2020-2021学年浙江省金华市某校高一（上）段考数学试卷（10月份）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{2, 3, 5, 6}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，则集合A∩(∁U B)＝（）A.{2, 5}B.{3, 6}C.{2, 5, 6}D.{2, 3, 5, 6}【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集和交集的运算即可．【解答】∵U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，A＝{2, 3, 5, 6}，B＝{1, 3, 4, 6}，∴∁U B＝{2, 5}，A∩(∁U B)＝{2, 5}．2. 下列函数中，是同一函数的是（）A.y＝x2与y＝x|x|B.y=√x2与y=(√x)2C.y=x2+xx与y＝x+1 D.y＝2x+1与y＝2t+1【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】由题意利用函数的三要素得出结论．【解答】根据函数的三要素，函数y＝x2的值域为[0, +∞)，而函数y＝x|x|的值域为(−∞, +∞)，故它们不是同一个函数；函数y=√x2的定义域为(−∞, +∞)，而函数y=(√x)2的定义域为[0, +∞)，故它们不是同一个函数．函数y=x 2+xx=x+1(x≠0)的定义域为{x|x≠0}，而函数y＝x+1的定义域为(−∞, +∞)，故它们不是同一个函数．函数y＝2x+1与y＝2t+1具有相同的定义域为(−∞, +∞)，值域为(−∞, +∞)，对应关系都是乘以2再加上1，故它们为同一个函数．3. 已知函数f(x)={x2+1(x≥2)f(x+3)(x<2)，则f(1)＝（）A.2B.12C.7D.17【答案】 D【考点】 求函数的值 函数的求值【解析】由函数性质得f(1)＝f(4)，由此能求出结果． 【解答】∵ 函数f(x)={x 2+1(x ≥2)f(x +3)(x <2) ，∴ f(1)＝f(4)＝42+1＝17． 故选：D ．4. 下列函数中，值域是(0, +∞)的是( ) A.y =2x +1(x >0)B.y =x 2C.y =√x 2−1D.y =2x【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 【解析】结合一次函数，二次函数，反比例函数的性质分别检验各选项即可判断． 【解答】解：A ，当x >0时，y =2x +1>1，即值域为(1, +∞)，不符合题意， B ，y =x 2≥0，即值域为[0, +∞)，不符合题意；C ，由√x 2−1>0，得y >0，即值域为(0, +∞)，符合题意；D ，由反比例函数的性质可知y =2x ≠0，即值域为(−∞,0)∪(0, +∞)，不符合题意.故选C .5. 若命题“存在x ∈R ，使得x 2+(a −1)x +1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.[−1, 3]B.(−1, 3)C.(−∞, −1]∪[3, +∞)D.(−∞, −1)∪(3, +∞)【答案】 A【考点】全称命题与特称命题 全称量词与存在量词【解析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x ∈R ，使得x 2+(a −1)x +1<0”，则相应二次方程有重根或没有实根． 【解答】∵ “∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0是假命题，∴x2+(a−1)x+1＝0没有实数根或有重根，∴△＝(a−1)2−4≤0∴−1≤a≤36. 设f(x)是奇函数且在(−∞, 0)上是减函数，f(−1)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−1, 0)∪(0, 1)C.(−1, 0)∪(1, +∞)D.(−∞, −1)∪(0, 1)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】本题可以利用f(x)在(−∞, 0)上是减函数，f(−1)＝0，得到函数有y轴左侧的图象草图，得到f(x)的相应函数值的正负情况，再根据f(x)是奇函数，得到函数有y轴右侧的图象草图，得到f(x)的相应函数值的正负情况，通过分类讨论，将不等式xf(x)<0转化为不等式组，解不等式组，得到本题结论．【解答】∵f(x)在(−∞, 0)上是减函数，f(−1)＝0，∴当x<−1时，f(x)>0；当−1<x<0时，f(x)<0．又∵f(x)是奇函数，∴由图象的对称性知：当0<x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0．若f(0)有意义，则f(0)＝0．∵不等式xf(x)<0，∴{x>0f(x)<0或{x<0f(x)>0，∴x>1或x<−1．7. 已知m>0，xy>0，当x+y＝2时，不等式4x +my≥92恒成立，则m的取值范围是（）A.[12,+∞) B.[1, +∞) C.(0, 1] D.