天津市高二上学期数学期末考试试卷

天津市部分区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程干脆计算。

【详解】由双曲线﹣y2＝1可得：，则所以双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为：（﹣，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简洁性质，属于基础题。

2.命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）A. ∃x0∈（0，+∞），使得B. ∃x0∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定干脆写出结果即可推断。

【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：“x∈（0，+∞），使得”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。

3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。

4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】由S5＝求出，再由等比数列通项公式求出即可。

【详解】由S5＝得：，又解得：，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算实力，属于基础题。

6.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有微小值，无极大值B. 无微小值有极大值C. 既有微小值，又有极大值D. 既无微小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出，对的正负分析，即可推断函数的极值状况。

一、单选题1．已知向量，，若，则k 的值为（ ）()1,2,3a =- ()2,,6m k =-- //a mA ．B ．C ．D ．44-14-14【答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.【详解】因为，所以解得， //a m 12326k -==--4k =故选:D.2．抛物线 的焦点坐标是（ ） 24y x =A ． B ． ()1,0()0,1C ．D ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】抛物线 的方程化为标准方程为： ， 24y x =214x y =故 ，则焦点坐标为 ，18p =1(0,)16故选：D.3．数列中，若，，则（ ） {}n a 11a =111(1)n n a n a -=+>4a =A ．B ．C ．2D ．325314【答案】B【分析】,先求出,再由求,由求即可. 1111,1(1)n n a a n a -==+>2a 2a 3a 3a 4a 【详解】, 1111,1(1)n n a a n a -==+> ，，，21121a ∴=+=313122a =+=4151332a =+=故选：B.4．圆与恰有三条公切线，则实数a 的值为（ ） ()()2214x a y---=221x y +=A ．B ．C ．D ．±±【答案】D【分析】根据公切线的条数判断两圆的位置关系，进而列出等式求解. 【详解】因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，，解得， 21=+a =±故选:D.5．椭圆与曲线的（ ） 221259x y +=()22:19925x y C k k k -=<--A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．曲线是双曲线C 【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质，曲线，化简为()22:19925x y C k k k -=<--()22:19925x y C k k k+=<--，即可解决.【详解】对于椭圆可得焦点在轴上，，221259x y +=x 5,3,4a b c ===所以焦距为8，离心率为，焦点为，45()4,0±曲线，化简为，()22:19925x y C k k k -=<--()22:19925x y C k k k+=<--因为，9k <所以，且， 90,250k k ->->259k k ->-所以曲线表示焦点在轴上椭圆， C y所以，4a b c ====焦距为8，()0,4±故选：A6．如图，在平行六面体中， AC 与BD 的交点为M .设，1111ABCD A B C D -11111,,,===A B a A D b A A c 则下列向量中与相等的向量是（ ）1B MA ．B ．1122a b c --+ 1122a b c -++C ．D ．1122a b c -+ 1122a b c ++ 【答案】B【分析】根据代入计算化简即可.1112=+=+B M B B BM c BD u u u u r u u u r u u u r r u u u r【详解】 ()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c u u u u r u u u r u u u r r u u u r r u u r u u u r r r r 故选：B.7．已知等比数列{an }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{bn }是等差数列，其前n 项和为Sn ，且b 7＝a 7，则S 13＝（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，再由等差数列的求和公式和性质，可得答案． 74a =【详解】等比数列中，，{}n a 31174a a a =可得，解得，2774a a =74a =等差数列中，{}n b 774b a ==则． 131137113()13134522S b b b =⨯+==⨯=故选：．B 【点睛】本题考查等比数列的性质以及等差数列的性质与求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．若直线与圆C ：相切，则①；②数列340()x y n n N *-+=∈()()22220n n x a y a -=+>165a ={}n a 为等差数列；③圆C 可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23.以上结论正确的个数为{}n a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】利用距离公式可求，从而可判断①②的正误，由可判断③的正误，计算65n n a +=42a =出后可判断④的正误.10S 【详解】因为直线与圆 相切，340()x y n n N *-+=∈222:(2)(0)n n C x y a a -+=>所以圆C 的圆心(2，0)到直线的距离 ，n d a ==故 ，则 ，故①错误； 65n n a +=175a =数列是首项为公差为的等差数列，故②正确; {}n a 7515当时，，圆C 经过坐标原点，故③正确； 4n =42a =因为 ，所以的前10项和为 ，故④正确.65n n a +={}n a ()1071612352⨯+⨯=故选：C.9．如图第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为1a 2a 3a ，…依此类推，第n 个图案的总点数记为，则（ ） n a 423520223342029999a aa a a a a a ++++=A ．B ．C ．D ．20212022202220212023202220222023【答案】A【分析】由题意可得时，从而可得，再利2n ≥33n a n =-()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--用裂项相消求和法可求得答案.【详解】由题意，，当，时，， 11a =1n >*n ∈N 33n a n =-又当，时，， 1n >*n ∈N ()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--∴ 233445202220239999a a a a a a a a+++⋅⋅⋅+=()()()()1111111112233420212022-+-+-+⋅⋅⋅+-． 12021120222022=-=故选：A10．设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线P 22221(0,0)x y a b a b-=>>2222x y a b +=+1F 2F 的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）． 21tan 3PFF ∠=AB CD【答案】B【分析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，12||||2PF PF a -=21tan 3PF F ∠=1||3PF a =2||PF a =再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果. 1290F PF ∠=︒【详解】解：根据双曲线定义：，， 12||||2PF PF a -=21tan 3PF F ∠=∴，12||3||PF PF =∴，，， 1||3PF a =2||PF a=r c ∴是圆的直径，12F F ∴，在中，，得．1290F PF ∠=︒12Rt F PF △222(3)(2)a a c +=e 故选．B 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题11．直线与直线垂直，则实数的值为__________. 10x y +-=220x my +-=m 【答案】2-【分析】直接利用两直线垂直，求出.m 【详解】直线与直线垂直, 10x y +-=220x my +-=所以，解得： 20m +=2m =-故答案为：2-12．已知双曲线C :，则双曲线C 的实轴长为221(0)2x y a a a -=>___________.【答案】4【分析】先求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出进而可求解. 2a =【详解】由题，双曲线的一条渐近线方程为，y x ==右焦点的距离为，解得，)d ===2a =所以双曲线的实轴长为， 4=故答案为:.413．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________. 22460x y x y +--=()1,1M 【答案】230x y +-=【分析】由题知，弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直，进而求解直线方程即可. M l 【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直, M l 因为圆，即，圆心为：，22460x y x y +--=()()222313x y -+-=()2,3O所以，所以， 31221OM k -==-112l OM k k -==-所以所求直线方程为：. 230x y +-=故答案为：.230x y +-=14．在直三棱柱中， ，，分别是，的中点，111ABC A B C -90BCA ∠=︒D F 11A B 11A C ，则与所成角的余弦值是_____________.1BC CA CC ==BD AF【分析】已知是直三棱柱，取的中点，连接，，可得和所成111ABC A B C -BC O ,AO FO DF AF FO 角即为与所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小． BD AF 【详解】，分别是，的中点， D F 11A B 11A C 取的中点，连接，，BC O ,AO FO FD 则且，所以为平行四边形，, //BC FD 12FD BC BO ==BDFO //BD FO 那么和所成角即为与所成角．AF FO BD AF 设，，是直三棱柱，12BC CA CC ===90BCA ∠=︒111ABC A B C -AO ∴=AF =FO BD ==222cos 2AF FO AO AFO AF FO +-∠=⋅三、双空题15．抛物线的焦点到准线的距离是___________；若点在抛物线上且与焦点的距离2:8C y x =A C 为6，则点的坐标为___________. A【答案】 4 或(4,(4,-【分析】根据抛物线几何意义，抛物线定义即可解决. 【详解】由题知，抛物线，开口向右，， 2:8C y x =4p =焦点为，准线为， (2,0)2x =-所以焦点到准线的距离是4，因为点在抛物线上且与焦点的距离为6， A C 所以点到准线的距离为6， A 所以，即，26A x +=4A x =所以，解得232A y =A y =±所以点的坐标为或 A (4,(4,-故答案为：4；或(4,(4,-16．数列的前n 项和为，，数列的前n 项和为，则__________；{}n a n S 2n n S a =-{}2n a n T n a =nT =___________.【答案】112n -⎛⎫⎪⎝⎭41134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】通过，得到，求出的值，则，则求出，利1n n n a S S -=-112n n a a -=1a 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭1214n na -⎛⎫= ⎪⎝⎭用等比数列求和公式即可得到.41134n n T ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】,2n n S a =- 时，,化为：，2n ≥()1122n n n n n a S S a a --=-=---112n n a a -=时,,解得.1n =1112a S a ==-11a =数列是等比数列,首项为1,公比为,∴{}n a 12,112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,1122,1124n n n nS a --⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-故答案为：；. 112n -⎛⎫⎪⎝⎭41134nnT ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、解答题17．圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. C (4,0)x (1)求圆的标准方程；C (2)已知直线l ：与圆相交于两点，求弦长的值； 3410x y +-=C ,A B AB (3)过点引圆的切线，求切线的方程. (4,4)P C 【答案】(1)()2224x y -+=(2)(3)和 4x =3440x y -+=【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长.（3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方d r =程.【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2， ()2,0则圆的方程为； C ()2224x y -+=（2）由（1）可知：圆的半径，C 2r =设圆心到的距离为，则， C ()2,0:3410l x y +-=d 6115d -==所以.AB ==（3）当斜率不存在时，为过点的圆C 的切线.4x =P 当斜率存在时，设切线方程为，即4(4)y k x -=-440kx y k -+-=，解得 2d r = 34k =3440x y ∴-+=综上所述：切线的方程为和.4x =3440x y -+=18．在等差数列中，已知公差，且 成等比数列． {}n a 10,1d a >=123,1,6a a a ++(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记 ，求数列的前项和．2n an b n =⋅{}n b n n T 【答案】(1)an =n(2)1(1)22n n T n +=-+【分析】（1）由已知条件可得（d +2）2=2d +7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公d {}n a 式，（2）由（1）得，然后利用错位相减法求2nn b n =⋅n T 【详解】（1）因为a 1，a 2+1，a 3+6成等比数列，所以 2213(1)(6)a a a +=+又a 1=1，所以（d +2）2=2d +7，所以d =1或d = （舍）， 3-所以an =n ；（2）因为，所以，2nn b n =⋅23121222322n n n T b b b n =+++=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 所以2311122222222n n n n n T n n +++-=++++-⨯=--⨯ 所以1(1)22n n T n +=-+19．如图，四棱锥中，平面，底面四边形满足，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AB AD ⊥DC AD ⊥， 是的中点. 422PA AD DC AB ====，，E PD(1)求直线到平面距离；AE PBC (2)求平面与平面夹角的余弦值. PDC PBC 【答案】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线到平面距离.AE PBC （2）求出平面与平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值. PDC PBC PDC PBC 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， P ABCD -PA ⊥ABCD AB AD ⊥DC AD ⊥分别以为轴建立空间直角坐标系.,,AB AD AP ,,x y z,是的中点4,22PA AD DC AB ====E PD(0,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,1,2),(1,0,0),(2,2,0)A D P E B C ∴(0,1,2),(1,0,4),(2,2,4),(0,0,4)AE PB PC PA ==-=-=-设平面的法向量为PBC (,,)n x y z =则取，40,2240n PB x z n PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 4x =(4,2,1)n =- 平面0,AE n AE ⋅=⊄PBC 平面//AE ∴PBC直线到平面距离为 AEPBC PA n d n⋅=== （2）平面的法向量，，PBC (4,2,1)n =- (0,2,4)PD =- 设平面的法向量PDC (,,)m a b c = 则取 240,2240m PD b c m PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩2,(0,2,1),b m == 设平面与平面夹角为PDC PBC θ则cos n m n mθ⋅== 20．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点． x 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存(2,1)P 1l C A B 2PA PB PM ⋅= 在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 1l 【答案】（1）（2）存在直线满足条件，其方程为 22143x y +=1l 12y x =【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再M 由可得到，，的值，进而得到椭圆的方程．222a b c =+a b c （2）假设存在直线满足条件，设直线方程为，然后与椭圆方程联立消去得到一元二(2)1y k x =-+y 次方程，且方程一定有两根，故应得到的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达0∆>k 式，再由，可确定的值，从而得解． 2PA PB PM ⋅=k 【详解】（1）设椭圆的方程为， C 22221(0)x y a b a b+=>>，且经过点， 12c e a == 3(1,2M ， ∴2213144c c+=解得，，，21c =24a =23b =故椭圆的方程为． C 22143x y +=（2）若存在直线满足条件，由题意直线存在斜率，设直线的方程为， l l l (2)1y k x =-+由，得． 22143(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=因为直线与椭圆相交于不同的两点，，l C A B设，两点的坐标分别为，，，，A B 1(x 1)y 2(x 2)y 所以．222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---⋅+⋅-->整理得．32(63)0k +>解得， 12k >-又， 21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++因为，即， 2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以． 22125(2)(2)(1)||4x x k PM --+==即． 212125[2()4](1)4x x x x k -+++=所以，解得． 222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++12k =±因为，所以． 12k >-12k =于是存在直线满足条件，其方程为． 1l 12y x =【点睛】直线与圆锥曲线相交于两点时，一般都设，直线方程为，l ,A B 1122(,),(,)A x y B x y y kx b =+把直线方程代入圆锥曲线方程得的一元二次方程，由韦达定理得，再把其他与有x 1212,x x x x +,A B 关的条件用表示出来，把刚才的代入，化简整理就可得到要求的结论．这是解析几12,x x 1212,x x x x +何中常用的“设而不求”方法，可减少大量的计算，简化推理过程．。

