命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案

谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。

（1）小王学过英语和法语。

（2）2大于3仅当2大于4。

（3）3不是偶数。

（4）2或3是质数。

（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。

解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。

（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。

谓词逻辑复习题答案
1. 谓词逻辑中的谓词是用来表示什么？
答案：谓词逻辑中的谓词是用来表示一个或多个对象之间关系的符号。

2. 什么是量词？
答案：量词是用来表示某个属性或关系在一定范围内的普遍性或存在
性的逻辑符号。

3. 存在量词和全称量词的区别是什么？
答案：存在量词表示在某个范围内至少存在一个对象满足某种属性或
关系，而全称量词表示在某个范围内的所有对象都满足某种属性或关系。

4. 谓词逻辑中的等价关系有哪些？
答案：谓词逻辑中的等价关系包括逻辑等价、逻辑蕴含和逻辑逆否。

5. 如何使用谓词逻辑表达“所有学生都爱学习”？
答案：可以使用全称量词表达为：∀x(S(x) → L(x))，其中S(x)表示
x是学生，L(x)表示x爱学习。

6. 如何使用谓词逻辑表达“存在一个学生不爱学习”？
答案：可以使用存在量词表达为：∃x(S(x) ∧ ¬L(x))，其中S(x)表示x是学生，L(x)表示x爱学习，¬L(x)表示x不爱学习。

7. 谓词逻辑中的合取、析取和否定如何表示？
答案：合取用符号∧表示，析取用符号∨表示，否定用符号¬表示。

8. 谓词逻辑中的蕴含和等价如何表示？
答案：蕴含用符号→表示，等价用符号↔表示。

9. 谓词逻辑中的量词可以嵌套使用吗？
答案：可以，量词可以嵌套使用，但需要注意量词的作用域。

10. 如何使用谓词逻辑表达“每个学生都有一个朋友”？
答案：可以使用全称量词和存在量词嵌套表达为：∀x(S(x) →
∃y(F(x, y) ∧ P(y)))，其中S(x)表示x是学生，F(x, y)表示x和y是朋友，P(y)表示y是人。

命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。

2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),(则命题的逻辑谓词公式yL>xxy为。

3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束式x→)(xxQ为。

4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。

5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。

6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。

7．公式P∧)()(的主合取式为∨RSRP⌝∨∧。

8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀→∃在I下真值为xP)(xx。

9. P：你努力，Q：你失败。

“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。

10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值x∃yP为。

11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。

则∧wff∧R∨→))∧的真值∨SP))P)((((QR(S为。

12. R⌝))((的主合取式∧RQ∨Pwff→为。

13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。

则谓词)))xyOPy∀的自然语言是→∃wff∧x()(N(,y((x)。

14.谓词)),,(xyzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃y),(,))y(z(uQx(u式为。

二、选择1、下列语句是命题的有（）。

A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。

2、下列各命题中真值为真的命题有（）。

A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、QP⌝∨Q⌝；P∨∧P⇔；B、Q(QP⇒；C、)P∨)(D、)⌝。

谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。

（1）小王学过英语和法语。

（2）2大于3仅当2大于4。

（3）3不是偶数。

（4）2或3是质数。

（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。

解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。

（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。

命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目1、若P, Q,为二命题，P Q真值为0当且仅当 ____________________________ 。

2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x) : x为实数，L(x,y):x y则命题的逻辑谓词公式为_________ 3、谓词合式公式xP(x) xQ(x)的前束式为。

4、将量词辖域中出现的_______________和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规贝叽5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D, A(x)关于y是自由的，则 ____________________________________被称为存在量词消去规则，记为ESo6 •设P, Q的真值为0，R, S的真值为1, 则(P (Q (R P))) (R S) 的真值________________________________________ O7 •公式(P R)(S R) P的主合取式为&若解释I的论域D仅包含一个元素，则xP(x) xP(x) 在I下真值为9. P :你努力，Q:你失败。

“除非你努力，否则你将失败”的翻译为______________________ ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式x yP(y,x)真值为__________________________ 。

