(江西专用)2019中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题一 多解填空题 类型2 针对训练

第二部分 专题一 类型一1．(2018·安徽)矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC ，若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为3或65.2．(2019·原创)正方形ABCD 的边长为4，E 是AD 的中点，点P 是直线BC 边上的动点，若CP ＝6，则EP 长为3．(2018·江西名校联盟二)△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝8，∠B ＝90°，点D 在AB 上，BD ＝3，点P 在△ABC 上，则当AP ＝2PD 时，PD 4．(2018·牡丹江)矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点M 在对角线AC 上，且AM ∶MC ＝2∶3，过点M 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F .在AC 上取一点P ，使∠MEP ＝∠EAC ，则AP 的长为74或254.5．(2018·景德镇三模)如图，在菱形ABCD 中，其对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是线段BO 上的一个动点，点F 为射线DC 上一点，若∠ABC ＝60°，∠AEF ＝120°，AB ＝4，则EF 可能的整数值是2,3,4.6．(2018·上饶模拟)如图，一次函数y ＝kx ＋1的图象过点A (1,2)，且与x 轴相交于点B .若点P 是坐标轴上的一点，且满足∠APB ＝90°，则点P7．(2019·原创)如图，已知点A 为⊙O 上一点，射线AM 与⊙O 的另一交点为B ，且AB ＝8，⊙O 的半径为5.若P 为射线AM 上的一点，BP ＝2，则tan ∠OPA 的值为12或32.8．(2018·南昌三模)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形ABCD 是平行四边形，点A ，B ，C 的坐标分别为A (0,4)，B (－2,0)，C (8,0)，点E 是BC 的中点，点P 为线段AD 上的动点，若△BEP 是以BE 为腰的等腰三角形，则点P 的坐标为 (1,4)，(0,4)或(6,4).第二部分 专题一 类型二1．(2018·抚顺)如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A (8,0)，O (0,0)，B (8，－6)，点M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的12，得到△A ′O ′B ′，点M ′为O ′B ′的中点，则MM ′的长为52或152.2．(2018·吉安二模)如图，在反比例函数图象中，△AOB 是等边三角形，点A 在双曲线的一支上，将△AOB 绕点O 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，使点A 仍在双曲线上，则α＝_30°，180°，210°.3．(2018·江西模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点P 为射线AB 上一个动点．过点P 作PE ⊥AB 交射线AD 于点E .将△AEP 沿直线PE 折叠，点A 的对应点为F ，连接FD ，FC ，若△FDC 为直角三角形时，AP 的长为12或32.4．(2018·高安四模)如图，OA ⊥OB 于点O ，OA ＝4，⊙A 的半径是2，将OB 绕点O 按顺时针方向旋转，当OB 与⊙A 相切时，OB 旋转的角度为60°或120°.5．(2018·宜春三模)如图，Rt △ABC 纸片中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB ′D ，AB ′与边BC 交于点E .若△DEB ′为直角三角形，则BD 的长是2或5.6．(2019·原创)将边长为6的正方形ABCD 绕点A 旋转30°，得到正方形AB ′C ′D ′，则BD 7．(2018·江西二模)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A ′恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA ′的长为8．(2018·萍乡模拟)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，若△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则m 的值是258，5或8.9．(2018·九江模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为BC 上一点，且∠ADB ＝120°.若将线段AD 绕点A 旋转30°，得到AD ′，则以BD ′为边长的正方形的面积为10．(2018·江西四模)如图，正方形ABCD 的边长为4，在AD 边上存在一个动点E (不和点A ，D 重合)，沿BE 把△ABE 折叠，当点A 的对应点A ′恰好落在正方形ABCD 的对称轴上时，则AE 的长为3第二部分 专题一 类型三1．(2018·鹰潭模拟)如图，有一三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是25°或40°或10°.2．(2019·原创)如图所示，在纸片ABCD 中，已知AB ∥DC ，∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝3，CD ＝4，点E 为AD 边上一点，小明沿EB ，EC 用剪刀将纸片ABCD 剪成三张三角形纸片，要使其中的△EAB 与△EDC 相似，则AE 的长为247，2或6.3．(2018·江西模拟)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝2，BC＝4，CD ＝3，∠B ＝∠C ＝90°，则原三角形纸片的斜边长是4．(2019·原创)用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是14或16或18.5．(2018·江西模拟)如图，将一条长为7 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段，若这三段长度由短到长之比为1∶2∶4，其中没完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是2或2.5 cm.6．(2018·抚州模拟)已知△ABC 是等边三角形，且AB ＝4，△ACD 是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC 和△ACD 拼成一个凸四边形ABCD ，则对角线BD 的长为37．(2018·上饶二模)如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，若将△ABC 沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形，再用这两个三角形拼成一个平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是8．(2018·宜春二模)将两块全等的三角板如图放置，点O 为AB 的中点，AB ＝A ′B ′＝10，BC ＝B ′C ′＝6，现将三角板A ′B ′C ′绕点O 旋转，B ′C ′，A ′B ′与边AC 分别交于点M ，N ，当△OMN 与△BCO 相似时，CM 的长度为258或74.第二部分 专题二 类型一1．(2018·江西模拟)如图，已知C 为AB 的中点，分别以AC ，BC 为边，在AB 的同侧作等边△ACE与等边△BCD，连接BE，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(保留作图痕迹，不写作法)(1)在图1中，作出AE的中点P；(2)在图2中，过点C作AE的垂线l.解：(1)如答图1，点P即为所求．(2)如答图2，直线l即为所求．2．(2018·吉安模拟)根据下列条件和要求，仅使用无刻度的直尺画图，并保存画图痕迹．(1)如图1，△ABC中，∠C＝90°，在三角形的一边上取一点D，画一个钝角△DAB；(2)如图2，△ABC中，AB＝AC，ED是△ABC的中位线，画出△ABC中∠BAC的角平分线．解：(1)如答图1，△DAB即为所求．(2)如答图2，AF即为∠BAC的角平分线．3．(2018·江西师大附中模拟)在△ABE中，点C，D分别为AE，BE的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图．(不写作法，保留作图痕迹)(1)如图1，AE＝BE，作出AB的垂线；(2)如图2，AE≠BE，作出BE的平行线l.解：(1)如答图1，直线EM即为所求．(2)如答图2，直线l即为所求．4．(2018·鹰潭模拟)请仅用无刻度的直尺按要求作图．(不写作法，保留作图痕迹)(1)如图1，AD，BE是△ABC的角平分线，且相交于点O，作出∠C的平分线；(2)如图2，AC与BD相交于点O，且∠DAO＝∠BAO＝∠CBO＝∠ABO，作出∠AOB的平分线．解：(1)如答图1，CF即为所求．(2)如答图2，OF即为所求．5．(2018·新余模拟)如图，C，D是线段AB的三等分点，分别以AC，CD，DB为边向AB 上方作等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．(不写作法，保留作图痕迹)(1)在图1中，作AB的中点P；(2)在图2中，作一个矩形．解：(1)如答图1(或答图2,3)，点P即为所求．(2)如答图4，矩形MCNF即为所求．(答案不唯一)6．(2018·萍乡模拟)请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1和图2中画出BC 的垂直平分线．(保留作图痕迹，不写作法)(1)如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点D为△ABC内一点，BD＝CD；(2)如图2，AB＝AC，E，F分别为AB，AC的中点．解：(1)如答图1，AE即为所求．(2)如答图2，AG即为所求．第二部分专题二类型二1．(2018·临川一中模拟)如图，是由两个全等的矩形拼在一起的图形，请仅用无刻度的直尺，直接在图中用连线的方式按要求画出图形，并用字母表示所画图形．(1)在图1中画出一个平行四边形(要求不与原矩形重合)；(2)在图2中画出一个菱形．解：(1)如答图1，四边形ABCD即为所求平行四边形．(2)如答图2，四边形ABCD即为所求菱形．2．(2018·南昌二中模拟)如图1、图2，四边形ABCD是正方形，DE＝CE.请仅用无刻度的直尺按要求完成下列画图．(1)在图1中，画出CD边的中点；(2)在图2中，画出AD边的中点．解：(1)如答图1，点F即为所求．(2)如答图2，点M即为所求．3．(2018·遂川模拟)如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BD＝DC，BE∥DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．图1 图2(1)在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；(2)在图2中，画一个菱形．解：(1)如答图1，Rt△AOB即为所求．(2)如答图2，四边形BFCD即为所求．4．(2018·章贡区模拟)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，画出∠DAE的平分线；(2)在图2中，画出∠AEC的平分线．解：(1)如答图1，AC即为所求．(2)如答图2，EF即为所求．5．(2018·江西样卷七)如图，在□ABCD中，点E在BC上，AB＝BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留作图痕迹，不写画法)．(1)在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高；(2)在图2中，过点C画出BF的垂线．