第39课柯西不等式 百炼千锤+不等式+命题探秘第二版一题一课

柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

柯西不等式的应用技巧及练习
柯西不等式的一般形式是：设12
12,,,R n n a a a b b b ∈，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立．
其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 2
n a b 和
21求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++
例７ 设,121+>>>>n n a a a a 求证：
练习题
1.(2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++=
(1)求t 的最小值；
(2)当2
1=t 时，求z 的取值范围 2(2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。

(1)求()222149a b c +++的最小值；
(2)
≥3
45678求x
z z y y x +++++值． 9(2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列{}n a 的首项135
a =， 13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+(1)求{}n a 的通项公式； (2) 证明：对任意的()21120,,1,2,;131n n x a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭+。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

如何进行柯西不等式的教学？柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式.由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的.柯西不等式∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥⋅不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)(有一个推广形式：n n qqn q q ppn p p b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ 2211121121)()(.其中111=+qp .该不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当2==q p 时，即为柯西不等式，是数学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式∑∑∑===+≥+ni i ini ini iy xyx121212)(（闵可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.这就是在新课程标准中作为选学内容出现的原因，也是多年数学奥赛的重点内容的原因.但由于中学生的认知水平，要达到标准要求“了解柯西不等式、会求一些特定函数的极值”对很多同学来说是一个难点.那么，如何达到学习目的呢？1．首先熟悉“∑”的含义有很多同学十分“痛恨”∑这个符号，总是看不懂，从而就避开这个符号，如93年高考题理科（24）使用了连加号“Σ”，许多考生不懂，其实这个符号在课本多次出现过，由于长期不用，他们忘记了.这个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了.∑iA下方写1i =，上方写n ，这里i 是下标变量，1是i 起始的值，n 是i 终止的值，这时121nin i A A AA ==+++∑.2．柯西不等式有着丰富的几何背景，可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解对于一个代数结果作简单的解释，往往需要借助于几何背景，只有人们知道了问题发现的过程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等式：设()12,,,n a a a α=，()12,,n b b b β=，由αβαβ≥⋅，可得222111()n nni ii i i i i a ba b ===≥∑∑∑.3．认清柯西不等式的结构形式以便发生联想20世纪最伟大的数学家冯·诺依曼（L.J.V on Neumann ）指出“大多数最好的数学灵感来源于经验”，从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和方”.等号成立条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数.有了这一经验，就容易在解题时发生联想. 如：例1设,,a b c 为正数，求证：222a b c a b c b c a++≥++. 分析：如果要运用cauchy 不等式，就要联想到小的一边是“积和方”形式就自然分析出只要证在不等式两边同乘以a b c ++，即2222()()()a b c a b c a b c b c a++++≥++， 而另一边要看成“方和积”，只需变形222a b c ++=++，222222a b cb c a ++=++，应用柯西不等式，得2222222)(])()()][()()()[(cb c ba b ac a cb ba ac c b a ⋅+⋅+⋅≥++++即222a b c a b c b c a++≥++. 4．含有常数的不等式处理方法在不等式中含有常数n ，这个常数一般与cauchy 不等式中向量的维数有关，通常把n 写成22221111++++的形式或111+++的形式,又如：例2证明：()()2333366664a b c da b c d +++≤+++.分析：常数4恰好就是每个括号中加数的个数，此时通常把4写成“22221111+++”，用柯西不等式：()()()23333222266661111a b c d a b c d +++≤++++++即可.例3设λ是实数，对任意实数,,x y z 恒有()()2222444x y z x y z λ++≤++成立，试求λ的取值范围．分析：与柯西不等式的一般形式比较，“积和方”已经具备，而另一边只需再构造一个“方 和积”即可，由于()()()2222222444111x y zx y z ++≤++++，所以，3λ≥.例4求三个实数,,x y z ，使得它们同时满足下列方程222231349215382x y z x y z x y z ++=⎧⎨++-++=⎩. 分析：将两方程左右两边分别相加，变形，得()()()2222332108x y z ++++=． 由第1个方程变形，得()()233218x y z ++++=． 于是由柯西不等式，得()()()22181213312x y z =⨯+⨯++⨯+⎡⎤⎣⎦()()()()2222221112332x y z ⎡⎤≤++++++⎣⎦218=.从而由等号成立的条件可得23326x y z =+=+=， 故原方程的解为3,1,4x y z ===．