2020届 江苏省 高三上学期八校联考数学(理)试题(word版)

2020届江苏省常熟中学高三上学期阶段性抽测二（12月）数学试题一、填空题1．设集合2{}1A ＝﹣，，集合}2{1B ＝，，则A B ⋃＝_____． 【答案】21}2{﹣，，．. 【解析】根据并集的定义运算即可. 【详解】解：{},{},2,11,2A B Q =-=1{}2,,2A B ∴-U =． 故答案为： 1{22}-，，． 【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．“1x ＞”是“21x ≥”的_____条件． 【答案】充分不必要.【解析】利用充分性，必要性的判定即可． 【详解】解：由“1x >”可以推出“21x ≥”，所以具有充分性；由“21x ≥”可以推出“11x x <->或”，推导不出“1x >”，所以不具有必要性；故“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要.本题考查了条件的充分性与必要性，属于基础题． 3．直线10x +-=的倾斜角为_______________.【答案】150o【解析】由直线10x +-=的斜率为k =00tan ,[0,180)3αα=-∈，即可求解. 【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为k =设直线的倾斜角为α，则00tan ,[0,180)3αα=-∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150. 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．双曲线22143x y -=的渐近线方程是_________________.【答案】2y x =±【解析】根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线. 【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线为b y x a =±，所以双曲线22143x y -=的渐近线方程是2y x =±.故答案为2y x =±本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5．抛物线2y =上的点A ，则A 到其焦点F 的距离为_____． 【答案】【解析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义求解即可． 【详解】解：抛物线2y =的准线方程为：x =，抛物线2y =上的点A则A 到其焦点F 距离为：= 故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 6．已知10sin,sin 263ππαα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭，则2sin 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_____．【答案】9-. 【解析】由已知结合同角平方关系可求cos()6πα-，然后结合诱导公式可求1sin()3απ+，1cos()3απ+，最后再用二倍角的正弦公式可求【详解】 解：10,sin 263ππαα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭Q ，cos 63πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，11sin sin cos 36263ππαπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111cos cos sin 36263ππαπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2111sin 22cos sin 2333339απαπαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：9- 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础试题．7．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36410S S ＝，＝，则9S ＝_____． 【答案】18.【解析】等差数列{}n a 中， 36396,S S S S S --，成等差数列，代入即可求解． 【详解】解：等差数列{}n a 中，36396,S S S S S --，成等差数列，92104410S ∴-+-（）=则918S ＝． 故答案为：18 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础题．8．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD MNPQ -的体积为1V ，以,,,B D M P 为顶点的三棱锥P BDM -的体积为2V ，则21V V =________．【答案】13【解析】先由题意求出正方体的体积1V ，然后运用1V 减去四个三棱锥的体积得到三棱锥P BDM -的体积为2V ，然后可得所求比值． 【详解】依题意得正方体的体积31V a =，三棱锥A BDM -的体积21132A BDM M ABD V V a a --==⨯⨯36a =， 又三棱锥P BDM -为正四面体， 由对称性知3332114463A BDMa V V V a a -=-=-⨯=，所以2113V V =．故答案为：13．【点睛】求几何体的体积时首先要确定几何体的形状，然后再求出体积，对于一些不规则的几何体，可采用分割或补形的方法转化为规则几何体的体积后进行求解，考查转化思想方法的运用，属于基础题．9．若,满足约束条件则的最大值 ．【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.【考点】线性规划解法10．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()1,0F c -，右焦点为()20F c ，．若椭圆上存在一点P ，线段2PF 与圆2224c x y +=相切于点E ，且E为线段2PF 中点，则该椭圆的离心率为_____． 【答案】31-.【解析】连接OE ，1F P ．利用切线的性质可得2OE PF ⊥．利用三角形中位线定理可得：1122c OE PF ==，1//OE PF ．再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出． 【详解】 解：如图所示，连接1OE F P ，．Q 线段2PF 与圆2224c x y +=相切于点E ，2OE PF ∴⊥． 又O 为12F F 的中点，111//22c OE OE PF ∴＝PF ,．12122290PF c PF a c F PF OEF ∴-∠∠︒＝，＝，＝＝．()()22222c a c c ∴=+-，化为：2220,01e e e +-<<＝解得1e =．1．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切性质、三角形中位线定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 11．已知正实数,x y 满足x y xy +＝，则1911y x y +--的最小值是_____． 【答案】15.【解析】由已知可得，(1)(1)1x y --=，而191991111y x y x y +=++----，利用基本不等式即可求解． 【详解】解：Q 正实数x ，y 满足x y xy +=，01yx y ∴=>-， 1y ∴>，同理1x >，(1)(1)1x y ∴--=，则191999151111y x y x y +=++=----…， 当且仅当1911x y =--且(1)(1)1x y --=，即43x =，4y =时取得等号， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题．12．已知1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，且AB =||PA PB +u u u v u u u v 的最小值是___________． 【答案】2【解析】由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点（3，1）、（1，3），所以点P 的轨迹为以两定点连线段为直径的圆，方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=2。

江苏省南京市2020届高三数学上学期期初联考试题试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝ ． 答案：(﹣1，0] 考点：集合的运算 解析：(﹣1，0] 2．已知复数z ＝3i1i-+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 答案：﹣2 考点：虚数解析：z ＝223i (3i)(1i)i 4i 34i 22i 11i (1i)(1i)1i 2----+-+====-+++--，所以则z 的虚部是﹣2． 3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．答案：200考点：统计，抽样调查 解析：2004．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是 ． 答案：13考点：古典概型解析：将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下：123，132，213，231，312，321，共6种，其中偶数有2种，所以该三位数是偶数的概率是1263÷=． 5．函数21log y x =+的定义域为 ． 答案：[12，+∞)考点：函数的定义域 解析：由21log 00x x +≥⎧⎨>⎩，解得12x ≥，所以原函数定义域为[12，+∞)．6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．答案：17考点：算法初步，伪代码解析：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S ＝1＋1＋3＋5＋7的值，所以S ＝1＋1＋3＋5＋7＝17．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为45，则双曲线C 的方程为 ． 答案：2212016x y -= 考点：双曲线的性质解析：由题意可知双曲线的右顶点为(a ，0)，渐近线方程为4y x a=±，根据点到线的距离公式求得右顶点到双曲线渐近线距离为：216a +，即可得方程216a +＝453，解得a 2＝20，所以双曲线C 的方程为2212016x y -=． 8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．答案：32考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2．所以22S 63S 42R R ππ==圆柱球．9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-，2]，则n ﹣m 的最小值是 ．答案：3考点：三角函数的图像与性质解析：由函数的最大值为2，可得A ＝2．由12•2πω＝4，可得4πω=．由五点法作图可得4π×2＋ϕ＝2π，∴ϕ＝0，函数()2sin()4f x x π=．由于函数在[2，5]上是减函数，x ＝2时，()f x ＝2，x ＝5时，()f x ＝2，故n ﹣m 的最小值是5﹣2＝3． 10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为 ． 答案：14考点：等比数列解析：因为527S S =+，所以3457a a a ++=，则2341()7a q q q ++=，将121a q=代入可得：260q q +-=，因为q ＞0，所以q ＝2，从而首项1a 的值为14． 