大学物理_波动方程
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大学物理习题详解No.2波动方程
《大学物理》作业 No.2波动方程班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、判断题[ F ] 1. 解：电磁波就可以在真空中传播。
[ F ] 2. 解：波动是振动的传播，沿着波的传播方向，振动相位依次落后。
[ F ] 3. 解：质元的振动速度和波速是两个概念，质元的振动速度是质元振动的真实运动速度，而波速是相位的传播速度，其大小取决于介质的性质。
[ F ] 4. 解：振动曲线描述的是一个质点离开平衡位置的位移随时间的变化关系；波形曲线是某一时刻，波线上各个质点离开平衡位置的情况。
[ F ] 5. 解：对于波动的介质元而言，其动能和势能同相变化，它们时时刻刻都有相同的数值。
二、选择题：1. 一平面简谐波表达式为)2(sin 05.0x t y --=π (SI) ，则该波的频率v (Hz)、波速u (m ⋅s -1)及波线上各点振动的振幅A (m)依次为：(A) 2/1，2/1，05.0- (B) 2/1，1，05.0-(C) 2/1，2/1，05.0 (D) 2 ，2，05.0[ C ]解：平面简谐波表达式可改写为(SI))22cos(05.0)2(sin 05.0ππππ+-=--=x t x t y与标准形式的波动方程 ])(2[cos ϕπ+-=u xt v A y 比较，可得 )s (m 21,(Hz)21,(m)05.01-⋅===u v A 。
故选C2. 一平面简谐波的波动方程为)3cos(1.0πππ+-=x t y (SI)，t = 0时的波形曲线如图所示。
则：(A) O 点的振幅为-0.1 m(B) 波长为3 m (C) a 、b 两点位相差 π21(D) 波速为9 m ⋅s -1解：由波动方程可知(Hz),23(m),1.0==νA (m)2=λ，)s (m 32231-⋅=⨯==νλua 、b 两点间相位差为：2422πλλπλπϕ===∆ab故选C3. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，t = T/4时的波形曲线如图所示。
大学物理_波动方程
《大学物理》 4、波动方程的几点讨论：
I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：
yAco2s(Tt x)
y
II、波动方程中，x取固定值则得
到振动方程。
0
t
y0Aco2s(Tt x0)
y
u
III、波动方程中，t取固定值则
得到波形方程。
yAco2s(T t0x)
0
x
《大学物理》
例2 频率为12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为
0.1 10 3 cos( 25 10 3 t ) m 2
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为
2
， 或 落 后 1 T ， 即 2 10 5 s 。 4
( 4 ) 该 两 点 间 的 距 离 x 10 cm 0.10m
1 ，相应的相位差为 4
2
(5 ) t= 0 .0 0 2 1 s 时 的 波 形 为
1 0
2
根据已知条件,初相为:
x
2
y 1 co (t sx )[ /2 ]
《大学物理》
(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:
y1cos(1[x)/2]
y
u
sinx
1
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点02 Nhomakorabeax
振动方程为:
y1cos(t[0.5)/2] cost()
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
解 棒中的波速
u Y 1.9 1011 N m2 5.0 103 m/s
第六章_波动方程
一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t
大学物理 第二章 薛定谔方程
因为 n
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
《大学物理AII》作业 No.02 波动方程 参考答案
2、一平面简谐波，波长为 12m，沿 Ox 负向传播。如图所示为原点处质点的振 动曲线，求： （1）原点处质点的振动方程， （2）此波的波函数。
解：由题意得：振幅 A=0.4m，初始位置 y0 0.2 相为
