【附31套中考模拟卷】湖南长沙市师大附中学教育集团重点达标名校2019-2020学年中考语文对点突破模拟试卷含

C. What; how surprising
D. How; what surprised
( ) 6. I have two sons , and ________ of them live with me.
A. neither B. either C. both
D. all
( ) 7. --- Mum, could you buy me a new dress like that? ---Certainly, we can buy ________one than this,
A. study B. to study C. studying D studies ( ) 15. --- Would you please tell me something about your travel in Sydney?
--- ________
A. Excuse me. I’m afraid not. B. It’s very nice of you to say so
--- Ok, ________.
A. wake him up; I won’t C. wake him up; I will
B. wake up him; I don’t D. wake up him; I will
( ) 12. --- The woman with glasses must be your mother.
--- No, it ________ be my mother, my mother ________ to Dalian.
A. mustn’t; has gone
B. can’t; has gone
C. must; has been

2019-2020学年八上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（每题3分，共计30分；每道题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案填在后面的括号内）1.在实数0.333…-π，3.1415，2.001…（相邻两个1之间0的个数逐渐增加）中，无理数有（）21世纪教育A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 下列二次根式中的最简二次根式是（）A. B. C. D.3.下列式子正确的是（）±4 B.=4 =-4 D.=±44.下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是( ）A. 2 , 3 , 4B. 1, ,C. 5 , 12 , 13D. 9, 40 , 415.1的大小在以下两个整数之间（）A. 1与2B. 2与3C. 3与4D. 4与56.点M（-3，-5）是由N先向上平移4个单位，再向左平移3个单位而得到，则点N的坐标为（）A. （0，-9）B. （-6，-1）C. （1，-2）D. （1，-8）7..如图1，等边△ABC边长为3cm，将△ABC沿AC向右平移1cm，得到△DEF，则四边形ABEF的周长( )21·世纪*教育A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a，b，c, 已知a∶b＝3∶4，c＝10，则△ABC的面积为( )A．24 B．12 C．28 D．309.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(，则点C的坐标为（ ）A.，1） B. （1-C.（，1） D.（1-） 10.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A ．25海里 B ．30海里 C ．35海里 D ．40海里二、填空题（每空3分，共27分,请直接写出结果）。

湖南师大附中教育集团2019-2020学年度第一次九年级联考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间 【答案】C【解析】【分析】根据5.766 6.25,1.962 2.25<<<<,即可求出和的取值范围,+,即可得出结论．【详解】解:∵5.766 6.25,1.962 2.25<<<<∴2.4 2.5,1.4 1.5<<<∴2.4 1.4 2.5 1.5+<+<+即3.84<+3和4之间故选C ． 【点睛】此题考查的是判断无理数的取值范围,根据被开方数的取值范围,求出算术平方根的取值范围是解决此题的关键．2.下列运算正确的是（ ）A. 428a a a =•B. 2242a a a +=C. 222()a b a b +=+D. 326(2)4a a -= 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方逐一判断即可．【详解】解：A ． 44262a a a a +==•，故本选项错误；B ． ()2222112a a a a +=+=，故本选项错误； C ． 222()2a b a ab b +=++，故本选项错误；D ． 322326(2)(2)4a a a ⨯-=-=，故本选项正确．故选D ．【点睛】此题考查的是幂的运算性质、合并同类项和完全平方公式，掌握同底数幂的乘法、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方是解决此题的关键．3.太阳与地球之间的平均距离约为150000000km ，用科学记数法表示这一数据为（ ）A. 81.510km ⨯B. 71510km ⨯C. 100.1510km ⨯D. 91.510km ⨯【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：根据科学记数法的定义：150000000km =81.510km ⨯故选A ．