流体流动的阻力
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流体流动中的阻力分析
流体流动中的阻力分析1. 引言流体力学是研究流体运动规律的科学，其中一个重要的研究内容就是流体流动中的阻力分析。
阻力是流体运动中产生的一种阻碍物体运动的力，分析阻力的大小和特性对于优化设计和控制流体流动具有重要意义。
本文将围绕流体流动中的阻力分析展开讨论，并介绍几种常见的阻力模型和计算方法。
2. 流体阻力的定义和分类流体阻力是指流体在流动时对物体运动的阻碍力。
根据流体流动的特性和性质，流体阻力可分为黏性阻力和形状阻力两类。
2.1 黏性阻力黏性阻力是由于流体黏性使得流动物体受到的阻碍。
黏性阻力与流体的粘度密切相关，流体粘度越大、流速越快，黏性阻力就越大。
黏性阻力可以通过斯托克斯公式进行计算。
2.2 形状阻力形状阻力是由于流体与物体形状的相互作用而产生的阻力。
形状阻力与物体形状、流体流速、流体密度等有关。
常见的形状阻力包括压力阻力和摩擦阻力等。
3. 黏性阻力的计算方法黏性阻力可以通过斯托克斯公式进行计算。
斯托克斯公式描述了小球在粘性流体中的阻力与流体黏性、球体半径和流体流速之间的关系。
其计算公式如下：F = 6πηrv其中，F表示阻力，η表示流体的粘度，r表示球体的半径，v表示流体的速度。
4. 形状阻力的计算方法形状阻力的计算相对复杂，一般需要借助数值模拟、实验测试或经验公式等方法进行。
常见的计算方法包括有界层理论、雷诺平均法和飞行器气动力学方法等。
4.1 有界层理论有界层理论是研究绕过物体表面的流体流动的一种理论。
根据有界层理论，可以推导出物体所受的形状阻力与物体表面形状、流体速度梯度和物体表面摩擦系数之间的关系。
4.2 雷诺平均法雷诺平均法是一种经验公式，适用于非粘性流体中物体的形状阻力计算。
这种方法基于大量实验数据的统计分析，通过回归分析建立了物体形状和流体流速之间的数学关系。
4.3 飞行器气动力学方法飞行器气动力学方法主要用于飞行器在空气中的运动的研究。
通过对飞行器表面形状和流体流速的数值模拟，可以得到飞行器的形状阻力。
流体在管内的流动阻力
gZ
u2 2
P
We
hf
P
P2
P1
We
gZ
u2 2
hf
注意：
1. Pf 并不是两截面间的压强差P，Pf 只是一个符号 ；
△表示的不是增量，而△P中的△表示增量； 2、一般情况下，△P与△Pf在数值上不相等；
3、只有当流体在一段既无外功加入、直径又相同的水平管
Pf
u 2
K
l d
du
f
d
g
p f
l
d
u2
2
Re, d
1）摩擦因数图 a)层流区：Re≤2000，λ与Re成直线关系，λ=64/Re。 b)过渡区：2000＜Re＜4000，管内流动随外界条件的影响而 出现不同的流型，摩擦系数也因之出现波动。 c)湍流区：Re≥4000且在图中虚线以下处时，λ值随Re数的 增大而减小。 d)完全湍流区： 图中虚线以上的区域，摩擦系数基本上不随 Re的变化而变化，λ值近似为常数。 根据范宁公式，若l/d一定，则阻力损失与流速的平方成正 比，称作阻力平方区 。
0.08
0.07
0.05
0.04
0.06
0.03
0.05
0.02
0.015
0.04 Re
0.03
0.025
Re,
d
0.01 0.008 0.006
d
0.004
0.002
0.02
0.001
0.0006
第一章流体的流动阻力
的圆形管。当量直径用de表示，水力半径用rH表示。
我们来一下圆管的直径：
内径为d，长为l，其内部可供流体流过的体积
为πd2l/4，其被润湿的内表面积为πdl，因此有 下列关系:
π 2 πd d l 流通截面积 4 4 d 4 4 4 πdl πd 润湿周边长
2
对非圆形管：可以类比上式而得到其当量直径为：
实际管的当量粗糙度 管壁粗糙度对阻力系数λ的影响首先是在人工 粗糙管中测定得。人工粗糙管是将大小相同得砂 粒均匀地粘着在普通管壁上，人为地造成粗糙度， 因而其粗糙度可以精确测定。工业管道内壁得凸 出物形状不同，高度也参差不齐，粗糙度无法精 确测定。实践上通过试验测得阻力损失并计算λ 值，然后由图1-27反求处相当得相对粗糙度，称 为实际管道得当量相对粗糙度。由当量相对粗糙
与壁面间出现边界层分离，产生漩涡，因此有能
量损失。
②突然缩小
突然缩小时，流体在顺压强梯度下流动，不
致于发生边界层脱离现象，因此在收缩部分不会 发生明显的阻力损失。但流体有惯性，流道将继 续收缩至O-O面后又扩大。这时，流体在逆压强梯 度下流动，也就产生了边界层分离和漩涡。因此 也就产生了机械能损失，由此可见，突然缩小造
流通截面积 d 4 润湿周边长
对长a，宽b为的矩形管道：
ab d e 4 2a b
当a＞3b时，此式误差比较大。
对于外管内径为d1，内管外径为d2的套管环
隙
π 2 2 d1 d 2 4 d e 4 d1 d 2 π d1 d 2
• 一套管换热器，内管与外管均为光滑管， 直径分别为垆 30x2.5mm与 56X3mm。平 均温度为400C的水以每小时10m3的流量流 过套管的环隙。试估算水通过环隙时每米 管长的压强降。
实际流体流动时的阻力
使用减阻剂
总结词
在流体中添加减阻剂可以有效减小流 体流动时的阻力。
详细描述
减阻剂是一种添加剂，可以降低流体 内部的摩擦阻力，从而减小流体流动 时的阻力。使用减阻剂需要选择合适 的类型和浓度，以达到最佳的减阻效 果。
05
实际应用案例
管道输送系统中的阻力控制
管道输送系统是实际流体流动中最为常见的应用场景之一， 其中阻力控制是关键因素。为了确保流体能够顺利流动并减 少能量损失，需要对管道的长度、直径、弯曲角度等进行合 理设计，以降低流体流动时的阻力。