2 ， 其对应旋转矢量如上图所示。 从图还可以看出 5s 后， 矢量转动的角度： 3 5 2 t 5 12 s ； ，则 ， T 3 2 6 6 2 ) m） 所以其振动方程为 y 0.4 cos( t （ 6 3 2 12 s ，波速 u 1( m / s ) ，又因传播方向为负， （2）由题意 12m ， T T 2 （ ] m） 所以波函数为： y 0.4 cos[ （t x） 6 3
答：振动是波动的基础，振动在空间的传播就形成波动。平面简谐波动方程是关 于时间和空间的函数， 而简谐振动方程只是关于时间函数；当平面简谐波动方程 中的空间变量 x 确定时，波动方程成为表述该点运动的振动方程。振动曲线是以 位移为纵坐标， 时间为横坐标做的曲线，描述质点在不同时刻离开平衡位置的位 移；波形曲线是位移为纵坐标，介质元空间位置为横坐标做的曲线，用来描述某 一时刻，波线上各个质元离开平衡位置的距离。 2、平面简谐行波波函数的表达式与哪些因素有关？总结求波函数的基本步骤。 答：平面简谐行波波函数与波的特征量：振幅、周期、频率、波速及其传播方向 有关， 此外与坐标原点、 计时起点的选择有关。 求波函数的基本步骤可以概况为： （1）选择一个参考点，根据已知条件确定出该参考点的振动方程； （2）选定坐标原点，选定正方向，建立坐标；
《大学物理 AII》作业
No.02 波动方程
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
大学物理-波动方程的定解问题例题
动定律有
T1 cos1 T2 cos2 0 T1 sin 1 T2 sin 2 mg mutt xx0
因为 1 0,2 0,
（2） （3）
所以
cos1 cos2 1
sin 1
tan 1
u1 x
,sin 2
xx0 0
tan 2
u2 x
xx0 0
令
于是(2)化为 T1 T2 T
T (u2 x
解：由于研究的是柔软轻绳，故弦的 重量可以忽略不计。且由于惯性离心 力的作用，绳的平衡位置为水平线。 如右图所示，在绳中划出一小段dx， 考虑这一小段的受力和运动情况，此 处u(x,t)表弦的位移，T1和T2 分别表小段 dx段的两端所受的张力。注意在小振 幅情况下 sin tan ux,cos 1, 于是这一小段作横振动的运动方程为
x
2
将(2)代入(1)，得
（2）
[1 2
2 (l 2
x2 ) ux ]xdx
[1 2
2 (l 2
x2) ux ]x
utt dx
两边除以 dx 并整理得
utt
1 2
2
x
[(l
2
x2
)ux
]
0
例5 长为l的弦，若在其上某定点 处挂x0有一质量为m的小球，试
推导弦作横振动时该点处的衔接条件。 解：由于小球重力mg的作用，弦在 x0处有一跃变点。设在任意
第五章 数学物理方程和定解条 件的导出 例题
5.1波动方程的定解问题
例1 设均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅 极小的横振动u(x, t)：坐标为x的点在t时刻沿横向的位移 求：细弦上各点的振动规律
解：研究对象：选取不包括端点的一小段（x, x+dx）
T1 cos1 T2 cos2 0 T1 sin 1 T2 sin 2 mg mutt xx0
因为 1 0,2 0,
（2） （3）
所以
cos1 cos2 1
sin 1
tan 1
u1 x
,sin 2
xx0 0
tan 2
u2 x
xx0 0
令
于是(2)化为 T1 T2 T
T (u2 x
解：由于研究的是柔软轻绳，故弦的 重量可以忽略不计。且由于惯性离心 力的作用，绳的平衡位置为水平线。 如右图所示，在绳中划出一小段dx， 考虑这一小段的受力和运动情况，此 处u(x,t)表弦的位移，T1和T2 分别表小段 dx段的两端所受的张力。注意在小振 幅情况下 sin tan ux,cos 1, 于是这一小段作横振动的运动方程为
x
2
将(2)代入(1)，得
（2）
[1 2
2 (l 2
x2 ) ux ]xdx
[1 2
2 (l 2
x2) ux ]x
utt dx
两边除以 dx 并整理得
utt
1 2
2
x
[(l
2
x2
)ux
]
0
例5 长为l的弦，若在其上某定点 处挂x0有一质量为m的小球，试
推导弦作横振动时该点处的衔接条件。 解：由于小球重力mg的作用，弦在 x0处有一跃变点。设在任意
第五章 数学物理方程和定解条 件的导出 例题
5.1波动方程的定解问题
例1 设均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅 极小的横振动u(x, t)：坐标为x的点在t时刻沿横向的位移 求：细弦上各点的振动规律
解：研究对象：选取不包括端点的一小段（x, x+dx）
《大学物理》第二章--波动方程
a o
● ●
b
●
u
d
S
x
●
x
x dx
dxS S ( d ) S dS x
t 时刻体积元所受合力
( x，t ) d dx x 体积元质量为 dV Sdx v dxS Sdx 根据牛顿第二定律有
应力是 x 和 t 的函数
2 2
——波动方程