解：(1)如答图1，AG即为所求．(2)如答图2，CH即为所求．6．(2019·原创)如图，菱形ABCD，点P是AB的中点，连接CP.请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图1中画出BC边的中点E；(2)在图2中画出∠DCF，使得∠DCF＝∠BCP.解：(1)如答图1，点E即为所求．(2)如答图2，∠DCF即为所求．第二部分专题二类型三1．(2018·九江模拟)已知正六边形ABCDEF ，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(1)在图1中，以AB 为边，作等边三角形； (2)在图2中，作一个含30°角的直角三角形．解：(1)如答图1，△AOB 即为所求． (2)如答图2，△FCD 即为所求．2．(2018·江西样卷五)如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图1中画出一条长度为12的线段；(2)在图2中画出一条长度为13的线段．解：(1)如答图1，线段AG 即为所求． (2)如答图2，线段HO 即为所求．3．(2018·江西模拟)如图，已知正八边形ABCDEFGH ，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(1)在图1中，作出一个正方形； (2)在图2中，作出一个等腰直角三角形．解：(1)如答图1，四边形BDFH即为所作的正方形(答案不唯一)；(2)如答图2，△BFH即为所求．(答案不唯一)4．(2018·江西师大附中模拟)如图，已知正八边形的边长为2，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(1)在图1中，作出一个边长不为2的正方形；(2)在图2中，作出一个不是正方形的菱形．解：(1)如答图1，四边形ABCD即为所作正方形．(答案不唯一，画图正确即可)(2)如答图2.(答案不唯一，画图正确即可)5．(2018·吉安模拟)如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE＝DE，CD＝CB，∠ABC＝120°.请仅用无刻度的直尺按要求画出图形．(1)在图1中，作出图形的对称轴l；(2)在图2中，作出一个正六边形．解：(1)如答图1，l即为所求；(2)如答图2，正六边形ABPJDE即为所求．第二部分专题二类型四1．如图，在边长为1的正方形网格中画一个圆心为O的半圆，请按要求准确画图．(1)请在图1中仅用无刻度的直尺连线将半圆的面积三等份；(2)请在图2网格中以O为圆心，用直尺与圆规画一个与已知半圆的半径不同，但面积相等的扇形．解：(1)作图如答图1；(2)作图如答图2.2．(2018·吉安十校联考二模)如图，8个完全相同的小矩形拼成了一个大矩形，AB是其中一个小矩形的对角线，请按照下列要求画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．(1)在图1中，画出一个45°的角，使点A或者点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边．(2)在图2中，画出线段AB的垂直平分线．解：(1) 如答图1，∠BAC或∠ABC即为所求．(画法有多种，正确画出一种即可)(2)如答图2，MN 即为所求．(画法不唯一)3．(2018·宜春模拟)如图，下列正方形网格的每个小正方形的边长均为1，⊙O 的半径为10，规定：顶点既在圆上又是正方形格点的直角三角形称为“圆格三角形”，请仅用使用无刻度的直尺，分别按照下列条件，在图1，图2中画一个“圆格三角形”，(1)一个锐角的正切值为13 ；(2)面积为8.解：(1)如答图1，直角边长为2,6的Rt △ACB 即为所求．(画法不唯一，正确即可) (2)如答图2，直角边分别为22，42的Rt △ABC 即为所求．(画法不唯一，正确即可)4．(2018·崇仁二中模拟)如图所示，在4×4的菱形斜网格图中(每一个小菱形的边长为1，有一个内角是60°)，线段AB 的端点在格点上，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图．(1)在图1中，画出一个以AB 为边，且顶点均在格点上的等腰三角形；(2)在图2中，画出一个以AB 为边的面积最大的平行四边形，且该平行四边形的顶点均在格点上．解：(1)如答图1.(画法不唯一，正确画出一种即可) (2)如答图2, 平行四边形ABFG 即为所求．5．(2018·广昌一中模拟)图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB，EF的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)如图1，作出以AB为对角线的正方形；(2)如图2，以线段EF为一边作出等腰△EFG(点G在小正方形顶点处)且顶角∠EFG为钝角．解：(1)如答图1，正方形AEBF即为所作；(2)如答图2，△EFG即为所作．第二部分专题二类型五1．(2018·江西模拟)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图．(1)在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；(2)在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线．解：(1)如答图1，AM即为所求；(2)如答图2，AG即为所求．2．(2018·芦溪模拟)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，AC＝AB，请仅用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)△ABC的中线BE；(2)以D为切点⊙O的切线DT.解：(1)如答图1，BE即为所求；(2)如答图2，DT即为所求．3．(2018·广丰模拟)如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，且AC，AB分别是⊙O，⊙P 的直径，AC＝2AB，下面请你仅用无刻度直尺按要求画图．(1)在AmC上确定一点D，连接DA，使DA⊥AB；(2)在(1)中，画OE⊥AD于点E.解：(1)如答图，作直径BD，连接AD，则∠BAD＝90°即为所求．(2)如答图，设AC与⊙P交于点G，作法：作射线BG延长线交⊙O于点F，连接OF交AD于点E，则OE⊥AD即为所求．4．(2018·赣州名校联盟模拟)已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC＝120°；请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹，不写作法，写明答案)．(1)在图1中，AD＝CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角；(2)在图2中，AD≠CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角．解：(1)如答图1，∠ABD＝30°或∠CBD＝30°(连接弦BD)，即为所求作的圆周角.(2)如答图2，∠CAE＝30°，或如答图3中∠ACF＝30°，均为所求作的圆周角．5．(2018·萍乡模拟)如图，点A，B在⊙O上，点O是⊙O的圆心，请你仅用无刻度的直尺，分别画出图1和图2中∠A的余角．(1)图1中，点C在⊙O上；(2)图2中，点C在⊙O内；解：(1)如答图1，∠DBC即为所求．(答案不唯一)(2)如答图2，∠FBE即为所求．(答案不唯一)第二部分专题三类型一1．“低碳环保，你我同行”．近两年，某市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，CD ＝30 cm ，DF ＝20 cm ，AF ＝25 cm ，FD ⊥AE 于点D ，坐杆CE ＝15 cm ，且∠EAB ＝75°.(1)求AD 的长；(2)求点E 到AB 的距离．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)解：(1)在Rt △ADF 中，由勾股定理得，AD ＝AF 2－FD 2＝252－202＝15(cm)；(2)AE ＝AD ＋CD ＋EC ＝15＋30＋15＝60(cm)， 如答图，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， 在Rt △AEH 中，sin ∠EAH ＝EHAE，则EH ＝AE ·sin ∠EAH ＝AE ·sin75°≈60×0.97＝58.2(cm)．答：点E 到AB 的距离为58.2 cm.2．(2018·吉安模拟)某市需要新建一批公交车候车厅，设计师设计了一种产品(如图1)，产品示意图的侧面如图2所示，其中支柱DC 长为2.1 m ，且支柱DC 垂直于地面DG ，顶棚横梁AE 长为1.5 m ，BC 为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD ＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC ＝135°，要求使得横梁一端点E 在支柱DC 的延长线上，此时经测量得镶接点B 与点E 的距离为0.35 m(参考数据：2≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结果精确到0.1 m)．(1)求EC 的长；(2)求点A 到地面DG 的距离．解：(1)如答图，连接EC .可得∠EBC ＝45°，∠ECB ＝30°.过点E 作EP⊥BC 于点P .如答图，EP ＝BE ·sin45°≈0.25(m)．EC ＝2EP ＝0.5 m.(2)过点A 作AF ⊥DG ，垂足为F ，过点E 作EM ⊥AF ，垂足为M ，AM ＝AE ·sin15°＝1.5×0.26＝0.39(m)．AF ＝AM ＋CE ＋DC ＝0.39＋0.5＋2.1＝3.2(m)．所以点A 到地面DG 的距离是3.2 m.3．(2018·江西样卷)如图1，是某校的简易车棚的支撑架，其示意图如图2. 经测量知AB ＝210 cm ，BE ＝110 cm ，BF ＝100 cm ，BD ＝OD ＝80 cm ，OA ＝160 cm.(1)求棚顶EF 与水平面MN 的倾斜角；(结果精确到1度) (2)求车棚的边沿E 到地面MN 的距离．(结果精确到1 cm) (参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)图1 图2解：(1)如答图，过点D 作DG ⊥AB 于点G ， ∵BD ＝OD ，DG ⊥AB ，∴BG ＝OG ＝12OB ＝12×(210－160)＝25(cm)．在Rt △BDG 中，sin ∠BDG ＝BG BD ＝2580＝0.3125≈0.31，∴∠BDG ＝18°. ∴棚顶EF 与水平面MN 的倾斜角约为18°.第3题答图(2)过点E ，作EH ⊥AB 延长线，垂足分别为H ， ∵EH ⊥AB, DG ⊥AB ， ∴EH ∥DG ，∴∠BEH ＝∠BDG ＝18°. 在Rt △BEH 中， sin ∠BEH ＝BH BE，∴BH ＝BE ·sin18°＝110×0.31≈34(cm)， ∴AH ＝AB ＋BH ＝210＋34＝244(cm)．∴车棚的边沿E 到地面MN 的距离约为244 cm.4．(2018·江西模拟)如图1是一种简易台灯，在其结构图2中灯座为△ABC (BC 伸出部分不计)，A ，C ，D 在同一直线上．量得∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝16 cm ，∠ADE ＝135°，灯杆CD 长为40 cm ，灯管DE 长为15 cm.(1)求DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角；(2)求台灯的高(点E 到桌面的距离，结果精确到0.1 cm)．(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin30°≈0.5，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58)解：(1)如答图所示，过点D 作DF ∥AB ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点E 作EF ⊥AB 延长线于点M ，第4题答图由题意可得，四边形DNMF 是矩形，则∠NDF ＝90°， ∵∠A ＝60°，∠AND ＝90°， ∴∠ADN ＝30°，∴∠EDF ＝135°－90°－30°＝15°，即DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角为15°.