提示：由柯西不等式解方程时一定要注意运用cauchy 不等式等号成立的条件.5．在应用cauchy 不等式求最值时，要善于构造例5（2001年全国初中联赛题）求实数x 、y 的值，使得()()()2221326y x y x y -++-++-达到最小值．分析：就需要把()()()2221326y x y x y -++-++-看成是不等式中向量模的平方，构造另一模的平方，构造的顺序为把最繁的式子26x y +-对应的坐标为1，考虑3x y +-乘以2-就可以把x 抵消，因此2-就是3x y +-对应坐标，最后看()()()12623x y x y y ⨯+-+-⨯+-=-,因此1y -对应的坐标为1，从而就有cauchy 不等式：()()()()2222221211326y x y x y ⎡⎤⎡⎤+-+-++-++-⎣⎦⎣⎦()()()()21123126y x y x y ≥⨯-+-+-+⨯+-⎡⎤⎣⎦． ∴()()()2221326y x y x y -++-++-61≥. 例6若56741a b c d +-+=,求2222325a b c d +++的最小值,并指出等号成立的条件.分析：由于,,,a b c d 各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式，因为是求2222325a b c d +++的最小值，一定要把2222325a b c d +++看成“方和积”的一部分，而条件5674a b c d +-+是常数，它一定是“积和方”的一部分.而且使用柯西不等式不受-7c 这项的影响.使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到.6.知识小结1．二维形式的柯西不等式：若d c b a ,,,都是实数，则()()()22222bd ac d c b a+≥++，当且仅当bc ad=时，等号成立.2．柯西不等式的向量形式：设βα,是两个向量，则βαβα≤⋅，当且仅当β是零向量或存在实数k ，使βαk =时，等号成立.3．二维形式的三角不等式：设R y x y x ∈2211,,,，则()()22122122222121y y x x y x y x -+-≥+++.4.三维形式的柯西不等式：设321321,,,,,b b b a a a 是实数，则()()()ba b a ba bb baa a++≥++++当且仅当)3,2,1(0==i b i或存在一个数k ，使得()3,2,1==i kb a i i 时等号成立.5.一般形式的柯西不等式：设n n b b b b a a a a ,,,,,,,,,321321 是实数，则()()2222122221n n b b b a a a++++++ ()22211n n b a b a b a +++≥ .当且仅当),,2,1(0n i b i ==或存在一个数k ，使得()n i kb a i i ,,2,1 ==时等号成立.7.应用举例例1 已知62322≤+y x ，求证：112≤+y x .证明：由柯西不等式得()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤+222222132232y x y x ()11611621342322=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y x 所以112≤+y x .例2设d c b a ,,,是4个不全为零的实数，求证：21222222+≤+++++d c b a cd bc ab . 证明：ad)(bc ad)(bc cd)(ab cd 2bc ab ++-++=++()()[]()()222222d c a b ad bc cd ab 2+++-++≤()()()()22222222d c b a d b c a 2+++++≤()()()()2d c b a 2d b c a 222222222+++++++⋅≤()2222d c b a 212++++= 所以21222222+≤+++++d c b a cd bc ab . 例3若243=+y x，试求22y x +的最小值及最小值点.解：由柯西不等式得()()()222224343y x y x+≥++，得()42522≥+y x ，所以25422≥+y x . 当且仅当43yx =时等号成立， 为求最小值点，需解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+43243y x y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==258256y x 即当258,256==y x 时，22y x +的最小值为254，最小值点为⎪⎭⎫ ⎝⎛258,256.例4已知+∈R b a ,且,1=+b a 求证：()222by ax by ax +≤+证明：设()ba n yb x a m ,),,(==，则by ax ≤=+()()()()2222b a y b x a +⋅+=2222by ax b a by ax +=+⋅+=，∴()222by ax by ax +≤+.例5 若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，试求函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=的最大值，并求出相应的x 的值.解：设()xx n m 2sin 1,cos ),4,3(+==，则25sin 1cos 43sin 14cos 3)(22222=++⋅+=≤⋅=++=x x x x x f当且仅当n m //时，上式取“=”，此时x x cos 4sin 132=+，解得57arcsin,523cos ,57sin ===x x x ∴当57arcsin=x 时，函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=取最大值25. 例6设z y x ,,是正数，证明：()()()1111111222≥++++++++++++++x z yzxy z y xy zx y x zx yz . 证明：由柯西不等式得()[]()2111++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++y x zy x y x z . 所以()zy x z y x zx yz ++≥++++211. 同理()z y x x z y xy zx ++≥++++211，()zy x yz x yz xy ++≥++++211. 将三个不等式相加，得()()()1111111222≥++++++++++++++x z yzxy z y xy zx y x zx yz . 说明：对于许多分式不等式分母太多，也很复杂，我们可局部利用柯西不等式将分母化为统一的式子，使问题得以简化.例7解方程1521234=-++x x .解：原方程变形为2212232215⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅++⋅=x x ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤22222123222x x 15=.其中等号成立的重要条件是2212232xx -=+.解得31-=x . 说明：注意方程与不等式间的相互转化，当不等式中的等号成立时，不等式就成为方程了.