函数与方程能力提升

实际问题中的方程（组）与函数题型【例1】俄罗斯世界杯足球赛期间,某商店销售一批足球纪念册,每本进价40元,规定销售单价不低于44元,且获利不高于30%,在试销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300本,销售单价每上涨1元,每天销售量减少10本,现商店决定提价销售,设每天销售量为y本,销售单价为x元.（1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时,商店每天获利2400元？（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时,商店每天的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）y=300－10(x－44),整理得：y=－10x+740,（44≤x≤52）；（2）由题意得：（x－40）（－10x+740）=2400,解得：x=50,x=64（舍）,即当每本足球纪念册的销售单价是50元时,商店每天获利2400元.（3）由题意得：w=（x－40）（－10x+740）=－10（x－57）2+2890∵－10<0,对称轴为x=57,∴当x<57时,w随x增大而增大,∵44≤x≤52,∴当x=52时,w取最大值,最大为2640元,即当每本足球纪念册的销售单价是52元时,商店每天的利润最大,最大利润是2640元.【例2】某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜,已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元,买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%,若购买以上两种牲畜共50头,并使这50头的成活率不低于97%,且要使购买的总费用最低,应如何购买？【答案】见解析.【解析】解：（1）设甲种牲畜的单价为x元,由题意得：3x+2x+3000=7500,解得：x=1100,2×1100+200=2400,即甲种牲畜的单价为1100元,乙种牲畜的单价为2400元.（2）设购买甲种牲畜m头时,总购买费用为w元,则w=1100m+2400（50－m）=－1300m+120000,由题意知：95%m+99%（50－m）≥97%×50,解得：m≤25,即0≤m≤25,∵－1300<0,∴w随m的增大而减小,当m=25时,w取最小值,即费用最低,∴购买两种牛各25头时,费用最低.【变式2-1】水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果80千克的钱,现在可买88千克．（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）【答案】见解析．【解析】解：（1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a元,则原来价格为每千克（a+2）元,由题意,得：80（a+2）＝88a,解得：a ＝20．即现在实际购进这种水果每千克20元；（2）①设y 与x 之间的函数关系式为：y ＝kx +b ,将（25,165）,（35,55）代入y ＝kx +b 得,251653555k b k b +=⎧⎨+=⎩, 解得：11440k b =-⎧⎨=⎩, 即y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣11x +440；②设这种水果的销售价格为x 元/千克时,利润为w 元,则w ＝（x ﹣20）y＝（x ﹣20）（﹣11x +440）＝﹣11（x ﹣30）2+1100,∵﹣11<0,∴当x ＝30时,w 有最大值,最大值为1100．即这种水果的销售单价定为30元时,能获得最大利润,最大利润是1100元．【例3】在江苏卫视《最强大脑》节目中,搭载百度大脑的机器人小度以3:1的总成绩,,斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格,人工智能时代已经扑面而来．某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售,很快销售一空,商家又用24000元第二次购进同款机器人,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售,要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素）,那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设该商家第一次购进机器人x 个, 由题意得：1100024000102x x+=, 解得：x =100．经检验,x =100是所列方程的解,且符合题意．答：该商家第一次购进机器人100个．（2）设每个机器人的标价是a 元．由题意得：a ﹣11000﹣24000≥×20%,解得：a ≥140．答：每个机器人的标价至少是140元．【变式3-1】由于技术更新,智能电视的功能越来越强大,价格也逐渐下降,某电器商行经营的A 款40英寸智能电视去年销售总额为5万元,今年每台销售价比去年降低400元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%．（1）今年A 款40英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该电器商行计划新进一批A 款40英寸智能电视和新款B 款40英寸智能电视共60台,且B 款40英寸智能电视的进货数量不超过A 款40英寸智能电视数量的两倍,应如何进货才能使这批智能电视获利最多？A ,B 两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表：【答案】见解析.【解析】解：设今年A 款40英寸智能电视每台售价为x 元,则去年每台售价为（x +400）元,由题意得： ()50000120%50000400x x⨯-=+, 解得：x =1600,经检验,x =1600是原方程的解,符合题意,∴今年A 款40英寸智能电视每台售价为1600元.