基本初等函数的导数公式的推导(修改)

16个基本导数公式推导过程推导过程如下：1.常数函数：f(x)=c求导结果：f'(x)=0。

证明过程：由导数定义可得，当函数为常数时，无论x取任何值，函数的增量都为0，即f(x + Δx) - f(x) = 0。

所以，f'(x) =lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。

2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为正整数。

求导结果：f'(x) = nx^(n-1)。

证明过程：利用定义求导。

计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x) = x^n的差值，然后除以Δx，当Δx趋于0时求极限。

利用二项式展开，可以得出f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数：f(x)=e^x。

求导结果：f'(x)=e^x。

证明过程：由指数函数的性质可知，e^0 = 1，且(d(e^x)/dx) = e^x。

因此，可以据此推导出f'(x) = e^x。

4. 对数函数：f(x) = ln(x)。

求导结果：f'(x)=1/x。

证明过程：由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx。

利用对数的性质，将差值化简为ln((x + Δx)/x)，再除以Δx并取极限，最终得出f'(x) = 1/x。

5. 正弦函数：f(x) = sin(x)。

求导结果：f'(x) = cos(x)。

证明过程：利用极限定义求导。

计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x + Δx) - sin(x)，然后除以Δx并取极限。

应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。

6. 余弦函数：f(x) = cos(x)。

求导结果：f'(x) = -sin(x)。

证明过程：同样应用极限定义。

计算f(x + Δx) - f(x) = cos(x + Δx) - cos(x)，然后除以Δx并取极限。

'
0.05eu 0.05e0.0 5x 1.
3函数y sinπx φ可以看作函数 y sinu和
u πx φ的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' y'x yu u'x sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
我们无法用现有的方法 求函数 y lnx 2 的导数 . 下面, 我们先分析这个函数的 结构特点 . 若设 u x 2x 2 , 则y ln u.从而 y lnx 2 可以看成是由 y ln u 和u x 2x 2 经过 " 复 合" 得到的, 即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x 的函数 . 如果把 y 与u的关系记作 y f u, u 和 x 的关系记作 u gx ,那么这个 " 复合 " 过程可表示为 y f u f gx lnx 2 . 我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过
思考 如何求函数y ln x 2 的导数呢?
" 复合" 得到的, 例如,函数y 2 x 3 由y u2和u 2 x 3" 复合" 而成,等等.
2
一般地 , 对于两个函数 y f u和u gx , 如果通过 变量 u, y可以表示成 x的函数 ,那么称这个函数为函 数y f u 和u g x 的 复 合 函 数 (composite fun ction),记作 y f gx . 复合函数 y f gx 的导数和函数 y f u,u gx 的 ' ' ' 导数间的关系为 y x yu ux .

基本初等函数的导数公式推导过程、幂函数f x Q* ）的导数公式推导过程命题若 f X x （ C*），则 f推导过程f x x f x limx 0x x x lim0xX0 11 2C x C x x C x lim0xX0 11 2 22C x x C x x C x x L C x lim0xXC1 x 1 x C2 x 2 x2 L C x limx 01 1 2lim C x C xx 0C1x 11x所以原命题得证.、正弦函数f x sinx的导数公式推导过程sin x limx 0 x sin x推导过程f xsin xcos x cosxsin x sin x lim x 0cosxsin x sin xcos x sin x lim x 0cosxsin x sinx cos x 1所以f lim cos x 0cosx sinx 1 2sin 2丄2lim x 0 2sin * x cosxcos-^2 22sin xsin2」2l l m0 2sin」cosxcos-^ sinxsin」2 2 2l l m0x 2sin cos2l l m0 cosx sin 20 时，sin2 2，所以此时x sin -2三、余弦函数f x cosx的导数公式推导过程cos x lim x 0x cosx l I m 0 l i m 0 2sin宁 x sin cosx 2 x . cos sinx 2l i m 0 2sin »sinx sin - 2l i m o sinsin xsin x四、指数函数 a * x ( a >0,且a 1)的导数公式推导过程推导过程f xf x x limx 0cosxcos x sinxsin x cosx limx 0cosxcos x cosx sinxsin x limx 0 cosx cos x 1 sinxsin x2sin 2丄cosx 2sin 丄 sin xcos-^ 2 2 2lim x 0 cosx 1 2sin 2—1 sinx 21，则 a x t 1，即x log a.且当x 0时，aU mt lOg a t 1lim t 01^lOg a t 1U m1 lOg a t 1「若 f x a x( a >0,且 a 1)，贝U f x a x lna .f x x limx 0xx x x a a limx 0 xx x x a a a limx 0limx I0 .所以原极限可以表示为:1又因为lim t 1 e,所以t 01log a ex ln a a -lne a x ln a五、对数函数f x log a x ( a >0，且a 1 , x >0)的导数公式推导过程命题1 若 fx log a x ( a >0,且 a 1, x >0 )，贝U f x ----------------------------------x l n a 推导过程 f xf x x f x limx 0lim log a 1t 0x1又因为呵1 t ： e ，所以1 , 1 lne 1lo g a e lim x 0log a X x xlog a x1 x xlim log a x 0x x1 1 x xlim xlog a x 0 x x x1 x x x lim — log ax 0 x x x1 x ,x x lim logx 0x x x x1 x x X lim log a x 0x xx1 x Xlim log a 1x 0 x x令t x 且当 x 0 时，t xf x0 •所以原极限可以表示为:x x ln a xln a 所以原命题得证.limx 0limx 0。

1.若f x c, 则f ' x 0;


5.若f x a x , 则f ' x a x ln a;
6.若f x e x , 则f ' x e x ;
1 7.若f x log a x, 则f ' x ; x ln a 1 8.若f x ln x, 则f ' x ; x
u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有 yx ' yu 'ux '
u '2x 3' 4u 8 x 12
2

(2)函数 y=e-0.05x+1 可以 看作函数 y=eu 和u= -0.05x+1的复合函数.根 据复合函数求导法则有
(3)函数 y=sin(x+) 可 以看作函数 y=sinu 和 u=x+的复合函数., 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y=3x2-2.
堂上练习 求下列函数的导数：
1y 2x4 20x2 40x 1
1 4 2 y 3 2 x 4 x 5 x x 6
2 3
3y (2x3 1)(3x2 x)
例3
日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度 的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位:元)为
5 284 80 x 100 c x 100 x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
(1) 90%; (2) 98%.
解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
'100 x 5284 100 x ' 5284 5284 c' x ' 2 100 x 100 x 5284 0 100 x 5284 1 100 x 2 100 x 2 1因为c' 90 5284 2 52.84, 100 90