11. P，Q真值为0 ; R，S真值为1。

则wff (P (R S)) ((P Q) (R S)) 的真值为___________________________________ 。

12. w ff ((p Q) R) R的主合取式为____________________________________ _ 。

13. 设P (x): x是素数，E(x) : x是偶数，O(x) : x是奇数N (x,y) : x可以整数y。

1. 将下列命题用谓词符号化。

4) 2 或 3 是质数。

5)除非李键是东北人，否则他一定怕冷。

解：(1) 令 P( x) ：x 学过英语， Q(x) ：x 学过法语， c ：小王，命题符号化为 P(c) Q(c) (2) 令P(x,y)：x 大于 y, 命题符号化为 P(2,4) P(2,3) (3) 令 P(x)：x 是偶数，命题符号化为 P(3)(4) 令 P(x)：x 是质数，命题符号化为 P(2) P(3)(5) 令 P(x)：x 是北方人； Q(x)：x 怕冷； c ：李键；命题符号化为 Q(c) P(x) 2. 设个体域 D {a ，b ，c} ，消去下列各式的量词。

(1)x y(P(x) Q(y)) (2) x y(P(x) Q(y))(3) xP(x)yQ(y)(4)x(P(x ，y) yQ(y))解：(1) 中 A(x) y(P(x) Q( y)) ，显然 A(x)对y 是自由的，故可使用 UE 规则，得到 A(y) y(P(y) Q(y)) ，因此 x y(P(x) Q(y)) y(P(y) Q( y)) ，再用 ES 规则， y( P( y) Q(y)) P(z) Q(z)，z D ，所以 x y(P(x)Q(y)) P(z) Q(z) (2)中 A(x) y(P(x) Q( y)) ，它对 y 不是自由的，故不能用 UI 规则，然而，对 A( x)中约束变元 y 改名z ，得到 z(P(x) Q( z)) ，这时用 UI 规则，可得：x y(P(x) Q(y))x z(P(x) Q(z)) z(P(x) Q(z))3) 略 4) 略3. 设谓词 P(x ，y)表示“x 等于 y ”，个体变元 x 和y 的个体域都是 D {1，2，3} 。

求下列各式的真值。

(1) xP( x ，3) (2) yP(1，y) (3) x yP(x ，y) (4)x yP( x ，y)(5)x yP(x ，y)(6) y xP(x ，y)解：(2) 当 x 3时可使式子成立，所以为 Ture 。

命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。

2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),(则命题的逻辑谓词公式yL>xxy为。

3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束范式x→)(xxQ为。

4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。

5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。

6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。

7．公式P∧)()(的主合取范式为∨RSRP⌝∨∧。

8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀→∃在I下真值为xP)(xx。

9. P：你努力，Q：你失败。

“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。

10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值x∃yP为。

11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。

则∧wff∧R∨→))∧的真值∨SP))P)((((QR(S为。

12. R⌝))((的主合取范式∧RQ∨Pwff→为。

13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。

则谓词)))xyOPy∀的自然语言是→∃wff∧x()(N(,y((x)。

14.谓词)),,(xyzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃y),(,))y(z(uQx(u范式为。

二、选择1、下列语句是命题的有（）。

A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。

2、下列各命题中真值为真的命题有（）。

A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、QP⌝∨Q⌝；P∨∧P⇔；B、Q(QP⇒；C、)P∨)(D、)⌝。

1.某地发生一起刑事案件，经过公安人员的努力侦破，作案嫌疑人锁定在A、E、C三人中，并且摸清了以下情况：①只有0 1号案件成功告破，才能确认A、B、C三人都是作案人。

②目前，0 1号案件还是一起悬案。

③如果A不是作案人，那么A的供词是真的，但A说自己与B都不是作案人。

④如果B不是作案人，那么B的供词也是真的，但B说自己与C是好朋友。

⑤现已查明C根本不认识B。

根据上述线索，问：A、B、C三人中谁是作案人？解：令p： 0 1号案件成功告破；q、r、s分别表示A、E、C作案；t： E与C是好朋友。

据题意有：1.⑴n (qArAs)P2.{2}-1 p P3.⑴"1 qfqAn r)P4.{4}n Lt P5.{5}n t P6.{4.5}r T4.5否定后件7.{1.2}n (qArAs)T1.2肯定前件&{1.2}"1 qVn rVq s T7德摩根9.{1.2.3}q T3.6否定后件10.{123.4.5}qAr P6.9组合式答：AB作案，至于C尚待侦查。

2.综合分析题（要求写出推导过程）：某班有学生61人，卞面有三句话：①该班有些学生会使用计算机。

②该班有些学生不会使用计算机。

③该班班长不会使用计算机。

已知上述三句话中，只有一句话是真的，试问：哪一句话是真话？该班有多少学生会使用计算机？解：①②分别为I命题和O命题，二者是下反对关系，必有一真，或许都真；但据题设只有一句真话，可知③为假，真实情况是班长会使用计算机。

