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《数学建模》期末考试试卷 班级 姓名 学号一、（15分）某厂利用甲、乙、丙三种原料生产A 、B 、C 、D 、E 五种产品，单位产品（万件）对原材料的消耗（吨）、原材料的限量（吨）以及单位问五种产品各生产多少才能使总利润达到最大？ （1）建立线性规划问题数学模型。
（2）写出用LINGO 软件求解的程序。
二、（15分）用单纯形方法求如下线性规划问题的最优解。
123123123123max 614134248..2460,,0S x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩三、（15分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，消耗两种主要原材料A 与B 。
每单位产品生产过程中需要消耗两种资源A 与B 的数量、可供使用的原材料数量以及单位产品利润如下表：设生产甲、乙、丙产品的数量分别为123,,x x x 单位，可以建立线性规划问题的数学模型：123123123123max 4003005006030504500..3040503000,,0S x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩利用LINGO10.0软件进行求解，得求解结果如下：Objective value: 35000.00 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced CostX1 50.00000 0.000000 X2 0.000000 66.66667 X3 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 35000.00 1.000000 2 0.000000 3.333333 3 0.000000 6.666667（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；（2）写出该线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解；（3）灵敏度分析结果如下：Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 400.0000 200.0000 100.0000X2 300.0000 66.66667 INFINITYX3 500.0000 166.6667 66.66667Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 4500.000 1500.000 1500.0003 3000.000 1500.000 750.0000对灵敏度分析结果进行分析四、（10分）一个公司要分派4个推销员去4个地区推销某种产品，4个推销员在各个地区推销这种产品的预期利润（万元）如下表。
2023全国数学建模题目一、选择题（每题3分，共15分）下列哪个数不是质数？A. 2B. 3C. 9D. 13若一个圆的半径是5cm，则它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π下列哪个方程表示的是一条直线？A. y = x²B. y = 2x + 1C. y = 1/xD. xy = 1下列哪个数最接近√10？A. 2B. 3C. 4D. 5一个三角形的两边长分别为3和4，第三边的取值范围是多少？A. 1 < x < 7B. 2 < x < 8C. 3 < x < 9D. 4 < x < 10二、填空题（每题4分，共20分）绝对值等于5的数是_______。
已知|a - 3| + (b + 2)² = 0，则 a + b = _______。
已知一个正方体的棱长是6cm，则它的体积是_______ cm³。
方程2x - 3 = 5 的解是x = _______。
已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积是_______ cm²。
三、计算题（每题10分，共30分）计算：√27 - | - 2| + (1/2)^(-1) - (π - 3)^0。
解方程组：{x + 2y = 5,3x - y = 8.}已知一个矩形的面积是48cm²，一边长为6cm，求另一边长。
四、应用题（每题15分，共30分）某商店购进一批苹果，进价为每千克5元，售价为每千克8元。
若商店想要获得至少300元的利润，则至少需要售出多少千克的苹果？一辆汽车从A地开往B地，前两小时行驶了120km，后三小时行驶了180km。
求这辆汽车的平均速度。
《数学建模》期末试卷A一、填空题（每题2分，共20分）1、在数学建模中，我们将所要研究的问题________化。
2、在解决实际问题时，我们常常需要收集大量的数据，这些数据通常是不________的。
3、在建立数学模型时，我们通常需要对变量进行假设，这些假设通常是对________的描述。
4、在解决实际问题时，我们通常需要对多个因素进行________，以确定哪些因素对所要研究的问题有显著影响。
5、在建立数学模型时，我们通常需要对数据进行________，以发现数据之间的规律和关系。
6、在解决实际问题时，我们通常需要将复杂的问题________化，以方便我们更好地理解和解决它们。
7、在建立数学模型时，我们通常需要将实际问题________化，以将其转化为数学问题。
8、在解决实际问题时，我们通常需要考虑实际情况的________性，以避免我们的解决方案过于理想化。
9、在建立数学模型时，我们通常需要使用数学语言来________模型，以方便我们更好地描述和解决它。
10、在解决实际问题时，我们通常需要使用计算机来帮助我们进行________和计算。
二、选择题（每题3分，共30分）11、在下列选项中，不属于数学建模步骤的是（）。
A.确定变量和参数B.建立模型C.进行实验D.验证模型12、在下列选项中，不属于数学建模方法的是（）。
A.归纳法B.演绎法C.类比法D.反证法13、在下列选项中，不属于数学建模应用领域的是（）。
A.物理学B.工程学C.经济学D.政治学14、在下列选项中，不属于数学建模语言的是（）。
A.文字语言B.符号语言C.图形语言D.自然语言15、在下列选项中，不属于数学建模原则的是（）。
A.简洁性原则B.一致性原则C.可行性原则D.可重复性原则16、在下列选项中，不属于数学建模步骤的是（）。