以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律， 还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析 波动方程的意义. 2. 波动方程的动力学推导
以平面波在固体细长棒中的传播为例 设有一截面积为S ，密度为ρ 的固体细棒， 一平面纵波沿棒长方向传播。
S
u
a o
● ●
b
●
u
d
2 2
2 T ，u T 1 2 u
y 1 y 2 2 x u t 2
2 2
——波动方程
注意：
波动方程是由平面简谐波推导出的， 但对其它平面波仍然成立， 从数学上，平面简谐波波函数 只是上述波动方程的一个特解。
y 1 y 2 2 x u t 2
y 0.1cos(3t x )
t=0时的波形曲线如图，则： Ａ，a点的振幅为－０．１m; Ｃ，两点间的相位差为 / 2 Y(m) 0.１m -0.１m a
Ｂ,波长为４m Ｄ，波速为６m/s
u b
C X(m)
0
例３，若一平面简谐波的波动方程为
y A cos( Bt Cx)
式中的Ａ，Ｂ，Ｃ为正值恒量，则
Ａ，波速为Ｃ／Ｂ Ｂ，周期为１／Ｂ
Ｃ，波长为 C / 2 Ｄ，圆频率为Ｂ Ｄ
大学物理-波动方程的基本解 推迟势与超前势
X 处δ 所激发的势，其定解问题为 则式 (11.4.5) 可简写为
(11.4.3) (11.4.4) (11.4.5)
(11.4.6)
(2) 求像函数 G (X, t；X' ,t ') 。作变量代换 r = X – X' ，r = | X – X' |
(11.4.7)
原先点源位于 X' ，作变换后，点源位于球坐标 (r, θ , φ) 的原点 (如图11.4.1)。
(11.4.11) (3) 求像原函数 G (X, t；X' ,t ') 。由拉氏逆变换可得
令 p =σ+ iβ，并利用δ 函数的傅里叶展开，上式可写为
(11.4.12)
最后的等式是利用了δ 函数如下性质 f (t)δ(t – t0) = f (t0)δ(t – t0)
现在令
，由易见，再将r = | X – X' | 代入式 (11.4.12)，并采用记号 G(±) 与等
利用高斯定理及δ 函数的性质可得： (11.4.10)
将式 (11.4.9) 代入式 (11.4.10) 第一项，作梯度运算后， 利用 dS = r2 sinθdθdφ 可证
将式 (11.4.9) 代入式 (11.4.10) 第二项，利用 可证 将上两式代入式(11.4.10)，便有
将
代入式 (11.4.9)，得
(11.4.19)
用已知条件表示 u (x,t)。现只讨论 G = G (–) 的情形。由式 (11.4.13) 可得
(11.4.20)
(11.4.21)
为后面计算的方便，引入 r' = x' – x = – r，即 x' = x + r' 显然，r 的端点在 x'，终点在 x；而 r' 的端点在 x，终点 在 x' 。但两者的长度相等 r' = |r' |= |– r|= r 。
大学物理-波动方程的基本解 推迟势与超前势例题
n (x)
以此代入(7)式，并利用ka=p，就有
L
n1
p
n*( ) 2 2na
2
n
(
x)e
p
现在对L(p)做拉普拉斯反演。利用
和线性e定 p理 L与1 卷(t积定),理，p可2 1得2na2
L1
1
na
sin
nat
G(t)
n* (
n1
)n
(
)
1
na
sin
nat
*
(t
)
n* (
n1
)n ( )
X
(0)
X
(l)
0
这是一个本征值问题，易于求得其归一化的本征函数为
X
(x)
n (x)
2 l 1
cos n x
这里
n
n
l
l
(n 1,2,)
(5)
(n 0)
由以上，按叠加原理，可将方程(1)的解写为
G(x, t) Ane2na 2t (x)
(6)
其中An由初条件确定。 n0
由初条件(2)，有
第十一章 格林函数法
11.3 波动方程的基本解 推迟势与超前势
例1 试求有源波动问题
a2uxx utt f (x,t) (0 x l,t 0)
(1)
u 0, t0
ut t0 0,
(2)
u 0,
u 0,
(3)
的格林函数。x0
xl
解：本问题对应的格林函数满足下面的定解问题：
a2Gxx Gtt f (x,t) (0 x l,t 0) (4)
G(x,t; , )
* n
(
)e
大学物理第二章 行波波动方程
应表示出所有质元在时刻 t 的位移，
除了取决 t o 外，
还应与质元的位置坐标有关
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
●
o
x
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
u
●
o
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），
即应变，则有
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“－”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