既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的，而第二句话就是假的。

O命题假，根据矛盾关系可知，A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真，所以，全班61个学生都会计算机。

3.下面有三句话：①如果甲是篮球队员，则乙就是足球队员。

②如呆乙是足球队员，则甲就是篮球队员。

③甲不是篮球队员。

已知上述三句话中只有一句话是真话，问：甲是不是篮球队员？乙是不是足球队员？哪一句话是真话？（要求写出推导过程）解：令p表示“甲是篮球队员”，q表示''乙是足球队员”，再令③即5 p”真，据题设有:①{1} 1(p~*q)②{2} 1(q~p)③{3} 1 p④{1} pAn q⑤{1}P pppT①等值关系T④合取分解T ③©合取组合 T 归谬③⑥ T ②等值关系 T ⑧合取分解 T ⑦©合取组合 归谬②®一三两句为假。

谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。

（1）小王学过英语和法语。

（2）2大于3仅当2大于4。

（3）3不是偶数。

（4）2或3是质数。

（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。

解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。

（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀α（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀α （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。

大学形式逻辑题库及答案形式逻辑是研究推理形式有效性的学科，它不关心推理内容的真实性，只关注推理结构的正确性。

以下是一些大学形式逻辑的题目及答案，供学习和参考。

# 题目1：命题逻辑题目：分析下列命题的真值表，并判断其是否为重言式。

- P：今天是晴天。

- Q：我带了伞。

命题形式：(P ∨ ¬P) ∧ (Q ∨ ¬Q)答案：该命题是一个重言式。

无论P和Q的真值如何，(P ∨ ¬P) 和(Q ∨ ¬Q) 总是为真，因此整个命题总是为真。

# 题目2：谓词逻辑题目：使用谓词逻辑表达以下语句：“所有的学生都是勤奋的。

”答案：∀x(Student(x) → Diligent(x))# 题目3：推理规则题目：使用以下前提进行演绎推理，并得出结论。

- 所有猫都怕水。

- 汤姆是一只猫。

答案：根据前提，可以推导出结论：汤姆怕水。

# 题目4：逻辑等价题目：判断以下两个命题是否等价。

- A：如果今天下雨，那么我会带伞。

- B：如果我不带伞，那么今天没有下雨。

答案：这两个命题不是等价的。

A命题是条件命题，而B命题是其逆否命题。

它们在逻辑上不完全相同。

# 题目5：逻辑谬误题目：识别以下论证中的逻辑谬误。

- 论证：因为所有的鸟都会飞，企鹅是鸟，所以企鹅会飞。

答案：这个论证犯了“过于概括”的谬误。

虽然所有的鸟都属于鸟类，但并非所有鸟类都会飞，企鹅就是一个例外。

# 题目6：三段论题目：使用以下大前提和小前提，构造一个有效的三段论。

- 大前提：所有人都是凡人。

- 小前提：苏格拉底是人。

答案：根据三段论的规则，可以得出结论：苏格拉底是凡人。

# 题目7：逻辑连接词题目：将以下命题转换为使用逻辑连接词的形式。

- 命题：只有当我学习时，我才能通过考试。

答案：转换后的命题为：PassExam ⇔ Study# 题目8：模态逻辑题目：解释“必然”和“可能”在模态逻辑中的含义。

答案：在模态逻辑中，“必然”表示某个命题在所有可能的情况下都为真，而“可能”表示某个命题在至少一个可能的情况下为真。

逻辑学教程课后习题答案习题一：命题逻辑1. 判断下列命题的真假：- 命题A: “所有的猫都是哺乳动物。

”（真）- 命题B: “有些猫不是哺乳动物。

”（假）2. 将下列命题转化为逻辑表达式：- 命题C: “如果今天是星期一，那么明天是星期二。

” 可表示为：(M → T)，其中M代表“今天是星期一”，T代表“明天是星期二”。

习题二：演绎推理1. 根据以下前提，推导出结论：- 前提1: 所有学生都需要学习逻辑。

- 前提2: 小明是一名学生。

- 结论：小明需要学习逻辑。

2. 判断下列推理是否有效：- 推理：如果下雨，地面就会湿。

今天地面湿了，所以今天下雨了。

- 这是一个无效推理，因为地面湿了可能有其他原因，不一定是因为下雨。

习题三：归纳推理1. 观察以下事实，归纳出一个一般性结论：- 事实1: 苹果落地。

- 事实2: 橙子落地。

- 事实3: 梨落地。

- 结论：所有水果都会落地。

2. 分析下列归纳推理是否合理：- 推理：我们观察到的天鹅都是白色的，因此所有天鹅都是白色的。

- 这是一个不完全归纳推理，因为存在黑天鹅，所以这个推理是不合理的。

习题四：逻辑谬误1. 识别下列论证中的逻辑谬误：- 论证：没有人是完美的，所以没有人应该追求完美。

- 谬误：滑坡谬误，错误地假设因为没有人是完美的，追求完美就是不可能的或不合理的。

2. 指出下列论证中的非形式谬误：- 论证：因为许多成功的企业家都穿西装，所以穿西装是成功的关键。

- 谬误：因果谬误，错误地将相关性当作因果关系。

习题五：条件命题1. 判断下列条件命题的真假：- 命题D: “如果考试及格，那么就能毕业。

”（真或假，取决于具体情况）- 命题E: “只有考试及格，才能毕业。

”（假，因为可能还有其他毕业条件）2. 转换条件命题为逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：- 逆命题：如果毕业，那么考试及格。