(2)如答图所示，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝16 cm ，∴∠ABC ＝30°，则AC ＝12AB＝8 cm ，∵灯杆CD 长为40 cm ，∴AD ＝AC ＋CD ＝8＋40＝48(cm)，∴DN ＝AD ·sin60°＝24 3 cm ，则FM ＝24 3 cm ， ∵灯管DE 长为15 cm ，∴sin15°＝EF DE ＝EF15＝0.26，解得EF ＝3.9.故台灯的高为EF ＋FM ＝3.9＋243≈45.5(cm)．5．(2018·宜春模拟)一书架上的方格中放置四本厚度和长度相同的书，其中书架方格长BF ＝40 cm ，书的长度AB ＝20 cm ，设一本书的厚度为x cm.(1)如图1左边三本书紧贴书架方格内侧竖放，右边一本书自然向左斜放，支撑点为C ，E ，最右侧书一个角正好靠在方格内侧上，若CG ＝4 cm ，求EF 的长度；(2)如图2左边两本书紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为C ，E ，最右侧书的下面两个角正好靠在方格内侧上，若∠DCE ＝30°，求x 的值(保留一位小数)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)∵∠CEH ＝90°，∴∠CED ＋∠HEF ＝90°. 又∵∠CED ＋∠DCE ＝90°，∴∠DCE ＝∠HEF . 又∵∠CDE ＝∠EFH ＝90°，∴△CDE ∽△EFH ， ∴CE EH ＝CDEF，又∵CE ＝DG ＝20 cm ，CG ＝4 cm ， ∴CD ＝16 cm ，由勾股定理得DE ＝12， ∴20x ＝16EF ，∴EF ＝4x 5. ∵BD ＋DE ＋EF ＝40， ∴3x ＋12＋45x ＝40，∴x ＝14019，EF ＝45×14019＝11219(cm)．(2)∵AB ＝CE ＝20 cm ，∠DCE ＝30°，∴DE ＝10 cm. 在Rt △EGM 中，∵∠GEM ＝∠DCE ＝30°，EG ＝x cm ， ∴EM ＝233x cm ，在Rt △MFH 中，∵∠GEM ＝∠HMF ＝30°，MH ＝x cm ， ∴FM ＝32x cm ， ∴BF ＝BD ＋DE ＋EM ＋FM ＝2x ＋10＋233x ＋32x ＝40，化简(12＋73)x ＝180，x ≈7.5 cm.第二部分 专题三 类型二1．(2017·江西样卷)某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅．图2是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少 cm ？(结果精确到0.1 cm)解：连接AC ，BD ，∵OA ＝OB ＝OC ＝OB, ∴四边形ACBD 为矩形， ∵∠DOB ＝100°， ∴∠ABC ＝50°，由已知得AC ＝32 cm ，在Rt △ABC 中，sin ∠ABC ＝AC AB， ∴AB ＝ACsin ∠ABC ＝32sin50°≈41.8(cm ),tan ∠ABC ＝AC BC， ∴BC ＝ACtan ∠ABC ＝32tan50°≈26.9(cm)．∴AD ＝BC ＝26.9(cm)．答：椅腿AB 的长约为41.8 cm ，篷布面的宽AD 约为26.9 cm.2．(2017·江西样卷)阳台窗外活动伸缩衣架如图1所示，动点G 由点A 滑动到点B 时，伸缩衣架完全张开，如图2所示，其中CBA 垂直于地面，点C ，F ，P 在同一水平线上，侧面活动支架均相互平分，测得BC ＝20 cm, GF ＝CE ＝36 cm ，点D 为支架GF ，CE 的中点．(1)求伸缩衣架完全张开时∠CDG 的度数；(2)求伸缩衣架完全张开时CP 的长．(精确到0.1，可使用科学计算器) (参考数据： sin33.75°≈0.5555, cos33.75°≈0.8315)解：(1)∵GF ＝CE ＝36 cm ，点D 为GF ，CE 的中点，∴GD ＝CD ＝18 cm ， 如答图，过点D 作DN ⊥AC 于点N,∴CN ＝12BC ＝10 cm ，∵sin ∠CDN ＝CN CD ＝1018≈0.5555，∴∠CDN ≈33.75°，∴∠CDG ≈67.5°.(2) ∵横杆完全张开时，∠CDG ≈67.5°，即∠CDN ≈33.75°，cos33.75°＝DN CD ＝DN18，∴DN ＝cos33.75°×18≈14.967 cm，∴完全张开时PC ＝14.967×8＝119.736≈119.7 cm.3．(2018·江西样卷)如图1是楼梯及扶手的一部分，将实物图的主体部分抽象成图2，楼梯踏步宽度MN ＝30 cm ，高度NG ＝15 cm ，且F ′A ′，FA 均与楼面垂直，A ，A ′分别是GH ，G ′H ′的中点， AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝16 cm ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′E ′＝E ′F ′＝16 cm ，FP ＝8 cm.(1)判断BB ′与FF ′的位置关系？并说明理由； (2)求tan ∠EFP 的值；(3)求点P 到水平楼面的距离(精确到0.1 cm) . (参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.3)解：(1)BB ′∥FF ′.∵F ′A ′，FA 均与楼面垂直，∴F ′A ′∥FA .又∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝16 cm ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′E ′＝E ′F ′＝16 cm. ∴F ′B ′＝FB .∴四边形F ′B ′BF 是平行四边形． ∴BB ′∥FF ′.第3题答图(2)延长AG ，B ′A ′相交于点K ，连接AA ′.由题意知，FA ，F ′A ′均与楼面垂直，易知，AF ∥A ′F ′，△KA ′A 为直角三角形． 又由题意知，GH ＝G ′H ′＝MN ＝30 cm ， ∵A ，A ′分别是GH ，G ′H ′的中点， ∴GA ＝A ′H ′＝15 cm.∴KA ＝A ′H ′＋MN ＋GA ＝15＋30＋15＝60(cm)． 易知：A ′K ＝H ′M ＋NG ＝15＋15＝30 cm. 在Rt △KA ′A 中，KA ＝60 cm ，KA ′＝30 cm ， ∴tan ∠KA ′A ＝KA KA ′＝6030＝2. ∵AF ∥A ′F ′，∴∠EFP ＝∠KA ′A ， ∴tan ∠EFP ＝tan ∠KA ′A ＝2. (3)过点P 作PP ′⊥AF 交AF 于点P ′. 在Rt △P ′FP 中， tan ∠EFP ＝2，∴cos ∠EFP ＝15. ∴P ′F FP ＝15.∵FP ＝8，∴P ′F ＝855. ∴点P 到水平楼面的距离为 16×5＋15－855＝95－855≈91.3 cm.第二部分 专题三 类型三1．“五一”节，小莉和同学一起到游乐场玩．游乐场的大型摩天轮的半径为20 m ，匀速旋转1周需要12 min.小莉乘坐最底部的车厢(离地面0.5 m)开始1周的观光，5 min 后小莉离地面的高度是多少？(精确到0.1 m ．下列数据供参考：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)解：如答图，设经过5 min 后，小明从点B 到达点C 的位置．由题意知，OC ＝20，∠COA＝360°×512＝150°.延长AO 交⊙O 于点E ，过点C 作CD ⊥AE ，垂足为D .在Rt △COD 中，∵∠COD ＝180°－∠COA ＝180°－150°＝30°，∴OD ＝OC ·cos∠COD ＝20×cos 30°＝10 3.∴AD ＝AB ＋BO ＋OD ＝0.5＋20＋103≈37.8(m)．答：5 min 后小莉离地面的高度约为37.8 m.2．(2018·遂川模拟)如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，直线型支架的上端A ，B 与台面下方相连，与圆弧形底座支架EF 在C ，D 处相连接，支架AC 与BD 所在的直线过EF ︵ 的圆心，若AB ＝200 cm ，∠CAB ＝∠DBA ＝60°，EC ︵ ＝FD ︵，AB 平行于地面EF ，EF ︵最顶端与AB 的距离为2 cm.(1)求EF ︵的半径；(2)若台面AB 与地面EF 之间的距离为72 cm ，求E ，F 两点之间的距离． (精确到1 cm ，参考数据：3≈1.7，1682－982≈137)解：(1)如答图，延长AC ，BD 交于一点O ，过O 点作OM ⊥AB 于M 交EF ︵于点N ，EF 交OM 于点K .第2题答图∵∠CAB ＝∠DBA ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝OB ＝AB ＝200 cm ， ∵OM ⊥AB ，∴OM ＝1003，∵MN ＝2，∴ON ＝1003－2＝168(cm)，∴EF ︵的半径为168 cm. (2)连接OF .在Rt △OFK 中，OK ＝OM －KM ＝170－72＝98， ∴FK ＝OF 2－OK 2＝1682－982≈137(cm)， ∵EF ∥AB ，OM ⊥AB ，∴OK ⊥EF ，∴EK ＝KF ， ∴EF ＝274 cm.3．如图是某种直径型号的地球仪的支架示意图，弧AB 是半圆弧，经测量点A 距离水平线CD 的距离为27.7厘米， 点B 距离水平线CD 的距离为9.4厘米，直径AB 所在直线与竖直线形成的锐角为23.5°，试问它是哪种直径型号的地球仪的支架？(计算结果精确到个位，可使用科学计算器，参考数据：sin23.5°≈0.3987, cos23.5°≈0.9171，tan23.5°≈0.4348)解：如答图，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，连接BE ，AB ，第3题答图∵弧AB 是半圆弧，∴AB 是直径， ∴∠AEB ＝90°，∴∠BEF ＝90°， ∵AF ⊥CD ，BH ⊥CD ， ∴四边形BEFH 是矩形， ∴EF ＝BH ＝9.4，∴AE ＝AF －EF ＝27.7－9.4＝18.3.∵∠FAB ＝23.5°，∴AB ＝AE cos23.5°＝18.30.9171≈20，∴它是直径约为20厘米的地球仪的支架．4．(2017·赣州模拟)摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇椅静止时，以O 为圆心OA 为半径的AB ︵ 的中点P 着地，地面NP 与AB ︵相切，已知∠AOB ＝60°，半径OA ＝60 cm ，靠背CD 与OA 的夹角∠ACD ＝127°，C 为OA 的中点，CD ＝80 cm ，当摇椅沿AB ︵滚动至点A 着地时是摇椅向后的最大安全角度．(1)静止时靠背CD 的最高点D 离地面多高？(2)静止时着地点P 至少离墙壁MN 的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至最大安全角度时点D 不与墙壁MN 相碰．(精确到1 cm ，参考数据π取3.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，2≈1.41，3≈1.73)解：(1)如答图1，过F 点作CF ⊥DF ，DF ∥NP ，CF 和DF 交于点F ，则∠DFC ＝90°. ∵P 为AB ︵的中点，∠AOB ＝60°，∴∠COP ＝30°. 又∵OP ∥FC ，∴∠FCO ＝30°， ∴∠DCF ＝180°－127°－30°＝23°. 在Rt △DFC 中，cos ∠DCF ＝FC CD，∴FC ＝80×cos23°＝80×sin67°＝80×0.92＝73.6. 在Rt △COE 中，cos ∠COE ＝OE OC， OE ＝30×cos30°＝30×32＝15 3. D 离地面总高度为CF ＋EP ＝CF ＋(OP －OE )＝73.6＋60－153≈107.62≈108(cm)；(2)如答图2，过点C 作CE ⊥MN ，垂足为E ， 则∠DCE ＝127°－90°＝37°. 