(0,12]【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】根据“乘1法”，可得4x +my=12(4x+my)(x+y)，展开后，结合基本不等式可推出4x+my≥1 2(4+m+2√4m)≥92，解此不等式即可．【解答】∵xy>0，且x+y＝2，∴x>0，y>0，∴4x +my=12(4x+my)(x+y)=12(4+m+4yx+mxy)≥12(4+m+2√4yx⋅mxy)=12(4+m+2√4m)，当且仅当4yx =mxy即√mx＝2y时，等号成立，∵不等式4x +my≥92恒成立，∴12(4+m+2√4m)≥92，化简得，m+4√m−5≥0，解得√m≥1，即m≥1，∴m的取值范围是[1, +∞)．8. 已知函数f(x)=2x2+(4−m)x+4−m，g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A.[−4, 4]B.(−4, 4)C.(−∞, 4)D.(−∞, −4)【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】对函数f(x)判断△=m2−16<0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和−4进行讨论可得答案．【解答】解：当△=m2−16<0时，即−4<m<4，显然成立，排除D当m=4，f(0)=g(0)=0时，显然不成立，排除A；当m=−4，f(x)=2(x+2)2，g(x)=−4x显然成立，排除B；故选C．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）设A={x|x2−8x+15=0}，B={x|ax−1=0}，若A∩B=B，则实数a的值可以为( )A.1 5B.0C.3D.13【答案】A,B,D【考点】集合关系中的参数取值问题交集及其运算【解析】推导出B ⊆A ，从而B ＝⌀或B ＝{3}或B ＝{5}，进而1a不存在，或1a=3，或1a=5．由此能求出实数a 的值． 【解答】解：∵ A ={x|x 2−8x +15=0}={3, 5}，B ={x|ax −1=0}={1a }，A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴ B =⌀或B ={3}或B ={5}， ∴ 1a不存在或1a=3或1a=5，解得a =0或a =13或a =15，∴ 实数a 的值可以为0，15，13． 故选ABD .设a >b ，c <0，则下列结论正确的是（ ） A.ca >cbB.ac <bcC.b a >b−ca−cD.ac 2>bc 2【答案】 B,D【考点】不等式的基本性质 【解析】根据特殊值法判断A ，C ，根据不等式的基本性质判断B ，D 即可． 【解答】对于A ：令a ＝1，b ＝−1，c ＝−1，显然错误；对于B ：∵ a >b ，c <0，∴ ac <bc ，故B 正确； 对于C ：令a ＝1，b ＝−1，c ＝−1，显然错误；对于D:a >b ，c <0，则c 2>0，故ac 2>bc 2，故D 正确；使不等式1+1x >0成立的一个充分不必要条件是( ) A.x >2B.x ≥0C.x <−1或x >1D.−1<x <0【答案】 A,C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】不等式1+1x >0，即x+1x>0，x(x +1)>0，解得x 范围，即可判断出结论．【解答】解：不等式1+1x >0，即x+1x>0，∴x(x+1)>0，解得x>0或x<−1．∴选项中满足不等式1+1x>0成立的充分不必要条件是：x>2，及x<−1或x>1，选项AC符合题意.故选AC.下列命题中是真命题的是（）A.y=√x2+2+√x2+2的最小值为2B.当a>0，b>0时，1a +1b+2√ab≥4C.若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2D.若正数a，b满足a+b＝2，则14a+2+1b+2的最小值为12【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】可令t=√x2+2(t≥√2)，结合对勾函数的单调性可判断A；由基本不等式计算可得最小值，可判断B；运用不等式a+b≤2√a2+b22，计算可判断C；由(4a+2)+(4b+8)＝18，结合乘1法和基本不等式可判断D．【解答】对于A，令t=√x2+2(t≥√2)，y=√x2+2√x2+2=t+1t在[√2, +∞)递增，可得y min=√2√2=3√22，此时x＝0，故A错误；对于B，a>0，b>0时，1a +1b+2√ab≥2√1ab+2√ab≥2√2√1ab⋅2√ab=4，当且仅当a＝b＝1时取得等号，故B正确；对于C，若a2+b2＝2，则a+b≤2√a2+b22=2，当且仅当a＝b＝±1时，取得等号，故C正确；对于D，若正数a，b满足a+b＝2，即为(4a+2)+(4b+8)＝18，则14a+2+1b+2=118[(4a+2)+(4b+8)](14a+2+44b+8)=118(1+4+4b+84a+2+4a+2b+2)≥1 18×(5+4)=12，当且仅当a＝b＝1时，取得等号，故D正确．三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）已知f(√x−1)＝x+2√x，则f(x)________．