- 否命题：如果考试不及格，那么不能毕业。

- 逆否命题：如果不能毕业，那么考试不及格。

逻辑学导论（第3版）练习题及其答案第四章课后习题详细答案解析一、请用谓词逻辑的语言把下述命题或推理符号化：1.没有最大的自然数。

2.一个好的专家胜过任何业余人士。

3.每一个时刻都在有的时刻之后。

4.神帮助所有自助的人，并且只帮助自助的人。

5.如果所有的人都尊重每一个人，则每一个人都会很快乐。

6.有一本书，全班同学都喜欢它并且轮流读过它，而它为王军所拥有。

7.所有教逻辑的教师，其思维一定非常合乎逻辑，这一说法是假的。

8.对于任意的自然数x、y来说，x+5=y当且仅当x=y 5。

9.如果天堂的门将只对穷人敞开，而约翰是一位大富翁，那么，约翰将进不了天堂。

10.或者所有的学生喜欢所有老师讲课，或者有的学生不喜欢有的老师讲课。

11所有的马都是动物，所以，所有的马头都是动物头。

12.有的人得到所有人的尊敬，有的人得到某些人的尊敬，但一个人至少应该自己尊敬自己。

13.如果有的自然数小于所有自然数，那么肯定有自然数自己小于自己，而后一说法肯定是假的，所以，前一说法也是假的。

14.如果牛郎不爱所有爱织女的男人，那么，如果孙悟空爱织女，则牛郎不爱孙悟空或者大白菜是云彩。

15.仅当大学生爱好数学时才爱好逻辑。

16.如果张三有罪，则没有一个证人说谎，除非他害怕。

有证人害怕。

因此，张三无罪。

17.最大的行星是木星。

18.至少有三个碳同素体。

19.双子座恰有两颗明亮的星星。

20.每位丈夫有恰好一位妻子。

二、用解释方法证明下面前五个公式不普遍有效，后五个公式可满足：1.∃xA(x)∧∃xB(x)→∃x(A(x)∧B(x))2.∀x(A(x)∨B(x))→∀x A(x)∨∀xB(x)3.(∃xA(x)→∃xB(x))→∀x(A(x)→B(x))4.∃xA(x)∧∀xB(x)→∀x(A(x)∧B(x))5.∀z(∀x(R(x，z)→R(z，z))∧∀y(R(y，z)→R(z，z))→∀x(R(y，z)→R(x，z)))6.(∀xA(x)→∀xB(x))→∀x(A(x)→B(x))7.∀x(Px→Mx)∧∃x(Sx∧Mx)→∀x(Sx→Px)8.∃y∀xR(x，y)→∀x∃yR(x，y)9.∀x(M(x)→∃y(D(y)∧R(x，y)))10.∃x(D(x)∧∀y(M(y)→⌝R(x，y)))三、请用树形图判定下述公式是否普遍有效式：1.∀x∀yR(x，y)↔∀y∀xR(x，y)2.∃x∃yR(x，y)↔∃y∃xR(x，y)3.∃x∀yR(x，y)→∀y∃xR(x，y)4.∀x(A(x)→B(x))∧∀x(B(x)→C(x))→∀x(A(x)→C(x))5.∀x(A(x)→C(x))∧∀x(B(x)→C(x))∧∃x(A(x)∨B(x))→∃xC(x)6.∀x(A(x)→B(x))∧∃x(C(x)∧⌝B(x))→∃x(C(x)∧⌝A(x))7.∃x(A(x)∧⌝B(x))→∃xA(x)∧∃x⌝B(x)8.