2019-2020学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量，，若，则实数( )A.B.C. 1D. 22.在复平面内，与复数是虚数单位对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A. 20里 B. 10里C. 5 里D.里5.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则( )A. 2B. 10C.D.6.已知函数，为的导函数，则( )A. B.C.D.7.正方体，点E ，F 分别是，的中点，则EF 与所成角的余弦值为( )A. 0B.C.D.8.曲线在点处的切线方程为( )A. B.C.D.9.设双曲线的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若且的面积为，则C 的方程为( )A.B.C.D.10.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20分）11.i是虚数单位，则的值为______.12.已知函数，为的导函数，则的值为______.13.已知实数a为函数的极小值点，则______.14.已知“”是假命题，则实数m的取值范围为______.15.设，，，则的最小值为______.三、解答题（本大题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.本小题12分已知函数若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；若，求的单调区间．17.本小题12分如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点E为PC的中点．证明：平面PAB；求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．18.本小题12分设数列的前n项和为，且，等比数列满足，，求和的通项公式；求数列的前n项和．19.本小题12分已知椭圆的长轴长为4，离心率为求C的方程；设直线l：交C于A，B两点，点A在第一象限，轴，垂足为M，连结BM并延长交C 于点求证：点A在以BN为直径的圆上．20.本小题12分已知函数若，求的极值；证明：当时，答案和解析1.【答案】C【解析】解：空间向量，，若，，求得实数，故选：由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接由复数代数形式的除法运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解析】解：，复数在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选：3.【答案】A【解析】解：解之得：，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：先解出不等式，根据集合的包含关系，判断充要性．本题考查充要性，以及集合的包含关系，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，设第一天走里路，由题意得是首项为，公比为的等比数列，则有，解可得，则；故选：根据题意，设第一天走里路，由题意得是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得，解可得的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．求得抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，可得p的值．【解答】解：抛物线的准线为，双曲线的焦点坐标为，，由题意可得，解得，故选：6.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，其导数；故选：根据题意，由导数的计算公式直接计算即可得答案．本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：如图，分别以直线AB，AD，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则：，，，，，故选：可分别以直线AB，AD，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可求出E，F，D，的坐标，从而可得出向量的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，进而得出EF与所成角的余弦值．本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由，得，曲线在点处的切线方程为，即故选：求出原函数的导函数，得到函数在处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程和简单性质，考查计算能力．利用双曲线的渐近线方程求出渐近线斜率，可得，，由的面积为，结合三角函数的诱导公式和二倍角公式可得c，进而求得a，b，可得双曲线方程.【解答】解：双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，渐近线的斜率为：，，所以，，O为坐标原点，若，的面积为，所以，则，解得，，，解得，所以双曲线方程为：故选：10.【答案】D【解析】解：，依题意，对任意恒成立，对任意都成立，令，，则对恒成立，，解得故选：依题意，导函数大于等于0在R上恒成立，令，进而得到对恒成立，由此得解．本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，考查转化思想及换元思想，属于基础题．11.【答案】【解析】解：，故答案为：根据复数的基本运算法则进行化简即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．12.【答案】【解析】解：根据题意，函数，其导数，则，故答案为：根据题意，由导数的计算公式求出，将代入计算即可得答案．本题考查导数的计算，关键掌握导数的计算公式，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：，或时，，函数单调递增，时，，函数单调递减是的极小值点；又a为的极小值点；故答案为：2可求导数得到，可通过判断导数符号从而得出的极小值点，从而得出a的值．考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，属于基础试题．14.【答案】【解析】解：“”是假命题，对任意的，恒成立，，对任意的恒成立，，当且仅当即时等号成立，，故答案为：根据特称命题的性质进行求解即可．本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键．15.【答案】【解析】解：，，，则，，，，当且仅当时取等号，此时取得最小值故答案为：结合已知条件进行化简后，直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．16.【答案】解：，，由题意可得，，，解可得，，，若，，当，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上，的单调增区间．，，减区间【解析】结合导数的几何意义及已知切线方程即可求解a，b，根据导数与函数单调性的关系即可求解函数的单调区间．本题考查导数的几何意义的应用，函数的单调性的求解，属于基础试题．17.【答案】解：证明：在四棱锥中，平面ABCD，，，以A为原点，过点A作DC的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角系，，，点E为PC的中点．，，，，，，，，，设平面PAB的法向量，则，取，得，，平面PAB，平面解：，，，设平面PCD的法向量，则，取，得，设直线PB与平面PCD所成角的平面角为，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为【解析】以A为原点，过点A作DC的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明平面求出平面PCD的法向量，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值直．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：，可得，时，，对也成立，则，；等比数列的公比设为q，满足，，可得，，解得，则；，则数列的前n项和…，…，相减可得…，化简可得【解析】运用数列的递推式计算可得，等比数列的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得；求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．19.【答案】解由题意得：，，，解得：，，所以椭圆C的方程：；联立与椭圆的方程：，所以由题意：，，，，直线BM的方程：，代入到椭圆中整理得：，，，，，，，所以，所以点A在以BN为直径的圆上．【解析】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．由长轴长及离心率和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；直线与椭圆联立求出两根之积，由题意A的坐标得M的坐标进而求出N的坐标，证明直线AN，AB 斜率互为负倒数可得证明出结论．20.【答案】解：，由，令得，令得，故当时，函数在单调递增，在单调递减，，无极小值；证明：令，，则，由知，，且在单调递增，在单调递减，，存在，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，当时，，即，即得证．【解析】求导，得出函数单调性，进而求得极值；令，，只需证明函数在上大于等于0恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查逻辑推理能力及运算能力，难度不大．。