（2）设购进A 款电视a 台,则购进B 款（60－a ）台,此时获利y 元,y =（1600-1100）a +（2000-1400）（60-a ）=-100a +36000,其中：60-a ≤2a ,0≤a ≤60,即20≤a ≤60,且a 为整数；∵-100<0,∴y 随a 的增大而减小,当a =20时,y 取最大值,即当进A 款电视20台,B 款电视40台时,获利最大.【例4】紫石中学为了给同学们提供更好的学习环境,计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园,经市场调查发现购买2棵桂花树3棵香樟树共需360元,购买3棵桂花树2棵香樟树共需340元．（1）桂花树香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况,需购买两种树苗共150棵,总费用不超过10840元,且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍,请你算算,该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案．【答案】见解析.【解析】解：（1）设桂花每棵x 元,香樟树每棵y 元,由题意得：2336032340x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得：x =60,y =80,答：桂花树每棵60元,香樟树每棵80元.（2）设桂花树购买x 棵,则香樟树购买（150－a ）棵,由题意得：()608015010840150 1.5x x x a ⎧+-≤⎨-≥⎩, 解得：58≤x ≤60,∴有三种购买方案：桂花树58棵,香樟树92棵；桂花树59棵,香樟树91棵；桂花树60棵,香樟树90棵.【变式4-1】冬季来临,某网店准备在厂家购进 A ,B 两种暖手宝共 100 个用于销售,若购买 A 种暖手宝 8 个,B 种暖手宝 3 个,需要 950 元；若购买 A 种暖手宝 5 个,B 种暖手宝 6 个,则需要 800 元．（1）购买 A ,B 两种暖手宝每个各需多少元？（2）①由于资金限制,用于购买这两种暖手宝的资金不能超过 7 650 元,设购买 A 种暖手宝 m 个,求②在①的条件下,购进A种暖手宝不能少于 50 个,则有哪几种购买方案？（3）购买后,若一个A种暖手宝运费为 5 元,一个B种暖手宝运费为 4 元, 在第（2）问的各种购买方案中,购买 100 个暖手宝,哪一种购买方案所付的运费最少？最少运费是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设A、B两种暖手宝的价格分别为x元/个、y元/个,由题意得：83950 56800x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得：x=100,y=50,即A、B两种暖手宝的价格分别为100元/个,50元/个.（2）①由题意得：100m+50（100－m）≤7650,解得：m≤53,∴m的取值范围是：0≤m≤53,且m为整数；②∵50≤m≤53,∴共有以下四种购买方案,A种50个,B种50个；A种51个,B种49个；A种52个,B种48个；A种53个,B种47个；（3）设总运费为w元,则：w=5m+4(100－m)=m+400,∵1>0,∴w随m的增大而增大,当m=50时,运费最少,最少为450元,∴当购买A种产品50个,B种产品50个时,总运费最少,最少为450元 .1.为支持国家南水北调工程建设,小王家由原来养殖户变为种植户, 经市场调查得知,种植草莓不超过20 亩时,所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1 500 m；超过20亩时,y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过 15 亩时,每亩可获得利润 1800 元；超过 15 亩时,每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式为z=－20x+2 100．（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元,直接写出P关于x的函数关系式,并写出自变量（2）如果小王家计划承包40 亩荒山种植草莓和樱桃,当种植樱桃面积（x 亩）满足0＜x ＜20时,求小王家总共获得的利润w （元）的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：()()2180001520210015x x p x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩（2）种植樱桃面积x 亩,则种植草莓面积（40－x ）亩,由题意知,①当0<x ≤15时,w =1800x +1380(40－x )+2400=420x +57600,∵420>0,∴w 随x 的增大而增大,当x =15时,w 最大,最大值为63900,②当15<x ≤20时,w =－20x 2+2100x +1380(40－x )+2400=－20（x －18）2+64080,∵－20<0,∴当x =18时,w 取最大值,最大值为64080,∵64080>63900,∴当x =18时,小王家总共获得的利润w 取最大值,最大值为64080元.2.某游乐园的门票销售分两类：一类个人门票,分为成人票,儿童票；一类为团体门票（一次购买门票 10 张及以上）,每张门票在成人票价格基础上打 6 折．已知一个成人带两个儿童购门票需 80 元；两个成人带一个儿童购门票需 100 元．（1）每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？（2）光明小学 4 名老师带领 x 名儿童到该游乐园,设购买门票需 y 元．