∀xA(x)∨∀xB(x)→∀x(A(x)∨B(x))9.∀x(M(x)→∃y(D(y)∧R(x，y)))10.∃x(Dx∧∀y(My→⌝R(x，y)))→∀y(My→∃x(Dx∧⌝R(x，y)))四、证明下述公式是Q N定理：1.∃x(A(x)→B(x))↔(∀xA(x)→∃xB(x))2.(∃xA(x)→∀xB(x))→∀x(A(x)→B(x))3.∀x(A(x)→B(x))→(∃xA(x)→∃xB(x))4.∀x(A(x)↔B(x))→(∀xA(x)↔∀xB(x))5.∀x(A(x)↔B(x))→(∃xA(x)↔∃xB(x))6.∀x(A∧B(x))↔A∧∀xB(x)，若x在A中不自由7.∃x(A∧B(x))↔A∧∃xB(x)，若x在A中不自由8.∀x(A∨B(x))↔A∨∀xB(x)，若x在A中不自由9.∃x(A∨B(x))↔A∨∃xB(x)，若x在A中不自由10.∃x(A(x)∧∀y(B(y)→C(x，y)))→∀y(B(y)→∃x(A(x)∧C(x，y)))五、为下述推理构造Q N证明：1.Aα，∀x(A(x)→∀yB(y)) /∴∀xB(x)2.∀x(A(x)→B(x))，∃x⌝B(x)，∀x (⌝A(x)→C(x)) /∴∃xC(x)3.∀x(A(x)∨B(x)→⌝C(x))，∃x⌝(⌝A(x)∧⌝B(x)) /∴⌝∀xC(x)4.∃x(A(x)∧B(x))⌝∀yC(y)，⌝C(α) /∴∀x(A(x)→⌝B(x))5.∀x(A(x)∨B(x)→C(x))，∀x(C(x)∨D(x)→E(x)) /∴∀x (A(x)→E(x))6.∃xA(x)→∃xB(x)，∀x (C(x)→A(x)) /∴∃xC(x)→∃xB(x)7.∀x(A(x)→B(x))，∃x(C(x)∧⌝B(x))，∀x (⌝D(x)∨A(x)) /∴∃x(C(x)∧⌝D(x))8.∃xA(x)→∃x(B(x)∧C(x))，∃x(C(x)∨D(x))→∀xE(x) /∴∀x (A(x)→E(x))9.∀x(A(x)∧B(x)→C(x))，∃x(D(x)∧B(x))，∀x(⌝A(x)→⌝D(x))/∴∃x(C(x)∧D(x))10.∀x(A(x)∨B(x)→C(x)∧D(x)) /∴∃x(A(x)∨C(x))→∃xC(x)11.∃xA(x)→∃yB(y)，∃x(A(x)∧∀y(B(y)→R(x，y))) /∴∃x∃yR(x，y)12.∀x(A(x)→∃y(A(y)∧B(x，y)))，∃x(A(x)∧∀y(A(y)∧B(x，y)→C(x，y))) /∴∃x∃y(A(x)∧A(y)→C(x，y))13.∀x(A(x)→B(x)) /∴∀x (∃y(A(y)∧C(x，y))→∃z(B(z)∧C(x，z)))14.∃xA(x)→⌝∃xB(x) /∴∀x(∃yA(y)→⌝B(x))15.∃xA(x)→∃xB(x) /∴∃y∀x (A(x)→B(y))六、先用谓词逻辑的语言把下述推理符号化，再为其构造Q N证明：1.所有的科学家都是理性主义者，没有宗教狂热者是理性主义者，所以，所有的宗教狂热者都不是科学家。