一、选择题：在每小题的4个选项中，只有项是符合题目要求的．1．双曲线22312x y -=的焦点坐标是（）．A ．()±B ．(0,±C ．()4,0±D ．()0,4±2．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，432a a =，则公差d =（）．A ．0B ．2C ．1-D ．2-3．设抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为5，则PF 等于（）．A ．4B ．6C ．8D ．104．已知椭圆2225116y x =+的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点（点A ，B 异于椭圆长轴端点），则2ABF △的周长为（）．A ．10B ．20C ．8D ．165．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（）．A ．22134x y +=B ．2214x =C ．22142x y +=D ．22143x y +=6．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是（）．A ．2213x y -=与22193x y -=B ．2213x y -=与2213x y -=C ．2213x y -=与2213y x -=D ．2213x y -=与22139y x -=7．已知双曲线22221x y a b-=，过右焦点且倾斜角为45︒的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（）．A ．(B ．(C ．D ．(8．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，则数列{}n a 的通项公式为（）．A ．22n n na +=B ．22n n na -=C ．222n n n a -+=D ．21n a n n =-+9．若数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2020a 的值为（）．A ．13B ．2C ．12-D ．3-10．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为n S ，且满足315S S =，则n S 的最大项为（）．A ．7S B ．8S C ．9S D ．10S 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：11．若抛物线的准线方程为2y =，则该抛物线的标准方程是______．12．如果双曲线与椭圆2212736x y +=有相同焦点，且经过点)4，那么双曲线的方程是______．13．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是______．14．已知双曲线2222:1x y C a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，1F B 与y 轴相交于D ，若1AD F B ⊥，则双曲线的离心率为______．15．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若对任意n *∈N 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为______．16．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ．若3AF BF =，且三角形CDF的面积为，则p 的值为______．三．解答题：17.如图，在三棱柱中111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，12AA AC BC ===，90ACB ∠=︒，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（1）求证：1C D 平面1A BE ；（2）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值；（3）在棱1CC 上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面1A BE 所成夹角为60︒？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=.（1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，点()0,2A -，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设过点A 的动直线l 与E 相交于P 、Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程．20．已知公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足389a a ⋅=-，568a a +=-．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)若123n n T a a a a =++++L ，求n T 的表达式；(Ⅲ)若n n S b n c =+，存在非零常数c ，使得数列{}n b 是等差数列，存在n *∈N ，不等式0n c b k n--<成立，求k 的取值范围．。

天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

一、单选题1．已知等差数列，，则公差d 等于（ ） {}n a 132,5a a ==A ． B ．C ．3D ．-32332【答案】B【分析】根据题意，利用公式，即可求解. n ma a d n m-=-【详解】由题意，等差数列，， {}n a 132,5a a ==可得等差数列的公差. {}n a 315233122a a d --===-故选：B.2．双曲线的焦点坐标是（ ） 221x y -=A ．B ． (0,(C ．D ．(0,2),(0,2)-(2,0),(2,0)-【答案】B【分析】根据双曲线的方程，求得. c =【详解】由题意，双曲线，可得，所以 221x y -=221,1a b ==c =且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为. x (故选：B.3．直线的倾斜角及在轴上的截距分别为（ ） )21y x -=+yA ．B ．C ．D ．602︒，602︒，120,2︒1202︒,【答案】B【解析】由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角，再令，得到直线在轴上的截距. 0x =y【详解】解： )21y x -=+2y ∴=斜率， k =tan α=0180α︒︒≤< 60α︒∴=令，则，故直线在 0x =2y =+y 2故选：B 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，截距的理解，属于基础题.4．抛物线的焦点坐标为（ ） 28x y =A ． B ． C ． D ．()4,0()0,4()2,0()0,2【答案】D【解析】抛物线交点坐标为，算出即可.(0,)2pp 【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为. 282x y px ==4p =28x y =()0,2故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.5．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是1111ABCD A B C D -1,,DA a DC b DD c === 1D B（ ）A ．B ．C ．D ．a b c +- a b c ++ a b c -+ a b c -- 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.【详解】由题意，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -1,,DA a DC b DD c ===可得.1111()D B AB AD DC DD DA DA DC DD a b c =-=--=+-=+-故选：A.6．已知直线与平行，则与的距离为（ ）1:10l x ay +-=2:210l x y -+=1l 2lA ．B C ．D 1535【答案】D【分析】先由两直线平行，求出，得到，再由两平行线间的距离公式，即可12a =-1:220l x y +-=求出结果.【详解】因为直线与平行，1:10l x ay +-=2:210l x y -+=所以，解得，1(1)20⨯--=a 12a =-所以，即， 11:102l x y --=1:220--=l x y因此与的距离为1l 2l d 故选D【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记距离公式，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型.7．已知直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则直线l 与平an (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = 面α（ ） A ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．位置关系无法确定【答案】A【分析】根据题意得出可判断.//a n【详解】，，即，， (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = a n =- //a n ∴故直线l 与平面α垂直. 故选：A.8．与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有（ ） 22420x y x +-+=x y A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】先求得圆的圆心和半径，然后分直线在轴､轴上的截距为0和不为0，两种情况根据 x y 直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. 22420x y x +-+=【详解】圆的方程，可化为：， 22420x y x +-+=()2222x y -+=所以其圆心是，()2,0当直线在轴､轴上的截距为0时，设直线方程为：， x y y kx =因为直线与圆相切， 22420x y x +-+=所以圆心到直线的距离等于半径，所以d =解得，1k =±当直线在轴､轴上的截距不为0时，设直线方程为：， x y x y a +=因为直线与圆相切， 22420x y x +-+=所以圆心到直线的距离等于半径，所以，d 解得或（舍去）4a =0a =所以在轴､轴上截距相等的直线共有3条， x y 故选：C9．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过xOy C 12,F F x 1F 的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为 l ,A B 2ABF △C A ．B ．22184x y +=221164x y +=C ．D ．221816x y +=221168x y +=【答案】D【解析】结合椭圆定义可知的周长为，由此求得；利用离心率可求得；根据椭圆2ABF ∆4a a c 可求得，进而得到椭圆方程.222b a c =-2b 【详解】设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>由椭圆定义知： 的周长为 12122AF AF BF BF a +=+=2ABF ∴∆4a 即，解得： 416a =4a =c e a =c ∴=2221688b a c ∴=-=-=椭圆的方程为∴C 221168x y +=故选：D 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.二、填空题10．经过点，且与直线平行的直线方程是__________. ()0,2P 1:31l y x =-【答案】32y x =+【解析】设直线方程为，代入求得，从而得到结果.3y x b =+()0,2b 【详解】设与直线平行的直线方程为，代入得： ， 1:31l y x =-3y x b =+()0,2P 2b =32y x ∴=+故答案为： .32y x =+11．在数列中，是它的第_______项． 