江苏省苏州大学2016届高考考前指导卷数学试卷2 Word版含答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页、均为非选择题（第1题—第20题、共20题）。

本卷满分为160分、考试时间为120分钟。

考试结束后、请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前、请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的制定位置作答、在其他位置作答一律无效。

5.如需作图、须用2B 铅笔绘、写清楚、线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差()2211ni i s x x n ==-∑、其中11n i i x x n ==∑棱柱的体积公式： V =Sh 、其中S 是棱柱的底面积、h 为高. 棱锥的体积公式：V13Sh 、其中S 是棱锥的底面积、h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位、则z 的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy 中、双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5、则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图、则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次、则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列、S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3、S 5=10、则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图、在平面直角坐标系xOy 中、F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点、直线2b y = 与椭圆交于B 、C 两点、且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲.(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数、在区间[ −1,1)上、,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= 、则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x 、y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩、则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图、在△ABC 中、D 是BC 的中点、E 、F 是AD 上的两个三等分点、4BA CA ⋅= 、1BF CF ⋅=-、则BE CE ⋅的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中、若sin A =2sin B sin C 、则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题、共90分.请在答题卡指定区域内作答、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中、AC =6、4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中、D 、E 分别为AB 、BC 的中点、点F 在侧棱B 1B 上、且11B D A F ⊥ 、1111AC A B ⊥ .求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .现需要设计一个仓库、它由上下两部分组成、上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -、下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A BC D -(如图所示)、并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO的四倍. (1)若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时、仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图、在平面直角坐标系xOy 中、已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2、4)(1) 设圆N 与x 轴相切、与圆M 外切、且圆心N 在直线x =6上、求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点、且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

1A绝密★启用前2016年高考冲刺卷（2）【江苏版】数学试卷考试时间：理150分钟，文120分钟第Ⅰ卷必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．1．已知集合{}|11M x x=-<<，|01xN xx⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则=⋂NM__________．2.已知复数z满足42-=z，若z的虚部大于0，则=z．3. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为．5.甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为．6.在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线2213yx-=的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则sin sinsinA BC-的值是____________．7. 如图，长方体1111ABCD A B C D-中，O为1BD的中点，三棱锥O-的体积为1V，四棱锥11O ADD A-的体积为2V，则12V的值为．8.设四边形ABCD为平行四边形，6AB=，4AD=.若点M，N满足3BM MC=，80 90 100 110 1200.00.00.00.02DN NC =，则AM NM ⋅= ．9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，1()(23)2f x x a x a a =-+--. 若集合{}|(1)()0x f x f x x R φ--∈=＞，，则实数a 的取值范围为 .11. 已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 .12. 已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．13. 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ． 14. 设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

江苏省苏州大学高考指导测试 (二)（数学）考生注意：1．本试卷共4页，包括（第1题—第12题）、（第13题—第17题）两部分。

本试卷满分150分，考试时间1。

2．答将填空题答案和解答题的解答过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效。

3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答卷纸的规定位置。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共90分。

请把答案填写在答题卡相应位置上） 1. 若2(31)i 25i a a a -+-=+，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为 ▲ ．2. 在平面直角坐标系xOy 中，“方程22113x y k k +=--表示焦点在x 轴上的双曲线”的充要条件是“实数k ∈ ▲ ”．3. 某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差s 2= ▲ ． 4. 已知角α是锐角，求sin α＋3cos α的取值范围 ▲ ．5. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是两个不同的平面，有下列四个命题：①⎩⎨⎧α∥ββ∥γ⇒α∥γ； ②⎩⎨⎧α⊥βm ∥α⇒m ⊥β； ③⎩⎨⎧m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎩⎨⎧m ∥n n ⊂α⇒m ∥α．其中真命题的是 ▲ (填上所有真命题的序号)．6. 将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，则“A ，B 两人恰好在同一组”的概率为 ▲ ．7. 右图是一个算法的流程图，最后输出的n ＝ ▲ ．8. 设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知a 5＝3a 3，则95S S = ▲ ．9. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，当n *∈N 时，()f n *∈N ，若[()]3f f n n =，则f (5)的值等于 ▲ ．10. 已知f (x )＝x 3－3x ，过A (1，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则m 的取值范围是 ▲ ．11. 已知D 是由不等式组⎩⎨⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4 围成的区域与区域D 的公共部分的面积为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA ，OB 为邻边作□OAMB，若FC点M 在圆C 上，则实数k ＝ ▲ ．13. 在正六边形ABCDEF 中，AB ＝1，AP xAB y AF =+，则x ＋y 的取值范围是 ▲ ．14. 将所有3的幂，或者是若干个3的幂之和，由小到大依次排列成数列1，3，4，9，10，12，13，…，则此数列的 第100项为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分14分） 已知向量m ＝(a ，cos2x )，n ＝(1＋sin2x ，3)，x ∈R ，记f (x )＝m ⋅n ．若y ＝f (x )的图象经过点(π4，2 )． （1）求实数a 的值；（2）设x ∈[－π4，π4]，求f (x )的最大值和最小值；（3）将y ＝f (x )的图象向右平移π12，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的单调递减区间． 16.（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求证CE ∥平面PAB ．17.（本小题满分15分）某企业有两个生产车间分别在A ，B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工，现要在公路AC 上找一点D ，修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A ，B ，C 中任意两点间的距离均有1km ，设∠BDC ＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S ． （1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； （2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程S 最少？PA BCDEF18.（本小题满分15分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 过点A (a ，0)和B (0，b )．（1）以AB 为直径作圆M ，连接MO 并延长，与椭圆C 的第三象限部分交于N ，若直线NB 是圆M 的切线，求椭圆的离心率；（2）已知三点D （4，0），E （0，3），G （4，3），若圆M 与△DEG 恰有一个公共点，求椭圆方程．19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21=+nn nS b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （3）在满足条件（2）的情形下，设111211n n n c a a +=-++-（），数列{}n c 的前n 项和为T n ． 求证：13n T ＜．本小题满分16分）已知关于x 的函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b （其中a ，b ∈R ）． （1）求函数｜f (x )｜的单调区间；（2）对于一切a∈[0，1]，若存在实数m，使得1|()|4f m≤与1|(1)|4f m ≤能同时成立，求b－a的取值范围．参考答案1．2．2．3．4．（1，2]4－2若函数tan y x ω=在区间π(,π)2上单调递增，则实数ω的取值范围是________．13(0,][1,]22⋃．5．①③6．137． 100． 8．275 9． 8 10．（－3，－2）． 11．π2． 12． 0． 12－2在直角坐标平面内，点A （1，2）到直线l 的距离为1，且点B （4，1）到直线l 的距离为2，则这样的直线l 最多的条数为_________．4． 13．无13—2已知|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，且a ＋b ＋c ＝0 ，则向量a 与b 的夹角的余弦值＝ ．13－3在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 中点，点E 满足13BE BC =，则AE BD ⋅＝__________．13－4设点O 为△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC AO ⋅＝_____． 14． 981． 二、解答题 15． 16． 无17．（1）在△BCD 中，∵sin 60sin sin(120)BD BC CDαα==︒︒-，∴2sin BD α=，sin(120)sin CD αα︒-=．则sin(120)1sin AD αα︒-=-．S＝sin(120)2400100[1]sin sin ααα︒-⋅+⋅-＝cos 450sin αα--．其中π3≤α≤2π3． （2）2sin sin (cos 4)cos sin S ααααα-⋅--'=-CA＝214cos sin αα-．令S '＝0，得1cos 4α=． 当1cos 4α>时，S '＜0，S 是α的单调减函数； 当1cos 4α<时，S '＞0，S 是α的单调增函数． ∴当1cos 4α=时，S 取得最小值．此时，sin α=，1sin sin(120)12211sin sin 2AD ααααα+︒-=-=-=-＝11122=-（答） 18已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 过点A (a ，0)和B (0，b )．（1）以AB 为直径作圆M ，连接MO 并延长，与椭圆C 的第三象限部分交于N ，若直线NB 是圆M 的切线，求椭圆的离心率；（2）已知三点D （4，0），E （0，3），G （4，3），若圆M 与△DEG 恰有一个公共点，求椭圆方程．数列问题19－1解 (1)11(1),1－=-aS a a ∴1,=a a 当2n ≥时，11,11n n n n n a aa S S a a a a --=-=---1nn a a a -=，即{}n a 是等比数列．∴1n n n a a a a -=⋅=； (2)由(1)知，2(1)(31)211(1)n n n n n aa a a a ab a a a ⋅----=+=-， 若{}n b 为等比数列，则有2213,b b b =而21232323223,,,a a a b b b a a +++===故22232322()3a a a a a +++=⋅， 解得13a =，再将13a =代入得3n n b =成立，所以13a =．(3)证明：由(2)知1()3n n a =，所以11111332111131311()1()33n n n n n n n c +++==+-+-－－－＋－1113131n n +=-+-，由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133n n n n ++-<-+- 所以11133n n n c +-＜，从而122231*********())33333333n n n n n T c c c ++=+++--++-=-＜＋（＜13．函数问题已知关于x 的函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b （其中a ，b ∈R ）． （1）求函数｜f (x )｜的单调区间；（2）对于一切a ∈[0，1]，若存在实数m ，使得1|()|4f m ≤与1|(1)|4f m +≤能同时成立，求b －a 的取值范围．。

