第八讲二次函数综合

二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。

二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。

本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。

一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。

为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。

1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。

对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。

而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。

根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。

2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。

对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。

令 y' = 0，解得 x = -1。

将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。

同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。

二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。

下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。

1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。

对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。

根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。

第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。

二次函数的综合应用二次函数的综合应用一、典例精析考点一：二次函数与方程1.已知抛物线与x轴没有交点。

1) 求$c$的取值范围；2) 确定直线$y=cx+l$经过的象限，并说明理由。

2.已知函数$y=mx-6x+1$（$m$是常数）。

⑴证明：不论$m$为何值，该函数的图象都经过$y$轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与$x$轴只有一个交点，求$m$的值。

考点二：二次函数与最大问题3、如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$。

1）求此二次函数的解析式；2）证明：3）若是线段$AB$的图像经过点$C$，且与$x$轴交于点$D$（其中$D$是原点）；二次函数图像及轴于$AB$两点，试问：是否存在这样的点，使$y$的坐标最大；若存在，请求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。

5、如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$A(1,0)$,$B(-3,0)$两点。

1）求该抛物线的解析式；2）设（1）中的抛物线交$y$轴与$C$点，在该抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使得$\triangle QAC$的周长最小？若存在，求出$Q$点的坐标；若不存在，请说明理由。

3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点$P$，使$\triangle PBC$的面积最大。

若存在，求出点$P$的坐标及$\triangle PBC$的面积最大值。

若没有，请说明理由。

考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形6.如图，直线$y=x-3$与$x$轴交于$A$点，交$y$轴于$B$点，过$A$、$B$两点的抛物线交$x$轴于另一点$C$。

⑴求抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使$\triangleABQ$是等腰三角形？若存在，求出符合条件的$Q$点坐标；若不存在，请说明理由。

7、如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=BC$，$OA=1$，$OC=4$，抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A$，$B$两点，抛物线的顶点为$D$。

第3讲 二次函数与方程、不等式1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．（1）、a+b+c 的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a+b+c 。

点在x 轴下方，则a+b+c 。

点在x 轴上，则a+b+c 。

（2）、a-b+c 的符号：由x=－1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a －b+c 。

点在x 轴下方，则a －b+c 。

点在x 轴上，则a －b+c 。

（3）、2a±b 的符号： 由对称轴与X=1或X=-1的位置相比较的情况决定. （4）、b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0； 1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．1、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①、当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ②、当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③、当0∆<时，图象与x 轴没有交点.（1）当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；（2）当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3、二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、已知点A（2，3）在函数y=ax2-x+1的图象上，则a等于（）A．－1 B．1 C．2 D．－2例2、若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点，则m的值为（）A．m=2 B．m=±2 C．m=D．m=±例3、已知抛物线顶点为（1，3），且与y轴交点的纵坐标为-1，则此抛物线解析式是．例4、已抛物线过点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，且BC=，则这条抛物线的解析式为．例5、二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2，3），且顶点在直线y=3x-2上，则二次函数的关系式为：．例6、已知二次函数的图象经过点（0，－1）、（1，－3）、（－1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．例7、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x上，且这个顶点到原点的距离为又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于－1，求此抛物线的解析式．1、已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（）A．y=-x2-4x-3 B．y=-x2-4x+3 C．y=x2-4x-3 D．y=-x2+4x-32、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4，积是-5，且抛物线经过点（0，-5），则此抛物线的解析式为（ C ）A．y=x2-4x-5 B．y=-x2+4x-5 C．y=x2+4x-5 D．y=-x2-4x-53、已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A（c，0），对称轴为直线x=3，则此二次函数解析式为．4、抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为．5、已知y与x2+2成正比例，且当x=1时，y=6．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，12）在函数图象上，求a的值．6、如图，抛物线y=2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．考点2、函数与方程例1、如果抛物线y=x2+（k-1）x+4与x轴有且只有一个交点，那么正数k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6例2、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则以下关于m的结论正确的是（）A．m的最大值为2 B．m的最小值为－2C．m是负数D．m是非负数例3、设抛物线y=x2+kx+4与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），则下列结论中，一定成立的是（）A．x12+x22=17 B．x12+x22=8 C．x12+x22＜17 D．x12+x22＞8例4、已知抛物线y=x2-2ax+a+2的顶点在x轴上，则方程的实数根的积为．☆例5、已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若m为整数，且抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；（3）若直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点，求b的取值范围．1、抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系式中不能成立的是（）A．b=0 B．S△ABE=c2 C．ac=-1 D．a+c=03、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是．4、已知抛物线y=x2+kx+4-k交x轴于整点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为．5、已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．考点3、二次函数与不等式（组）例1、如图，是二次函数和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，写出y1＞y2时x的取值范围是（）A．－2＜x＜1 B．x＜－2或x＞1 C．x＞－2 D．x＜1例2、若函数y=mx2+mx+m-2的值恒为负数，则m取值范围是（）例3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（1，3）及部分图象（如图所示），其中图象与横轴的正半轴交点为（3，0），由图象可知：①当x 时，函数值随着x的增大而减小；②关于x的一元二次不等式ax2=bx+c＞0的解是．例4、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于 A（-2，4）、B（8，2）两点，则能使关于x的不等式ax2+（b-k）x+c-m＞0成立的x的取值范围是．例5、如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．1、抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）和直线y=mx+n（m≠0）相交于两点P（-1，2），Q（3，5），则不等式-ax2+mx+n＞bx+c的解集是（）A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞32、已知：二次函数y=x2-4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，－2），则a=－3．A．1 B．2 C．3 D．43、直线y=-3x+2与抛物线y=x24、已知函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答下列问题．（1）当x取何值时y=0．（2）方程x2-2x-3=0的解是什么？（3）当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？（4）不等式x2-2x-3＜0的解集是什么？5、如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．1、一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（－1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝－2（x－1）2＋3 B．y＝－（2x＋1）2＋3C．y＝－2（x＋1）2＋3 D．y＝－（2x－1）2＋32、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是1，-1，给出下列结论：①a+b+c=0；②b=0；③a=1．c=-1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3、已知：二次函数y=x2-4x-a，下列说法中错误的个数是（）①若图象与x轴有交点，则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为-8③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-1⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x1、x2，则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等．A．1 B．2 C．3 D．44、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为，5、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1．若抛物线与x轴一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c≥0的解集是：．6、若关于x的方程3x2+5x+11m=0的一个根大于2，另一根小于2，则m的取值范围是．7、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是．8、已知点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是．9、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（－4，0）、C（0，3）两点．（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．10、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．11、如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）结合（1）（2）及图象，直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围．1、若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x22、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一点，如果∠ABC=∠ACB，求：（1）点C的坐标；（2）图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式．3、在直角坐标平面内，二次函数图象的经过A（-1，0）、B（3，0），且过点C（0，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若P是该抛物线上一点，且△ABC与△ABP面积相同，求P的坐标．1、抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是（）A．无交点B．一个交点C．两个交点D．无法确定2、已知函数y=ax2+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（）A．y=-x2+2x+3 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2-2x+3 D．y=-x2-2x-33、如图，已知直线y=kx+b（k＞0）与抛物线y=x2交于A、B两点（A、B两点分别位于第二和第一象限），且A、B两点的纵坐标分别是1和9，则不等式x2-kx-b＞0的解集为（）A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．1＜x＜9 D．x＜1或x＞9（2）（3）4、已知二次函数y=2x2-（4k+1）x+2k2-1的图象与x轴交于两个不同的点，则关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5、已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G6、已知抛物线y=（m-1）x2+x+1与x轴有交点，则m范围是．7、已知二次函数的图象关于直线x=3对称，最大值是0，在y轴上的截距是-1，这个二次函数解析式为．8、如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0④ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；⑤8a+c＞0．其中正确的命题是．9、如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）观察图象，当x取何值时，y＜0？y=0？y＞0？10、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：（1）求出函数的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程和顶点坐标？（3）当x取何值时y随x的增大而减小？（4）方程ax2+bx+c=0的解是什么？（5）不等式ax2+bx+c＞0的解集是什么？11、如图，抛物线y=-x2+3x-n经过点C（0，4），与x轴交于两点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．12、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．参考答案第8讲二次函数与方程、不等式考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、B例2、D例3、例4、例5、例6、例7、1、D2、C3、4、5、6、考点2、函数与方程例1、C例2、A例3、D例4、例5、解：（1）证明：分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-2=0，∴x=2，方程有实数根；②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=（m+1）2∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；综合①、②，可知m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根．（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∵|x1-x2|=2，∴|2-x2|=2，当m=1时，y=x2-2x，把（2，0）代入，左边=右边，m=1符合题意，∴抛物线解析式为y=x2-2x答：抛物线解析式为y=x2-2x；1、D2、D3、4、5、考点3、二次函数与不等式（组）例1、B例2、C例3、例4、例5、1、C2、A3、4、5、1、C2、A3、B4、5、6、7、8、9、10、11、1、C2、3、1、C2、A3、B4、B5、C6、7、8、9、10、11、12、31。

