5.2平行线及其判定讲义【精】(可编辑修改word版)

5.2 平行线及其判定课件(一、教学内容本节课我们将学习教材第3章第2节“平行线及其判定”。

详细内容包括：平行线的定义、平行线的判定方法、平行线性质以及在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解平行线的定义，掌握平行线的判定方法。

2. 能够运用平行线的性质解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：平行线的判定方法及其应用。

教学重点：平行线的定义、性质和判定方法。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、直尺、圆规、三角板。

2. 学具：练习本、铅笔、直尺、圆规。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中常见的平行线现象，如铁轨、电梯扶手等，引导学生发现平行线并思考其性质。

详细过程：（1）学生观察并描述生活中常见的平行线现象。

2. 例题讲解：讲解平行线的判定方法。

详细过程：（1）教师演示：利用直尺和圆规画出平行线。

（2）学生跟随教师操作，熟悉平行线的画法。

（3）教师讲解：平行线的判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。

（4）学生练习：根据判定方法，判断给定图形中是否存在平行线。

3. 随堂练习：解决实际问题，应用平行线的判定方法。

详细过程：（1）教师给出实际问题，如房屋建筑中的平行线问题。

（2）学生分组讨论，运用所学知识解决问题。

4. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调平行线的定义、性质和判定方法。

六、板书设计1. 平行线的定义2. 平行线的判定方法（1）同位角相等（2）内错角相等（3）同旁内角互补3. 平行线的性质4. 实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）画出给定图形的平行线。

（2）判断下列图形中是否存在平行线，并说明理由。

（3）运用平行线性质解决实际问题。

答案：（1）见附图。

（2）答案见附图，理由为同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

（3）答案见附图。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对平行线的定义、性质和判定方法掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。

平行线及其判定(基础)知识讲解【学习目标】1.理解平行线的槪念，会用作图工具画平行线，了解在同一平而内两条宜线的位麗关系：2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判立方法，并能运用“平行线的判泄方法”，判迫两条直线是否平行.【要点梳理】要点一、平行线的定义及画法1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a〃b. 要点诠释：(1)平行线的泄义有三个特征：一是在同一个平而内：二是两条直线：三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行.(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的宜线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系.2.平行线的画法；用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.要点二、平行公理及推论1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.要点诠释：(1)平行公理特别强调"经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质.(2)公理中“有”说明存在："只有”说明唯一.(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点三、直线平行的判定C 戶DF判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：V Z3 = Z2・・・AB〃CD （同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两宜线平行.如上图，几何语言：J Z1 = Z2・・.AB〃CD （内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：•/ Z4 + Z2=180°・・.AB〃CD （同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判泄是由角相等或互补，得岀平行，即由数推形.【典型例题】类型一、平行线的定义及表示1.下列叙述正确的是（）A.两条直线不相交就平行B.在同一平而内，不相交的两条线叫做平行线C.在同一平而内，不相交的两条直线叫做平行线D.在同一平而内，不相交的两条线段叫做平行线【答案】C【解析】在同一平而内两条直线的位置关系是不相交就平行，但在空间就不一泄了，故A 选项错；平行线是在同一平而内不相交的两条直线，不相交的两条曲线就不是平行线，故B选项错：平行线是针对两条直线而言.不相交的两条线段所在的直线不一泄不相交，故D选项错.【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的槪念入手进行判断.举一反三：【变式】下列说法错误的是（）A.无数条直线可交于一点B.直线的垂线有无数条，但过一点与垂直的直线只有一条C.直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条D.互为邻补角的两个角一个是钝角，一个是锐角【答案】D类型二、平行公理及推论^^2.下列说法中正确的有（）①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条：③因为a〃b,z3=z5D ・ z3+z4=180°c 〃d,所以a 〃小 ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.A. 1个 B2个 C. 3个 D. 4个【答案】A【斜析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确, 所以②错，③中b 与c 的位置关系不明确，所以③也是错误的：根据平行公理可知④正确， 故选A.【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字 词及英重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解.举一反三:【变式】直线a 〃b, b 〃c,则直线a 与c 的位宜关系是 ___________________ .【思路点拨】根据平行线的判左方法进行判断. 【答案】C 【解析】解：Z3与Z5不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，所以Z3=Z5不能判 定 ABII CD.【总结升华】正确识别“三线八角"中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，熟练 掌握平行线的判左立理.举一反三:【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线l\〃*的是（ ）.【答案】平行 两直线平行的判定 类型三、 与b 平行的是（D ・ Z2+Z4=180°C ・Z4=Z5【变式2】已知，如图，BE 平分ZABC, CF 平分ZBCD, Z1=Z2,求证：AB//CD.【答案】I Z1=Z2••• 2Z1=2Z2 ,即 ZABC=ZBCD【答案与解析】 解:（1）由Z1 = Z3,可判定AD 〃BC （内错角相等，两直线平行）；⑵由ZBAD=ZDCB> Z1 = Z3 得：Z2= ZBAD-Z1 = ZDCB-Z3= Z4 （等式性质），即Z2=Z4 可以判定AB 〃CD （内错角相等，两直线平行）・综上，由（1） （2）可判泄：AD 〃BC, AB/7CD ・【总结升华】本题探索结论的过程采用了 “由因索果”的方法.即在条件下探索由这些条件 可推导岀哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果.” 5•在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什 么？ 【答案与解析】解：这两条直线平行.理由如下： 如图： bJ c 7• b 丄 a, c±aa••• Zl = Z2=90°・•・b 〃c （同位角相等，两直线平行）. 【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判泄方法.【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形t①举一反三：【变式】已知，如图，EF1EG, GM1EG, Z1=Z2, AB与CD平行吗？请说明理由.【答案】解：AB〃CD・理由如下：如图:J EF丄EG, GM1EG （已知），••• ZFEQ= ZMGE=90° （垂直的左义）・又••• Z1 = Z2（已知），••• ZFEQ -Z1 = ZMGE -Z2 （等式性质）, 即Z3=Z4.••• AB〃CD （同位角相等，两直线平行）.。