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分。

1.设集合{|2}A x x =>，{|4}B x x =<，则A B =▲ ．【答案】(2,4) 【解析】 试题分析：(2,4)A B =考点：集合运算2.已知41iz =+(i 是虚数单位），则复数z 的实部为 ▲ ．【答案】2.考点:复数概念3.抛物线2y x =的焦点坐标为 ▲ ．【答案】1(0,)4【解析】试题分析：21p =，124p =，所以抛物线的焦点坐标为1(0,)4．考点：抛物线性质4。

函数y ＝2sin 错误!与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ． 【答案】6x π=-【解析】试题分析：由262x k ππ-=π+(k ∈Z ）时,23k x ππ=+;因此，当1k =-时，直线6x π=-是与y 轴最近的对称轴. 考点：三角函数性质5。

一个盒子里装有标号为1，2,3，4，5的5张标签，随机地抽取了3张标签，则取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为 ▲． 【答案】15【解析】试题分析：从1，2，3，4，5这五个数中任取3个数，用列举法可知，共有10种情况，而其中三个数的平均数是3的只有1，3，5和2,3,4两种情况，所以所求概率为21105p ==.考点：古典概型概率6。

根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ▲ ．【答案】9.考点：伪代码 7。

已知等差数列｛a n ｝的公差为2，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2＝ ▲ ． 【答案】3。

【解析】 试题分析：由2215aa a =可知2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =，即23a =。

考点:等差、等比数列性质8。

如图,三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点,F 在AD 上,且FD AF =2，若三棱锥T ←1 i ←3While T <10 T ←T +i i ←i +2 End While Print iBEFA-的体积是2，则四棱锥ECDFB-的体积为▲ ．【答案】10。

一、填空题 ：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1. 设全集{}1,2,3,4.5U =，集合{}1,2A =，集合{}2,3,4B =，则()U C A B = ．2. 已知复数121,32,z ai z i a R =+=+∈，i 是虚数单位，若12z z 是实数，则a = ．3. 某班有学生60人，现将所有学生按 1,2,3,...，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为4,,28,,52a b 的学生在抽取的样本中，则a b += ．4.等比数列 {}n a 的前n 项和为n S ，且324321,21a S a S =+=+，则公比q 为 ．5. 执行如图所示的流程图，输出的S 的值为 ．6. 在三张奖券中有一等奖、二等奖各一张，另有一张无奖．若甲、乙两人各抽取一张，则两人都中奖的概率为 ．7. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线， 交双曲线C 右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为 ．8. 已知函数()()()sin 20,0f x A x k A k ϕ=++>>的最大值为4，最小值为2，且()02f x =，则04f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．9.在三棱锥 S ABC -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，,,2SA SC SB SC SA SB ⊥⊥==，则该三棱锥的体积为 ．10. 已知直线:1l x y -=与圆22:2210M x y x y +-+-=相交于,A C 两点，点,B D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．11已知平行四边形ABCD 中，120,1,2BAD AB AD ∠=︒==，点P 是线段BC （含端点）上的动点，则AP DP的取值范围是 ．12. 若0,0x y >>，则2x yx y x++的最小值为 ．13. 在钝角ABC ∆中，已知2sin 21A A =，则sin cos B C 取得最小值时，角B 等于 ． 14. 若不等式3ln 1mx x -≥对任意(]0,1x ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15. （本小题满分14分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知1cos 23A =-,c A C ==.（1）求a 的值；（2）若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积.16. （本小题满分14分）在梯形ABCD 中，,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=，平面ACEF ⊥平面ABCD ,四边形ACEF 是矩形,AF a = ，点M 在线段EF 上. （1）求证：BC AM ⊥；（2）若AM 平面BDE ，试求线段AM 的长.17. （本小题满分14分）苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销,经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p 万件与广告费用 x 万元满足231p x =-+(其中 0,x a a ≤≤ 为正常数)．已知生产该批产品 p 万件还需投入成本 ()102p +万元(不含广告费用)，产品的销售价格定为 204p ⎛⎫+⎪⎝⎭元／件，假定厂商生产的产品恰好能够售完． （1）将该产品的利润y 万元表示为广告费用x 万元的函数； （2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？18. （本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b-=>>的离心率为12，焦点与短轴的两顶点的连线与圆2234x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0的直线l 与C 相交于,A B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得 NA NB为定值？如果存在，求出点N 的坐标及定值；如果不存在，请说明理由．19. （本小题满分16分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11n n n n a qb a qb ++-=-，其中,q R n N *∈∈. （1）若{}n b 是公差为2的等差数列，且13a q ==,求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是首项为2，公比为q 的等比数列，130a q =<，且对任意,,0n m n N a *∈≠，都有1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,试求q 的取值范围.20. （本小题满分16分）已知,a R x ∈轴与函数()1x f x e ax -=-的图象相切. （1）求()f x 的单调区间；（2）当1x >时，()()1ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围.苏州市2016届高考考前指导卷参考答案一、选择题（每小题5分，共70分）1.{}52.23-3.564.35.26.137.8.3 11.1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12 13.12π 14.2,3e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、解答题:本大题共6小题 ，共计90分15. 解：（1）因为21cos 212sin 3A A =-=-，且0A π<<，所以sin A =，因为c A C ==，由正弦定理sin sin a cA C=，得a c ===16. 解：（1）由题意知，梯形ABCD 为等腰梯形，且2,AB a AC ==，由222AB BC AC +=，可知AC BC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF 平面,ABCD AC BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACEF ，又AM ⊂平面ACEF ，所以BC AM ⊥.（2）设AC 与BD 交于点N ，因为AM 平面BDE ，AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF 平面BDE EN =，所以,AM EN FE AC ，故四边形ANEM 是平行四边形，所以AM EN =，由,.120CD a CN DN DNC ==∠=︒，所以CN =,又CE a =，所以EN =所以AM =.17.解：（1）由题意知，()204102y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，将231p x =-+代入化简得： ()41601y x x a x =--≤≤+.（2）()()()()()()()2222221431423'11111x x x x x y x x x x -+++--+-=--==-=-++++.当1a ≥时，()0,1x ∈时'0y >，所以函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增，()1,x a ∈时，'0y <，所以函数4161y x x =--+在()1,a 上单调递减，．促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大．当1a <时，因为函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增，4161y x x =--+在[]0,a 上单调递增， 所以x a =时,函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上所述，当 1a ≥时，促销费用投入 1万元，厂家的利润最大；当1a <时, 促销费用投入a 万元，厂家的利润最大． (注：当1a ≥时，也可以：417117131y x x ⎛⎫=-++≤-=⎪+⎝⎭.当且仅当411x x =++， 即1x =时，上式取等号）.18. 解：（1）12e =，得224a c =，又焦点与短轴的两顶点的连线与圆 2234x y +=相切，()222234bc b c b c ∴=∴=+，即()()2222223,34a c c a a c -=-=，故2221,4,3c a b ===，所以椭圆方程为22143x y +=. （2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为()()()11221,,,,y k x A x y B x y =-，()()2222223412,34841201x y k x k k y k x ⎧+=⎪∴+-+-=⎨=-⎪⎩，则2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，若存在定点 (),0N m 满足条件，则有()()()()()22121212121211NA NB x m x m y y m m x x x x k x x =--+=-+++--()()()222212121k x x m k x x k m =+-++++()()()22222222141284343k k m k k k m k k +-+=-++++()222248531243m m k m k --+-=+.如果要上式为定值，则必须有22485411,31238m m m m --==-,验证当直线l 斜率不存在时，也符合．故存在点11.08N ⎛⎫⎪⎝⎭满足13564NA NB =- . 19. 解：（1）由()1126n n n n a a q b b q ++-=-==，所以{}n a 是首项为3，公差为6的等差数列，故{}n a 的通项公式为63,n a n n N *=-∈.（2）因为12n n b q -=,所以()1112222n n n n n n a a q q qq q -++-=-=-, 当2n ≥时，()()()112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()11222...32n n n n n q q q q q q q q q ---⎡⎤=-+-++-+=+⎣⎦. 当1n =时，13a q =，符合上式，所以2n n a q q =+，因为130a q =<，且对任意11,,66n a n N a *⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，故0n a <，特别地220q q +<，于是1,02q ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时对任意,0n n N a *∈≠. 当102q -<<时，221221,2n n n n a q q q a q q q --=+>=-+< ，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值 为 222a q q =+,最小值为13a q =， 由题意，m n a a 的最大值及最小值分别为21213a q a +=和12321a a q =+. 由21136q +>及3621q <+，解得104q -<<.综上所述，q 的取值范围为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 20. 解：（1）()1'x f x e a -=-,设切点为 ()0,0x 依题意,()()000'0f x f x =⎛=⎝即0010100x x e ax e a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得011x a =⎧⎨=⎩， 所以()1'1x f x e-=-，当1x <时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >；故()f x 的单调递减区间为 (),1-∞， 单调递增区间为()1,+∞ ． （2）令 ()()()1ln ,0g x f x m x x x =-->，则()11'ln 1x x g x em x x --⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，令()()'h x g x =，则()1211'x h x e m x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.①若12m ≤，因为当1x >时，11x e ->,2111m x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以()'0h x >，所以()h x 即()'g x 在()1,+∞上单调递增．又因为()'10g =，所以当1x >时，()'0g x >，从而()g x 在[)1,+∞上单调递增，而()10g =所以()0g x >，即()()1ln f x m x x >-成立·②若12m >，可得()1211'x h x e m x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,+∞上单调递增．因为()()()()()211'1120,'1ln 2201ln 21ln 2h m h m m m m m ⎡⎤⎢⎥=-<+=-+>+⎢⎥+⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以存在 ()()11,1ln 2x m ∈+，使得()1'0h x =，且当()11,x x ∈时，()'0h x <，所以()h x 即()'g x 在()11,x 上单调递减，又因为()'10g =，所以当()11,x x ∈时，()'0g x <，从而()g x 在()11,x 上单调递减，而()10g = 所以当()11,x x ∈时，()0g x <，即()()1ln f x m x x >-不成立，综上所述,k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题—第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的制定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑棱柱的体积公式： V =Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 为高. 棱锥的体积公式：V13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A )的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥ .求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的四倍. (1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

