第3章 图像的基本知识

第三章图像灰度直方图变换在数字图像处理中，灰度直方图是最简单且最有用的工具，可以说，对图像的分析与观察直到形成一个有效的处理方法，都离不开直方图。

直方图的定义：一个灰度级别在范围[0，L-1]的数字图象的直方图是一个离散函数p(rk)= nk/nn 是图象的像素总数，nk是图象中第k个灰度级的像素总数，rk 是第k个灰度级，k = 0,1,2,…,L-直方图的性质1）灰度直方图只能反映图像的灰度分布情况，而不能反映图像像素的位置，即丢失了像素的位置信息。

2）一幅图像对应唯一的灰度直方图，反之不成立。

不同的图像可对应相同的直方图。

直方图的应用：用来判断图像量化是否恰当灰度变换一、对比度展宽的目的：是一点对一点的灰度级的影射。

设新、旧图的灰度级分别为g 和f，g和f 均在[0，255]间变化。

目的：将人所关心的部分强调出来。

对比度展宽方法：二、灰级窗：只显示指定灰度级范围内的信息。

如: α=γ=0三、灰级窗切片：只保留感兴趣的部分，其余部分置为0。

直方图均衡化算法：设f、g分别为原图象和处理后的图像。

求出原图f的灰度直方图，设为h。

h为一个256维的向量。

求出图像f的总体像素个数Nf=m*n （m,n分别为图像的长和宽）计算每个灰度级的像素个数在整个图像中所占的百分比。

hs(i)=h(i)/Nf (i=0,1, (255)3）计算图像各灰度级的累计分布hp。

4）求出新图像g的灰度值。

作业1. 在图像灰度变换处理中，请总结出线性变换，非线性变换的适应性及各自的特点？. 已知一幅图像为：∑==ikkhihp)()(255,...,2,1=i⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22789321227881112388712439881228291010636921001001073910101002552547120025520010022525551f请对其进行灰度直方图的均衡化处理。

