简单的绝对值不等式的解法

教案课题：简单含绝对值不等式及分式不等式的解法教学目标：复习绝对值的定义与几何意义掌握简单含绝对值不等式及分式不等式的解法理解等价转化的思想进一步熟练一元一次不等式和一元二次不等式的解法教学重难点：重点：掌握简单含绝对值不等式及分式不等式的解法难点：理解简单含绝对值不等式及分式不等式的解法的思想并对其熟练掌握教学方法：讲授法，探究法，练习法，讨论法。

学法指导：数形结合，等价转化教具：多媒体教学过程：一、简单的含绝对值不等式的解法（一）知识联系1、绝对值的定义,00,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义（二） 探索解法 1.探索：不等式|x|<1的解。

方法一：利用绝对值的几何意义观察不等式|x|<1的解表示到原点的距离小于1的点的集合。

所以，不等式|x|<1的解为-1<x<1方法二：两边同时平方去掉绝对值符号 所以，不等式|x|<1的解为-1<x<1, 即 x 2－1<0 ,即 (x+1)(x －1)<0,即－1<x<1, 所以，不等式|x|<1的解为-1<x<1方法三：利用函数图象观察从函数观点看，不等式|x|<1的解表示函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x 的取值范围。

所以，不等式|x|<1的解为-1<x<12.一般地，可得规律:题型1：形如|x|<c和|x|>c (c>0)的含绝对值的不等式的解:① 不等式|x|<c的解为-c<x<c②不等式|x|>c的解为x<-c或x>c思考：若c0呢？一般地，可得规律:题型2：形如|a x+b|<c和|a x+b|>c (c>0)的含绝对值的不等式的解:① 不等式|a x+b|<c的解为-c<ax+b<c②不等式|a x+b|>c的解为a x+b<-c或a x+b>c（三）基础练习（1）|x|>5（2）2|x|<5（3）|2x|>5（4）|x-1|<5（5）|2x-1|<5（6）|2x 2-x|<1 （四） 巩固练习 解下列不等式：11(1)||42x +≤21(2)||33x ->(3)|54|6x ->(4)|32|7x -≥ 2(5)|3|4x x -<二、 简单分式不等式的解法（一） 引入 例一:解不等式:10.32x x +>-分析:当且仅当分子1x +与分母32x -同号时， 上述不等式成立.因此, ()10,1320;x x +>⎧⎨->⎩或, ()10,2320.x x +<⎧⎨-<⎩分析:当且仅当分子1x +与分母32x -同号时，上述不等式成立，而两个数的商与积同号.因此，上述不等式可转化为()()1320x x +->所以，原不等式的解为213x x <->或 练习:解不等式：10.32x x +≥- （二） 解法小结0()()0ax b ax b cx d cx d +>⇔++>+0()()0ax bax b cx d cx d+<⇔++<+()(00)0ax b cx d ax bx d cx c d ++≤⎧+≤⇔⎨++≠⎩（三） 继续探究 如何求解：123-2x x +> 解：移项，转化为，1-20,3-2x x +> 整理得：550,3-2x x -+>，即(1)(32)0,x x --< 所以不等式的解为213x <<（四） 解法小结('')0()ax b a x b k cx d cx d ++>⇔>++ ('')0()ax b a x b k cx d cx d ++<⇔<++ 移项、通分、化整式解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对值的符号，其基本思想是把含绝对值的不等式转为不含绝对值的不等式。

绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。

绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。

本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。

一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。

解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。

例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。

二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。

解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。

例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。

绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。

本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。

一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。

例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。

2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。

Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。

Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。

例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。

二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。

1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。

通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。

下面通过一个例子来说明。

例题：求解不等式 |2x-1|<5 。

解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。

然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。

最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。

2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。

绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。

本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。

一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。

对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。

2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。

有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。

二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。

例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。

（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。

综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。

2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。

例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。

（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。

在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。

一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。

例1：解不等式 |x - 2| > 3。

首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。

通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。

二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。

例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。

根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。

三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。

例3：解不等式 |3x + 2| > 5。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。

四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。

例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。

综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。

绝对值不等式公式大全下面是一些常见的绝对值不等式及其推导和解法。

1.绝对值的定义：对于任意实数x，绝对值，x，定义如下：-当x≥0时，x，=x。

-当x<0时，x，=-x。

2.单个绝对值不等式：2.1，x，＞a时，有以下不等式：-方程的解集为：x＞a或x＜-a。

-解法：将，x，＞a拆解为x＞a或x＜-a，然后根据实际问题分析确定解集。

2.2，x，＜a时，有以下不等式：-方程的解集为：-a＜x＜a。

-解法：将，x，＜a拆解为x＞-a且x＜a，然后根据实际问题分析确定解集。

3.绝对值的性质：3.1，a+b，≤，a，+，b该性质成立是因为绝对值函数具有非负性质，并且，a+b，的取值范围比，a，+，b，的取值范围要小。

3.2，a-b，≥，a，-，b该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了加法的逆运算。

3.3，a-b，≥，b，-，a该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了减法的逆运算。

4.绝对值不等式的加法运算法则：若，a，≤，b，则有以下结论：-，a+x，≤，b+x-，x+a，≤，x+b解法：根据2.1的解法，将，x，≤a拆解为-a≤x≤a，根据性质3.1，可得，a+x，≤，a，+，x，≤，a，+，b。

5.绝对值不等式的乘法运算法则：若0≤a≤b-，a*x，≤，b*x，其中x可以是任意实数。

解法：对于给定的，x，≤a（根据2.2的解法得到），将其乘以非负的实数k，则有，k*x，≤a*k，根据性质3.1，可得，k*x，≤a*k≤b*k。

6.绝对值不等式的复合运算法则：若，a，≤b且，c，≤d，则有以下结论：-，a+c，≤，b+d-，a-c，≤，b-d解法：根据4的解法，分别将，a+c，和，a-c，展开为，a+x，的形式，并应用3.1的性质，可以得到上述结论。

这些是常见的绝对值不等式及其推导和解法，通过这些公式和方法，我们可以更方便地求解一些数学问题。

但需要注意的是，在应用绝对值不等式时，需要根据具体问题来确定解集，并判断是否需要考虑特殊情况，提高解题的准确性和完整性。

第5课时 简单的绝对值方程与简单的绝对值不等式的解法诸暨二中 高一数学备课组教学目标：1.掌握形如| x | = a （a ≥0）方程的解法；2.掌握形如| x – a | = b （b ≥0）方程的解法。

3.掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．教学重点：1.解形如| x | = a （a ≥0）和| x – a | = b （b ≥0）的方程。

2.解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．教学难点：解含绝对值方程及绝对值不等式时如何去掉绝对值教学方法：讲授法教学过程：一．复习提问：1.绝对值的代数和几何意义。