江苏省2016届高考数学预测卷二一、填空题:本大题共14题，每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1. 若函数f (x ）＝sin(x ＋φ)（0＜φ＜π）是偶函数，则φ＝ 2π ．2。

已知函数)(x f y =是奇函数，当0<x 时,2()()f x x ax a =+∈R ，且6)2(=f ，则a = 5 ． 3．若x ，y满足约束条件21,2,2,x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩目标函数*2()z kx y k =+∈N 仅在点（1，1）处取得最小值,则k 的值为___1____． 4．在△ABC 中,若AB ＝1，|||AC AB AC BC =+=,则错误!＝错误! ．5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3，则抛物线的焦点坐标为 ()0,1 ．6。

在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的13，且中间一组的频数为25，则样本容量为100 ．7. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A 点沿表面经过棱1BB ，1CC 爬到点1A ，蚂蚁乙从B 点沿表面经过棱1CC 爬到点1A ．如图,设PAB α∠=，QBC β∠=，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则αβ+=4π ．8. 已知函数x x x f ωωcos sin )(+= )0(>ω向右最少平移1个单位长度后为偶函数，则ω的最小值为 4π ．9。

在△ABC 中,角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10,△ABC（第7题图）ABCQ RA 1PB 1C 1的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是___错误!或－错误!_____．10。

已知正项等比数列{}na 满足：6542a a a =+，若存在两项m a ,n a 使得12m n a a a =，则14m n +的最小值为____94____.11。

2016年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B=______．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是______．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是______．5．（5分）函数y=的定义域是______．6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是______．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）已知{a n}是等差数列.S n是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是______．9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是______．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是______．12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是______．14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题.满分90分）15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC 的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t 的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．（1）设a=2.b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1.b＞1.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.求ab的值．20．（16分）记U={1.2.….100}.对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T.若T=∅.定义S T=0；若T={t1.t2.….t k}.定义S T=++…+．例如：T={1.3.66}时.S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T⊆{1.2.….k}.求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U.D⊆U.S C≥S D.求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E 为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．24．设a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：x﹣y﹣2=0.抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m.n∈N*.n≥m.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏数学参考答案与试题解析一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B={﹣1.2}．【分析】根据已知中集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.∴A∩B={﹣1.2}.故答案为：{﹣1.2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算.难度不大.属于基础题．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i.则z的实部是5.故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量.即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中.a=.b=.∴c==.∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质.考查学生的计算能力.比较基础．4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数.由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1.∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3.1]．【分析】根据被开方数不小于0.构造不等式.解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0.解得：x∈[﹣3.1].故答案为：[﹣3.1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域.二次不等式的解法.难度不大.属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是9．【分析】根据已知的程序框图可得.该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值.模拟程序的运行过程.可得答案．【解答】解：当a=1.b=9时.不满足a＞b.故a=5.b=7.当a=5.b=7时.不满足a＞b.故a=9.b=5当a=9.b=5时.满足a＞b.故输出的a值为9.故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图.当循环次数不多.或有规律可循时.可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.基本事件总数为n=6×6=36.出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4.6）.（6.4）.（5.5）.（5.6）.（6.5）.（6.6）.共6个.∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知{a n}是等差数列.S n是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组.求出首项和公差.由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列.S n是其前n项和.a1+a22=﹣3.S5=10.∴.解得a1=﹣4.d=3.∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象如下：由图可知.共7个交点．故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象.作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象是关键.属于中档题．10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程求得B.C的坐标.运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.结合离心率公式.计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程可得x=±a=± a.可得B（﹣ a.）.C（ a.）.由∠BFC=90°.可得k BF•k CF=﹣1.即有•=﹣1.化简为b2=3a2﹣4c2.由b2=a2﹣c2.即有3c2=2a2.由e=.可得e2==.可得e=.故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.考查化简整理的运算能力.属于中档题．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性.结合f（﹣）=f（）.可得a值.进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a.f（）=f（）=|﹣|=.∴a=.∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣.故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用.函数的周期性.根据已知求出a值.是解答的关键．12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是[.13]．【分析】作出不等式组对应的平面区域.利用目标函数的几何意义.结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域.设z=x2+y2.则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方.由图象知A到原点的距离最大.点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小.由得.即A（2.3）.此时z=22+32=4+9=13.点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==.则z=d2=（）2=.故z的取值范围是[.13].故答案为：[.13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用.涉及距离的计算.利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.•=4.•=﹣1.则•的值是．【分析】由已知可得=+.=﹣+.=+3.=﹣+3.=+2.=﹣+2.结合已知求出2=.2=.可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.∴=+.=﹣+.=+3.=﹣+3.∴•=2﹣2=﹣1.•=92﹣2=4.∴2=.2=.又∵=+2.=﹣+2.∴•=42﹣2=.故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算.平面向量的线性运算.难度中档．14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.进而得到tanB+tanC=2tanBtanC.结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.sinA=2sinBsinC.可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.①由三角形ABC为锐角三角形.则cosB＞0.cosC＞0.在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC.又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②.则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC.由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣.令tanBtanC=t.由A.B.C为锐角可得tanA＞0.tanB＞0.tanC＞0.由②式得1﹣tanBtanC＜0.解得t＞1.tanAtanBtanC=﹣=﹣.=（）2﹣.由t＞1得.﹣≤＜0.因此tanAtanBtanC的最小值为8.当且仅当t=2时取到等号.此时tanB+tanC=4.tanBtanC=2.解得tanB=2+.tanC=2﹣.tanA=4.（或tanB.tanC互换）.此时A.B.C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识.有一定灵活性．二、解答题（共6小题.满分90分）15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理.即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA.利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中.cosB=.∴sinB=.∵.∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角.∴sinA=.∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题．16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC 的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC.进而DE∥A1C1.据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D.进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D.E分别为AB.BC的中点.∴DE为△ABC的中位线.∴DE∥AC.∵ABC﹣A1B1C1为棱柱.∴AC∥A1C1.∴DE∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1F.且DE⊄平面A1C1F.∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱.∴AA1⊥平面A1B1C1.∴AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1.且AA1∩A1B1=A1.AA1、A1B1⊂平面AA1B1B.∴A1C1⊥平面AA1B1B.∵DE∥A1C1.∴DE⊥平面AA1B1B.又∵A1F⊂平面AA1B1B.∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥B1D.DE∩B1D=D.且DE、B1D⊂平面B1DE.∴A1F⊥平面B1DE.又∵A1F⊂平面A1C1F.∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明.以及平面与平面相互垂直的证明.把握常用方法最关键.难度不大．17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.可得PO1=2m 【分析】时.O1O=8m.进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.代入体积公式.求出容积的表达式.利用导数法.可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m.正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m.∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3.（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m.则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x.（0＜x＜6）.∴V′=﹣26x2+312.（0＜x＜6）.当0＜x＜2时.V′＞0.V（x）单调递增；当2＜x＜6时.V′＜0.V（x）单调递减；故当x=2时.V（x）取最大值；即当PO1=2m时.仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积.导数法求函数的最大值.难度中档．18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t 的取值范围．【分析】（1）设N（6.n）.则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.从而得到|7﹣n|=|n|+5.由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2.k OA=2.设l：y=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d=.由此能求出直线l的方程．（3）=.即||=.又||≤10.得t∈[2﹣2.2+2].对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上.∴设N（6.n）.∵圆N与x轴相切.∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.又圆N与圆M外切.圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0.即圆M：（（x ﹣6）2+（x﹣7）2=25.∴|7﹣n|=|n|+5.解得n=1.∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2.k OA=2.设l：y=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d==.则|BC|=2=2.BC=2.即2=2.解得b=5或b=﹣15.∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=.即.即||=||.||=.又||≤10.即≤10.解得t∈[2﹣2.2+2].对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.此时.||≤10.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.必然与圆交于P、Q两点.此时||=||.即.因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2.2+2].．【点评】本题考查圆的标准方程的求法.考查直线方程的求法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．（1）设a=2.b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1.b＞1.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.求ab 的值．【分析】（1）①利用方程.直接求解即可．②列出不等式.利用二次函数的性质以及函数的最值.转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2.求出函数的导数.构造函数h（x）=+.求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0.g（x）至少有两个零点.与条件矛盾．②若g（x0）＞0.利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.推出g（x0）=0.然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．（1）设a=2.b=．①方程f（x）=2；即：=2.可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.即≥m（）﹣6恒成立．令t=.t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时.恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4.∴m∈（﹣∞.4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2.g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb.0＜a＜1.b＞1可得.令h（x）=+.则h（x）是递增函数.而.lna＜0.lnb＞0.因此.x0=时.h（x0）=0.因此x∈（﹣∞.x0）时.h（x）＜0.a x lnb＞0.则g′（x）＜0．x∈（x0.+∞）时.h（x）＞0.a x lnb＞0.则g′（x）＞0.则g（x）在（﹣∞.x0）递减.（x0.+∞）递增.因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0.x＜log a2时.a x＞=2.b x＞0.则g（x）＞0.因此x1＜log a2.且x1＜x0时.g（x1）＞0.因此g（x）在（x1.x0）有零点.则g（x）至少有两个零点.与条件矛盾．②若g（x0）＞0.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.g（x）的最小值为g（x0）.可得g（x0）=0.由g（0）=a0+b0﹣2=0.因此x0=0.因此=0.﹣=1.即lna+lnb=0.ln（ab）=0.则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用.函数的导数的应用.基本不等式的应用.函数恒成立的应用.考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）记U={1.2.….100}.对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T.若T=∅.定义S T=0；若T={t1.t2.….t k}.定义S T=++…+．例如：T={1.3.66}时.S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T⊆{1.2.….k}.求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U.D⊆U.S C≥S D.求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意.由S T的定义.分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30.计算可得a2=3.进而可得a1的值.由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意.由S T的定义.分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1.由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D）.B=∁D（C∩D）.则A∩B=∅.进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B.分2种情况进行讨论：①、若B=∅.②、若B≠∅.可以证明得到S A≥2S B.即可得证明．【解答】解：（1）当T={2.4}时.S T=a2+a4=a2+9a2=30.因此a2=3.从而a1==1.故a n=3n﹣1.（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1.（3）设A=∁C（C∩D）.B=∁D（C∩D）.则A∩B=∅.分析可得S C=S A+S C∩D.S D=S B+S C∩D.则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B.因此原命题的等价于证明S C≥2S B.由条件S C≥S D.可得S A≥S B.①、若B=∅.则S B=0.故S A≥2S B.②、若B≠∅.由S A≥S B可得A≠∅.设A中最大元素为l.B中最大元素为m.若m≥l+1.则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾.因为A∩B=∅.所以l≠m.则l≥m+1.S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=.即S A≥2S B.综上所述.S A≥2S B.故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用.涉及新定义的内容.解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E 为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意.知∠BDC=90°.∠EDC=∠C.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.可得∠ABD=∠C.从而可证得结论．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°.因为E为BC的中点.所以DE=CE=BC.则：∠EDC=∠C.由∠BDC=90°.可得∠C+∠DBC=90°.由∠ABC=90°.可得∠ABD+∠DBC=90°.因此∠ABD=∠C.而∠EDC=∠C.所以.∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°.证得∠ABD=∠C是关键.属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB．【分析】依题意.利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==.再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=.∴B=（B﹣1）﹣1==.又A=.∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵.考查矩阵乘法的性质.属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程.然后联立方程组.求出直线与椭圆的交点坐标.代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由.由②得.代入①并整理得.．由.得.两式平方相加得．联立.解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程.考查了参数方程化普通方程.考查直线与椭圆位置关系的应用.是基础题．24．设a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|.结合不等式的基本性质.即可得证．【解答】证明：由a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a.则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明.注意运用绝对值不等式的性质.以及不等式的简单性质.考查运算能力.属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：x﹣y﹣2=0.抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标.然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）.通过抛物线方程.求解k PQ.通过P.Q 关于直线l对称.点的k PQ=﹣1.推出.PQ的中点在直线l上.推出=2﹣p.即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p.﹣p）．推出.得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0.∴l与x轴的交点坐标（2.0）.即抛物线的焦点坐标（2.0）．∴.∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）.则：.即：.k PQ==.又∵P.Q关于直线l对称.∴k PQ=﹣1.即y1+y2=﹣2p.∴.又PQ的中点在直线l上.∴==2﹣p.∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p.﹣p）．∴.即∴.即关于y2+2py+4p2﹣4p=0.有两个不相等的实数根.∴△＞0.（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0.∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法.直线与抛物线的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m.n∈N*.n≥m.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*.当n=m时.验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立.推导出当n=k+1时.命题也成立.由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*.①当n=m时.左边=（m+1）=m+1.右边=（m+1）=m+1.等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立.即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1）.当n=k+1时.左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=.右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2）.∴=（m+1）.∴左边=右边.∴n=k+1时.命题也成立.∴m.n∈N*.n≥m.（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明.是中档题.解题时要认真审题.注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