什么是物质的弹性？
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
T
将上式改写
u
表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
a
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t) y( x, t)
x ut
y
o●
u
t
ut
●
●
x
x x x
y Acos( t 2 x )
除了取决 t o 外，
还应与质元的位置坐标有关
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
●
o
x
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
u
●
o
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），
即应变，则有
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“－”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
什么是物质的弹性？
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
T
将上式改写
u
表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
a
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t) y( x, t)
x ut
y
o●
u
t
ut
●
●
x
x x x
y Acos( t 2 x )
大学物理波动方程
纵波的波速为：
ul
Y
—
Y—
固体棒的杨氏模量
固体棒的密度
7
固体媒质中传播的横波速率由下式给出：
ut
G
G—
固体的切变弹性模量
固体密度
—
液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出
ul
B
B—
流体的容变弹性模量 流体的密度
—
稀薄大气中的纵波波速为
RT p ul M
t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到x1+Δx 处，则
可得到
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x y ( x, t ) A cos[2π (t ) 0 ] t x y ( x, t ) A cos[2π ( ) 0 ] T
x1
B
A
x
(3) 若 u 沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？ 解 •(1)在 x 轴上任取一点P ，A点 振动方程为：
y A A cos(4πt ) 2
u
x1
B
u
A
13
x
P
波函数为： y ( x, t ) A cos[4π(t x ) )]
2
x1 1 (2) B 点振动方程为：yB (t ) A cos[4π (t )] u 8 4x1 A cos[4πt ( )] u 2
x y A cos (t ) u
y x 2 A cos (t ) 2 t u
大学物理-波动方程的定解问题
律，解出某个物理量 u 在给定的区域里随着地点 (x, y, z) 和时刻 t 怎样变化，即求 u (x, y, z, t)。
另外，数理方程理论还有三个主要问题：
(1) 解的存在性问题 (2) 解的唯一性问题
唯一性问题：讨论在什么定解条件下，对于哪一函数类， 方程的解是唯一的。通过唯一性问题的研究，可以明确： 对于一定的方程，需要多少个以及哪些定解条件才能唯 一确定一个解。
y
vx = 0 x=0
vy = v0−gt y = v0t −gt2/2
o
x
(抛出点为 坐标原点)
(2) 对斜向上抛，有
结论：不同的初始条件 (个性) 不同的运动状态，但 都服从牛顿第二定律 (共性)。
注：以上例子是大家熟悉的常微分方程的求解，实际上后 面要求解的是偏微分方程。
定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规
F(x,t)
简化假设： (1) 弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点的张力
沿弦的切线方向；
(2) 振幅极小，则张力与水平方向的夹角 1 和 2 很小， 仅考虑 1 和 2 的一阶小量，略去二阶小量，有
(线性化)
并且由此导出弦的长度近似不变： (3) 弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
