工程力学第三章 平面任意力系(1)

Y 0
M PR X O P tg
YO P
33
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
受力图：只画外力，不画内力！
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解决物体系平衡问题的基本思想(依据)：
① 整体系统平衡 系统中每个单独的物体都处于平衡状态。
② 系统独立平衡方程个数＝所有单个物体的独立平衡方程个数之和。
③ 系统独立平衡方程个数，决定了能求解的未知量个数。(静定和超静定) 静定问题的一般解法：
对每个单独的物体作受力分析，画出受力图，列出所有的平衡方程， 联立一定可解。 可解不等于容易求解，联立方程过多，手工计算难度大，只能交给计 算机求解。 手工计算：通过恰当分析得到合适的方程(组)，使方程(组)中未知量个 数少，如果一个方程含一个未知量或者两个方程含两个未知量，则好解。 解题技巧：恰当地选择研究对象（整体、单个物体、多个物体的组合）
③RA方向不定可用正交
分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
MA为限制转动。
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简化结果分析
简化结果： 主矢 R' ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R'=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R' =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN)
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[例] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如 图。求：①保证满载和空载时不 致翻倒，平衡块Q=？ ②当
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受力图（力系）
独立平衡方程个数
存在的未知量个数
？
可求未知量个数
• 静 定 问 题：独立方程个数 ≥ 存在未知量个数 • 超静定问题：独立方程个数 <存在未知量个数 也称静不定问题 。
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[ 例]
静定
超静定
超静定问题在变形体力学（材力,结力,弹力）中通过 补充位移（变形）协调条件来求解。
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练习
解：研究B
由 X 0
N S B sin 0
Y 0
P S B cos 0
P S B , N P tg cos
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再研究轮
mO ( F ) 0 S A cos R M 0
X 0
X O S A sin 0
S A cos YO 0
i 1
n
mO ( R ) Rd M O (主矩)
———合力矩定理
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
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§3-2
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系简化结果
平面任意力系平衡的充要条件为： R 0 M o 0 力系的主矢 R' 和主矩 M o都等于零，即：
Q(62) P2W (122) N B 40
Q P W N A N B 0
解得：
N A 210 kN, N B 870kN
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§3-3 物体系的平衡 静定和超静定问题
一、静定与超静定问题的概念
平面汇交力系只有两个独立方程，只能求两个未知量。
平面力偶系只有一个独立方程，只能求一个未知量。 平面平行力系只有两个独立方程，只能求两个未知量。 平面任意力系只有三个独立方程，只能求三个未知量。
主矢Ro Fi
主矩M o Fi xi
合力作用线的位置为：
平衡的充要条件：
Ro 0
Mo xR Ro
Fx F
i
i i
Mo 0
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所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0 m (F ) 0
i O i
一矩式
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ R'≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）。（此简化结果与简 化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ R' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续简
5
平面任意力系向一点简化：主矢和主矩
任意力系 向一点简化 汇交力系+力偶系 （复杂力系） （两个简单力系）
汇交力系 力偶系
力 ， R' (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，M o (主矩) ， (作用在该平面上)
6
主矢R' F1 F2 F3 Fi
§3–4 平面简单桁架的内力计算
3
§3-1
平面任意力系向作用面内一点简化
• 力的平移定理：
可以把作用在刚体上一点的力平行移动到另一点，但 必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来 的力对新作用点的矩。
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说明：
①揭示了平面内力与力偶的关系：力
②力可以平移，不是无条件地平移。
力+力偶。
③力的平移定理是一般力系简化的理论基础。
化为一个合力 R 。
合力 R的大小等于原力系的主矢 MO 合力 R的作用线位置 d R
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结论：
平面任意力系的简化结果 ：
①合力偶MO ； ②合力 R ； ③ 平衡
合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
M O mO ( Fi )
i 1
n
M O ( R ) mO ( Fi )
Q=180kN时，求满载时轨道A、B
给起重机轮子的反力？
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解：⑴ ①首先考虑满载时，起 重机不向右翻倒的最小Q为：
mB ( F ) 0
Q(6 2) P 2 W (12 2) N A (2 2) 0
限制条件： N A 0 解得 Q 75 kN
②空载时，W=0 由 限制条件为：N B
③ 三矩式
条件：A,B,C不共线
① 一矩式
条件：x 轴与y轴 不平行。
② 二矩式
条件：x 轴不垂直 AB 连线
•每组方程中，各方程无先后次序。 •不管是哪种形式，独立方程个数只有三个，只能求解三个未知数。 •实际上，不需要在意方程组形式，只需要分析欲求哪个未知量。
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[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究
学习方法：多分析、多画受力图，分析未知量和方程个数，逐步积累经验。
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例题
• 求A、B、D反力。
观察 思考
几个物体？可画几个受力图？有几个独立的受力图？共有 多少个未知量？
29
例题
30
例题
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[例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时， 求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
• 分析下列问题的静定性(假设平衡、考虑重力)
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二、物体系的平衡问题
物体系：由若干个物体通过约束所组成的系统。
[例]
研究对象：可取整体、单个物体、多个物体的组合；方式很多。 外力：研究对象的外部环境对研究对象内部物体的作用力。 内力：研究对象内部各物体之间的相互作用力。
外力与内力的区分严格依赖于研究对象的选取！
F3
F2
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[例] 已知：P=20kN, m=16kN· m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
解：研究AB梁
mA ( F ) 0 ;
由 X i 0, X A 0
解得：
a RB a q a m P 2a 0 2 Y i 0 YA RB qa P 0
R' ( X ) ( Y ) 0 M O mO ( Fi ) 0
2 2
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X 0 X 0 Y 0 m (F ) 0 m (F ) 0 m (F ) 0
i
i
i
A
i
O
i
B
i
mA (F i) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
②画受力图
由 m A ( Fi ) 0
X 0 Y 0
P2a N B 3a 0, N B
XA 0
2P 3
YB N B P 0,
YA
P 3
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平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
大小：
R' R' x R' y ( X ) 2 ( Y ) 2
2 2
主矢 R'
（移动效应）方向：
tg1
Ry Y 1 tg Rx X
1
第三章
平面任意力系
平面任意（一般）力系： 各力的作用线在同一平面内，没有特殊性（汇交力系、平 行力系、力偶系），或者不考察其特殊性，而是从一般的角度 研究。 [例]
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第三章平面任意力系来自§3–1 平面任意力系向作用面内一点简化 §3–2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
§3–3 物体系的平衡方程、静定和超静定问题
实质上是各力在x 轴上的投影
0 恒等于零，即 X i 恒成立， 只有两个有效的独立方程，只
二矩式