32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅712【答案】6【分析】根据题意，可得数列的通项公式，进而解＝可得的值，即可得答案． 12n n a n +=12n n +712n 【详解】根据题意，数列…中，其通项公式，32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅12n n a n +=令＝，解得，即是数列的第6项. 12n n +7126n =712故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题．三、双空题12．已知双曲线__________，渐近线方程是__________.2221(0)x y a a -=>=a 【答案】##0.5122y x =±【分析】由双曲线的离心率公式可求得a 的值，进而求得渐近线方程. 【详解】由题意知，，21b =所以c e a ====又因为， 0a >所以， 12a =所以双曲线方程为， 2241x y -=所以渐近线方程为. 2by x x a=±=±故答案为：，.122y x =±四、填空题13．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面α()2,2,1n =--()1,3,0A --α()2,1,4P -α的距离为__________. 【答案】23【分析】运用空间中点到面的距离公式计算即可.【详解】由题意知，，则，，(1,4,4)AP =- 2842AP n ⋅=-+=-||3n == 所以点P 到平面的距离为. α||23||AP n d n ⋅==故答案为：.2314．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2-6x -8y +m =0外切，则实数m 的值为___________. 【答案】9【分析】由圆心距等于半径之和求解．【详解】解析：圆C 2的标准方程为(x 3)2+（y 4）2=25-m .圆C 1：x 2+y 2=1，∴|C 1C 2|=5. --又∵两圆外切，∴m =9.故答案为：9．五、双空题15．等差数列满足，则__________，__________ {}n a 123412,4a a a a +=+=56a a +=10S =【答案】 -4 -20【分析】运用等差数列通项公式及其前n 项和公式的基本量计算即可. 【详解】因为为等差数列，设公差为，{}n a d 所以，解得：，121341212254a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩172a d =⎧⎨=-⎩所以，. 5612914184a a a d +=+=-=-101109107090202S a d ⨯=+=-=-故答案为：，.4-20-六、解答题16．已知抛物线经过点. 22(0)y px p =>()1,2(1)求抛物线的方程及其准线方程；C (2)过拋物线的焦点的直线交于两点，设为原点.当直线的斜率为1时，求的C F l C ,A B O l AOB A面积；【答案】(1)抛物线C 的方程为，准线方程为 24y x ==1x -(2)【分析】（1）根据已知条件求得p 的值，进而求得结果.（2）联立直线与抛物线方程得，，代入12y y +12y y 1|2AOB S OF =△果.【详解】（1）由题意知，，解得：， 222p =2p =所以抛物线C 的方程为，准线方程为.24y x ==1x -（2）由（1）知，，则直线l 方程为，设，，(1,0)F 1y x =-11(,)A x y 22(,)B x y ， 2214404y x y y y x=-⎧⇒--=⎨=⎩则，， 124y y +=124y y =-所以， 1212111||(||||)||||||222AOB AOF BOF S S S OF y y OF y y OF =+=+=⨯-==△△△故△AOB 的面积为17．已知圆：，若直线：与圆相交于两点，且C 222(0)x y r r +=>1l 20x y -+=C A B ，AB =．(1)求圆的方程；C (2)求过点且与圆相切的直线的方程． ()23P -，C 2l 【答案】(1) 224x y +=(2)或 512260x y ++=2x =【分析】（1）根据圆的弦长公式，得到，即可求得圆的方程； d =24r =C （2）当直线斜率不存在时，的方程为，满足题意；直线斜率存在时，设的方程为2l 2l 2x =2l 2l ，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，即可求解.()32y k x +=-2l k【详解】（1）解：设圆心到直线的距离为，则，即，1l d 222()2AB r d -=222d r =-又， d ==24r =故圆的方程为．C 224x y +=（2）解：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意； 2l 2l 2x =直线斜率存在时，设的方程为，即， 2l 2l ()32y k x +=-230kx y k ---=则圆心到直线，解得， 2l 2512k =-此时直线的方程为，即， 2l ()53212y x +=--512260x y ++=综上，直线的方程为或．2l 512260x y ++=2x =18．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -E 1BB（1）求的长；1D E （2）求异面直线与所成的角的余弦值； AE 1BC （3）求直线与平面所成的角的正弦值.AB 1AD E【答案】（1）；（23）.313【分析】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，结AD AB 1AAx y z 合向量的坐标运算，即可求解；（2）由（1）中的坐标系，得到，，结合向量的夹角公式，即可求解；()0,2,1AE =()12,0,2BC = （3）由（1）中的坐标系，求得和平面的一个法向量，结合向量的()0,2,0AB = 1AD E 11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭夹角公式，即可求解.【详解】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，AD AB 1AAx y z则，，()12,0,2D ()0,2,1E 3=所以的长为.1D E 3（2）由（1）的坐标系，可得，，，，()0,0,0A ()0,2,1E ()0,2,0B ()12,2,2C 所以，， ()0,2,1AE =()12,0,2BC = 设异面直线与所成的角为，AE 1BC θ所以cos cos ,AEθ= 即异面直线与AE 1BC （3）由（1）中的坐标系，可得，，，，()0,0,0A ()12,0,2D ()0,2,1E ()0,2,0B 则，， ()12,0,2AD =()0,2,1AE = 设平面的法向量为，1AD E (),,n x y z =由，得，令，得，100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 22020x z y z +=⎧⎨+=⎩1x =11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又由，()0,2,0AB =设直线与平面所成的角为，可得. AB 1AD E θ1sin cos ,3AB n AB n AB n θ⋅===即直线与平面所成的角的正弦值.AB 1AD E 13【点睛】求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.19．已知椭圆的离心率.22221(0)x y a b a b +=>>e =()0,1B （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆右顶点为，直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若有，A l B C A BA AC ⊥求直线方程.l 【答案】（1）；（2）.2214x y +=516y x =-+【解析】（1）由已知建立关于的方程组，解之可得椭圆的标准方程；a b c ，，（2）解法一：验证当直线斜率不存在时，不满足设直线，与椭圆的方程联立l BA AC ⊥l 1y kx =+整理得，求得C 点的坐标，由两直线垂直的条件可求得所求直线的斜率，从而()221480k x kx ++=得出方程；解法二：由两直线垂直的条件求得直线AC 的斜率得出直线与椭圆的方程2AC k ,=()22AC :y x =-联立，可求得点C 的坐标，从而求得直线l 的方程.，【详解】解：（1）由椭圆方程可知，椭圆焦点在轴，因为离心率.x e =0,1B（）所以 22212,b ca c a abc =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪=+⎪⎩所以椭圆的标准方程；2214x y +=（2）解法一：当直线斜率不存在时，，又椭圆右顶点为 l ()0,1C -()2,0A 此时，不满足.11122AB AC AB AC k ,k ,k k =-=⋅≠-BA AC ⊥因此设直线，，联立， l 1y kx =+()00,C x y ()22221148044y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩因为，所以， 0,1B （）2228141414k k C ,k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭因为，所以BA AC ⊥12AB k ,=-2AC k ,=即整理得 22142828AC k k ,k k-==---2121650k k ,++=解得：或者（与重合，舍）56k ,=-12k =-C A所以直线：； l 516y x =-+解法二：因为，所以因此设直线， BA AC ⊥12AB k ,=-2AC k ,=()22AC :y x =-联立， ()22222176460044y x x x x y ⎧=-⇒-+=⎨+=⎩设，又椭圆右顶点为，()00,C x y ()2,0A 所以，，即，所以 00603021717x x =⇒=0817y =-3081717C ,⎛⎫- ⎪⎝⎭56BC k ,=-因此直线：. l 516y x =-+【点睛】易错点点睛：在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，常常需设出直线的方程，此时，需考虑直线的斜率是否存在，容易遗漏直线不存在的情况.20．已知为等差数列的前项和，已知.n S {}n a n 122320,47a a S S +=-+=-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)令.求12..n n A a a a =++⋯+n A (3)令，前项和为，求(1)n n n b a =-n n T 2n T 【答案】(1)；213n a n =-(2)； 2212,161272,7n n n n A n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩(3).2n T n =【分析】（1）设公差为d ，后由题目条件结合等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式可得{}n a 答案；（2）由（1）可得，后分，两种情况求和即可得答案；n a 16n ≤≤7n ≥（3）注意到，据此可得答案.2122212n n n n b b a a --+=-=【详解】（1）设公差为d ，因，{}n a 122320,47a a S S +=-+=-则，则； 1112201154472a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=⎩⎩()11213n a a n d n =+-=-（2）由（1）可得. 212,n S n n =-132,16213,7n n na n n a a n n -=-≤≤⎧=⎨=-≥⎩则当时，； 16n ≤≤21212n n n A a a a S n n =----=-=- 当时，.7n ≥2678621272n n n A S a a a S S n n =-+++=-=-+ 故； 2212,161272,7n n n n A n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩（3）由（1）可得，. ()()1213n n b n =-⋅-2122212n n n n b b a a --+=-=则 12322212n n n n T a a a a a a --=-+-++-+ ()()()21432212n n a a a a a a n -=-+-++-=。