【答案】x2+4x+3(x≥−1)【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】令t=√x−1，将已知等式中的x一律换为t，求出f(t)即得到f(x)．注意定义域．【解答】令t=√x−1(t≥−1)则x＝(t+1)2所以f(t)＝(t+1)2+2(t+1)＝t2+4t+3(t≥−1)所以f(x)＝x2+4x+3(x≥−1)已知−4≤a−c≤−1，−1≤4a−c≤5，则2a+c的取值范围________．【答案】[1, 13]【考点】简单线性规划【解析】设2a+c＝m(a−c)+n(4a−c)＝(m+4n)a−(m+n)c，解出m，n即可得出．【解答】设2a+c＝m(a−c)+n(4a−c)＝(m+4n)a−(m+n)c，∴{m+4n=2m+n=−1，解得m＝−2，n＝1，∵−4≤a−c≤−1，−1≤4a−c≤5，∴2≤−2(a−c)≤8，−1≤4a−c≤5，∴1≤2a+c≤13，∴2a+c的取值范围是[1, 13]．已知x，y∈R，x2−xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为________2√155．【答案】2√155【考点】基本不等式及其应用【解析】由x2+9y2＝1+xy≥2⋅x⋅3y，可推出xy≤15，而(x+3y)2＝x2+6xy+9y2＝1+ 7xy，代入所得结论即可．【解答】∵x2−xy+9y2＝1，∴x2+9y2＝1+xy≥2√x2⋅9y2=6xy，即xy≤15，当且仅当x＝3y，即x=3√1511，y=√1515时，等号成立，∴(x+3y)2＝x2+6xy+9y2＝1+7xy≤1+7×15=125，∴ −2√155≤x +3y ≤2√155， ∴ x +3y 的最大值为2√155．若f(x)为偶函数，且当x ≤0时，f(x)＝2x −1，则不等式f(x)>f(2x −1)的解集________|________>1或________<13} ．【答案】 {x ,x ,x 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】因为f(x)为偶函数，且当x ≤0时，f(x)＝2x −1单调递增，根据偶函数的对称性可知，当x >0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小， 则由不等式f(x)>f(2x −1)可得|x|<|2x −1|， 两边平方可得，x 2<4x 2−4x +1， 整理可得，(3x −1)(x −1)>0， 解可得，x >1或x <13．四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知集合A ＝{x|a <x <3a, a >0}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． （1）当a ＝1时，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若A ∩B ＝⌀，求实数a 的取值范围．【答案】当a ＝1时，集合A ＝{x|1<x <3}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． ∴ A ∩B ＝{x|2<x <3}， A ∪B ＝{x|1<x ≤3}．∵ 集合A ＝{x|a <x <3a, a >0}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． A ∩B ＝⌀，∴ 当A ＝⌀时，a ≥3a ，解得a ≤0，不合题意， 当A ≠⌀时，{a <3a a ≥3 或{a <3a3a ≤2 ，解得a ≥3或a ≤23．又∵ a >0，故实数a 的取值范围是(0, 23]∪[3, +∞)． 【考点】并集及其运算 交集及其运算【解析】（1）当a ＝1时，求出集合A ，由此能求出A ∩B ，A ∪B ．（2）当A ＝⌀时，a ≥3a ，当A ≠⌀时，{a <3a a ≥3 或{a <3a3a ≤2 ，由此能求出实数a 的取值范围．【解答】当a ＝1时，集合A ＝{x|1<x <3}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． ∴ A ∩B ＝{x|2<x <3}， A ∪B ＝{x|1<x ≤3}．∵ 集合A ＝{x|a <x <3a, a >0}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． A ∩B ＝⌀，∴ 当A ＝⌀时，a ≥3a ，解得a ≤0，不合题意， 当A ≠⌀时，{a <3a a ≥3 或{a <3a3a ≤2 ，解得a ≥3或a ≤23．又∵ a >0，故实数a 的取值范围是(0, 23]∪[3, +∞)．已知函数f(x)=x+a x−2，x ∈(2, +∞)．（1）若a ＝4，判断函数f(x)在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论．（2）若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，写出a 的取值范围（无需证明）． 