11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(0，1)考点：函数性质综合解析：当x ＜0时，()(1)f x x x =-，可得()f x 在(﹣1，0)单调递减；由()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，可得()f x 也是区间(﹣1，1)上的减函数．因为2(1)(1)0f m f m -+-<，所以2(1)(1)f m f m -<-，可得如下不等式组：2211111111m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，得02022021m m m m <<⎧⎪<<-<<⎨⎪-<<⎩或，解得：01m <<．所以实数m的取值范围为(0，1)．12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是 ． 答案：113λ≤≤ 考点：圆的方程解析：首先求得PO ＝4，设P(x ，y )，则2216x y +=①，由PO ＝λPC ，得PO 2＝λPC 2，则x 2＋y 2＝λ2[(x ﹣8)2＋y 2]，化简得222220(1)()1664x y x λλλ=-+-+②，由①②得：2251x λλ-=，根据﹣4≤2251λλ-≤4，求得113λ≤≤． 13．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，BC 2AD 3=，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若AB AD 2FA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB AD＝ ．3考点：平面向量的数量积解析：根据题意可得CF 1FD 3=，21CD CB BA AD AD AB AD AD AB 33=++=--+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ，2331132FA CD 2(CD AD)CD 2[(AD AB)AD](AD AB)AB 44332⋅=-⋅=--⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21AD AB AD 2-+⋅u u ur u u u r u u u r ，所以由AB AD 2FA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，得2231AB AD AB AD 22⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD ⋅u u u r u u u r ，所以22AD 3AB =u u u r u u u r ，所以ABAD＝33．14．已知函数1ln 1()11122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，若12x x ≠，且12()()2f x f x +=，则12x x +的取值范围是 ．答案：[32ln 2-，+∞) 考点：函数与方程 解析：设121x x <<，则12111ln 222x x +++=，得：1212ln x x =-，所以12x x +＝1﹣22ln x ＋2x ．令222()12ln g x x x =-+，2222()x g x x -'=，当1＜2x ＜2，2()g x '＜0，2()g x 在(1，2)上单调递减，当2x ＞2，2()g x '＞0，2()g x 在(2，+∞)上单调递增，∴当x ＝2时，2()g x 有最小值为32ln 2-，所以12x x +≥32ln 2-，即12x x +的取值范围是[32ln 2-，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：AF ⊥PC ．解：16．（本小题满分14分）在△ABC中，A＝34π，AB＝6，AC＝32（1）求sinB的值；（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．解：（1）∵A＝34π，AB＝6，AC＝32∴由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2AB·AC·cosA＝90 ∴BC＝310由正弦定理可得：232AC sin A102sin BBC310⋅===（2）∵A＝34π，B为锐角∴cosB310由余弦定理：AD2＝AB2＋BD2﹣2AB·BD·cosB因为AD＝BD，所以BD＝AB10 2cos B3102==⨯所以S△ABD＝12AB·BD·sinB＝1106102⨯＝3所以△ABD 的面积为3． 17．（本小题满分14分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长都分别为x ，y （单位：dm ）且x ＜y ，若剪去的正十字形部分面积为4dm 2．（1）求y 关于x 的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x 取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．解：（1）由题意可得：224xy x -=，则242x y x+=，∵y x >，∴0＜x ＜2∴y 关于x 的函数解析式242x y x+=，定义域为(0，2)．（2）设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知22222222454()225224x x d x y x x x+=+=+=++≥， 当且仅当255x =时，正十字形的外接圆直径d 最小， 则半径最小值为2522d +=， ∴正十字形的外接圆面积最小值为2525142ππ⨯= 答：当x 45551+． 18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为12，过点P(4，0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若B 是AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点． 解：（1）∵左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0) ∴c ＝1， ∵椭圆离心率为12∴a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）设B(0x ，0y )，根据B 是AP 的中点，得A(024x -，02y ) 由于A 、B 两点都在椭圆上，可得方程组：22002200143(24)4143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得0074x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0074x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以B(74)或(74，)设直线l 的斜率为k ，则k＝8744-或8744--，即k所以直线l的方程为：4)6y x =±-，60y --=60y +-=． （3）设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，则E(2x ，2y -) 设D 为直线AE 与x 轴的焦点，且D(d ，0) 根据A 、D 、E 三点共线得：1212y y x d x d -=--，解得122112x y x y d y y +=+ 设直线l 为：(4)y k x =-，其中k ≠0则11(4)y k x =-，22(4)y k x =-，代入122112x y x y d y y+=+得12121224()8x x x x d x x -+=+-22(4)143y k x x y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222(34)3264120k x k x k +-+-= 所以21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+ 则2222121221226412322424()34341328834k k x x x x k k d k x x k ---+++===+--+所以直线AE 与x 轴相交于定点(1，0)． 19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，13()n n a a f n +=+． （1）若()f n k =（k 为常数），314a =，求k ；（2）若()21f n n =-．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围． 解：（1）k 的值为﹣1； （2）①②20．（本小题满分16分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值；（3）记函数21()2()2g x x bx f x =---，设1x ，2x (1x ＜2x )是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值． 解：（1）∵()ln 2f x x x =--∴1()1f x x'=-则(1)0k f '== 又∵(1)1f =-∴曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程y ＝﹣1． （2）k ＝3． （3）所以实数k 的最大值为152ln 28 ．。

江苏省南通市八校联考2020学年度高三数学期中调研测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1～2页，第II 卷3～8页.全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合中，恰有2个元素的集合是A ．{}20x x -=B ．{}2|0x x x -=C ．{}2|x y x x =-D ．{}2|y y x x =-2．函数1()3f x =-2cos (0)x ωω>的周期与函数()tan 2x g x =的周期相等，则ω等于A ．2B. 1C.12D.143．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且. 若A ={2, 4, 6, 8, 10}，B ={1, 4, 8}，则A B -=A ．{4，8}B ．{1，2，6，10}C ．{1}D ．{2，6，10}4．若要得到函数y =sin(2x －4π)的图象，可以把函数y =sin2x 的图象 A. 向右平移8π个单位B. 向左平移8π个单位C. 向右平移4π个单位D. 向左平移4π个单位5. 原命题“设,,a b c ∈R ，若22ac bc >，则a b >.”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有A.0个B.1个C.2个D.3个6．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tan B 是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 对于函数f (x )=ax 2+bx+c （a ≠0），若作代换x=g (t )，则不改变函数f (x )的值域的代换是 A ．g (t )=2tB ．g (t )=|t |C ．g (t )=sin tD ．g (t )=2log t8．函数log (2)a ax y =-在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．(2,)+∞9. 四个实数－9，a 1，a 2，－1成等差数列，五个实数－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，则b 2（a 2－a 1）等于 A. 8B. －8C. ±8D.9810.有容积相等的桶A 和桶B ，开始时桶A 中有a 升水，桶B 中无水. 现把桶A 的水注入桶B ，t 分钟后，桶A 的水剩余1ty am =（升），其中m 为正常数. 假设5分钟时，桶A 和桶B的水相等，要使桶A 的水只有8a 升，必须再经过A.7分钟B.8分钟C.9分钟D.10分钟11.