七级下册数学《第五章相交线与平行线》5.2平行线及其判定平行线及其表示方法★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．记作：AB∥CD；记作：a∥b；读作：直线AB平行于直线CD．读作：直线a平行于直线b．【注意】1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线)2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行．平行线的画法◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．【注意】1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线．2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线．3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行.平行公理及其推论★1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.★2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内．2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的．平行线的判定方法★1、平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直．几何语言表示：直线a，b，c在同一平面内，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立.★3、判定两直线平行的方法（1）平行线的定义；（2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；（3利用同位角相等说明两直线平行；（4）利用内错角相等说明两直线平行；（5）利用同旁内角互补说明两直线平行；（6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.【例题1】（2023秋•埇桥区期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．【解答】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线，两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线．解题技巧提炼解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断.【变式1-1】如图所示，能相交的是，平行的是．（填序号）【分析】根据平行线、相交线的定义，逐项进行判断，即可正确得出结果．【解答】解：①中一条直线，一条射线，不可相交，也不会平行；②中一条直线，一条线段，不可相交，也不会平行；③中一条直线，一条线段，可相交；④中都是线段，不可延长，不可相交，也不平行，⑤中都是直线，延长后不相交，是平行．故答案为：③，⑤．【点评】本题考查平行线和相交线，解题的关键是掌握直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行【分析】根据平行线的判定及垂直、相交的定义判断求解即可．【解答】解：在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，故A不符合题意；在同一平面内，两条直线不相交，那么这两条直线平行，故B不符合题意；同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行，故C符合题意；同一平面内，如果两条直线不垂直，它们不一定平行，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定、垂直、相交等知识，熟练掌握有关定理、定义是解题的关键．【变式1-3】（2022春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两条不相交的直线叫做平行线B．一条直线的平行线有且只有一条C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥cD．若两条线段不相交，则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案．【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误；C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；D、根据平行线的定义知是错误的．故选：C．【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．【变式1-4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在长方体AB CD-EFGH中，与棱EF异面且与平面EFGH 平行的棱是．【分析】与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．【解答】解：与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．故答案为：棱AD和棱BC．【点评】本题主要考查了平行线与立体图形，熟练掌握平行线与立体图形的特征进行求解是解决本题的关键．【变式1-5】（2022春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据长方体即平行线的性质解答．【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条．故选：B．【点评】本题考查了平行线的定义、长方体的性质．一个长方形的两条对边平行．【变式1-6】在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系：（1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2；（2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2；（3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2．【分析】（1）结合平行线的定义进行解答即可；（2）结合相交的定义进行解答即可；（3）结合重合的定义进行解答即可．【解答】解：（1）由于l1和l2没有公共点，所以l1和l2平行；（2）由于l1和l2有且只有一个公共点，所以l1和l2相交；（3）由于l1和l2有两个公共点，所以l1和l2重合；故答案为：（1）平行；（2）相交；（3）重合．【点评】本题侧重考查两直线的位置关系，掌握平行定义是解题关键．【变式1-7】（2022春•赵县月考）在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是．【分析】根据同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．解答即可．【解答】解：因为a∥c，直线a，b相交，所以直线b与c也有交点；故答案为：相交．【点评】本题主要考查了平行线和相交线，同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．【例题2】（2022春•梁山县期中）若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．以上都不对【分析】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．【解答】解：当三条直线互相平行，交点是个0；当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；故选：B．【点评】本题考查了平行线，分类讨论是解题关键．解题技巧提炼用分类讨论的思想根据平面内两条直线的位置关系去讨论求解.【变式2-1】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（）A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．平行、垂直或相交【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．故选：C．【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．【变式2-2】在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有个交点．【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，再根据直线平行和直线相交的定义即可得到交点的个数．【解答】解：∵在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，∴第三条直线与另两平行直线相交，∴它们共有2个交点．故答案为2．【点评】本题考查了直线平行的定义：没有公共点的两条直线是平行直线．也考查了同一平面内两直线的位置关系有：平行，相交．【变式2-3】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有条平行线．【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交或平行，及一条直线的平行线有无数条，由四条直线相互平行，其交点为0个开始分析，然后依次变为三条直线相互平行、两条直线相互平行即可求解．【解答】解：若四条直线相互平行，则没有交点；若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或五个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；若四条直线中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个．综上可知，平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有三条平行线．故答案是：三．【点评】本题考查了平行线，题目没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都是平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出答案．【变式2-4】平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为个．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．【解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点；（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；（3）当两两直线平行时，有4个交点；（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．故答案为：0，1，3，4，5，6．【点评】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高．【例题3】如图，直线a，点B，点C．（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？【分析】根据平行公理及推论进行解答．