阻力的来源与分类
阻力的来源
流体的阻力主要来源于流体内部的粘性摩擦力和流体与边界之间的摩擦力。此外，流体的惯性力、重力和外部力 等也会对流体的运动产生影响，从而产生阻力。
阻力的分类
根据阻力产生的原因和特征，可以将阻力分为沿程阻力和局部阻力。沿程阻力是由于流体在运动过程中受到粘性 摩擦力和惯性力的作用而产生的阻力；局部阻力则是由于流体流经管道中的突然扩大或缩小、阀门、弯头等局部 构件时，流体的方向、速度或压力发生急剧变化而产生的阻力。
02
发展更精确的数值模拟和实验测量方法，以更准确地预测和测量流体 流动阻力。
03
探索新型减阻技术和材料，以降低流体流动阻力，提高能源利用效率 和流体输送效率。
04
加强跨学科合作，将流体动力学、材料科学、化学工程等多学科知识 应用于流体流动阻力的研究中，以推动相关领域的发展。
THANKS
感谢观看
流速
流速越大，流体的阻力越大。因 为流体在高速流动时会产生更大 的摩擦力和涡旋，导致阻力增加 。
压力
压力越大，流体的阻力越大。因 为压力增加会使流体更加紧密地 贴合管壁，增加摩擦力。
流体流动阻力
第三节 流体在管内 的流动阻力
一、流体阻力的来源
流体具有黏性。 运动着的流体内部相邻两流体层间的 相互作用力，称为流体的内摩擦 力，——流体黏性的表现。 （1）流体流动时必须克服内摩擦力 而作功，将流体的一部分机械能转变 为热能而损失掉，这就是流体运动时 造成能量损失的根本原因。 （2）当流体流动激烈呈紊乱状态时， 流体质点流速的大小与方向发生急剧 的变化，质点之间相互激烈地交换位 置，也会损耗机械能，而使流体阻力 增大，因此，流体的流动状态是产生 流体阻力的另一原因。 （3）管壁的粗糙程度、管子的长度 和管径的大小也对流体阻力有一定的 影响。
流流截面流
（1-25）
b a
润润润边长度 ①对于边长为a和b的矩形截面de为 a b de
ab 2ab = de = 4 × 2( a + b ) a + b
②对于套管环隙，若外管的内径为d1,内管的外径为d2, 则de 为 π 2 2 (d1 − d 2 ) = d1 − d 2 de = 4 × 4 π (d1 + d 2 ) 注意： 注意：不能用当量直径来计算非圆形管子或设备的截面流。
duρ Re = （1-24）无单位
µ
圆形直管中： 圆形直管中：Re ≤2000时为层流； Re ≥4000时为湍流； Re在2000~4000的范围内为过渡区。
例 1-17 20℃的水在内径为50mm管内流动，流 速为2m/s。试计算雷诺数，并判断管中水的流 动类型。 解：已知d=0.05m，u=2m/s，从本书附录中查 得水在20℃时，ρ=998.2kg/m3,µ=1.005×10-3 Pa·s。则
qv 3.73 × 103 / 3600 u= = = 0.77 m/s 2 2 ρA 1150 × 0.785 × (0.046 − 0.025 )
一、流体阻力的来源
流体具有黏性。 运动着的流体内部相邻两流体层间的 相互作用力，称为流体的内摩擦 力，——流体黏性的表现。 （1）流体流动时必须克服内摩擦力 而作功，将流体的一部分机械能转变 为热能而损失掉，这就是流体运动时 造成能量损失的根本原因。 （2）当流体流动激烈呈紊乱状态时， 流体质点流速的大小与方向发生急剧 的变化，质点之间相互激烈地交换位 置，也会损耗机械能，而使流体阻力 增大，因此，流体的流动状态是产生 流体阻力的另一原因。 （3）管壁的粗糙程度、管子的长度 和管径的大小也对流体阻力有一定的 影响。
流流截面流
（1-25）
b a
润润润边长度 ①对于边长为a和b的矩形截面de为 a b de
ab 2ab = de = 4 × 2( a + b ) a + b
②对于套管环隙，若外管的内径为d1,内管的外径为d2, 则de 为 π 2 2 (d1 − d 2 ) = d1 − d 2 de = 4 × 4 π (d1 + d 2 ) 注意： 注意：不能用当量直径来计算非圆形管子或设备的截面流。
duρ Re = （1-24）无单位
µ
圆形直管中： 圆形直管中：Re ≤2000时为层流； Re ≥4000时为湍流； Re在2000~4000的范围内为过渡区。
例 1-17 20℃的水在内径为50mm管内流动，流 速为2m/s。试计算雷诺数，并判断管中水的流 动类型。 解：已知d=0.05m，u=2m/s，从本书附录中查 得水在20℃时，ρ=998.2kg/m3,µ=1.005×10-3 Pa·s。则
qv 3.73 × 103 / 3600 u= = = 0.77 m/s 2 2 ρA 1150 × 0.785 × (0.046 − 0.025 )
1.4流体流动阻力
hf
l d
2g
m
压力损失
pf
l d
u2
2
Pa
该公式层流与湍流均适用；
注意 p与 pf 的区别。
5
返回
三、层流时的摩擦系数
速度分布方程
又
1 u 2 umax
umax
( p1 p2 )
4l
R2
R d 2
32lu
( p1 p2 ) d 2
32lu
pf d 2
（2）结果具有普遍性，便于推广。 基础：量纲一致性
即每一个物理方程式的两边不仅数值相等， 而且每一项都应具有相同的量纲。
8
返回
基本定理：白金汉（Buckingham）π 定理 设影响某一物理现象的独立变量数为n个，
这些变量的基本因次数为m个，则该物理现象可 用N＝（n－m）个独立的无量纲数群表示。 湍流时压力损失的影响因素：
——哈根-泊谡叶 （Hagen-Poiseuille）方程
6
返回
能量损失
32lu Wf d 2