2022-2023学年天津市和平区高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（ ）20x +=A ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】A【分析】由斜率为倾斜角的正切值及倾斜角的范围求得倾斜角.【详解】设倾斜角为，直线α20x +=，tan α∴=0π,α≤< π6α∴=故选：A.2．已知等比数列中，，则（ ）{}n a 432a =62a=5a =A ．8B ．C ．16D ．8±16±【答案】B【分析】利用等比中项的性质即可求解.【详解】因为等比数列中，，{}n a 432a =62a=由等比中项的性质可得：，所以，254664a a a =⋅=58a =±故选：.B 3．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）ABC ()1,5A --()2,4B ()5,5C -ABC A ．B ．2242200x y x y +---=2242200x y x y ++--=C ．D ．2242200x y x y +-+-=2242200x y x y +++-=【答案】C【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.【详解】设所求圆方程为,220x y Dx Ey F ++++=因为，，三点都在圆上，()1,5A --()2,4B ()5,5C -所以，解得，26502024050550D E F D E F D E F --+=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩4220D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩即所求圆方程为：.2242200x y x y +-+-=故选：C.4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，{}n a 11a =，，…，且满足，则第六层球的个数为（ ）23a =36a =1n n a a n -=+()2n ≥6a A ．28B ．21C ．15D ．10【答案】B【分析】利用递推公式进行累加法求解.【详解】由题意得，，，，，212a a -=323a a -=434a a -=545a a -=656a a -=以上式子累加可得，612345620a a -=++++=因为，所以，11a =621a =故选:B.5．已知直线与圆交于，两点，则线段的长度为（ ）3450x y +-=224x y +=M N MN AB ．2C．D．【答案】C【分析】先求出圆心到直线的距离，然后根据弦的一半，圆心到直线的距离，:3450MN x y +-=半径构成直角三角形，用勾股定理解决.【详解】的圆心为，半径224x y += ()0,02r =圆心到直线，则()0,0:3450MN x y +-=515=.=故选：C6．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）{}n a n n S 510S =1030S =20S =A ．40B ．70C ．90D ．100【答案】D【分析】利用等差数列的前项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解.n 【详解】设等差数列的首项为，公差为，{}n a 1a d 因为，，所以，解得：，510S =1030S =1154510210910302a d a d ⨯⎧+⨯=⎪⎪⎨⨯⎪+⨯=⎪⎩16525a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，2012019622020190100255S a d ⨯=+⨯=⨯+⨯=故选：.D 7．已知正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ）1111ABCD A B C D -A 11B D C AB ．CD ．1323【答案】C【分析】根据正四面体顶点到底面之间的距离即可.【详解】如图所示三棱锥11A B D C -所以1AB =123OB =故点到平面的距离为A 11B DC OA ==故选：C8．已知双曲线C ：的焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为22221(0,0)x y a b a b -=>>3：1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．y =±y =y =y =【答案】A【分析】根据相似三角形，直接得到，计算渐近线的斜率.3c a =【详解】如图，可知焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，即，3ca =b a ==所以双曲线的渐近线方程为.y =±故选：A.9．已知是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若是圆：P 24y x =P 3x =-H Q C 上任意一点，则的最小值是（ ）()()22331x y ++-=PQ PH+A ．B ．4C ．5D ．61【答案】D【分析】画出抛物线 的焦点和准线，利用抛物线的几何性质将 转化为24y x =PQ PH +C ，P ，F 之间的距离之和，根据三点共线求得最小值.【详解】抛物线 的焦点是 ，准线方程是 ，PH 与准线的交点是 ，24y x =()1,0F =1x -1H圆C 的半径为 ，圆心为 ，1r =()3,3C -依题意作下图：由图可知：，1PQ PC r PC ≥-=- ，111211PQ PH PC PH HH PC PF PC PF ∴+≥-++=++-=++当C ，P ，F 三点共线时最小 ，PC PF+5== 的最小值是6；PQ PH∴+故选：D.二、填空题10．抛物线：的焦点坐标为______.C 28y x =【答案】()2,0【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.【详解】由已知，所以28y x =4p =故 ，所以焦点坐标为： 22p=()2,0故答案为：()2,011．已知，若直线：与直线：相互垂直，则______.a ∈R 1l10ax y ++=2l ()120x a y +-+==a 【答案】##120.5【分析】根据直线垂直的充要条件列出方程，解之即可求解.【详解】因为直线：与直线：相互垂直，1l10ax y ++=2l ()120x a y +-+=所以，解得：，(1)0a a +-=12a =故答案为.1212．在等差数列中，若，则______.{}n a 35715a a a ++=8112a a -=【答案】5【分析】根据等差数列的性质由可得：，再利用等差数列的通项公式可得35715a a a ++=55a =，进而求解.8111524a a a d a -=+=【详解】设等差数列的首项为，公差为，{}n a 1a d 因为，由等差数列的性质可得：，35715a a a ++=35755315,5a a a a a ++===又，所以，81111152214104a a a d a d a d a -=+--=+=81125a a -=故答案为：.513．若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成111ABC A B C -D 11A C AD 1B DC 角的余弦值为______.【答案】##0.635【分析】利用空间向量的坐标运算求解线面角即可.【详解】如图，取中点，连接,AC O ,OB OD 则有,,,OD OB OD OC OB OC ⊥⊥⊥所以以为轴正方向建系如图，设,,,OB OC OD,,x y z 2AB =则,1(0,1,0),(0,0,2),2),(0,1,0)A DBC -1(0,1,2),(0,1,2),AD DB DC ===-设平面的法向量为，1B DC (,,)m x y z =则有，令则，1020DB m DC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩2,y =1,0z x ==所以，(0,2,1)m = 设直线与平面所成角为，AD 1B DC θ则，4sin cos ,5AD m AD m AD m θ⋅=<>==因为，所以π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3cos 5θ=故答案为: .3514．设双曲线（，）的左焦点为，过作直线与圆相切于点，22221x y a b -=0a >0b >1F 1F l 222x y a +=T 与双曲线的一条渐近线交于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为______.l Q T 1FQ【答案】2【分析】设双曲线的右焦点为，由题可得，结合条件可得，进而2F 22QF a=(),Q a b 即得.222c b a b ⋅=⋅【详解】由题可得如图双曲线，设双曲线的右焦点为，2F 因为为线段的中点，O 为中点，T 1FQ 12F F 所以，221//,2OT QF OT QF =又，则，1OT QF ⊥12QF QF ⊥由，则，，OT a=22QF a=12QF b=所以，又，1212OQ F F c ==2tan b QOF a ∠=所以，(),Q a b 在中，，12Rt QF F 222c b a b ⋅=⋅所以，即.2c a =2e =故答案为：2.三、解答题15．已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.{}n a n n S d 321S=1a 21a +7a (1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和.15n n a a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)5n 3n a =-(2)5104n n +【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；(2)利用裂项相消求和.【详解】（1）因为，所以，313321S a d =+=17a d +=又因为，，成等比数列，所以，1a 21a +7a ()22171a a a +=即，所以，()2211116a d a a d++=+211664a a d +=联立解得，12117664a d a a d +=⎧⎨+=⎩125a d =⎧⎨=⎩所以.15(1)53n a a n n =+-=-（2）由（1）可得，()1551153(52)5352n n a a n n n n +==--+-+所以.111111277412111155352221217510n T n n n n n ⎭⎛-⎫-=-= ⎪-+++⎝⎭⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝16．如图，在四棱雉中，平面，，且，P ABCD -PA ⊥ABCD AB CD ∥1AB =，，，为的中点.2CD =BC =1PA =AB BC ⊥N PD(1)求证：∥平面；AN PBC (2)求平面与平面夹角的余弦值.PDC PBC 【答案】(1)证明见详解(2)余弦值为23-【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明相面平行.（2）利用向量法即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）如图所示取中点为，连接，.PC M NM MB 所以∥且NM 12DC 12NM DC=又因为∥且AB 12DC 12AB DC=所以∥，，所以四边形为平行四边形.NM AB NM =AB NMBA 所以∥，又因为平面，平面AN BM AN ⊄PBC BM ⊂PBC 所以∥平面.AN PBC （2）如图所示取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴DC E A AE x AB y AP z 建立空间直角坐标系，所以，，，，()0,0,0A ()0,0,1P ()0,1,0B ()1,0D-()C 设平面的法向量为，因为，PBC (),,m x y z = ()0,1,1BP =-()BC = 则 所以令，得·=0·0BP m y z BC m ⎧-+=⎪⎨==⎪⎩1y =()0,1,1m = 设平面的法向量为，因为，PDC (),,n a b c =()1,1PD =-- ()0,2,0DC = 则 所以令·0·20PD n b c DC n b ⎧--=⎪⎨==⎪⎩a =)4n = 所以2cos ,3m n m n m n===⋅又因为平面与平面夹角为钝角PDC PBC 所以平面与平面夹角的余弦值为PDC PBC 23-17．已知椭圆的右顶点为A ，下顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为22221x y a b +=()0a b >>1B 2B ，且.1AB =(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的直线与椭圆相交于点（不在坐标轴上），当时，求的面积.1Bl P 122B B B P=12B B P △【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）根据离心率，等列出方程组，利用待定系数法求出椭圆方程；1AB =（2）得到点为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点（不在坐标轴上），从而P ()20,1B 1222B B b ==联立圆与椭圆方程，求出点坐标，从而利用求出答案.P 1212112B B P S B B x =⋅ 【详解】（1）由题意得：，故()()1,0,0,A a B b-1AB ==又，解得：，c a=222c a b =-2223,4,1c a b ===故椭圆的标准方程为；2214x y +=（2）因为，122B B B P=所以点为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点（不在坐标轴上），P ()20,1B 1222B B b ==其中以为圆心，为半径的圆的方程为，2B 122B B =()2214x y +-=联立与，得：，()2214x y +-=2214x y +=23210y y +-=解得：或，其中时，点位于y 轴上，不合题意，舍去；113y =21y =-21y =-20x =P 当时，，解得：，113y =211149x +=1x =故1212111222B B P S B B x =⋅=⨯= 18．数列的前项和为，且，数列满足，{}n a n n S ()2*n S n n N =∈{}n b 12b =.()*1322,n n b b n n N -=+≥∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求证：数列是等比数列；{}1n b +（3）设数列满足，其前项和为，证明：.{}n c 1nn n a c b =+n n T 1n T <【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.()*21n a n n N =-∈【解析】（1）当时，.检验，当时符合，2n ≥221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-1n =11211a ==⨯-即可得解；（2）当时，根据，即可得证；2n ≥()111311311n n n n b b b b ---++==++（3）利用错位相减法可得：，即可得证.11(1)3nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【详解】（1）当时，.1n =111a S ==当时，.2n ≥221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-检验，当时符合.1n =11211a ==⨯-所以.()*21n a n n N =-∈（2）当时，，2n ≥()111113113213111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++而，113b +=所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3.{}1n b +（3）由（1）（2）得，11333-+=⋅=n n n b ，211(21)133n n n n n a n c n b -⎛⎫===- ⎪+⎝⎭所以1231n n nT c c c c c -=+++++ ①23111111135(23)(21)33333n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②2341111111135(23)(21)333333n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由①-②得12342111111(21)23333333n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2111113311(21)213313n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=--⋅+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭11111(21)3333n nn +⎛⎫⎛⎫=--⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2221333nn +⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以.11(1)3nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为，1(1)03n n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以.1n T <【点睛】本题考查了利用和的关系求通项，构造法证明等比数列，以及错位相减法求和，是n S n a 数列基本方法的考查，属于基础题.。