【解答】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：如图，∵b∥a，c∥a，∴c∥b．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思）；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式3-1】如图中完成下列各题．（1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD．（2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．【分析】（1）根据AB所在直线，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可；（2）根据图形得出EF，MD⊥CD，标出字母即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）EF∥AB，MC⊥CD．【点评】此题考查了基本作图以及直角三角形的性质，利用直角三角形的性质得出平行线以及垂线是解答此题的关键．【变式3-2】如图，已知直线a和直线a外一点A．（1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a；（2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，过点A可以画一条直线和a平行．（3）结论：AC⊥AB．【解答】解：（1）直线AB、AC如图所示；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直．过点A可以画一条直线和a平行．理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）结论：AC⊥AB．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（3）过点B作AB的垂线．【分析】（1）A所在的横线就是满足条件的直线；（2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求；（3）取AE上D右边的点F，过B，F的直线即为所求．【解答】解：如图，（1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；（2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；（3）取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，【变式3-4】（2022秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补．【解答】解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．【点评】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉．【例题4】（2022•寻乌县模拟）下面推理正确的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥dC．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案．【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行．故选：C．【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．【变式4-1】（2022春•丛台区校级期中）如图，过点A画直线l的平行线，能画（）A．两条以上B．2条C．1条D．0条【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条．故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．【变式4-2】（2023春•萨尔图区期中）下面说法正确的个数为（）（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1）；在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2）；举出反例即可判断（3）；根据在同一平面内，两直线的位置关系是平行或相交，即可判断（4）．【解答】解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；如图：∠ABC=∠DEF=90°，且∠ABC+∠DEF=180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．即正确的个数是2个．故选：B．【点评】本题考查了平行公理和推论，邻补角，垂线，平行线等知识点，此题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．【变式4-3】（2023春•泸县校级期中）下列说法正确的是（）A．经过一点有一条直线与已知直线平行B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．【解答】解：根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确．【点评】本题考查了平行公理，要熟练掌握．【变式4-4】（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（）A．在同一个平面内B．不相交C．平行或重合D．不在同一个平面内【分析】根据平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．【解答】解：当a∥c时，a∥b，c∥d，得b∥d；当a、c重合时，a∥b，c∥d，得b∥d，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行．【变式4-5】（2022春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式4-6】（2022春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是．【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【点评】此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．【变式4-7】（2022春•海阳市期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（）A．直线PQ可能与直线AB垂直B．直线PQ可能与直线AB平行C．过点P的直线一定与直线AB相交D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．【变式4-8】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】根据平行公理和垂直的定义解答．【解答】解：∵长方形对边平行，∴根据平行公理，前两次折痕互相平行，∵第三次折叠，是把平角折成两个相等的角，∴是90°，与前两次折痕垂直．∴折痕与折痕之间平行或垂直．故选：C．【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握．【例题5】（2022春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝时，a∥b．【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可．【解答】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下：如图所示：∵∠1＝50°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，∴a∥b．故答案为：40°．【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．【变式5-1】（2022春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3B．∠1＝∠4C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠B=∠3，∴AB∥EF，故A不符合题意；∵∠1=∠4，∴AB∥EF，故B不符合题意；∵∠1=∠B，∴DF∥BC，故C符合题意；∵∠B+∠2=180°，∴AB∥EF，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-2】（2023秋•淮阳区校级期末）如图，木条a，b，c在同一平面内，经测量∠1＝115°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（）A．65°B．75°C．115°D．165°【分析】根据邻补角互补和平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∠2的度数应为65°．证明：如图，∵∠1＝115°，∴∠3＝180°﹣115°＝65°，∵∠2＝65°，∴∠2＝∠3，∴a∥b．故选：A．【点评】本题考查邻补角互补，平行线的判定．熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式5-3】（2023秋•泾阳县期末）如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．【分析】根据对顶角相等得出∠1＝∠AGH，进而根据∠2＝∠AGH，即可得证．【解答】解：∵∠1＝∠AGH，∠1＝∠2＝70°，∴∠2＝∠AGH，∴AB∥CD．【点评】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-4】（2023秋•泰和县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．【分析】根据平行线的判定，依据角平分线的定义即可解决问题．【解答】证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义），∵∠2＝60°，（已知），∴∠2＝∠ACD（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式5-5】（2023春•樟树市期中）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．求证：CF∥AB．【分析】根据CF平分∠DCE以及∠DCE＝90°即可得出∠FCE＝45°，再根据三角形ABC为等腰直角三角形，即可得出∠ABC＝∠FCE＝45°，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°，∴∠FCE=12∠DCE＝45°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是找出∠ABC＝∠FCE＝45°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角的关键．【变式5-6】（2023秋•靖边县期末）如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到∠ECD＝∠ACB，则可证明∠B＝∠ECD，根据平行线的判定即可证明AB∥CE．【解答】证明：因为CD平分∠ECF，所以∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）．因为∠ACB＝∠FCD（对顶角相等），所以∠ECD＝∠ACB（等量代换）．因为∠B＝∠ACB，。