层流时阻力与速度的一次方成正比 。
变形：
Wf
32lu d 2
64 l du d
u2 2
64 l Re d
u2 2
比较得
64
Re
7
返回
四、湍流时的摩擦系数 1. 量纲分析法 目的：（1）减少实验工作量；
2
流体的摩擦力： F A πdl
定态流动时
( p1
πd 2 p2 ) 4
πdl
Wf
4l
d
§2.5流体流动的阻力
§5、流体流动的阻力 本节共 页一、流体阻力的表现及来源 1、表现—压强降首先看一实验Oh 1212Op 2p 1pgp g水平管道，管径均一。
阀门关闭时，h gPg P ==ρρ21 开启时， gP g P h ρρ21>>在1—1’,2—2’间列柏式，0—0’为基准。
f Hg Pg P +=ρρ21 gPg P P g P P H f ρρρ∆-=--=-=1221 P ∆-为压强降。
P ∆的习惯写法为12P P P -=∆（终态-始态）。
这一现象说明：流体流过一段水平直管时，静压头gPρ沿程逐渐减小，即靠静压头来克服流动阻力，这就是流体阻力的直接表现。
2、来源—内摩擦上面实验证明：管内的水流动时，压强降才出现。
水在管内流过，管子任一截面上各点水的速度并不相等，管中心的速度最大，越靠近管壁速度越小。
在贴近管壁的地方，有一层极薄的水粘附在管壁上，其速度=0。
所以，在圆管内流动的流体，被剥离成无数个极薄的同心圆筒，一层套着一层，各层以不同的速度向前运动。
靠中心的圆筒速度最大，稍靠外的圆筒的速度便小一些，前者对后者起带动作用，后者对前者便起拖曳的作用。
筒与筒之间的相互作用就形成了流体阻力，这种阻力是在流体内部发生的。
故称为内摩擦。
这便是流体阻力的来源。
流体阻力大小的决定因素：1、流体自身的性质（粘度）2、流体的流动状况（流型）主要3、管壁的粗糙度。
次要下面分别进行讨论。
二、粘度决定流体内摩擦大小的物理性质称为粘性。
衡量流体粘性大小的物理量称为粘度。
粘性越大，流动性就越小。
1、粘度的物理意义剪力：平行于作用面的力叫作剪力，用F表示。
剪应力：单位面积上的剪力叫剪应力。
在一平板上，相邻两层流体之间，若层间接触面积=A，层间距= dvv 3v 1v 2dvood o为使层间产生相对运动d v ，所需施加的剪力=F ， 实验证明：F 与A 、d v 成正比，与d δ成反比。
即δd dv AF ∝ 或写成 δμτd dvA F == （1） 此式叫牛顿粘性定律。
第三讲 流体的流动阻力
层流
(a)
过渡流
(b)
湍流
(c)
两种稳定的流动状态：层流（滞流）、湍流。
层流：
* 流体质点做直线运动；
* 流体分层流动，层间不相混合、不碰撞； * 流动阻力来源于层间黏性摩擦力。 湍流： 主体做轴向运动，同时有径向脉动；
特征：流体质点的脉动 。
过渡流：
不是独立流型（层流+湍流），
流体处于不稳定状态（易发生流型转变）。
非 牛 顿 型 流 体
Ⅱ 胀塑性流体：表观黏度随速度梯度的增大而增大。 淀粉、硅酸盐等悬浮液属于胀塑性流体。 Ⅲ 黏塑性流体：当应力低于τ 流动与牛顿型流体一样。 τ
0 0
时，不流动；当应力高于τ 0时， 称为屈服应力。
如纸浆、牙膏、污水泥浆等。
Ⅳ 触变性流体：表观黏度随时间的延长而减小，如油漆等。 Ⅴ 黏弹性流体：既有黏性，又有弹性。当从大容器口挤出时， 挤出物会自动胀大。 如塑料和纤维生产中都存在这种现象。
p1 p2 1 1 2 R u u r dA u 2 rdr r 8L A R 2
因此
1 u u max 2
（3） 湍流时的速度分布和剪应力
① 湍流描述
主要特征：质点的脉动 瞬时速度= 时均速度+ 脉动速度
u
' uA
uA
O tC 点A处流体质点的速度脉动曲线示意图 t
二、 流体的流动现象
1. 雷诺实验
为了解流体在管内流动状 况及影响因素，雷诺设计的实
验可直接观察到不同的流动形
态。实验装置如图所示。
C
墨水流线
D
B
A 玻璃管
流速不大时墨水呈一条直线，平稳流过管，质 点彼此平行的沿着
第四讲流体的流动阻力
第四节 流体的流动阻力
四,流体直管阻力损失的计算
3. 湍流时的摩擦因数 湍流时的摩擦因数 因次分析法 第一步:析因试验——寻找影响过程的主要因素 第一步:析因试验——寻找影响过程的主要因素 —— 第二步:无因次化——减少变量数 第二步:无因次化——减少变量数 —— 第三步:数据处理——实验结果的正确表达 第三步:数据处理——实验结果的正确表达 ——
1883年英国著名科学家雷诺(Osborne Reynolds)进行的实验 ——雷诺实验
流动型态
层流:流速较小时,可看到一条稳定的直线. 层流:流速较小时,可看到一条稳定的直线.表明 此时流体各个质点互不混杂, 此时流体各个质点互不混杂,平行于管轴向 前运动. 前运动. 过渡流:随着流速的增加,有颜色的直线开始出现 过渡流:随着流速的增加, 波浪. 波浪. 湍流:速度再增大,流体质点不仅沿管轴运动, 湍流:速度再增大,流体质点不仅沿管轴运动,而 且还做不规则的横向运动. 且还做不规则的横向运动.
le /d
17 35 75 50 2 2
名称
闸阀(全开) 闸阀(半开) 标准阀(全开) 标准阀(半开) 止逆阀(球式) 止逆阀(摇板式)
ζ
0.17 4.5 6.0 9.5 70.0 2.0
le /d
9 225 300 475 3500 100
�
第四节 流体的流动阻力
三,边界层的概念
1. 边界层的形成与发展
第四节 流体的流动阻力
三,边界层的概念
2. 边界层的分离
第四节 流体的流动阻力
四,直管阻力损失的计算
1. 直管阻力损失的计算通式
直管阻力: 直管阻力:流体流经一定直径的直管时由于内摩擦而产生的阻力.