二次函数综合应用内容分析二次函数的综合应用主要包括以下几个方面：（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求解等；（3）拟二次函数图像问题，包括拱桥问题，物体的运动轨迹问题等，可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题；（4）二次函数与一次函数、反比例函数、一元二次方程和不等式等的代数综合；（5）二次函数与相似三角形、二次函数与动点、二次函数与圆等的几何综合．二次函数综合应用主要考察学生灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题的综合能力，难点在于不同知识点的融会贯通，是最近中考压轴题主要的考察题型之一．知识结构模块一：利润问题知识精讲1、利润问题求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．例题解析【例1】进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系为（）A．y = 2a (x -1) B．y = 2a (1 -x) C．y =a (1 -x2 ) D．y =a (1 -x)2【例2】某化工材料经销公司购进一种化工原料7 吨，价格为每千克30 元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于每千克30 元．经市场调查发现：单价为70 元时，日均销售60 千克；单价每降低1 元，日均多售出2 千克．在销售过程中，每天还要支付其他费用450 元．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围．（2）若商店期望日均获利不少于1800 元，则单价应定为多少？（3）在满足商店期望获利条件下，若要尽早销售完毕，则应如何定价？【例3】 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图，折线 ABD 、线段 CD 分别表示该产品每千克的生产成本 y 1 （单位：元）、销售价 y 2 （单位： 元）与产量 x （单位：kg ）之间的函数关系．（1）解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段 AB 所表示的 y 1 与 x 之间的函数解析式；（3）当该产品的产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【例4】 为了改善城市环境，某市规划在市中心修建一个市民休闲广场．设计如图所示， 中间为一个矩形，分别以矩形的四条边为直径向外作半圆，要求整个广场的外围周长为 628 米．准备在中间的矩形区域内种植花木和铺设鹅卵石等，平均每平方 米造价为 428 元；在四个半圆区域内种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为 400 元．（ π 取 3.14）（1）试写出矩形相邻两边长 x （米）、y （米）满足的函数关系式；（2）设该项工程总造价为 W 元，求 W 与矩形一边长 x （米）的函数关系式； （3）市政府预算投入 1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由；（4）根据题意，显然中间的矩形区域面积越小，总造价越低．考虑到整体美观，要求矩形尽量接近黄金矩形（宽与长之比为 5 -1≈ 0.618 ）．结果通过企业2 募捐，又增加了部分资金，工程结束后核算，总造价为 1064.82 万元．问建成后矩形区域的长和宽各是多少？y 120 C60 A 42 BDO90 130 xQ150 100 O 50150250t( )【例5】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价 P （元/100 kg ）与上市时间 t （2 月 1 日开始的天数）有函数关系：⎧⎪300 - t (0 ≤ t ≤ 200) P = ⎨ ⎪⎩2t - 300200 < t ≤ 300 ，西红柿的种植成本 Q （元/100 kg ）与上市时间 t 也存在如图所示的二次函数关系式．设市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？【例6】 四川汶川大地震发生后，某工厂 A 车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求不超过 12 天完成．已知每顶帐篷的成本价为 800 元，该车间平时每天能生产车 间 20 顶．为了加快进度，车间组织工人加班，挖掘潜力，生产效率得到了提高．这 样，第一天生产了 22 顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多 2 顶．由于机器损 耗能原因，当每天生产的帐篷数达到 30 顶后，每增加一顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加 20 元．设第 x 天生产的帐篷为 y 顶． （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若这批帐篷的订购价格为没顶 1200 元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为 W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？【例7】某产品每件成本50 元，出售价70 元，2014 年销售量5 万件．为了进一步拓展销路，厂家投入一定资金做广告．2015 年和2016 年分别支出广告费用10 万元和20 万元，年销售量分别是做广告前的1.5 倍和1.8 倍．设做广告后年销售量与原销售量的比值y 是关于广告费x（万元）的二次函数．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）设年销售总额减去成本和广告费后所得的利润为S 万元，求S 与x 的函数关系式；（3）你认为厂家是否应该继续投入大量广告费，以求年利润随广告费投入的增加而无限增加？y ACB O x知识精讲例题解析门门门1、 面积问题求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．【例8】 二次函数 y = 3x 2 的图像如图所示，点 O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B 、C 在二次函数的图像上，四边形 OBAC 为菱形，且∠OBA = 120︒ ，则菱形 OBAC 的面积为．【例9】 一边靠长为 15 米的围墙，其他三边用总长 40 米的篱笆围成一个矩形花圃，如何围法，可使花圃的面积最大？【例10】 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙壁（墙壁足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27 m ，则能建成的饲养室的面积最大为m 2．模块二：面积问题【例11】 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 80 米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设 BC 的长度是 x 米，矩形区域 ABCD 的面积为 y 平方米． （1）求 y 与 x 之间的函数解析式，并注明自变量 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？【例12】 如图，某市在城建规划中，准备在市中心一块长方形空地 ABCD 上建一块长方形绿化区域．因为空地一角有一个文物保护设施，所以规划时不能超越线段 EF ，进入 AEF 内．已知长方形的长 AB = 200 米，宽 AD = 160 米，AE = 60 米， AF = 40 米．如何规划能使这个绿化区的面积最大？DFC岸 堤 A E BGHy DGCFP H AEB x【例13】 如图 1，为美化校园，某校计划在一块长为 60 米，宽为 40 米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 a 米．（1）用含 a 的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 38 ，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价 y 1 （元）、 y 2 （元）与修建面积 x （平方米）之间的函数关系如图 2 所示，如果学校决定由该公司承建此项目， 并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米，那么当通道的宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？通道y62000 48000800 1200图 2x图 11、 拟二次函数图像问题拟二次函数函数图像问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关问题．主要包括拱桥问题、运行轨迹问题等．【例14】 一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度 h （m ）与足球被踢出后经过的时间 t （s ）之间具有函数关系： h = at 2 +19.6t ，已知足球被踢出后经过 4 s 落地，则足球距地面的最大高度是m ．【例15】 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度 AB = 20 米，顶点 M 距水面 6 米（即 MO = 6 米），小孔顶点 N 距水面 4.5 米（即 NC = 4.5 米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大 孔的水面宽度 EF ．yMEFNDAOB Cx模块三：拟二次函数图像问题知识精讲例题解析【例16】 学校的围墙上端由一排相同的凹拱形栅栏组成，如图所示，已知拱形为抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，每隔相同的间距 0.3 米用 1 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的解析式为 ； （2）一段这样的栅栏所需立柱的总长度（精确到 0.1 米）为．【例17】 某校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，若球出手时离地面 20米，9与篮圈中心的水平距离为 7 米．设篮球运行的路线为抛物线，当球出手后水平距 离为 4 米时到达最大高度 4 米，已知篮圈离地面 3 米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，试问此球能否准确投中？（2）若对方队员乙再甲前面 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否拦截成功？yBCAOxy4米3 米Ox4 米3 米y3O x10跳台支柱池边1【例18】跳水运动员在空中运动时，身体的重心所经过的路线是一条抛物线．在某项10 米跳台的一个规定动作中，正常情况下运动员在跳台边缘向上跃起，重心上升1 米到达最高点，这时跃出水平距离0.4 米，然后下落．在距离水面5 米处完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势．（1）建立如图所示的坐标系，求出抛物线解析式（图中数值的单位是米）（2）运动员入水时距池边多少米（精确到0.1 米）？（3）运动员在空中调整好入水姿势时，与水池边的水平距离是多少米（精确到0.1 米）？【例19】如图，某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x（m），与桌面的高度为y（m），运行时间为t（1）当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y =a (x - 3)2 +k ．○1 用含a 的代数式表示k；○2 球网高度为0.14 m，球桌长（1.4 ⨯ 2 ）m．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a 的值．At / s 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …x / m 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …y / m 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …模块四：代数综合知识精讲1、代数综合二次函数与代数的综合涉及到二次函数与一次函数、反比例函数在同一直角坐标系中的图像性质问题、交点问题等．难点是函数思想与方程思想、不等式思想的相互转化和结合．例题解析【例20】一次函数y =ax+b与二次函数y =ax2 -bx在同一坐标系中的图像可能是（）y y y yx x x x A．B．C．D．【例21】利用函数图像，求解不等式x2 - 4x + 4 > 0 ．【例22】已知关于x 的方程mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 ．（1）当m 取何整数值时，关于x 的方程mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 的根都是整数？（2）若抛物线y =mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 向左平移一个单位后，过反比例函数y =k（k ≠ 0 ）上的一点（-1，3）．x○1 求抛物线y =mx2 - 3(m -1)x+ 2m - 3 的解析式；○2 利用函数图像求不等式kx-kx > 0 的解．【例23】已知一次函数y =x - 2 与二次函数y =x2 +kx +k ．（1）若两个函数图像交点的横坐标的平方和等于9，求二次函数解析式；（2）若二次函数图像与x 轴的两个交点位于一次函数图像与x 轴交点的两侧，求k 的取值范围；（3）k 能否取值，使得y 轴右侧抛物线总在直线的下方？若能够，求出k 的取值范围；若不能，试说明理由．0 0【例24】 已知抛物线 y = x 2 + px + q 上有一点 M （ x ， y ）位于 x 轴下方．（1）求证：此抛物线与 x 轴有两个交点；（2）设此抛物线与 x 轴交点为 A （ x 1 ，0），B （ x 2 ，0），且，求证：x 1 < x 0 < x 2 ； （3）当 M 的坐标为（1， -2 ）时，求整数 x 1 ， x 2 ．【例25】 已知关于 x 的一元二次方程(m -1) x 2 + (m - 2)x -1 = 0 （m 为实数）．（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论 m 取何值，抛物线 y = (m -1) x 2 + (m - 2) x -1总过 x 轴上的一个固定点；（3）若 m 是整数，且关于 x 的一元二次方程(m -1) x 2 + (m - 2)x -1 = 0 有两个不相等的整数根，把抛物线(m -1) x 2 + (m - 2)x -1 = 0 向右平移 3 个单位长度，求平移后的解析式．yA DB OCx1、 几何综合二次函数与几何的综合，主要是将几何图形与二次函数的图像相结合，求解面积问题、角相等问题、相似问题等．难点是数形结合的思想，这也是中考要求的重点和难点．【例26】 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y = x 2 - 2x + 2 上运动，过点 A 作AC ⊥ x 轴于点 C ，以 AC 为对角线作矩形 ABCD ，连接 BD ，则对角线 BD 长的最小值为．【例27】 如图所示，抛物线 y = - 1x 2 + bx + 2 交x 轴于 A 、B 两点（点 B 在点 A 的左侧）， 2交 y 轴于点 C ，其对称轴为 x = 3，O 为坐标原点．2 （1）求 A 、B 、C 三点的坐标； （2）求证： ∠ACB 是直角．模块五：几何综合知识精讲例题解析yCB OA xyBP MAN OxyCl OA BxMQP【例28】 如图，一条直线过点（0，4），且与抛物线 y = 1x 2 交于A 、B 两点，其中点 A 4 的横坐标是-2 ．（1）求这条直线的函数解析式及点 B 的坐标；（2）在 x 轴上是否存在点 C ，使得∆ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段 AB 上一点 P ，作 PM // x 轴，交抛物线于点 M ，点 M 在第一象限， 点 N 的坐标为（0，1），当点 M 的横坐标为何值时，MN + 3MP 的长度最大？最大值是多少？【例29】 已知抛物线 y = x 2 - 2mx + m 2 + m - 1（m 是常数）的顶点为 P ，直线 l ：y = x -1 ．（1）求证：点 P 在直线 l 上；（2）当m = -3 时，抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，与直线 l 的另一个交点为 Q ，M 是 x 轴下方抛物线上的一点， ∠ACM = ∠PAQ （如图），求 点 M 的坐标；（3）若以抛物线和直线 l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 m 的值．【例30】如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y =x2 的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B 两点，Q 是抛物线上一点．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若点Q 在直线AB 的下方，求点Q 到直线AB 的距离的最大值；（3）如图2，若点Q 在y 轴左侧，且点T（0，t）（t < 2）是射线PO 上一点，当以P、B、Q 为顶点的三角形与∆PAT 相似时，求所有满足条件的t 的值．yBPA QO xyQBPATO xADBCyOxADBy y y yx x x x【习题1】 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数解析式为，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 米是，这时水面的宽度 AB 为 （ ） 米A ． -20B ．10C ．20D ． -10【习题2】函数 y = ax 2 + a 与 y = a（a ≠ 0 ）在同一坐标系中的图像可能是（ ）xA ．B ．C ．D ．【习题3】如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为 16 米，则所围成的矩形 ABCD 的最大面积为（）平方米A ．60B ．63C ．64D ．66【习题4】利用函数图像，解不等式 x 2 + x - 3 ≤ 0 ．随堂检测【习题5】某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克．（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多为多少？（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000 元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？【习题6】如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5 m 的A 处正对球门踢出（点A 在y 轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间满足函数关系式：y =at2 + 5t +c ，已知足球飞行0.8 s 时，离地面的高度为3.5 m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度为多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系式x = 10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，那么他能否将球直接射入球门？yAO x【习题7】 如图所示是二次函数 y = (x + m )2+ k 的图像，其顶点坐标为 M （1，-4 ）．（1）求出图像与 x 轴的交点 A 、B 的坐标； （2）在二次函数的图像上是否存在点 P ，使 S的坐标，若不存在，请说明理由．∆PAB= 5 S 4∆MAB，若存在，求出点 P【习题8】 如图， 一小球从斜坡点 O 处抛出， 球的抛出路线可以用二次函数y = -x 2 + 4x 的图像来刻画，斜坡可以用一次函数 y = 1 x 的图像来刻画． 2（1）请用配方法求二次函数图像的最高点 P 的坐标； （2）小球的落点是 A ，求点 A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点 P 与点 O 、A 得∆POA ，求∆POA 的面积； （4）在 OA 上方的抛物线上存在一点 M （点 M 与点 P 不重合）， ∆MOA 的面积等于∆POA 的面积，请直接写出点 M 的坐标．yPAOxy O BAxMyCDPO BA x【习题9】 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）的顶点坐标为 Q （2， -1 ），且与 y轴交于点 C （0，3），与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的右侧），点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动（P 与 A 不重合），过点 P 作 PD // y 轴，交 AC 于点 D ．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）当∆ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标，若不存在，请说明理由．【习题10】如图（a），抛物线y =a (x + 6)2 - 3 与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C，点D 为抛物线的顶点，直线DE ⊥x 轴，垂足为E，AE2 = 3DE ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）P 为直线DE 上的一点，且∆PAC 是以PC 为斜边的直角三角形，见图（b），求tan ∠PCA 的值；（3）如图（c）所示，M 为抛物线上的一动点，过点M 作直线MN ⊥DM ，交直线DE 于点N，当M 点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN 的情况？若存在，请求出符合条件的所有的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．y y yC C N CMPB E A O x B E A O x B E A O xD D D图（a）图（b）图（c）P 运动时间为 t ，则 S 与 t 的函数图像大致为（ ）y SSSSCB At tttNOPMx3【作业1】 如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O 、B ，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y = - 1400(x - 80)2 + 16 ，桥拱与桥墩AC 的交点 C 恰好在水面，有 AC ⊥ x 轴，若 OA = 10 米，则高度 AC 为（）A ．169米 B ． 17 米 C ．167米 D ． 15米40 4404【作业2】如图，有一块边长为 6 cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）cm 2A ．B ． 332C ． 932D ．2732【作业3】 如图，已知 A 、B 是反比例函数（k > 0，x > 0）图像上的两点，BC // x 轴，交 y 轴与点 C ，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 O →A →B →C 匀速运动，终点为 C ．过 P 作 PM ⊥ x 轴， PN ⊥ y 轴，垂足分别为 M 、N ．设矩形 OMPN 的面积为 S ，点A ．B ．C ．D ．课后作业y A CO BxDy DCB EOA x【作业4】 如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y = x + 1 相交于 A 、B 两点，且点A 在 x 轴上，点B 的横坐标为 2，连接 AM 、BM ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）判断∆ABM 的形状，并说明理由．【作业5】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 米，宽是 4米．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y = - 1 x 2 + bx + c 表示，且抛物 6线上的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3 米，到地面 OA 的距离为17米．2（1）求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离； （2）一辆货车载一长方体集装箱后高为 6 米，宽为 4 米，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线形拱璧需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8 米，那么两排灯的水平距离最小是多少？yBO AxM【作业6】某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时售价为每件20 元，并且每周涨价2 元，从第6 周开始，保持每件30 元的稳定价格销售，直到11 周结束，该童装不再销售．（1）请建立销售价格y（元）与周次x 之间的函数关系式；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x 之间的关系为z=-1(x-8)2 +12，1 ≤x ≤11 ，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周8售出后，每件获得的利润最大？最大利润为多少？【作业7】如图，正比例函数和反比例函数的图像都经过点A（3，3），把直线OA 向下平移后，与反比例函数的图像交于点B（6，m），与x 轴、y 轴分别交于C、D 两点．（1）求m 的值；（2）求过A、B、D 三点的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否另外存在点E，使四边形OECD 与四边形OACD 的面积相等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．yABOC xD【作业8】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =x2 +bx +c 与x 轴交于A、B 两点，C 为抛物线上一点，且直线AC 的解析式为y =mx + 2m （m ≠ 0 ），∠CAB = 45︒，tan ∠COB = 2 ．（1）求A、C 的坐标；（2）求直线AC 和抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD 为梯形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．yCA OB x【作业9】已知关于x 的二次函数y =x2 +(k 2 - 4)x + 2k - 2 的顶点在y 轴的正半轴上．（1）求此抛物线的解析式；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D，再过点D 作DC 垂直于x 轴于点C，可得到矩形ABCD（B、C 两点在x 轴上）．设矩形ABCD 的周长为l，点A 的横坐标为m，试求l 关于m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形，若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．yDC MPAOQB x【作业10】 如图，已知抛物线 y = a (x -1)2+ 3 3 （ a ≠ 0 ）经过点 A （ -2 ，0），抛物 线的顶点为 D ，过点 O 作射线 OM // A D ，过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ，B 在 x 轴正半轴上，连接 BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 t （s ）．问当 t 为何值是，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 OC = OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时， 另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为 k （s ），连接 PQ ，四边形 BCPQ 的面积为 S ，求 S 关于 k 的函数关系式，并写出定义域．。

