离散数学第八章(第4讲)

滁州学院计算机与信息工程学院课程教案课程名称：离散数学授课教师：赵欢欢授课对象：11级网络工程专业3、4班授课时间：2012年9月-2012年12月滁州学院计算机科学与信息工程学院2012年8月《离散数学》教学大纲（Discrete Mathematic）课程代码：学时：48 学分：3一、课程简介本大纲根据2009版应用型人才培养方案制订。

（一）教学对象：网络工程、计算机科学与技术专业本科学生（二）开课学期：第三学期（三）课程类别：专业基础课（四）考核方式：考试（五）参考教材：《离散数学》第2版邓辉文清华大学出版社2010.主要参考书目：[1]邵学才,叶秀明. 离散数学[M].北京电子工业出版社，2009.[2]邵志清,虞慧群. 离散数学[M].北京电子工业出版社，2003.[3]屈婉玲. 离散数学习题解析[M].北京大学出版社，2008.本课程的先修课程是高等数学、线性代数，后续课程包含数据结构、数据库原理及应用、操作系统、数字逻辑、人工智能、算法分析与设计等。

二、教学基本要求与内容安排（一）教学目的与要求离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的学科,它在各学科领域特别在计算机科学领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程必不可少的先行课程。

本课程的教学目的旨在通过对离散数学的教学，让学生不但可以掌握处理如集合、代数结构和图等离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且为学生今后提高专业理论水平，从事计算机行业的实际工作提供必备的抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

（教学要求：A—熟练掌握；B—掌握；C—了解）三、实验内容本课程无实验制订人（签字）：审核人（签字）：教学进度表系主任签名：院长签名：年月日年月日说明：1．本教学进度表由主讲教师负责填写，于每学期开学第一周内送交教师所在系，经领导审定、签字后备查。

2．此表一式三份，其中，任课教师一份，教师所在系一份，教务处一份。

第八章部分课后习题参考答案
1． 设f :N →N,且
f (x)=12x x x ⎧⎪⎨⎪⎩
，若为奇数
若为偶数， 求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},
f ({0,2,4,6,…})=N ，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}.
4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的?
(1) f:N →N, f(x)=x 2+2 不是满射，不是单射
(2) f:N →N,f(x)=(x)mod 3,x 除以3的余数 不是满射，不是单射
(3) f:N →N,f(x)=10x x ⎧⎨⎩
，若为奇数，若为偶数 不是满射，不是单射
(4) f:N →{0,1},f(x)=01x x ⎧⎨⎩
，若为奇数，若为偶数 是满射，不是单射
(5) f:N-{0}→R,f(x)=lgx 不是满射，是单射
(6) f:R →R,f(x)=x 2-2x-15 不是满射，不是单射
5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,}判断以下命题的真假:
(1)f 是从X 到Y 的二元关系,但不是从X 到Y 的函数; 对
(2)f 是从X 到Y 的函数,但不是满射,也不是单射的; 错
(3)f 是从X 到Y 的满射,但不是单射; 错
(4)f是从X到Y的双射. 错。