2016年江苏省苏州市高考数学考前指导卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）=．2．已知复数z1=1+ai，z2=3+2i，a∈R，i是虚数单位，若z1z2是实数，则a=．3．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为．5．执行如图所示的流程图，输出的S的值为．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．8．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=．9．在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为．10．已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是．12．若x＞0，y＞0，则的最小值为．13．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．14．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．17．苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．19．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣qb n+1=a n﹣qb n，其中q∈R，n∈N*．（1）若{b n}是公差为2的等差数列，且a1=q=3，求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}是首项为2，公比为q的等比数列，a1=3q＜0，且对任意m，n∈N*，a n≠0，都有∈（，6），试求q的取值范围．20．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．2016年江苏省苏州市高考数学考前指导卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）={5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A与B的并集，找出并集的补集即可．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，∵全集U={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）={5}．故答案为：{5}2．已知复数z1=1+ai，z2=3+2i，a∈R，i是虚数单位，若z1z2是实数，则a=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数定义是法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：∵z1z2=（1+ai）（3+2i）=3﹣2a+（3a+2）i是实数，∴3a+2=0，解得a=﹣．故答案为：．3．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=56．【考点】系统抽样方法．【分析】求出样本间隔即可得到结论．【解答】解：∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5=12，∵编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，∴a=16，b=40，∴a+b=56，故答案为：564．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2a3，化为=3=q．故答案为：3．5．执行如图所示的流程图，输出的S的值为2．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序执行的结果是什么．【解答】解：i=0＜4，s==，i=1＜4，s==﹣，i=2＜4，s==﹣3，i=3＜4，s==2，i=4，输出s=2，故答案为：2．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c 的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即解得故答案为：8．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数最值列式求得A，k的值，由f（x0）=2，得到sin（2x0+φ）=﹣1，则cos（2x0+φ）=0，写出f（x0+），结合诱导公式求值．【解答】解：由f（x）=Asin（2x+φ）+k，∵f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，∴，解得：A=1，k=3．∴f（x）=sin（2x+φ）+3．由f（x0）=2，得sin（2x0+φ）+3=2，∴sin（2x0+φ）=﹣1，则cos（2x0+φ）=0．则f（x0+）=+3=cos（2x0+φ）+3=3．故答案为：3．9．在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合已知可得SC⊥平面SAB，并求出SC，解三角形求得△ASB 的面积，代入体积公式求得三棱锥的体积．【解答】解：如图，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB=S，∴SC⊥平面SAB，在Rt△BSC中，由SB=2，BC=3，得SC=．在△SAB中，由取AB中点D，连接SD，则SD⊥AB，且BD=．∴．∴．故答案为：．10．已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：把圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=3，圆心（1，﹣1），半径r=．直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d==，由勾股定理的半弦长==，所以弦长|AB|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线AC的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|==．故答案为：．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是[﹣，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．12．若x＞0，y＞0，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】设=t＞0，变形=+t=+﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设=t＞0，则=+t=+﹣≥﹣=﹣，当且仅当=时取等号．故答案为：﹣．13．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣）=，由A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），从而可求A的值，又sinB•cosC=﹣sin（2B+），由题意可得sin（2B+）=1，解得B=kπ+，k∈Z，结合范围B∈（0，π），从而可求B 的值．【解答】解：∵sin2A+sin2A=1，可得： +sin2A=1，整理可得：sin2A ﹣cos2A=1，∴（sin2A﹣cos2A）=1，可得：sin（2A﹣）=1，∴解得：sin（2A﹣）=，∵A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，或，从而解得解得：A=或（由题意舍去），∴sinB•cosC=sinBcos（﹣B）=sinB（﹣cosB+sinB）=﹣cos2B﹣sin2B=﹣sin（2B+），∴当sin（2B+）=1时，sinB•cosC=﹣sin（2B+）取得最小值，此时，2B+=2kπ+，k∈Z，∴解得：B=kπ+，k∈Z，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．14．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是[e2，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可．【解答】解：|mx3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立等价为mx3﹣lnx≥1，或mx3﹣lnx≤﹣1，即m≥，记f（x）=，或m≤，记g（x）=，f'（x）==，由f'（x）==0，解得lnx=﹣，即x=e﹣，由f（x）＞0，解得0＜x＜e﹣，此时函数单调递增，由f（x）＜0，解得x＞e﹣，此时函数单调递减，即当x=e﹣时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e﹣）===e2，此时m≥e2，若m≤，∵当x=1时，=0，∴当m＞0时，不等式m≤不恒成立，综上m≥e2．故答案为：[e2，+∞）．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值；（Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）．所以．…16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．【考点】直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知及等腰梯形的性质，勾股定理可证明AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，从而可证BC⊥平面ACEF，进而可证BC⊥AM．（2）设AC与BD交于点N，由AM∥平面BDE，可得四边形ANEM是平行四边形，可得AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，解得，又CE=a，从而可求EN，进而可求AM的值．【解答】证明：（1）由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，且，由AB2+BC2=AC2，可知AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACEF，又AM⊂平面ACEF，所以BC⊥AM．解：（2）设AC与BD交于点N，因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE=EN，所以AM∥EN，FE∥AC，故四边形ANEM是平行四边形，所以AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，所以，又CE=a，所以，所以．17．苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意知，，将代入化简即可得出．（2）y′=，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：．（2）．①当a≥1时，x∈（0，1）时，y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增；x∈（1，a）时，y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．②当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足19．已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣qb n+1=a n ﹣qb n ，其中q ∈R ，n ∈N *． （1）若{b n }是公差为2的等差数列，且a 1=q=3，求数列{a n }的通项公式；（2）若{b n }是首项为2，公比为q 的等比数列，a 1=3q ＜0，且对任意m ，n ∈N *，a n ≠0，都有∈（，6），试求q 的取值范围．【考点】等比数列的性质；数列递推式． 【分析】（1）确定{a n }是首项为3，公差为6的等差数列，即可求数列{a n }的通项公式；（2）确定a n =2q n +q ，a n ＜0，由指数函数的单调性知，{a n }的最大值为，最小值为a 1=3q ，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q 的取值范围．【解答】解：（1）由a n+1﹣a n =q （b n+1﹣b n ）=2q=6，所以{a n }是首项为3，公差为6的等差数列，故{a n }的通项公式为．（2）因为，所以，当n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2[（q n ﹣q n ﹣1）+（q n ﹣1﹣q n ﹣2）+…+（q 2﹣q ）]+3q=2q n +q ．当n=1时，a 1=3q ，符合上式，所以，因为a 1=3q ＜0，且对任意，故a n ＜0，特别地2q 2+q ＜0，于是，此时对任意n ∈N *，a n ≠0．当时，，由指数函数的单调性知，{a n }的最大值为，最小值为a 1=3q ，由题意，的最大值及最小值分别为和．由及，解得．综上所述，q 的取值范围为．20．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数图象与x轴相切，求出a的值，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣1﹣a，设切点为（x0，0），依题意，，解得所以f′（x）=e x﹣1﹣1．当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．则g′（x）=e x﹣1﹣m（lnx+）﹣1，令h（x）=g′（x），则h′（x）=e x﹣1﹣m（+），（ⅰ）若m≤，因为当x＞1时，e x﹣1＞1，m（+）＜1，所以h′（x）＞0，所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立．（ⅱ）若m＞，可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．因为h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，且当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上单调递减，又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（1，x1）上单调递减，而g（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．纵上所述，k的取值范围是（﹣∞，]．2016年8月1日。