例8m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的n m 、，问n m 43+的最大值是多少？试证明你的结论.解：设),,2,1(m i a i=为互不相同的正偶数，),,2,1(n j b j=，则m a a a m24221+++≥+++ ，()123121-+++≥+++n b b b n，()()19872121=+++++++mmb b b a a a，由上述三式可得()198712≤++n m m ，即4119872122+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m .由柯西不等式得，()2222243214213+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m n m .即2254119872343⨯⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n m . ∴22223411987543<-+≤+n m .∴22143≤+n m . 又当35,27==n m 时，22143=+n m 且满足()198712≤++n m m .故所求最大值为221.说明：本题反映了一种重要解题方式，那就是首先缩小所探究目标的范围，再运用柯西不等式作进一步收缩，步步逼近，最后又经过构造实例使目标得到确认.例9 设na a a ,,,21为实数，运用柯西不等式证明：nnnaa nna a n a a 1111221++≥++≥++ .证明：由柯西不等式得()()()nn na a aa ++≥++++1212122111个.于是nn a a a n a a +++≥⋅++ 21221即得naa n a a nn++≥++ 1221.再由柯西不等式得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++n n a a a a a a 1112121 222211111n a a a a a a n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅≥ . 于是nnaa nn a a 1111++≥++ . 综合知原不等式成立.例10已知实数d c b a ,,,满足3=+++d c b a ，且56322222=+++d c b a ，试求a 的最大值与最小值.解：由柯西不等式得，()()2222613121632d c b d c b ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++. 即()2222632d c b d c b ++≥++.综合得()2235a a -≥-，21≤≤a当且仅当616313212d c b ==，即d c b 632==时等号成立.由3=+++d c b a 和d c b 632==知，当31,32,1===d c b 时，1m in=a 当61,31,21===d c b 时，2max=a例11已知正数z y x ,,满足xyz z y x =++，且不等式λ≤+++++xz z y y x 111恒成立，求λ的取值范围.解zxyz xy x z z y y x 212121111++≤+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯+++⨯+++⨯=z y x yz y x x z y x z 11121()2122211121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++≤z y x yz y x x z y x z 23=所以λ的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23.例12求出所有实数a ，使得存在非负实数,,,321x x x 54,x x ，适合下列关系式：a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅5432154321①2534333231354321a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅②3554535251554321a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅③解：设有非负实数,,,321x x x 54,x x 满足题设要求，那么由柯西不等式得()25323134521x x x a +++=2525521225212125121552211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x x x x x x ()()552515521521521x x x x x x ⋅++⋅+⋅⋅++⋅+⋅≤ 4a =这样一来，上式中唯有等号成立，于是()()5,4,3,2,102512=>=k x kx kkkλλ如果54321,,,,x x x x x 中有两个或两个以上不为零，上式不可能成立，所以只能有上述两种情形： ⑴,054321=====x x x x x 此时0=a .⑵()5,4,3,2,1=i x i中有且仅有一个不为零，不妨设0≠kx ，依题设3523,,a x k a x k a kx kkk===解得()5,4,3,2,1,2===k a k k x k综上知，当25,16,9,4,1,0=a 时，存在非负实数54321,,,,x x x x x 满足题设要求.例13P 是ABC ∆内一点，z y x ,,是P 到三边c b a ,,的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明：22221c b a Rz y x ++≤++.证明：记S 是ABC ∆的面积，则 RabcS cz by ax 22==++ 22221211112111111c b a Rca bc ab R cb a R abc c b a cz by ax ccz b by a ax z y x ++≤++⋅=++⋅=++⋅++≤⋅+⋅+⋅=++ 所以22221c b a Rz y x ++≤++说明：本题中给出ABC ∆三边的长，又给出了ABC ∆内一点到三边的距离及外接圆的半径，可联想到ABC ∆的面积可以把这些量联系起来：()cz by ax S ++=∆21，又Ra A R A a 2sin ,2sin == RabcR a bc A bc S 4221sin 21=⋅==∆练习1一、选择题1．若直线1=+bya x 通过点()ααsin ,cos M ，则（D ）A ．122≤+b aB ．122≥+b aC ．11122≤+b a D ．11122≥+ba 2．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a ，则（C ） A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 3．若y x n m ,,,满足,,2222b y x a n m =+=+其中b a ,为常数，那么ny mx +的最大值为（B ）A ．2b a +B ．abC ．222b a + D ．222b a +4.