微积分3期末考题解答

A (1, 0 , 0 ) B ( 0 ,1, 0 ) C ( 0 , 0 ,1) A (1, 0 , 0 ) ．空间有一个力场
F ( x, y , z ) yi 2 zj 6 xk
．
求单位质点 P 在 L 上某点出发，绕 L 运动一周时， F 对于质点所做的功． 解：设 S 上侧为正．由斯托克斯公式, 单位质点 P 在 L 上某点出发，绕 L 运动一周时， F 对于质 点所做的功等于
2 x x 2 x x 2 x 2 OA [ y e 2 y ] d x [ 2 ye 4 x ] d y 0 ( x e 2 xe 6 x ) d x ( x e 3 x ) 2 2 0
4e
2
12
..10 分
15 ．
(8 分 ) 设 L 为 平 面 S : x y z 1 在 第 一 卦 限 中 的 部 分 的 边 界 ， 方 向 是
3
x 意一张光滑的闭合曲面 S ，都有 f ( x ) d y d z yf ( x ) d z d x 2 ze d x d y 0 ，求 f ( x ) ． S
解：由题意，在任意一个由光滑简单封闭曲面围成的区域 上，由高斯公式有
x f ( x ) d y d z yf ( x ) d z d x 2 ze d x d y
( x y )d x ( y x )d y x y
2 2

L
0
2

2
(cos t sin t ) sin t
i x y j y 2z k z 6x i j k 3


L ( y i 2 z j 6 x k ) d l S

dS
…….3 分

5 3 5 3
S d S .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 6 分 .
1 x
2
y ) , 0 z 1 ．在 S 任意点一点 ( x , y , z ) 的质量密度为
y
2
．求 S 的质心．
解. 求质量： M S d m S 1 x y d S
2 2
．．．．．．．．．．．．．．．．．１分 ．．．．．．．．．．．．．．．．

x
2
dx

2
2 x
1 x(2 x)
dx
0

2
1 x
dx 2
x
2 0
2
2
0
二、解答题
12．(８分) 是锥面 x y
2 2
z 与平面 z 2 围成的空间区域．计算
2


(2 x 3 y z )d xdydz.
解. 解法１：先一后二： 由对称性有

2

y
2 0
2
1 x
1
2
y
2
1 x
2
y dxdy.
2
．．．．．． ．．．．．．３分
．
d 0
2
(1 r ) r d r 4
2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５分
静力矩 有对称性知道 J x J y 0 ．
2 0
d 0
r (1 r ) r d r Jz M 7 12
2
2
7 3
．
．．．．９分 ．．． ．．．．１０分 ．．．
质心的 z 坐标 z
．
有同学理解成三重积分。如果质量和静力矩写到下面的结果：
x 0, y 0, z Jz M
.
1
2
M 0
2
d 0 d 0
2
d r d r z d z r ( 4 r )d r 0 r 0
2
2
2
2
(2r

1 4
r )
4
2 0
4 .
………………………８分
解法２：先二后一：


( 2 x 3 y 2 z ) d x d y d z

zd xd yd z
．．．．．． ． ．．．．． ．
D
2 x x L [ y e 2 y ] d x [ 2 ye 4 x ] d y

[ y e 2 y ] d x [ 2 xe
2 x
x
4 x ] d y 2 A ......... 7 分
OA
对于后一个积分，取 x 为参数． y x ， 0 x 2 ．
J z z d m z 1 x S S
2
．．．． ．．．．６分
2
y dS
．．．．７分 ．．． ．．．．．．．． ．．．．．．．．８分

1 2
x
2
2 2 2 2 2 2 ( x y ) 1 x y 1 x y d x d y y
2
2
2

1 2

2 2
y (t ) t
t
0
。
7．设空间光滑曲面 S 的方程为 z f ( x , y ) ， x y 2 ，上侧为正．其中函数 f ( x , y ) 有连续 的偏导数．则 ( x y ) d x d y 2 。
2 2 S 2 2 解： ( x y ) d x d y 0 d 0 r 3 d r 2 . S
f c 1 cos x c 2 sin x e
x
．
．． ．．１０分
17． (12 分) ① 设 是任意一个正数， L 是圆周 x y (逆时针方向).计算积分
2 2 2

② ③
( x y )d x ( y x )d y x y
2 2
L
如果将 L 换成不经过原点但环绕原点的光滑、 简单的闭合曲线(逆时针方向)． 计算上述积分. 向量场
2
2
8．设 {( x , y , z ) |
x y
2
2
z

4
1 x y } ，则三重积分
2 2

f ( x , y , z ) d x d y d z 可以化成
球坐标系下的累次积分 0 d 0 d 0 f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin d .

( 2 x 3 y z ) d x d y d z zdxdydz
x
2

zd xdydz
．．．．．．． ．．．．．．
2
２分

d x d y
y
2
2 x
2
4
2
y
2
z d z r d r d z d z …．．………………５分 ． r
r2
0
；如果 S 的面积等于 A ，则
S
dy dz x


dz dx y

dx dy z

3 2
S
.
i j k 解： v x y z
,n
1 2
( x, y, z)
.v n

3 2
.原积分 S
x
3 2
dS
3 2
S
.
4．常微分方程 y 2 y 5 y 0 的通解为 y e ( c1 cos 2 x c 2 sin 2 x ) 。 5．设常微分方程 y cos x y sin x y sin 2 x 有三个线性无关解 y 1 ( x ) ， y 2 ( x ) 和 y 3 ( x ) ．则 微分方程 y cos x y sin x y 0 的通解是 C 1 ( y 1 ( x ) y 2 ( x )) C 2 ( y 1 ( x ) y 3 ( x )) . 6．假设函数 y (t ) 满足方程 y y y 1 cos t ．则 lim
3d xd y 5 2 .......... .......... .......... .......... .......... ......... 8 分
0 x 1 0 y 1 x
16．(10 分)设 f ( x ) 在 ( , ) 上有二阶连续导数且 f ( 0 ) f ' ( 0 ) 1 . 又设对于空间 R 中的任


( f ' '( x ) f ( x ) 2e )d xd yd z 0
x
．．．．４分 ．．．
所以由 的任意性有
f ' ' ( x) f ( x) 2e
x
0
．．．．．．７分 ．．．．．
即 f ( x ) 满足常微分方程 f ' ' ( x ) f ( x ) 2 e x ． 齐次方程通解： f c1 cos x c 2 sin x ，非齐次方程特解 y * e x ．一般表达式
2
rdr 1 2 r
1
2
1 r dz ，
2
2
Jz 0
2
2
rdr 1 2 z 1 r dz r
则可以得 8 分。其后视具体情形而定. 1４．(10 分)如图， L 是有向光滑曲线，起点为原点 O ，终点为 A ( 2 , 2 ) ．已知 L 与线段 OA 围 成的区域 D 的面积等于 A ． f (t ) 有连续导数．计算曲线积分