在Rt △DCE 中，cos ∠DCE ＝EC CD， ∴EC ＝80×cos37°＝80×0.8＝64.AP ′＝30π·60180＝10π＝10×3.14＝31.4. NP ＝EC ＋AP ′＝64＋31.4＝95.4≈96.答：静止时的着地点P 至少要离墙壁MN 的水平距离为96 cm 时，才能使摇椅向后至最大安全角度时点D 不与墙壁MN 相碰．5．(2019·原创)如图，有一时钟，时针OA 长为6 cm ，分针OB 长为8 cm ，△OAB 随着时间的变化不停地改变形状．求：(1)13时整时， △OAB 的面积是多少？(2)14时整时， △OAB 的面积比13时整时增大了还是减少了？为什么？ (3)问几时整时， △OAB 的面积最大？最大面积是多少？并说明理由．(4)设∠BOA ＝α(0°≤α≤180°)，试归纳α变化时△OAB 的面积有何变化规律(不证明)．解：如答图，分别过B 作BE ⊥OA 于点E .(E 也可在OA 的延长线上) (1)如答图1，在13时整时， ∠BOA ＝30°，BE ＝12OB ＝4，S △OAB ＝12×4×6＝12(cm 2)．(2)如答图2，在14时整时，∠BOA ＝60°，BE OB ＝sin60°，BE ＝8×32＝43，S △OAB ＝12×43×6＝12 3.∵123>12，∴14时整时比13时整的△ABO 的面积增大了．(3)当15时或21时整时，如答图3，△OAB 的面积最大， 此时BE 最长，BE ＝OB ＝8，而OA 不变，S △ABO ＝12×8×6＝24.(4)当α＝0°，180°时不构成三角形，当0°＜α≤90°时，S △AOB 的值随α增大而增大， 当90°＜α＜180°时，S △AOB 的值随α增大而减少．6．(2018·江西样卷)如图1是一个演讲台，图2为演讲台的侧面示意图，支架BC 是一条圆弧，台面与两支架的连接点A ，B 间的距离为30 cm, CD 为水平底面，且BD 所在的直线垂直于底面，∠ADC ＝75°，∠DAB ＝60°.(1)求台面上点B 处的高度(精确到个位)；(2)如图3，若圆弧BC 所在圆的圆心O 在CD 延长线上，且OD ＝CD ，求支架BC 的长度(结果保留根号)．(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.7)解：(1)如答图，连接BD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E . 在Rt △ABE 中，BE ＝AB · sin∠EAB ＝30×sin60°＝30×32≈25.5(cm)． ∵∠ADC ＝75°，∴∠ADB ＝90°－∠ADC ＝15°. ∴∠EBD ＝90°－∠ADB ＝90°－15°＝75°. 在Rt △BDE 中，BD ＝BEcos ∠EBD ≈25.5cos75°≈25.50.26≈98(cm)．即台面上点B 处的高度约为98 cm.第6题答图(2)连接BC ，BO ，∵BD ⊥CO ，OD ＝CD ，∴BC ＝BO . 又CO ＝BO ，∴△BOC 是等边三角形，∠BOC ＝60°.∴sin60°＝BD BO ，BO ＝BD sin60°＝ 98 32＝19633，∴支架BC 的长度为19633(cm)．答：支架BC 的长度为19633cm.第二部分 专题四 类型一1．(2018·湖北)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE ，连接AD ，CD .(1)求证：△ADE ≌△CDB ；(2)若BC ＝3，在AC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值． (1)证明：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，E 为AB 边为中点，∴BC ＝EA ，∠ABC ＝60°. ∵△DEB 为等边三角形，∴DB ＝DE ，∠DEB ＝∠DBE ＝60°，∴∠DEA ＝120°，∠DBC ＝120°，∴∠DEA ＝∠DBC ，∴△ADE ≌△CDB .(2)解：如答图，作点E 关于直线AC 的对称点E ′，连接BE ′交AC 于点H ，连接AE ′，则点H 即为符合条件的点．由作图可知EH ＋BH ＝BE ′，AE ′＝AE ，∠E ′AC ＝∠BAC ＝30°，∴∠EAE ′＝60°，∴△EAE ′为等边三角形， ∴EE ′＝EA ＝12AB ，∴∠AE ′B ＝90°.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝3， ∴AB ＝23，AE ′＝AE ＝3， ∴BE ′＝AB 2－AE ′2＝32－32＝3，∴BH ＋EH 的最小值为3.2．(2018·徐州)如图，将等腰直角三角形纸片ABC 对折，折痕为CD .展平后，再将点B 折叠在边AC 上(不与A ，C 重合)，折痕为EF ，点B 在AC 上的对应点为M ，设CD 与EM 交于点P ，连接PF .已知BC ＝4.(1)若M 为AC 的中点，求CF 的长； (2)随着点M 在边AC 上取不同的位置， ①△PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； ②求△PFM 的周长的取值范围． 解：(1)∵M 为AC 的中点， ∴CM ＝12AC ＝12BC ＝2，由折叠的性质可知，FB ＝FM ， 设CF ＝x ，则FB ＝FM ＝4－x ，在Rt △CFM 中，FM 2＝CF 2＋CM 2，即(4－x )2＝x 2＋22，解得，x ＝32，即CF ＝32.(2)①△PFM 的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，理由如下：令FM 与CD 交于点D ，由折叠的性质可知，∠PMF ＝∠B ＝45°. ∵CD 是中垂线，∴∠ACD ＝∠DCF ＝45°. ∵∠MPC ＝∠OPM ，∴△POM ∽△PMC ， ∴PO PM ＝OM MC ，∴MC PM ＝OMPO.∵∠EMC ＝∠AEM ＋∠A ＝∠CMF ＋∠EMF ， ∴∠AEM ＝∠CMF .∵∠DPE ＋∠AEM ＝90°，∠CMF ＋∠MFC ＝90°，∠DPE ＝∠MPC ， ∴∠DPE ＝∠MFC ，∠MPC ＝∠MFC . ∵∠PCM ＝∠OCF ＝45°， ∴△MPC ∽△OFC ，∴MP OF ＝MC OC， ∴MC PM ＝OC OF ，∴OM PO ＝OCOF.∵∠POF ＝∠MOC ，∴△POF ∽△MOC ，∴∠PFO ＝∠MCO ＝45°， ∴△PFM 是等腰直角三角形．②∵△PFM 是等腰直角三角形，设FM ＝y ， 由勾股定理可知PF ＝PM ＝22y ， ∴△PFM 的周长为(1＋2)y . ∵2＜y ＜4，∴△PFM 的周长的取值范围为2＋22＜(1＋2)y ＜4＋4 2.第二部分 专题四 类型二1．(2018·重庆)如图，在□ABCD 中，∠ACB ＝45°，点E 在对角线AC 上，BE ＝BA ，BF ⊥AC 于点F ，BF 的延长线交AD 于点G ，点H 在BC 的延长线上，且CH ＝AG ，连接EH .(1)若BC ＝122，AB ＝13，求AF 的长； (2)求证：EB ＝EH .(1)解：∵BF ⊥AC ，∴∠BFC ＝∠AFB ＝90°.。

第二部分 专题六 类型五1．对于直线l 1：y ＝ax ＋b (a ＜0，b ＞0)，有如下定义：我们把直线l 2：y ＝－1a(x ＋b )称为它的“姊线”．若l 1与x ，y 轴分别相交于A ，B 两点，l 2与x ，y 轴分别相交于C ，D 两点，我们把经过点A ，B ，C 的抛物线C 叫做l 1的“母线”．(1)若直线l 1：y ＝ax ＋b (a ＜0，b ＞0)的“母线”为C ：y ＝－12x 2－x ＋4，求a ，b 的值； (2)如图，若直线l 1：y ＝mx ＋1(m ＜0)，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM ，若OM ＝56，求出l 1的“姊线”l 2与“母线”C 的函数解析式； (3)将l 1：y ＝－3x ＋3的“姊线”绕着D 点旋转得到新的直线l 3：y ＝kx ＋n ，若点P (x ，y 1)与点Q (x ，y 2)分别是“母线”C 与直线l 3上的点，当0≤x ≤1时，|y 1－y 2|≤3，求k 的取值范围．解：(1)对于抛物线y ＝－12x 2－x ＋4，令x ＝0，得到y ＝4，∴B (0,4)， 令y ＝0，得到－12x 2－x ＋4＝0，解得x ＝－4或2，∴A (2,0)，C (－4,0)． ∵y ＝ax ＋b 的图象过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4.(2)如答图所示，连接OG ，OH .∵点G ，H 为斜边中点，∴OG ＝12AB ，OH ＝12CD . ∵l 1：y ＝mx ＋1，∴l 1的“姊线”l 2为y ＝－1m(x ＋1)， ∴B (0,1)，A (－1m ，0)，D (－1,0)，C (0，－1m)， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD ，∴AB ＝CD ，∠ABO ＝∠CDO ，∴OG ＝OH .∵OG ＝GB ，OH ＝HC ，∴∠GOB ＝∠ABO ，∠HOC ＝∠OCD .∵∠ODC ＋∠OCD ＝90°，∴∠ABO ＋∠OCD ＝90°，∴∠GOB ＋∠HOC ＝90°，∴∠HOG ＝90°，∴OG ⊥OH ，∴△OGH 为等腰直角三角形．∵点M 为GH 中点，∴△OMG 为等腰直角三角形，∴OG ＝2OM ＝106，∴AB ＝2OG ＝103， ∴OA ＝1032－12＝13， ∴A (13，0)，∴C (0，13)，D (－1,0)． ∴l 1的“姊线”l 2的函数解析式为y ＝13x ＋13，“母线”C 的函数的解析式为y ＝－3x 2－2x ＋1.(3)l 1：y ＝－3x ＋3的“姊线”的解析式为y ＝13x ＋1，“母线”C 的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴直线l 3：y ＝kx ＋1，∵当0≤x ≤1时，|y 1－y 2|≤3，不妨设x ＝1，则y 1＝0，y 2＝k ＋1，由题意k ＋1＝±3，解得k ＝2或－4，∴满足条件的k 是取值范围为－4≤k ≤2.2．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y ＝2x 2＋4x －5的友好同轴二次函数为y ＝－x 2－2x －5.(1)请你分别写出y ＝－13x 2，y ＝13x 2＋x －5的友好同轴二次函数； (2)满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？(3)如图，二次函数L 1：y ＝ax 2－4ax ＋1与其友好同轴二次函数L 2都与y 轴交于点A ，点B ，C 分别在L 1，L 2上，点B ，C 的横坐标均为m (0＜m ＜2)，它们关于L 1的对称轴的对称点分别为B ′，C ′，连接BB ′，B ′C ′，C ′C ，CB .①若a ＝3，且四边形BB ′C ′C 为正方形，求m 的值；②若m ＝1，且四边形BB ′C ′C 的邻边之比为1∶2，直接写出a 的值．。

绝密★启用前江西省2019年中等学校招生考试数 学（本试卷满分120分，考试试卷120分）一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1.2的相反数是（ ） A .2B .2-C .12D .21-2.计算211()a a÷-的结果是（ ） A .aB .a -C .31a -D .31a 3.如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）ABCD4.根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）A .扇形统计图能反映各部分在总体所占的百分比B .每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%C .每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D .每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°5.已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点A （2，4），下列说法正确的是（ ）A .反比例函数2y 的解析式是28y x=-B .两个函数图象的另一个交点坐标为24-（，）C .当2x -＜或02x ＜＜时，12y y ＜D .正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大 6.如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法有（ ） A .3种 B .4种 C .5种D .6种二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.因式分解：21x -=________.8.我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七。