设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 一定是等比数列；②{}1n n a a ++一定是等比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；④{}lg n a 一定是等比数列. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 已知三个不等式：000c dab bc ad a b>->-≥，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题 的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1. 第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在题中的横线上．13. 已知全集{}*27S x x =∈-<<N ，{}3,4,5M =，{}1,3,5P =，则()()SSM P U 痧＝ .（用列举法表示）14. 设{}n a 是公差为2 的等差数列，如果1473130a a a a ++++=L ，那么36933a a a a ++++L ＝ ．15. 设)(x f 是定义域为R 且最小正周期为23π的函数，在一个周期内若 =)(x f cos 2,0,15()24sin ,0.x x f x x πππ⎧-≤<⎪-⎨⎪≤<⎩则= . 16. 已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是 .得分 评卷人17．规定记号“⊗”表示两个正数间的一种运算：(00),a b a b a b >>⊗=+，．若13k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域是 ．18. 已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数sin (0)y x x π=-<<图象上的两个不同点，且12x x <，给出下列不等式：①12sin sin x x <；②12sin sin22x x <；③12121(sin sin )sin22x x x x ++>；④1212sin sin x x x x >. 其中正确不等式的序号是 . 三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，前（2k ＋1）项（*k ∈N ）之和为77，其中偶数项之和为33，且a 1－a 2k ＋1＝18，求数列{}n a 的通项公式.20．（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足5(3)log (35).6x f x x x-=≤≤-(1)求函数()f x 解析式及定义域; (2)求函数()f x 的反函数1()f x -; (3)若5()log (2)f x x ≥，求x 的取值范围.得分 评卷人得分 评卷人21. （本小题满分14分）若定义在R 上的函数f (x )为奇函数，且在[0,)+∞上是增函数. (1)求证：f (x )在(,0]-∞上也是增函数；(2)对任意θ∈R ，不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立,求实数m 的取值范围.22. （本小题满分14分）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，设22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+.（1）当f (A , B )取得最小值时，求C 的大小；（2）当2C π=时，记h （A ）＝f (A , B )，试求h （A ）的表达式及定义域；（3）在（2）的条件下，是否存在向量p ，使得函数h （A ）的图象按向量p 平移后得到函数()2cos 2g A A =的图象？若存在，求出向量p 的坐标；若不存在，请说明 理由.23. （本小题满分14分）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*2()2n n S a n =∈-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+L *()n ∈N ，求{}n b 的通项公式；（3）设*21()(1)n n c n b =∈+N ，且数列{}n c 的前n 项和为T n ，试比较T n 与14的大小．得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人[参考答案]说明：1.本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做出这一步应得的分数．4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCDABADCBDBC二、填空题：每小题4分，共24分13．{}1,2,4,6 14．74 15216．3+ 17．()1,+∞ 18．②③ 三、解答题：19．（12分）前（2k ＋1）项中偶数项共有k 项. …………1分设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得12(21)(21)77,(1)2332k a k k d k k ka d +++=-+⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 即[]12(21)()77,(1)33.k a kd k a k d ++=+-=⎧⎨⎩①②…………3分∵12(1)a kd a k d +=+-， ∴2177,33k k+=解得k ＝3. …………2分∵a 1－a 2k ＋1＝2kd -，∴2kd -＝18，∴d ＝－3. …………2分 将k ＝3，d ＝－3代入①得a 1＝20. …………2分 故1(1)323.n a a n d n =+-=-+ …………2分 20．（12分）（1）设t ＝x －3，则x ＝t ＋3.∵ 5(3)log ,6x f x x-=- ∴53()log ,3t f t t+=- …………1分∵ 35x ≤≤，∴0 2.t ≤≤ 由30,302tt t +>-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩得0 2.t ≤≤ …………2分于是53()log ,3x f x x+=- 且定义域为[0，2]. …………1分 （2）设y ＝53()log ,3x f x x+=- 则353yx x+=-，即3(51)51y y x -=+，∴1()f x -3(51)51x x-=+. …………2分∵02,x ≤≤ ∴133x ≤-≤，∴ 361[1,5].33x xx+=-+∈--从而53log [0,1]3x x+∈-.故函数()f x 的反函数为1()f x -3(51)51x x-=+（01x ≤≤）. …………2分（3）5()log (2)320,302f x x xx x x ≥+⎧≥>⎪⇔-⎨⎪≤≤⎩⇔301,202x x x <≤≥⇔≤≤⎧⎪⎨⎪⎩或301 2.2x x <≤≤≤或 …………4分21．（14分） （1）设x 1<x 2≤0, 则－x 1>－x 2≥0.∵f (x )在[0,)+∞上是增函数，∴f (－x 1) > f (－x 2). …………2分 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x 1)＝－f (x 1)，f (－x 2)＝－f (x 2). …………2分 于是－f (x 1) > －f (x 2)，即f (x 1) <f (x 2).所以f (x )在(,0]-∞上也是增函数. …………2分 （2）由（1）知，函数f (x )在(),-∞+∞上是增函数. …………1分 ∵f (x )为奇函数，∴(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->(cos 23)(2sin )(cos 23)(2sin )f f m f f m θθθθ⇔->--⇔->-+ …………2分由（1）知f (x )在(,)-∞+∞上是增函数，∴cos 2sin 3(cos 23)(2sin )cos 232sin 2f f m m m θθθθθθ-++->-+⇔->-+⇔>221115sin sin 1sin 2416m θθθ>++=++⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭. …………3分∵θ∈R ，∴当sin θ＝1时，2115sin 416θ++⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最大值52.∵不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立，∴故实数m 的取值范围是5,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭. ; …………2分22. （14分）（1）配方得f (A ，B ) = (sin2A2)2+ (cos2B -12)2 +1， …………2分∴ [f (A ，B ) ]min = 1,当且仅当sin 221cos 22A B ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得最小值. …………2分在△ABC中，,,sin 26321.cos 2662A A AB B B ππππ===⇔===⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩或 故C = 23π或2π.…………3分 （2）2C π=⇔A +B = 2π，于是h （A）＝22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+22sin 2cos 22cos 2222A A A A ππ=+---+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝cos2A2A ＋3=2cos(2A +3π) + 3. …………4分∵A +B = 2π，∴02A π<<. …………1分（3）∵函数h （A ）在区间0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，在区间,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数；而函数 ()2cos 2g A A =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数. ∴函数h （A ）的图象与函数()2cos 2g A A =的图象不相同，从而不存在满足条件的 向量p . …………2分23．（14分）（1）∵*2()2n n S a n =∈-N ，∴1122n n S a ++=-，于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（2 a n ＋1－2）－（2 a n －2），即a n ＋1＝2a n . …………2分 又a 1＝S 1＝2 a 1－2, 得a 1＝2. …………1分 ∴{}n a 是首项和公比都是2的等比数列，故a n ＝2n . …………1分 (2) 由a 1b 1＝（2×1－1）×21＋1＋2＝6及a 1＝2得b 1＝3. …………1分 当2n ≥时，11122(21)22n n n n a b a b a b +-+=+++L[](1)1(23)22(1)1222n n n n n n n n a b a b -+-=--++=++，∴1(21)2(23)2(21)2n n nn n a b n n n +=---=+. …………2分∵a n ＝2n ，∴b n ＝2n ＋1（2n ≥）. …………1分 ∴*3,(1),21().21,(2)n n b n n n n ===+∈+≥⎧⎨⎩N …………1分（3）2221(1)111111(22)4(1)4(1)41n n b c n n n n nn +===<=-++++⎛⎫⎪⎝⎭. …………3分 121111111111142231414n n T c c c n n n =+++<-+-++-=-<++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …………2分。