5.2.1 平行线5.2.1平行线在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线互相平行，记作：a ∥b 。

在同一平面内两条直线的关系只有两种：相交或平行。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

5.2.2直线平行的条件两条直线被第三条直线所截，在两条被截线的同一方，截线的同一旁，这样的两个角叫做同位角。

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的两侧，这样的两个角叫做内错角。

两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的同一旁，这样的两个角叫做同旁内角。

判定两条直线平行的方法：方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：同位角相等，两直线平行。

方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：内错角相等，两直线平行。

方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

例1、如图,已知∠BAF=50°,∠ACE=140°,CD ⊥CE,能判断DC ∥AB 吗？为什么？例2、如图,已知∠B=65°,∠EAC=130°,AD 平分∠EAC,能否判断AD ∥BC ？为什么？一、选择题:1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是( )A.平行或相交B.垂直或相交;C.垂直或平行D.平行、垂直或相交 2.下列说法正确的是( )A.经过一点有一条直线与已知直线平行B.经过一点有无数条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行FE DC B A EDCBAD.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个 4.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD;④若a ∥b,b ∥c,则a 与c 不相交. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.过一点画已知直线的平行线,则( )A.有且只有一条B.有两条;C.不存在D.不存在或只有一条 二、填空题:1.在同一平面内,____________________________________叫做平行线.2.若AB ∥CD,AB ∥EF,则_____∥______,理由是__________________.3.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是________;•若两条直线平行,则公共点的个数是_________.4.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________.5.直线L 同侧有A,B,C 三点,若过A,B 的直线L 1和过B,C 的直线L 2都与L 平行,则A,•B,C三点________,理论根据是___________________________. 6、如图1，直线a 、b 、c 被直线l 所截，量得∠1=∠2=∠3，从∠1=∠2可以知道 ∥ ，它的根据是 。

5.2 平行线及其判定一、教学目标1、理解平行线概念, 理解平行公理，了解其推论, 会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线。

2、经历动手操作、观察、归纳平行线概念及平行公理的过程，提高观察归纳、动手操作、空间想象及逻辑思维能力。

二、教学重难点：平行公理及其推论。

三、教学过程（一）自主学习1、一般地，在同一个平面内，_______________的两条直线叫做平行线。

2、平行公理：经过直线外一点，有且只有____________条直线与这条直线平行。

3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相_________________。

（二）合作探究问题1：同一平面内,两条直线存在哪些位置关系？问题2：平行线在生活中很常见, 你能举出一些例子吗?平行线画法：问题3 如何画平行线呢？给一条直线a，你能画出直线a的平行线吗？问题4 在转动木条a的过程中有几个位置使得直线a与b平行? 过点B画直线a的平行线，能画出几条？再过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗?归纳：1、_________________________________________________________________________.2、__________________________________________________________________________.巩固练习：1、读下列语句，并画出图形（1）如图1，过点A画EF ∥ BC；（2）如图2，在∠AOB内取一点P，过点P画PC ∥ OA交OB于C，PD ∥ OB交OA于D.1图 2图2、在平面上画四条直线，使它们分别满足下列条件：（1）没有交点；（2）只有一个交点；（3）有三个交点；（4）有四个交点；（5）有五个交点；（6）有六个交点。

四、课堂小结：1．平面内两条直线有哪些位置关系？2．平行公理及其推论的内容是什么？五、布置作业：课本第12页练习六、教学反馈（下课后填完，并交给科代表）可以另外书写小纸条上交听懂，并会解题听懂，不怎么会解题有点懂听不懂七、教学反思：一、教学目标1、理解平行线的判定方法。