见方求邪，七之，五而一”。

译文：如果正方形的边长为5，则它的对角线长为7，已知正方形的边长，求对角线，则先将边长乘以7再除以5，若正方形的边长为1，由勾股定理，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是________.9.设1x ，2x 是一元二次方程210x x --=的两根，则1212x x x x ++=________.10.如图，在ABC △中，点D 是BC 上的点，40BAD ABC ∠=∠=︒，将ABD △沿着AD 翻折得到AED △，则CDE ∠=________°. 11.将斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A B C --横穿双向车道，其中6AB BC ==米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度，设小明通过AB 的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：___________________.12.在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，若1DA CP DP =⊥，于点P ，则点P 的坐标为___________________.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）计算：0)22019(|2|)1(-+-+--（2）如图，四边形ABCD 中，AB CD AD BC ==，，对角线AC ，BD 相交于O 点，且OA OD =，求证：四边形ABCD 是矩形.14.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≥->+2721)1(2x x x x ，并在数轴上表示它的解集.15.在ABC △中，AB AC =，点A 在以BC 为直径的半圆内，请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）.（1）在图1中作弦EF ，使得EF BC ∥； （2）在图2中以BC 为边作一个45°的圆周角.16.为了纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A ，B ，C ）依次表示这三首歌曲.比赛时，将A ，B ，C 这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片上，洗匀后正面朝下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛.（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是________.（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率.17.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B的坐标分别为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接AB ，以AB 为边向上作等边三角形ABC . （1）求点C 的坐标；（2）求线段BC 所在直线的解析式.四、（本大题共3小题，每小题8分。

第二部分 专题一 类型三1．(2018·鹰潭模拟)如图，有一三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是25°或40°或10°.2．(2019·原创)如图所示，在纸片ABCD 中，已知AB ∥DC ，∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝3，CD ＝4，点E 为AD 边上一点，小明沿EB ，EC 用剪刀将纸片ABCD 剪成三张三角形纸片，要使其中的△EAB 与△EDC 相似，则AE 的长为247，2或6.3．(2018·江西模拟)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝2，BC＝4，CD ＝3，∠B ＝∠C ＝90°，则原三角形纸片的斜边长是4．(2019·原创)用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是14或16或18.5．(2018·江西模拟)如图，将一条长为7 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段，若这三段长度由短到长之比为1∶2∶4，其中没完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是2或2.5 cm.6．(2018·抚州模拟)已知△ABC 是等边三角形，且AB ＝4，△ACD 是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC 和△ACD 拼成一个凸四边形ABCD ，则对角线BD 的长为37．(2018·上饶二模)如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，若将△ABC 沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形，再用这两个三角形拼成一个平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是8．(2018·宜春二模)将两块全等的三角板如图放置，点O 为AB 的中点，AB ＝A ′B ′＝10，BC ＝B ′C ′＝6，现将三角板A ′B ′C ′绕点O 旋转，B ′C ′，A ′B ′与边AC 分别交于点M ，N ，当△OMN 与△BCO 相似时，CM 的长度为258或74.。

江西中考数学填空多解题类型一条件开放考向1 形状不确定1. 已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5，圆心O到BC的距离为3，则AB 的长为__________．2. 在△ABC中，AD为BC边上的高，AC＝5，BC＝6，△ABC的面积为9，AB边的长为________．3. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B的大小为__________．4. 在▱ABCD中，AB＝2，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交直线CD于点F，EF ＝2，且DF＝1，则▱ABCD的周长等于____________．5. 以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列)，已知AB＝BC＝CD，∠ABC＝100°，∠CAD＝40°，则∠BCD的大小为__________．6. 已知△ABC是等边三角形，且AB＝4，△ACD是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD，则对角线BD的长为__________．7. 已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，OE∶ED＝1∶3，AE＝23，则AB∶AD＝__________．考向2位置不确定1. (2017吉安模拟)直线AB与⊙O相切于点B，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点(D与B、C不重合)，若∠A＝30°，则∠BDC的度数为________．2. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．3. 在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．4. 在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝2BC，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，且得点B，A，C′在同一条直线上，则∠CC′B的大小为________．5.已知O是AB的中点，将点A绕点O顺时针旋转一定角度得到OP，△AOP沿OP 翻折得到△COP，连接BC，若∠ABC＝50°，则∠A的度数为________．6. (2018原创)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△A′B′C，当A′落在△ABC的一边上时，连接BB′，取BB′的中点D，连接C、D，则CD的长度为________．第7题图7. 如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，P是菱形上的一动点，若点P从点F出发，沿F→D→C→B的路线运动，则当∠FPE＝30°时，FP 的长为______________．8. 已知正方形ABCD，在这个正方形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到BC的距离是2，点P到CD的距离是4，则点P到DA的距离是__________．9. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且tan ∠ADB ＝32，以AD 为边作正方形ADEF ，连接BE ，若AB ＝32，则线段BE 的长为________．10. （2017江西样卷一）菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，点E 在BC 上，CE ＝2 3.若点P 是菱形上异于点E 的另一点，CE ＝CP ，则EP 的长为________．11. （2017江西样卷二）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，AO ＝6，点D 为弧AB 的中点，C 为半径OA 上一动点(点A 除外)，沿CD 对折后点A 恰好落在扇形AOB 的边线OB 或OA 上，AC 的长可以是________________．类型二 结论开放考向1 等腰三角形腰和底不确定1. 如图，有一三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是________．第1题图2. 如图是全等的两个三角形△ABC 和△DEF (点A 、B 分别与点D 、E 对应)，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E 在BC 边上从B 向C 移动(点E 不与B 、C 重合)，在运动过程中，DE 始终经过点A ，EF 与AC 相交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时，BE 的长为__________．第2题图3. (2017吉安模拟) 如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象过点A (1，2)，且与x 轴相交于点B ；若点P 是x 轴上的一点，且满足△APB 是等腰三角形，则点P 的坐标可以是________．第3题图4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，AE ＝4，点F 是边BC 上一点，将△ABF 沿AF 折叠，使点B 落在BE 上的点B ′处，射线DC 与射线AF 相交于点M ，若点N 是射线AF 上一动点，则当△DMN 是等腰三角形时，AN 的长为____________．第4题图5. 矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝3，E 为AB 边的中点，P 为CD 边上的点，且△AEP 是腰长为5的等腰三角形，则DP ＝________．