2019-2020届镇江八校第2次大联考一、填空题：1.已知集合A ={1，3}，B ={2，3}，则A ∪B =_____________. 【答案】{1，2，3} 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得出答案.【详解】A ={1，3}，B ={2，3}，A ∪B ={1，2，3}. 故答案为: {1，2，3}【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题. 2.设复数z 是纯虚数，且满足2a iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则实数a =____________. 【答案】12【解析】 【分析】复数z 实数化，实部为零，虚部不为零，即可求出实数a 的值. 【详解】()(2)21(2)2(2)(2)5a i a i i a a iz i i i +++-++===--+, 因为复数z 是纯虚数，所以21020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得12a =.故答案为:12【点睛】本题考查复数的分类，注意纯虚数虚部不为零，属于基础题. 3.根据如图所示的伪代码，当输出的y 值为3时，实数a 的值为__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据条件语句，对a 分类讨论.【详解】若21,23,log 31aa y a <===>，舍去，若1,13,2a y a a ≥=+==. 故答案为:2【点睛】本题考查条件语句的应用，属于基础题.4.已知射击运动员甲、乙在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环与10，x ，9，9环的成绩，若运动员甲所打的四次环数的平均数为9，那么运动员乙所打四次环数的方差是________. 【答案】12【解析】 【分析】由运动员甲所打的四次环数的平均数为9，求出x 的值，再求出乙所打的四次环数的平均数，即可求出乙所打四次环数的方差.【详解】甲所打的四次环数的平均数为9，2836x +=，8x ∴=，则乙所打的四次环数的平均数9，乙所打四次环数的方差为222211[(109)(89)(99)(99)]42-+-+-+-=. 故答案为:12【点睛】本题考查平均数、方差的计算，属于基础题.5.在编号为1，2，3，4且大小和形状均相同的四张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为_________. 【答案】13【解析】 【分析】列出一次随机抽取其中的两张所有情况，找出两张卡片编号之和是偶数，根据古典概型计算公式，即可得出结果.【详解】一次随机抽取其中的两张，由以下情况：{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}共有6种抽取方法，其中抽取的两张卡片编号之和是偶数有2种抽取方法，其概率为13. 故答案为:13【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.6.设双曲线2221y x a-=(0a ＞)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】由渐近线的倾斜角，求出斜率，再求出a ，即可求出离心率.【详解】双曲线2221y x a-=(0a ＞)的一条渐近线的倾斜角为30°,所以02333tan 30,233a e ====. 故答案为:2【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，注意双曲线焦点的位置，属于基本题. 7.已知圆锥的侧面积为8π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为_______.83π【解析】 【分析】侧面展开图半径为圆锥的母线，由已知条件求出圆锥的母线，再求出底面半径，即可求出圆锥的体积.【详解】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，依题意，218,42l l ππ=∴=， 侧面展开图的弧长为24,2l r r πππ==∴=，∴圆锥的体积为218333r l ππ=.故答案为:33π 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的结构特征，求圆锥的体积，属于基础题. 8.已知n S 是等比数列{}n a 前n 项和，若11a =，3520a a +=，则84S S =_________. 【答案】17 【解析】 【分析】根据已知条件，求出等比数列{}n a 的公比，利用等比数列片段和的关系，即可求出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，2424351120a a a q a q q q +=+=+=，解得24q =，或25q =-（舍去），48444(1)17S q S S S +==. 故答案为：17【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，以及前n 项和的性质，属于基础题.9.如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且1DN ME ⋅=-u u u r u u u r，则cosA =__________.【答案】35【解析】 【分析】以,AB AC u u u r u u u r 为基底，分别把,DN ME u u u r u u u r表示出来，然后根据已知条件即可求出cos A .【详解】2133DN AN AD AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2133ME AE AM AB AC =-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，2121()()3333DN ME AC AB AB AC ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r=22252999AB AC AB AB --⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r=54||||cos 45cos 19AC AB A A --=--=-u u u ur u u u r ，3cos 5A ∴=.故答案为:35【点睛】本题考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，属于基础题.10.已知函数21()121x x f x -=++，若2(21)(4)2f m f m -+-＞，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】(-1，3) 【解析】 【分析】先证()()2f x f x +-=，原不等式转化为2(21)(4)f m f m ->-，再利用()f x 在R 是单调递增，不等式再转化为 2214m m ->-，即可求出实数m 的取值范围.【详解】21212112()()22221212121x x x xx x x x f x f x ------+-=++=++=++++,222(4)(4)f m f m --=-，22(21)(4)2(21)(4)f m f m f m f m -+-⇔->-＞，212122()112212121x x x x x f x -+-=+=+=-+++，()f x ∴在R 上是单调递增，∴原不等式等价于2214m m ->-，即2230m m --<，解得13m -<<. 故答案为:(1,3)-【点睛】本题考查利用函数对称性和单调性解不等式，难点在于要看出函数的对称性，属于中档题.11.已知锐角ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos b a a C -=，则2cos cos()AC A -的取值范围是__________.【答案】23⎝⎭【解析】 【分析】由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角A ，求出A 的范围，即可求得结论.【详解】sin sin 2sin cos sin()sin B A A C C A A -=⇒-=，,0,,2222C A A C A A C A πππ-<-<<<∴-==Q ，22(,)6432C A A B A πππππ⎧=⎪⎪⇒∈⎨⎪=-⎪⎩＜＜，2cos cos()AC A -23cos 22A ⎛=∈ ⎝⎭. 故答案为:23,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理的应用，以及两角和差正弦公式的应用，属于中档题.12.已知A ，B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上两个动点，且AB =2，直线l :(5)y k x =-，若线段AB 的中点D 关于原点的对称点为D ′，若直线l 上任一点P ，都有1PD '≥，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】462462(,[)77-+-∞+∞U 【解析】 【分析】根据对称关系，D ¢为已知圆关于原点对称圆C ′弦长为2弦的中点，转为圆C ′的圆心与直线l 的距离关系，即可得结论.【详解】设圆C 关于原点对称的圆为圆C ′:22(1)(1)5x y -++=，则A ，B 关于原点对称的点,A B ''在圆C '上，A B ''的中点为AB 的中点D 关于原点的对称点为D ′，2252AB A B C D C D ''''''∴==-=，设C ′到直线l 的距离为d .则213d d -≥⇒≥， 22413,78801k k k k -≥--≥+，解得462k -≤462k +≥ k ∴的取值范围是462462(][)-+-∞+∞U 【点睛】本题考查图形的对称关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题. 13.已知正数a ，b 满足2(2)4a b a b +=，则+a b 的最小值为__________.【答案】2【解析】 【分析】由条件等式，将b 用a 表示，+a b 转为关于a 的函数，然后用基本不等式求最值.【详解】42234424042a a b a b b a aa ab ++-=⇒=-++∴+=≥当且仅当44a =，即2a =.故答案为:2【点睛】本题考查含有条件等式的最值问题，解题的关键要灵活应用条件等式，转化为基本不等式求最值，属于中档题.14.已知函数64,2()25,02x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-+⎩＜＜，若方程()f x a =恰有两个实数解12,x x ()12x x ＜，且126x x ⋅＞，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(1，3) 【解析】 【分析】利用数形结合方法，转化为函数25(02)y x x =-+<<图像、函数64y x x=+-图像以及y a =的交点关系.【详解】令64x a x+-=， 化简2(4)60x a x -++=，设方程两根为12,x x '， 此时126x x '⋅=，不合题意， 因为126x x ⋅＞，所以11x x '＞’， 故1x 为25(02)y x x =-+<<与y a =的交点横坐标， 由图可知a ∈(1，3).故答案为: (1，3)【点睛】本题考查方程的零点，转化为函数图像交点的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题. 二、解答题.15.如图，在三棱锥P ABC -中，90,ABC PA PC o∠==,平面PAC ⊥平面,,ABC D E 分别为,AC BC 中点.（1）求证：//DE 平面PAB ； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDE . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）由,D E 分别为,AC BC 中点可得//DE AB ，根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得PD AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABC 得到PD ⊥平面ABC ，故PD BC ⊥，再结合DE BC ⊥，可得BC ⊥平面PDE ，从而可得平面PBC ⊥平面PDE ． 试题解析：（1）因为,D E 分别为,AC BC 中点， 所以//DE AB ，又DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//DE 平面PAB ．（2）因为,PA PC D =为AC 中点， 所以PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ， 故PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以PD BC ⊥．因为90,//ABC DE AB o∠=， 因此DE BC ⊥．因为,,,,PD BC DE BC PD DE D PD DE ⊥⊥⋂=⊂平面PDE ， 所以BC ⊥平面PDE ， 又BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PDE ．16.设向量(2,sin )a θ=r，(1,cos )b θ=r ，θ为锐角．（Ⅰ）若136a b ⋅=r r ，求sin cos θθ+的值；（Ⅱ）若//a b r r ,求sin(2)3πθ+的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）本题以向量为背景，实际考察三角函数及三角恒等变换，将向量数量积用坐标表示，求出的值，然后根据，求出的值，从而根据θ为锐角求出sin cos θθ+的值；（Ⅱ）根据//a b r r 的坐标表示，可以求出tan 2θ=，可以根据同角三角函数基本关系式求出的值，再利用二倍角公式，求出的值，再将按两角和正弦公式展开，即可而求sin(2)3πθ+的值．另外，也可以根据齐次式求出的值，再将按两角和正弦公式展开，从而求sin(2)3πθ+的值．注意公式的准确使用．试题解析：（Ⅰ）∵132sin cos 6a b θθ⋅=+=rr ，∴．∴24(sin cos )12sin cos 3θθθθ+=+= 又∵θ为锐角，∴23sin cos 3θθ+=． （Ⅱ）法一：∵//a b rr，∴tan 2θ=． ∴222224sin 22sin cos 15sin cos tan sin cos tan θθθθθθθθθ==＝＝＋＋，2222222213cos?2cos sin 15cos sin tan sin cos tan θθθθθθθθθ－－＝－＝＝＝－＋＋． ∴131433433sin 2sin?2cos?2322252510πθθθ-⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝＋＝＋－＝ 法二 ∵//a b r r ，∴sin 2cos θθ=．易得25sin 5θ=，5cos 5θ=． ∴4sin 22sin cos 5θθθ=＝，223cos?2cos sin 5θθθ＝－＝－．∴131433433sin 2sin?2232255πθθθ-⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝＋＝＋－＝ 考点：1．向量平行垂直的坐标表示；2．同角三角函数基本关系式；3．三角恒等变换公式的应用．17.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且过点(1，32)，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，且满足(0)OA OB tOP t +=u u u r u u u r u u u r＞.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)若2t =，求直线AB 的方程. 【答案】(1) 22143x y +=；(2) 31)y x =-.【解析】 【分析】（1）3(1,)2代入椭圆方程，结合,,a b c 关系，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线l 方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出,A B 两点的坐标关系，进而求出P 点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线l 方程. 【详解】(1)由题意可知，c =1，且221914a b+= 又因为222a b c =+， 解得2a =，3b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)若直线AB 的斜率不存在，则易得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()22,0OA OB +==u u u r u u u ru ur ，得P (20)， 显然点P 不在椭圆上，舍去；因此设直线l 的方程为(1)y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122834k x x k +=+， 则由()12122,(2)2OA OB x x k x x OP +=++-=u u u r u u u ru u u r 得()1212,2(2)P x x x x ++- 將P 点坐示代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=(*)；将2122834k x x k +=+代入等式(*)得234k =∴3k =±因此所求直线AB 的方程为3(1)y x =±-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题.18.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD ⊥AB ，∠DCE =23π，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN =3π.已知CD =4m ，CE =2m .(1)当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ； (2)求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值. 【答案】73m ；103.【解析】 【分析】（1）用余弦定理求出,DE CDE Ð，进而求出EMN ∠，结合已知条件，求出sin ENM Ð，用正弦定理求出MN ；（2）由面积公式，余弦定理结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】(1)当M ，D 重合时， 由余弦定理知，222cos 27ME DE CD CE CD CE DCE ==+-⋅∠=∴22257cos 214CD DE CE CDE CD DE +-∠==⋅ ∵2CDE EMN π∠+∠=∴57sin cos 14EMN CDE ∠=∠=， ∵0EMN ∠＞∴221cos 1sin 14EMN EMN ∠=-∠= ∵3MEN π∠=2sin sin 32227sincos cos sin 337ENM EMN EMN EMN πππ⎛⎫∴∠=-∠ ⎪⎝⎭=∠-∠=∴在ΔEMN 中，由正弦定理可知，sin sin MN EMMEN ENM=∠∠解得32MN =； (2)易知E 到地面的距离242sin 32h ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=5m 由三角形面积公式可知，115sin 223EMN S MN EM EN π∆=⋅⋅=⋅⋅3MN EM EN =⋅，又由余弦定理可知，2222cos3MN EM EN EM EN EM EN π=+-⋅≥⋅，当且仅当EM =EN 时，等号成立， ∴23MN MN ≥，解得103MN ≥ 答:(1)73m ； (2)照明宽度MV 103. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及到正弦定理，余弦定理，面积公式，基本不等式，是一道综合题.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1333,244n n n S a n N -*=--∈.(1)证明数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式.(2)若不等式223(5)n n n a λ---＜，对任意n *∈N 恒成立，求λ的取值范围.(3)记数列3(1)n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，n 使得1331mn m n T m T m +-≤-+成立，若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m ，n )；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，133nn n a a -=+；(2) 449λ＜；(3) 存在， (1，1)，(1，2). 【解析】 【分析】（1）由n S 与n a 关系，得出{}n a 的递推关系，再用等差数列的定义，证明3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求出其通项，即可求得{}n a 的通项公式；（2）不等式223(5)n n n a λ---＜，对任意n *∈N 恒成立，分离参数转为23(5)3nn λ--＞对任意n *∈N 恒成立，转为求数列23{}3nn -的最大值，即可求出结果； （3）求出3(1)n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭通项公式，以及前n 项和为n T ，代入1331mn m n T m T m +-≤-+化简，转化为关于,m n 的不等式，结合,m n 为正整数，可求出,m n 的值. 【详解】(1)当n =1时，111393244S a a ==--，得16a =， 当2n ≥时，1333244n n n S a +=--，1333244n n n S a -=--，两式相减得：133nn n a a -=+，∴111211333n n n n n n a a a ---=+=+，即11133n n n n a a ---=， 又1123a =， ∴数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知13nn a n =+，即(1)3n n a n =+⋅ ∵0n a ＞∴不等式223(5)n n n a λ---＜，对任意n *∈N 恒成立，等价于23(5)3nn λ--＞对任意n *∈N 恒成立， 记233n nn b -=法一：则2n ≥时，112325124333n n n n nn n nb b ------=-= ∴3n ≤时，10n n b b --＞；4n ≥时，10n n b b --＜.或(法二)：2n ≥时，112121323693n n nnn b n n b n -+--==-- ∴当3n ≥时，11n nb b +＜， ∴2n =或3n =时，n b 取最大值为19，∴159λ-＞，即449λ＜∴入的取值范围是:449λ＜.(3)由(1)3nn a n =+⋅得13(1)13n n n a -+= ∴数列3(1)n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为113113nn T ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，则11112211333311212113333nnn n n n m T m T m m m+++⎛⎫⎛⎫--⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11122112231331133n n n m m +++=-=-⎛⎫--⋅-- ⎪⎝⎭∵13113131m n m m n T m T m +-≤=--++，得1212313113m n m +≥+⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴1231103n m +⎛⎫-- ⎪⎝⎭＞ ∴2103m ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞ ∵m 是正整数，∴1m =当1m =时12114313n +≥⋅-，即39n ≤ 解得1n =，2n =.