5.2 平行线及其判定平行线【知识与技能】1.掌握平行线的概念.2.理解平行公理及其推论.【过程与方法】1.通过实验，体验两条直线的平行关系，进而掌握平行线的概念.2.通过画图，体验过直线外一点画已知直线直线平行线的情形，从而总结出平行公理进而体验并理解平行公理的推论.【情感态度】经历实验、画图、观察归纳的过程，体会数学学习的方法与技巧.【教学重点】平行公理及其推论的理解.【教学难点】平行公理及其推论的归纳、理解与运用.一、情境导入，初步认识问题1 教具：如图，分别将木条a，b与木条c钉在一起，并将它们想象成在同一平面内两端成无限延伸的三条直线，将b，c不动，转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与b相交，相象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？问题2 如图，已知直线a和它之外两点B、C，过B、C作直线b、c与直线a平行.过点B可作几条直线与直线a平行？过点C可作几条直线与直线a平行？直线b与c平行吗？【教学说明】对问题1，可由教师演示，也可制成多媒体课件进行放映，不难得出平行的定义.对问题2，可先由学生独立完成，然后再互相交流，最后将学生的成果进行归纳总结.二、思考探究，获取新知思考 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有几种？2.平行公理与垂直公理非常类似，请问已知条件中的点的位置有什么不同之处，为什么？【归纳结论】1.平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.2.平行公理及其推论：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.3.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：（1）平行；（2）相交.［注意：这里不考察重合的情况或将重合理解为同一条直线.］4.平行公理中，已知条件中的点必须在已知直线外，而垂直公理中，已知条件中的点可在直线外，也可在直线上，这是因为如果点在已知直线上，那么经过这一点不可能画已知直线的平行线，但可以画已知直线的垂线.5.在理解平行的定义时，必须注意以下两点:（1）必须在同一平面内;（2）必须是不相交的直线.三、运用新知，深化理解1.如图，是一个正三棱柱，请找出图中所有的平行线2.如果直线a1∥l，直线a2∥l，……，a n∥l（n为正整数）则a1，a2，……，a n的位置关系如何？【教学说明】本环节可让同学们分组完成，再进行交流.【答案】略.四、师生互动，课堂小结平行公理及其推论.1.布置作业：从教材“习题5.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的重点是平行线的概念和平行公理及其推论.在本课中学生动手、动脑，独立思考，完全参与到知识的探索之中，是知识的探索者，教师也不再是满堂灌式的教学，而是学习的引导者，符合新的课堂理念.第2课时三角形的三边关系【知识与技能】掌握三角形三条边的关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题.【过程与方法】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，开展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣. 【教学重点】掌握三角形三条边的关系。

平行线及其判定（讲义）➢ 课前预习1. 回顾余角、补角、对顶角有关内容，回答下列问题： （1）若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=______； （2）若∠1与∠2互为补角，则∠1+∠2=______； （3）若∠1与∠2互为对顶角，则____________．2. 在同一平面内，_________________________叫做平行线．3. 如图，三根木条相交成∠1，∠2．固定木条b ，c ，转动木条a ，当转动到a ∥b 时，用量角器测量一下∠1，∠2的度数，你会发现∠1_____∠2．（填“＞”、“＜”或“=”）cc➢ 知识点睛1. 同位角、内错角、同旁内角：ab 12345678cabc412385672. 平行的两个基本事实：___________________________________________________； ___________________________________________________．3.平行线的判定：①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；简称为：____________相等，两直线平行；②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；简称为：____________相等，两直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；简称为：____________互补，两直线平行．数学表达：如图，∵∠1=∠8∴a∥b（___________________，___________________）∵∠4=∠5∴a∥b（___________________，___________________）∵∠4+∠8=180°∴a∥b（___________________，___________________）➢精讲精练1.如图所示：（1）∠1和∠2是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（2）∠3和∠4是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（3）∠1和∠5是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（4）∠6和∠4是同位角吗？（5）∠1和∠4是内错角吗？（6）∠5和∠6是同位角吗？2.如图所示：c15732684ba第1题图123456abcdPBOAN（1）∠NOP 和∠OMD 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（2）∠BON 和∠DMN 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（3）∠AOM 和∠CMO 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_________角．3. 如图，直线AD ，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1是（ ） A ．∠4，∠2 B ．∠2，∠6 C ．∠5，∠4D ．∠2，∠44. 如图，判断正误：①∠1和∠4是同位角； （ ） ②∠1和∠5是同位角；（ ） ③∠1和∠3是内错角；（ ）④∠1和∠2是同旁内角． （ ）5. 如图，若∠1=∠A ，则______∥______，理由是：___________________________________________． 若∠1=∠DFE ，则______∥______，理由是：___________________________________________． 若∠DEC +∠C =180°，则______∥______，理由是：___________________________________________． 若∠ADE =_________，则DE ∥BC ，理由是：___________________________________________．6. 如图，下列条件可以判定AB ∥CD 的是（ ）654321A BC D EF54321E 1DAA ．∠1=∠2B ．∠3=∠4C ．∠D =∠5D ．∠BAD +∠B =180°54321EDCBA4321c ba第6题图 第7题图 7. 如图，下列条件不能判定直线a ∥b 的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1=∠3C ．∠1+∠4=180°D ．∠2+∠4=180°8. 如图，∠1=50°，∠2=70°，∠3=60°，下列条件能得到DE ∥BC 的是（ ） A ．∠B =60° B ．∠C =60° C ．∠B =70° D ．∠C =70°9. 推理是由一个或几个已知条件出发，推导出一个未知结论的思维过程．以下是一个题目及完整的推理过程，请填写推理的依据．（1）已知：如图，∠1=∠ADC ，∠DAB +∠ABC =180°． 求证：①AB ∥CD ；②AD ∥B C ．（2）如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1=∠2． 求证：AB ∥CD ． 证明：如图，∵∠3=∠2 （________________________________） ∠1=∠2 （________________________________） ∴∠1=∠3 （________________________________） ∴AB ∥CD （________________________________） 10. 如图，直线a 和直线b 被直线c 所截，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°．其中能判断a ∥b 的条件是（ ）B C EAD 123第5题图1D CBA FH DBE ACG13251cA ．①②B ．②④C ．①②④D ．①②③④11. 已知：如图，点E 在AB 上，且CE 平分∠ACD ，∠1=∠2．求证：AB ∥CD ．BCEAD 12证明：如图，∵CE 平分∠ACD （_____________________________） ∴∠2=∠_____ （_____________________________） ∵∠1=∠2 （_____________________________） ∴∠1=∠_____ （_____________________________） ∴AB ∥CD （_____________________________）12. 如图，已知AB ⊥BC ，若∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，求证：BE ∥DF ．FBCEAD 132413. 下列说法中正确的个数为（ ）①在同一平面内不相交的两条线段叫做平行线； ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行于同一直线的两直线平行． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14. 下列推理中，错误的是（ ）A ．在m ，n ，p 三个量中，如果m =n ，n =p ，那么m =pB ．在∠A ，∠B ，∠C ，∠D 四个角中，若∠A =∠B ， ∠C =∠D ，∠A =∠D ，则∠B =∠CC ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥cD ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c15. 如图，∠1=∠A ，∠2=∠B ，则图中有（ ）对直线平行．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2F BC E A D1【参考答案】➢课前预习1.（1）90°；（2）180°；（3）∠1=∠2．2.不相交的两条直线．3.=．➢知识点睛2.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行平行于同一条直线的两条直线互相平行3.①同位角；②内错角；③同旁内角．同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行➢精讲精练1.（1）a，b，c，同位；（2）a，b，d，内错；（3）c，d，a，同旁内；（4）不是；（5）不是；（6）是．2.（1）OP，CD，NQ，同位；（2）AB，CD，NQ，同位；（3）AB，CD，NQ，同旁内．3. B4.①×②√③√④√5.AB，EF，同位角相等，两直线平行．DF，AC，内错角相等，两直线平行．DE，BC，同旁内角互补，两直线平行．∠B，同位角相等，两直线平行．6. B7. C8. B9.（1）证明：①∵∠1=∠ADC（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）②∵∠DAB+∠ABC=180°（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）（2）对顶角相等已知等量代换同位角相等，两直线平行10.D11.已知ECD，角平分线的定义已知ECD，等量代换内错角相等，两直线平行12.证明略13.B14.D15.C。