A.对数据进行分析和处理B.对模型进行假设和定义C.对模型进行检验和修正D.对结果进行解释和应用17、在下列选项中，不属于数学建模应用领域的是（）。
全国大学生数学建模竞赛历年试题1.1992年A题：施肥效果分析；B题：试验数据分析；2.1993年A题：非线性交调的频率设计；B题：足球队拍名次；3.1994年A题：逢山开路；B题：锁具开箱；4.1995年A题：一个飞行管理问题；B题：天车与冶炼炉的作业调度；5.1996年A题：最优捕鱼策略；B题：节水洗衣机；6.1997年A题：零件的参数设计；B题：截断切割；7.1998年A题：投资的收益和风险B题：灾情巡视路线8.1999年A题：自动化车床管理B题：钻井布局C题：煤矸石堆积D题：钻井布局9.2000年A题：DNA序列分类B题：钢管订购和运输C题：飞越北极D题：空洞探测10.2001年A题：血管的三维重建B题：公交车调度C题：基金使用计划D题：公交车调度11.2002年A题：车灯线光源的优化设计B题：彩票中的数学C题：车灯线光源的计算D题：赛程安排12.2003年A题：SARS的传播B题：露天矿生产的车辆安排C题：SARS的传播D题：抢渡长江13.2004年A题：奥运会临时超市网点设计B题：电力市场的输电阻塞管理C题：饮酒驾车D题：公务员招聘14.2005年A题：长江水质的评价和预测B题：DVD在线租赁C题：雨量预报方法的评价D题：DVD在线租赁15.2006年A题：出版社的资源配置B题：艾滋病疗法的评价及疗效的预测C题：易拉罐形状和尺寸的最优设计D题：煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制16.2007A题：中国人口增长预测；B题：乘公交，看奥运；C题：手机“套餐”优惠几何；D题：体能测试时间安排17.2008A题数码相机定位;B题高等教育学费标准探讨;C题地面搜索;D题NBA赛程的分析与评价.18.2009A题制动器试验台的控制方法分析B题眼科病床的合理安排C题卫星和飞船的跟踪测控D题会议筹备19.2010A题储油罐的变位识别与罐容表标定B题2010年上海世博会影响力的定量评估C题输油管的布置D题对学生宿舍设计方案的评价19.2011A题城市表层土壤重金属污染分析B题交巡警服务平台的设置与调度C题企业退休职工养老金制度的改革D题天然肠衣搭配问题20.2012A题葡萄酒的评价B题太阳能小屋的设计C题脑卒中发病环境因素分析及干预D题机器人避障问题21.2013 A题车道被占用对城市道路通行能力的影响B题碎纸片的拼接复原C题古塔的变形D题公共自行车服务系统。
目录前言................................................................................................. 错误!未定义书签。
目录........................................................................................................................... - 0 - 一、什么是数学模型............................................................................................... - 3 -2001年B题……公交车调度......................................................................... - 4 - 2001年C题……基金使用计划..................................................................... - 9 - 2002年A题……车灯线光源的优化设计................................................... - 10 - 2002年B题……彩票中的数学................................................................... - 11 - 2003年A题……SARS的传播.................................................................... - 15 - 2003年B题……露天矿生产的车辆安排................................................... - 26 - 2003年D题……抢渡长江........................................................................... - 29 - 2004年C题……饮酒驾车........................................................................... - 32 - 2004年B题……电力市场的输电阻塞管理............................................... - 34 - 电力市场交易规则：............................................................................. - 35 -输电阻塞管理原则：............................................................................. - 36 -表1各机组出力方案（单位：兆瓦，记作MW） ............................ - 39 -表2各线路的潮流值（各方案与表1相对应，单位：MW） ......... - 41 -表3各机组的段容量（单位：MW） ................................................. - 42 -表4各机组的段价（单位：元/兆瓦小时，记作元/MWh）............. - 42 -表5各机组的爬坡速率（单位：MW/分钟） .................................... - 43 -表6各线路的潮流限值（单位：MW）和相对安全裕度 ................. - 43 -2008年B题……高等教育学费标准探讨................................................... - 43 - 2008年D题……NBA赛程的分析与评价 ................................................. - 45 - 2009年A题……制动器试验台的控制方法分析....................................... - 47 - 2009年B题……眼科病床的合理安排....................................................... - 50 - 【附录】2008-07-13到2008-09-11的病人信息 ................................ - 51 - 2009年D题……会议筹备........................................................................... - 77 - 附表1……10家备选宾馆的有关数据................................................. - 78 -附表2……本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）- 79 -附表3……以往几届会议代表回执和与会情况.................................. - 80 -附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米）......................... - 81 -二、为什么要学习数学模型................................................................................. - 83 -1、数学模型无处不在，我们的生活、工作、学习都离不开它............... - 83 -例1买房贷款问题................................................................................. - 83 -例2物体冷却过程的数学模型............................................................. - 84 -2、是学好数学用好数学的必经之路........................................................... - 86 -3、是数学教学改革的重要手段和有效路径............................................... - 88 -4、数学建模竞赛所提唱的团队精神是现代大学生必须具备素质........... - 91 -5、数学建模竞赛鼓励学生用跳跃式的、发散式的形象思维方法，这有利于培养学生的创新意识。
数学建模（六）——历年建模试题2009年数学建模竞赛题目（A题洁具流水时间设计）我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。
特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。
许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。
而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。
某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。
方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。
若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。
方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。
若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。
但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。
该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表：（1）请你根据以上数据，比较上述两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。
数学建模（六）——历年建模试题2009年数学建模题目（B题手机购买方案）如今，大学生都把手机当成了一种日常生活中的必需品。
同时，越来越多的商家也已开始把大学生作为手机购买群中最重要的消费群体之一，开始为大学生量身订做了很多款适合大学生使用的手机。
数学建模期末考试试题# 数学建模期末考试试题## 第一部分：选择题### 题目1在数学建模中，以下哪个选项不是模型的组成部分？A) 假设B) 目标C) 约束条件D) 计算工具### 题目2以下哪个是线性规划问题的一个特征？A) 目标函数和约束条件都是非线性的B) 目标函数和约束条件都是线性的C) 目标函数是线性的，约束条件是非线性的D) 目标函数是非线性的，约束条件是线性的### 题目3在数学建模中，敏感性分析的主要目的是什么？A) 确定模型的最优解B) 评估模型参数变化对结果的影响C) 简化模型结构D) 确定模型的稳定性## 第二部分：简答题简述数学建模中模型的校验过程。
### 题目2解释什么是多目标优化问题，并给出一个实际应用的例子。
### 题目3在进行数学建模时，为什么需要对模型进行敏感性分析？请说明其重要性。
## 第三部分：应用题### 题目1假设你被要求为一家工厂设计一个生产调度模型。
工厂有三种产品A、B和C，每种产品都需要经过三个不同的生产阶段：加工、装配和包装。
每个阶段的机器数量有限，且每种产品在每个阶段所需的时间不同。
请建立一个线性规划模型来最大化工厂的日利润。
### 题目2考虑一个城市交通流量的优化问题。
城市有多个交叉路口，每个交叉路口在不同时间段的交通流量是不同的。
如何建立一个数学模型来预测交通流量，并提出减少交通拥堵的策略？### 题目3一个公司想要评估其产品在市场上的竞争力。
公司有多个产品，每个产品都有不同的成本和利润率。
同时，公司需要考虑市场需求和竞争对手的情况。
请为该公司设计一个多目标优化模型，以确定最优的产品组合和市场策略。
## 第四部分：论文题选择一个你感兴趣的实际问题，建立一个数学模型来解决这个问题。
请详细描述你的建模过程，包括问题的定义、模型的假设、模型的建立、求解方法以及模型的验证。