综上存在所有符合条件的有序实数对(m ，n )为:(1，1)，(1，2).【点睛】本题考查已知前n 项和求通项，等差数列的定义、通项公式，等比数列的前n 项和，数列的单调性，以及解不等式，是一道难度较大的综合题. 20.已知函数2()ln f x x x ax =-+. (1)当1a =时，求函数()f x 的极值；(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点(0x ，0()f x )构成曲线M .证明:任意过原点的直线y kx =，与曲线M 均仅有一个公共点.【答案】(1) ()f x 的极大值为(1)0f =，无极小值；(2) 1a ≤；(3) 证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出单调区间，即可求出极值；（2）()0f x ≤恒成立，两种解法：①分离参数，构造新函数，转化为a 与新函数的最值关系；②转化为max ()0f x ≤，对a 分类讨论求出max ()f x ，转化为解关于a 的不等式；（3）先确定出点(0x ，0()f x )构成曲线M ，直线y kx =与曲线M 均仅有一个公共点转化为函数的零点，对k 分类讨论，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可得证. 【详解】(1)当1a =时，2()ln f x x x x =-+， 则1(21)(1)()212x x f x x x +-+'=-+= 当1x ＞时，()0f x '＜，()f x 单调递减； 当01x ＜＜时，()0f x '＞，()f x 单调递增；所以当1x =时，()f x 的极大值为(1)0f =，无极小值； (2)(法一)∵0x ＞，∴由()0f x ≤恒成立，得ln xa x x≤-恒成立， 令ln ()x g x x x =-则221ln ()x xg x x -+'=，令2()1ln h x x x =-+，则1()2h x x x'=+， ∵0x ＞，故()0h x '＞221ln ()x xg x x -+'=∴2()1ln h x x x =-+在(0，+∞)单增，又(1)0h =，∴()0,1x ∈，()0h x ＜，()1,x ∈+∞，()0h x ＞ 即()0,1x ∈，()0g x '＜，()1,x ∈+∞，()0g x '＞， ∴()0,1x ∈，()g x 单减，()1,x ∈+∞)，()g x 单增， ∴1x =时，()g x 取极小值即最小值(1)1g =， ∴1a ≤；法二：2121()22x ax f x x a x -++'=-+=由二次函数性质可知，存在()00x ∈+∞,，使得0()0f x '=， 即2210x ax -++=，且当()00,x x ∈时，0()0f x '＞， 当()0,x x ∈+∞时，0()0f x '＜，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，∴22000000()()ln ln 1f x f x x x ax x x ==-+=+-， 由题意可知，2max 000()()ln 10f x f x x x ==+-≤，设2()ln 1g x x x =+-，则1()20g x x x'=+＞，即()g x 单调递增. ∴()0g x ≤的解集为(0，1]，即(]00,1x ∈， ∴(]0012,1a x x =-∈-∞； (3)由(2)可知200()ln 1f x x x =+-，则曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-， 由题意可知.对任意k ∈R ，证明：方程2ln 1x x kx +-=均有唯一解， 设2()ln 1h x x x kx =+--，则2121()2x kx h x x k x x-+'=+-=①当0k ≤时，()0h x '＞恒成立， 所以()h x 在()0,∞+上单调递增， ∵(1)0h k =-≥，22()1(1)10k k k k k f e k e ke k e e =+--=-+-≤所以存在0x 满足201kex ≤≤时，使得0()0h x =，又因为()h x 单调递增.所以0x x =为唯一解； ②当0k ＞且280k ∆=-≤，即022k ≤＜()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，∵(1)0h k =-＜，(()236333()31220f e e ke e k e =+--=+＞，∴存在()301,x e∈使得0()0h x =，又∵()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解；③当22k ＞时，()0h x =有两解12,x x x =，不妨设12x x ＜， 因为1212x x ⋅=，所以1222x x ，列表如下: x ()10,x1x12(,)x x2x2(,)x +∞()h x ' +-+()h x↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗由表可知，当1x x =时，()h x 的极大值为21111()ln 1h x x x kx =+--，∵211210x kx -+=，所以2111()ln 20h x x x =--＜.∴21()()0h x h x ＜＜，22222222()1()10k k k k k h e k e ke e k e k =+--=-+-＞∴存在()202,k x x e∈，使得0()0h x =，又因为()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解: 综上，原命题得证.【点睛】本题考查函数的极值，恒成立问题，并利用导数方法证明函数零点的存在，是一道综合题. 附加部分选修4-2:矩阵与变换21.已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量32α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ，计算5A αu r . 【答案】307275⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先求出矩阵A 的特征值以及特征向量，向量αu r用特征向量表示，按求矩阵指数幂运算法则即可求出结论.【详解】因为212()5614f λλλλλ--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦，由()0f λ= 得2λ=或3λ=.当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当3λ=时，对应的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设321211m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11m n =⎧⎨=⎩所以55551212()A A A A ααααα=+=+5521307121311275⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【点睛】本题考查矩阵的特征值，特征向量，考查矩阵指数运算，属于基础题. 选修4--4:坐标系与参数方程 22.在极坐标系中，圆C 的方程为424cos πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），求直线l 被⊙C 截得的弦AB 的长度． 【答案】26【解析】 【分析】先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的方程，可得圆心和半径，再将直线的参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下点到直线的距离公式求解即得．【详解】⊙C 的方程化为ρ＝4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ 由ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ， 得x 2+y 2﹣4x ﹣4y ＝0，其圆心C 坐标为（2，2），半径22r = 又直线l 的普通方程为x ﹣y ﹣2＝0， ∴圆心C 到直线l 的距离22d == ∴弦长28226AB =-=.【点睛】本题考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，考查了圆中的弦长问题，属于中等题． 选修4-5：不等式选讲 23.设,,0x y z ＞，证明：222111x y z y z x x y z++≥++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】依据柯西不等式，不等式左边乘以111x y z++，即可得证.【详解】证明：由柯西不等式，得2222222111111x y z x y z x y z yz x x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即2222111111x y z x y z yz x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴222111x y z y z x x y z++≥++. 当且仅当x y z ==时等号成立.【点睛】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.24.如图，在三棱锥P -ABC 中，AC ⊥BC ，且，AC =BC =2，D ，E 分别为AB ，PB 中点，PD ⊥平面ABC ，PD =3.(1)求直线CE 与直线PA 夹角的余弦值；(2)求直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值. 【答案】209；32.【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出,CE PA u u u r u u u r夹角，即可得结果；（2）求出平面DEC 的法向量，其PC uuu r与法向量夹角的余弦的绝对值，即为所求角的正弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C (0，0，0)，A(2，0，0)，D (1，1，0)，E (12，32，32)，P (1，1，3)， ()1331,1,3,,,222PA CE ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r设直线CE 与直线PA 夹角为θ，则222222139222cos 1331(1)(3)222PA CEPA CEθ--⋅==⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 整理得209cos 19θ=； ∴直线CE 与直线PA 209；(2)设直线PC 与平面DEC 夹角为0θ，设平面DEC 的法向量为(,,)m x y z =u r，因为()1,1,0CD =u u u r，133,,222CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r所以有01330222x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 取1x =，解得1y =-，23z =， 即面DEC 的一个法向量为2(1,1,)3m =-u r ，()1,1,3CP =u u u r ，()022222211232sin 112113113CP m CP m θ⋅-+∴===⋅⎛⎫++⋅+-+ ⎪⎝⎭u u u r u r u u u r u r . ∴直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值为3211.【点睛】本题考查用空间向量法求空间角，注意空间角与空间向量角之间的关系，属于中档题.25.