①若每人分别购票,求 y 与 x 之间的函数关系式；②若购买团体票,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围；③请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案．【答案】见解析.【解析】解：设成人票每张a元,儿童票每张b元,由题意得：a+2b=80,2a+b=100,解得：a=40,b=20,即成人票每张40元,儿童票每张20元；（2）①y=4×40+20x=160+20x②y=40×0.6（x+4）=24x+96,由x+4≥10,得x≥6,且x为整数.③（i）当160+20x>24x+96,即x<16,∴当6≤x<16且x为整数时,应全部购买团体票较为优惠；（ii）当160+20x=24x+96,即x=16,∴当x=16时,购买团体票或分别购买均可以；（iii）当160+20x<24x+96,即x>16,∴当x>16且x为整数时,应分别购买较为优惠.3..近几年,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也在逐年增加,某商场从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 80 台,其中B型空气净化器的进货量不多于A 型空气净化器的 2 倍,为使该公司销售完这 80 台空气净化器后的总利润最大,请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为 200 m3/小时,B型空气净化器的净化能力为 300 m3/小时,某长方体室内活动场地的总面积为 200 m2,室内墙高 3 m,该场地负责人计划购买 5 台空气净化器每天花费30 分钟将室内空气净化一新,若不考虑空气对流等因素,至多要购买A型空气净化器多少台？【答案】见解析.【解析】解：(1)设每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是x元,y元,由题意得：5395034900x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得：x=100,y=150,∴每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是100元,150元. （2）设购买A型m台,则购进B型（80－x）台,利此时润为w元,由题意知：80－m≤2m,0≤m≤80,m为整数可得：803≤m≤80,m为整数,W=100m+150（80－m）=－50m+12000,∵－50<0,∴w随m的增大而减小,当m=27时,w取最大值,80－27=53,即购进A型27台,B型53台时,售完后获利最大. （3）设购买A型a台,则够买B型（5－a）台,∴12×200a+12×300（5－a）≥200×3,解得：a≤3,∵0≤a≤5,∴0≤a≤3,且a为整数,即至多要购买A型空气净化器3台.4.某水果店购买一批时令水果,在20天内销售完毕,店主将本次此销售数据绘制成函数图象,如图①,日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图②,销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式．（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？【答案】见解析．【解析】解：（1）分两种情况：①当0≤x≤15时,设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x,∵直线y=k1x过点（15,45）,∴15k1=45,解得k1=3,∴y=3x（0≤x≤15）；②当15＜x≤20时,设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b, ∵点（15,45）,（20,0）在y=k2x+b的图象上,∴15k2+b=45, 20k2+b=0解得：k2=－9,b=180∴y=﹣9x+180（15＜x≤20）；∴y与x之间的函数关系式为：y=3015 91801520x xx x≤≤⎧⎨-+<≤⎩．①当0≤x＜10时,p=25,当10≤x≤20时,设销售单价p与销售时间x之间的函数解析式为：p=mx+n, ∵点（10,25）,（20,15）在p=mx+n的图象上,∴10m+n=25,20m+n=15,解得：m=－1,n=35,∴p=﹣x+35（10≤x≤20）,∴p=25010351020xx x≤<⎧⎨-+≤≤⎩；（2）若日销售量不低于36千克,即y≥36．当0≤x≤15时,y=3x,3x≥36,解得：x≥12；当15＜x≤20时,y=﹣9x+180,﹣9x+180≥36,解得：x≤16,∴12≤x≤16,∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；∵p=﹣x+35（10≤x≤20）,k=﹣1＜0,∴p随x的增大而减小,∴当12≤x≤16时,x取12时,p有最大值,此时p=﹣12+35=23．∴此次销售过程中“最佳销售期”共有5天,在此期间销售金额最高是第12天．5..某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器,购买2个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元；购买1个A品牌和2个B品牌的计算器共需124元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕,该商店举行促销活动,具体办法如下：购买A品牌计算器按原价的九折销售,购买B 品牌计算器超出10个以上超出的部分按原价的八折销售．①设购买x个A品牌的计算器需要y1元,购买x个B品牌的计算器需要y2元,分别求出y1、y2关于x的函数关系式；②小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器,若购买计算器的数量超过10个,问购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设A品牌计算器的单价为m元,B品牌计算器的单价为n元,由题意得：2m+n=122,m+2n=124,解得：m=40,n=42,即A品牌计算器的单价为40元,B品牌计算器的单价为42元．