【答案】根据题意，若a ＝4，则f(x)=x+4x−2=x−2+6x−2=1+6x−2，在定义域上为减函数，设2<x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝(1+6x 1−2)−(1+6x 2−2)=6(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2)，又由2<x 1<x 2，则(x 1−2)>0，(x 2−2)>0，(x 2−x 1)>0，则f(x 1)−f(x 2)>0，f(x)在定义域上为减函数， f(x)=x+a x−2=x−2+a+2x−2=1+a+2x−2，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有a +2>0，即a >−2， a 的取值范围是(−2, +∞)． 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】（1）根据题意，将函数的解析式变形为f(x)＝1+6x−2，设2<x 1<x 2，由作差法分析可得结论，（2）根据题意，由反比例函数的性质以及函数平移的性质可得结论． 【解答】根据题意，若a ＝4，则f(x)=x+4x−2=x−2+6x−2=1+6x−2，在定义域上为减函数，设2<x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝(1+6x1−2)−(1+6x 2−2)=6(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2)，又由2<x 1<x 2，则(x 1−2)>0，(x 2−2)>0，(x 2−x 1)>0， 则f(x 1)−f(x 2)>0，f(x)在定义域上为减函数， f(x)=x+ax−2=x−2+a+2x−2=1+a+2x−2，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有a +2>0，即a >−2， a 的取值范围是(−2, +∞)．（1）解关于x 的不等式ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0)；（2）若对任意a ∈[−1, 1]，ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0)， 即(ax −3)(x −2)>0，当a <0，(x −3a )(x −2)<0，即有3a <x <2； 当3a =2即a =32时，(x −2)2>0，即x ≠2；当3a >2即0<a <32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x <2或x >3a ； 当0<3a <2即a >32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x >2或x <3a ， 综上可得，当a <0，解集为{x|3a <x <2}；当a =32时，解集为{x|x ∈R 且x ≠2}；当0<a <32时，解集为{x|x <2或x >3a }； 当a >32时，解集为{x|x >2或x <3a}；对任意a ∈[−1, 1]，ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立， 可得a(x 2−2x)+6−3x >0，设f(a)＝a(x 2−2x)+6−3x ，a ∈[−1, 1]，可得{f(−1)>0f(1)>0 即{−(x 2−2x)+6−3x >0x 2−2x +6−3x >0 ，即有{−3<x <2x >3x <2 ，可得−3<x <2． 【考点】不等式恒成立的问题 其他不等式的解法 【解析】（1）对a 讨论，分当a <0时，当a =32时，当0<a <32时，当a >32时，运用二次不等式的解法，可得所求解集；（2）a(x 2−2x)+6−3x >0，设f(a)＝a(x 2−2x)+6−3x ，a ∈[−1, 1]，由恒成立思想可得f(−1)>0，且f(1)>0，解不等式可得所求范围． 【解答】ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0)， 即(ax −3)(x −2)>0，当a <0，(x −3a )(x −2)<0，即有3a <x <2； 当3a =2即a =32时，(x −2)2>0，即x ≠2；当3a>2即0<a <32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x <2或x >3a ；当0<3a <2即a >32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x >2或x <3a ， 综上可得，当a <0，解集为{x|3a <x <2}；当a =32时，解集为{x|x ∈R 且x ≠2}；当0<a <32时，解集为{x|x <2或x >3a }； 当a >32时，解集为{x|x >2或x <3a }；对任意a ∈[−1, 1]，ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立， 可得a(x 2−2x)+6−3x >0，设f(a)＝a(x 2−2x)+6−3x ，a ∈[−1, 1]，可得{f(−1)>0f(1)>0 即{−(x 2−2x)+6−3x >0x 2−2x +6−3x >0 ，即有{−3<x <2x >3x <2 ，可得−3<x <2．