【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键．4.2019年全国高中数学联赛，湖南师大附中入选省队人数、签约清北人数、一等奖人数均为全省第一．其中一等奖获奖人数附中及其他三所兄弟学校从高到低依次为：20，17，12，12．这组数据的中位数是（ ）A. 17B. 12C. 14．5D. 15．5 【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列,处在中间位置的一个数或最中间两个数据的平均数，即可得出结论．【详解】解：根据中位数的定义，这组数据的中位数是（17＋12）÷2=14.5故选C ．【点睛】此题考查的是求一组数据的中位数，掌握中位数的定义是解决此题的关键．5.如图，//AB CD ，EF 分别为交AB ，CD 于点E ，F ，150∠=o ，则2∠的度数为（ ）A. 50oB. 120oC. 130oD. 150o【答案】C【解析】【分析】 根据两直线平行，同位角相等可得∠BEF=∠1=50°，然后根据平角的定义即可求出∠2的度数．【详解】解：∵//AB CD∴∠BEF=∠1=50°∴∠2=180°－∠BEF=130°故选C ．【点睛】此题考查的是平行线的性质和平角的定义，掌握两直线平行，同位角相等和平角的定义是解决此题的关键．6.如图，O e 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为( )A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆心角等于同弧所对圆周角的2倍得到∠COE=45︒,由垂径定理得到CD=2CE, 90CEO ∠=︒,，用勾股定理求得CE =CD=2CE= 【详解】∵22.5A ∠=︒，∵∵COE=45︒,∵直径AB 垂直于弦CD ，∵CD=2CE, 90CEO ∠=︒,∵4OC =,∵CE=sin 4542OC ⋅︒=⨯=，∵CD=2CE=故选：A.【点睛】此题考查圆的垂径定理、圆周角定理，利用∠COE=45︒求得CE =CD=2CE=.7.如图，D ，E 分别是ABC ∆中AB ，AC 边上的点，//DE BC ，下列结论错误的（ ）A. AD AE AB AC =B. AD AE DB EC =C. AB AC DB EC =D. DE AE BC EC= 【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理及推论逐一判断即可．【详解】解：∵//DE BC ∴AD AE AB AC=，故A 正确；AD AE DBEC =，故B 正确； AB AC DB EC=，故C 正确； DE AE AE BC AC EC=≠，故D 错误． 故选D ．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理及推论，掌握根据平行线分线段成比例定理及推论判断比例式是解决此题的关键．8.若1x 、2x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则1211+x x 的值是（ ） A. 75 B. 75- C. 57 D. 57- 【答案】A【解析】【详解】这里a=1，b=-7，c=5，由题意知，x 1x 2=5，x 1+x 2=7， 则1211+x x =121275x x x x += 故选A9.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为边AD 中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（ ）A. 3．5B. 4C. 7D. 14【答案】A【解析】【分析】 根据菱形的性质和周长，即可求出AD ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．【详解】解：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AD=AB=BC=CD=28÷4=7，∠AOD=90°∵E 为边AD 中点，∴在Rt △AOD 中，OE=1 3.52AD = 故选A ．【点睛】此题考查的是菱形的性质和直角三角形的性质，掌握菱形的四边都相等、菱形的对角线互相垂直和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决此题的关键．10.化简22422b a a b b a+--的结果是（ ） A. 2a b -+B. 2a b --C. 2a b +D. 2a b -【答案】B【解析】【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可. 【详解】原式22422b a a b a b=--- 2242b a a b-=- (2)(2)2b a b a a b+-=- 2a b =--故选：B.【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据运算法则将分式转化为同分母是解题关键11.一次函数1y kx b =+与反比例函数2m y x=的图象交于(1,2)A -、(2,1)B -两点，使12y y >成立的自变量x 的取值范围是（ ）A. 12x -<<B. 10x -<<或2x >C. 1x <-或2x >D. 1x <-或02x << 【答案】D【解析】【分析】在同一直角坐标系中，画出两个函数的图象，根据图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时，x 的取值范围即可．【详解】解：在同一直角坐标系中，根据A 、B 两点坐标画出一次函数1y kx b =+与反比例函数2m y x=的图象，如下图所示由图可知：当12y y >时，1x <-或02x <<故选D ．