八年级数学新思维(第4本)

七年级奥数培训题（A ）例1.已知︱a ︱=5, ︱b ︱=3，且︱a-b ︱=b-a ，那么a+b= 。

例2．化简∣20041-20031∣+∣20031-20021∣+∣20021-20011∣+∣20011-20001∣= 。

例3．若x 的相反数是3，∣y ∣=5，则x+y 的值为 。

例4．已知∣a ∣=-a ，化简∣a-1∣-∣a-2∣所得结果是 。

例5．若∣m+2∣+(n-1)2=0，则m+2n 的值为 。

例6．∣x+11∣+∣x-12∣+∣x+13∣的最小值为 。

例7．计算：1+211++3211+++43211++++……+1003211+⋯⋯+++ 例8．已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数，x 的绝对值等于3，求：x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2011+(-ab)2013的值。

例9．计算：（1）（17277+27177-113937）÷（131712+82717-53938）= 。

（2）（5175+23233-27295）÷（112313+7174-132917）= 。

例10．速算：21+（31+32）+（41+42+43）+…+（601+602+…+6059）例11．计算：2-22-23-……-218-219+220＝ 。

例12．速算：211×（-455）+365×455-211×545+545×365 例13．计算1+2+22+23+……+22011－22012＝ 。

例14．计算（1+311⨯）×（1+421⨯）×（1+531⨯）×……×（1+99971⨯）×（1+100981⨯） 例15．计算：121-265+3121-42019+5301-64231+7561-87271+9901例16．计算：（37311+5197+72313）÷（3197+52313+77311）例17.（51154533515995++）÷（111193313991++）= 。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，是平方数的是（）A. 25.1B. 36C. 49.9D. 502. 若一个数a是4的倍数，那么a一定是下列哪个数的倍数？（）A. 2B. 4C. 8D. 163. 下列各图中，符合三角形内角和定理的是（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 长方形B. 正方形C. 平行四边形D. 梯形5. 若一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的周长为（）A. 26cmB. 24cmC. 22cmD. 28cm二、填空题（每题5分，共20分）6. 若a=5，则a²-3a+2的值为______。

7. 若x=2，则3x²-4x+1的值为______。

8. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点坐标为______。

9. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长为______。

10. 若一个等边三角形的边长为a，则该三角形的面积S为______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知：x²+2x-3=0，求x的值。

12. （10分）已知：a²+4a+4=0，求a的值。

13. （10分）在直角坐标系中，点B（-3，4）关于y轴的对称点坐标为______。

四、应用题（每题15分，共30分）14. （15分）某校八年级共有学生120人，男生人数是女生人数的2倍，求该校八年级男生和女生各有多少人？15. （15分）某班级有8名同学参加数学竞赛，已知甲、乙、丙三人成绩相同，其余五人成绩互不相同。

若甲、乙、丙三人的平均成绩为85分，求该班级所有同学的平均成绩。

答案：一、选择题1. B2. A3. B4. B5. A二、填空题6. 27. 18. （-2，3）9. 22cm 10. (sqrt(3)/4) a²三、解答题11. x₁=1，x₂=-3 12. a=-2 13. （3，4）四、应用题14. 解：设女生人数为x，则男生人数为2x。

《新思维》、《新方法》对比简测《新思维》、《新方法》以及《大视野》都是黄东坡老师的著作，作为初中数学拔高类的教辅，一直以来都被老师、家长和学生所推崇。

其中《大视野》因为主要是涉及竞赛内容，在此我们不再赘述，《新思维》和《新方法》则是一直被认为是初中数学拔高类教辅中的佼佼者，有不少名校培优班的数学老师会选择两者之一作为补充练习。

普遍认为，《新思维》偏课内一些，《新方法》偏竞赛一些，难度更高。

但是到底《新思维》与《新方法》有什么区别，我们说《新方法》偏竞赛，到底有多“偏”？我们说《新方法》比《新思维》难，到底难到什么程度？想必朋友们市很好奇这件事情的，正好前一段朋友们打赏我的文章，我用这些钱又购置了一些教辅，其中就有七年级的《新方法》，正好可以和我手头的七年级《新思维》做一个简单的对比评测，为朋友选择教辅提供参考。