（2）①由题意：y1=0.9×40x=36x,当0＜x≤10时,y2=42x；当x＞10时,y2=42×10+42（x﹣10）×0.8=33.6x+84．∴y2=42010 33.68410x xx x≤≤⎧⎨+>⎩．②当购买数量超过10个时,y2=33.6x+84．（i）当y1＜y2时,36x＜33.6x+84,即x＜35,当10＜x＜35时,购买A品牌的计算器更合算；（ii）当y1=y2时,36x=33.6x+84,即x=35,∴当x=35时,购买两种品牌的计算器花费一样多；（iii）当y1＞y2时,36x＞33.6x+84,即x＞35．∴当x>35时,购买B品牌的计算器更合算．6..某班为参加学校的大课间活动比赛,准备购进一批跳绳,已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元,1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根,并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍,请设计书最省钱的购买方案,并说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元,一根B型跳绳的售价是y元,根据题意,得：2x+y=56,x+2y=82,解得：x=10,y=36,即一根A型跳绳售价是10元,一根B型跳绳的售价是36元；（2）由m≤3（50﹣m）,得：m≤37.5,∴0≤m≤37,且m为整数,设购进A型跳绳m根,总费用为W元,根据题意,得：W=10m+36（50﹣m）=﹣26m+1800,∵﹣26＜0,∴W随m的增大而减小,∴当m=37时,W最小=838,即当购买A型跳绳37根,B型跳绳13根时,最省钱．7..为响应市政府“创建国家森林城市”的号召,某小区计划购进A、B两种树苗共17棵,已知A种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元．（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元,问购进A、B两种树苗各多少棵？（2）若购进A种树苗a棵,所需费用为W,求W与x的函数关系式；（3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用．【答案】见解析.【解析】解：（1）设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗（17﹣x）棵,由题意得：80x+60（17﹣x）＝1220,解得：x＝10,即购进A种树苗10棵,B种树苗7棵；（2）W与a的函数关系式：W＝80a+60（17﹣a）＝20a+1020；（3）由题意得：17－a<a,即a>8.5,∴8.5<a≤17,且a为整数,由（2）知,W＝20a+1020,W随a的增大而增大,∴a=9时,即购买9棵A种树苗,8棵B种树苗时,费用最少,W＝80×9+60×8＝1200,即购买9棵A种树苗,8棵B种树苗时,费用最少,需要1200元．8..孝感市在创建国家级园林城市中,绿化档次不断提升．某校计划购进A,B两种树木共100棵进行校园绿化升级,经市场调查：购买A种树木2棵,B种树木5棵,共需600元；购买A种树木3棵,B种树木1棵,共需380元．（1）求A种,B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要,购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素）,实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）设A种树每棵x元,B种树每棵y元,依题意得：25600 3380x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得：10080xy=⎧⎨=⎩,答：A种树每棵100元,B种树每棵80元；（2）设购买A种树木为a棵,则购买B种树木为（100﹣a）棵,有a≥3（100﹣a）,解得：a≥75．设实际花费金额是y元,则：y＝0.9[100a+80（100﹣a）]＝18a+7200．∵18＞0,∴y随a的增大而增大,∴当a＝75时,y取最小值,即当a＝75时,y最小值＝18×75+7200＝8550（元）．答：当购买A种树木75棵,B种树木25棵时,所需费用最少,最少为8550元．9..某校计划购进甲、乙两种规格的书架,经市场调查发现有线上和线下两种购买方式,具体情况如下表：（1）如果在线下购买甲、乙两种书架共30个,花费8 280元,求甲、乙两种书架各购买了多少个？（2）如果在线上购买甲、乙两种书架共30个,且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍,请求出花费最少的购买方案及花费．【答案】见解析.【解析】解：（1）设线下购买甲种书架x个,乙种书架y个,由题意得：30 2403008280x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得：1218 xy=⎧⎨=⎩,即线下购买甲种书架12个,乙种书架18个.（2）设购买甲种书架a个,则购买乙种书架（30－a）个,总花费为w元, ∵30－a≥3a,即a≤7.5（其中a为正整数）,W=（210+20）a+（250+30）（30－a）=-50a+8400,∵-50<0,∴w随a的增大而减小,当a=7时,w最小,最小值为8050元,即当购买7个甲种书架,23个乙种书架时,总费用最低,最低为8050元.10..某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系,部分数据如下表：售价x（元/千克）50 60 70销售量y（千克）100 80 60（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元）,求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少？