l u2 Wf = λ d 2
化工原理流体流动阻力讲义
即
M L M L -2 -1
jk ck abc3 jk q
根据因次一致性原则，上式等号两侧各基本量因次的指数必然
相等，所以
对于因次Ｍ j+k=1
对于因次θ -c-k=-2
对于因次 L a+b+c-3j-k+q =-1
返回
1这6里方程式只有3个，而未知数却有6个,自然不能联立解出
各未知数的数值。为此,只能把其中的三个表示为另三个的函数来 处理，设以 b、k、q 表示为a、c 及 j 的函数，则联解得:
de
4
ab 2(a b)
2ab ab
返回
说26明： （1）Re与hf中的直径用de计算；
hf
Re
l
de deu
u2 2
（2）层流时：
C
Re
正方形 C＝57 套管环隙 C＝96
（3）流速用实际流通面积计算 。
u Vs A
实际的流 通截面积
u
Vs
4
de2
返回
27
1.4.2 局部阻力
湍流流动下，局部阻力的计算方法有阻力系
数法和当量长度法
一、阻力系数法
将局部阻力表示为动能
u2 2
的一个倍数。
h'f
u2 2
J/kg
或
H
' f
u2 2g
J/N=m
ζ——局部阻力系数 ，无因次
返回
12.8 突然扩大
(1 A1 )2
A2
hf '
u12 2
0—1
u1 — 小管中的大速度
返回
229. 突然缩小
( A2 1)2
A0
h'f
M L M L -2 -1
jk ck abc3 jk q
根据因次一致性原则，上式等号两侧各基本量因次的指数必然
相等，所以
对于因次Ｍ j+k=1
对于因次θ -c-k=-2
对于因次 L a+b+c-3j-k+q =-1
返回
1这6里方程式只有3个，而未知数却有6个,自然不能联立解出
各未知数的数值。为此,只能把其中的三个表示为另三个的函数来 处理，设以 b、k、q 表示为a、c 及 j 的函数，则联解得:
de
4
ab 2(a b)
2ab ab
返回
说26明： （1）Re与hf中的直径用de计算；
hf
Re
l
de deu
u2 2
（2）层流时：
C
Re
正方形 C＝57 套管环隙 C＝96
（3）流速用实际流通面积计算 。
u Vs A
实际的流 通截面积
u
Vs
4
de2
返回
27
1.4.2 局部阻力
湍流流动下，局部阻力的计算方法有阻力系
数法和当量长度法
一、阻力系数法
将局部阻力表示为动能
u2 2
的一个倍数。
h'f
u2 2
J/kg
或
H
' f
u2 2g
J/N=m
ζ——局部阻力系数 ，无因次
返回
12.8 突然扩大
(1 A1 )2
A2
hf '
u12 2
0—1
u1 — 小管中的大速度
返回
229. 突然缩小
( A2 1)2
A0
h'f
1.5_流体流动的阻力
64 比较得 Re
1-46, 圆管、层流
4
湍流时的摩擦系数
（1）因次分析法 （参阅实验教材 P7~14）
目的：a）减少实验工作量； b）结果具有普遍性，便于推广。 基础：因次一致性 即每一个物理方程式的两边不仅数值相等，
而且每一项都应具有相同的因次。
基本定理：白金汉（Buckinghan)π 定理 设影响某一物理现象的独立变量数为n个，这些变 量的基本因次数为m个，则该物理现象可用N＝（n－m） 个独立的无因次数群表示。 湍流时压力损失的影响因素：
2
当量长度法
将流体流过管件或阀门的局部阻力，折合成直径相同、
长度为Le的直管所产生的阻力 。
le u hf d 2
'
2
或
le u hf d 2g
2 '
le —— 管件或阀门的当量长度，m。
P58
当 量 阻 力 线 图
总阻力：
l le u 2 l u2 hf ( ) d 2 d 2
——摩擦系数（摩擦因数）
其它形式：
压头损失
l u2 Hf = λ d 2g
m Pa
l u2 压力损失 pf d 2
上述公式层流与湍流均适用； 注意 p 与 pf 的区别。
各项的物理意义：
长径比，无因次
l u l u hf 4 f d 2 d 2
2
2
1-44 (P48)
值见P.49表1-2
相对粗糙度 层流流动时：
d ：绝对粗糙度与管内径的比值。
流速较慢，与管壁无碰撞，阻力与 d 无关，只与Re有关。
湍流流动时：
水力光滑管(dL)
完全湍流粗糙管(dL)
1-46, 圆管、层流
4
湍流时的摩擦系数
（1）因次分析法 （参阅实验教材 P7~14）
目的：a）减少实验工作量； b）结果具有普遍性，便于推广。 基础：因次一致性 即每一个物理方程式的两边不仅数值相等，
而且每一项都应具有相同的因次。
基本定理：白金汉（Buckinghan)π 定理 设影响某一物理现象的独立变量数为n个，这些变 量的基本因次数为m个，则该物理现象可用N＝（n－m） 个独立的无因次数群表示。 湍流时压力损失的影响因素：
2
当量长度法
将流体流过管件或阀门的局部阻力，折合成直径相同、
长度为Le的直管所产生的阻力 。
le u hf d 2
'
2
或
le u hf d 2g
2 '
le —— 管件或阀门的当量长度，m。
P58
当 量 阻 力 线 图
总阻力：
l le u 2 l u2 hf ( ) d 2 d 2
——摩擦系数（摩擦因数）
其它形式：
压头损失
l u2 Hf = λ d 2g
m Pa
l u2 压力损失 pf d 2
上述公式层流与湍流均适用； 注意 p 与 pf 的区别。
各项的物理意义：
长径比，无因次
l u l u hf 4 f d 2 d 2
2
2
1-44 (P48)
值见P.49表1-2
相对粗糙度 层流流动时：
d ：绝对粗糙度与管内径的比值。
流速较慢，与管壁无碰撞，阻力与 d 无关，只与Re有关。
湍流流动时：
水力光滑管(dL)
完全湍流粗糙管(dL)
流体流动阻力产生的原因
流体流动阻力产生的原因
1、流体阻力的形成原因
