四点共圆

四点共圆(圆内接四边形)的性质：

1.圆幂定理；

2.图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理

∠A=∠C，所以所以有：即：

图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以

，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、

∠PCB都为弦切角。弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。等于它所夹的弧的

圆周角度数。

三角形角平分线定理：三角形中角的平分线将对边所分成的两部分和两邻边成比例(反之也成立)。三角形的外角平分线也有类似性质。设AD、AE 是∠A 及外角的平分线，则有AB/AC=BD/DC=BE/EC。弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；反之也成立(可用于证明切线)。

斯特沃特定理(Stewart)：

海伦公式。

梅涅劳斯定理

塞瓦定理

托勒密定理(Ptolemy)

西姆松定理(Simson)

欧拉定理 ( Euler )

费马点(Fermat ) 三角形重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 ： 1 。 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。

6

三角形垂心的性质：设△ ABC 的三条高为 AD 、 BE 、 CF ， D 、 E 、 F 为垂足，垂心为 H；

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三

角形外。2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。 3、垂心 H 关于三边的对称点，均在△ ABC 的外接圆上。 4、三角形的三个顶点、三个垂足、垂心这 7 个点可以得到 6 组四点共圆，有三组 ( 每组四个 ) 相似的直角三角形，且 AH · HD=BH · HE=CH · HF。 5、 H、 A、 B 、 C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 ( 并称这样的四点为一个垂心组 ) 。 6、△ ABC ，△ ABH ，△ BCH ，△ ACH 的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过 H 的直线交 AB、 AC 所在直线分别于 P 、 Q，则AB/AP · tanB+ AC/AQ · tanC=tanA+tanB+tanC 。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍。9、设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC ，∠ ABH= ∠ OBC ，∠ BCO= ∠ HCA 。 10 、锐角△的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2 倍。11 、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形 ( 顶点在原三角形的边上 ) 中，以垂足三角形的周长最短。 12 、西姆松定理（Simson 西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的三垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 13、设锐角△ABC 内有一点 P，那么 P 是垂心的充分必要条件是：PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三角形内心的性质：设 I 为△ ABC 的内心，连 AI 交△ ABC 外接圆于点 K，则 1 ①∠BIC=90°+2∠A；S=pr，abcr=p· AI· BI· CI

8

②三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其到内心的距离相等(即K 是△ BIC 的外心)。反之，I 在 AK 上且 KI=KB，则 I 为△ ABC 的内心。 1 ③P 为△ ABC 的内切圆与边 AB 的切点，则 AP=p-a=2(b+c-a)。

三角形外心的性质： abc ①设 O 为△ ABC 的外心，则∠BOC=2∠A 或 360° -2∠A； R=4S 。△②锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。③设H 为△ABC 的垂心，则 OH ? OA ? OB ? OC 。

面积方法所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的手段，通过适当的变换，从而导得所考虑的量与量之间的关系，最后得到结论。由于平面上的

凸多边形都可以分割成若干个三角形，因此在面积公式中，最基本的是三角形面积公式。三角形面积公式

：面积定理：1．一个图形的面积等于它的各部分面积的和；两个全等图形的面积相等。2．等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底的和相等)的面积相等。3．等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高(或底)的比。4．相似三角形的面积比等于相似比的平方。 5．四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 间夹角为α，则四边形面积 S ?

1 AC ? BD ? sin ? 。 2

6．共边 ( 比例 ) 定理：设 AC 与 BD 相交于 E ，则有 S △ BAC /S △ DAC =BE/DE 。

9

7．共角 ( 比例 ) 定理：等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；四边形对角线的夹角相等或互补，则它们的面积比等于对角线乘积的比。

S ?ADE AD ? AE S AD '? AE = ， ?AD'E = S ?ABC AB ? AC S ?ABC AB ? AC

8．燕尾定理：△ ABC ， D 、 E 、 F 为 BC 、 CA 、 AB 上的点，满足 AD 、 BE 、 CF 交于同一点 O 。则 S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD； S △ AOC ： S △ BOC =S △ AFO ： S △ BFO =AF ： BF ； S △ BOC ： S △ BOA=S △ CEO ： S △ AEO =EC ： AE 。9．下面三图的面积关系

S1：S2 =a：b； S1：S2=S4：S3； a∥b 时 S1：S3：S2：S4= a2：b2：ab：ab，S=(a+b)