若d c b a ,,,都为实数,则不等式()()()22222bd ac d c b a+≥++取等号的条件是D ）A.0=+dc ab B.0=+bc ad C.0=-dc ab D .0=-bc ad5.已知+∈R b a ,且,1=+b a 则ba 11+与4的关系为（B ）A.411>+b a B.411≥+b a C.411<+b a D.411≤+ba 6.设+∈R b a ,，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a 212的最小值为（D ） A. 5 B. 6 C. 8 D.97.若b a ,是非零实数且,1=+b a +∈R x x 21,，()()2121ax bx bx ax M ++=，21x x N =，则M 与N的大小关系为（A ） A.N M≥ B.N M > C.N M ≤ D.N M <8.若实数y x ,满足()()22214125=-++y x ，则22y x +的最小值为（D ）A.2B.1C.3D.29.函数1463222+-++-=x x x x y 的最小值为（C ）A ．10 B ．10 C ．110+ D ．110-10不等式99922≤-+-a b b a等号成立的条件为（D ）A ．3=+b aB ．9=+b aC ．322=+b aD ．922=+b a二、填空题11．设0,,,>y x n m ，且1=+ynx m ，则y x u +=的最小值为.答案：()2nm +12．设b a ,为正数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121的最小值为.答案：29 13.函数x x U-+-=9453的最大值为.答案：1014.设()1,0,∈y x ，则()()x y y x -+-11的最大值为.答案：115.设n m d c b a ,,,,,都是正实数，cd ab P +=，ndm b nc am Q +⋅+=，则P 与Q 的大小关系为.答案：Q P≤16.若132=+y x ，则22y x +的最小值为，最小值点为.答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛133,132,131 三、解答题 17.求证：53452≤-++a a .证明：由柯西不等式得()()()[]()2452451445aa a a -++≥-+++=∴53452≤-++a a当且仅当1425a a -=+即511=x 时等号成立. 18.设1=+b a ，求证：8144≥+b a . 证明：由柯西不等式得()()()11112222==+≥++b a b a∴2122≥+b a. 再由柯西不等式得()()()412111222244=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+≥++b a b a∴8144≥+b a. 19已知+∈R q p ,且233=+q p ，求证：2≤+q p .证明：设⎪⎭⎫ ⎝⎛==21212323,),,(q p n q p m ，则qp q p q p q q p p q p +=+⋅+=≤⋅=+=+2332123212322又()()2222q p q p +≤+∴()q p q p q p +≤+≤+22222∴()()q p q p +≤+84()83≤+q p∴2≤+q p20求函数21374x x y -+=的最大值.解：定义域为[]13,13-，由柯西不等式得()()()[]()22221374134916134916xx x x-+≥-++=⨯+∴513136513742=⨯≤-+x x当且仅当71342x x -=即554=x 时等号成立. ∴当554=x 时，函数21374xx y -+=的最大值为513.21.试用柯西不等式求点()4,3P到直线0532:=-+y x 的距离.解：∵直线 上的任意一点),(y x Q 到定点()4,3P 的距离为()()2243-+-y x∴由柯西不等式得()()()[]()()[]()()22222213185183243324394=-=-+=-+-≥-+-+y x y x y x 即()()[]134322≥-+-y x ∴()()134322≥-+-y x当且仅当3423-=-y x 且532=+y x 即1==y x 时等号成立. ∴当1==y x 时，()()2243-+-y x 取最小值13即为所求的距离.练习2一、选择题1.设c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则（D ）A.3111<++c b a B.3111≥++c b a C.9111≤++c b a D.9111≥++cb a 2.设z y x ,,为正数，且1=++z y x ，则 (A )A.31222≥++z y xB.31222≤++z y xC.91222≥++z y xD.91222≤++z y x 3.求使()()()2226231-++-++-y x y x y 达到最小值的实数y x ,的值（A ） A ．65,25==y x B ．45,35==y x C ．5,3==y x D ．65,21==y x 4.设c b a ,,为正数，且A c b a =++，则（D ） A.A c b a 3111<++ B.A c b a 3111≥++ C.A c b a 9111≤++ D.Ac b a 9111≥++5.设1=++z y x ，则22232z y x ++的最小值为（B ）A ．103 B ．116 C ．113 D ．1076.式子()⎪⎭⎫⎝⎛++++222222111c b ac b a 的最小值为（A ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．187.设()()1161914222=++++z y x ，则函数162-++=z y x W 的取值范围为（D ） A ．40104010+-≤≤--W B ．41104110+-≤≤--W C ．40104018+-≤≤--W D ．41184118+-≤≤--W8.设c b a ,,为正数且不全相等，判断c b a M ++=9与ac c b b a N +++++=222的大小（D ） A ．N M ≥ B ．N M > C ．N M ≤ D ．N M <9.设nx x x ,,,21为正数，nx x x W +++= 21，nxx x U 11121+++=，则下式成立的是（B ） A ．2n WU ≤ B ．2n WU ≥C ．2n WU < D ．2n WU >10.设+∈R c b a ,,，则ba ca cbc b a +++++的最小值为（C ） A ．43 B ．2 C ．23D ．311.已知βα,为锐角，且1cos sin sin cos 2424=+βαβα，则（A ） A ．2π B ．43π C ．4πD ．125π12.若147654321=+-+x x x x ，则函数24232221523x x x x M +++=的最小值为（B ） A ．15782 B ．78215 C ．3 D ．325二、填空题13.设,,3,2 =n 则n ++++321与21+n n的大小关系为. 答案：21321+<++++n nn 14.若c b a ,,为实数，且1222=++c b a ，则函数ca bc ab U ++=的取值范围为. 答案：121≤≤-U 15.设+∈R z y x ,,且1321=++z y x ，则32zy x ++的最小值为.