习题21．将下列命题符号化。

(1) 某些实数是有理数。

(2) 每一个有理数都是实数。

(3) 不是每一个实数都是有理数。

(4) 并非所有的素数都不是偶数。

(5) 没有不犯错误的人。

(6) 所有人都会犯错误。

(7) 火车比轮船快。

(8) 有些液体能溶解任何金属。

(9) 金子都会闪光，但闪光的未必是金子。

(10) 存在一些人是大学生。

解答：(1) 设H (x )：x 是实数；P (x )：x 是有理数。

则命题可符号化为：()x ∃(H (x )∧P (x ))。

(2) 设H (x )：x 是有理数；P (x )：x 是实数。

则命题可符号化为：()x ∀(H (x )→P (x ))。

(3) 设H (x )：x 是实数；P (x )：x 是有理数。

则命题可符号化为：⌝()x ∀(H (x )→P (x ))。

(4) 设H (x )：x 是素数；P (x )：x 是偶数。

则命题可符号化为：⌝()x ∀(H (x )→⌝P (x ))。

(5) 设H (x )：x 是人；P (x )：x 会犯错误。

则命题可符号化为：⌝()x ∃(H (x )∧⌝P (x ))。

(6) 设H (x )：x 是人；P (x )：x 会犯错误。

则命题可符号化为：()x ∀(H (x )→P (x ))。

(7) 设H (x )：x 是火车；L (x )：x 是轮船；P (x ,y )：x 比y 快。

则命题可符号化为：()x ∀()y ∀(H (x )∧L (y )→P (x ,y ))。

(8) 设H (x )：x 是液体；L (x )：x 是金属；P (x ,y )：x 能溶解y 。

则命题可符号化为：()x ∃(H (x )∧()y ∀(L (y )→P (x ,y )))。

(9) 设H (x )：x 是金子；P (x )：x 会闪光。

则命题可符号化为：()x ∀(H (x )→P (x ))∧()x ∃(H (x )∧⌝P (x ))。

谓词逻辑复习题及答案谓词逻辑是数理逻辑中的一个重要分支，它用于表达和推理关于对象和它们之间关系的命题。

以下是一些谓词逻辑的复习题及答案：题目一：定义谓词1. 定义谓词“L(x, y)”表示“x 爱y”。

2. 定义谓词“S(x, y)”表示“x 是 y 的学生”。

答案一：1. 谓词“L(x, y)”是一个二元谓词，它描述了两个对象x和y之间的关系，即x对y有爱的情感。

2. 谓词“S(x, y)”也是一个二元谓词，它描述了x和y之间的师生关系，即x是y的学生。

题目二：写出以下命题的谓词逻辑表达式1. 张三爱李四。

2. 每个学生都是老师的学生。

答案二：1. 命题“张三爱李四”的谓词逻辑表达式为：L(张三, 李四)。

2. 命题“每个学生都是老师的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x∃y(S(x, y) ∧ T(y))，其中T(y)表示y是老师。

题目三：转换命题为谓词逻辑表达式1. 如果张三爱李四，那么李四也爱张三。

2. 没有学生是他自己的学生。

答案三：1. 命题“如果张三爱李四，那么李四也爱张三”的谓词逻辑表达式为：(L(张三, 李四) → L(李四, 张三))。

2. 命题“没有学生是他自己的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x¬(S(x, x))。

题目四：谓词逻辑中的量词1. 写出“所有”的逻辑表达式。

2. 写出“存在”的逻辑表达式。

答案四：1. “所有”的逻辑表达式使用全称量词，表示为：∀x。

2. “存在”的逻辑表达式使用存在量词，表示为：∃x。

题目五：谓词逻辑中的逻辑连接词1. 写出“并且”的逻辑表达式。

2. 写出“或者”的逻辑表达式。

3. 写出“非”的逻辑表达式。

答案五：1. “并且”的逻辑表达式使用逻辑与，表示为：A ∧ B。

2. “或者”的逻辑表达式使用逻辑或，表示为：A ∨ B。

3. “非”的逻辑表达式使用否定，表示为：¬A。

题目六：谓词逻辑推理给定以下命题：1. ∀x (L(x, y) → L(y, x))。

逻辑学导论课后练习题一、命题逻辑a. 如果今天下雨，那么我不去游泳。

b. 只有努力学习，才能取得好成绩。

c. 虽然他很聪明，但是并不勤奋。

a. P ∧ Qb. P ∨ Qc. ¬Pd. P → Qe. P ↔ Qa. P ∧ ¬Pb. P ∨ ¬Pc. (P → Q) ∧ (Q → P)二、谓词逻辑a. 所有学生都爱学习。