第8 章 习题解答8.1 图8.6 中,(1)所示的图为,3,1K (2) 所示的图为,3,2K (3)所示的图为,2,2K 它们分别各有不同的同构形式.8.2 若G 为零图,用一种颜色就够了,若G 是非零图的二部图,用两种颜色就够了.分析 根据二部图的定义可知,n 阶零图(无边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图的每个顶点都用同一种颜色染色,因为无边,所以,不会出现相邻顶点染同色,因而一种颜色就够用了.8.3 完全二部图,,s r K 中的边数rs m =.分析 设完全二部图s r K ,的顶点集为V, 则∅==2121,V V V V V ,且,||,||21s V r V ==s r K ,是简单图,且1V 中每个顶点与2V 中所有顶点相邻,而且1V 中任何两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数rs m =.8.4 完全二部图s r K ,中匹配数},m in{1s r =β,即1β等于s r ,中的小者.分析 不妨设,s r ≤且二部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall 定理可知,图中存在1V 到2V 的完备匹配,设M 为一个完备匹配,则1V 中顶点全为M 饱和点,所以,.1r =β8.5 能安排多种方案,使每个工人去完成一项他们各自能胜任的任务.分析 设},,{1丙乙甲=V ,则1V 为工人集合, },,{2c b a V =,则2V为任务集合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得无向图>=<E V G ,,则G 为二部图,见图8.7 所示.本题是求图中完美匹配问题. 给图中一个完美匹配就对应一个分配方案.图8.7 满足Hall 定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,又因为,3||||21==V V 所以,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙乙甲=此匹配对应的方案为甲完成a,乙完成b, 丙完成c,见图中粗边所示的匹配.)},(),,(),,{(2c a b M 丙乙甲=2M 对应的分配方案为甲完成b,乙完成a,丙完成c.请读者再找出其余的分配方案.8.6 本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,非常容易地给出4族图分别满足要求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所得图为偶数个顶点,奇数条边的欧拉图.（4）在(2) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所得图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析 上面给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2) 中的图都是简单图.而(3),(4)中的图都带环,因而都是非简单图. 于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满足要求.其实,欧拉图是若干个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满足(3),(4)中要求的简单欧拉图.设k G G G ,,,21 是长度大于等于3的k 个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k 为偶数,将1G 中某个顶点与2G 中的某顶点重合,但边不重合, 2G 中某顶点与3G 中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将1-k G 中某顶点与k G 中某顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G 中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的一族图满足(4)的要求,其中一个特例为图8.8中(1)所示.在以上各图中,若k G G G ,,,21 中有一个偶圈,其他条件不变,构造方法同上,则所得图G 为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满足(3)的要求,图8.8中(2)所示为一个特殊的情况.8.7 本题的讨论类似于8.6题,只是将所有无向圈全变成有向圈即可,请读者自己画出满足要求的一些特殊有向欧拉图.8.8 本题的答案也是很多的,这里给出满足要求的最简单一些图案,而且全为简单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧拉图,又都是哈密尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度大于等于3的初级回路,即圈k G G G ,,,21 ,用8.6题方法构造的图G 均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这里的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加一条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度大于等于4的圈,比如说1G ,在1G 中找两个不相邻的相邻顶点,在它们之间加一条新边,然后用8.6题方法构造图G,则G 既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所示的图.分析 (1) 中图满足要求是显然的.(2) 中构造的图G 是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G 中存在割点,将割点从G 中删除,所得图至少有两个连通分支,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G不是哈密尔顿图.(3) 中构造的图中,所有顶点都排在一个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图. 由以上讨论可知,(4) 中图既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图.其实,读者可以找许多族图,分别满足题中的要求.8.9 请读者自己讨论.8.10 其逆命题不真.分析若D是强连通的有向图,则D中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D中每个顶点的入度都等于出度. 在图8.2 所示的3个强连通的有向图都不是欧拉图.8.11 除K不是哈密尔顿图之外, n K(3≥n)全是哈密尔2顿图.K(n为奇数)为欧拉图. 规定1K(平凡图)既是欧拉图, n又是哈密尔顿图.