6. 已知⊙O的直径为4，A是圆上一固定点，弦BC的长为22(A，B，C三点均不重合)，当△ABC为等腰三角形时，其底边上的高为________．考向2直角三角形直角不确定针对演练1. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝8，点P为线段AB上一动点，过点P 作PE⊥AB交直线AD于E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为直角三角形时，AP＝__________．第1题图2. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是BC边上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为__________．第2题图3. 如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与AB相交于点P，等腰直角△DEF的顶点D在射线CP上，且EF∥AB，连接PE，PF.现在将△DEF沿CP方向进行平移，当△PEF为直角三角形时，∠DPF的度数为____________．第3题图4. 如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB＝5，AD＝32，当△CEF是直角三角形时，BD的长为________．第4题图5. 如图，点M是直线y＝2x＋3上的动点，过点M作MN⊥x轴于点N，当点M位于第二象限时，在y轴上有一点P，使△MNP为等腰直角三角形，则BP的长度为________．第5题图6. 如图，▱ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，∠B ＝60°，点P 是四边形上的一个动点，则当△PBC 为直角三角形时，BP 的长为__________．第6题图考向3 比例线段点位置不确定1. 如图，将一条长为7 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段，若这三段长度由短．．到长．．之比为1∶2∶4，其中没完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是________cm .第1题图2. 点A 、C 为半径是3的圆周上两点，点B 为的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为________．3. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝32，点P 为线段AC 上一个动点，过点P 作PD ⊥AC 交AB 于点D ，将△APD 沿直线PD 折叠，点A 的对应点为E ，连接DE ，BE .当△DEB 的两直角边之比为12时，AP 的长为________．第3题图三、相似三角形对应顶点不确定1. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CB ⊥AB ，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 是AB 边上一点，连接DP 、CP ，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，则AP 的长为__________.第1题图2. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点P 是AD 上的一个动点，若以A ，P ，B 为顶点的三角形与△PDC 相似，则AP 的长为________．第2题图3. 如图，平面直角坐标系中，已知点A (4，0)和点B (0，3)，点C 是AB 的中点，点P 在折线AOB 上，直线CP 截△AOB 所得的三角形与△AOB 相似，那么点P 的坐标是__________．第3题图4. 如图，已知平面直角坐标系中四点A(－2，4)，B(－2，0)，C(2，－3)，D(2，0)，设点P是x轴正半轴上的一点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则点P的坐标为________．第4题图参考答案 考向1 形状不确定 1. 45或25 【解析】如解图①，当三角形的外心在三角形的内部时，连接AO 并延长交BC 于点D ，∵AB ＝AC ，O 为外心，∴AD ⊥BC ，在Rt △BOD 中，BD ＝52－32＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝42＋82＝45；如解图②，当三角形的外心在三角形的外部时，在Rt △BOD 中，BD ＝52－32＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝42＋（5－3）2＝2 5.综上所述，AB 的长为45或2 5.第1题解图2. 13或109 【解析】分两种情况考虑：∵AC ＝5，BC ＝6，△ABC 的面积为9，∴AD ＝3，如解图①，当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：DC ＝52－32＝4；在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：AB ＝AD 2＋DB 2＝32＋22＝13，②如解图②，当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：DC ＝52－32＝4；在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：AB ＝AD 2＋BD 2＝32＋（6＋4）2＝109，故答案为：13或109.第2题解图3. 70°或20° 【解析】根据△ABC 中∠A 为锐角或钝角，分为两种情况：①当∠A 为锐角时，如解图①，∵AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50°，∴∠A＝40°，∴∠B ＝180°－∠A 2＝180°－40°2＝70°；②当∠A 为钝角时，如解图②，∵AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1＝40°，∴∠BAC ＝140°，∴∠B ＝∠C ＝180°－140°2＝20°.综上所述，∠B 的大小为70°或20°.第3题解图4. 8 cm 或4＋4 2 cm 【解析】①如解图①，当点F 落在CD 上时，由DF ＝1，AB ＝2可知F 点是CD 的中点，又∵EF 垂直平分AB ，∴可判断出平行四边形的四个角均为90°，即四边形ABCD 是矩形，∵AD ＝EF ＝2，AB ＝2，▱ABCD 的周长为8；②如解图②，当点F落在CD 的延长线上时，连接BD ，∵AB ＝2，EF 垂直平分AB ，∴BE ＝1，∵DF ＝1，∴BE ＝DF ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴四边形BEFD 是矩形，∴BD ＝EF ＝2，∴在Rt △BDC 中，BC ＝BD 2＋DC 2＝EF 2＋AB 22＝2，∴▱ABCD 周长为2AB ＋2BC ＝4＋4 2.第4题解图5. 80°或100° 【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝100°，∴∠1＝∠2＝∠CAD ＝40°，∴AD ∥BC .如解图①，过点C 分别作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，∵∠1＝∠CAD ，∴CE＝CF ，在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC CE ＝CF .∴Rt △ACE ≌Rt △ACF ，∴∠ACE ＝∠ACF ，在Rt △BCE 与Rt △DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CD CE ＝CF ，∴Rt △BCE ≌Rt △DCF ，∴∠BCE ＝∠DCF ，∴∠2＝∠ACD ＝40°，∴∠BCD ＝80°；如解图②，∵AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠BCD ＝∠ABC ＝100°.综上所述，∠BCD ＝80°或100°.第5题解图6. 27或47或4213【解析】①当AC 为斜边时，如解图①，此时BD 1＝BD 2，由∠ACD 1＝30°可得∠BCD 1＝90°，再由AC ＝BC ＝AB ＝4，可得AD 1＝2，CD 1＝23，在Rt △BCD 1中，BD 1＝BC 2＋CD 21＝27；②当AC 为短直角边时，如解图②，过点D 1作D 1E 垂直AB ，则∠EAD 1＝30°，由∠AD 1C ＝30°，AC ＝4，可得AD 1＝43，∴D 1E ＝23，AE ＝6，在Rt △BED 1中，BD 1＝BE 2＋D 1E 2＝47； ③当AC 为长直角边时，如解图③，由∠ACD 1＝30°，可得∠BCD 1＝90°，且CD 1＝AC cos ∠ACD ′＝833，在Rt △BCD 1中，BD 1＝BC 2＋CD 21＝4213.第6题解图 7. 33或153 【解析】①如解图①，点E 在BO 上时，∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OD ，∵OE ∶ED ＝1∶3，∴BE ＝OB －OE ＝OD －OE ＝(ED －OE )－OE ＝3OE －OE －OE ＝OE ，∴BE ＝OE ，∴AE ⊥OB 且平分OB ，∴AO ＝AB ，∴△ABO 是等边三角形，∴∠ABO ＝60°，∠ADB ＝30°，∴AB ∶AD ＝tan ∠ADB ＝tan 30°＝33；②如解图②，点E 在OD 上时，设OE 为x ，∵OE ∶ED ＝1∶3，∴ED ＝3x ，BE ＝OE ＋OB ＝x ＋(x ＋3x )＝5x ，由直角三角形的性质得△ADE ∽△BAE ，∴ED AE ＝AE BE ，即3x 23＝235x，解得x 2＝45，在Rt △ADE 中，AD ＝ED 2＋AE 2＝9×45＋12＝4530，在Rt △ABE 中，AB ＝EB 2＋AE 2＝25×45＋12＝42，∴AB ∶AD ＝42∶4530＝153.综上所述，AB ∶AD ＝33或153.第7题解图考向2 位置不确定1. 30°或150° 【解析】如解图所示，∵直线AB 与⊙O 相切于点B ，C 是⊙O 与OA 的交点，点D 是⊙O 上的动点(D 与B 、C 不重合)，∴∠OBA ＝90°，∵∠A ＝30°，∴∠BOA ＝60°，当点D 在劣弧BC 上时，∠BDC ＝180°－(60°÷2)＝150°；当点D 在优弧BC 上时，∠BDC ＝12∠BOA ＝30°，故答案为：30°或150°.第1题解图2. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ＝30°，∠ABC ＝∠ADC ＝150°，∴∠DBA ＝∠DBC ＝75°，∵ED ＝EB ，∠DEB ＝120°，∴∠EBD ＝∠EDB ＝30°，∴∠EBC ＝∠EBD ＋∠DBC ＝105°，当点E ′在BD 右侧时，∵∠DBE ′＝30°，∴∠E ′BC ＝∠DBC －∠DBE ′＝45°，∴∠EBC ＝105°或45°.第2题解图3. 5.5或0.5 【解析】分两种情况：①如解图1所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，∵四边形BCFE 为菱形，∴CF ＝EF ＝BE ＝BC ＝5，∴DF ＝CF 2－CD 2＝52－42＝3，∴AF ＝AD ＋DF ＝8，∵M 是EF 的中点，∴MF ＝12EF ＝2.5，∴AM ＝AF －DF ＝8－2.5＝5.5；②如解图2所示：同①得：AE ＝3，∵M 是EF 的中点，∴ME ＝2.5，∴AM ＝AE －ME ＝0.5；综上所述：线段AM 的长为5.5或0.5.第3题解图4. 15°或105° 【解析】由∠C ＝90°，AB ＝2BC ，可得∠BAC ＝30°，分情况讨论：如解图①，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C ′落在BA 的延长线上时，可得AC ＝AC ′，∴∠CC ′B ＝∠C ′CA ＝12∠BAC ＝15°；如解图②，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，当点C ′落在线段AB 上时，可得AC ＝AC ′，∴∠CC ′A ＝∠C ′CA ＝180－30°2＝75°，∠CC ′B ＝180°－75°＝105°.