第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一．平行线1.定义：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析（1）：平行线的特征：在同一平面内；是直线；没有公共点。

（2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，重合的直线视为一条直线。

（3）平行线是指的两条直线的位置关系，两条射线或线段平行，是指的它们所在的直线平行。

二．平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三．平行公理及其推论1.平行公理：经过直线外一点，_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论：如果两条直线都与_________直线平行，那么这两条直线也互相平行四．平行线的判定1.同位角相等，两直线_________2.内错角相等，两直线_________3.同旁内角互补，两直线___________4.在同一平面内，垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1：1．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF 为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？例2：2．如图，取一张长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，把ABNM平摊在桌面上，另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有MN∥∥．因此∥．题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1：3．如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？例2：4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知）所以∠1＝∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（）所以∠2+∠6＝180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）题型3 平行线判定的开放探究题例1：5．如图，∠A＝60°，∠1＝60°，∠2＝120°，猜想图中哪些直线平行，并证明．例2：6．如图，直线a，b被c所截，∠1＝50°，若要a∥b，则需增加条件（填图中某角的度数）；依据是．题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1：7．如图所示，给你两块同样的三角板和一根直尺（直尺比桌子长），请你设计一个方案，检验桌子的相对边缘线是否平行？例2：8．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？课后提高训练9．下列说法错误的是（）A．平行于同一条直线的两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．对顶角相等D．同位角相等10．如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°11．如图，平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5，根据所标角度，下列说法正确的是（）A．l1∥l2B．l2∥l3C．l1∥l3D．l4∥l512．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠BAD＝∠BCDC．∠BAD+∠ADC＝180°D．∠2＝∠313．如图所示，下列推理正确的是（）A．∵∠1＝∠4（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵∠2＝∠3（已知）∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）C．∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）D．∵∠2＝∠2（已知）∴AE∥DC（内错角相等，两直线平行）14．下列说法中正确的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③经过两点有一条直线，并且只有一条直线④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（填序号）①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠D＝∠5．16．如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填一个条件即可）．17．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点C、D重合，若固三角板定ABC，改变三角板AED的位置（其中A点位置始终不变），当∠CAD＝时，ED∥AC．18．如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是．19．已知：∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，求证：AB∥CD．20．如图，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，则直线l1与l2平行吗？判断并说明理由．21．如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（）．所以DF∥AE（）．22．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4（等量代换），∴（）．∴∠3＝∠C（）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（）．参考答案与解析1.解：∵四边形FECD是矩形，∴CD∥EF；又∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥EF，∴CD∥AB．2.解：∵长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，∴MN∥AB，MN∥CD，即MN∥AB∥CD，∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．故各空依次填AB、CD、AB、CD．3.解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．4.解：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知），所以∠1＝∠4，（同角的补角相等）所以a∥c．（内错角相等，两直线平行）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（对顶角相等）所以∠2+∠6＝180°，（等量代换）所以a∥b．（同旁内角互补，两直线平行）所以b∥c．（平行于同一条直线的两条直线平行）．故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．5.解：如图，∵∠A＝60°，∠1＝60°，∴∠A＝∠1，∴DE∥AC．又∵∠A＝60°，∠2＝120°，∴∠A+∠2＝180°，∴EF∥AB．6.解：∵∠3＝50°，1＝50°，∴∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠3＝50°；同位角相等；两直线平行．7.解：（1）将直尺放在桌面上，使其与桌面一组对边相交；（2）将三角板一边贴近直尺，斜边贴近桌面边缘；（3）使另一个三角形同样方法放置，如果相符合说明对边平行，原理如图所示，若∠1＝∠2则a∥b，再检查另一组对边是否平行．8.解：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；②通过度量∠4的度数，若满足∠2＝∠4，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；③通过度量∠5的度数，若满足∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解：选项①中∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；选项②中，∵∠2＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；选项③中，∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项④中，∵∠B＝∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以正确；选项⑤中，∠D＝∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；故答案为：①③④．16.解：添加条件为：∠D＝∠COE．理由如下：∵∠D＝∠COE，∴BE∥DE（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠D＝∠COE（答案不唯一）．17.解：如图所示：当ED∥AC时，∠CAD＝∠D＝30°；如图所示，当ED∥AC时，∠E＝∠EAC＝60°，∴∠CAD＝60°+90°＝150°；故答案为：30°或150°．18.解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；故答案为：①④．19.证明：∵∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．20.解：直线l1与l2平行，理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，∴∠4＝42°，∠5＝53°，又∵∠3＝85°，∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）．21.解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1），所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．22.证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．。