关于《新思维》的评测，我在之前已经写过。

见书识人——黄东坡《数学探究应用新思维（七年级数学）》评测所有这里我着重比较两者的区别，更侧重对新方法的分析。

目录一、《新思维》与《新方法》的结构对比二、《新思维》与《新方法》的题目结构与难度对比（一）、知识简析（二）、例题对比（三）、习题对比三、《新思维》与《新方法》到底怎么选？怎么用？（一）、怎么选？（二）、怎么用？四、小结一、《新思维》与《新方法》的结构对比两本书拿到手里，厚薄差不多，《新方法》略厚一些，去掉答案，《新方法》多了大概十几页。

两本书的体例都比较类似，大体都是以七年级数学教材为纲，但是又按照代数、几何、概率统计分别整合成几大块。

不过《新方法》又额外多了一部分拓展内容，这是它与《新思维》的区别。

我将两本书在各部分中的内容对照表整理出来，大家一看便知。

显然可以看出，在代数部分，《新方法》在内容上是包含了《新思维》的内容的，相较于《新思维》，《新方法》多了一些数学思维的拓展——走进美妙的数学世界、跨越——从算术到代数、创造的基石——观察、归纳与猜想；在一些知识上做了细化，比如一元一次方程中专门设置了绝对值与一元一次方程一节；增添了整式的乘法与除法、乘法公式等章节。