二次函数全章知识点综合页眉内容二次函数知识点总结二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如y x 2 bx c （，b ，c 是常数，0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．22. 二次函数y x 2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量⑵，b ，c 是常数，是二次项系数，x 的二次式，x 的最高次数是2．b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式：y x 2 的性质：结论：的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上0，0 y 轴x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 ．向下0，0y 轴x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 ．22. y x 2 c 的性质：页眉内容结论：上加下减。

总结：23. y x h 的性质：结论：左加右减。

总结：24. y x h k 的性质：总结：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上h ，k X=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k ．向下h ，k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k ．二次函数图象的平移1. 平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式y x h 2 k ，确定其顶点坐标h ，k ；⑵保持抛物线y x 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”．、二次函数y x h k 与y x 2 bx c 的比较请将y 2x 2 4x 5利用配方的形式配成顶点式。

二次函数的综合复习一、基础知识点：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a −），对称轴x=－2b a；（3）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a −；当a ＜0时，当x x=－2ba时，函数有最大值244ac b a −3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ） 形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线 y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．4.小知识点总结： （1）、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；物线开口向下，则a ＜0． （2）b 的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若抛物线的顶点在y 轴左侧，顶点的横坐标－2ba＜0即2b a ＞0，则a 、b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标－2b a ＞0，即2ba＜0．则a 、b 异号．简称“左同有异”．（3）c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半，则c ＞0，抛物线交y轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0．（4）△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．（5）a+b+c 与a －b+c 的符号：a+b+c 是抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0）上的点(1，a+b+c ）的纵坐标，a －b+c是抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0）上的点（－1，a －b ＋c ）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 典型例题：例1、（ 贵阳）已知抛物线21(4)33y x =−− 的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x 轴相交时的坐标是（ ） （A ）（5，0） （B ）（6，0） （C ）（7，0） （D ）（8，0） 例2、（ 宁安）函数y= x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4）D.（0，－4）例3、（ 潍坊）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac≤0 例5、（重庆）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，c a）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 针对性练习1．已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（ ） A 、2 B 、1 C 、3 D 、 4 2．已知反比例函数y= kx 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则二次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象大致为图1－2－3中的（ ）3．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－1－4 所示，下列结论中①abc ＞0；②b=2a ；③a ＋b ＋c<0；④a+b+c ＞0正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．l4．抛物线y=x 2－ax ＋5的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（2，l ） D ．（2，－1） 5．抛物线y=（x —5）+4的对称轴是（ ）A ．直线x=4B ．直线x =－4C ．直线x=5D ．直线x =－56．二次函数c bx ax y ++=2图象如图l －1－5所示，则下列结论正确的（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 7．二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x =－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3,－5）8．二次函数c bx ax y ++=2图象如图l －2－6所示，则点（b c ，a ）在（ ）A ．第一象限B 第二象限C ．第三象限D 第四象限9．已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）与一次函数y=kx+m(k ≠0）的图象相交于点 A （－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______10若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－8，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）12抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13已知M 、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y=12x上，点 N 在直线上，设点M 的坐标为(a ，b)，则抛物线y=－abx 2+(a ＋b ）x 的顶点坐标为_ __.14当b ＜0时，一次函数y=ax+b 和二次函数y=ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（ ）15．已知函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、c 的不等式：①a ＜0，②b ＜0，③c ＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________-16．已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标 为－1，则a ＋c=_________.17．抛物线c bx ax y ++=2中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛胸的解析式为____________18．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： _______________.19．抛物线c bx ax y ++=2如图1－2－12 所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是___________.20．抛物线c bx ax y ++=2（a ＞0）的顶点在x 轴上方的条件是（ ）2－4ac ＜0 B ．b 2－4ac ＞ 0 C ．b 2－4ac ≥0 D ． c ＜0 5．二次函数表达式的求法：c bx ax y ++=2；⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2()y a x h k =−+其中顶点为(h ，k)对称轴为直线x=h ；⑶若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：12()()y a x x x x =−−,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0）（1）、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ，然后解三元方程组求解； 例．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

第八讲 二次函数一、课标下复习指南1．二次函数如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)． 2．二次函数的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．由y ＝ax 2(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的顶点是)44,2(2a b ac a b--，对称轴是直线abx 2-=，顶点必在对称轴上；(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＞a b2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝ab2-，y 有最小值a bac 442-；若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-，y 随x 的增大而增大；当a bx 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝ab2-时，y 有最大值a bac 442-；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的情况： 当∆＝b 2－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(2aacbb ---和)0,24(2aacbb -+-，这两点的距离为||42a ac b-；当∆＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)0,2(ab -；当∆＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点．4．抛物线的平移抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定． 二、例题分析例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．注意 列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)； (2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，23)；(3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6．说明 根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，顶点式y ＝a (x ＋m )2＋n (a ≠0)，或双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)有助于简化计算过程．例3 (1)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0； ④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)， 其中正确的结论有( )． A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个说明 注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．例4 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )A ．47->k B ．47->k 且k ≠0 C ．47-≥k D ．47-≥k 且k ≠0说明 抛物线与坐标轴的交点问题要注意： ①方程类型．②一元二次方程两根相等⇔抛物线与x 轴有一个公共点； 一元二次方程两根不等⇔抛物线与x 轴有两个公共点； 一元二次方程无实根⇔抛物线与x 轴无公共点．例6 两个不同的二次函数y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )． A ．0B ．－1C ．2D ．⋅41例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________； ②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________； ③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________； ④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________． 例7(1)(2，0)， y ＝2x 2－8x ＋8，a ＝－4，y ＝2x 2－8x －4；(2)可先求出图8－5中抛物线为y ＝x 2－4x ＋3．①y ＝x 2＋4x ＋3；②y ＝－x 2＋4x －3；③y ＝x 2－12x ＋35；④y ＝－x 2＋4x －7．说明 方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a |是不变的，来寻求解决方法．方法二：若设所求抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则它关于y 轴的对称点为P 1(－x ，y )，关于x 轴的对称点为P 2(x ，－y )，关于直线x ＝4的对称点为P 3(8－x ，y )，关于直线y ＝2的对称点为P 4(x ，－4－y )，P 1，P 2，P 3，P 4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．例8 如图8－6，二次函数y ＝xm x )14(412++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)； (2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x9=的图象相交于点C ，且∠BAC 的正弦值为53，求这个二次函数的解析式．例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．思考若过点A的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式?例10已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)，C(5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F)，最后沿直线运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．四、课标考试达标题(一)选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值如果总是负数，那么a，b，c满足( )．A．a＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，b2－4ac＞0 C．a＜0，b2－4ac＞0 D．a＜0，b2－4ac＜02．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图8－14所示，则y＝ax－b的图象一定经过( )．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．A．－4＜x＜1 B．－3＜x＜1C．x＜－4或x＞1 D．x＜－3或x＞14．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．A．②④B．①④C．②③D．①③5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )．A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2 C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2＋x＋27．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )．A．4元或6元B．4元C．6元D．8元(二)填空题8．抛物线y＝x2－2x－8的对称轴方程为______，顶点为______，与x轴的交点为______，与y轴的交点为______．9.已知抛物线y＝x2＋p x＋q与x轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是_．10．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为(1，2)，与y轴的交点为(0，3)，则a＋b＋c＝______．11．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______．12．若抛物线y＝x2＋px＋q与x轴的交点为(p，0)，(q，0)，则该抛物线的解析式为______．13．若抛物线y＝x2＋bx＋5的顶点在x轴上，则b的值为______．(三)解答题14．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝)1<mm与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，0(+5<求线段MN的长(用含m的代数式表示)；(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．。

完整版)二次函数含参综合专题轴平移3个单位，得到抛物线y=x-2ax+(b+3)，求新抛物线的表达式；2）若a=2，b=3，求点P、Q的坐标和抛物线的对称轴；3）将抛物线在x轴上方的部分沿y轴平移2个单位，得到抛物线G，求G与x轴交点的横坐标。

综合专题：二次函数二次函数的特征很多时候是隐藏在式子中的，需要找到关键点才能解决问题。

下面分别对不等关系类、翻折类、平移类的例题进行分析。

例1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）。

1) 当抛物线过原点时，a的值为0；2) ①对称轴为x=0，顶点纵坐标为0；②顶点为原点，纵坐标为0；3) 当AB≤4时，a∈[-2,2]。

巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a(a＞0)与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）。

1) 对称轴为x=2，A(-a,0)，B(3a,0)；2) 点C(t,3)在抛物线上，过C作x轴的垂线交x轴于D，①CD=AD时，a=t²-4t+3；②CD>AD时，t∈(-∞,0)∪(1,∞)。

例2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx²-4nx+4n-1(n≠0)，与x轴交于点C、D（C在D的左侧），与y轴交于点A。

1) 顶点坐标为(M,n-1)，其中M=n；2) A(0,n-1)，B(3-n,n-1)；3) 翻折后的图象记为G，直线y=n-1与G有一个交点时，m∈(-∞,n-1)。

巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a的最高点纵坐标为2.1) 对称轴为x=1，表达式为y=(a-1)²-1；2) 图象G1在x∈[1,4]上，将G1沿直线x=1翻折得到G2，图象G由G1和G2组成，直线y=b与G只有两个公共点时，b∈(-∞,-1)∪(3,∞)，x1+x2=2.例3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x-2ax+b 的顶点在x轴上，P(x1,m)、Q(x2,m)（x1<x2）是此抛物线上的两点。

知识导航经典例题1在平面直角坐标系中，抛物线2已知二次函数的图象以3已知抛物线4在平面直角坐标系中，二次函数5若二次函数知识导航经典例题1如果将抛物线2如果将某一抛物线向右平移3将抛物线4已知抛物线知识导航经典例题1将二次函数2抛物线3将二次函数4先作二次函数1在平面直角坐标系中，抛物线2如图，已知抛物线帝通过数来统治宇宙。

这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。

他们很重视数学，企图用数来解释一切。

宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。

他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。

这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。

但是，他们同时任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原，认为'万物皆数'，'数是万物的本质'，是'存在由之构成的原则'，而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。

毕达哥拉斯将数神秘化，说数是众神之母，是普遍的始原，是自然界中对立性和否定性的原则。

毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世。

这定理早已为巴比伦人所知，不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。

他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理（勾股定理）。

任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理。

这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．【毕达哥拉斯定理】毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了'三角形内角之和等于两个直角'的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