第五章订交线与平行线平行线1、平行线的观点：在同一平面内，不订交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线b相互平行，记作 a ∥b。

2、两条直线的地点关系（1）在同一平面内，两条直线的地点关系只有两种：⑴订交；⑵平行。

（2）所以当我们得悉在同一平面内两直线不订交时，就能够必定它们平行；反过来也同样（这里，我们把重合的两直线当作一条直线）（3）判断同一平面内两直线的地点关系时，能够依据它们的公共点的个数来确立：①有且只有一个公共点，两直线订交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（由于两点确立一条直线）3、平行公义――平行线的存在性与唯一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公义的推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行ab 如左图所示，∵ b ∥a，c∥a∴ b ∥cc 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。

【典型例题】种类一、两条直线的地点关系1.同一平面内的两条直线若订交，那么有_________交点，若平行则 ______交点 .2.在 ______内，两条直线的地点关系只有______、 ________两种 .3.以下表达的图形是平行线的是（）A. 在同一平面内，不订交的两条线叫做平行线.B.在同一平面内，不订交的两条线段叫做平行线.C.在同一平面内，不订交的两条射线叫做平行线.D.在同一平面内，不订交的两条直线叫做平行线.4. 在同一平面内的两条直线的地点可能是( )A. 订交或垂直B.垂直或平行C.平行或订交D.订交或垂直或平行种类二、平行线的画法：一落二靠三移四画5.读以下语句 ,并画出图形 .(1)直线 AB、 CD 是订交直线 ,点 P 是直线 AB、CD 外的一点 ,直线 EF 经过点 P 与直线 AB 平行 ,与直线 CD订交于点 E；(2)点 P 是直线 AB 外一点 ,直线 CD 经过点 P,且与直线AB 平行 .6.读以下语句，并作图：（1）如图 (1)，过 A 点画 AF∥ CE 交 BC 于 F；（2）如图 (2)，过 C 点画 CE∥ AD 交 BA 的延伸线于 E.种类三、平行公义及其推论7.如图 5.2.1-2, ∵ AB∥ CD (已知 ), 过点 F 可画 EF∥ AB,∴ EF∥ DC,8. 画∠ AOB=90 °,在它的边 OA 上取一点 C,过 C 画 EF ∥ OB,量得∠ ACF=______ 度. 图9. l 、 l 、 l为同一平面内三条直线 ,若 l 与 l 不平行 ,l 与 l 不平行 ,那么以下判断正确的选项是()123 1223A. l 1 与 l 3 必定不平行B. l 1 与 l 3 必定平行C.l 1 与 l 3 必定相互垂直D. l 1 与 l 3 可能订交 ,也可能平行10. 以下说法中 ,错误的选项是 ()①有且只有一条直线与已知直线平行②过一点有且只有一条直线与已知直线平行③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行④平行于同一条直线的两条直线平行A. ①③B.②④C.③④D. ①②11. 在同一平面内 ,直线 a 与 b 知足以下条件 ,写出其对应的地点关系：(1)a 与 b 没有公共点 ,则 a 与 b________；(2)a 与 b 有且只有一个公共点,则 a 与 b_______；(3)a 与 b 有两个公共点 ,则 a 与 b________.平行线的判断探究一：请同学们认真阅读课本 P13 页“平行线判断的思虑” ，你知道在画平行线这一过程中，三角尺所起的作用吗？由此我们能够获得平行线的判断方法，如图，将以下空白增补完好（填判断方法 1（判断公义）几何语言表述为：∵ ∠ ___=∠ ___ ∴ AB ∥ CD由判断方法 1，联合对顶角的性质，我们能够获得： A判断方法 2（判断定理） 几何语言表述为：∵∠ ___=∠ ___ ∴ AB ∥ CDC由判断方法 1，联合邻补角的性质，我们能够获得： 判断方法 3（判断定理） F几何语言表述为：∵∠ ___+∠ ___=180° ∴ AB ∥CD平行线的判断 1[1] 判断方法 1 的认识1 种就能够）E1 4 B235 8D671.如图，技术人员在制图版时，用“丁”字尺画平行线，其数学依照是 _______.图 图 图2.如图，∠ 3=∠ 7 或________，那么 _______，原因是 _______.3.如图所示，直线 AB 、 DE 被 CD 所截，∠ D=50 °，当∠ BFC =________ 时， AB ∥DE . 4.如图所示，∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，则 _______∥ _______∥ _______.图图5.如图 5.2.2-5 所示，判断 AB ∥ CD 的条件是（）A. ∠2=∠BB. ∠1=∠AC. ∠3=∠BD. ∠3=∠A[2] 判断方法 1 的应用6.