答案：9 16.若1,,0<<c b a 且2=++c b a ，则函数222c b a U ++=的取值范围为.答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3417.实数z y x ,,满足29532=++z y x ，则函数654312+++++=z y x U 的最大值为.答案：30218.已知数据1021,,,x x x 的平均数为6，标准差为2，则数据521,,,x x x 的平均数的取值范围为.答案：[]26,26+-三、解答题19.已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求证：⑴36941≥++zy x ⑵3222333zy x z y x ++≥++证明：⑴由柯西不等式得()36321941)(2=++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++z y x z y x ，所以36941≥++zy x ⑵由柯西不等式得()()()()z y x z y x zz y y x x z y x ++++≤++=++33322123212321232222①由均值不等式得33222zy x zy x ++≤++即()()22223z y x z y x ++≤++② 将①②两式相乘得到：()()()3332223z y xz y x zy x++≤++++又1=++z y x所以3222333zy x z y x ++≥++20.设na a a ,,,21为实数，nb b b ,,,21为正数，求证：()nnn nbb b a a a b a b ab a ++++++≥+++ 212212222121证明：由柯西不等式得()()2212222111212222121nnnnnnna a ab b a b b a b b a b b b b a b ab a +++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅≥+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++ 因为nb b b ,,,21为正数，所以021>+++nb b b故()nnnnbb b a a a b a b ab a ++++++≥+++ 21221222212121.设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ，证明：()222224b a ad d c c b b a -+≥+++证明：因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明()dc b a b ad c b a a d d c c b b a +++-++++≥+++222224① 事实上，()()()()22222222222211112222)(a d ad c d c b c b a b d a a d c d d c b c c b a b b a d c b a a d d c c b b a -+-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++-+++②由柯西不等式得③()()()()()()22222a d d c cb b a dc b a a ad d d c c c b b b a -+-+-+-≥+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+- 又由a b a d d c c b -≥-+-+-知()()224b a a d d c c b b a -≥-+-+-+-④由②③④可知①式成立，从而原不等式成立.22.设c b a ,,是周长为1的三角形的三条边长，求证：81222<++a c c b b a 证明：设y x c z x b z y a +=+=+=,,，其中+∈R z y x ,,，则()2121=++=++c b a z y x ()()()()()()()()()()x z z y y x x z z y y x z y x z y x x z z y y x z y y x y x z x z x z y ac c b b a 222222222222222281214383212121212121++-=++-+++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++++++=++因为+∈R z y x ,, 所以0222>++x z z y y x ，故81222<++a c c b b a23.设c b a ,,为ABC ∆的三边长，求证：()()()0222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a证明：因为c b a ,,为ABC ∆的三边，故存在正数z y x ,,使得y x c z x b z y a +=+=+=,, 于是所证不等式等价于()()()()()()()()()0≥-+++-+++-++z x z y y x y z y x x z x y x z z y整理后知只需证下式成立：()z y x xyz zx yz xy ++≥++333①由柯西不等式得__________________________________________________()()()()()[]()()y x z x z z y y x y x z x z y z y x xyzz xyz y xyz x z y x xyz ++++≤++=++=++333221212321212321212322故①式成立，从而原不等式成立第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式我们共同探究了柯西不等式的几何背景，表示形式，得出其不同证明方法，同时也发现了很多值得我们进一步研究的有价值的问题.更重要的是我们通过自主探究，发现问题，解决问题，更多的体验到数学发展过程.数学是一门通过数学思想方法逐渐将问题化繁为简的科学，它有深刻的文化底蕴和内涵，我们更应该在今后的学习中不断的挖掘和发现，真正体验到数学学习带来的美感和快感.正如教材编写者所说：重视引导学习方式和教学方式的改进，在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比较突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原则做得不够，学生的问题意识不强，不能发现新情况新情景中的新问题，从而不能很好地解决问题，针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生对于问题作左右类比，对于数学结论进行特殊化、作推广.例如，在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探究性问题“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？”；再如“一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学自己探究.”等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见.。

柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221nnb b ba a a ++++++≤ ()n i Rb a ii 2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++22120nn a a a +++≥()0f x ∴≥恒成立()()()2222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤即()()()2222211221212nn n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k kk a b a b a b a a a bb b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立设22212ka a a A ==== 22212k b b b B ====1122k k C a b a b a b =+++则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k kka a a ab b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

柯西不等式的问题（2）——最大值内容概述柯西不等式的最大值问题，高考时通常出现在不等式选讲部分. 用到的公式是柯西不等式二维形式的变形.先来看柯西不等式的二维形式：()()()22222a b c d ac bd ++≥+当且仅当a b c d=时取等号。

该不等式的证明方法有很多，此处以作差法为例.()()()22222a b c d ac bd ++-+ ()2222222222222()(2)0a c a d b c b d a c abcd b d ad bc =+++-++=-≥并从向量的角度对柯西不等式的二维形式作出解释.设向量(,)u a b = ，向量(,)v c d = ，向量u 与v 的夹角为θ， 则根据cos u v u v θ⋅= ，有u v u v u v -≤⋅≤ ，所以()222u v u v ≥⋅ ，又u v ⋅故有()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a b=时取等号. 体现的方法：公式法或配凑法，要充分关注柯西不等式的结构特征以及注意等号成立的条件，类似于基本不等式的“一正二定三相等”.柯西不等式，有时可用于求函数的最值。