由牛顿第二定律，得到
三、自由空间中电磁场的波动方程 自由空间：无电荷与电流分布的空间 自由空间中麦克斯韦方程组的微分形式为
将以上方程组中的第三式两边取旋度，并利用第四式，有
再利用矢量分析公式，得到 因此，可得到自由空间中电场的波动方程 同理，可得到自由空间中磁场的波动方程
四、波动方程的定解条件
1. 初始条件——描述系统的初始状态 振动方程含有对时间的二阶偏导数
另外，数理方程理论还有三个主要问题：
(1) 解的存在性问题 (2) 解的唯一性问题
唯一性问题：讨论在什么定解条件下，对于哪一函数类， 方程的解是唯一的。通过唯一性问题的研究，可以明确： 对于一定的方程，需要多少个以及哪些定解条件才能唯 一确定一个解。
y
vx = 0 x=0
vy = v0−gt y = v0t −gt2/2
o
x
(抛出点为 坐标原点)
(2) 对斜向上抛，有
结论：不同的初始条件 (个性) 不同的运动状态，但 都服从牛顿第二定律 (共性)。
注：以上例子是大家熟悉的常微分方程的求解，实际上后 面要求解的是偏微分方程。
定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规
F(x,t)
简化假设： (1) 弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点的张力
沿弦的切线方向；
(2) 振幅极小，则张力与水平方向的夹角 1 和 2 很小， 仅考虑 1 和 2 的一阶小量，略去二阶小量，有
(线性化)
并且由此导出弦的长度近似不变： (3) 弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
由牛顿第二定律，得到
三、自由空间中电磁场的波动方程 自由空间：无电荷与电流分布的空间 自由空间中麦克斯韦方程组的微分形式为
将以上方程组中的第三式两边取旋度，并利用第四式，有
再利用矢量分析公式，得到 因此，可得到自由空间中电场的波动方程 同理，可得到自由空间中磁场的波动方程
四、波动方程的定解条件
1. 初始条件——描述系统的初始状态 振动方程含有对时间的二阶偏导数
大学物理 波动方程 试题(附答案)
x
x
x
点处质点的振动速度 v 与时间 t 的关系曲线为： [ A ] v
ωA
Y
v
t (s )
1
u
P
0 0 .5
2
0
− ωA
1
2
A
0
t (s )
x
0
− ωA
v
0 .5
(A )
ωA
1
t (s )
2
(B)
v
0
1
(C )
(D )
π⎞ π⎞ ⎛ 2π ⎛ y P = Acos⎜ t − ⎟ = A cos⎜ π t − ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ T ⎝
(SI)
φ O
2A / 2
A
y
又 λ = 200 m ，波动方程为
(2) 将 x ＝100m 代入上式，得该处的振动方程
5 ⎞ ⎛ y100 = A cos ⎜ 500πt + π ⎟ 4 ⎠ ⎝
ww
w. z
hi
na
nc
dy100 5 ⎞ ⎛ = −500πA sin⎜ 500πt + π ⎟ (SI) dt 4 ⎠ ⎝ 3 ⎞ ⎛ 将 x＝-100m 代入上式， 得该处的振动方程 y −100 = A cos⎜ 500π t − π ⎟ 4 ⎠ ⎝ dy −100 3 ⎞ ⎛ = −500π A sin⎜ 500π t − π ⎟ (SI) 振动速度表达式为 v −100 = dt 4 ⎠ ⎝
《大学物理》AII 作业
No.2 波动方程
解：拉力恒定，则波速 u =
u T 恒定， λ = 。 ν 越大， λ 越小; 反之 ν 越小， λ 越大。 µ ν
na
(大学物理 课件)波动方程
表示 x1 处质点的振动方程
结束
返回
2. t = t 1 (常数) y
o y = A cos ω ( t 1 x )+j u x
表示在 t 1 时刻的波形
结束
返回
3. t 与 x 都发生变化 x t = t1 y 1 = A cos ω ( t 1 u ) + j x t = t 1+Δ t y ´= A cos ω ( t 1+Δ t u ) + j y
波 动 方 程
返回16章 结束
波动方程 一、平面简谐波的波动方程 y u x
§16-2平面简谐波
o
B
x
参考点O点的振动方程为： y = A cos ( t + j ) ω
任意点（B点）的振动方程，即波动方程为： y = A cos ω ( t x ) + j u 结束 返回
平面简谐波的波动方程为: x j y = A cos ω ( t u ) + t x j y = A cos 2π ( T l ) +
A cos 2π (x +120 t ) = 60
π
3
例2. 有一列向 x 轴正方向传播的平面简 谐波，它在t = 0时刻的波形如图所示，其波 速为u =600m/s。试写出波动方程。 y(m)
u 5 x (m)
o
12
.