已知1()1,nf x x n N x *⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. (1)记其展开式中常数项为m ，当4n =时.求m 的值；(2)证明:在()f x 的展开式中，对任意()1t n t N *≤≤∈，t x 与1t x的系数相同. 【答案】(1)19；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式，求出常数项，即可求得结果； （1）先由展开式写出通项，分类讨论t x 与1tx 存在，再证明系数相等. 【详解】(1)22211444341119m C x C C x C x x ⎛⎫=+⋅⋅+= ⎪⎝⎭；(2)由项式定理可知，01()imi m i f x C x x =⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑ 对任意给定1t n ≤≤，当1i t ≤≤时，1ix x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中无tx 与1t x 项； 当i t ≥时，20011it tii k i k i k i kmm i m i kk k C x C C x C C x x x --==⎛⎫⋅+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭∑∑ 若i t -为奇数，则2i k t -≠±，即1ix x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中无t x 与1t x 项；若i t -为偶数，设2i k t =+，则1tt n C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，tx 的系数为i k n i C C ⋅ 1t x 的系数为i i k n iC C -⋅，即t x 与1tx 项的系数相同， 即当i t ≥且i t -为偶数时，在1ttnC x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，tx 与1t x项的系数均相同， 所以在()f x 的展开式中，t x 与1tx 项的系数相同，原命题得证. 【点睛】本题考查二项展开式定理，解题的关键是掌握二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于中档题.。

高三数学11月考.1数学Ⅰ试题一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB =．2.设幂函数αkx x f =)(的图像经过点），（24，则=+αk ．3.已知复数2i 12++=i z （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为. 4. 若双曲线1422=+-my m x 的虚轴长为2，则实数m 的值为________． 5. 已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则25+++x y x 的取值范围是__________．7..若5cos 26sin 0,,42ππαααπ⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α= ． 8.设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式0)3()12(2≤++x f x f 的解集为.9.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )(0)2A πααα<<,且直线l 与函数()y f x =的图象交于点(,sin )B ββ.若αβπ-=，则tan α的值为. 10.如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为．11.若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点B A ,，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为.（第10题）12.在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，AO →·AE →＝8，则AC →·BD →＝________．13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.14.给出函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，这里R x m b ∈,,，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，且函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为________________．二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本小题满分14分）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . （1）求DBC ∠sin ;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆)40(04222222≤<=-+-++a a a ay ax y x 的圆心为C ，直线m x y l +=:.（1）若4=m ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(]0,4的变化时，求m 的取值范围．17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中ABC ∆的支撑杆CD AB ,由长为3的材料弯折而成，AB 边的长为t 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t (BC AC ,另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为x y cos 1-=)，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN，求椭圆方程．19. (本小题满分16分）若函数)(x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使1)()(21=x f x f 成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数x x g sin )(=是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数12)(-=x x f 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围：（3）己知函数)34()()(2≥-=a a x x h 在定义域]4,34[上为“依赖函数”，若存在实数]4,34[∈x ，使得对任意的R t ∈,不等式4)()(2+-+-≥x t s t x h 都成立，求实数s 的最大值.20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上 的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．数学Ⅱ(附加题)1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ=设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.高三数学月考.1 试题Ⅰ一、填空题（每小题5分，计70分） 1.{1,1}- 2.233.i -1 4.3=m 5.充分必耍6.[2，3]7.1-8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-，9.2π10.解析：.由题意，取(0,2)M,3kAM=,因为AE AF=，所以3kAN=-，过原点所以1)N-，所以kMN=11.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-，12. －323解析：由DC→＝13AB→得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，所以AO→＝34AC→＝34⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→＝34AD→＋14AB→.因为E是BD的中点，所以AE→＝12AD→＋12AB→，所以AO→·AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫34AD→＋14AB→·⎝⎛⎭⎪⎫12AD→＋12AB→＝38|AD→|2＋18 |AB→|2＋12AD→·AB→＝32＋92＋12AD→·AB→＝8，所以AD→·AB→＝4，所以AC→·BD→＝⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→·(AD→－AB→)＝|AD→|2－13|AB→|2－23AD→·AB→＝4－13×36－23×4＝－323.13.解析：()()2222211122x ty t yx yx y xy y++-+++=≥++()01t<<12=，即15t=时()2212x yx y+++5=14.[－2，0)∪[4，＋∞)二、解答题（共6道题，计90分）15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x ＋a ）2＋（y －a ）2＝4a （0＜a ≤4），则圆心C 的坐标是（－a ，a ），半径为. 直线l 的方程化为：x －y ＋4＝0.则圆心C 到直线l |2－a |.设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L ＝＝＝.∵0＜a ≤4，∴当a ＝3时，L 的最大值为（2）因为直线l 与圆C ＝，即|m －2a |＝又点C 在直线l 的上方，∴a ＞－a ＋m ，即2a ＞m .∴2a －m ＝m ＝)21－1.∵0＜a ≤4，∴0.∴m ∈1,8⎡--⎣17. 解析： (1)对于曲线C 1，因为曲线AOB 的表达式为y ＝1－cos x ， 所以点B 的坐标为(t ，1－cos t)， 所以点O 到AB 的距离为1－cos t. 因为DC ＝3－2t ，所以h 1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t －cos t ＋4⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32； 对于曲线C 2，设C 2：x 2＝2py ，由题意得p ＝98，故抛物线的方程为x 2＝94y ，即y ＝49x 2，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，49t 2， 所以点O 到AB 的距离为49t 2.因为DC ＝3－2t ，所以h 2(t)＝49t 2－2t ＋3⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32. (2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，所以h 1(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减， 所以当t ＝1时，h 1(t)取得最大值2－cos 1.因为h 2(t)＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫t －942＋34，1≤t≤32，所以当t ＝1时，h 2(t)取得最大值为139.因为2－cos 1≈1.46＞139，所以选用曲线C 1，且当t ＝1时，点O 到点C 的距离最大，最大值为2－cos 1.18.