一年级下册图像知识点总结一、认识图像1. 什么是图像图像是由光线反射或发射出来的事物本身或事物的投射到白色物质上的影子。

图像包括静物图像和动态图像。

静物图像是一个静态的物体从事物原来所在的位置，而动态图像是一个物体或物体的形状相对一定的改变。

2. 图像的种类图像分为写实图像和抽象图像。

写实图像是符合实际物体形状颜色的图像，抽象图像是艺术家根据自己的需求，故意对实在事物进行再组合，再加工后所制成的图像。

3. 图像的来源图像的来源有很多，包括自然界的物体、建筑、人物、动物等，也可以是人们创造或想象的形象。

4. 图像的特点图像有形象性、美感性、艺术性、再现性、虚实性等特点。

二、认识图像的意义1. 图像在生活中的应用图像在生活中有广泛的应用，比如平面广告、书籍装帧、家庭装饰等方面。

人们可以通过图像了解到不同的事物，增加了生活的兴趣和情趣。

2. 色彩对图像的作用色彩是图像中至关重要的构成部分，可以增加图像的美感，也可以让人们方便快捷地了解一些信息。

三、学习图像的基本技能1. 制作图像通过绘画、拼贴、雕刻等方式，学生可以制作自己的图像，从而培养学生的观察力、创造力以及动手能力。

2. 审美能力的培养教师可以通过讲解名家名作，展示经典图像，帮助学生建立良好的审美观，培养学生对图像的理解能力和欣赏能力。

3. 图像表现学生可以通过观察，理解和表达的方式，将自己对物体的认识、理解和感受，通过绘画、摄影、雕塑等方式表现出来。

四、图像的表现形式1. 平面图像平面图像是二维的图像，具有长度和宽度两个方向。

2. 立体图像立体图像是三维的图像，具有长度、宽度和高度三个方向，可以以多种角度、多个面展现事物的全貌。

3. 影像影像是通过物体向一个方向发射出的光线，然后在另一面被接收的过程，形成了物体的投射，也就是影像。

五、图像的表现手法1. 素描素描是描述物体或景物的轮廓、形状的画法。

学生可以通过提高笔触的变化、线条的粗细、重叠和交错来描绘出物体的形象。

数字图像处理每章课后题参考答案第一章和第二章作业：1.简述数字图像处理的研究内容。

2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？3.列举并简述常用表色系。

1.简述数字图像处理的研究内容？答：数字图像处理的主要研究内容，根据其主要的处理流程与处理目标大致可以分为图像信息的描述、图像信息的处理、图像信息的分析、图像信息的编码以及图像信息的显示等几个方面，将这几个方面展开，具体有以下的研究方向：1.图像数字化，2.图像增强，3.图像几何变换，4.图像恢复，5.图像重建，6.图像隐藏，7.图像变换，8.图像编码，9.图像识别与理解。

2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？答：图像工程是一门系统地研究各种图像理论、技术和应用的新的交叉科学。

根据抽象程度、研究方法、操作对象和数据量等的不同，图像工程可分为三个层次：图像处理、图像分析、图像理解。

图像处理着重强调在图像之间进行的变换。

比较狭义的图像处理主要满足对图像进行各种加工以改善图像的视觉效果。

图像处理主要在图像的像素级上进行处理，处理的数据量非常大。

图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客观信息从而建立对图像的描述。

图像分析处于中层，分割和特征提取把原来以像素描述的图像转变成比较简洁的非图形式描述。

图像理解的重点是进一步研究图像中各目标的性质和它们之间的相互联系，并得出对图像内容含义的理解以及对原来客观场景的解释，从而指导和规划行为。

图像理解主要描述高层的操作，基本上根据较抽象地描述进行解析、判断、决策，其处理过程与方法与人类的思维推理有许多相似之处。

第三章图像基本概念1.图像量化时，如果量化级比较小时会出现什么现象？为什么？答：当实际场景中存在如天空、白色墙面、人脸等灰度变化比较平缓的区域时，采用比较低的量化级数，则这类图像会在画面上产生伪轮廓（即原始场景中不存在的轮廓）。