（1）流动阻力：流动阻力是流体与壁面间的粘附性造成的力，这种阻力又分为摩擦阻力和表面阻力两种；
（2）壁面阻力：由于流体与壁面或曲线运动之间的非活性性质产生的阻力，流体在经过一个折角或凸缘时，其表面被撕裂和转化形成复杂结构，会使流体产生抗力；
（3）流行流速差异：流量高速区和低速区之间的速度差异，会使高速的流体向低速的流体倾斜；
（4）涡旋流的流动阻力：当流体转弯时，流体的流动存在涡旋结构，涡旋流会消耗流体的能量，使其产生阻力；
（5）凹角处的抽力：凹角处由于流体改变方向而产生偏转现象，从而造成流体抽力；
（6）膨胀流速阻力：当流体透过狭窄的洞口流动会出现膨胀现象，而这种流速的改变会使其产生阻力；
（7）反流阻力：当流量大于一定值时，会产生反流，从而加重下游的流动阻力；
（8）混合层阻力：流体两侧的混合层对流动阻力具有显著影响，造成流体阻力的最大原因。
流体流动阻力计算公式
流体流动阻力计算公式好嘞，以下是为您生成的关于“流体流动阻力计算公式”的文章：咱先来说说啥是流体流动阻力。
就好比你在河里游泳，水会对你有阻力，让你游得没那么轻松；又或者家里的水管里水流淌的时候，也会遇到阻碍。
这就是流体流动阻力。
那怎么计算这个阻力呢？这就得提到一些公式啦。
常见的流体流动阻力计算公式有达西-韦斯巴赫公式（Darcy-Weisbach Equation），这公式看起来有点复杂，但是别怕，咱们慢慢说。
它是这样的：$h_f = \frac{f L v^2}{2gD}$ 。
这里面的$h_f$ 表示沿程水头损失，$f$ 叫摩擦系数，$L$ 是管道长度，$v$ 是平均流速，$g$ 是重力加速度，$D$ 是管道直径。
比如说，有一根长长的水管，水在里面哗哗地流。
咱们知道了水管的长度、直径，水的流速，还有通过一些实验或者经验确定了摩擦系数，就能用这个公式算出水流在这根水管里受到的阻力有多大啦。
我记得有一次，在学校的实验室里，我们做了一个关于流体流动阻力的实验。
那时候，大家都兴奋又紧张，围着实验设备，眼睛一眨不眨地盯着。
老师在旁边耐心地指导我们，告诉我们怎么测量水管的各种参数，怎么准确地记录数据。
我们小组负责的是测量水流的速度。
拿着那个小小的流速计，心里还挺忐忑，就怕测错了影响整个实验结果。
小心翼翼地把流速计放到水管里，眼睛紧紧盯着读数，然后赶紧记下来。
等所有的数据都测完，开始用公式计算的时候，那心情，就跟等待考试成绩似的。
算出来结果一看，和预期的差不多，大家都欢呼起来。
那种通过自己的努力，运用知识得到答案的感觉，真的太棒了！再来说说局部阻力的计算。
局部阻力可不像沿程阻力那么“听话”，它的情况更复杂一些。
比如说管道突然变粗或者变细了，水流拐弯了，或者有阀门、三通这些东西，都会产生局部阻力。
计算局部阻力常用的方法有阻力系数法和当量长度法。
阻力系数法就是通过乘以一个阻力系数来计算局部阻力损失，而当量长度法是把产生局部阻力的部分等效成一段长度的直管，然后用沿程阻力的公式来计算。
《化工原理》第七讲 流体在管内的流动阻力
§1-5 流体在管内的流动阻力 —— 一，4、湍流时的摩擦系数与量纲分析
定理的使用说明： 1、确定基本量纲 2、确定无因次数群个数 3、确定基本变量 雷诺指数法说明：见教材。
思考： 1、求解湍流时的摩擦系数的量纲分析使用的是哪种量纲分析方法 2、在求解湍流时的摩擦系数中，量纲分析得到的结论是什么？ 3、实验方法求解湍流时的摩擦系数的具体步骤？
二、管路上的局部阻力
1、阻力系数法——计算公式
hf
'
u2 2
p f '
u2 2
（1）出口阻力系数
u
c 1.0
（2）进口阻力系数
u
e 0.5
§1-5 流体在管内的流动阻力 ——二、管路上的局部阻力
2、当量长度法
hf '
le d
u2 2
p f '
le
d
u 2
2
§1-6 管路计算
§1-7 流量测量——转子流量计
难点
1、管路分析
2、湍流时的摩擦系数、量纲分析与莫迪图
§1-5 流体在管内的流动阻力 —— 一，4、湍流时的摩擦系数与量纲分析
（1）量纲分析的基础 （2）量纲分析方法 ①确定无因次数群的方法 i、定理；ii、雷诺指数法 ② 通过实验确定数群之间的关系
Vs Vs1 Vs2 提供各支管的机械能相等
§1-6 管路计算——
二、并联管路与分支管路的计算
1、已知总流量和各支管尺寸，求各支管流量； 2、已知各支管流量、l、le及 ，求管径。
1-1
1
A
B
o-o
2
2.6m 2-2
例题1-23
流体流动阻力的测定
流体流动阻力的测定引言流体流动阻力的测定是流体力学领域中的重要研究内容。
了解流体在流动过程中的阻碍情况对于各种应用和工程设计都具有重要意义。
本文将从流体流动阻力的原理、测定方法以及实验过程等多个方面进行探讨。
流体流动阻力的原理流体流动阻力是流体在流动过程中受到的阻碍力。
其大小取决于流体的性质、流动速度以及物体形状等因素。
根据伯努利定律，流体在流动过程中会产生压力变化。
而由牛顿第二定律可知，物体所受到的阻力与速度成正比。
因此，可以通过测量压力变化和流速来确定流动阻力的大小。
流体流动阻力的测定方法测定方法一：压力差法压力差法是一种常见的测定流体流动阻力的方法。
它通过测量流体流过物体前后的压力差来确定阻力的大小。
具体步骤如下： 1. 设置合适的试验装置，包括流体源、测压装置和物体样品。
2. 测量流体流过物体前后的压力差，可以使用压力传感器或者水银柱测压法。
3. 根据压力差和流体速度计算出流体流动阻力。
测定方法二：阻力系数法阻力系数法是另一种常用的测定流体流动阻力的方法。
它通过测量物体在流体中所受到的阻力，结合流体的性质和运动状态，计算出阻力系数。
具体步骤如下： 1. 设置合适的实验装置，包括流体源、测力装置和物体样品。
2. 测量物体在流体中所受到的阻力，可以使用力传感器或者天平等装置。