两直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则这一对同位角的角均分线（）A. 相互垂直B.相互平行C.订交但不垂直D. 不可以确立7.如图，能使 BF ∥ DG 的条件是（） A.∠ 1=∠ 4B.∠ 2=∠4C.∠2= ∠ 3D. ∠1= ∠ 3图图 8.如图所示，若∠ 1 与∠2 互补，∠ 2 与∠ 4 互补，则（）A. l ∥ l4∥ l5∥l5∥ l232119.如图所示，∠ 1=1∠ DFG ，ED 均分∠ BEF ，2试问 AB 与 CD 平行吗？为何？图平行线判断2、 3[1] 判断方法 2、 3 的认识1.如图，直线 a 、 b 被直线 c 所截，现给出以下四个条件：①∠ 1=∠ 5；②∠ 1= ∠7； ③∠ 2+∠ 3=180°；④∠ 6=∠ 8；此中能判断 a ∥ b 的条件的序号是 ( ) A. ①②B. ①③C.①④D.③④图图2. 如图 5.2.2-10 所示 ,以下条件中 ,不可以判断 AB ∥ CD 的是 ()∥ EF ,CD ∥ EFB.∠5=∠ AC.∠ ABC+∠ BCD=180°D.∠ 3=∠ 23.如图 5.2.2-11,若∠ 1=67° ,∠ 2=113°,则 _______∥ _______,依据是 ____________.图图4.如图5.2.2-12, 若∠ 1+∠ 2=180° ,那么 ()A. a∥ bB. a∥c∥ d D. a∥ d5.已知：如图 5.2.2-13,以下条件中 ,不可以判断直线 l 1∥ l 2的是 ()A.∠ 1=∠ 3B.∠ 2= ∠3C.∠4= ∠ 5D.∠ 2+∠ 4=180°图[2]判断方法 2、 3 的应用6.在山脚下,甲、乙两地之间要修一条穿山地道如图5.2.2-14,从甲地测得地道走向是北偏东60°,假如甲、乙两地同时动工,那么在乙地地道应按南偏度 ________施工 ,才能使公路正确接通 .图7.如图 5.2.2-15, 直线 MN 分别和直线 AB、CD、EF 订交于 G、H、P，∠ 1=∠2，∠ 2+∠ 3=180° ,试问 :AB与 EF 平行吗 ?为何 ?图8. 已知如图 5.2.2-16,点 B 在 AC 上， BD⊥ BE，∠ 1+∠ C=90 ° .试问射线 CF 与 BD 平行吗？图综合训练（ A ）一、填空题1. 两条直线被第三条直线所截，假如相等或相等，那么这两条直线平行。

《平行线及其判定》讲义知识梳理：平行线的概念；平行公理及其推论；平行线的判定重难点解析：理解平行线的概念；理解平行公理及其推论；理解平行线的判定教学内容：知识梳理：知识1：平行线的概念在同一平面内，不相交的两条叫做平行线平行用符号表示如AB∥CD答案：直线∥知识2：平行公理及其推论平行公理：，有且只有一条直线与已知直线平行推论:如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线也答案：经过直线外一点平行知识3：平行线的判定,两直线平行; ,两直线平行; ,两直线平行;补充：在同一平面内，①于同一条直线的两条直线平行②于同一条直线的两条直线平行答案：同位角相等内错角相等同旁内角互补垂直平行重难点解析：一：平行线的概念例1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行解析：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系，两条直线有一个交点，两条直线相交；两条直线没有交点，两条直线平行注意：垂直是相交的特殊情况。

答案：C二：平行公理例2．三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）A．a⊥b B．a∥bC．a⊥b或a∥b D．无法确定分析：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b，故选B．答案：B三：平行线的判定例3．如图，下列条件不能判定直线a∥b的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3C．∠1∠4=180°D．∠2∠4=180°分析：A ∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；B ∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；C ∠1∠4=180°与a，b的位置无关；D ∵∠2∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．答案：C例4如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=∠DAM，∴∠C=∠DAM，∴AM∥BC．例5．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=12021∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转多少度？证明∵∠1=12021∴∠3=60°，∵∠2=45°，∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．。