5．3 对数函数的图像和性质学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式．知识点一 y ＝log a f (x )型函数的单调区间思考 我们知道y ＝2f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，那么y ＝log 2f (x )的单调区间与y ＝f (x )的单调区间相同吗？答案 y ＝log 2f (x )与y ＝f (x )的单调区间不一定相同，因为y ＝log 2f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域不一定相同．梳理 一般地，形如函数f (x )＝log a g (x )的单调区间的求法：①先求g (x )＞0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a 大于1时， g (x )＞0限制之下g (x )的单调增区间是f (x )的单调增区间，g (x )＞0限制之下g (x )的单调减区间是f (x )的单调减区间；③当底数a 大于0且小于1时，g (x )＞0限制之下g (x )的单调区间与f (x )的单调区间正好相反．知识点二 对数不等式的解法 思考 log 2x <log 23等价于x <3吗？答案 不等价．log 2x <log 23成立的前提是log 2x 有意义，即x ＞0， ∴log 2x <log 23⇔0<x <3.梳理 一般地，对数不等式的常见类型： 当a ＞1时，log af (x )＞log ag (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＞0(可省略)，g (x )＞0，f (x )＞g (x )；当0<a <1时，log af (x )＞log ag (x )⇔⎩⎨⎧f (x )＞0，g (x )＞0(可省略)，f (x )<g (x ).知识点三 不同底的对数函数图像的相对位置思考 y ＝log 2x 与y ＝log 3x 同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？答案 可以通过描点定位，也可令y ＝1，对应x 值即底数．梳理 一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴．1．y ＝log 2x 2在[0，＋∞)上为增函数．( × ) 2．212log y x =在(0，＋∞)上为增函数．( × )3．ln x <1的解集为(－∞，e)．( × ) 4．y ＝a x 与x ＝log a y 的图像相同．( √ )类型一 对数型复合函数的单调性 命题角度1 求单调区间例1 求函数212log (21)y x x =-++的值域和单调区间．考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 解 设t ＝－x 2＋2x ＋1，则t ＝－(x －1)2＋2. ∵12log y t =为减函数，且0<t ≤2，12log 21,y ==-即函数的值域为[－1，＋∞)．又函数212log (21)x x -++的定义域为－x 2＋2x ＋1>0，由二次函数的图像知1－2<x <1＋ 2.∴t ＝－x 2＋2x ＋1在(1－2，1)上是增加的，而在(1,1＋2)上是减少的，而12log y t =为减函数．∴函数212log (21)y x x =-++的增区间为(1,1＋2)，减区间为(1－2，1)．反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．(2)f (x )，g (x )单调性相同，则f (g (x ))为增函数；f (x )，g (x )单调性相异，则f (g (x ))为减函数，简称“同增异减”．跟踪训练1 已知函数212()log (2).f x x x =-+(1)求函数f (x )的值域； (2)求f (x )的单调性． 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 解 (1)由题意得－x 2＋2x >0，∴x 2－2x <0， 由二次函数的图像知0<x <2.当0<x <2时，y ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )∈(0,1]， ∴21122log (2)log 10.x x -+=≥∴函数212log (2)y x x =-+的值域为[0，＋∞)．(2)设u ＝－x 2＋2x (0<x <2)，12log ,=u v∵函数u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，12log =u v 是减函数，∴由复合函数的单调性得到函数212()log (2)f x x x =-+在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数．命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例2 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围．考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上是减少的，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)]．反思与感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域． 跟踪训练2 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3]D ．[3，＋∞)考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.类型二 对数型复合函数的奇偶性 例3 判断函数f (x )＝ln2－x2＋x的奇偶性． 考点 对数型函数的奇偶性 题点 对数型函数的奇偶性 解 由2－x 2＋x>0可得－2<x <2，所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．方法一 f (－x )＝ln 2＋x 2－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋x －1＝－ln 2－x2＋x ＝－f (x )， 即f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )＝ln 2－x2＋x 是奇函数．方法二 f (x )＋f (－x )＝ln 2－x 2＋x ＋ln 2＋x2－x＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫2－x 2＋x ·2＋x 2－x ＝ln 1＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )＝ln 2－x 2＋x 是奇函数．引申探究若已知f (x )＝ln a －xb ＋x 为奇函数，则正数a ，b 应满足什么条件？解 由a －x b ＋x>0得－b <x <a .∵f (x )为奇函数，∴－(－b )＝a ，即a ＝b . 当a ＝b 时，f (x )＝ln a －xa ＋x ，f (－x )＋f (x )＝ln a ＋x a －x ＋ln a －xa ＋x＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋x a －x ·a －x a ＋x ＝ln 1＝0， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴此时f (x )为奇函数． 故f (x )为奇函数时，a ＝b .反思与感悟 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f (x )±f (－x )＝0来判断，运算相对简单． 跟踪训练3 已知函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫21＋x －a 是奇函数，求实数a 的值．