2022-2023学年天津市河东区高二上学期期末数学试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的焦点坐标是（ ）A ．(0,1)±B ．(1,0)±C ．(0,D ．(【答案】D【分析】根据双曲线方程可得,a b ，然后根据222c a b =+可得c ，最后得出结果.【详解】由题可知：双曲线的焦点在x 轴上，且a b ==，所以222c a b c =+⇒=所以双曲线的焦点坐标为( 故选：D2．抛物线22y x =-的准线方程为（ ） A ．=1x - B ．1x =C ．12x =-D ．12x =【答案】D【分析】由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及p 的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，抛物线的标准方程为22y x =-， 则其焦点在x 轴负半轴上，且1p =， 则其准线方程为12x =， 故选：D.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线标准方程的形式． 3．等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则其标准方程为（ ） A ．22199x y -=B ．22199y x -=C ．2211818y x -=D ．2211818x y -=【答案】D【分析】根据等轴双曲线，可得a=b ，根据交点坐标，可求得c 值，根据a ，b ，c 的关系，即可得答案.【详解】∵等轴双曲线的一个焦点为()16,0F -，∴6c =，且a=b ， 又222c a b =+，∴2236a =，即218a =，∴双曲线的标准方程为2211818x y -=．故选：D4．已知抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，则其焦点坐标为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由抛物线的定义可求p 的值，进而可求焦点坐标.【详解】解：抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，∴由抛物线的定义知322M p y +=，即3122p +=，所以1p =，所以122p =，∴抛物线的焦点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A.5．若点()1,2P 在双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线上，则它的离心率为（ ）AB ．2 CD．【答案】C【分析】将点P 的坐标代入双曲线的渐近线方程，求出a 的值，可得出c 的值，由此可求得双曲线的离心率.【详解】双曲线2221x y a-=的渐近线方程x y a =±，因为点()1,2P 在双曲线2221x y a -=的一条渐近线上，所以12a =，所以12a =，则c ==，因此，该双曲线的离心率为212ce a===故选：C.6．下列四个数中，属于数列{(1)}n n +中的一项是（ ） A ．380 B ．392C ．321D ．232【答案】A【分析】分别令选项中的数值等于(1)n n +，求出n 是自然数时的这一项，即可得到答案． 【详解】由题意，令(1)380n n +=，解得19n =，所以A 是正确的；再令()()()1392,1321,1232n n n n n n +=+=+=均无整数解，所以B 、C 、D 都不正确，故选：A ．7．已知等比数列{}n a ，满足22213log log 1a a +=，且568916a a a a =，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．12C ．2±D ．12±【答案】B【分析】利用对数运算性质可得2132a a =且213,0a a >，从而0q >，由等比数列性质有629132a a a a ==，所以588a a =，52698a a a a q =即可求公比. 【详解】令{}n a 公比为q ，由()2221322132log log log 12log a a a a +===， 故2132a a =且213,0a a >，所以111320a a q =>，则0q >，又629132a a a a ==，568916a a a a =，则588a a =， 所以58256958814a a a q a q q a a a a ⨯===， 综上，12q =. 故选：B.8．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．42【答案】D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D.9．九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 ()*39n a n n ∈N ，为解下n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且122n n n a a --=+，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ）A ．30B ．90C ．170D ．341【答案】C【分析】根据122n n n a a --=+，逐个代入2,4,6,8n n n n ====，即可求解.【详解】由题，753386644222222a a a a a a =+=+=+=+，，，所以35782222170a =+++=.故选.：C二、填空题10．设12,F F 为双曲线22:194x y C -=的左､右焦点，P 为双曲线C 上一点，且14PF =，则2PF =__________．【答案】10【分析】由双曲线标准方程找出,a b 的值，在利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程知：3,2a b ==，P 为双曲线C 上一点，且14PF =，所以由双曲线的定义得：1226PF PF a -==， 即246PF -=，所以210PF =或22PF =-（舍去）， 故答案为：10.11．已知数列{}n a 满足()*1124613522,N ,12,9n n n a a a n n a a a a a a -+=+≥∈++=++=，则25a a +等于____．【答案】7【分析】由()*1122,N n n n a a a n n -+=+≥∈，变形11n n n n a a a a -+--=得出数列{}n a 为等差数列， 再结合等差数列的性质求解即可.【详解】因为()*1122,N n n n a a a n n -+=+≥∈，所以11n n n n a a a a -+--=， 所以数列{}n a 为等差数列， 由24613512,9a a a a a a ++=++= 所以24613521a a a a a a ++++=+， 即()()()25436121a a a a a a +++++=，由等差数列的性质有：254361a a a a a a =+=++， 所以257a a +=. 故答案为：7.12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*121n n a S n +=+∈N ，则5a =__________．【答案】81【分析】根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的公比，再求出11a =，即可求解.【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*121n n a S n +=+∈N ，当2n ≥时，121n n a S -=+，∴12n n n a a a +=-，∴13n n a a +=，故等比数列{}n a 的公比为3．令1n =，可得2121a a =+，∴11a =，则45181a a q ==．故答案为：81．13．已知数列{}n a 满足()*111,3n n n a a a n +==+∈N ，则{}n a 的通项公式n a =__________．【答案】312n - 【分析】由题意得出13nn n a a +-=，利用累加法可求出n a .【详解】数列{}n a 满足11a =，13n n na a +=+，*n ∈N ，13n n n a a +∴-=，因此，()()()211213211333n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++113331132n n --⨯-==-. 故答案为：312n -. 14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于,A B 两点，且AB 4=，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于,M N 两点，给出下列命题：①若直线l8MN =； ②2MF NF +的最小值为3+③若以MF 为直径的圆与y轴的公共点为⎛ ⎝⎭，则点M 的横坐标为32； ④若点()2,2G ，则GFM △周长的最小值为4．其中真命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填在横线上）． 【答案】②③④【分析】首先求出抛物线的解析式，设出,M N的坐标，联立进行求解，当m 时，16MN =进而判断①错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断②；画出大致图像，过点M 作准线的垂线，垂足为M '，交y 轴于1M ，结合抛物线的定义判断③；过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，利用抛物线的性质判断④即可.【详解】由圆和抛物线的对称性可知点(1,2)在抛物线2:2C y px =上， 所以222p =解得2p =，所以2:4C y x =，(1,0)F ， 设直线:1l x my =+，于24y x =联立得2440y my --=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，所以124y y m +=，124y y =-，所以()21241MN y m =-==+，当m 时，16MN =，①错误；()()()2121222121212121242111144111144316m y y x x m MF NF x x x x x x m y y m y y ++++++=+====+++++++++，则()211223322NF MF MF NF MF NF MF NF MF NF ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当12MF =+，212NF =+时等号成立，②正确； 如图，过M 作准线的垂线，垂足为M '，交y 轴于1M ，取MF 中点为D ，过D 作y 轴的垂线，垂足为1D ， 则1MM OF ∥，1DD 为梯形1OFMM 的中位线， 由抛物线的定义可得111MM MM M M MF =-='-'， 所以1111222OF MM MF MF DD ++-===，所以以MF 为直径的圆与y 轴相切，所以点6⎛ ⎝⎭为圆与y 轴的切点，所以D 6 又D 为MF 中点，所以M 6又点M 在抛物线上，所以M 点横坐标为32，③正确；过过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，所以GFM △的周长为5535MG MF GF MG MM GH '++=+≥ 当且仅当点M 的坐标为(1,2)时取等号，④正确； 故答案为：②③④三、双空题15．设等差数列{}n a 满足11a =，()0*n a n >∈N ，其前n 项和为n S ，若数列{}n S 也为等差数列，则n a =______；102n nS a +的最大值是______.【答案】 21n - 121【分析】设等差数列{}n a 的公差为d，则1d ，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得n a ，10n S +，进而得出． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d，则∴1=2d =，21n a n ∴=-210(10)(9)(10)12(10)2n n n S n n +++∴=+⨯+⨯=+，22(21)n a n =-． ∴2221022121(21)(10)12122[](1)(21)(21)421n n n S n a n n n +-++===+---， 令21021t n =>-，则21021(1)4n n S t a +=+，在0t >时单调递增，2121t n =-单调递减， 所以，当1n =时该式最大，此时102n n S a +的为121．故答案为：21n -；121.四、解答题16．已知双曲线的方程为2244x y -=，写出它的顶点坐标､焦点坐标､实半轴长､虚半轴长与渐近线方程．【答案】顶点坐标()1,0-和()1,0，焦点坐标()和)，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为2y x =±【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质.【详解】双曲线的方程为2244x y -=化为标准方程2214y x -=则1a =，2b =，c =所以双曲线的顶点坐标为()1,0-和()1,0，焦点坐标为()和)，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为2y x =±17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12F F ､，左右顶点分别是,A B ．(1)若椭圆C 上的点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭到12,F F 两点的距离之和等于4，求此椭圆C 的方程；(2)若P 是椭圆C 上异于,A B 的任一点，记直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ､，且1212k k ⋅=-，试求椭圆C 的离心率． 【答案】(1)22143x y += (2)椭圆C【分析】（1）根据椭圆的定义先确定a 的值，再将点M 坐标代入方程得2b ，即可得到椭圆的标准方程；（2）设点P 坐标为0(x ,0)y ，化简得222202()b y a x a =-，得到2212b a =，从而求出离心率．【详解】（1）解：椭圆C 上的点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭到12,F F 两点的距离之和等于4，所以242a a =⇒=， 将点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭坐标代入方程22214x y b+=，得23b =， 所以所求方程为22143x y +=； （2）解：设点P 坐标为0(x ,0)y ，则2200221x y a b+=，所以222202()b y a x a =-， 又(,0)A a -、(,0)B a ，∴22222200012222220000()b a x y y y b a k k x a x a x a x a a-⋅=⋅===-+---， 又1212k k ⋅=-，所以2212b a =，即a =，又222a b c =+，所以c b =所以椭圆的离心率c e a === 18．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，数列{}n b 是公比为2的等比数列，2a 是1a ，5a 的等比中项，333b a -=，112b a =. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b 的前n 项和n S .【答案】(1)21,2nn n a n b =-=(2)()12326n n S n +=-+【分析】（1）根据2a 是1a ，5a 的等比中项，且333b a -=，112b a =，由()()()21111143,82a d a a d a a d -+=⋅+=+求解；（2）由（1）得到()212nn n a b n -⋅=，再利用错位相减法求解.【详解】（1）解：因为2a 是1a ，5a 的等比中项，且333b a -=，112b a =， 所以()()()21111143,82a d a a d a a d -+=⋅+=+， 解得1a 1,d 2，12b =，所以21,2nn n a n b =-=；（2）由（1）得()212nn n a b n -⋅=， 所以()23123252...212nn S n =⋅+⋅+⋅++-⋅， 则()23412123252...212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，两式相减得()()2312222...2212n n n S n +-=++++--⋅，()()2112122221212n n n -+⎡⎤-⎢⎥=+--⋅-⎢⎥⎣⎦，()13226n n +=--，所以()12326n n S n +=-+.19．已知23P ⎛ ⎝⎭是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>与抛物线E ：()220y px p =>的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F . (1)求椭圆C 及抛物线E 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为34-（注：O 为坐标原点），点M是线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求BM MN的值.【答案】(1)22143x y +=；24y x = (2)53【分析】(1)结合已知条件求出抛物线方程，并求其焦点，然后可得221a b -=，再将点P 代入椭圆方程即可求解；(2) 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,N x y ，()0BNBM λλ=>，然后利用向量用A 和B 点坐标表示出N 点坐标，并将N 点代入椭圆方程并化简整理，再结合OA ，OB 斜率之积为34-即可求解.【详解】（1）∵23P ⎛ ⎝⎭是抛物线E ：()220y px p =>上一点， ∴2p =，即抛物线E 的方程为24y x =，焦点()1,0F ，∴221a b -=，又∵23P ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：22221x y a b +=上，∴2248193a b +=， 结合221a b -=知23b =，24a =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，抛物线E 的方程为24y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,N x y ，()0BNBM λλ=>，∵点M 是线段OA 的中点，∴11,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1122,22x y BM x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3232,BN x x y y =--，BN BM λ=， ∴()11323222,,22x y x x y y x y λ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， ()()3123121212x x x y y y λλλλ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩∵点()33,N x y 在椭圆C 上， ∴()()2212121122143x x y y λλλλ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+= ∴()()222222112212121114434343x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∵点()()1122,,A x y B x y ，在椭圆C 上，又∵OA ，OB 斜率之积为34-， ∴2211143x y +=，2222143x y +=，1212043x x y y +=，∴()22114λλ+-=，∴2580λλ-=，∴85λ=或0λ=（舍）， ∴85BN BM =，∴53BM MN =. 20．已知数列{}n a 满足：12a =，()()()31121n n na n n a n +++=+++． (1)证明：数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是等差数列； (2)设()122n n nn n b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)证明见解析 (2)()111212n n S n +=-+⋅【分析】(1)先根据递推公式的特征，将其整理变形为 ()()()2111(1)(2)(2)12n n n a a n n n n n n n n +++=++++++，再移项即可证明； (2)由（1）可得：()21n a n n =+，所以()111212n n n b n n +=-⋅+⋅，利用裂项求和的方法即可求解. 【详解】（1）将()()()31121n n na n n a n +++=+++两侧同除()()12n n n ++， 可得()()()2111(1)(2)(2)12n n n a a n n n n n n n n +++=++++++，()()()()21211212n n a a n n n n n n n n ++-==++++， 又因为1112a =⨯， 即数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为1，,公差为1的等差数列． （2）由（1）可知，()()111112n a a n n n n =+-⨯=+⨯，即()21n a n n =+， 则()()()()121122112112212n n n n n n n n b n n n n n n +++++===-⋅++⋅+⋅， ()1223111111112222232212n n n S n n +=-+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅ ()111212n n +=-+⋅.。