（1）作出f(x)＝x|x −4|的图象，并讨论方程f(x)＝m 的实根的个数；（2）已知函数f(x)＝x|x −a|−a(a ∈R)，若存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立，求实数a 的取值范围． 【答案】f(x)＝x|x −4|={x 2−4x,x ≥4−x 2+4x,x <4 ，其图象如图：由图可知，当m ∈(−∞, 0)∪(4, +∞)时，方程f(x)＝m 有1个实根， 当m ＝0或4时，方程f(x)＝m 有2个实根， 当m ∈(0, 4)时，方程f(x)＝m 有3个实根； 函数f(x)＝x|x −a|−a(a ∈R)，命题若存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的否定为∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立． 下面求使命题∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围．①若a <3，则x ＝3时，f(x)在[3, 5]上取得最小值，f(3)＝3(3−a)−a ＝9−4a ， ∴ 9−4a ≥0，即a ≤94；②若3≤a ≤5，则x ＝a 时，f(x)取得最小值为f(a)＝−a ，−a <0不满足f(x)≥0恒成立；③若a >5，f(x)min ＝min {f(3), f(5)}＝min {3(a −3)−a, 5(a −5)−a}≥0， 解得a ≥254．综上可得，∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围是(−∞, 94]∪[254,+∞)， 则存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的a 的取值范围为(94,254)．【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】（1）写出分段函数解析式，作出图象，数形结合得答案；（2）写出命题存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的否定，即∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立，分类求解a 的取值范围，再由补集思想得答案． 【解答】f(x)＝x|x −4|={x 2−4x,x ≥4−x 2+4x,x <4 ，其图象如图：由图可知，当m ∈(−∞, 0)∪(4, +∞)时，方程f(x)＝m 有1个实根， 当m ＝0或4时，方程f(x)＝m 有2个实根， 当m ∈(0, 4)时，方程f(x)＝m 有3个实根； 函数f(x)＝x|x −a|−a(a ∈R)，命题若存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的否定为∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立． 下面求使命题∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围．①若a <3，则x ＝3时，f(x)在[3, 5]上取得最小值，f(3)＝3(3−a)−a ＝9−4a ， ∴ 9−4a ≥0，即a ≤94；②若3≤a ≤5，则x ＝a 时，f(x)取得最小值为f(a)＝−a ，−a <0不满足f(x)≥0恒成立；③若a >5，f(x)min ＝min {f(3), f(5)}＝min {3(a −3)−a, 5(a −5)−a}≥0， 解得a ≥254．综上可得，∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围是(−∞, 94]∪[254,+∞)， 则存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的a 的取值范围为(94,254)．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m(1≤m ≤4且m ∈R)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为y ＝m ⋅f(x)，其中f(x)={104+x,0≤x <64−x2,6≤x ≤8．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值． 【答案】∵ m ＝3，∴ y ={304+x,0≤x <612−3x2,6≤x ≤8； 当0≤x <6时，304+x >304+6=3>2； 当6≤x ≤8时，12−32x ≥2得，x ≤203；故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达203小时． 当6≤x ≤8时，y ＝2(4−12x)+m[104+x−6] ＝8−x +10m x−2，∵ 8−x +10mx−2≥2对6≤x ≤8恒成立， 故m ≥x 2−8x+1210对6≤x ≤8恒成立， 令g(x)=x 2−8x+1210，则g(x)在[6, 8]上是增函数， 故g max (x)=65； 故m ≥65； 故m 的最小值为65． 