考点 对数型函数的奇偶性 题点 对数型函数的奇偶性解 由函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －a 是奇函数，得 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －a ＝lg 121＋x－a， 即21－x －a ＝121＋x －a ，化简得4－4a ＋a 2(1－x 2)＝1－x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＝0，a 2＝1，解得a ＝1.类型三 对数不等式例4 已知函数f (x )＝log a (1－a x )(a ＞0，且a ≠1)，解关于x 的不等式：log a (1－a x )＞f (1)． 考点 对数不等式 题点 解对数不等式解 ∵f (x )＝log a (1－a x )，∴f (1)＝log a (1－a )． ∴1－a ＞0，∴0<a <1.∴不等式可化为log a (1－a x )＞log a (1－a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a x ＞0，1－a x <1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x <1，a x＞a ，∴0<x <1.∴不等式的解集为(0,1)．反思与感悟 对数不等式解法要点： (1)化为同底log a f (x )＞log a g (x )．(2)根据a ＞1或0<a <1去掉对数符号，注意不等号方向． (3)加上使对数式有意义的约束条件f (x )＞0且g (x )＞0.跟踪训练4 已知A ＝{x |log 2x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<3x <3，则A ∩B 等于( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(0，2) C.⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．(－1，2)考点 对数不等式题点 与对数不等式有关的集合的运算 答案 A解析 log 2x <2，即log 2x <log 24，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x <4，∴A ＝(0,4)．13<3x <3，即112333,x-<< ∴－1<x <12，B ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，∴A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12.1.如图所示，曲线是对数函数f (x )＝log a x 的图像，已知a 取3，43，35，110，则对应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35考点 对数函数的图像 题点 对数函数图像的应用 答案 A2．如果1122log log 0,x y <<那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x考点 对数不等式题点解对数不等式答案 D3．函数y＝|lg(x＋1)|的图像是()考点对数函数的图像题点含绝对值的对数函数的图像答案 A解析y＝|lg(x＋1)|的图像可由函数y＝|lg x|的图像向左平移一个单位得到．4．已知函数f(x)＝ln 1＋ax1＋2x(a≠2)为奇函数，则实数a＝________.考点对数型函数的奇偶性题点对数型函数的奇偶性答案－2解析∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝ln 1＋ax1＋2x＋ln1－ax1－2x＝ln (1＋ax)(1－ax)(1＋2x)(1－2x)＝ln1－a2x21－4x2＝0.∴1－a2x21－4x2＝1，即1－a2x2＝1－4x2对定义域内任意x恒成立，∴a2＝4.又a≠2，∴a＝－2.5．函数f(x)＝ln x2的减区间为____________．考点对数函数的单调性题点对数型复合函数的单调区间答案(－∞，0)1．判断函数奇偶性的三个步骤(1)一看：定义域是否关于原点对称．(2)二找：若函数的定义域关于原点对称，再确定是否满足恒等式f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0，或者f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0. (3)三判断：判断是奇函数还是偶函数． 2．判断函数是否具有单调性的方法步骤(1)对于由基本初等函数通过运算构成的函数或复杂函数，先利用换元法将函数分解为基本初等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性．(2)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反． 特别提醒：在解决函数的单调性和奇偶性问题时，首先要确定其定义域.一、选择题1．函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞)．2．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图像只可能是( )考点 对数函数的图像题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图像 答案 A解析 当a >1时，指数函数y ＝a x 为增函数，而对数函数y ＝－log a x ＝log 1ax 为减函数．故选A.3．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是( )A ．0<a <12B ．a >12C.12<a <1 D ．0<a <12或a >1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 知a >12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 知0<a <12，故0<a <12.综上知，a 的取值范围是0<a <12或a >1.4．若函数y ＝log a |x －2|(a >0，且a ≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f (x )在区间(2，＋∞)上是( ) A ．先增加后减少 B ．先减少后增加 C ．增函数D ．减函数 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 D解析 当1<x <2时，函数f (x )＝log a |x －2|＝log a (2－x )是增函数，所以0<a <1；函数f (x )＝log a |x－2|在区间(2，＋∞)上的解析式为f (x )＝log a (x －2)(0<a <1)，故在区间(2，＋∞)上是一个减函数．5．已知函数y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则k 的取值范围是( )A ．0<k <1B ．0≤k <1C ．k ≤0或k ≥1D ．k ＝0或k ≥1考点 对数函数的值域或最值题点 由对数函数的值域或最值求参数范围答案 C解析 令t ＝x 2－2kx ＋k ，由y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，得函数t ＝x 2－2kx ＋k 的图像一定恒与x 轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k ≥0，即k ≤0或k ≥1.6．已知函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[2，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围答案 C解析 由已知可得a >1，当x ∈[0,1]时，2－ax >0恒成立，∴a <2，∴1<a <2.