苏州市2016届高三调研测试数学Ⅰ试题 2016．1参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设全集U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝，则U A ð＝ ▲ ． 【答案】{2}．【命题立意】本题旨在考查集合补集的运算．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】∵U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝∴{}{}22U A x x x N =≤<∈=ð． 2． 复数i(0)12ia z a =<+，其中i 为虚数单位，||za 的值为 ▲ ． 【答案】－5．【命题立意】本题旨在考查复数的运算，复数模的几何意义．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】()()()i 1-2i i 2i 12i 12i 1-2i 5a a a a z +===++，||z ==，故5a =-． 【方法技巧】本题主要考查复数代数形式的基本运算以及复数模的考查，进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1．在复数的除法运算中，共轭复数是一个重要的概念，通过它能将分母中的虚数单位i 化去，因),())((22R b a b a bi a bi a ∈+=-+，所以复数bi a z +=的共轭复数为bi a z -=，这与实数中的互为有理化因数类似，所以在复数的四则运算中，可类比二次根式的运算，从而更好地掌握共轭复数．3． 双曲线22145x y -=的离心率为 ▲ ．【答案】32．【命题立意】本题旨在考查双曲线的离心率．考查概念的理解和计算，难度中等.【解析】双曲线22145x y -=，224,5a b == ，由222c a b =+ 得2459c =+= ，22293,42c e e a ===．4． 若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ▲ ． 【答案】2．【命题立意】本题旨在考查统计数据的平均数与方差．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】9+8+x+10+11=10×5，解得x=12，这对应的方差为s 2=15（12+22+22+02+12）=2． 5． 已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ▲ ． 【答案】9．【命题立意】本题旨在考查平面向量的坐标运算与数量积．考查运算和推理能力，难度中等. 【解析】()1,4a b x -=- ，∵()a ab ⊥-∴()0a a b ⋅-= ，即()11240x -⨯+⨯= ，解得9x =．6． 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ． 【答案】53． 【命题立意】本题旨在考查算法的流程图中的直到型循环结构及其应用．考查运算和推理能力，难度较小．【解析】由算法的流程图，开始时x=1，y=1，此时z=2,满足z<6；接下来有x=1，y=2，z=3,此时满足z<6；接下来有x=2，y=3，z=5,此时满足z<6；接下来有x=3，y=5，z=8此时满足z>6；结束循环，输出53y x =．（第6题图）7． 函数22,0,()1,0x x f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤的值域为 ▲ ．【答案】(,1]-∞．【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数的图象与性质，函数的值域．考查数形结合的数学思想，难度较小.【解析】当0x ≤时，()2x f x =，∵()f x 在0x ≤单调增，∴()01f x <≤；当0x >时，()21f x x =-+，∵()f x 在0x ≤单调减，()1f x ≤，综上所述()f x 的值域为(,1]-∞．8． 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 ▲ ． 【答案】16． 【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用．考查运算和推理能力，难度较小． 【解析】设连续2次抛掷一枚骰子两次向上的数字用（x,y ）表示，两次向上的数字共有36种，两次向上的数字之和等于7的情况有6种：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），根据古典概型的概率公式可得所求的概率为61366P ==． 9． 将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++＝ ▲ ． 【答案】5．【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质与展开图．考查计算和推理能力，难度中等. 【解析】半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形，三个扇形的圆心角分别为2,,33πππ ，由弧长公式l r α=，所对的弧长分别为510,,533πππ，三个扇形作为三个圆锥的底面半径的和为151055233ππππ⎛⎫++=⎪⎝⎭． 10． 已知θ是第三象限角，且2sin 2cos 5θθ-=-，则sin cos θθ+＝ ▲ ． 【答案】3125-． 【命题立意】本题旨在考查同角三角函数的基本关系．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】由同角三角函数的基本关系得()()222sin 2cos 15sin cos 12θθθθ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩，解得7cos 25θ=-，3cos 5θ=，∵θ是第三象限角∴3cos 5θ=（舍），∴7cos 2524sin 25θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，31sin cos 25θθ+=-． 11． 已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ▲ ． 【答案】5或6．【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式与求和公式．考查数列的单调性，难度较小. 【解析】由题意可知11415910a d a d +=⎧⎨+=-⎩ ，解得135,5a d ==-，由等差数列的前n 项和公式得()()563405155165302n n n a a T n n n ++==-+-=- ，16530n T n =- ，12345135105754515T T T T T =>=>=>=>=，6789154575105T T T T =<=<=<=<所以当n=5或n=6时，n T 取得最小值．12． 若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +＝ ▲ ． 【答案】18．【命题立意】本题旨在考查直线与圆的方程的应用，考查转化与化归，分析解决问题的能力．难度较大.【解析】设直线1:l y x a =+与圆相交于A,B 点，直线2:l y x b =+与圆相交于C,D 点．由题意可知AD BC ⊥ ,圆心到直线1:l y x a =+的距离为2，2d == ，解得1a =或1a =-；圆心到直线2:l y x b =+的距离为2，2d == ，解得1b =或1b =-，∵a b ≠∴11a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或11b a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，2218a b +=．13． 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则0200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 【答案】12． 【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质，函数与方程，函数的零点及其应用．考查函数与方程思想，数形结合的数学思想，难度中等.【解析】设函数()sin f x x =的图象关于y 轴对称，直线y kx =过原点，所以函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，即函数()sin f x x = 与直线()0y kx k =>在[)0,+∞上有三个公共点，此三个交点中的横坐标最大值为0x且在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内相切，其切点为()00,A x y ，03,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ．由于()/3cos ,,2f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ ，所以000sin cos x x x =， 002200000020sin (1)sin 2sin 12sin cos cos cos x x x x x x x x x =+⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭2200112cos 2sin 2x x ==+． 【方法技巧】1．对于易画出图象的函数，判断零点的个数或零点所在的区间时，可转化为判断函数图象与x 轴的交点问题．2．对于函数)()()(x g x h x f -=的零点问题，可采用数形结合的方法，将函数)(x f 的零点问题转化为函数)(x h ，)(x g 的图象的交点问题，作出两个函数的图象，从而判断零点所在的大致区间或零点个数. 14． 已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ▲ ．【答案】4． 【命题立意】本题旨在考查基本不等式及换元法．考查推理论证的能力与计算能力．难度较大.【解析】由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+-令71b t -=则22714949111418451427183427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立． 二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos a B+b AC c=．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为，6a b +=，求边c 的长． 【答案】（1）3π；（2） 【命题立意】本题旨在考查余弦定理，“边、角”互化思想．考查运算推理能力，难度较小.【解析】（1）由余弦定理知22222222cos cos 222a c b b c a c a B+b A a b c ac bc c+-+-=⋅+⋅==3分c o s c o s 1a B +b A c ∴=，1cos 2C ∴=， …………………………………5分又()0,C ∈π，3C π=. ………………………7分（2）1sin 2ABCS ab C ==8ab ∴=， ………………………10分 又6a b +=，()22222cos 312c a b ab C a b ab ∴=+-=+-=， …………………13分c ∴=…………………………………14分 16． （本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .【答案】（1）略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查空间直线平行．线与平面垂直的判定，考查空间想象．推理论证能力．难度中等.【解析】（1）连接AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线， 所以EF ∥AC ． ………………………2分由直棱柱知AA 1=CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1． ………………5分所以EF ∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面．……………7分 （2）连接BD ，因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以1DD ⊥11A C ． ………………………9分 因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以11A C 11B D ⊥． 又1DD 111=B D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ． ………………………11分因为OD ⊂平面11BB D D ，所以OD ⊥11A C ． 