【黄金分割】然而，最让毕达哥拉斯学派出名的却是他们中的一个'叛逆者'--希帕索斯，正是他发现了第一个无理数根号2的存在，从而在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

1、 二次函数与三角形的面积2、 二次函数与线段和差3、 二次函数与直角三角形课堂练习：考点一： 二次函数与三角形的面积问题【例题】如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．X2、如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图【练习】1、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图12、如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图13.（2016·吉林·10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x=4；（2）当点M落在AD上时，x=；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．考点二：二次函数与线段和差【例题】已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【练习】1、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图12、已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．考点三： 二次函数与直角三角形【例题】如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：ADAE为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1【练习】1、如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图12、如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图13、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．。

（聚焦2008）第8讲：二次函数专题讲座（一）二次函数的解析式的三种形式（1）标准式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；（2）顶点式：y=a （x+m ）2+n （a ≠0）；（3）两根式：y=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）【例1】已知二次函数y=f （x ）同时满足条件：（1）f （1+x ）= f （1－x ）；（2）y=f （x ）的最大值是１５；（3）f （x ）＝０的两根立方和等于１７。

求y ＝f （x ）的解析式。

（二）二次函数的基本性质（1）二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－a b 2，顶点坐标是（－a b 2，acb ac 442-）。

当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－a b 2]上递减，在[－ab 2，＋∞)上递增。

当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－a b 2]上递增，在[－a b 2，＋∞)上递减。

（2）直线与曲线的交点问题：①二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０），当Δ＝b 2－４ac ＞0时，图像与x 轴有两个交点Ｍ１（x １，０）Ｍ２（x ２，０），于是｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜x １－x ２｜＝||a ∆。

②若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与直线y=mx+n ，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2+bx+c =mx+n ，即px 2+qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二次方程的判别式Δ的符号决定。

特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2+bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2+bx+c = 0的判别式Δ的符号问题。

当Δ= b 2－4ac>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不同的实数根，即对应的抛物线与x 轴有两个交点，此时二次函数的图像被x 轴截得的弦长L=|x 2－x 1|=||4)()(21212212a x x x x x x ∆=-+=-。