而构造柯西不等式求最值，有利于培养学生的数学建模能力。

当然，与此同时，也提高了逻辑思维和分析解决问题的能力。

关注其结构特征，注意等号成立条件。

接下来通过具体的例题来看柯西不等式的应用。

例题示范（柯西不等式二维形式的变形，求证最大值）【例1】（2017年江苏高考题第21（D ）题）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16a b c d +=+=，证明：8ac bd +≤. 证明：由柯西不等式得ac bd +≤即ac bd +≤故8ac bd +≤.（柯西不等式二维形式的变形，求解最大值）【例2】求函数y =的最大值.解：函数y =的定义域为[]5,9.由柯西不等式二维形式的变形ac bd +≤2=10y =≤⨯当且仅当5=即16125x =时取等号. 解析：本题考查基本不等式的应用，难度中等.根据所求问题的结构特点，判断出可用柯西不等式二维形式的变形公式解决.发现22+为常数，从而采用配凑法，凑出相应形式.【例3】已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<.（I ）求实数a ，b 的值；（II 的最大值.解：（I ）由x a b +<得b a x b a -<<+，有24b a b a -=⎧⎨+=⎩， 所以1,3a b ==.（II1t =时取等号.的最大值为。

高考数学柯西不等式知识点总结柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式，它们在高等数学中的应用很普遍。

下面店铺给大家带来高考数学柯西不等式知识点，希望对你有帮助。

高考数学柯西不等式知识点(一)所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等号当且仅当==…=时成立。

柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。

(2)用向量来证.m=(a1，a2......an) n=(b1，b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。

巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。

求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。

柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221nnb b ba a a ++++++≤ ()n i Rb a ii 2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++22120nn a a a +++≥()0f x ∴≥恒成立()()()2222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤即()()()2222211221212nn n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k kk a b a b a b a a a bb b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立设22212ka a a A ==== 22212k b b b B ====1122k k C a b a b a b =+++则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k kka a a ab b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20.若,,,a b c d R ∈；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i a b R∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10.设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( .当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆 的半径，≤例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

2，利用柯西不等式证明不等式柯西（Cauchy ）不等式：设12,,na a a ⋅⋅⋅和12,nb b b ⋅⋅⋅是给定的实数，则222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+。

等号成立的充要条件是：存在,λμ（不全为零），使i i a b λμ= i=1,2,···n证明：22221111222111()2()00(0)()()nnnnii i ii i i i i i n n ni i i ii i i i f x a x a b x b a x b a a b a b ========-+=-≥∆≤≤∑∑∑∑∑∑∑设则：，包括全为的情况。

化简即得：（）（3）柯西不等式的几个推论 ①若,,1,2,,i i a b R i n ∈=，则22111n i ni i n i iii a a b b ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当,1,2,,i i b a i n λ==时取等号。

特别地，()3212321323222121y y y x x x y x y x y x ++++≥++ ②2111n i ni i n i ii ii a a b a b ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当12n b b b ===时等号成立③若,1,2,3,,i a R i n +∈=，则2211nn i i i i n a a ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑，当且仅当12n a a a ===时等号成立④若,1,2,3,,i a R i n +∈=，则2111n n i i i i a n a ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，当且仅当12n a a a ===时例1： 若,,a b c 都是正数，证明：2222a b c a b cb c c a a b ++++≥+++ 证明：由()()()()2222a b c b c c a a b a b c b c c a a b ⎛⎫+++++++≥++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭故有不等式2222a b c a b cb c c a a b ++++≥+++成立 例2：设12,,,n x x x为正实数，证明：1222222211212111n nx x x x x x x x x+++<+++++++证明：()2122221211n nx x x x x x n++++++++≥，故有()22221212111nn nx x xx x x ≤++++++++()()1211211n n nx x x x x x -<++++++++121121111n n n n x x x x x x x -⎛⎫=-⎪++++++++⎝⎭例3：12,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个不同的自然数，求证：1112n++⋅⋅⋅+≤21222na a a n ++⋅⋅⋅+证明：∵221112n ⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭ 2122121112n n a a a n a a a ⎛⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212211122n a a a n n ⎛⎫⎛⎫≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴1112n++⋅⋅⋅+≤21222n a a an ++⋅⋅⋅+ 说明：本题通过变形积极创造了柯西不等式中“积和”与“平方和”的形式。