【答案】见解析．【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b,由题意得：50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得：2200kb=-⎧⎨=⎩,y与x之间的函数表达式是：y＝﹣2x+200；（2）由题意得,W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2（x﹣70）2+1800,（3）∵W＝﹣2（x﹣70）2+1800,40≤x≤80,∵﹣2<0,∴当40≤x≤70时,W随x的增大而增大,当70≤x≤80时,W随x的增大而减小, 且当x＝70时,W取得最大值,此时W＝1800.11..小王是“新星厂”的一名工人,请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00,下午14：00﹣18：00,每月工作25天； 信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表： 生产甲产品数（件） 生产乙产品数（件） 所用时间（分钟） 10 10 350 3020850信息三：按件计酬,每生产一件甲种产品得1.50元,每生产一件乙种产品得2.80元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1900元,请根据以上信息,解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件,则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【答案】见解析．【解析】解：（1）设生产一件甲种产品需x 分钟,生产一件乙种产品需y 分钟． 由题意得：10103503020850x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得：x =15,y =20,即生产一件甲产品需要15分钟,生产一件乙产品需要20分钟．（2）设生产甲种产品共用x 分钟,则生产乙种产品用（25×8×60﹣x ）=（12000－x ）分钟,收入为w 元,则生产甲种产品15x 件,生产乙种产品1200020x-件． ∴w ＝1.5×15x +2.8×1200020x-＝﹣0.04x +1680, ∵15x≥60,即：x ≥900, w ＝﹣0.04x +1680中,∵﹣0.04<0,∴w 随x 的增大而减小,∴当x ＝900时,w 取得最大值,最大值为：1644元, 则小王该月收入最多是1644+1900＝3544元, 此时生产甲60件,乙555件,∴小王该月最多能得3544元,此时生产甲、乙两种产品分别60件,555件．12..“京东电器”准备购进A、B两种品牌台灯,其中A每盏进价比B每盏进价贵30元,A售价120元,B 售价80元已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同．（1）求A、B的进价；（2）超市打算购进A、B台灯共100盏,要求A、B的总利润不得少于3400元,不得多于3550元,问有多少种进货方案？（3）在（2）的条件下,该超市决定对A台灯进行降价促销,A台灯每盏降价m（8＜m＜15）,B的售价不变,超市如何进货获利最大？【答案】见解析．【解析】解：（1）设A品牌台灯进价为x元/盏,则B品牌台灯进价为（x﹣30）元/盏,由题意得：104065030x x=-,解得：x=80,经检验x＝80是原分式方程的解,80﹣30＝50（元/盏）,答：A、B两种品牌台灯的进价分别是 80 元/盏,50 元/盏（2）设超市购进A品牌台灯a盏,则购进B品牌台灯有（100﹣a）盏, 根据题意得：3400≤（120﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）≤3550解得：40≤a≤55．∵a为整数,55－40+1=16,∴该超市有 16 种进货方案（3）设超市销售台灯所获总利润为w元,w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）＝（10﹣m）a+3000∵8＜m＜15①当 8＜m＜10 时,即 10﹣m＞0,w随a的增大而增大,当a＝55 时,所获总利润w最大,此时进货方案为：A品牌台灯 55 盏、B品牌台灯 45 盏；②当m＝10 时,w＝3000；当A品牌台灯数量满足 40≤a≤55时,利润均为 3000元；③当 10＜m＜15 时,即 10﹣m＜0,w随a的增大而减小,当a＝40 时,所获总利润w最大,此时进货方案为：A品牌台灯 40 盏、B品牌台灯 60 盏.13..为落实“精准扶贫”,某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地,准备种植A,B两种蔬菜,若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜,共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜,共需投入34万元．（1）种植A,B两种蔬菜,每亩各需投入多少万元？（2）经测算,种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元,种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元,村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜,总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩,求w关于m的函数关系式；（3）在（2）的条件下,若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍,请你设计出总获利最大的种植方案,并求出最大总获利．【答案】见解析．