### 题目2在数学建模中，模型的可解释性是一个重要的考虑因素。
请讨论模型可解释性的重要性，并给出一个例子来说明你的观点。
历年全国数学建模试题及解法归纳赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建赛题解法01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图论、0-1规划08A 照相机问题非线性方程组、优化08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分析、回归分析2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制2009年B题眼科病床的合理安排排队论，优化，仿真，综合评价2009年C题卫星监控几何问题，搜集数据2009年D题会议筹备优化赛题发展的特点： 1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B，某些问题需要使用计算机软件，01A。
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）A题：中国人口增长预测中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）B题：乘公交，看奥运我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。
这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题。
针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。
为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。
请你们解决如下问题：1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。
并根据附录数据，利用你们的模型与算法，求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）。
1全国大学生数学建模竞赛竞赛题目汇编(1992-2000)[注]相关优秀论文已经汇编成册正式出版：全国大学生数学建模竞赛组委会编，《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编（1992-2000）》，北京：中国物价出版社，2002 年3 月出版。
1992 年赛题A 题施肥效果分析某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。
某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示，其中ha 表示公顷，t 表示吨，kg表示公斤。
当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N 的施肥量做实验时，P 与K 的施肥量分别取为196kg/ha 与372kg/ha。
试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。
土豆：N P K施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)346710113520225933640447115.1821.3632.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 024 49 73 98 147 196 245 294 342 33.46 32.4736.0637.96 41.0440.0941.2642.17 40.36 42.73 047 93 140 186 279 372 465 558 651 18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.7343.8742.7746.22生菜：N P K 施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)28568411216822428033639211.0212.7014.5616.2717.7522.5921.6319.3416.1214.1149981471962943915876856.399.4812.4614.3817.1021.9422.6421.3422.0724.53479314018627937246555865115.7516.7616.8916.2417.5619.2017.9715.8420.1119.40（北京理工大学叶其孝提供）B 题实验数据分解组成生命蛋白质的若干种氨基酸可以形成不同的组合。
通过质谱实验测定分子量来分析某个生命蛋白质分子的组成时，遇到的首要问题就是如何将它的分子量X 分解为几个氨基酸的已知分子量a[i]（i =1,2,…,n)之和。
某实验室所研究的问题中：n = 18,a [1: 18] = 57,71,87,97,99,101,103,113, 114,115,128,129,131,137,147,156,163,186.x 为正整数≤1000。
要求针对该实验室拥有或不拥有微型计算机的情况，对上述问题提出你们的解答，并就你所研讨的数学模型与方法在一般情形下进行讨论。
（华东理工大学俞文ci、复旦大学谭永基提供）注1992 年优秀论文及评阅人文章没有正式发表。
2全国大学生数学建模竞赛1993 年赛题A 题非线性交调的频率设计如果一非线性器件的输入u(t)与输出y(t)的关系是y(t) = u(t) + u2(t)（其中t 是时间），那么当输入是包含频率f1、f2 的信号u(t) = cos2πf1t + cos2πf2 t时，输出y(t)中将不仅包含输入信号f1、f2，而且还会出现2f1、f1 ± f2等新的频率成分，这些新的频率称为交调。
如果交调出现在原有频率f1、f2的附近，就会形成噪声干扰，因此工程设计中对交调的出现有一定的要求。
现有—SCS（非线性）系统，其输入输出关系由如下一组数据给出：输入u 0 5 10 20 30 40 50 60 80输出y 0 2.25 6.80 20.15 35.70 56.40 75.10 87.85 98.50输入信号为u(t) = A cos f t + A cos f t + A cos f t 1 1 2 2 3 3 2π2π2π，其中A1 = 25，A2 = 10，A3 = 45是输入信号的振幅。