b. 有些猫是黑色的。

c. 没有人能两次踏入同一条河流。

a. ∃x (P(x))b. ∀x (Q(x) → R(x))c. ∃x ∀y (S(x, y))三、推理规则a. 前提：所有人都会死，苏格拉底是人。

结论：苏格拉底会死。

b. 前提：如果今天下雨，那么我不去游泳；今天下雨。

结论：我不去游泳。

a. 如果P，则Q；非Q，因此非P。

b. P ∨ Q；P，因此Q。

四、逻辑谬误a. 人是动物，因此人是植物。

b. 要么是A，要么是B，因此不是A。

c. 因为我喜欢苹果，所以所有人都喜欢苹果。

a. 某人因为相信星座，所以他的观点一定是正确的。

b. 这部电影不好看，因为它的评分很低。

五、集合论a. A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5, 6, 7}，求 A ∩ B。

b. A = {x | x是正整数，x < 5}，B = {x | x是偶数，x ≤ 6}，求A ∪ B。

a. A ⊆ B，B ⊆ C，因此A ⊆ C。

b. A ∩ B = ∅，因此A ⊆ B。

六、数理逻辑a. (P ∧ Q) ↔ (¬(¬P ∨ ¬Q))b. (P ∨ Q) ↔ (¬P → Q)a. 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2七、演绎推理a. 所有的植物都需要水分；玫瑰是植物，因此______。

b. 没有学生会不喜欢考试；小明是学生，因此______。

a. 如果今天是星期五，那么我会去电影院。

谓词逻辑测试题及答案一、选择题1. 谓词逻辑中的基本单位是：A. 命题B. 谓词C. 变量D. 连接词2. 在谓词逻辑中，以下哪个是合法的谓词表达式？A. P(x)B. x = yC. ∀x P(x)D. P(x, y)3. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∨B. ∧C. ∀D. →4. 以下哪个命题不是谓词逻辑中的命题？A. ∀x P(x)B. ∃x P(x)C. P(x)D. ¬P(x)5. 谓词逻辑中的“存在量词”用符号表示为：A. ∀B. ∃C. ¬D. →二、简答题6. 解释谓词逻辑中的“全称量词”和“存在量词”的区别。

7. 请用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”。

8. 给出谓词逻辑中的一个推理例子，并解释其推理过程。

三、证明题9. 证明：如果∀x (P(x) → Q(x)) 且∃x P(x)，则∃x Q(x)。

10. 给出一个谓词逻辑的命题，并构造一个反例来证明它不是普遍有效的。

答案一、选择题1. B. 谓词2. D. P(x, y)3. C. ∀4. C. P(x)5. B. ∃二、简答题6. 在谓词逻辑中，“全称量词”（符号为∀）表示对于所有个体，某个命题都成立；而“存在量词”（符号为∃）表示至少存在一个个体使得某个命题成立。

7. 用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”可以写作：∀x (Student(x) → Passed(x))，其中 Student(x) 表示 x 是学生，Passed(x) 表示 x 通过了考试。

8. 推理例子：假设有命题∀x (P(x) → Q(x)) 和 P(a)，其中 a 是某个特定的个体。

根据全称量词的定义，对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。

由于 P(a) 成立，根据条件，Q(a) 也必须成立。

这是一个典型的全称量词和存在量词的推理过程。

三、证明题9. 证明：已知∀x (P(x) → Q(x))，即对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。

谓词逻辑复习题答案一、选择题1. 在谓词逻辑中，以下哪个符号表示“或”？A. ∧B. ∨C. →D. ¬答案：B2. 谓词逻辑中的量词“∀”代表什么含义？A. 存在B. 全部C. 任意D. 否定答案：B3. 下列哪个表达式表示“所有的x都满足P(x)”？A. ∃x P(x)B. ∀x P(x)C. ¬∃x ¬P(x)D. ¬∀x ¬P(x)答案：B4. 谓词逻辑中的否定连接词是哪一个？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C5. 如果P(x)表示“x是学生”，Q(x)表示“x是老师”，以下哪个表达式表示“x既是学生又是老师”？A. P(x) ∧ Q(x)B. P(x) ∨ Q(x)C. P(x) → Q(x)D. ¬P(x) ∧ ¬Q(x)答案：A二、填空题6. 谓词逻辑中，表达式“∀x (P(x) ∨ Q(x))”可以解释为“对于任意的x，x满足P或Q”。