又OD ⊥A 1E ，11AC 11A E A =，11AC ⊂平面A 1C 1FE ，1A E ⊂平面A 1C 1FE ，所以OD ⊥平面A 1C 1FE . ………………………14分 17． （本小题满分14分）图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB 的中点，渠宽AB 为2米．（1）当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？（第16题图）1EAB【答案】（1）1.6米；（2． 【命题立意】本题旨在考查圆的方程，切线方程，利用导数求函数的最值，考查数学模型的实际应用，分析与解析问题的能力．难度中等.【解析】（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤． ………………………3分 因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，在Rt △ODM中，0.8DM ==（米）． ……………………5分 所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米． ……………………6分 （2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为(c o s ,s i n )(0)2P θθθπ-<<是圆弧BC 上的一点，过P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为cos sin 1x y θθ+=． ……………………8分 令y ＝0，得1(,0)c o s E θ，令y ＝-1，得1s i n (,1)c o s F θθ+-．设直角梯形OCFE 的面积为S ，则11s i n 2s i()()1c o s c o s c o S C F O E O C θθθθθ++=+⋅=+⨯= （02θπ-<<）． ……………………10分22cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ-+-+'==，令0S '=，解得6θπ=-， 当26θππ-<<-时，0S '<，函数单调递减；当06θπ-<<时，0S '>，函数单调递增． ………………………12分所以6θπ=-时，面积S ．此时1sin()6cos()6CF π+-==π-14分 18． （本小题满分16分）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB PM ⋅的取值范围．【答案】（1）7；（2）①略②()9,+∞． 【命题立意】本题旨在考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，平面向量的位置关系与线性运算，考查分析与解决问题的能力和运算能力等．难度中等.【解析】解：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM11y +=-，即1y x -，联立，221,41,3x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得1,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M ．……………2分 连BF ，则直线BF11y=，即0x +=， 而2BF a ==，1|72d +===． ……………………4分故11222MBFSBF d =⋅⋅=⋅=． ……………………5分（2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--， 联立2211,1,4y x mx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， (8)分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--， 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值． …………………10分② 由①知，(,3)PB m =-，2322222841212(,2)(,)4444m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++，所以324222212121536(,3)(,)444m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++， ……………13分 令244m t +=>，故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t-+-++-⋅===-+，因为87y t t=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞……16分解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-，令2y =-，得00(,2)1xP y --+. ……………7分所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+， 所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. ………………10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++， 所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++． ………………13分令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减，所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．…16分【方法技巧】 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 19． （本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：112a =，113n n n a a p nq -+-=⋅-，*n ∈N ,,p q ∈R . （1）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值； （2）若1p =，且4a 为数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围. 【答案】（1）0p =或1p =；（2）2734q ≤≤．【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式，累加法，等比数列的定义，数列求和，数列的增减性．考查函数与方程思想，以及转化和化归能力，难度中等. 【解析】（1）0q =，113n n n a a p -+-=⋅，∴2112a a p p =+=+，321342a a p p =+=+， 由数列{}n a 为等比数列，得21114222p p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0p =或1p =.……………3分当0p =时，1n n a a +=，∴12n a = 符合题意； ……………………4分当1p =时，113n n n a a -+-=， ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()12111131133322132n n n ----++++=+=⋅-，∴13n na a +=符合题意. ………………………6分 （2）法一：若1p =，113n n n a a nq -+-=-，∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()211331212n n q -++++-+++-⎡⎤⎣⎦=()11312n n n q -⎡⎤--⎣⎦. …………8分 ∵数列{}n a 的最小项为4a ，∴对*n ∀∈N ，有()()141131271222n n n q a q -⎡⎤--=-⎣⎦≥恒成立，即()1232712n n n q ----≥对*n ∀∈N 恒成立. …………………10分当1n =时，有2612q --≥，∴136q ≥； 当2n =时，有2410q --≥，∴125q ≥；当3n =时，有186q --≥，∴3q ≥；当4n =时，有00≥，∴q ∈R ； …………………12分当5n ≥时，2120n n -->，所以有1232712n q n n ----≤恒成立，令()123275,12n n c n n n n --=∈--N *≥，则()()()2112222123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--， 即数列{}n c 为递增数列，∴5274q c =≤. …………………15分 综上所述，2734q ≤≤. ……………………16分 法二：因为1p =，113n n n a a nq -+-=-，又4a 为数列{}n a 的最小项，所以43540,0,a a a a -⎧⎨-⎩≤≥即930,2740,q q -⎧⎨-⎩≤≥所以2734q ≤≤. ……………………………………………………8分 此时2110a a q -=-<，32320a a q -=-<，所以1234a a a a >>≥. ………………………………………………………10分当4n ≥时，令1n n n b a a +=-，141127232304n n n b b q --+-=⋅-⋅->≥，所以1n n b b +>，所以4560b b b <<<≤，即4567a a a a <<<≤. ………………………………………………………14分综上所述，当2734q ≤≤时，4a 为数列{}n a 的最小项，即所求q 的取值范围为27[3,]4. ………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数()e (21)xf x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增.；（2）①()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；②32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦．【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，导数的运算与导数的几何意义，函数的单调性，考查分类讨论思维，分离参数构造函数求取值范围．难度中等.【解析】（1）当a ＝1时，()()e 211x f x x x =--+，()()e '211x f x x =+-，……1分由于'(0)0f =，当(0,)x ∈+∞时，e 1,211x x >+>，∴'()0f x >， 当(,0)x ∈-∞时，0<e 1,211x x <+<，∴'()0f x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. ………………4分 （2）①由()0f x <得()()e211xx a x -<-．当1x =时，不等式显然不成立； 当1x >时，()e 211x x a x ->-；当1x <时，()e 211x x a x -<-. ………………6分记()g x =()e 211x x x --，()()()()()()222e e e '()232112111x x x g x x xx x x x x =-+---=--，∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数．∴ 当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=． …………………8分综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ． …………………9分②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e312a <≤. …………………12分 当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴()()23g a g a<⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤. ……………………15分综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． …………………16分数学II （附加题）21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，四边形ABDC 内接于圆．BD ＝CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点。