3. 根据阻力大小、流体密度、物体形状等参数计算出阻力系数。
流体流动阻力的实验过程实验准备1.准备好实验所需的仪器和设备，包括流体源、压力传感器、流速计、物体样品等。
2.根据实验需要调整流体源的流量和压力。
3.确保实验环境稳定，以减小外界因素对实验结果的影响。
实验步骤1.将流体导入实验装置，确保流体稳定流过物体样品。
2.实时监测流体的压力和流速，并记录相应数据。
3.若使用压力差法，需分别测量流体流过物体前后的压力值。
4.若使用阻力系数法，需测量物体在流体中所受到的阻力。
实验数据处理1.根据测得的数据计算流体流动阻力的大小。
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流体流动的阻力
2020年4月28日星期二
一、直管阻力损失的计算 二、局部阻力损失的计算
流动阻力的根源与类别 （P46）
流体具有粘性，流动时存在内部摩擦力. ——流动阻力产生的根源
管路中 的阻力
直管阻力： 流体流经一定管径的直管时由 于流体的内摩擦而产生的阻力
局部阻力： 流体流经管路中的管件、阀门及
【例】总阻力损失的计算: 如图所示，将敞口高位槽A中密度870 kgm-3、黏度0.8 mPas的溶液自流送入设备B中。pB=10 kPa，阀 门前、后的输送管道分别为382.5 mm和322.5 mm的无缝钢管 ，阀门前、后直管段部分总长分别为10 m和8 m，管路上有一个 90弯头、一个标准阀（全开）。为使溶液能以4 m3h-1的流量流入 设备B中，问 z 为多少米？
基础：因次一致性 即每一个物理方程式的两边不仅数值相等， 而且每一项都应具有相同的因次。
基本定理：白金汉（Buckinghan)π定理
设影响某一物理现象的独立变量数为n个，这些变
量的基本因次数为m个，则该物理现象可用N＝（n－m ）个独立的无因次数群表示。
湍流时压力损失的影响因素：
a）流体性质：， b）流动的几何尺寸：d，l，（管壁粗糙度）
管截面的突然扩大及缩小等局部
地方所引起的阻力。
铸铁管
碳钢管
合金钢管
有色金属管
非金属管
一 直管阻力损失的计算
1 阻力的表现形式
流体在水平等径直管中作定态流动:
若管道为倾斜管，则
流体的流动阻力表现为静压能的减少； 水平安装时，流动阻力恰好等于两截面的静压能之差。
2 直管阻力的通式
由于压力差而产生的推动力： 流体的摩擦力： 定态流动时:
半开闸阀
4.5 角阀
5.0
全开截止阀 6.4 半开截止阀
9.5
2 当量长度法
将流体流过管件或阀门的局部阻力，折合成直径相同、 长度为Le的直管所产生的阻力 。
le —— 管件或阀门的当量长度，m。
P58
当量阻力线图
总阻力：
减少流动阻力的途径： 管路尽可能短，尽量走直线，少拐弯； 尽量不安装不必要的管件和阀门等； 管径适当大些。
c）流动条件：u
物理变量 n＝ 7 基本因次 m＝3 无因次数群 N＝n－m＝4 即该过程可用4个无因次数群表示。
无因次化处理
式中：
——欧拉（Euler）准数
——雷诺数 ——管道的几何尺寸 ——相对粗糙度 根据实验可知，流体流动阻力与管长成正比，即
或
莫狄（Moody）摩擦因数图：（P54)
9.28
式中:
管件、阀门的当量长度分别为：
全开的闸阀
0.33m
全开的截止阀 17m
三个标准弯头 1.6×3=4.8 m
出口阻力系数
ξe=1
仍取管壁的绝对粗糙度ε=0.3mm，ε/d=0.3/50=0.006，
查得=0.0313
（3）管路系统的总能量损失:
苯的质量流量为： 泵的有效功率为： 泵的轴功率为：
d2 d1
边长分别为a、b的矩形管 :
a b
说明：
（1）Re 与 hf 中的直径用 de 计算；
（2）层流时：
正方形 C＝57
套管环隙 C＝96
其余修正值C见P.55表1-3
?
（3）流速用实际流通面积计算 。
不能用当量直径来计算流体通过的截面积、流速和流量!
二 局部阻力损失的计算
管路的连接方法： （1）螺纹连接
a）层流区（Re≤ 2000）
与 无关，与Re为直线关系，即
,即 与u的一次方成正比。
b）过渡区（2000<Re<4000) 将湍流时的曲线延伸查取值 。
c）湍流区（Re≥4000以及虚线以下的区域）
d）完全湍流区 （虚线以上的区域）
与Re无关，只与 有关。
该区又称为阻力平方区。
一定时，
几个光滑管内湍流经验公式：
1
1
2
2
注：面2-2取在 管出口内侧、外 测均可，这里取 在内侧。
解： 在面1-1与2-2间列机械能衡算式：
密度870 kgm-3、黏度0.8 mPas。pB=10 kPa，阀门前、后的输送管道 分别为382.5 mm和322.5 mm的无缝钢管，阀门前、后直管段部分总 长分别为10 m和8 m，管路上有一个90弯头、一个标准阀（全开）。流 量4 m3h-1
J/kg
或
J/N=m
z —— 局部阻力系数
（1）突然扩大
（a）
z =0~1
hf '
=z
u12 2
图1-28，P57
u1 —小管中的流速
（2）突然缩小
（b）
z = 0 ~ 0.5
图1-28，P57
h' f
=z
u2 2 2
u2 - 小管中的流速
u 均以小管的流速为准
（3）管进口及出口 进口：流体自容器进入管内。
各种管件
弯头 三通
异径管
（2）焊接
（3）法兰连接
各种管件 变径管Biblioteka 三通 弯头闷头 法兰
截止阀
观看《球阀.swf》 观看《截止阀.swf》
闸阀
旋塞
隔膜阀
蝶阀 薄膜阀
电磁阀 止逆阀
针形阀
其它阀门
安全阀
疏水器
停止吸气阀
二 局部阻力损失的计算
几种典型的局部阻力
1 阻力系数法 将局部阻力表示为动能的某一倍数。
z进口 = 0.5 进口阻力系数
出口：流体自管子进入容器或从管子排放到管外 空间。
z出口 = 1 出口阻力系数
选管的内侧与外 侧，阻力不同！ P56，请记录……
??