请将该表达式转换为自然语言：______________________。

答案：对于任意的x，x是P或者x是Q。

7. 如果P(x)表示“x是大的”，Q(x)表示“x是圆的”，那么表达式“∃x (P(x) ∧ Q(x))”可以解释为“存在某个x，x既大又圆”。

请将该表达式转换为自然语言：______________________。

答案：存在某个x，x既大又圆。

8. 表达式“¬∀x P(x)”可以解释为“不是所有的x都满足P(x)”。

请将该表达式转换为自然语言：______________________。

答案：不是所有的x都满足P。

三、简答题9. 解释谓词逻辑中量词“∃”和“∀”的区别。

答案：量词“∃”表示存在，即至少有一个元素满足某个性质或条件；而量词“∀”表示全部，即所有元素都满足某个性质或条件。

10. 给出一个例子，说明谓词逻辑中的“蕴含”如何使用。

谓词逻辑习题1. 将以下命题用谓词符号化。

（ 1）小王学过英语和法语。

（2） 2大于 3 仅当 2大于 4。

（ 3） 3 不是偶数。

（4） 2或 3 是质数。

（5）除非李键是东北人，不然他必定怕冷。

解：(1)令 P( x) ：x学过英语，Q(x)：x学过法语，c：小王，命题符号化为P( c)Q(c)(2)令 P( x, y) ：x大于y,命题符号化为 P(2,4) P(2,3)(3)令 P( x) ：x是偶数，命题符号化为P(3)(4)令 P( x) ：x是质数，命题符号化为P(2) P(3)(5)令 P( x) ：x是北方人； Q ( x) ：x怕冷； c ：李键；命题符号化为Q(c)P( x)2.设个体域 D { a，b，c} ，消去以下各式的量词。

（ 1）x y(P( x) Q( y))（2）x y(P( x)Q ( y))（ 3）xP( x)yQ( y)（4）x( P(x， y)yQ( y))解：(1) 中A( x)y( P( x) Q ( y)) ，明显 A( x) 对y是自由的，故可使用UE规则，获得A( y)y( P( y) Q( y)) ，所以x y( P(x) Q ( y))y(P( y)Q ( y)) ，再用ES规则，y( P( y) Q( y))P( z) Q( z) ，z D ，所以x y( P( x) Q( y))P( z)Q ( z)（2）中A( x)y( P(x) Q( y)) ，它对y不是自由的，故不可以用UI 规则，但是，对A( x) 中拘束变元y 更名 z，获得z(P( x) Q( z)) ，这时用UI规则，可得：x y(P( x)Q ( y))x z( P( x)Q( z))z(P( x)Q( z))（3）略（4）略3.设谓词P( x，y)表示“ x等于y”，个体变元x 和y的个体域都是D{1，2，3} 。

求以下各式的真值。

（ 1）xP( x，3)（2）（ 3）x yP (x，y)（4）（ 5）x yP(x，y)（6）解：yP(1， y)x yP( x，y) y xP( x，y)(2)当 x 3 时可使式子建立，所认为Ture。

习题二(参考答案)2.1 在谓词逻辑中将下面命题符号化，）高斯是数学家，但不是文学家。

（1）高斯是数学家，但不是文学家。

P(x):x是数学家. s(x):x是文学家. a:高斯高斯P(a) ÙØs(a) ）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。

（2）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。

P(x,y):x比y高. a:小张. b:小李. c:小赵小赵(p(a,b) Ùp(b,c)) ®p(a,c) ）鱼都会在水里游。

（3）鱼都会在水里游。

P(x)::x是鱼是鱼 R(x)x都会在水里游. "x (P(x) ® R(x)) ）情商比智商更重要。

（4）情商比智商更重要。

P(x,y):x比y更重要. a:情商. b:智商智商P(a,b) ）并不是所有的人都爱看电影。

（5）并不是所有的人都爱看电影。

P(x):x是人. G(x):爱看电影. Ø"x(p(x) ® G(x)) 或$x(p(x) ÙØ G(x)) ）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。

（6）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。

P(x):x是人. G(x):x爱吃醋. R(x):x爱美. $x(P(x) ÙG(x)) Ù"x (P(x) ® R(x)) 2.2 利用二元谓词将下面命题符号化。

利用二元谓词将下面命题符号化。

）每列火车都比某些汽车快。

（1）每列火车都比某些汽车快。

P(x,y):x比y快. M(x):x是火车. G(y):y是汽车是汽车"x(M(x) ®$y(G(y) ÙP(x,y)) ）某些汽车比所有火车慢。

（2）某些汽车比所有火车慢。

P(x,y):x比y慢. M(x):x是汽车. G(y):y是火车是火车$x(M(x) Ù"y(G(y) ®P(x,y))) 2.3 在谓词逻辑中将下面命题符号化，要求使用全称量词与存在量词两种方法。