第八讲二次函数讲义第八讲二次函数一、课标下复习指南 1．二次函数如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)．2．二次函数的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．由y ＝ax 2(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质： (1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=，顶点必在对称轴上；(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝ab 2-，y 有最小值ab ac 442-；若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-，y 随x 的增大而增大；当a b x 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝a b 2-时，y有最大值ab ac 442-；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的情况：当?＝b 2－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(2a ac b b ---和)0,24(2a acb b -+-，这两点的距离为||42a ac b -；当?＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)0,2(ab-；当?＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点． 4．抛物线的平移抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定．二、例题分析例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．解∵矩形一边长x 米，周长6米，∴矩形另一边长为(3－x )米．∴矩形面积y 关于x 的函数解析式为y ＝x (3－x )即y ＝－x 2＋3x (0＜x ＜3)．(函数图象如图8－1)图8－1注意列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)；(2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，23)； (3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6．解 (1)-=++-=+-=++.124,1,4c b a c b a c b a 解得==-=.4,25,25c b a.425252++-=∴x x y说明还可以由点的坐标之间的关系发现(－1，－1)与(2，－1)两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴方程是直线21=x ．抛物线的对称性有时非常有用．(2)设y ＝a (x －2)2＋1(a ≠0)．∵抛物线经过点?=∴21),23,3(a.32212+-=∴x x y (3)由题意知顶点坐标为(0，4)．设y ＝ax 2＋4(a ≠0)．∵抛物线经过点(1，3)，∴a ＝－1．∴y ＝－x 2＋4．(4)由题意知顶点坐标为(1，0)．设y ＝a (x －1)2(a ≠0)．∵抛物线经过点(2，2)，∴a ＝2．∴y ＝2x 2－4x ＋2．(5)由抛物线的对称性可知它经过(1，0)点．∵可设y ＝a (x －1)(x －3)，由抛物线过(0，－3)点得a ＝－1．∴y ＝－x 2＋4x －3．(6)∵抛物线与x 轴交于(1，0)，(2，0)两点，∴设y ＝a (x －1)(x －2)(a ≠0)．由抛物线经过(3，6)点得到a ＝3．∴y ＝3x 2－9x ＋6．(7)∵抛物线与x 轴的两交点关于对称轴x ＝－2对称，∴两交点分别为(－5，0)，(1，0)．设y ＝a (x ＋5)(x －1)．由抛物线过点(－1，8)可得a ＝－1．∴y ＝－x 2－4x ＋5．说明根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，顶点式y ＝a (x ＋m )2＋n (a ≠0)，或双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)有助于简化计算过程．例3 (1)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；图8－2(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：图8－3①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)，其中正确的结论有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解 (1)p ＜Q 由图8－2知a ＜0，b ＞0，c ＝0，12>-ab．当x ＝1时，y ＝a ＋b ＞0．∴P ＝a ＋2b ，Q ＝2b －a ．∴P ＜Q ．(2)应选B ．由图8－3知a ＜0，b ＞0，c ＞0，12=-ab，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0．∴①②错误，③正确．∵a －b ＋c ＜0，又∵b ＝－2a ∴2b a -=． b c 23<∴，∴2c ＜3b ．∴④正确．∵b ＝－2a ，∴a ＋b ＝－a ， m (am ＋b )＝a (m 2－2m )．a ＋b －m (am ＋b )＝－a (m －1)2．∵m ≠1，∴－a (m －1)＞0．∴⑤正确．说明注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．例4 若|x －1|≤3，则关于y ＝－x 2＋2x －1的最值说法正确的是( )．A ．最大值是0，无最小值B ．最小值是－9，最大值是0 C ．无最大值，最小值是－9 D ．无最大值，也无最小值解∵|x －1|≤3，∴－3≤x －1≤3．∴－2≤x ≤4．∵y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，当x ＝－2时，y ＝－9，当x ＝4时，y ＝－9．由图8－4可知－9≤y ≤0．图8－4∴应选B ．例5 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )A ．47->kB ．47->k 且k ≠0C ．47-≥kD ．47-≥k 且k ≠0解令y ＝0，则kx 2－7x －7＝0．由题意知一元二次方程kx 2－7x －7＝0有实根．?≥?=/∴.0,0k47-≥∴k 且k ≠0．∴应选择D ．说明抛物线与坐标轴的交点问题要注意：①方程类型．②一元二次方程两根相等?抛物线与x 轴有一个公共点；一元二次方程两根不等?抛物线与x 轴有两个公共点；一元二次方程无实根?抛物线与x 轴无公共点．例6 两个不同的二次函数y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )．A ．0B ．－1C ．2D ．41 解由题意知x 2＋kx ＋1＝0与x 2－x －k ＝0有一个公共解，不妨设为α，则有=--=++.0,0122k k αααα 整理得(k ＋1)(a ＋1)＝0．∵k ≠－1，∴α＝－1，∴k ＝2．∴应选择C ．例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．图8－5①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________；②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________；③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________；④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________． (1)(2，0)，y ＝2x 2－8x ＋8，a ＝－4，y ＝2x 2－8x －4；(2)可先求出图8－5中抛物线为y ＝x 2－4x ＋3．①y ＝x 2＋4x ＋3；②y ＝－x 2＋4x －3；③y ＝x 2－12x ＋35；④y ＝－x 2＋4x －7．说明方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a |是不变的，来寻求解决方法．方法二：若设所求抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则它关于y 轴的对称点为P 1(－x ，y )，关于x 轴的对称点为P 2(x ，－y )，关于直线x ＝4的对称点为P 3(8－x ，y )，关于直线y ＝2的对称点为P 4(x ，－4－y )，P 1，P 2，P 3，P 4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．例8 如图8－6，二次函数y ＝x mx )14(412++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．图8－6(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)；(2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x9=的图象相交于点C ，且∠BAC 的正弦值为53，求这个二次函数的解析式．解 (1)令y ＝0，则 .0)14(412=+++m x mx ∴x 2＋(m ＋4)x ＋4m ＝0．整理，得(x ＋m )(x ＋4)＝0．解得x ＝－m 或－4．∵m ＜4，∴－m ＞－4．∵点A 在点B 左侧，∴A (－4，0)，B (－m ，0)．(2)过C 作CD ⊥x 轴于D ，则∠CDA ＝90°．∵53sin ==∠AC CD BAC ，设AC ＝5k ，则 CD ＝3k ．∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴AD ＝4k ．∵A (－4，0)，∴OA ＝4，OD ＝4k －4．∵C 点在第一象限，∴C (4k －4，3k )．∵C 点在双曲线xy 9=上，∴3k (4k －4)＝9．23=∴k 或21-(∵k ＞0，21-=k 舍去) )29,2(23C k ∴?=∴． .14541,12++==∴x x y m例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．解(1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，令y ＝0，则－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)＝0．∵此方程有两个不等实根，?＝－8(m －2)＞0，∴?＞0，m ＜2．又∵m 是不小于0的整数，∴m ＝0，1．当m ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3．令y ＝0，则x 1＝－1，x 2＝3．∵A 在原点左侧，B 在原点右侧，∴A (－1，0)，B (3，0)．当m ＝1时，y ＝－x 2＋4x －2．令y ＝0，则.22,2221-=+=x x ∴不符合题意，舍去．∴y ＝－x 2＋2x ＋3．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ．(见图8－7)图8－7∵A (－1，0)，B (3，0)，∴A B ＝4．∵S △ABC ＝10，∴CD ＝5．∴C 点的纵坐标为±5．∵顶点(1，4)，∴C 点的纵坐标为－5．当y ＝－5时，－x 2＋2x ＋3＝－5．∴x 1＝－2，x 2＝4．∴C (－2，－5)，C (4，－5)．可得直线AC 的解析式为y ＝5x ＋5或y ＝－x －1．思考若过点A 的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式? 解见图8－8，情况①当直线与x 轴垂直时，为x ＝－1；图8－8情况②当直线不与x 轴垂直时，设直线的解析式为y ＝kx ＋b ．∵A (－1，0)，∴－k ＋b ＝0，∴k ＝b ，y ＝kx ＋k ．++-=+=∴.32,2x x y k kx y ∴x 2＋(k －2)x ＋k －3＝0．当?＝0时，有一个公共点．∴k ＝4，∴y ＝4x ＋4．综上所述，直线的解析式为x ＝－1或y ＝4x ＋4．例10 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)，C (5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F )，最后沿直线运动到点A 求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．解(1)∵抛物线与x 轴分别交于(1，0)，(5，0)两点，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －5)(a ≠0)．又∵抛物线与y 轴交于(0，3)点，=∴=∴53.35a a .351853)5)(1(532+-=--=∴x x x x y(2)∵A (0，3)，∴OA ＝3．∵D 是OA 的一个三等分点，∴DO ＝1或2．∵D 在y 轴的正半轴上，∴D (0，1)或(0，2)．当D (0，1)时，设CD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)=+=∴.03,1111b k b 解得=-=.1,3111b k .131+-=∴x y当D (0，2)时，同理可得.232+-=x y 综上所述，直线CD 的解析式为131+-=x y 或.232+-=x y(3)如图8－9所示，图8－9作点M 关于x 轴的对称点M ′．作A 关于对称轴直线x ＝3的对称点A ′．连接A ′M ′交x 轴于E ，交直线x ＝3于F ，则E ，F 即为所求．∵M ，M ＇关于x 轴对称，∴ME ＝M ＇E ．同理AF ＝A ′F ．∴ME ＋EF ＋AF ＝M ′E ＋EF ＋A ′F ＝A ′M ′．∵M 是OA 的中点，OA ＝3，).23,0(,23M OM =∴).23∵A (0，3)，∴A ′(6，3)．由勾股定理得?