（4）管件与阀门
z : 查有关手册
常见管件的阻力系数
标准弯头
0.75 回弯头
1.5
活接
0.4 出管口
1.0
入管口
0.5 全开闸阀
0.17
式中
管件、阀门的当量长度为： 底阀(按旋转式止回阀全开时计） 标准弯头
6.3m 2.7m
进口阻力系数 ξc=0.5
苯的密度为880kg/m3，粘度为6.5×10-4Pa·s
取管壁的绝对粗糙度ε=0.3mm，ε/d=0.3/81=0.0037， 查得λ=0.029
（2）排出管路上的能量损失 ∑hf,b
1
1
ms-1
2
2
查表取管壁绝对糙度 =0.2 mm
/d1=0.00606 查图
1=0.032
密度870 kgm-3、黏度0.8 mPas。pB=10 kPa，阀门前、后的输送管道 分别为382.5 mm和322.5 mm的无缝钢管，阀门前、后直管段部分 总长分别为10 m和8 m，管路上有一个90弯头、一个标准阀（全开）。 流量4 m3h-1
1
1
突然缩小z1=0.5，查表知 90弯头z2=0.75
ms-1 2 2
/d2=0.2/27=0.0074 查图
2=0.033
密度870 kgm-3、黏度0.8 mPas。pB=10 kPa，阀门前、后的输送管道 分别为382.5 mm和322.5 mm的无缝钢管，阀门前、后直管段部分总 长分别为10 m和8 m，管路上有一个90弯头、一个标准阀（全开）。流 量4 m3h-1
查表知标准阀（全开） z=6.4
1
1
2 2
0.5+0.75
勇于开始，才能找到成 功的路
6.4
令
则
J/kg
1-44 (P48)
——直管阻力通式（范宁Fanning公式）
——摩擦系数（摩擦因数）
其它形式：
压头损失
m
压力损失
Pa
上述公式层流与湍流均适用； 注意 与 的区别。
各项的物理意义
：
长径比，无因次
范宁因子
摩擦系数
1-44 (P48)
-----直管摩擦损失计算通式
动能
（1）层流时的
，
（2）湍流时的 主要依靠实验研究
使用时注意经验 式的适用范围
几个粗糙管内湍流经验公式：
此式适用范围为Re 4000， /d≤0.005
4 湍流时的摩擦系数
（2） 管壁粗糙度对摩擦系数的影响 光滑管：玻璃管、铜管、铅管及塑料管等； 粗糙管：钢管、铸铁管等。
绝对粗糙度 ：管道壁面凸出部分的平均高度。
值见P.49表1-2
相对粗糙度 ：绝对粗糙度与管内径的比值。
层流流动时： 流速较慢，与管壁无碰撞，阻力与 。
无关，只与Re有关
湍流流动时：
水力光滑管(dL)
完全湍流粗糙管(dL)
只与Re有关，与 无关。 只与 有关，与Re无关。
观看动画：层流到湍流的转变过程.swf
粗糙管壁流动.swf
5 非圆形管内的流动阻力 (P53、55)
当量直径：
水力半径
套管环隙，内管的外径为d1，外管的内径为d2 :
作业：
习题 12、13
P59, 例1-20：
用泵把20℃的苯从地下储罐送到高位槽，流量为300 l/min. 高位槽液面比储罐液面高10m。泵吸入管路用φ89×4mm的无 缝钢管，直管长为15m，管路上装有一个底阀（可粗略的按旋 启式止回阀全开时计）、一个标准弯头；泵排出管用 φ57×3.5mm的无缝钢管，直管长度为50m，管路上装有一个 全开的闸阀、一个全开的截止阀和三个标准弯头。储罐及高 位槽液面上方均为大气压。设储罐液面维持 恒定。试求泵的轴功率。设泵的效率为70%。
，
哈根－泊谡叶公式
3 层流时的摩擦系数 (P50)
速度分布方程 又
——哈根-泊谡叶 （Hagen-Poiseuille）方程
2020年4月28日星期二
一、直管阻力损失的计算 二、局部阻力损失的计算
流动阻力的根源与类别 （P46）
流体具有粘性，流动时存在内部摩擦力. ——流动阻力产生的根源
管路中 的阻力
直管阻力： 流体流经一定管径的直管时由 于流体的内摩擦而产生的阻力
局部阻力： 流体流经管路中的管件、阀门及
【例】总阻力损失的计算: 如图所示，将敞口高位槽A中密度870 kgm-3、黏度0.8 mPas的溶液自流送入设备B中。pB=10 kPa，阀 门前、后的输送管道分别为382.5 mm和322.5 mm的无缝钢管 ，阀门前、后直管段部分总长分别为10 m和8 m，管路上有一个 90弯头、一个标准阀（全开）。为使溶液能以4 m3h-1的流量流入 设备B中，问 z 为多少米？
基础：因次一致性 即每一个物理方程式的两边不仅数值相等， 而且每一项都应具有相同的因次。
基本定理：白金汉（Buckinghan)π定理
设影响某一物理现象的独立变量数为n个，这些变
量的基本因次数为m个，则该物理现象可用N＝（n－m ）个独立的无因次数群表示。
湍流时压力损失的影响因素：
a）流体性质：， b）流动的几何尺寸：d，l，（管壁粗糙度）
管截面的突然扩大及缩小等局部
地方所引起的阻力。
铸铁管
碳钢管
合金钢管
有色金属管
非金属管
一 直管阻力损失的计算
1 阻力的表现形式
流体在水平等径直管中作定态流动:
若管道为倾斜管，则
流体的流动阻力表现为静压能的减少； 水平安装时，流动阻力恰好等于两截面的静压能之差。
2 直管阻力的通式
由于压力差而产生的推动力： 流体的摩擦力： 定态流动时:
半开闸阀
4.5 角阀
5.0
全开截止阀 6.4 半开截止阀
9.5
2 当量长度法
将流体流过管件或阀门的局部阻力，折合成直径相同、 长度为Le的直管所产生的阻力 。
le —— 管件或阀门的当量长度，m。
P58
当量阻力线图
总阻力：
减少流动阻力的途径： 管路尽可能短，尽量走直线，少拐弯； 尽量不安装不必要的管件和阀门等； 管径适当大些。
c）流动条件：u
物理变量 n＝ 7 基本因次 m＝3 无因次数群 N＝n－m＝4 即该过程可用4个无因次数群表示。
无因次化处理
式中：
——欧拉（Euler）准数
——雷诺数 ——管道的几何尺寸 ——相对粗糙度 根据实验可知，流体流动阻力与管长成正比，即
或
莫狄（Moody）摩擦因数图：（P54)
9.28
式中:
管件、阀门的当量长度分别为：
全开的闸阀
0.33m
全开的截止阀 17m
三个标准弯头 1.6×3=4.8 m
出口阻力系数
ξe=1
仍取管壁的绝对粗糙度ε=0.3mm，ε/d=0.3/50=0.006，
查得=0.0313
（3）管路系统的总能量损失:
苯的质量流量为： 泵的有效功率为： 泵的轴功率为：
d2 d1
边长分别为a、b的矩形管 :
a b
说明：
（1）Re 与 hf 中的直径用 de 计算；
（2）层流时：
正方形 C＝57
套管环隙 C＝96
其余修正值C见P.55表1-3
?