【解析】解：（1）设种植A,B两种蔬菜,每亩各需分别投入x万元,y万元,由题意得：203036 302034 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：0.60.8xy=⎧⎨=⎩,即种植A,B两种蔬菜,每亩各需分别投入0.6万元,0.8万元. （2）由题意得：w＝0.8m+1.2×1000.60.8m-＝﹣0.1m+150 ∵1000.6m-≥0,∴0≤m≤5003,（3）∵m≥2×1000.60.8m-解得：m≥100在w＝﹣0.1m+150中,∵﹣0.1＜0,∴w随m的增大而减小,∴当m＝100时,w取最大值为：140万元,∴1000.60.8m-＝50即当种A蔬菜100亩,B种蔬菜50亩时,获得最大利润为140万元．14..2018年4月8日﹣11日,博鳌亚洲论坛2018年年会在海南省博鳌镇召开．本届博鳌亚洲论坛的主题为“开放创新的亚洲,繁荣发展的世界”．围绕这一主题,年会设置了“全球化与一带一路”“开放的亚洲”“创新”“改革再出发”四大板块,展开60多场正式讨论．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区,已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件？【答案】见解析.【解析】解：（1）设甲种、乙种商品的销售单价分别是x元,y元,由题意,得：23 321500x yx y=⎧⎨-=⎩解得：x=900,y=600,．答：甲种商品的销售单价是900元,乙种商品的单价为600元（2）设销售甲种商品a万件,则销售乙种商品（8﹣a）万件,由题意,得：900a+600（8﹣a）≥5400解得：a≥2,即至少销售甲种商品2万件．15..某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B 型手机获得的利润分别为3000元和2000元．（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元．①求y关于n的函数关系式；②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大？（3）实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元,且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及（2）中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．【答案】见解析．【解析】解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元,则每部B型手机的销售利润为（x－50）元,根据题意,得：3000200050x x=-,解得：x=150,经检验：x=50是原方程的解,150－50=100,答：每部A型手机的销售利润为150元,每部B型手机的销售利润为100元；（2）①设购进B型手机n部,则购进A型手机（110﹣n）部,则y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500,∵110﹣n≤2n,∴3623≤n≤110且n为整数,∴y关于n的函数关系式为y＝﹣50n+16500 （3623≤n≤110且n为整数）；②∵﹣50＜0,∴y随n的增大而减小,∴当n＝37时,y取得最大值,最大值为14650元,答：购进A型手机73部、B型手机37部时,销售总利润最大；（3）y＝150（110﹣n）+（100+m）n＝（m﹣50）n+16500,其中,3623≤n≤80,且n为整数）,①当30＜m＜50时,y随n的增大而减小,当n＝37时,y取得最大值,即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；②当m＝50时,m﹣50＝0,y＝16500,n取3623≤n≤80的整数时,获得最大利润；③当50＜m＜100时,y随n的增大而增大, ∴当n＝80时,y取得最大值,即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．16..某学校是乒乓球体育传统项目学校,为进一步推动该项目的开展,学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副,并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球,乒乓球的单价为2元/个,若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副,且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍,请你给出一种费用最少的方案,并求出该方案所需费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）设直拍球拍每副x元,横拍球每副y元,由题意得,201520359000 10201052051600x yy x++⨯=⎧⎨+⨯=+⨯+⎩,解得：220260xy=⎧⎨=⎩,答：直拍球拍每副220元,横拍球每副260元；（2）设购买直拍球拍m副,则购买横拍球（40﹣m）副,所需的费用为w元,由题意得：m≤3（40﹣m）,即m≤30,则w=（220+20）m+（260+20）（40﹣m）=﹣40m+11200,∵﹣40＜0,∴w随m的增大而减小,∴当m=30时,w取最小值,最小值为10000（元）．答：购买直拍球拍30副,则购买横拍球10副时,费用最少为10000元．17..某学校计划购买排球、篮球,已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元．（1）求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60个,并且篮球的数量不超过排球数量的2倍．求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？【答案】见解析．。