综上所述，∠CC ′B ＝15°或105°.第4题解图5. 65°或25° 【解析】如解图①，当P 、C 在AB 同侧时，由题意得：OA ＝OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠B ＝50°，∴∠AOC ＝100°，由翻折可得∠AOP ＝∠COP ，即∠AOP ＝50°，由旋转可知AO ＝OP ，∴∠A ＝180°－50°2＝65°；如解图②，当P 、C 在AB 异侧时，由题意得：OA ＝OB ＝OC ，∠OCB ＝∠B ＝50°，∴∠AOC ＝100°，由翻折可得∠AOP ＝∠COP ，即∠AOP ＝130°，由旋转可知AO ＝OP ，∴∠A ＝180°－130°2＝25°.综上可得，∠A ＝65°或25°.第5题解图6. 3或6 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，∴∠A ＝90°－∠ABC ＝60°，AB ＝4，BC ＝23，①如解图①，当A ′落在AB 上时，可得CA ＝CA ′，∴△ACA ′是等边三角形，∴∠BCB ′＝∠ACA ′＝60°，∵CB ＝CB ′，∴△BCB ′是等边三角形，∵D 为BB ′的中点，∴∠BDC ＝90°，∠BCD ＝30°，∴CD ＝cos 30°×BC ＝32×23＝3；②如解图②，当A ′落在BC 上时，可得BC ＝B ′C ，∠BCB ′＝90°，∴BB ′＝26，∵D 为BB ′的中点，∴CD ＝12BB ′＝ 6.综上所述，OD 的长度为3或 6.第6题解图7. 2或23或4 【解析】①如解图①，当点P 与点D 重合时，∠FPE ＝∠DEF ＝30°，此时FP ＝FD ＝FE ＝2；②如解图②，当点P 为DC 的中点时，FP 为△ADC 的中位线，FP ⊥FE ，PE ＝4，EF ＝2，∠FPE ＝30°，由勾股定理得FP ＝23；③如解图③，当点P 为BC 的中点时，EP 为△ABC 的中位线，EF ⊥EP ，PF ＝4，EF ＝2，∠FPE ＝30°，FP ＝DC ＝4；④如解图④，当点P 与点B 重合时，∠EFP ＝∠FBE ＝30°，此时FE ＝EB ＝2，在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝PF ＝2 3.综上所述，FP 的长为2或2 3 或4.第7题解图8. 1或3或5或7【解析】如解图，作l 1∥AB ，l 2∥AB ，且l 1和l 2到AB 的距离为1，作l 3∥BC ，l 4∥BC ，且l 3和l 4到BC 的距离为2，4条直线相交于P 1，P 2，P 3，P 4，l 1、l 2、l 3、l 4交正方形ABCD 及各边延长线于E 、F 、M 、H 、Q 、K ，若l 2到CD 的距离为4，则P 1F ＝4，∵P 1H ＝1，P 1Q＝2，∴HF ＝4＋1＝5，∵四边形ABCD 为正方形，∴MQ ＝AB ＝BC ＝HF ＝5，∴P 1M ＝MQ －P 1Q ＝5－2＝3；同理可得P 3M ＝7，若l 1到CD 的距离为4，则P 2F ＝4，∵P 2H ＝1，P 2N ＝2，∴HF ＝4－1＝3，∵四边形ABCD 为正方形，∴EN ＝AB ＝BC ＝HF ＝3，∴P 2E ＝EN －P 2N ＝3－2＝1；同理可得P 4E ＝5.综上所述，点P 到DA 的距离为1或3或5或7.第8题解图9. 217或22 【解析】在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝32，由勾股定理可得BC ＝6.过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝BH ＝3，再由tan ∠ADB ＝AH HD ＝32可得HD ＝AH tan ∠ADB＝2，如解图，当点E 1在BC 上方时，过点E 1作E 1M ⊥BC 交BC 的延长线于点M ，由四边形ADE 1F 1是正方形可证△AHD ≌△DME 1，∴DM ＝AH ＝3，ME 1＝HD ＝2，∴BM ＝BD ＋DM ＝BH ＋HD ＋DM ＝8，在Rt △BE 1M 中，BE 1＝BM 2＋ME 21＝217；当点E 2在BC 下方时，同理可证△AHD ≌△DNE 2，则NE 2＝HD ＝2，DN ＝AH ＝3，∴BN ＝BD －ND ＝BH ＋HD －ND ＝2，在Rt △BNE 2中，BE 2＝BN 2＋NE 22＝2 2.综上可得，BE 的长为217或2 2.第9题解图10. 6或26或32－6 【解析】如解图①，连接EP 交AC 与点H .第10题解图①∵菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴∠BCD ＝120°，∠ECH ＝∠PCH ＝60°，在△ECH 和△PCH 中⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝PC ∠ECH ＝∠PCH CH ＝CH，∴△ECH ≌△PCH ，∴∠EHC ＝∠PHC ＝90°，EH ＝PH ，∴EP ＝2EH ＝2sin 60°·EC ＝2×32×23＝6.如解图②，△ECP 为等腰直角三角形，则EP ＝2EC ＝26，第10题解图②过点P ′作P ′F ⊥BC .∵P ′C ＝23，BC ＝4，∠B ＝60°，∴P ′C ⊥AB ，∴∠BCP ′＝30°，∴FC ＝3 2×23＝3，P ′F ＝3，EF ＝23－3，∴EP ′＝（23－3）2＋（3）2＝32－6.综上所述，EP 的长为6或26或32－ 6.11. 6－33或6 或9－33 【解析】①当点A 落在半径OA 上时，连接OD ，如解图①所示，∵∠ACD ＝90°，∠AOB ＝60°，点D 为弧AB 的中点，点A (6，0)，∴∠COD ＝30°，OA ＝OD ＝6，∴OC ＝OD ·cos 30°＝6×32＝33，∴AC ＝OA －OC ＝6－33； ②如解图②，沿CD 对折后点A 恰好落在边线OB 上，且A ′和B 重合时，则C 和O 重合，此时，AC ＝OA ＝6；③沿CD 对折后点A 恰好落在边线OB 上，且A ′和B 不重合时，如解图③，连接OD 、BD 、AD ，作DF ⊥OA 于F ，∵∠AFD ＝90°，∠AOB ＝60°，点D 为弧AB 的中点，∴∠AOD＝∠BOD ＝30°，∠OAD ＝∠OBD ，∵OA ＝OD ＝6，∴DF ＝OD ·sin 30°＝6×12＝3，∠OAD ＝75°，∴OF ＝OD ·cos 30°＝6×32＝33，∴AF ＝OA －OF ＝6－33，∵DA ′＝DA ＝DB ，∠OAD ＝∠OBD ＝75°，∴BA ′＝2AF ＝12－63，∠DA ′B ＝∠OBD ＝75°，∴OA ′＝OB －BA ′＝6－(12－63)＝63－6，∵∠CA ′D ＝∠CAD ＝75°，∴∠BA ′C ＝150°，∴∠OA ′C ＝30°，∴∠A ′CO ＝90°，∴CA ′＝OA ′·sin 60°＝(63－6)×32＝9－33，∴AC ＝CA ′＝9－3 3.故答案为：6－33或6或9－3 3.第11题解图考向1 等腰三角形腰和底不确定针对演练1. 25°或40°或10° 【解析】据题意知△ABD 与△DBC 均为等腰三角形，对于△ABD ，可能有AB ＝AD 或AB ＝BD 或AD ＝BD ；由于∠A ＝80°，因此相应的∠BDC 可能为130°或100°或160°，无疑△DBC 只能是BD ＝CD ，故∠C 度数可以为25°或40°或10°.2. 1或116【解析】∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM ；①当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1；②当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE AC ＝AC CB ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝6－256＝116.综上所述，BE 的长是1或116. 3. (3，0)或(22－1，0)或(－22，0)或(1，0) 【解析】∵一次函数y ＝x ＋b 的图象过点A (1，2)，∴2＝1＋b ，解得b ＝1，∴B (－1，0)．当AB ＝AP 时，∵B (－1，0)，∴P 1(3，0)；当AB ＝BP 时，∵AB ＝（1＋1）2＋（2－0）2＝22，∴P 2(22－1，0)，P 3(－22－1，0)当AP ＝BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的中点坐标为(0，1)．设点P 所在的直线解析式为y ＝－x ＋c ，则c ＝1，∴直线解析式为y ＝－x ＋1，∴当y ＝0时，x ＝1，∴P 4(1，0)综上所述，P 点坐标为：(3，0)，(22－1，0)，(－22－1，0)，(1，0)．故答案为：(3，0)或(22－1，0)或(－22－1，0)或(1，0)．第3题解图4. 2或5或18 【解析】由题意可知，∵AF ⊥BE ，∴∠BAF ＋∠ABE ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠D ＝90°，∴∠BAF ＋∠DAM ＝90°，∴∠DAM ＝∠ABE ，∴△ABE ∽△DAM ，∴AB DA ＝AE DM ，∴36＝4DM，∴DM ＝8，AM ＝AD 2＋DM 2＝62＋82＝10，①当MN ＝MD 时，AN ＝AM －DM ＝10－8＝2或AN ＝AM ＋DM ＝10＋8＝18；②当ND ＝NM时，易知点N 是AM 的中点，∴AN ＝12AM ＝5，综上所述，当AN 为2或5或18时，△DMN 是等腰三角形．5. 1或4或9 【解析】①如解图①，当AE ＝EP ＝5时，过P 作PM ⊥AB ，∴∠PMB ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形BCPM 是矩形，∴PM ＝BC ＝3，∵PE ＝5，∴EM ＝PE 2－PM 2＝25－9＝4，∵E 是AB 中点，∴BE ＝5，∴BM ＝PC ＝5－4＝1，∴DP ＝10－1＝9；②如解图②，当AE ＝AP ＝5时，DP ＝AP 2－AD 2＝25－9＝4；第5题解图③如解图③，当AE ＝EP ＝5时，过P 作PF ⊥AB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠DAB ＝90°，∴四边形BCPF 是矩形，∴PF ＝BC ＝3，∵PE ＝5，∴EF ＝25－9＝4，∵E 是AB 中点，∴AE ＝5，∴DP ＝AF ＝5－4＝1.故答案为：1或4或9.6. 2＋2或2或2－2 【解析】当BC 为底边时，如解图①，连接AO 延长与BC 交于F ，连接BO ，CO ，在△ABO 与△ACO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC BO ＝CO AO ＝AO第6题解图∴△ABO ≌△ACO (SSS )，∴∠BAO ＝∠CAO ，在△AFB 与△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ∠BAO ＝∠CAO AB ＝AC，∴△AFB ≌△AFC (SAS )，∴BF ＝CF ＝2，∴AF ⊥BC ，∴AF 为△ABC 的高，在直角△BOF 中，OF ＝BO 2－BF 2＝2，∴AF ＝2＋2；当BC 为腰时，如解图②，连接BO 并延长与AC 交于F ，连接OA ，OC ，同理可证得：△ABO ≌△CBO ，∵∠ABO ＝∠CBO ，可得△AFB ≌△CFB ，∴AF ＝CF ，∴BF ⊥AC ，BF 为△ABC 的高，第6题解图②在△BOC 中∵OB 2＋OC 2＝8，BC 2＝8，∴△BOC 为等腰直角三角形，∴∠CBO ＝45°，∴CF ＝BF ，设CF ＝BF ＝x ，则2x 2＝8，解得：x ＝2，∴BF ＝2，当BC 为底时，如解图③，∵AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝2，设AF ＝x ，则OF ＝2－x ，在Rt △OBF 中，(2－x )2＋(2)2＝22，解得：x ＝2＋2(舍)或x ＝2－ 2.故答案为：2＋2或2或2－ 2.考向2 直角三角形直角不确定针对演练1. 