（3）流速用实际流通面积计算 。
不能用当量直径来计算流体通过的截面积、流速和流量!
二 局部阻力损失的计算
管路的连接方法： （1）螺纹连接
a）层流区（Re≤ 2000）
与 无关，与Re为直线关系，即
,即 与u的一次方成正比。
b）过渡区（2000<Re<4000) 将湍流时的曲线延伸查取值 。
c）湍流区（Re≥4000以及虚线以下的区域）
d）完全湍流区 （虚线以上的区域）
与Re无关，只与 有关。
该区又称为阻力平方区。
一定时，
几个光滑管内湍流经验公式：
1
1
2
2
注：面2-2取在 管出口内侧、外 测均可，这里取 在内侧。
解： 在面1-1与2-2间列机械能衡算式：
密度870 kgm-3、黏度0.8 mPas。pB=10 kPa，阀门前、后的输送管道 分别为382.5 mm和322.5 mm的无缝钢管，阀门前、后直管段部分总 长分别为10 m和8 m，管路上有一个90弯头、一个标准阀（全开）。流 量4 m3h-1
J/kg
或
J/N=m
z —— 局部阻力系数
（1）突然扩大
（a）
z =0~1
hf '
=z
u12 2
图1-28，P57
u1 —小管中的流速
（2）突然缩小
（b）
z = 0 ~ 0.5
图1-28，P57
h' f
=z
u2 2 2
u2 - 小管中的流速
u 均以小管的流速为准
（3）管进口及出口 进口：流体自容器进入管内。
各种管件
弯头 三通
异径管
（2）焊接
（3）法兰连接
各种管件 变径管Biblioteka 三通 弯头闷头 法兰
截止阀
观看《球阀.swf》 观看《截止阀.swf》
闸阀
旋塞
隔膜阀
蝶阀 薄膜阀
电磁阀 止逆阀
针形阀
其它阀门
安全阀
疏水器
停止吸气阀
二 局部阻力损失的计算
几种典型的局部阻力
1 阻力系数法 将局部阻力表示为动能的某一倍数。
z进口 = 0.5 进口阻力系数
出口：流体自管子进入容器或从管子排放到管外 空间。
z出口 = 1 出口阻力系数
选管的内侧与外 侧，阻力不同！ P56，请记录……
??
（4）管件与阀门
z : 查有关手册
常见管件的阻力系数
标准弯头
0.75 回弯头
1.5
活接
0.4 出管口
1.0
入管口
0.5 全开闸阀
0.17
式中
管件、阀门的当量长度为： 底阀(按旋转式止回阀全开时计） 标准弯头
6.3m 2.7m
进口阻力系数 ξc=0.5
苯的密度为880kg/m3，粘度为6.5×10-4Pa·s
取管壁的绝对粗糙度ε=0.3mm，ε/d=0.3/81=0.0037， 查得λ=0.029
（2）排出管路上的能量损失 ∑hf,b
1
1
ms-1
2
2
查表取管壁绝对糙度 =0.2 mm
/d1=0.00606 查图
1=0.032
密度870 kgm-3、黏度0.8 mPas。pB=10 kPa，阀门前、后的输送管道 分别为382.5 mm和322.5 mm的无缝钢管，阀门前、后直管段部分 总长分别为10 m和8 m，管路上有一个90弯头、一个标准阀（全开）。 流量4 m3h-1
1
1
突然缩小z1=0.5，查表知 90弯头z2=0.75
ms-1 2 2
/d2=0.2/27=0.0074 查图
2=0.033
密度870 kgm-3、黏度0.8 mPas。pB=10 kPa，阀门前、后的输送管道 分别为382.5 mm和322.5 mm的无缝钢管，阀门前、后直管段部分总 长分别为10 m和8 m，管路上有一个90弯头、一个标准阀（全开）。流 量4 m3h-1
查表知标准阀（全开） z=6.4
1
1
2 2
0.5+0.75
勇于开始，才能找到成 功的路
6.4
令
则
J/kg
1-44 (P48)
——直管阻力通式（范宁Fanning公式）
——摩擦系数（摩擦因数）
其它形式：
压头损失
m
压力损失
Pa
上述公式层流与湍流均适用； 注意 与 的区别。
各项的物理意义
：
长径比，无因次
范宁因子
摩擦系数
1-44 (P48)
-----直管摩擦损失计算通式
动能
（1）层流时的
，
（2）湍流时的 主要依靠实验研究
使用时注意经验 式的适用范围
几个粗糙管内湍流经验公式：
此式适用范围为Re 4000， /d≤0.005
4 湍流时的摩擦系数
（2） 管壁粗糙度对摩擦系数的影响 光滑管：玻璃管、铜管、铅管及塑料管等； 粗糙管：钢管、铸铁管等。
绝对粗糙度 ：管道壁面凸出部分的平均高度。
值见P.49表1-2
相对粗糙度 ：绝对粗糙度与管内径的比值。
层流流动时： 流速较慢，与管壁无碰撞，阻力与 。
无关，只与Re有关
湍流流动时：
水力光滑管(dL)
完全湍流粗糙管(dL)
只与Re有关，与 无关。 只与 有关，与Re无关。
观看动画：层流到湍流的转变过程.swf
粗糙管壁流动.swf
5 非圆形管内的流动阻力 (P53、55)
当量直径：
水力半径
套管环隙，内管的外径为d1，外管的内径为d2 :
作业：
习题 12、13
P59, 例1-20：
用泵把20℃的苯从地下储罐送到高位槽，流量为300 l/min. 高位槽液面比储罐液面高10m。泵吸入管路用φ89×4mm的无 缝钢管，直管长为15m，管路上装有一个底阀（可粗略的按旋 启式止回阀全开时计）、一个标准弯头；泵排出管用 φ57×3.5mm的无缝钢管，直管长度为50m，管路上装有一个 全开的闸阀、一个全开的截止阀和三个标准弯头。储罐及高 位槽液面上方均为大气压。设储罐液面维持 恒定。试求泵的轴功率。设泵的效率为70%。
，
哈根－泊谡叶公式
3 层流时的摩擦系数 (P50)
速度分布方程 又
——哈根-泊谡叶 （Hagen-Poiseuille）方程