结束
返回
解： o 由图可知， 在t = 0时刻
y(m)
u 5 x (m)
12
.
y1 y´ ut
.
O
x
x´
t
令 y 1= y ´
得： ´= x +uΔ t x 这表示相应于位移y1的相位，向前传播了 uΔ t的距离。 结束 返回
大学物理-波动学2
2 2 2
x w wk w p A sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
定义：平均能量密度（对时间平均)
1 w T
T
0
x 1 2 2 A sin [ (t ) 0 ]dt A 2 u
2 2 2
能流，能流密度
能流 P —单位时间内通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 设波速为 u，在 t 时间内通过垂 直于波速方向截面 S 的能量:
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处 相 位 落 后 2
x
已知O点振动表达式： y
u
y A cos(t 0 )
p
x
波长为
0
x
y A cos( t 0
2
x)
如果已知的不是O点振动方程
2 x处 比 x 0处 相 位 落 后 （x x0 )
X0点的振动方程：
波的强度
1 2 2 I A u 2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同
例1 一等幅平面简谐波，在直径d= 0.14m的圆柱管的空 气中进行,波的强度I=0.009w/m2 频率为300Hz，波速为 300m/s。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在 管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量 解：由公式
y A cos( t 0 2
x)
上式与标准形式的波函数相比 可得：
A 0.2m, 100Hz, u 40m.s1 , T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2 cos[ (200t 5x) / 2] (SI 制)
x w wk w p A sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
定义：平均能量密度（对时间平均)
1 w T
T
0
x 1 2 2 A sin [ (t ) 0 ]dt A 2 u
2 2 2
能流，能流密度
能流 P —单位时间内通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 设波速为 u，在 t 时间内通过垂 直于波速方向截面 S 的能量:
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处 相 位 落 后 2
x
已知O点振动表达式： y
u
y A cos(t 0 )
p
x
波长为
0
x
y A cos( t 0
2
x)
如果已知的不是O点振动方程
2 x处 比 x 0处 相 位 落 后 （x x0 )
X0点的振动方程：
波的强度
1 2 2 I A u 2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同
例1 一等幅平面简谐波，在直径d= 0.14m的圆柱管的空 气中进行,波的强度I=0.009w/m2 频率为300Hz，波速为 300m/s。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在 管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量 解：由公式
y A cos( t 0 2
x)
上式与标准形式的波函数相比 可得：
A 0.2m, 100Hz, u 40m.s1 , T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2 cos[ (200t 5x) / 2] (SI 制)
第六章_波动方程
2
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx
大学物理-波动方程
2
谱方法的优点是精度高，适用于大规模问题求解， 且能够处理复杂的边界条件和初值条件。
3
谱方法的缺点是计算量大，需要较高的编程技巧 和计算资源，且对非线性问题的处理较为困难。
06 波动方程在物理中的应用
声波传播
声波传播
波动方程可以描述声波在介质中的传播规律 。通过求解波动方程，可以得到声波的传播 速度、振幅和相位等信息。
有限差分法的优点是简单直观，易于编程实现，适用于规则区域的问题求解。
有限差分法的缺点是对不规则区域和边界条件的处理较为复杂，且精度相对较低。
有限元法
01
有限元法是一种将连续的波动问题离散化为有限个相互连接的子域（即有限元 ）的方法，通过将波动方程转化为有限元方程组，然后求解该方程组得到波动 问题的数值解。