2022-2023学年天津市滨海新区塘沽第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）一､选择题1. 若直线过点（1，2），（4，2），则此直线的倾斜角是（） A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A 【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为． k ==30︒故选：A ．2. 三棱锥O ﹣ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且＝，＝，＝OAaOB b OCc，用，，表示，则等于（ ）a b cNM NMA. B. ()12a b c -++ ()12a b c +- C. ） D. ()12a b c -+ ()12a b c --+ 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】 ()1122OM ON O NM A OB OC =-=+-. ()11112222OA OB OC a b c =+-=+-故选：B3. 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若平面β(2,1,)m z =- α(4,2,2)n =--平面，则实数的值为（）β⊥αzA. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据计算得解.0m n ⋅=【详解】因为平面平面，，即，所以，解得：β⊥αm n ∴⊥ 0m n ⋅=8220z +-=.5z =故选：C.4. 已知等差数列的前项和为，且，则的值为（） {}n a n n S 2121S =616a a +A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，可得与的关系n 2121S =616a a +式，即可求得结果.【详解】根据等差数列前项和公式得，n ，由等差数列的性质可知()12121212a a S +=121616a a a a ++=所以()6162121212a a S +==即． 6162a a +=故选：B.5. 下列求导运算正确的是（） A. B.()ln x x '=()sin cos 55ππ'=C. D.()cos sin x x '=()ln xxa aa '=()0,1a a >≠【答案】D 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.【详解】，A 项错误；因为是个常数，所以，B 项错误；()1ln x x '=πsin 5πsin 05'⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 项错误；，D 项正确. ()cos sin x x '=-()ln x x a a a '=()0,1a a >≠故选：D.6. 如图，在直三棱柱中，已知，D 为的中点，111ABC A B C -AB AC ⊥1CC，则，所成角的余弦值是（）1AB AC AA ==1AB 1ADB.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算，，根据向量的夹角()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-公式计算得到答案.【详解】以A 为原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所AB AC1AA 示的空间直角坐标系，设，则，，，2AB =()0,0,0A ()12,0,2B ()10,0,2A ()0,2,1D ，所以，，设，所成的角为，()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-1AB 1A D θ则． 1111cos AB A D AB A Dθ⋅===故选：C7. 已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于1F 2F E 221812x y +=1Fk l E ，两点，则的周长为（）M N 2MNF A. 8B.C. D. 与有k关 【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆：可求得a ，由椭圆的定义可得，E 221812x y +=122MF MF a +=，并且，进而即可求得的周长．122NF NF a +=11MN MF NF =+2MNF【详解】由椭圆：，则，即，E 221812x y +=2=12a a又椭圆的定义可得，122MF MF a +=122NF NF a +=，11MN MF NF =+所以的周长为2MNF．()()2222112=++=MNF C MF MN NF MF MF NF NF +++=+= 故选：C ．8. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆C ()222210,0x y a b a b -=>>y x =有公共焦点，则的方程为（）221156x y +=C A.B.221810x y -=22145x y -=C.D. 22154x y -=22143x y -=【答案】C 【解析】【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的渐近线及焦点坐标得到方程组，解得、2a ，即可得解.2b 【详解】解：椭圆的焦点为，221156x y +=()3,0±又双曲线：的一条渐近线方程为，C ()222210,0x y a b a b -=>>y x =所以，解得，所以双曲线方程为. 2223ba c c ab =⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2254a b ⎧=⎨=⎩22154x y -=故选：C9. 已知等差数列的通项公式为，则其前n 项和取得最大值时，n 的值{}n a 92n a n =-n S （） A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】【分析】求出首项，求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案. n S 【详解】由题意等差数列的通项公式为，则， {}n a 92n a n =-1927a =-=故，2(792)(4)162n S n n n +-==--+即当时，取得最大值，即取得最大值时，n 的值是4， 4n =n S n S 故选：C.10. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第3个数应为（） A.B.C.D.1421323132162【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可．【详解】根据题意，不妨设这13个数组成依次递增的等比数列为，公比为， {}n a q 则，所以，即， 1131,2a a ==121312a qa ==1122q =所以新插入的第3个数为．31131244122a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选：A11. 已知数列满足，则（） {}n a ()1111,,2n n a n a n a n --==≥n a =A. B.C.D.n 1-11n -n 1n【答案】D 【解析】【分析】利用累乘法即可求得.n a 【详解】因为， ()11,2n n a n n a n--=≥所以， 32121121,,23n n a a a n a a a n--=== 上述各式相乘得，11n a a n=因为，所以， 11a =1n a n =经检验，满足， 11a =1n a n=所以. 1n a n=故选：D.12. 已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与2:4C y x =,F N C N FN C 的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段M M x C P 2MN NF =的长度为（）PF A. 4 B.C. 2D.【答案】 A 【解析】【分析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解.【详解】根据题意作出函数图像，过点N 作准线l 的垂线， 由抛物线的定义知，NF NH =又，所以，所以，2MN NF =2MN NH =30NMH ∠= 又与轴平行，所以MP x 60FMP ∠= 由抛物线的定义知，所以三角形为等边三角形， PM PF =FMP 所以， 2(2)4242pFP MF OF p ===⨯==故选: A .二､填空题13. 抛物线的焦点坐标是______． 24y x =【答案】 (1,0)【解析】【详解】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点24y x =x 2,12pp =∴=24y x =坐标为，故答案为.()1,0()1,014. 设函数在处的导数为2，则__________.()f x 1x =0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆【答案】2 【解析】【分析】根据导数的定义即得.【详解】因为函数在处的导数为2，即， ()f x 1x =()12f '=所以，()()11limx f x f x∆→+∆-∆()21f '==故答案为：2.15. 已知，若三向量共面，则实数(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-,,a b c λ=_____. 【答案】 1-【解析】【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值. λ【详解】由题意可知，存在实数满足：，,m n c ma nb =+据此可得方程组：，求解方程组可得：.325432m n m n m n λ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩故答案为．1-【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 已知双曲线的右焦点，则22221(0,0)x y a b a b -=>>(),0F c 其离心率为_______. 【答案】2 【解析】【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式建立的等式,,a b c 计算作答【详解】双曲线的渐近线为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，即， by x a=±0bx ay ±=由右焦点， (),0F c， =即， b c =解得，2b =即， 2243b c =又，222+=a b c 所以，()2222222243444c c a c c a e a-=⇒=⇒=⇒=所以双曲线的离心率为2， 故答案为：2.17. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中O P 22:810210C x y x y +--+=OP 点的轨迹方程为__________.M 【答案】225(2)52x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】设出中点坐标，圆上的点，由中点坐标公式把P 的坐标用M(,)M x y ()00,P x y的坐标表示，代入圆的方程得答案. 【详解】设点，点，(,)M x y ()00,P x y 则所以 000,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩002,2.x x y y =⎧⎨=⎩因为点在圆上， ()00,P x y 22:810210C x y x y +--+=所以，220000810210x y x y +--+=所以， 22(2)(2)8(2)10(2)210x y x y +-⨯-⨯+=所以点M 的轨迹方程为 22214504x y x y +--+=即，225(2)52x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭故答案为：.225(2)52x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭18. 已知圆：与圆：相交，则两个圆的公共1C 2210x y +=2C 2222140x y x y +++-=弦方程为______，则两圆的公共弦长为______． 【答案】 ①.②.20x y +-=【解析】【分析】第一空：直接将两圆联立做差可得公共弦方程； 第二空：利用垂径定理可得公共弦长.【详解】由圆：①与圆：②， 1C 2210x y +=2C 2222140x y x y +++-=②①得，即 -221410x y +-=-20x y +-=即两个圆的公共弦方程为；20x y +-=两圆的公共弦长即为圆：与相交产生的弦长1C 2210x y +=20x y +-=则弦长为.=故答案为：；20x y +-=19. 若空间中有三点，则到直线的距离为()()()1,1,1,0,1,1,1,2,0A B C -A BC __________；点到平面的距离为__________.()1,2,3P ABC【答案】 ①.②.【解析】【分析】根向量夹角的余弦值和同角三角函数基本关系式可以求出第一空，根据点到平面的距离公式即可求出第二问.