22或4＋22 【解析】如解图①，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形，第1题解图①∵在菱形ABCD 中，AB ＝8，∴CD ＝AD ＝AB ＝8，在Rt △ADF 中，∵AD ＝8，∠DAF＝45°，AF ＝DF ＝AD ·sin 45°＝42，∴AP ＝12AF ＝22；如解图②，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形，第1题解图②在Rt △CBF 中，∵∠CFB ＝90°，∠CBF ＝∠A ＝45°，BC ＝8，∴BF ＝CF ＝42，∴AF ＝8＋42，∴AP ＝12AF ＝4＋2 2.故答案为：22或4＋2 2. 2. 3或6 【解析】在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AC 2＋BC 2＝10，∵△ADE 是△ABD 以AD 为折痕翻折得到的，∴AE ＝AB ＝6，DE ＝BD ，∠AED ＝∠B ＝90°.当△DEC 为直角三角形，①如解图①，当∠DEC ＝90°时，∵∠AED ＋∠DEC ＝180°，∴点E 在线段AC 上，设BD ＝DE ＝x ，则CD ＝8－x ，∴CE ＝AC －AE ＝4，∴DE 2＋CE 2＝CD 2，即x 2＋42＝(8－x )2，解得：x ＝3，即BD ＝3.图①图②第2题解图②如解图②，当∠EDC ＝90，∴∠BDE ＝90°，∵∠BDA ＝∠ADE ，∴∠BDA ＝∠ADE ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴AB ＝BD ＝6.综上所述：当△DEC 为直角三角形时，BD 的长为3或6.3. 0°或45°或15° 【解析】①如解图①，当点D 与点P 重合时，△PEF 为直角三角形，此时∠DPF ＝0°；②如解图②，点D 位于AB 下方时，且∠EPF ＝90°，△PEF 为直角三角形，此时由EF ∥AB ，可求得∠PMF ＝∠APM ＝75°.又∠EFD ＝45°，可得∠PDF ＝30°.∵∠EPF ＝∠EDF ＝90°，∴D ，E ，P ，F 四点共圆，∴∠DPF ＝∠DEF ＝45°；③如解图③，当点D 位于AB 下方时，且∠EFP ＝90°，△PEF 为直角三角形，此时由EF ∥AB ，可证∠PMF ＝∠APM ＝75°.又∠MFP ＝90°，可得∠DPF ＝15°.第3题解图4. 13或1 【解析】∵△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝90°－∠CAD ，∠CAE ＝∠DAE －∠CAD ＝90°－∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD＝CE .第4题解图①如解图①，∠CFE ＝90°时，AF ⊥DE ，∴AF ＝EF ＝22AE ＝22×32＝3，CF ＝AC －AF ＝5－3＝2，在Rt △CEF 中，CE ＝EF 2＋CF 2＝32＋22＝13，∴BD ＝CE ＝13；②如解图②，∠CEF ＝90°时，∠AEC ＝135°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝135°，∵∠ADB ＋∠ADE ＝135°＋45°＝180°，∴点B 、D 、F 三点共线，过点A 作AG ⊥DE ，则AG ＝DG ＝22AD ＝22×32＝3，在Rt △ABG 中，BG ＝AB 2－AG 2＝52－32＝4，∴BD ＝BG －DG ＝4－3＝1.综上所述，BD 的长为13 或1.5. 2或3或94【解析】令直线y ＝2x ＋3中x ＝0，则有y ＝3，即B 点的坐标为(0，3)，OB 的长为3.①如解图①，当等腰直角三角形的两条直角边是MN ，MP 时，设点P 的坐标为(0，a )，则点M 的坐标为(－a ，a )，∵点M 是直线y ＝2x ＋3上的动点，∴a ＝2×(－a )＋3，解得a ＝1，∴点P 的坐标为(0，1)，∴BP ＝3－1＝2；②如解图②，当等腰直角三角形的两条直角边是MN ，NP 时，点P 的坐标为(0，0)，则点M 的坐标为(－b ，b )，∵点M 是直线y ＝2x ＋3上的动点，∴b ＝2×(－b )＋3，解得b ＝1，即点M 的坐标为(－1，1)，点N 的坐标为(－1，0)，点P 的坐标为(0，0)，∴BP ＝3；③如解图③，当等腰直角三角形的两条直角边是MP ，NP 时，作PQ ⊥MN 交MN 于点Q ，设点P 的坐标为(0，c )，∵MP ＝NP ，∠MPN ＝90°，∴点M 的坐标为(－c ，2c )，∵点M 是直线y ＝2x ＋3上的动点，∴2c ＝2×(－c )＋3，解得c ＝34，∴点P 的坐标为(0，34)，∴BP ＝3－34＝94，综上可得，BP 的长度为2或3或94.第5题解图6. 2或23或19 【解析】分两种情况：(1)①当∠BPC ＝90°时，如解图①，作AM ⊥BC于点M ，∵∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∴BM ＝12AB ＝1，∴AM ＝3BM ＝3，CM ＝BC －BM ＝4－1＝3，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝23，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，∴当点P 与A 重合时，∠BPC ＝∠BAC ＝90°，∴BP ＝BA ＝2；②当∠BPC ＝90°，如解图②，点P 在边AD 上，CP ＝CD ＝AB ＝2时，BP ＝BC 2－CP 2＝42－22＝23；(2)当∠BCP ＝90°时，如解图③，则CP ＝AM ＝3，∴BP ＝BC 2＋CP 2＝19；综上所述，当△PBC 为直角三角形时，BP 的长为2或23或19.第6题解图考向3 比例线段点位置不确定针对演练1. 2或2.5 【解析】设折痕对应的刻度为x cm ，依题意有易知，纸带被剪成了1 cm 、2 cm 、4 cm 三段，又未被盖住的那部分最长，为4 cm ，所以折痕只能是在1 cm 的纸带上或2 cm 的纸带上．依题意有两种情况，①当折痕在2 cm 的那段上时，2(x －1)＝2，解得x ＝2 cm ；②当折痕在1 cm 的那段上时，2(x －2)＝1，解得x ＝2.5 cm .故答案为2或2.5.2. 6或23 【解析】如解图，连接OC ，当菱形在圆心左边时，在Rt △CEO 中，OE ＝1，CO ＝3，根据勾股定理得CE ＝22，在Rt △CED 中，根据勾股定理得，CD ＝23；同理：当菱形在圆心右边时，解得CD ＝6，∴菱形的边长为23或 6.第2题解图3. 2或22 【解析】∵AC ＝32，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴AB＝6，根据题意分两种情况考虑：①当DE DB ＝12时，如解图①，AD ＝DE ，DE DB ＝12，即AD DB ＝12，∴AD ＝2，在等腰直角三角形ADP 中，AP ＝2；②当DB DE ＝12时，如解图②，AD ＝DE ，DB DE＝12，即DB AD ＝12，∴AD ＝4，在等腰直角三角形ADP 中，AP ＝DP ＝2 2.故AP 的长为2或2 2.第3题解图1. 2或6或247【解析】∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＝180°－∠B ＝90°，∴∠P AD ＝∠PBC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，设AP 的长为x ，则BP 长为8－x ，若AB 边上存在P 点，使△P AD 与△PBC 相似，那么分两种情况：①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x )＝3∶4，解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x )，解得x ＝2或x ＝6.∴AP 的长为2或6或247. 2. 1或5或9 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ＝3，AD ＝BC ＝10，∠A ＝∠D ＝90°，设AP ＝x ，则PD ＝AD －AP ＝10－x ，若∠APB ＝∠DPC ，则Rt △APB ∽Rt △DPC .∴AP PD ＝AB CD ，即x 10－x ＝33，解得x ＝5；若∠APB ＝∠PCD ，则Rt △APB ∽Rt △DCP ，∴AB DP ＝AP CD ，310－x ＝x 3，解得x ＝1或9，∴当AP ＝1或5或9时，以A ，P ，B 为顶点的三角形与△PDC 相似．3. (0，32)或(2，0)或(78，0) 【解析】①当PC ∥OA 时，△BPC ∽△BOA ，由点C 是AB 的中点，∴点P 为OB 的中点，此时P 点坐标为(0，32)；②当PC ∥OB 时，△ACP ∽△ABO ，由点C 是AB 的中点，∴点P 为OA 的中点，此时P 点坐标为(2，0)；③当PC ⊥AB 时，如解图，第3题解图∵∠CAP ＝∠OAB ，∴Rt △APC ∽Rt △ABO ，∴AC OA ＝AP AB，∵点A (4，0)和点B (0，3)，∴AB ＝32＋42＝5，∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝52，∴524＝AP 5，∴AP ＝258，∴OP ＝OA －AP ＝4－258＝78，此时P 点坐标为(78，0)．综上所述，满足条件的P 点坐标为(0，32)或(2，0)或(78，0)．第4题解图①4. (27，0)或(14，0)或(4，0) 【解析】设OP ＝x (x ＞0)，分两种情况：(1)若点P 在线段BD 上，如解图①，有两种可能：①若△ABP ∽△CDP ，则AB ∶CD ＝BP ∶PD ，∴4∶3＝(x＋2)∶(2－x )解得x ＝27.∴点P 的坐标为(27，0)；②若△ABP ∽△PDC ，则AB ∶PD ＝BP ∶CD ，∴4∶(2－x )＝(x ＋2)∶3，方程无解；第4题解图②(2)若点P 在CD 的右边，如解图②，有两种可能：①若△ABP ∽△CDP ，则AB ∶CD ＝BP ∶PD ，∴4∶3＝(2＋x )∶(x －2)，∴x ＝14，∴点P 的坐标为(14，0)，②若△ABP ∽△PDC ，则AB ∶PD ＝BP ∶CD ，∴4∶(x －2)＝(x ＋2)∶3，∴x ＝±4，∴点P 的坐标为(4，0)或(－4，0)(舍去)．∴点P 的坐标为(27，0)或(14，0)或(4，0)．。

2019年江西省中考数学复习模拟卷压轴综合题【多解填空类题】精选解析1.若关于x 的方程2134416m m x x x ++=-+-无解，则m 的值为_______. 【答案】m=-1或m=5或m= -13（答对一个得1分） 【解析】整理分式方程2134416m m x x x ++=-+-，得22(1)4431616m x m m x x ++-+=--，即22(1)511616m x m x x +-=--，化简得（m+1）x=5m -1，当m=-1时，原方程无解，当x=±4时，原方程无解，即将x=±4代入（m+1）x=5m -1，解得m=5或-13，∴当m=-1或m=5或m= -13时原分式方程无解.故答案为-1,5，13.2.如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 . 【答案】180°或360°或540°【解析】如图所示，一个正方形被截掉一个角后，可能得到如下的多边形：3. 有一张等腰三角形纸片，AB=AC=5，BC=3，小明将它沿虚线PQ 剪开，得到△AQP 和四边形BCPQ 两张纸片（如图所示），且满足∠BQP=∠B ，则下列五个数据154，3，165，2，53中可以作为线段AQ 的长的有 个答案：3解析：如图，作CD∥PQ，交AB于D，则∠CDB=∠BQP，易得△BCD∽△BAC，所以BC BDAB BC=，即353BD=，解得BD=95，AD=165，由△APQ∽△ACD，得AP AQAC AD=，即1655AP AQ=，解得2516AP AQ=当AQ=154时，AP=37564＞5，不合题意，舍去；当AQ=3时，AP=7516合题意；当AQ=165时，点P与点C重合，不合题意，舍去；当AQ=2时，AP=5016符合题意；当AQ=53时，A P=12548＜5，符合题意，故可以作为线段AQ长的有3个4.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=21BC,则△ABC的顶角的度数为。