对输入信号频率f1、f2、f3 的设计要求为：1）36 ≤ f1 ≤ 40,41 ≤ f2 ≤ 50,46 ≤ f3 ≤ 55。
2）输出中的交调均不得出现在f i ±5 的范围内( i=1,2,3),此范围称为f i 的接收带（参看下图）。
3）定义输出中的信噪比SNRBCin= 10 1022 log （单位：分贝），其中B i 是输出中对应于频率为f i的信号的振幅，C n是某一频率为f n的交调的振幅。
若f n出现在f n = f i ± 6处(i = 1,2,3),则对应的SNR 应大于10 分贝（参看下图）。
B i (信号振幅）C n (交调振幅)f n = f i -6 f i -5 f i f i +5 f i +6接收带4）f i 不得出现在f j 的接收带内( i, j = 1,2,3,i ≠j )。
5）为简单起见，f i只取整数值，且交调只需考虑二阶类型（即{ f f },i, j , , i j ± = 12 3）和三阶类型（即{ f f f },i, j, k , , i j k ± ± = 12 3）。
试按上述要求设计输入信号频率f1 、f2 、f3 。
（北京大学谢衷洁提供）B 题足球队排名次下表给出了我国12 支足球队在1988 ~ 1989 年足球甲级队联赛中的成绩，要求1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。
2）把算法推广到任意N 个队的情况。
3）讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次。
3T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12T1 X0:11:00:02:21:00:22:03:11:03:1 1:0 0:11:30:22:11:04:01:11:1 X XT2 X2:00:11:30:02:00:01:1 2:1 1:11:10:00:02:01:10:20:0 X XT3X4:20:02:1 3:0 1:01:40:13:11:02:30:12:0 X XT4X2:3 0:1 0:52:32:11:30:10:00:11:1 X XT5X0:1X X X X1:01:20:01:1T6X X X X X X X T7X1:02:00:02:13:01:03:13:02:23:1 2:0T8X1:22:01:11:00:13:1 0:0T9X3:01:00:01:0 1:0T10X1:0 2:0T11X1:!1:21:1T12X说明：1）12 支球队依次记作T1，T2， (12)2）符号X 表示两队未曾比赛。
3）数字表示两队比赛结果，如T3 行与T8 列交叉处的数字表示：T3 与T8 比赛了2 场；T3 与T8 的进球数之比为0:1 和3:1。
（清华大学蔡大用提供）注1993 年北京地区的优秀论文及评阅人文章发表在《数学的实践与认识》1994 年第2 期上。
4全国大学生数学建模竞赛1994 年赛题A 题逢山开路要在一山区修建公路，首先测得一地点的高程，数据见表1（平面区域0≤x≤5600, 0≤y≤4800，表中数据为坐标点的高程，单位：米）。
数据显示：在y = 3200 处有一东西走向的山峰；从坐标（2400，2400）到（4800，0）有一西北— 东南走向的山谷；在（2000，2800）附近有一山口湖，其最高水位略高于1350 米，雨季在山谷中形成一溪流。
经调查知，雨量最大时溪流水面宽度W 与（溪流最深处的）x 坐标的关系可近似表示为w xx( ) = ( ) /−+240023 4 5(2400 ≤x ≤ 4000)。
公路从山脚（0，800）处开始，经居民点（4000，2000）至矿区（2000，4000）。
已知路段工程成本及对路段坡度α（上升高程与水平距离之比）的限制如表2。
1）试给出一种线路设计方案，包括原理、方法及比较精确的线路位置（含桥梁、隧道），并估算该方案的总成本。
2）如果居民点改为3600 ≤x ≤ 4000, 2000 ≤y ≤ 2400的居民区，公路只须经过民区即可，那么你的方案有什么改变。
表一↑北4800 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 1504400 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 2104000 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 3503600 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 5003200 1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 15502800 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 12002400 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 11002000 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 9501600 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 7501200 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550800 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350400 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 3200 370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250Y/X 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600表二工程种类一般路段桥梁隧道工程成本（元/米）300 2000 1500（长度≤300 米）；3000（长度>300 米）对坡度α的限制α< 0.125 α= 0 α<0.100（西安电子科技大学何大可提供）B 题锁具装箱某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有 5 个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6} 6个数（单位略）中任取一数。