（1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； （2）①过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，则11NF MFe NN MM ==，又2N F M F =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=，两式相减得220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-， 直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c=2212015x y+=．解法二：设(,0)F c，则椭圆方程为2222143x yc c+=，由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143x k x cc c-+=，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y，依题意⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ckx xkk c cx xk+=+-=+由⎧⎨⎩212212324324ckx xkx x c+=+-=解得⎧⎨⎩2122221644316443ck cxkck cxk+=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c ck k k+--⨯=+++，解之得2536k=，即6k=-．直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=，解得c=2212015x y+=．19．解：(1) 对于函数()sing x x=的定义域R内存在16xπ=，则2()2g x=2x无解故()sing x x=不是“依赖函数”；…3分(2) 因为1()2xf x-=在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n--=+=……5分由n>m>0，故20n m m=->>，得0<m<1，从而(2)mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，……7分 (3)①若443a ≤<，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x，舍去；9分 ②若4a ≥故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a = (舍)或133a =……11分 从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t∈R，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……13分得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……15分 从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20.（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=， 令()f x '0=得，1x =或2x =．………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-．………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立．…………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立，所以002x x =，又00x >，所以0x =分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立，因为2x x+≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，， 不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个 不同的切点．……………………………………………………………………………16分附加题1、【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . 因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩.所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 2、【解析】易得直线0l y +-=， 设点(cos ,3sin )P αα， ∴P 到直线l的距离|3sin |22d αα--==≤=当且仅当ππ2π62k α+=-，即22ππ()3k k α=-∈Z 时取“=”， 所以P 到直线l距离的最大值为3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3． 由（1）知每个人积分不低于9分的概率为59． 则()3464=0=9729P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ；()2135424080=1=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ； ()22354300100=2=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ；()35125=3=9729P ⎛⎫=⎪⎝⎭ξ．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以6401237297297297293E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． 所以，随机变量ξ的数学期望为53．4、【解析】 （1）①当时，，不等式成立.②假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据①，②可知：对所有成立.（2）当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由（1）知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有.。

江苏省2020届高三上学期八校联考模拟试卷数学（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A U B＝ ． 答案：{1，5} 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+3．如图伪代码的输出结果为 ．答案：114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为 ．答案：10005．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 ． 答案：146．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ． 答案：﹣27．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案：1sin()26y x π=-S←1For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S8．已知函数23log (1)3()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ． 答案：79．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为 ．答案：10．已知θ∈[0，4π]，且1cos43θ=-，则44sin ()sin ()44ππθθ+--= ．11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB＝AC ＝6，1AE ED 2=u u u r u u u r ，则AE EB ⋅u u u r u u u r＝ ．答案：1412．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg1xf x x+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ． 答案：21113．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则ba最大值是 ． 答案：e14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ． 答案：0a <或1a =二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}1x x m x R -≥∈，．（1）求集合A ；（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,x x -+<即(3)(43)0x x --<---5分，得3(,3)4A = -------7分（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分 则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分即需31314m m +≤≤-或得144m m ≤-≥或-------13分所以实数m 的取值范围是1(,][4,)4-∞-⋃+∞------14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝35． （1）若9CB CA 2⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积；（2）设向量x r ＝(B 2sin 2，3)，y u r ＝(cos B ，Bcos 2)，且x r ∥y u r ，b ＝53，求a 的值．解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝92． ………2分又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C＝152． ………4分 又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45． 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3． ………6分（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B ＝3cos B ． ………………8分因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分 所以B ＝3π． ………………10分 所以3314433sin sin()sin cos cos sin 525A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=----12分 由正弦定理，53433sin sin 4333a b a A B =⇒=⇒=++------14分 18．（本小题满分16分）已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧»AB，»CD 和弦BC 这三部分组成，在弧»AB ，»CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2【解】设， -------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分 令，即，因，所以，-------12分 当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数a ∈R ，函数2()2x x af x a +=-．（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明； （2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n ]，求实数a 的取值范围．解(1)1a =时，12212()1,,(0,),2121x x x f x x x +==+∀∈+∞--且12x x <21121212222(22)()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。