=+=''21548136M A 设直线 A ′M ′的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． =+-=∴.36,23.b k b 解得-==23,43b k ?-=∴2343x y 令y ＝0，则.02343=-x ∴x ＝2，E (2，0)．令x ＝3，则?=43y ).43,3(F ∴综上所述，总路径最短为215，此时E (2，0)，F ).43,3( 三、课标下新题展示例11 (2009长沙)如图8－10，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ，A ，C 两点的坐标分别为A (－3，0)，)3,0(C ，且当x ＝－4和x ＝2时二次函数的值y 相等．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)若点M ，N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA ，BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连接MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．解 (1)由题意，得?=++=+-=+-.3,24416,039c c b a c b a c b a解得=-=-=.3,332,33c b a(2)由(1)得3332332+--=x x y ．当y ＝0时，x ＝－3或1．∴B (1，0)，A (－3，0)，)3,0(C ．∴OA ＝3，OB ＝1，3=OC ．可得.4,2,32===AB BC AC∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°．又由BM ＝BN ＝PN ＝PM 知四边形PMBN 为菱形．∴PN ∥AB ．CBCN AB PN =∴即?-=224tt ?=∴34t 过点P 作PE ⊥AB 于E ．在Rt △PEM 中，∠PME ＝∠B ＝60°，PM ＝34．,332233460sin =?=?=∴ PM PF ?==3260tanPF ME又31=-=OB BM OM ，故OE ＝1． ).332,1(-∴P (3)由(1)、(2)知抛物线+--=x x y 3323323的对称轴为直线x ＝－1，且∠ACB ＝90°．①若∠BQN ＝90°，∵BN 的中点到对称轴的距离大于1，而,13221<=BM ∴以BN 为直径的圆不与对称轴相交，∴∠BQN ≠90°，即此时不存在符合条件的Q 点．②若∠BNQ ＝90°，当∠NBQ ＝60°时，Q ，E 重合，此时∠BNQ ≠90°；当∠NBQ ＝30°时，Q ，P 重合，此时∠BNQ ≠90°．即此时不存在符合条件的Q 点．③若∠QBN ＝90°时，延长NM 交对称轴于点Q ，此时，Q 为P 关于x 轴的对称点． )332,1(--∴Q 为所求．例12 (2009广州)如图8－11，二次函数y ＝x 2＋px ＋q (p ＜0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为?45图8－11(1)求该二次函数的解析式；(2)过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形?若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设点A (x 1，0)，B (x 2，0)，其中x 1＜x 2．∵抛物线y ＝x 2＋px ＋q 过点C (0，－1)，∴q ＝－1，y ＝x 2＋px －1．∵抛物线y ＝x 2＋px －1与x 轴交于A ，B 两点，令y ＝0，设x 1，x 2是方程x 2＋px －1＝0的两根，则.42+=P AB 又∵S △ABC ,1,4521==?=OC OC AB ?=∴25AB ?=+∴42542p 解得23±=P (∵p ＜0，∴舍去正值)．.123,232--=-=∴x x y p(2)令01232=--x x ，解得.2,2121=-=x x ),0,2(),0,21(B A -∴.5,25,25===BC AC AB =+=+∴54522BC AC .4252AB =∴∠ACB ＝90°，△ABC 是直角三角形．∴Rt △ABC 的外接圆的圆心是斜边AB 的中点，且Rt △ABC 的外接圆的半径?==452AB r∵垂线与△ABC 的外接圆有公共点，?≤≤-∴4545m (3)假设在二次函数y 1232--=x x 的图象上存在点D ，使得四边形ACBD 是直角梯形．①若AD ∥BC ，设点D 的坐标为（--020023,x x x 1)，x 0＞0，过D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，如图8－12所示．图8－12在Rt △AED 中，)21(123tan 0020----==∠x x x AE DE DAE ，在Rt △BOC 中，?==∠2 1tan OB OC CBO ∴∠DAE ＝∠CBO ，∴tan ∠DAE ＝tan ∠CBO ．=----∴21)21(1230020x x x 整理，得204x －8x 0－5＝0．解得?=250x 或?-=210x ∵x 0＞0，250=∴x ，此时点D 的坐标为)23,25(．而AD 2＝AE 2＋ED 2＝445≠BC 2，因此当AD ∥BC 时，在抛物线1232--=x x y 上存在点D )23,25(，使得四边形DACB 是直角梯形．②若AC ∥BD ，设点D 的坐标为(x 0，20x －)1230-x ，x 0＜0．过D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，如图8－13所示．图8－13在Rt △DFB 中，FBDF DBF =∠tan 0x x x ---=，在Rt △COA 中，.2211tan ===∠OA OC CAO ∵∠DBF ＝∠CAO ，∴tan ∠DBF ＝tan ∠CAO ．.221230020=---∴x x x 整理，得220x ＋x 0－10＝0．解得250-=x 或x 0＝2．∵x 0＜0，∴250-=x ，此时点D 的坐标为)9,25(-．此时BD ≠AC ，因此当AC ∥BD 时，在抛物线1232--=x x y 上存在点D )9,25(-使得四边形DACB 是直角梯形．综上所述，在抛物线1232--=x x y 上存在点D ，使得四边形DACB 是直角梯形，并且点D 的坐标为)23,25(或)9,25(-．四、课标考试达标题1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值如果总是负数，那么a ，b ，c 满足( )． A ．a ＞0，b 2－4ac ＜0 B ．a ＞0，b 2－4ac ＞0 C ．a ＜0，b 2－4ac ＞0 D ．a ＜0，b 2－4ac ＜02．(2007济南)已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－14所示，则y ＝ax －b 的图象一定经过( )．图8－14A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．(2007潜江)抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．图8－15A．－4＜x＜1B．－3＜x＜1C．x＜－4或x＞1D．x＜－3或x＞14．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．图8－16A．②④B．①④C．②③D．①③5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．根据下表中的二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴( )．x … －112…y… －1 47-－2 47- … A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点7．在平面直角坐标系中，先将抛物线y ＝x 2＋x －2关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )． A ．y ＝－x 2－x ＋2 B ．y ＝－x 2＋x －2 C ．y ＝－x 2＋x ＋2 D ．y ＝x 2＋x ＋28．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(－1，3)，(1，1)两点，且它与y 轴交点的纵坐标大于0且小于1，则a 的取值范围是( )． A ．1＜a ＜3 B ．1≤a ≤3 C ．2≤a ＜3 D ．1＜a ＜2 9．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )．A ．4元或6元 B ．4元 C ．6元 D ．8元 (二)填空题10．抛物线y ＝x 2－2x －8的对称轴方程为______，顶点为______，与x 轴的交点为______，与y 轴的交点为______．11．已知抛物线y ＝x 2＋px ＋q 与x 轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是______．12．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点为(1，2)，与y 轴的交点为(0，3)，则a ＋b ＋c＝______． 13．将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______． 14．若抛物线y ＝x 2＋px ＋q 与x 轴的交点为(p ，0)，(q ，0)，则该抛物线的解析式为______． 15．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋5的顶点在x 轴上，则b 的值为______． (三)解答题16．(2008茂名)我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价 x (元/件)… 30 40 50 60 …每天销售量y (件)… 500 400 300 200 …(1)把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在图8－17中的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；图8－17(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润＝销售总价－成本总价)(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?17．阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数．例如：,343321}3,2,1{=++-=-M min{－1，2，3}＝－1，min{－1，2，a }?->--≤=).1(1)1(a a a解决下列问题：(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}＝______；如果min ＝{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围为______≤x ≤______．(2)①如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，那么x ＝______；②根据①，你发现了结论“如果M {a ，b ，c }＝min{a ，b ，c }，那么______”(填a ，b ，c 的大小关系)③运用②的结论，填空：若M {2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }＝min{2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }，则x ＋y ＝______； (3)如图8－18，在同一直线坐标系中作出函数y ＝x ＋1，y ＝(x －1)2，y ＝2－x 的图象．通过观察图象，得出min{x ＋1，(x －1)2，2－x }的最大值为______．图8－1818．如图8－19，抛物线y＝x2＋4x与x轴分别相交于点B，O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上的一个动点．图8－19(1)求点A的坐标；(2)以点A，B，O，P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当6≤+S624≤＋82时，求x的取值范围．19．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．图8－20(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝<m< bdsfid="616" p=""></m<>m与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，求线<5)10(+段MN的长(用含m的代数式表示)；(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案第八讲二次函数1．D ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．B ． 6．B ． 7．C ． 8．D ． 9．C ．10．x ＝1，(1，－9)，(－2，0)和(4，0)，(0，－8)．11．直线x ＝－1， 12．2． 13．y ＝2x 2－4x ＋5． 14．y ＝x 2或y ＝x 2＋x －2． 15．.52 16．解：(1)画图如答图8－1：答图8－1由图可猜想y 与x 是一次函数关系，函数关系式是y ＝－10x ＋800．(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得W ＝(x －20)(－10x ＋800) ＝－10x 2＋1000x －16000 ＝－10(x －50)2＋9000．∴当x ＝50时，W 有最大值9000．所以，当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．(3)对于函数W ＝－10(x －50)2＋9000，当x ≤45时，W 的值随着x 值的增大而增大，∴销售单价定为45元/件时，工艺厂试销该式艺品每天获得的利润最大．17．(1)sin30°，0≤x ≤1；(2)①1，②a ＝b ＝c ，③－4； (3)见答图8－2．答图8－2最大值为1． 18．(1)(－2，－4)；。