大学物理-波动方程
contents
目录
• 波动方程概述 • 一维波动方程 • 二维波动方程 • 三维波动方程 • 波动方程的数值解法 • 波动方程在物理中的应用
01 波动方程概述
波动方程的定义
波动方程是描述波动现象的基本数学 模型，它描述了波动在空间和时间上 的变化规律。
波动方程通常表示为偏微分方程，其 中包含未知函数（如波动位移或速度 ）及其偏导数。
地震定位与测深
利用地震波的传播规律，可以进行地震定位和测深，以了解地球内 部结构和构造。
地震灾害评估
地震波的传播特性可以为地震灾害评估提供重要信息，如地震烈度、 震源深度和地表破裂带等。
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偏微分方程的形式
三维波动方程通常采用偏微分方程的形式，包含了波动传播的空间 和时间信息。
三维波动方程的解法
大学物理波动光学
大学物理波动光学摘要：波动光学是大学物理课程中重要的组成部分，主要研究光的波动性质及其在介质中的传播规律。
本文主要介绍了波动光学的基本概念、波动方程、干涉现象、衍射现象、偏振现象以及光学仪器等，旨在为读者提供系统的波动光学知识，为进一步学习和研究打下基础。
一、引言波动光学是研究光波在传播过程中所表现出的波动性质的科学。
光波是一种电磁波，具有波动性、粒子性和量子性。
波动光学主要关注光的波动性质，研究光波在介质中的传播、反射、折射、干涉、衍射、偏振等现象。
波动光学在科学技术、工程应用、日常生活等领域具有广泛的应用，如光纤通信、激光技术、光学仪器等。
二、波动方程波动方程是描述波动现象的基本方程。
光波在真空中的传播速度为c，介质中的传播速度为v。
波动方程可以表示为：∇^2E(1/c^2)∂^2E/∂t^2=0其中，E表示电场强度，∇^2表示拉普拉斯算子，t表示时间。
该方程描述了光波在空间和时间上的传播规律。
三、干涉现象1.极化干涉：当两束相干光波在空间某点相遇时，它们的电场矢量方向相同，相互加强，形成明条纹；当电场矢量方向相反，相互抵消，形成暗条纹。
2.非极化干涉：当两束相干光波在空间某点相遇时，它们的电场矢量方向垂直，相互叠加，形成干涉条纹。
四、衍射现象衍射现象是光波传播过程中遇到障碍物或通过狭缝时产生的现象。
衍射现象的本质是光波的传播方向发生改变，使得光波在空间中形成干涉图样。
衍射现象可以分为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射两种：1.菲涅耳衍射：当光波通过狭缝或障碍物时，光波在衍射角较小的情况下发生的衍射现象。
菲涅耳衍射的衍射图样与狭缝或障碍物的形状、大小以及光波的波长有关。
2.夫琅禾费衍射：当光波通过狭缝或障碍物时，光波在衍射角较大的情况下发生的衍射现象。
夫琅禾费衍射的衍射图样与狭缝或障碍物的形状、大小以及光波的波长有关。
五、偏振现象偏振现象是光波在传播过程中，电场矢量在空间某一方向上振动的现象。
偏振光具有方向性，其电场矢量只在一个特定方向上振动。
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。01:1 2:0801: 12:0801 :1212/ 11/2020 1:12:08 AM
解 棒中的波速
u Y 1.9 1011 N m 2 5.0 103 m/s
7.6 103 kg m 3
波长 u 5.0 103 m s 1 0.40m 12.5 103 kg m 3
周期 T 1 8 10 5 s
(1) 原点处质点的振动表式可写成
y0 A cost 0.1 103 cos(2 12.5 103 t) m 0.1 103 cos 25 103t m
《大学物理》
例题5 一列沿x轴负向传播的谐波,波长为4m,振幅为0.01m, 频率为50赫兹,在x=0处的引起振动的初相为0.现在x=6m处 有一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
解 入射波在x=6m处引起振动的
y
u
初相和振动方程分别为:
2 6 3
0
6
x
y6 0.01cos(100t 3 )
y 1cos[ (1 x) / 2]
y
u
sinx
1
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点
0
2
x
振动方程为:
y 1cos[ (t 0.5) / 2] cos(t )
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
0.1 103 cos(25 103t ) m
2
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为
，或落后 1 T ，即 2 105 s 。
2
4
(4) 该两点间的距离 x 10cm 0.10m 1 ，相应的相位差为
4
2
(5) t=0.0021s 时的波形为
y 0.1 103 cos 25 103 (0.0021 x ) m
(1)波动方程;
(2)1s时波形方程并作图;
(3)0.5m处的质点振动方程.