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是 ．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是 ．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是 ．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是 ．．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当为多少时，仓库的容积最大？．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值． ．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （；若 ， ， ， ，定义∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证： ﹣ ＜ ．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ﹣ ， ．【分析】根据已知中集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，∴ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解： （ ）（ ﹣ ） ，则 的实部是 ，故答案为： ．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣ 的焦距．【解答】解：双曲线﹣ 中， ， ，∴ ，∴双曲线﹣ 的焦距是 ．故答案为： ．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．【分析】先求出数据 ， ， ， ， 的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据 ， ， ， ， 的平均数为：（ ） ，∴该组数据的方差：（ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） ．故答案为： ．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ﹣ ， ．【分析】根据被开方数不小于 ，构造不等式，解得答案．【解答】解：由 ﹣ ﹣ ≥ 得： ﹣ ≤ ，解得： ∈ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 ．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ， ，当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ，当 ， 时，满足 ＞ ，故输出的 值为 ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于 的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，基本事件总数为 × ，出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，出现向上的点数之和不小于 包含的基本事件有：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 个，∴出现向上的点数之和小于 的概率：﹣ ．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，【分析】利用等差数列的通项公式和前 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的值．是等差数列， 是其前 项和， ﹣ ， ，【解答】解：∵∴，﹣ ， ，解得﹣ × ．∴故答案为： ．【点评】本题考查等差数列的第 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．【分析】画出函数 与 在区间 ， 上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数 与 在区间 ， 上的图象如下：由图可知，共 个交点．故答案为： ．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数 与 在区间 ， 上的图象是关键，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程求得 ， 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程可得 ± ± ，可得 （﹣ ，）， （ ，），﹣ ，由∠ ，可得即有 ﹣ ，化简为 ﹣ ，由 ﹣ ，即有 ，由 ，可得 ，可得 ，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，考查化简整理的运算能力，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合 （﹣） （），可得 值，进而得到 （ ）的值．【解答】解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，∴ （﹣） （﹣） ﹣ ，（） （） ﹣ ，∴ ，∴ （ ） （ ） （﹣ ） ﹣ ﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出 值，是解答的关键．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ， ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设 ，则 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知 到原点的距离最大，点 到直线 ： ﹣ 的距离最小，由得，即 （ ， ），此时 ，点 到直线 ： ﹣ 的距离 ，则 （） ，故 的取值范围是 ， ，故答案为： ， ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是．【分析】由已知可得 ， ﹣ ， ， ﹣ ， ， ﹣ ，结合已知求出 ， ，可得答案．【解答】解：∵ 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点，∴ ， ﹣ ，， ﹣ ，∴ ﹣ ﹣ ，﹣ ，∴ ， ，又∵ ， ﹣ ，∴ ﹣ ，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．【分析】结合三角形关系和式子 可推出，进而得到 ，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由 （ ﹣ ） （ ） ，，可得 ，由三角形 为锐角三角形，则 ＞ ， ＞ ，在 式两侧同时除以 可得 ，又 ﹣ （ ﹣ ） ﹣ （ ） ﹣ ，则 ﹣ ，由 可得 ﹣，令 ，由 ， ， 为锐角可得 ＞ ， ＞ ， ＞ ，由 式得 ﹣ ＜ ，解得 ＞ ，﹣ ﹣，（） ﹣，由 ＞ 得，﹣≤＜ ，因此 的最小值为 ，当且仅当 时取到等号，此时 ， ，解得 ， ﹣， ，（或 ， 互换），此时 ， ， 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．【分析】（ ）利用正弦定理，即可求 的长；（ ）求出 、 ，利用两角差的余弦公式求 （ ﹣）的值．【解答】解：（ ）∵△ 中， ，∴ ，∵，∴ ；（ ） ﹣ （ ） ﹣ ﹣．∵ 为三角形的内角，∴ ，∴ （ ﹣） ．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面【分析】（ ）通过证明 ∥ ，进而 ∥ ，据此可得直线 ∥平面 ； （ ）通过证明 ⊥ 结合题目已知条件 ⊥ ，进而可得平面 ⊥平面 ．【解答】解：（ ）∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ 为△ 的中位线， ∴ ∥ ，∵ ﹣ 为棱柱， ∴ ∥ ， ∴ ∥ ，∵ ⊂平面 ，且 ⊄平面 ， ∴ ∥ ；（ ）∵ ﹣ 为直棱柱， ∴ ⊥平面 ， ∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ，且 ， 、 ⊂平面 ， ∴ ⊥平面 ， ∵ ∥ ，，∴ ⊥平面⊂平面 ，又∵，∴ ⊥⊥ ， ，且 、 ⊂平面 ，又∵⊥平面 ，∴⊂平面 ，又∵⊥平面 ．∴平面【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，为多少时，仓库的容积最大？（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当是正四棱锥的高 的 倍，可得 时，【分析】（ ）由正四棱柱的高，进而可得仓库的容积；，则 ， ， ，（ ）设代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．，正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 倍．【解答】解：（ ）∵，∴∴仓库的容积 × × × ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，，设， ， ，则则仓库的容积 ×（ ） （ ），（ ＜ ＜ ），∴ ﹣ ，（ ＜ ＜ ），当 ＜ ＜ 时， ＞ ， （ ）单调递增；当 ＜ ＜ 时， ＜ ， （ ）单调递减；故当 时， （ ）取最大值；时，仓库的容积最大．即当【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．【分析】（ ）设 （ ， ），则圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，从而得到 ﹣ ，由此能求出圆 的标准方程．，设 ： ，则圆心 到直线 的距离：（ ）由题意得 ，，由此能求出直线 的方程．（ ） ，即 ，又 ≤ ，得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数 的取值范围．【解答】解：（ ）∵ 在直线 上，∴设 （ ， ），∵圆 与 轴相切，∴圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，又圆 与圆 外切，圆 ： ﹣ ﹣ ，即圆 ：（（ ﹣ ） （ ﹣ ） ，∴ ﹣ ，解得 ，∴圆 的标准方程为（ ﹣ ） （ ﹣ ） ．，设 ： ，（ ）由题意得 ，则圆心 到直线 的距离： ，则 ， ，即，解得 或 ﹣ ，∴直线 的方程为： 或 ﹣ ．（ ） ，即，即 ，，又 ≤ ，即≤ ，解得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，此时， ≤ ，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于 、 两点，此时 ，即，因此实数 的取值范围为 ∈ ﹣ ， ，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值．【分析】（ ） 利用方程，直接求解即可． 列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（ ）求出 （ ） （ ）﹣ ﹣ ，求出函数的导数，构造函数 （ ），求出 （ ）的最小值为： （ ）．同理 若 （ ）＜ ， （ ）至少有两个）＞ ，利用函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，推零点，与条件矛盾． 若 （出 （） ，然后求解 ．【解答】解：函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ． 方程 （ ） ；即：，可得 ．不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，即≥ （）﹣ 恒成立．令， ≥ ．不等式化为： ﹣ ≥ 在 ≥ 时，恒成立．可得：△≤ 或即： ﹣ ≤ 或 ≤ ， ∴ ∈（﹣ ， ． 实数 的最大值为： ．（ ） （ ） （ ）﹣ ﹣ ， （ ），＜ ＜ ， ＞ 可得，令 （ ），则 （ ）是递增函数，而， ＜ ， ＞ ，因此，时， （ ） ，因此 ∈（﹣ ， ）时， （ ）＜ ， ＞ ，则 （ ）＜ ． ∈（ ， ）时， （ ）＞ ， ＞ ，则 （ ）＞ ，则 （ ）在（﹣ ， ）递减，（ ， ）递增，因此 （ ）的最小值为： （ ）． 若 （ ）＜ ， ＜ 时， ＞， ＞ ，则 （ ）＞ ，因此 ＜ ，且 ＜ 时， （ ）＞ ，因此 （ ）在（ ， ）有零点， 则 （ ）至少有两个零点，与条件矛盾．若 （ ）＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点， （ ）的最小值为 （ ），可得 （ ） ，由 （ ） ﹣ ， 因此 ，因此，﹣，即 ， （ ），则 ．可得 ．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （ ∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义 ；若 ， ， ， ，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．【分析】（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ，计算可得 ，进而可得 的值，由等比数列通项公式即可得答案；（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ≤﹣，由等比数列的前 项和公式计算可得证明；（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，进而分析可以将原命题转化为证明 ≥ ，分 种情况进行讨论： 、若 ∅， 、若 ≠∅，可以证明得到 ≥ ，即可得证明．【解答】解：（ ）当 ， 时， ， 因此 ，从而 ，故﹣，（ ） ≤ ﹣＜ ，（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，分析可得 ， ，则 ﹣ ﹣ ， 因此原命题的等价于证明 ≥ ， 由条件 ≥ ，可得 ≥ ， 、若 ∅，则 ，故 ≥ ，、若 ≠∅，由 ≥ 可得 ≠∅，设 中最大元素为 ， 中最大元素为 ， 若 ≥ ，则其与 ＜ ≤ ≤ 相矛盾， 因为 ∅，所以 ≠ ，则 ≥ ，≤ ﹣≤，即 ≥，综上所述， ≥ ， 故 ≥ ．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【分析】依题意，知∠ ，∠ ∠ ，利用∠ ∠ ∠ ∠，可得∠ ∠ ，从而可证得结论．【解答】解：由 ⊥ 可得∠ ，因为 为 的中点，所以 ，则：∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，因此∠ ∠ ，而∠ ∠ ，所以，∠ ∠ ．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠ ∠ ∠ ∠ ，证得∠ ∠ 是关键，属于中档题．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【分析】依题意，利用矩阵变换求得 （ ﹣ ）﹣ ，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵ ﹣ ，∴ （ ﹣ ）﹣ ，又 ，∴ ．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由 得，代入 并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴ ．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证：﹣ ＜ ．【分析】运用绝对值不等式的性质： ≤ ，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，可得 ﹣ （ ﹣ ） （ ﹣ ）≤ ﹣ ﹣ ＜ ，则 ﹣ ＜ 成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ：﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．【分析】（ ）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（ ）： 设点 （ ， ）， （ ， ），通过抛物线方程，求解 ，通过 ， 关于直线 对称，点的 ﹣ ，推出， 的中点在直线 上，推出 ﹣，即可证明线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；利用线段 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．推出，得到关于﹣ ，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 的范围．【解答】解：（ ）∵ ： ﹣ ﹣ ，∴ 与 轴的交点坐标（ ， ）， 即抛物线的焦点坐标（ ， ）． ∴，∴抛物线 ： ．（ ）证明： 设点 （ ， ）， （ ， ），则：，即：，，又∵ ， 关于直线 对称，∴ ﹣ ，即 ﹣ ，∴，又 的中点在直线 上，∴ ﹣ ，∴线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）； 因为 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．∴，即∴，即关于 ﹣ ，有两个不相等的实数根，∴△＞ ，（ ） ﹣ （ ﹣ ）＞ ，∴ ∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【分析】（ ）由已知直接利用组合公式能求出 的值．（ ）对任意 ∈ ，当 时，验证等式成立；再假设 （ ≥ ）时命题成立，推导出当 时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．【解答】解：（ ）﹣ ×× ﹣ × ．证明：（ ）对任意 ∈ ，当 时，左边 （ ） ，右边 （ ） ，等式成立．假设 （ ≥ ）时命题成立，即（ ） （ ） （ ） （ ） （ ），当 时，左边 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ），右边∵（ ） ﹣（ ）× ﹣（ ﹣ ）（ ）（ ），∴ （ ），∴左边 右边，∴ 时，命题也成立，∴ ， ∈ ， ≥ ，（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．剑影实验学校名师高中部 高一化学第二次月考试卷。