【考点】分段函数的应用根据实际问题选择函数类型函数恒成立问题【解析】(1将m＝3代入得y={304+x,0≤x<612−3x2,6≤x≤8；从而解不等式即可．（2）当6≤x≤8时，y＝2(4−12x)+m[104+x−6]＝8−x+10mx−2，即8−x+10mx−2≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥x2−8x+1210对6≤x≤8恒成立，从而化为最值问题．【解答】∵m＝3，∴y={304+x,0≤x<612−3x2,6≤x≤8；当0≤x<6时，304+x >304+6=3>2；当6≤x≤8时，12−32x≥2得，x≤203；故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达203小时．当6≤x≤8时，y＝2(4−12x)+m[104+x−6]＝8−x+10mx−2，∵8−x+10mx−2≥2对6≤x≤8恒成立，故m≥x 2−8x+1210对6≤x≤8恒成立，令g(x)=x 2−8x+1210，则g(x)在[6, 8]上是增函数，故g max(x)=65；故m≥65；故m的最小值为65．已知函数y＝x+ax有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．（1）若函数ℎ(x)＝x+4x,x∈[1,3]，求ℎ(x)的最值；（2）已知f(x)=4x 2−12x−32x+1,x∈[0,1]，求函数f(x)的值域；（3）对于（2）中的函数f(x)和函数g(x)＝kx −2，若对任意x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[1, 2]，使得g(x 2)＝f(x 1)成立，求实数k 的值． 【答案】由题意知，函数ℎ(x)＝x +4x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增，而ℎ(1)＝1+4＝5，ℎ(3)＝3+43=133，∴ ℎ(x)min ＝ℎ(2)＝2+2＝4， ℎ(x)max ＝ℎ(1)＝5． f(x)=4x 2−12x−32x+1=(2x+1)2−8(2x+1)+42x+1=(2x +1)+42x+1−8，∵ x ∈[0, 1]，∴ 2x +1∈[1, 3]， 由（1）可知，f(x)min ＝f(12)＝4−8＝−4，f(x)max ＝f(0)＝5−8＝−3， ∴ 函数f(x)的值域为[−4, −3]．对于函数g(x 2)＝kx 2−2，x 2∈[1, 2]，①当k >0时，g(x 2)单调递增，其值域为[k −2, 2k −2]，∵ 对任意x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[1, 2]，使得g(x 2)＝f(x 1)成立， ∴ [−4, −3]⊆[k −2, 2k −2]，即{k −2≤−42k −2≥−3 ，无解；②当k <0时，g(x 2)单调递减，其值域为[2k −2, k −2]，同理可得，[−4, −3]⊆[2k −2, k −2]，即{2k −2≤−4k −2≥−3 ，解得k ＝−1；③当k ＝0时，g(x 2)＝−2恒成立，g(x 2)的值域为{−2}， 而[−4, −3]⊈{−2}，不符合题意，舍去， 综上，实数k 的值为−1． 【考点】函数与方程的综合运用 函数单调性的性质与判断 【解析】（1）由题意知，函数ℎ(x)＝x +4x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增，计算ℎ(1)，ℎ(2)，ℎ(3)的值，即可得解；（2）将f(x)化简成f(x)＝(2x +1)+42x+1−8，结合（1）的结论即可得解； （3）先将原问题转化为f(x)的值域是g(x)的值域的子集，再分k >0、k <0和k ＝0三种情况讨论函数g(x)的值域，然后针对每种情况列出关于k 的不等式组，解之即可． 【解答】由题意知，函数ℎ(x)＝x +4x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增， 而ℎ(1)＝1+4＝5，ℎ(3)＝3+43=133，∴ ℎ(x)min ＝ℎ(2)＝2+2＝4，ℎ(x)max ＝ℎ(1)＝5． f(x)=4x 2−12x−32x+1=(2x+1)2−8(2x+1)+42x+1=(2x +1)+42x+1−8，∵ x ∈[0, 1]，∴ 2x +1∈[1, 3]， 由（1）可知，f(x)min ＝f(12)＝4−8＝−4，f(x)max ＝f(0)＝5−8＝−3， ∴ 函数f(x)的值域为[−4, −3]．对于函数g(x 2)＝kx 2−2，x 2∈[1, 2]，①当k >0时，g(x 2)单调递增，其值域为[k −2, 2k −2]，∵ 对任意x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[1, 2]，使得g(x 2)＝f(x 1)成立， ∴ [−4, −3]⊆[k −2, 2k −2]，即{k −2≤−42k −2≥−3 ，无解；②当k <0时，g(x 2)单调递减，其值域为[2k −2, k −2]，同理可得，[−4, −3]⊆[2k −2, k −2]，即{2k −2≤−4k −2≥−3 ，解得k ＝−1；③当k ＝0时，g(x 2)＝−2恒成立，g(x 2)的值域为{−2}， 而[−4, −3]⊈{−2}，不符合题意，舍去， 综上，实数k 的值为−1．。