⎧⎪⎨⎪⎩二次函数综合知识讲解考点/易错点1中考导航1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩顶点对称轴开口方向增减性顶点式：()20()y a x h k a =-+≠ 4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：2()0y ax bx c a =++≠ 两根式：()()12(0)y a x x x x a =--≠ 5.二次函数与一元二次方程的关系。

6.抛物线2y ax bx c =++的图象与a b c 、、之间的关系。

考点/易错点2二次函数的图像：在画二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象时通常先通过配方配成222(4)4b ac b y a x a a -=++的形式,先确定顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 考点/易错点3理解二次函数的性质：抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当0a >时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当2b x a=-时,y 最小值244ac b a -=;反之当0a <时,简记左增右减,当2b x a=-时y 最大值244ac b a -=.考点/易错点4待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法：一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对,x y 的值)•可设解析式为2y ax bx c =++,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为()2y a x h k =-+;在所给条件中已知抛物线与x •轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为()()12y a x x x x =--来求解.考点/易错点5二次函数与一元二次方程的关系：抛物线2y ax bx c =++当0y =时抛物线便转化为一元二次方程20ax bx c ++=,即抛物线与x 轴有两个交点时,方程20ax bx c ++=有两个不相等实根;当抛物线2y ax bx c =++与x 轴有一个交点,方程20ax bx c ++=有两个相等实根;当抛物线2y ax bx c =++与x 轴无交点,•方程20ax bx c ++=无实根. 考点/易错点6抛物线2y ax bx c =++中a b c 、、符号的确定：a 的符号由抛物线开口方向决定,当0a >时,抛物线开口向上;当0a <时,•抛物线开口向下; c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当0c >时,抛物线交y 轴于正半轴;当0c <时,抛物线交y 轴于负半轴;b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y 轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;•简记左同右异. 例题精析【例题1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．【答案】11x =-，32=x因为抛物线的对称轴是1x =,且抛物线与x 轴的一个交点是3，所以抛物线与x 轴的另一个交点是1-，所以关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 11x =-，32=x【例题2】已知二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：① 0abc >；②20a b +<；③0a b c -+<；④0a c +>， 其中正确结论的个数为（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个【答案】C由图中的信息可知，0a <,0b >,0c >,012b a<-<, 所以①错误；②正确；当1x =-时，0y >,即0a b c -+>,所以③错误；由0a b c ++>, 0a b c -+>得， 220a c +>,所以0a c +>,所以④正确。

合用标准文案二次函数综合〔动点与三角形〕问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，商议可否存在一些点，使其能构成某些特别三角形，有以下常有的根本形式。

（1〕抛物线上的点可否构成等腰三角形；（2〕抛物线上的点可否构成直角三角形；（3〕抛物线上的点可否构成相似三角形；解决这类问题的根本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一察看。