分析从哈密尔顿图的定义不难看出,n阶图G是否为哈密尔顿图,就看是否能将G中的所有顶点排在G中的一个长为n的初级回路,即圈上.K(3≥n)中存在多个这样的生成n圈(含所有顶点的图), 所以K(3≥n)都是哈密尔顿图.n在完全图K中,各顶点的度数均为n-1,若n K为欧拉图,n则必有1-n为偶数,即n为奇数,于是,当n为奇数时,K连通n且无度顶点,所以,K(n为奇数) 都是欧拉图.当n为偶数时,n各顶点的度数均为奇数,当然不是欧拉图.8.12 有割点的图也可以为欧拉图.分析 无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通且没有奇度顶点.只要G 连通且无奇度顶点(割点的度数也为偶数),G 就是欧拉图.图8.8所示的两个图都有割点,但它们都是欧拉图.8.13 将7个人排座在圆桌周围,其排法为.abdfgeca 分析 做无向图>=<E V G ,,其中,},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语言与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8.10所示.图G 是连通图,于是,能否将这7个人排座在圆桌周围,使得每个人能与两边的人交谈,就转化成了图G 中是否存在哈密尔顿回路(也就是G 是否为哈密尔顿图).通过观察发现G 中存在哈密尔顿回路, abdfgeca 就是其中的一条哈密尔顿回路.8.14 用i v 表示颜色.6,,2,1, =i i 做无向图>=<E V G ,,其中 },,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的)(,v d V v ∈表示顶点v 与别的能搭配的颜色个数,易知G 是简单图,且对于任意的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔顿图,因而G 中存在哈密尔顿回路,不妨设1654321i i i i i i i v v v v v v v 为其中的一条,在这种回路上,每个顶点工表的颜色都能与它相邻顶点代表的颜色相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与6i v 所代表的颜色相搭配就能织出3种双色布,包含了6种颜色.8.15∑=⨯======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R 而本图边数m=10.分析 平面图(平面嵌入)的面i R 的次数等于包围它的边界的回路的长度,这里所说回路,可能是初级的,可能是简单的,也可能是复杂的,还可能由若干个回路组成.图8.1所示图中,321,,R R R 的边界都是初级回路,而0R 的边界为复杂回路(有的边在回路中重复出现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12,其中边65,e e 在其中各出现两次.8.16 图8.11中,实线边所示的图为图8.1中图G,虚线边,实心点图为它的对偶图的顶点数*n ,边数*m ,面数*r 分别为4,10和8,于是有分析 从图8.11还可以发现,G 的每个顶点位于的一个面中,且的每个面只含G 的一个顶点,所以,这是连通平面图G 是具有k 个连通分支的平面图2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者自己给出一个非连通的平面图,求出它的对偶图来验证这个结论.另外,用图8.1还可以验证,对于任意的*v (*G 中的顶点),若它处于G 的面i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同构.分析 任意平面图的对偶图都是连通的,因而与都是连通图,而G 是具有3个连通分支的非连通图,连通图与非连通图显然是不能同构的.图 8.12 中, 这线边图为图8.2中的图G,虚线边图为G 的对偶图,带小杠的边组成的图是*G 的对偶图,显然.~**G G ≠ 8.18 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是二部图.图中每个顶点的度数均为3,由定8.5可知它不是欧拉图.又因为它可以收缩成5K ,由库拉图期基定理可知它也不是平面图.其实,彼得森图也不是哈密尔顿图图,这里就不给出证明了.8.19 将图8.4重画在图8.13中,并且将顶点标定.图中afbdcea 为图中哈密尔顿回路,见图中粗边所示,所以,该图为哈密尔顿图.将图中边),(),,(),,(d f f e e d 三条去掉,所得图为原来图的子图,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期基定理可知,该图不是平面图.8.20 图8.14所示图为图8.25所示图的平面嵌入.分析 该图为极大平面图.此图G 中,顶点数9=n ,边数.12=m 若G 是不是极大平面图,则应该存在不相邻的顶点,,v u 在它们之间再加一条边所得'G 还应该是简单平面图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8.16矛盾,所以,G 为极大平面图.其实,n ( 3≥n )阶简单平面图G 为极大平面图当且仅当G 的每个面的次数均为3.由图8.14可知,G 的每个面的次数均为3,所以,G 为极大平面图.8.21 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇数时命题为真,见8.11的解答与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答与分析.(3) 只有m n ,都是偶数时,m n K ,中才无奇度数顶点,因而m n K ,为欧拉图,其他情况下,即m n ,中至少有一个是奇数,这时m n K ,中必有奇度顶点,因而不是欧拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图.当m n ≠时,不妨设m n <,并且在二部图m n K ,中,m V n V ==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8.8矛盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图是同构的,但它们的对偶力(虚边图)是不同构的.(2) 任何平面图的对偶图都是连通图.设G 是非连通的平面图,显然有.**~G G ≠(3) 当G 是非连通的平面图时,,1*+-=k n r 其中k 为G 的连通分支数.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析 根据库期基定理可知,所求的图必含有5K 或3,3K 同胚子图,或含可收缩成5K 或3,3K 的子图.由于顶点数和边数均已限定,因而由3,3K 加2条边的图可满足要求,由5K 增加一个顶点,一条边的图可满足要求,将所有的非同构的简单图画出来,共有4个,其中由K产生的有2个,由5K产生的有2个.3,3见图8.16所示.。