0.2022,0.3203,0.3141,0.2926,0.2681],[0.2985,0.2668,0.2786,0.2985,0.2985],[0.2985,0.2985,0.2984,0.2978,0.2966]]data3=[[0.7789,0.7698,0.6999,0.7789,0.7789],[0.7788,0.7758,0.7768,0.7698,0.8023],[0.7789,0.7781,0.7789,0.7789,0.7789],[0.7789,0.7782,0.7752,0.7852,0.7654]]data4=[[0.6688,0.6688,0.6688,0.6981,0.6618],[0.6688,0.5644,0.5769,0.5858,0.5882],[0.6688,0.6688,0.6688,0.6688,0.6646],[0.6688,0.6646,0.6646,0.6688,0.6746]] #date1-date4均为我⽤到的数据，数据的形式等可⾃⾏更换。
##将4个图画在⼀张图上fig=plt.figure(figsize=(13,11))ax1=fig.add_subplot(2, 2, 1)##左右布局ax2=fig.add_subplot(2, 2, 2)ax3=fig.add_subplot(2, 2, 3)##上下布局ax4=fig.add_subplot(2, 2, 4)plt.sca(ax1)labels=['Today is Sunday','Today is Monday','Today is Tuesday','Today is Wednesday']#标签plt.boxplot(data1,labels=labels,boxprops={'linewidth':'2'},capprops={'linewidth':'2'},whiskerprops={'linewidth':'2'},medianprops={'linewidth':'2'}) #linewidth设置线条的粗细；boxprops、capprops、whiskerprops、medianprops表⽰盒图中各个线条的类型plt.ylabel('Today',fontsize=16)plt.xlabel('(a)',fontsize=16)plt.sca(ax2)labels=['Today is Sunday','Today is Monday','Today is Tuesday','Today is Wednesday']plt.boxplot(data2,labels=labels,boxprops={'linewidth':'2'},capprops={'linewidth':'2'},whiskerprops={'linewidth':'2'},medianprops={'linewidth':'2'})plt.xlabel('(b)',fontsize=16)plt.sca(ax3)labels=['Today is Sunday','Today is Monday','Today is Tuesday','Today is Wednesday']plt.boxplot(data3,labels=labels,boxprops={'linewidth':'2'},capprops={'linewidth':'2'},whiskerprops={'linewidth':'2'},medianprops={'linewidth':'2'})plt.ylabel('Today',fontsize=16)plt.xlabel('(c)',fontsize=16)plt.sca(ax4)labels=['Today is Sunday','Today is Monday','Today is Tuesday','Today is Wednesday']plt.boxplot(data4,labels=labels,boxprops={'linewidth':'2'},capprops={'linewidth':'2'},whiskerprops={'linewidth':'2'},medianprops={'linewidth':'2'})plt.xlabel('(d)',fontsize=16)plt.show()1、解决办法1：将轴标签分两⾏显⽰，如图2：只需在原代码中每个⼦图画图中加上代码：ax1.set_xticklabels(['Today is Sunday','\n'+'Today is Monday','Today is Tuesday','\n'+'Today is Wednesday'],fontsize=16)'\n'+则表⽰换⾏显⽰的意思，想要哪个标签换⾏显⽰，则在标签前⾯加上此符号，也可以换多⾏，⼀个\n表⽰⼀⾏，例如'\n\n'+则表⽰换两⾏显⽰。