2016年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=______．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是______．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______．5．（5分）函数y=的定义域是______．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是______．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是______．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是______．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是______．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江苏数学参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，13]．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2，b x＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C ≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．2016数学21。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1,5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______．【答案】{}1,2-【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．（2)【2016年江苏,2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(3)【2016年江苏,3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______．【答案】210【解析】2210c a b =+=,因此焦距为2210c =．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4。

7，4。

8，5。

1,5.4，5。

5，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=．【点评】本题考查方差的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． (5）【2016年江苏，5，5分】函数232y x x =--的定义域是_______． 【答案】[]3,1-【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤,因此定义域为[]3,1-．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域,二次不等式的解法,难度不大,属于基础题． （6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9【解析】,a b 的变化如下表：a 1 5 9b 9 7 5 则输出时9a =．【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】56【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种,概率为305366=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．(8)【2016年江苏，8，5分】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-,510S =，则9a 的值是_______． 【答案】20【解析】设公差为d ,则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=． 【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用．(9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数sin 2y x =与cos y x =在区间[]0,3π上的图象是关键,属于中档题．（10）【2016年江苏，10，5分】如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点,且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是________【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得 0BF CF ⋅=,2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭,2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则22231044c a b -+=,由222b a c =-可得 223142c a =，则c e a ==． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力,属于中档题．（11）【2016年江苏，11，5分】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ,若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()5f a 的值是________．【答案】25-【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =,则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性,根据已知求出a 值，是解答的关键．（12）【2016年江苏,12，5分】已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是________．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离,d ==,则()22min 45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点,则()2,3B ，则()22max13x y +=．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键． （13)【2016年江苏,13，5分】如图,在ABC △中，D 是BC 的中点,,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-,2CE a b =+,BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-, 224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=．【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． （14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是_______． 【答案】8【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+,sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（＊)，由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>, 在（＊）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=,又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#),则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由（#）得1tan tan 0B C -<,解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C t t t =-=---,221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8, 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=,tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===(或tan ,tan B C 互换)，此时,,A B C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． 二、解答题:本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2016年江苏，15,14分】在ABC △中,6AC =，4cos 5B =，π4C =．(1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 解:（1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3sin 5B ∴=,sinC sin AB ACB =，635=，即:AB = （2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，cos A ∴=又A 为三角形的内角，sin A ∴=，π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭【点评】本题考查正弦定理,考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2016年江苏，16，14分】如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证: （1）直线//DE 平面11A C F ； (2)平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：（1),D E 为中点,DE ∴为ABC ∆的中位线,//DE AC ∴，又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄，//DE ∴平面11A C F ．（2）111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C ,111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥,且1111AA A B A =,111,AA A B ⊂平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ,又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ， 又1A F ⊂平面11AA B B ,1DE A F ∴⊥,又11A F B D ⊥，1DEB D D =,且1,DE B D ⊂平面1B DE ,1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂,∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．【点评】本题考查直线与平面平行的证明,以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大． (17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -,下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱 的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1）若6m AB =，12m PO =,则仓库的容积是多少;(2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大?解：（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==, 111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ． （2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ,则14m OO x =，11m A O =，11m A B =,()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >,()V x 单调递增,当()x ∈时,()'0V x <,()V x 单调递减，因此,当x =时,()V x 取到最大值,即1m PO =时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积,导数法求函数的最大值，难度中档． （18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； (2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围．解：（1）因为N 在直线6x =上,设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >,又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+,解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=．（2）由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l的距离d =，则BC ==BC ==1A FEDCBAC 1B 1A 1解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-． (3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =,(TA t =10PQ ≤,10,解得2t⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =,此时10TA ≤，只需要作直线TA 的平行线，2TA 必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ=,即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣,均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． (1)设2a =,12b =． ①求方程()2f x =的根;②若对于任意x ∈R ,不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；(2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 解：（1）①()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由()2f x =可得1222x x +=,则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=,则21x =,0x =．②由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立,令122xx t =+,则由20x >可得2t =≥，此时226t mt --≥恒成立，即244t mt t t+=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +=≥，当且仅当2t =时 等号成立，因此实数m 的最大值为4．（2）()()22x x g x f x a b =-=+-,()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<,1b >可得1b a >,令()ln ln xb a h x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()h x 递增,而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =， 因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >,则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时,()0h x >，ln 0x a b >， 则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ，① 若()00g x <,log 2a x <时,log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >;x >log b 2时,0x a >，log 22b x b b >=， 则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时,()10g x >,因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时,()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点,与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点,()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =,由()00020g a b =+-=，因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =,则1ab =．【点评】本题考查函数与方程的综合应用,函数的导数的应用,基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．(20)【2016年江苏,20，16分】记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ,若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N )是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． (1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k （1100k ≤≤)，若{}1,2,,T k ⊆，求证:1T k S a +<；(3）设C U ⊆,D U ⊆,C D S S ≥,求证：2C CDD S S S +≥．解:(1)当{}2,4T =时,2422930T S a a a a =+=+=,因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=． （2）2112131133332k k kT k k S a a a a -+-++=++++=<=≤(3)设()C A C D =，()D B C D =，A B =∅，C A C D S S S =+，D B CDS S S =+， 22C CDD A B S S S S S +-=-,因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥． ① 若B =∅,则0B S =,所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅,由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ,若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥，211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤,即2A B S S >．综上所述,2A B S S ≥，因此2C C D D S S S +≥．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．,若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21—A)【2016年江苏，21—A ，10分】（选修4-1:几何证明选讲）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒,BD AC ⊥，D 为垂足,E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．解:由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠， 由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒,由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠， 又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键,属于中档题．（21—B ）【2016年江苏，21—B ，10分】（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．解:()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ． 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题． （21—C ）【2016年江苏,21—C,10分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．ED CB A解：直线l0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=,联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩,解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此167AB ==． 【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程,考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．（21—D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分)(选修4—4:不等式选讲）设0a >，13a x -<，23ay -<,求证：24x y a +-<．解：由13a x -<可得2223a x -<，22422233a a x y x y a +--+-<+=≤． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明,注意运用绝对值不等式的性质,以及不等式的简单性质,考查运算能力，属于基础题．【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22)【2016年江苏，22,10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中,已知直线:20l x y --=,抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程；（2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证:线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --; ②求p 的取值范围．解：（1）:20l x y --=,∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22p∴=，28y x ∴=． （2)① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-, 又,P Q 关于直线l 对称,1PQ k ∴=-，即122y y p +=-，122y y p +∴=-,又PQ 中点一定在直线l 上，12122222x x y y p ++∴=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --;② 中点坐标为()2,p p --,122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩，12212244y y p y y p p +=-⎧∴⎨=-⎩， 即关于222440y py p p ++-=有两个不等根，0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． （23）【2016年江苏,23，10分】（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ,n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．解:（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=．(2）对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m mm m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时,左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C2Cm m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+,而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++⎡⎤+++-+=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()12!1!13122C 2!1!!1!mk k k m k k m k k m k m m k m +++=+⨯+--+=+=+⎡⎤⎣⎦+-+-+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+,因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立,综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解:因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C CCkk k n n n ---=+,知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题,解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。