解: (1)按题设条件,取波动方程形 式如下:
y
u
y Acos[2 ( t x ) ]
1TΒιβλιοθήκη 根据已知条件,初相为:0
2
x
2
y 1cos[ (t x) / 2]
《大学物理》
(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:
反射波反射到x处，引起的振动与入射波在x=6处引起的振 动的相位差为:
2 x 6 x 3 2
《大学物理》 所以波动方程为： 特别注意半波损失
y 0.01cos(100t 3 ) 0.01cos(100t 6 x / 2) 0.01cos(100t x / 2)-π
《大学物理》 5 球面波的波动方程
解 在x轴上任意x处取一点来
讨论,波反射后到达x处的相位 落后为:
x
2 210 x
0
x 10
根据已知条件,x=0处的振动为:
8 x -π
y0 0.01cos100t
2
y 0.01cos(100t )
所以波动方程为： 特别注意半波损失
0.01cos(100t 8 x / 2) 0.01cos(100t x / 2)
y0 A0 cos(t )
球面波的波动方程为:
y A0r0 cos[ (t r r0 ) ]
r
u
A0r0 振幅变小了. r r0
r
u
r0
r 振动时间落后.
或 : y A0r0 cos[t 2 r r0 ]
r
2 r r0 振动相位落后
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1120. 12.11Fr iday, December 11, 2020
《大学物理》
(2) 波动表式为
y A cos (t x ) 0.1 103 cos 25 103 (t x ) m
u
5 103
式中 x 以 m 计，t 以 s 计。
(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式为
y 0.1 103 cos 25 103 (t 1 ) m
5 104
5 103
0.1 103 cos(52.5 5x) m
0.1 103 cos( 5x) m
2
0.1 103 sin 5x m
其中以 x 以 m 计。
《大学物理》
例题3 有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅为1m,周 期为2s,波长为2m.在t=0时,坐标原点处的质点位于平衡位置沿y 轴正向运动.求
0
x
T
《大学物理》
例 2 频 率为 12.5kHz 的 平 面余 弦纵 波沿 细 长的 金属 棒传 播 ，棒 的杨 氏模 量 为
Y 1.9 1011 N/m 2 ，棒的密度 7.6 103 kg/m 3 ，如以棒上某点取为坐标原点，已
知原点处质点振动的振幅为 A=0.1mm，试求：(1) 原点处质点的振动表式，(2) 波动表式， (3) 离原点 10cm 处质点的振动表式，(4) 离原点 20cm 和 30cm 两点处质点振动的相位差， (5) 在原点振动 0.0021s 时的波形。
x0
x
y0 Acos(t )
x
则任意一点x处的时间 落后为：
t x x0 u
《大学物理》 其相位落后为：
t x x0
u
则任意一点x处的振动 方程，即波动方程为：
y Acos[(t x x0 ) ]
u
若：x0 0, 0,则有： y Acos(t x )
u
根据波动物理量之间的关系，波动方程还可以表示为：
《大学物理》 第二节 平面谐波的波动方程
1、什么叫谐波？波源和媒质的振动都是谐振动。
2、什么叫波动方程？描写任意时刻任意质点（质元） 振动状态的函数方程叫波动方程，也叫波函数。
3、平面谐波的波动方程： 写平面谐波的波动方程
y
u
的关键是利用波的特点。
即在波传播方向上振动
依次落后。设已知x0处
质点的振动。
y Acos 2 ( t x ) T
《大学物理》 4、波动方程的几点讨论：
I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：
y Acos 2 ( t x )
y
T
II、波动方程中，x取固定值则得
到振动方程。
0
t
y0
Acos 2 ( t
T
x0
)
y
u
III、波动方程中，t取固定值则
得到波形方程。
y Acos 2 (t0 x )