二、例题精析㈠【抛物线上的点可否构成等腰三角形】例一．〔 2021? 铜仁地区〕如图，直线 y=3x ﹣ 3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点，抛物线y=x2+bx+c 经过 A、 B 两点，点 C是抛物线与 x 轴的另一个交点〔与 A 点不重合〕．（1〕求抛物线的解析式；（2〕求△ ABC的面积；（3〕在抛物线的对称轴上，可否存在点 M，使△ ABM为等腰三角形？假设不存在，请说明原由；假设存在，求出点 M的坐标．解析：〔1〕依照直线解析式求出点A及点 B 的坐标，尔后将点 A 及点 B 的坐标代入抛物线解析式，可得出b、 c 的值，求出抛物线解析式；〔2〕由〔 1〕求得的抛物线解析式，可求出点 C 的坐标，既而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；〔3〕依照点 M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为〔﹣1，m〕，分三种状况谈论，①MA=BA，② MB=BA，③ MB=MA，求出 m的值后即可得出答案．解：〔 1〕∵直线y=3x ﹣ 3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点，∴可得 A〔1， 0〕， B〔0，﹣ 3〕，把 A、 B 两点的坐标分别代入y=x2 +bx+c 得：，解得：．2∴抛物线解析式为：y=x +2x﹣ 3．（2〕令 y=0 得： 0=x2+2x﹣3，解得： x1=1， x2=﹣ 3，那么 C 点坐标为：〔﹣ 3， 0〕， AC=4，故可得 S△ABC= AC× OB= ×4× 3=6．（3〕抛物线的对称轴为： x=﹣1，假设存在 M〔﹣ 1， m〕满足题意：谈论：①当 MA=AB时，，解得：，∴M1〔﹣ 1，〕，M2〔﹣1，﹣〕；②当 MB=BA时，，解得： M3=0， M4=﹣ 6，∴M3〔﹣ 1， 0〕，M4〔﹣ 1，﹣ 6〕，③当 MB=MA时，，解得： m=﹣1，∴M5〔﹣ 1，﹣ 1〕，答：共存在五个点 M1〔﹣ 1，〕，M2〔﹣ 1，﹣〕， M3〔﹣ 1， 0〕， M4〔﹣ 1，﹣ 6〕，M5〔﹣ 1，﹣ 1〕使△ ABM为等腰三角形．谈论：此题察看了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类谈论，不要漏解．㈡【抛物线上的点可否构成直角三角形】例二〔． 2021 鞍山〕如图，一次函数 y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A，与二次函数2y=ax +bx+c的图象交于 y 轴上的一点 B，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点C，且 OC=2．〔 1〕求二次函数 y=ax 2+bx+c 的解析式；〔 2〕设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的另一交点为D， P 为 x 轴上的一个动点，且△ PBD为直角三角形，求点P 的坐标．考点：二次函数综合题．解析：〔1〕依照 y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，与 y 轴交于点 B，即可得出 A，B 两点坐标，二次函数y=ax2 +bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2．得出可设二次函数 y=ax 2+bx+c=a〔x﹣ 2〕2，进而求出即可；（2〕依照当 B 为直角极点，当 D为直角极点，以及当 P 为直角极点时，分别利用三角形相似对应边成比率求出即可．解答：解：〔 1〕∵ y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，∴0=0.5x+2 ，∴x=﹣4，与 y 轴交于点 B，∵ x=0，∴ y=2∴B 点坐标为：〔0， 2〕，∴A〔﹣ 4， 0〕，B〔 0， 2〕，∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点C，且 OC=2∴可设二次函数2 y=a〔 x﹣2〕，把 B〔 0， 2〕代入得：∴二次函数的解析式：y=0.5x 2﹣2x+2；〔 2〔〕Ⅰ〕当 B 为直角极点时，过 B 作 BP1⊥ AD交 x 轴于 P1点由 Rt △ AOB∽ Rt △ BOP1∴ =，∴ =，得： OP=11，∴ P1〔 1， 0〕，〔Ⅱ〕作 P2 D⊥ BD，连接 BP2，将 y=0.5x+2 与2D点坐标为：〔 5， 4.5 〕，﹣ 2x+2 联立求出两函数交点坐标：那么 AD=，当 D 为直角极点时∵∠ DAP=∠BAO，∠ BOA=∠ ADP，22∴△ ABO∽△ AP2D，∴= ，=，解得： AP2 =11.25 ，那么 OP=11.25 ﹣ 4=7.25 ，2故 P2点坐标为〔 7.25 ， 0〕；〔Ⅲ〕当P 为直角极点时，过点 D 作 DE⊥ x 轴于点 E，设 P3〔 a， 0〕那么由 Rt△ OBP3∽ Rt △ EP3 D得：，∴，∵方程无解，∴点 P3不存在，∴点 P 的坐标为： P1〔1， 0〕和 P2〔 7.25 ， 0〕．谈论：此题主要察看了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，依照进行分类谈论得出所有结果，注意不要漏解．㈢【抛物线上的点可否构成相似三角形】例三．〔 2021? 恩施州〕以以下图，直线 l ： y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．把△ AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、 C 和 D〔 3， 0〕．（1〕求直线 BD和抛物线的解析式．（2〕假设 BD与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、 D为极点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N 的坐标．〔 3〕在抛物线上可否存在点P，使 S△=6？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，说明原由．PBD考二次函数综合题．点：分〔1〕由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；析：〔2〕第一确定△ MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△ MCD相似，所以△ BND也是等腰直角三角形．如答图 1 所示，吻合条件的点 N有 3 个；〔3〕如答图2、答图 3 所示，解题要点是求出△PBD面积的表达式，尔后依照S△PBD=6 的条件，列出一元二次方程求解．解解：〔 1〕∵直线 l ： y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，答：∴A〔﹣ 1，0〕， B〔 0， 3〕；∵把△ AOB沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，∴ C〔 1，0〕．设直线 BD的解析式为： y=kx+b ，∵点 B〔 0，3〕， D〔 3， 0〕在直线 BD上，∴，解得 k=﹣ 1，b=3，∴直线 BD的解析式为： y=﹣ x+3．设抛物线的解析式为：y=a〔 x﹣1〕〔 x﹣3〕，∵点 B〔 0，3〕在抛物线上，∴3=a×〔﹣1〕×〔﹣3〕，解得： a=1，∴抛物线的解析式为： y=〔 x﹣ 1〕〔 x﹣ 3〕 =x2﹣ 4x+3．〔2〕抛物线的解析式为：22y=x ﹣ 4x+3=〔 x﹣ 2〕﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，极点坐标为〔2，﹣ 1〕．直线 BD： y=﹣ x+3 与抛物线的对称轴交于点M，令 x=2，得 y=1，∴M〔 2， 1〕．设对称轴与 x 轴交点为点 F，那么 CF=FD=MN=1，∴△ MCD为等腰直角三角形．∵以点 N、 B、 D 为极点的三角形与△ MCD相似，∴△ BND为等腰直角三角形．如答图 1 所示：〔I 〕假设 BD为斜边，那么易知此时直角极点为∴N1〔 0， 0〕；〔II 〕假设 BD为直角边， B 为直角极点，那么点N在 x 轴负半轴上，∵OB=OD=ON2=3，∴N2〔﹣ 3， 0〕；〔III〕假设BD为直角边，D为直角极点，那么点N 在 y 轴负半轴上，∵OB=OD=ON3=3，∴N3〔 0，﹣ 3〕．∴满足条件的点N 坐标为：〔 0，0〕，〔﹣ 3， 0〕或〔 0，﹣ 3〕．（3〕假设存在点 P，使 S△PBD=6，设点 P 坐标为〔 m， n〕．（I〕当点 P位于直线 BD上方时，如答图 2 所示：过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，那么 PE=n， DE=m﹣ 3．S△PBD=S 梯形PEOB﹣ S△BOD﹣ S△PDE=〔3+n〕? m﹣× 3× 3﹣〔m﹣3〕? n=6，化简得： m+n=7 ①，∵P〔 m， n〕在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，2代入①式整理得：m﹣ 3m﹣ 4=0，解得： m1=4， m2=﹣ 1，∴n1=3，n2=8，∴P1〔 4， 3〕， P2〔﹣ 1，8〕；（I I 〕当点 P 位于直线 BD下方时，如答图 3 所示：过点 P 作 PE⊥ y 轴于点 E，那么 PE=m， OE=﹣ n， BE=3﹣ n．S PBD=S梯形PEOD+S﹣S =〔3+m〕?〔﹣n〕+× 3× 3﹣〔3﹣n〕? m=6，△△BOD△ PBE化简得： m+n=﹣ 1 ②，∵P〔 m， n〕在抛物线上，2∴n=m﹣4m+3，2代入②式整理得：m﹣ 3m+4=0，△ =﹣7＜ 0，此方程无解．综上所述，在抛物线上存在点P，使 S△PBD=6，点 P 的坐标为〔 4， 3〕或〔﹣ 1， 8〕．点此题是中考压轴题，综合察看了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判断与评：性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，察看了数形结合、分类谈论的数学思想．第〔2〕〔 3〕问均需进行分类谈论，防范漏解．三、形成训练1．〔 2021? 湘西州〕如图，抛物线y=﹣x2+bx+4 与 x 轴订交于A、 B两点，与y 轴订交于点 C，假设 A 点的坐标为A〔﹣ 2， 0〕．（1〕求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2〕求点 C 的坐标，连接 AC、 BC并求线段 BC所在直线的解析式；（3〕试判断△ AOC与△ COB可否相似？并说明原由；（4〕在抛物线的对称轴上可否存在点 Q，使△ ACQ为等腰三角形？假设不存在，求出吻合条件的 Q点坐标；假设不存在，请说明原由．考点：二次函数综合题．解析：〔1〕利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2〕在抛物线解析式中，令 x=0，可求出点 C 坐标；令 y=0，可求出点 B 坐标．再利用待定系数法求出直线 BD的解析式；〔3〕依照，∠ AOC=∠ BOC=90°，可以判断△AOC∽△ COB；（4〕本问为存在型问题．假设△ ACQ为等腰三角形，那么有三种可能的状况，需要分类谈论，逐一计算，防范漏解．解答：解：〔 1〕∵抛物线y=﹣2的图象经过点A〔﹣ 2，0〕，x +bx+4∴﹣×〔﹣2〕2+b×〔﹣2〕+4=0，解得： b=，∴抛物线解析式为y= ﹣2x + x+4，又∵ y=﹣ x2+ x+4=﹣〔x﹣ 3〕2+，∴对称轴方程为：x=3．（2〕在 y=﹣ x2+ x+4 中，令 x=0，得 y=4，∴ C〔 0， 4〕；令 y=0，即﹣ x2+ x+4=0，整理得 x2﹣ 6x ﹣ 16=0，解得： x=8 或 x=﹣ 2，∴A〔﹣ 2，0〕， B〔 8， 0〕．设直线 BC的解析式为y=kx+b ，把 B〔 8， 0〕， C〔 0， 4〕的坐标分别代入解析式，得：，解得 k=，b=4，∴直线 BC的解析式为： y=x+4．（3〕可判断△AOC∽△COB成立．原由以下：在△ AOC与△ COB中，∵OA=2， OC=4， OB=8，∴，又∵∠ AOC=∠ BOC=90°，∴△ AOC∽△ COB．（4〕∵抛物线的对称轴方程为： x=3，可设点 Q〔3， t 〕，那么可求得：AC===，AQ==，CQ==．i 〕当 AQ=CQ时，有=，2225+t =t ﹣ 8t+16+9 ，∴Q1〔 3， 0〕；ii 〕当 AC=AQ时，有=，2t =﹣ 5，此方程无实数根，iii〕当AC=CQ时，有=，整理得： t 2﹣ 8t+5=0 ，解得： t=4 ±，∴点 Q坐标为： Q2〔 3， 4+〕，Q3〔3，4﹣〕．综上所述，存在点 Q，使△ ACQ为等腰三角形，点 Q的坐标为： Q〔 3，0〕，Q〔 3，4+〕，12Q3〔 3，4﹣〕．谈论：此题察看了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判断、勾股定理、等腰三角形的判断等知识点．难点在于第〔4〕问，吻合条件的等腰三角形△ACQ 可能有多种状况，需要分类谈论．1 x 1 与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y1x2bx c与直线交2 ：：直线y22于 A、 E两点，与x轴交于 B、 C两点，且 B 点坐标为〔1，0〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕动点 P在x轴上搬动，当△ PAE是直角三角形时，求点 P 的坐标．1 x2 2 x 2 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．〔1〕求3、如图，抛物线y22A、B、C 三点的坐标；〔2〕证明△ ABC 为直角三角形；〔3〕在抛物线上除C点外，可否还存在别的一个点 P ，使△ ABP 是直角三角形，假设存在，央求出点 P 的坐标，假设不存在，请说明原由．2 x24x 2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛4、如图，抛物线y33物线的对称轴与 x 轴交于点 D．点 M从 O点出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 B运动，过M作 x 轴的垂线，交抛物线于点 P，交 BC于 Q．（1〕求点 B 和点 C 的坐标；（2〕设当点 M运动了 x〔秒〕时，四边形 OBPC的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围．（3〕在线段 BC上可否存在点 Q，使得△ DBQ成为以 BQ为一腰的等腰三角形？假设存在，．．．．．．求出点 Q的坐标，假设不存在，说明原由．二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析报告合用标准文案5、〔 09 年成都〕在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= a(x 1)2c(a0) 与x轴交于 A、B 两点 ( 点 A在点 B 的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C，其极点为 M,假设直线 MC的函数表达式为y kx 3 ,与 x 轴的交点为 N，且 COS∠ BCO＝3 10。