【详解】, (1,1,1)BC =-,()1,0,2BA =-所以，BC ==BA ==所以cos ,BA BC BA BC BA BC⋅====⋅所以 cos ABC ∠=所以sin ABC ∠==则到直线的距离为ABC sin BA ABC ⋅∠==设平面的法向量为，ABC (,,)n x y z =所以， (,,)(1,0,2)20(,,)(1,1,1)0n BA x y z x z n BC x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩令，1z =解得，211x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以， (2,1,1)n =-，(0,1,4)PA =--所以点到平面. ()1,2,3PABC=故答案为：.20. 已知数列的通项公式为，为数列的前n 项和，则使得{}n a ()1(31)nn a n =--n S {}n a 的n 的最小值为___________.35n S ≤-【答案】23 【解析】【分析】根据数列通项公式的特点，分奇偶讨论，利用并项求和表示其前n 项和{}n a n S ，再解不等式求得结果.【详解】当n 为奇数时，，13(3)n n a a n -+=-≥，123451331()()()2(1)222n n n a a a a a a a n n S -=+++++⋅⋅⋅++=---=--由解得； 313522n --≤-23≥n 当n 为偶数时，，13(2)n n a a n -+=≥，不合题意，舍去； 123413()()()02n n n a a a a n S a a -=++++⋅⋅⋅++=>综上n 的最小值为23. 故答案为：23．三､解答题21. 已知圆经过和两点，且圆心在轴正半轴上. C ()3,0A ()2,1B x （1）求圆的方程.C （2）从点向圆作切线，求切线方程 ()3,2C 【答案】（1）； ()2221x y -+=（2）或. 3x =3410x y --=【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】因为圆的圆心在轴正半轴上，C x 所以设圆的标准方程为，C ()222(0,0)x a y r r a -+=>>因为圆经过和两点，C ()3,0A ()2,1B所以； ()()222222302121a r a r a r⎧-+==⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩()2221x y ⇒-+=【小问2详解】设过点的直线为，()3,2l 由（1）可知：圆的圆心为，半径为1，C ()2,0当直线不存在斜率时，方程为，圆心到直线的距离为1等于半径， l 3x =()2,03x =所以直线是该圆的切线；3x =当直线存在斜率时，设为，方程为，l k 2(3)230y k x kx y k -=-⇒-+-=因为直线，l 314k ⇒=即直线的方程为：， l 33230341044x y x y -+-⨯=⇒--=综上所述：切线方程为或.3x =3410x y --=22. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的1111ABCD A BC D -E 1DD F 11C D 中点．（1）求证：平面1B F 1A BE （2）求直线和平面所成的角的正弦值． BE 11A C E （3）求平面与平面夹角的余弦值． 1A BE 11A C E【答案】（1）证明见解析 （2（3【解析】【分析】以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空A AB AD 1AA x y z间直角坐标系．用向量法判定线面平行以及求空间角 【小问1详解】以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐A AB AD 1AA x y z 标系．依题意，得，()()()11,0,0,0,1,,0,0,0,0,1,02B E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设面的法向量，()1111,0,1,0,1,2A B A E ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 1A BE ()1111,,x n y z = ，所以，取，得 111100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11110102x z y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩12z =()12,1,2.n = 因为，11,1,02B F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以．所以．111100B F n ⋅=-++= 11B F n ⊥ 又面． 1B F ⊄1A BE 所以面．1B F 1A BE 【小问2详解】，()11111,1,0,0,1,2AC A E ⎛⎫==- ⎪⎝⎭设面的法向量，11A C E ()2222,,n x y z =，所以， 1121200A C n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22220102x y y z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩取，得． 22z =()21,1,2n =-因为，11,1,2BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以．222cos ,BE n BE n BE n ⋅==∣所以直线和平面． BE 11A C E 【小问3详解】由（1）､（2）可得，121212cos ,n n n n n n ⋅===∣∣所以平面与平面1A BE 11A C E 23. 已知正项等差数列与等比数列满足，且既是和{}n a {}n b 121,4a b ==2a 11a b +33b a -的等差中项，又是其等比中项. （1）求数列和的通项公式.{}n a {}n b （2）求数列的前项和.11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S （3）设，记的前项和.若对于且()112n n n c a b =+{}n c n n T 2(1)2n t n T -+≤2n ≥*N n ∈恒成立，求实数的取值范围.t 【答案】（1），；21n a n =-2nn b =（2）； 21n nS n =+（3）. (,8]-∞【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式，结合等差中项和等比中项的定义进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可；（3）运用错位相减法，结合数列最小项的性质进行求解即可. 【小问1详解】设数列的公差为，数列的公比为， {}n a d {}n b q 因为既是和的等差中项，2a 11a b +33b a -所以有， ()()()()()211332221133421141222411412d q d q a a b b a d p a a b b a d q d q ⎧+=++--⎪=++-⎧⎪⇒⇒==⎨⎨=+-⎛⎫⎩⎪+=+-- ⎪⎪⎝⎭⎩所以，； 1(1)221n a n n =+-⋅=-2422n n n b -=⋅=【小问2详解】由（1）可知：， 21n a n =-所以 ()()11111111111335212123352121n n n n n S ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪⨯⨯-+-+⎝⎭ ； 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【小问3详解】由（1）可知：，；21n a n =-2nn b =， ()1122n n n n c a b n =⋅=+， 231222322n n n T =⋅+⨯+⨯++⋅ ，234112223222n n n T +=⋅+⨯+⨯++⋅ 两式相减，得：12341222222n nn T n +=+++++-⋅- ，112(12)2(1)2212n n n n n T T n n ++-⇒=--⋅⇒=-⋅-+-由，21212(1)(1)2(1)2(22(1)21)n n n n n t n T t n t n ++⇒-⋅+⇒≤-++≤⋅-≤--因为且恒成立， 2n ≥*N n ∈所以由， 2112(1)211()n n t n t n n ++≤-⋅⇒≤--设，，当且时，假设是最小项，121n n t n +=-28t =3n ≥*N n ∈n t 则有，而，所以， 12111221232212n n nn n n nn t t n nn t t n n ++++-⎧≤⎪≤⎧⎪-⇒⇒≤≤⎨⎨≤⎩⎪≤⎪--⎩3n ≥3n =，所以数列在且时，是最小项，38t ={}n t 2n ≥*N n ∈23,t t 因为对于且恒成立，2(1)2n t n T -+≤2n ≥*N n ∈所以有，即实数的取值范围为.8t ≤t (,8]-∞24. 已知椭圆，离心率为分别为椭圆的左､右顶点，2222:1(0)x y C a b a b+=>>121,,2A A C 过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3. x C （1）求椭圆的标准方程.C （2）当直线过椭圆的左焦点以及上顶点时，直线与椭圆交于另一点，m C 1F P m C Q 求此时的弦长.PQ （3）设直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线l 1A x ,M N l x 2A M 与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面C 2A D DN x E 2MA N MEN 积之差取得最大值时，求直线的方程.2A M 【答案】（1）22143x y +=（2）165（3）或 360x -=360x -=【解析】【分析】（1）由题意列出方程组解出即可；（2）根据的坐标，计算直线的22,a b 1,F P m 方程，联立椭圆方程，解出,利用两点间的距离公式计算即可.（3）根据题意直线Q 2A M 的斜率存在且不为0，设直线方程，联立解出点，根据对称性得出点，2A M 2x =-M N 在联立直线与椭圆方程，解出点，然后求出直线方程，令，得，从2A M D DN 0y =E x 而得到，由图可知：与的面积之差为，利用三角形面积公2A E 2MA N MEN 22E MA S 式写出，利用基本不等式求出最值，从而得直线的斜率. 22E MA S 【小问1详解】由椭圆的离心率为，所以，① 1212c e a ==又，②222a c b -=设过左焦点且垂直于轴的直线为：，x x c =-代入中，结合②化简得：2222:1(0)x y C a b a b +=>>，4222b b y y a a=⇒=±所以过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为：x C ，③ 223b a=联立①②③解得：，224,3a b ==所以椭圆的标准方程为：.C 22143x y +=【小问2详解】由（1）知 ()(11,0,F P -所以直线的方程为： m，即 11x =-，代入中消去得：)1y x =+22143x y +=y ，解得：或，2580x x +=0x =85x =-当时，点， 0x =y =P当时，， 85x =-y =所以 ,8,5Q ⎛- ⎝所以.165PQ ==【小问3详解】由（1）知，如图所示： ()()122,0,2,0A A -连接，2,ME A N因为直线过点，且与轴垂直， l 1A x 所以直线方程为：，l 2x =-由题意得直线的斜率存在且不为0， 2A M 设直线的方程为：，2A M 2(0)x my m =+≠联立得：2(0)2x my m x =+≠⎧⎨=-⎩点，又为直线上关于轴对称的两点， 42,M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,M N l x 所以， 42,N m ⎛⎫- ⎪⎝⎭联立，消去整理得：222(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩x ，解得：()2234120my my ++=或，由点异于点，0y =21234my m =-+D 2A 所以将代入中得：21234my m =-+2(0)x my m =+≠，即 226834m x m -+=+2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭所以直线的方程为：DN ， ()2221246842203434mm x y m m m m ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫--+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，， 0y =226432E m x m -+=+所以，222226412223232E m m A E x m m -+=-=-=++由图可知：与的面积之差为：2MA N MEN ，222MA N ME E N MA S S S -= 因为222224812432321222M MA Em m A m S E y m m ==⋅-=⨯⋅++4823m m=≤+当且仅当时取等号， 22233m m m m =⇒=⇒=所以当与的面积之差取得最大值时， 2MA N MEN 直线的方程为：， 2A M 2x y =+即：或. 360x -=360x -=。