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

a （a > 0）用字母表示为 | a | = 0 （a = 0）– a （a < 0）绝对值几何意义：||x 表示这个数的点离开原点的距离。

因此任何数的绝对值是非负数。

12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离二．新课讲解：（一）简单的绝对值方程解法例1：解方程：（1） 19 – | x | = 100 – 10 | x |（2） 2||33||4x x +=- 解：（1） – | x | + 10 | x | = 100 – 19 （2） 2 | x | + 3 = 12 – 4 | x |9 | x | = 81 2 | x | + 4 | x | = 12 – 3| x | = 9 6 | x | = 9x = ±9 | x | = 1.5x = ±1.5例2、思考：如何解 | x – 1 | = 2分析：用换元（整体思想）法去解决，把 x – 1 看成一个字母y ，则原方程变为：| y | = 2，这个方程的解为 y = ±2，即 x – 1 = ±2，解得 x = 3或x = – 1.解： x – 1 = 2 或 x – 1 = – 2x = 3 x = – 1例题小结：形如| x – a | = b （b ≥0）的方程的解法：解： x – a = b 或 x – a = – bx = a + b x = a – b例3：解方程：| 2x – 1 | – 3 = 0解：| 2x – 1 | = 32x – 1 = 3 或 2x – 1 = – 32x = 4 2x = – 2x = 2 x = – 1* 把绝对值内的式子看成一个整体，用一个字母表示的方法叫换元法，形如| mx – n | = a （m ，n ，a 为已知数，且a ≥0）方程分为两步解（1） 先解 | y | = a （a ≥0）（2） 再解 mx – n = y 的方程解： mx – n = ±amx – n = a 或mx – n = – ax = n a m + x =n a m- 练习：解方程：3|21|62y -=（y = 2.5或– 1.5）（二）简单绝对值不等式的解法例4．解下列不等式：（1） | 3x ︱＜2 (2) | x ︱＞5 (3) | 2x – 1 |≤3（4）4|23|7x <-≤； （5）|2||1|x x -<+； （6）|21||2|4x x ++->．解：（4）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22-- ． （5）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （6）当12x ≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞ ．（也可以用绝对值的几何意义来解）例5．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞；（2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；（2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例6．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围．解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞；三．教学小结与反思：1、解形如 | x | = a （a ≥0）的方程a > 0时， x = ±aa = 0时， x = 0a < 0时， 方程无解2、解形如| mx – n | = a （m ，n ，a 为已知数，且a ≥0）的方程mx – n = a 或mx – n = – ax = n a m + x =n a m- 3. || (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．4.当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．5.不等式的解法中体现了数学上的化归转化的思想，只要深刻理解这一点，一些陌生的不等式都有可快速化为熟悉的不等式，要注意转化过程要等价。

教学知识点解简单的绝对值不等式绝对值不等式是数学中的重要概念之一。

在解决实际问题以及各个学科领域中，都能够广泛地应用到绝对值不等式的知识。

本文将为您详细解析简单的绝对值不等式。

一、绝对值的概念在介绍绝对值不等式之前，我们先来回顾一下绝对值的概念。

绝对值，又称绝对数，是表示一个数到原点的距离，其定义如下：|x| ={x, 若x ≥ 0-x, 若 x < 0}例如，|5| = 5，|-3| = 3，|0| = 0。

绝对值的结果永远是非负数。

二、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指一个以绝对值形式表示的不等式。

它包含一个绝对值表达式以及与之相关的等式或不等式关系。

例如，|x| > 3 表示x的绝对值大于3；|x| < 2 表示x的绝对值小于2。

解绝对值不等式是要找出满足不等式的x的取值范围。

三、解绝对值大于的不等式对于绝对值大于的不等式，我们需要将其转化为两个不等式，并解出分别满足这两个不等式的x的取值范围。

举个例子，我们来解一个简单的绝对值大于的不等式：|x| > 3。

首先，我们可以将该绝对值不等式转化为两个不等式：x > 3 或者 x < -3。

对于第一个不等式 x > 3，我们可以得出x的取值范围为x > 3。

这表示x的取值大于3。

对于第二个不等式 x < -3，我们可以得出x的取值范围为x < -3。

这表示x的取值小于-3。

因此，将以上两个解合并，我们可以得出绝对值大于3的不等式的解为x > 3 或者 x < -3。

四、解绝对值小于的不等式对于绝对值小于的不等式，我们同样需要将其转化为两个不等式，并解出分别满足这两个不等式的x的取值范围。

举个例子，我们来解一个简单的绝对值小于的不等式：|x| < 2。

同样地，我们可以将该绝对值不等式转化为两个不等式：-2 < x < 2。

对于不等式 -2 < x < 2，我们可以得出x的取值范围为-2 < x < 2。

含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。

绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。

解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。

首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。

要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。

首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。

然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。

因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。

接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。

对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。

同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。

然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。

因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。

在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。

总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。

希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。