二、填空题7．若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 考点 对数不等式题点 解对数不等式答案 ⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞) 解析 log a 23<1＝log a a .当a >1时，恒成立；当0<a <1时，有0<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________．考点 对数函数的单调性题点 对数型复合函数的单调区间答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0解得定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上是增加的，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上是增加的，∴函数的增区间为(1，＋∞)．9．不等式log 12(4x ＋2x ＋1)＞0的解集为______________________． 考点 对数不等式题点 解对数不等式答案 (－∞，log 2(2－1))解析 由log 12(4x ＋2x ＋1)＞0，得4x ＋2x ＋1<1，即(2x )2＋2·2x <1，配方得(2x ＋1)2<2，因为2x ＋1>0，所以2x <2－1，两边取以2为底的对数，得x <log 2(2－1)．10．已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图像上，则b ＝________.考点题点答案 －1解析 函数y ＝log a (x ＋3)－89的图像恒过定点⎝⎛⎭⎫－2，－89，又由3－2＋b ＝－89，得b ＝－1. 11．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)，则不等式0<f (1－2x )－f (x )<1的解集为________________． 考点 对数不等式题点 解对数不等式答案 ⎝⎛⎭⎫－23，13 解析 不等式0<f (1－2x )－f (x )<1，即0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg2－2x x ＋1<1. 由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.由0<lg 2－2x x ＋1<1，得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13. 三、解答题12．已知f (x )＝log 12(x 2－ax －a )．(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围． 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝log 12(x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴log 12(x 2＋x ＋1)≤log 1234＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23]．y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上是减少的，在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上是增加的，y ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减少的，∴f (x )的增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 减区间为[－12，＋∞)． (2)令u ＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数， 又y ＝log 12u 为减函数，∴u 在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为减函数， 且u ＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立． ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 13．设函数f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,3]时，求f (x )的最大值．考点题点解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f (2)＝log 212，得⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a 2－b 2＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a ＋b ＝6，∴a ＝4，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝log 2(4x －2x )，设t ＝2x ，∵x ∈[1,3]，∴t ∈[2,8]．令u ＝4x －2x ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14， ∴当t ＝8，即x ＝3时，u max ＝56.故f (x )的最大值为log 256.四、探究与拓展14．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________． 考点题点答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数， ∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15．如图所示，过函数f (x )＝log c x (c >1)的图像上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (a,0)，N (b,0)(b >a >1)，线段BN 与函数g (x )＝log m x (m >c >1)的图像交于点C ，且AC 与x 轴平行．(1)当a ＝2，b ＝4，c ＝3时，求实数m 的值；(2)当b ＝a 2时，求m b －2c a的最小值； (3)已知h (x )＝a x ，φ(x )＝b x ，若x 1，x 2为区间(a ，b )内任意两个变量，且x 1<x 2，求证：h [f (x 2)]<φ[f (x 1)]．考点 对数函数的综合问题题点 对数型函数各类问题的综合(1)解 由题意得A (2，log 32)，B (4，log 34)，C (4，log m 4)， 因为AC 与x 轴平行，所以log m 4＝log 32，所以m ＝9.(2)解 由题意得A (a ，log c a )，B (b ，log c b )，C (b ，log m b )， 因为AC 与x 轴平行，所以log m b ＝log c a ， 因为b ＝a 2，所以m ＝c 2，所以m b －2c a ＝c 2a 2－2c a＝⎝⎛⎭⎫c a －12－1，所以当c a ＝1时，m b －2c a取得最小值－1. (3)证明 因为a <x 1<x 2<b ，且c >1， 所以log c a <log c x 1<log c x 2<log c b ， 又因为a >1，b >1，所以2log c x a <log c b a ，log c a b <1log c x b ， 又因为log c b ·log c a ＝log c a ·log c b ， 所以log log c b c a＝log log c a c b ， 所以log log c c b a a b ＝，所以21log log c c x x a b ， 即h [f (x 2)]<φ[f (x 1)]．。