函数方程解题的关键技巧与方法函数方程是数学中常见的一类问题，它通过给定的条件和方程来寻找函数的解。

解决函数方程的关键技巧和方法有很多，本文将介绍其中几种常用的方法。

一、代入法代入法是解决函数方程的常用方法之一。

它的基本思路是将方程中的未知函数代入，然后通过简化方程，找到函数的解。

例如，考虑以下的函数方程：f(x) - 2f(2-x) = 1我们可以先令 x = 2，这样就可以得到：f(2) - 2f(0) = 1然后，代入其他的数值，比如 x = 0，我们得到：f(0) - 2f(2) = 1通过这样的代入和化简的过程，我们可以得到一个方程组，从中解出 f(x) 的值。

二、函数复合法函数复合法是解决函数方程的另一种常见方法。

它的基本思路是通过构造一个新函数，将原方程转化为一个更简单的形式，从而求得函数的解。

举个例子，考虑以下的函数方程：f(x + 2) + f(x - 2) = 2f(x)我们可以尝试定义一个新函数 g(x) = f(x + 2)，这样原方程就变成了：g(x) + g(x - 4) = 2g(x - 2)现在我们可以利用这个新方程来简化原方程，并通过求解 g(x) 来找到 f(x) 的解。

三、递推法递推法在解决函数方程中也是十分有用的方法。

它的基本思路是通过分析给定的条件和方程，构造递推式，从而找到函数的解。

例如，考虑以下的函数方程：f(x + 2) = 3f(x + 1) - 2f(x)我们可以通过给定的条件 f(0) = 1 和 f(1) = 2，构造递推式：f(2) = 3f(1) - 2f(0) = 4f(3) = 3f(2) - 2f(1) = 8f(4) = 3f(3) - 2f(2) = 16通过递推，我们可以得到 f(x) 的解为 2^x。

四、特殊点法特殊点法是解决函数方程的一种常见方法，它的基本思路是通过找到特殊点，从而对函数进行分析，进而求得函数的解。

例如，考虑以下的函数方程：f(x) = f(1-x)我们注意到当 x = 1/2 时，有 f(1/2) = f(1 - 1/2) = f(1/2)，也就是说函数在 x = 1/2 这个特殊点对称。

专题4.2 一次函数与正比例函数（能力提升）（原卷版）一、选择题。

1．（2022春•南关区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．k的值不确定2．（2022春•勃利县期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝3．（2021春•南通期中）如图，一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）的函数关系式为（0≤x＜5）（）A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+104．（2021春•防城区月考）在①y＝﹣8x；②y＝﹣；③y＝+1；④y＝﹣8x2+6；⑤y＝﹣0.5x﹣1中，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2022•市南区校级二模）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（）A．（2，0）B．（0，3）C．（4，0）D．（2，5）6．（2022春•长葛市期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣207．（2021•蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝1D．x＝﹣18．（2021秋•霍邱县期中）在下列函数关系中：①y＝kx，②y＝x，③y＝x2﹣（x﹣1）x，④y＝x2+1，⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（）A．3个B．2个C．4个D．5个9．（2021春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（）A．B．y＝﹣2xC．y＝x2+2D．y＝mx+n（m，n是常数）10．（2021秋•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（1，2），C（5，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为（）A．y＝﹣2x+6B．y＝﹣2x+8C．y＝2x+8D．y＝﹣x+6二、填空题。

第8讲 函数与方程[基础达标]1．(2019·浙江省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2019·温州十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减． 因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14 B ．18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意； 当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意， 当k >0，x ≥0时， 令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2－x ＝0， 即x (kx 2＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1， 综上所述k >1.7．(2019·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1， 所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1， 方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1.答案：a<－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. [能力提升]1．(2019·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e －1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2019·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x2，可得x 2－x ＋a －2＝0， 再由Δ＝0解得a ＝94.数形结合可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，944．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：55．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)法一：因为g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 所以m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e，即m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 所以其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．6．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2，4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（b －2）x ，x ≥2－x 2＋（b ＋2）x ，x <2，因为f (x )连续，所以f (x )在R 上递增等价于这两段函数分别递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤22＋b 2≥2，解得，b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a ＋2）x ，x ≥a －x 2＋（a －2）x ，x <a ，tf (a )＝－2ta ，当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a 24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1，当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0<t <1，综上所述，0<t <1.。