北师大版八年级数学下册第四章因式分解难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2－4x ＋4＝x （x －4）＋4B ．9－6（m －n ）＋（n －m ）2＝（3－m ＋n ）2C ．4x 2＋2x ＋1＝（2x ＋1）2D ．x 4－y 4＝（x 2＋y 2）（x 2－y 2）2、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．()m x y mx my -=-B ．22()()a b a b a b -=+-C ．221(2)1x x x x ++=++D ．2(3)(1)43x x x x ++=++3、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()()2224m m m +-=-B ．()23232m m m m ++=++C ．()22442m m m ++=+D ．()233m m m m -=-4、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2a 2﹣2a +1＝2a （a ﹣1）+1B ．（x +y ）（x ﹣y ）＝x 2﹣y 2C ．x 2﹣4xy +4y 2＝（x ﹣2y ）2D ．x 2+1＝x （x +1x） 5、在实数范围内因式分解2x 2﹣3xy ﹣y 2，下列四个答案中正确的是（ ）A ．（x y ）（x ）B ．（x y ）（x ）C ．2（x y ）（x ）D ．2（x y ）（x ） 6、下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（ ）A ．2214x xy y -+B ．222x xy y ++C ．22x y -+D ．22x xy y ++7、若a 、b 、c 为一个三角形的三边长，则式子()22a c b --的值（ ）A ．一定为正数B ．一定为负数C ．可能是正数，也可能是负数D ．可能为0 8、已知m ＝1﹣n ，则m 3+m 2n +2mn +n 2的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．29、下列多项式中有因式x ﹣1的是（ ）①x 2+x ﹣2；②x 2+3x +2；③x 2﹣x ﹣2；④x 2﹣3x +2A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④10、下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）A ．a （x +y ）＝ax +ayB ．10x 2﹣5x ＝5x （2x ﹣1）C ．x 2﹣4x +4＝（x ﹣4）2D ．x 2﹣16+3x ＝（x +4）（x ﹣4）+3x第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若多项式5x 2＋17x ﹣12可因式分解成（x ＋a ）（bx ＋c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a ，b ，c 的中位数是_____2、在实数范围内分解因式：x 2﹣3xy ﹣y 2＝___．3、把多项式2a 3﹣2a 分解因式的结果是___．4、分解因式：32231212x x y xy -+=______．5、a 、b 、c 是等腰△ABC 的三边长，其中a 、b 满足a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29＝0，则△ABC 的周长为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、分解因式：（1）32484m m m -+；（2）2()()a a b b a -+-．2、分解因式：22216a ab b +-+．3、分解因式：（1）2a 3﹣8ab 2；（2）(a 2+1)2﹣4a 2．4、因式分解：423624x x --．5、阅读与思考：材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=，原式()()264(y y =+++第一步)2816(y y =++第二步)2(4)(y =+第三步)22(44)(x x =-+第四步)（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______(填写选项)．A .提取公因式B .平方差公式C .两数和的平方公式D .两数差的平方公式（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______.(填彻底或不彻底)；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x ++++进行因式分解．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用公式法进行因式分解判断即可．【详解】解：A 、2244(2)x x x -+=-，故A 错误，B 、9－6（m －n ）＋（n －m ）2＝（3－m ＋n ）2，故B 正确，C 、4x 2＋2x ＋1，无法因式分解，故C 错误，D 、4422()()()x y x y x y x y -=++-，因式分解不彻底，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题主要是考查了利用公式法进行因式分解，一定要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的形式，另外因式分解一定要彻底．2、B【分析】根据因式分解的定义直接判断即可．【详解】解：A ．等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C ．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D ．属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．3、C【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，即可进行判断．【详解】A. ()()2224m m m +-=-，变形是整式乘法，不是因式分解，故A 错误；B. ()23232m m m m ++=++，右边不是几个因式乘积的形式，故B 错误；C. ()22442m m m ++=+，把一个多项式化成两个整式乘积的形式，变形是因式分解，故C 正确； D. ()233m m m m -=-，变形是整式乘法，不是因式分解，故D 错误．【点睛】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．4、C【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A ．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D ．等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】此题主要考查因式分解的识别，解题的关键是熟知因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式．5、C【分析】首先解关于x 的方程，进而分解因式得出即可．【详解】解：当2x 2﹣3xy ﹣y 2＝0时，解得：x 1y ，x 2，则2x 2﹣3xy ﹣y 2＝2（x y ）（x ）． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键．6、D【分析】 利用完全平方公式把2214x xy y -+，222x xy y ++分解因式，利用平方差公式把22x y -+，从而可得答案.【详解】 解：222221112,21422x x y y x y x xy y ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+故A 不符合题意； ()222,2x xy y x y =+++故B 不符合题意； ()()2222,y x y y x y x x =-=+--+故C 不符合题意；22x xy y ++，不能用公式法分解因式，故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是利用平方差公式与完全平方公式分解因式，熟悉平方差公式与完全平方公式的特点是解题的关键.7、B【分析】先分解因式，再根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．【详解】解：原式=(a-c+b)(a-c-b)，∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴a-c+b＞0，a-c-b＜0，∵两数相乘，异号得负，∴代数式的值小于0．故选：B．【点睛】本题利用了因式分解，以及三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．8、C【分析】先化简代数式，再代入求值即可；【详解】∵m＝1﹣n，∴m+n＝1，∴m3+m2n+2mn+n2＝m2（m+n）+2mn+n2＝m2+2mn+n2＝（m+n）2＝12＝1，故选：C ．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．9、D【分析】根据十字相乘法把各个多项式因式分解即可判断．【详解】解：①x 2+x ﹣2＝()()21x x +-；②x 2+3x +2＝()()21x x ++；③x 2﹣x ﹣2＝()()12x x +-；④x 2﹣3x +2＝()()21x x --．∴有因式x ﹣1的是①④．故选：D ．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如2x px q ++的二次三项式，若能找到两数a b 、，使a b q ⋅=，且a b p +=，那么2x px q ++就可以进行如下的因式分解，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．10、B【分析】根据因式分解定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，对各选项进行一一分析即可．【详解】解：A. a （x +y ）＝ax +ay ，多项式乘法，故选项A 不合题意B. 10x 2﹣5x ＝5x （2x ﹣1）是因式分解，故选项B 符合题意；C. x 2﹣4x +4＝（x ﹣2）2因式分解不正确，故选项C 不合题意；D. x 2﹣16+3x ＝（x +4）（x ﹣4）+3x ，不是因式分解，故选项D 不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的定义是解题关键．二、填空题1、4【分析】首先利用十字交乘法将5x 2+17x -12因式分解，继而求得a ，b ，c 的值．【详解】利用十字交乘法将5x 2+17x -12因式分解，可得：5x 2+17x -12=（x +4）（5x -3）=（x ＋a ）（bx ＋c ）．∴4,5,3a b c ===-，∵453-、、的中位数是4 ∴a ，b ，c 的中位数是4故答案为：4．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式以及中位数，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a 、b 、c 的值是得出正确答案的关键．2、33()()22x y x y y --．【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．【详解】解：223x xy y -- =222913344x xy y y -+-=22313()24x y y --=33()()22x y y x y y --．故答案为：33()()22x y y x y --． 【点睛】本题主要考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．3、2(1)(1)a a a +-【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：2a 3﹣2a=22(1)a a -=2(1)(1)a a a +-；故答案为2a (a +1)(a -1)【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．4、()232x x y -【分析】首先提公因式3x ，然后利用完全平方公式因式分解即可分解．【详解】解：2322223123(44)3(2)12x x x x x y xy y y x x y -+=-+=-． 故答案为：23(2)x x y -．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法与步骤，熟记公式是解题关键． 5、12【分析】先利用完全平方公式把a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29＝0化为()()22250,a b -+-=再利用非负数的性质求解,,a b 再分两种情况讨论：当2a =为腰时，当2a =为底时，结合三角形的三边关系，从而可得答案.【详解】 解： a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29＝0，224410250,a a b b ∴-++-+= ()()22250,a b ∴-+-= 20,50,a b ∴-=-=2,5,a b ∴==a 、b 、c 是等腰△ABC 的三边长，当2a =为腰时，则另一腰2,c = 此时225,+＜ 三角形不存在，舍去，当2a =为底时，则腰5,b c == 此时255,+＞ 三角形存在，∴△ABC 的周长为25512.++=故答案为：12【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，掌握以上基础知识是解题的关键.三、解答题1、（1）24(1)m m -；（2）()(1)(1)a b a a -+-【分析】（1）提取m ，后用完全平方公式分解；（2）提取a -b ，后用平方差公式分解．【详解】解：（1）原式24(21)m m m =-+24(1)m m =-．（2）原式2()()a a b a b =---2()(1)a b a =--)(1)((1)a b a a -+-=．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握先提后用公式的分解顺序是解题的关键．2、(4)(4)a b a b +++-【分析】先根据完全平方公式分组分解，再利用平方差公式计算即可．【详解】解：原式=22(2)16a ab b ++-=2()16a b +-=(4)(4)a b a b +++-【点睛】本题考查利用分组分解法分解因式，正确把握完全平方公式和平方差公式特点是解题的关键．3、（1）2(2)(2)a a b a b +-；（2）22(1)(1)a a +-．【分析】（1）综合利用提公因式法和平方差公式分解因式即可得；（2）综合利用平方差公式（22()()a b a b a b +-=-）和完全平方公式（222()2a b a ab b ±=±+）分解因式即可得．【详解】解：（1）原式222(4)a a b =-，)22(()2a a b a b =-+；（2）原式22(12)(12)a a a a =+++-，22(1)(1)=+-a a ．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是解题关键．4、23(2)(2)(2)x x x +-+【分析】先提公因式，然后利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可求解．【详解】解：原式423(28)x x =--223(4)(2)x x =-+23(2)(2)(2)x x x =+-+．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．5、（1）C ；（2）不彻底，4(2)x -；（3）4(1)x +．【分析】（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，即可得出选项；（2）根据完全平方公式中的两数差的平方公式可继续进行因式分解；（3）根据材料，用换元法进行分解因式即可．【详解】解：（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，故选：C ；（2）小影同学因式分解的结果不彻底，原式2244x x -+=()22[(2)]x =-4(2)x =-，故答案为：不彻底，4(2)x -；（3）设22x x y +=，原式()21y y =++，221y y =++，21)y +=(，222(1)x x +=+，4(1)x =+．【点睛】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．。