【点睛】此题考查的是一次函数和反比例函数的结合题，掌握一次函数和反比例函数图象的画法、结合图象求自变量的取值范围是解决此题的关键．12.如图，在平行四边形ABCD 中，78ABC ∠=o ，AE BC ⊥于点E ，AE 交BD 于点F ，若2DF AB =，则AFD ∠的大小是（ ）A. 62oB. 64oC. 66oD. 68o【答案】B【解析】【分析】 取DF 的中点G ，连接AG ，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得∠FAD=∠AEB=90°，∠CBD=∠GDA ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出AB=AG=FG=DG ，根据等边对等角可得∠ABG=∠AGB ，∠GAD=∠GDA ，然后根据三角形的外角的性质和已知条件即可求出∠GDA ，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：取DF 的中点G ，连接AG ，如下图所示∵四边形ABCD 是平行四边形，AE BC ⊥∴BC ∥AD ，∠AEB=90°∴∠FAD=∠AEB=90°，∠CBD=∠GDA在Rt △FAD 中，DF=2AG=2FG=2GD∵2DF AB =∴AB=AG=FG=DG∴∠ABG=∠AGB ，∠GAD=∠GDA∴∠ABG=∠AGB=∠GAD ＋∠GDA=2∠GDA=2∠CBD∴∠ABC=∠ABG ＋∠CBD=3∠CBD=78°∴∠CBD=26°∴∠GDA=26°在Rt △AFD 中，∠AFD=90°－∠GDA=64°故选B ．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边对等角是解决此题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上） 13.因式分解：2818a b b -=__________．【答案】2(23)(23)b a a -+【解析】【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可【详解】解：2818a b b -=()2249b a -=2(23)(23)b a a -+故答案为：2(23)(23)b a a -+．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键． 14.从大小形状完全相同标有1、2、3数字的三张卡片中随机抽取两张，和为偶数的概率为____. 【答案】13【解析】试题解析：画出树状图得：∵和为偶数的情况有两种，所有可能的情况有6种，∴P （和为偶数）=21=63．15.圆心角为120o 的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】根据扇形的面积公式：S 扇形=2360n r π计算即可． 【详解】解：这个扇形的面积为212033360ππ••= 故答案为：3π．【点睛】此题考查的是求扇形的面积，掌握扇形的面积公式S 扇形=2360n r π是解决此题的关键． 16.如图，AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上两点，若50ABC ∠=o ，则D ∠的度数为__________．【答案】40o【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠CAB ，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠D ．【详解】解：∵AB 为圆O 的直径，50ABC ∠=o∴∠ACB=90°∴∠CAB=90°－∠ABC=40°∴∠D=∠CAB=40°故答案为：40°．【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论和直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．17.计算：22244(4)2x x x x x+--÷+= ． 【答案】x -2【解析】试题解析：原式=244(2)(2)(2)x x x x x x x +-+⨯+-=2(2)(2)(2)(2)x x x x x x -+⨯+- =x-2.考点：分式的混合运算.18.已知关于x 的一元二次方程2(1)40ax a x -+-=的两根分别为1x ，2x ，且110x -<<，223x <<，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】332a << 【解析】【分析】设2(1)4y ax a x =-+-，根据一元二次方程的解和二次函数图象与x 轴交点的关系，并求出二次函数的图象与y 轴的交点坐标，即可画出二次函数的大致图象，然后根据图象分别找到当x=-1、x=2、x=3时，y 的取值范围代入即可求出a 的取值范围．【详解】解：设2(1)4y ax a x =-+-∵关于x 的一元二次方程2(1)40ax a x -+-=的两根分别为1x ，2x ， ∴二次函数2(1)4y ax a x =-+-的图象与x 轴的两个交点的横坐标为1x ，2x ，将x=0代入二次函数解析式中，解得y=-4∴二次函数的图象与y 轴交于（0，-4）∵110x -<<，223x <<，∴该二次函数的图象大致为如下图所示，由图可知：a ＞0，当x=-1时，y ＞0，即()()211(1)40y a a =---+->，解得：32a >； 当x=2时，y ＜0，即222(1)40y a a =-+-<，解得：3a <当x=3时，y ＞0，即233(1)40y a a =-+->，解得：76a >∴实数a 的取值范围是332a << 故答案为：332a <<． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的解和二次函数图象与x 轴交点的关系，掌握把一元二次方程的问题转化成二次函数的问题是解决此题的关键．三、解答题：本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.201(()(12-⨯--【答案】-7【解析】【分析】根据二次根式的性质、负指数幂的性质和零指数幂的性质计算即可．【详解】解：原式2(2)41=+-⨯- 281=--7=-【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、负指数幂的性质和零指数幂的性质是解决此题的关键．20.解不等式组2723222334x x x x x --⎧≤⎪⎪⎨--⎪<-+⎪⎩． 【答案】24x <≤【解析】【分析】根据不等式的基本性质分别解出不等式①和②，然后取公共解集即可．【详解】解：2723222334x x x x x --⎧≤⎪⎪⎨--⎪<-+⎪⎩①② 解不等式①，得4x ≤解不等式②，得2x >∴不等式组的解集为24x <≤【点睛】此题考查的是解不等式组，掌握不等式组的解法和公共解集的取法是解决此题的关键． 21.为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格），并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是 人；（2）图1中α∠的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生4500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ． （4）老师想从4位同学（分别记为E 、F 、G 、H ，其中E 为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．【答案】（1）40；（2）162o ，图详见解析；（3）450；（4）12． 【解析】【分析】（1）根据B 级的人数和所占抽样总人数的百分率，即可求出抽样总人数；（2）先用抽样总人数减去A 级、B 级、D 级人数即可得到C 级的人数，用C 级人数除以抽样总人数乘360°即可得出α∠的度数，然后补全条形统计图即可．（3）根据D 级的人数和抽样总人数求出不及格率，再乘九年级总人数即可；（4）根据题意画出树形图，然后根据树形图求概率即可．【详解】解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30%=40人故答案为：40．（2）C 级人数为40－6－12－4=18人∴α∠=1836016240⨯︒=︒ 故答案为：162o条形统计图如下图所示：（3）不及格率为：4÷40×100%=10%∴不及格的人数为4500×10%=450人故答案为：450（4）根据题意画树形图如下：共有12种等可能的结果，其中选中小明的有6种，则P （选中小明）61122==． 【点睛】此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，掌握结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息和画树状图求概率是解决此题的关键．22.如图，AD 是圆O 的弦，AB 经过圆心O ，交圆O 于点C ，30DAB B ∠=∠=o ．（1）求证：直线BD 与圆O 相切．（2）连接CD ，若5CD =，求AB 的长．【答案】（1）详见解析；（2）15【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等边对等角可得30ODA DAB B ∠=∠=∠=o ，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠ODB ，最后根据切线的判定定理即可得；（2）先证出DOC ∆是等边三角形，即可求出OA=OD=CD=5，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出OB ，从而求出AB ．【详解】解：（1）连接OD∵OA=OD ，30DAB B ∠=∠=o∴30ODA DAB B ∠=∠=∠=o∴18018030303090ODB ODA DAB B ∠=-∠-∠-∠=---=o o o o o o∴直线BD 与圆O 相切（2）由（1）知，30ODA DAB ∠=∠=o∴60DOB ODA DAB ∠=∠+∠=o又∵OC OD =∴DOC ∆是等边三角形∴5OA OD CD ===又∵30B ∠=o ，90ODB ∠=o∴210OB OD ==∴51015AB OA OB =+=+=【点睛】此题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握切线的判定定理、等边对等角、等边三角形的判定及性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．23.某商店计划购进一批A 、B 两种型号的计算器，若购进A 型计算器10只和B 型计算器8只，共需要资金880元；若购进A 型计算器2只和B 型计算器5只，共需要资金380元．（1）求A 、B 两种型号的计算器每只进价各是多少元？（2）该商店计划购进这两种型号计算器共50只．根据市场行情，销售一只A 型计算器可获利9元，销售一只B 型计算器可获利18元．该商店希望销售完这50只计算器，所获利润不少于购进总成本的25%．则该商店至少要采购B 型计算器多少只？【答案】（1）A 种型号的计算器每只进价40元，B 种型号的计算器每只进价为60元；（2）该经销商至少要采购B 型计算器13只．【解析】【分析】（1）设A 种型号的计算器每只进价x 元，B 种型号的计算器每只进价为y 元，根据题意，列出二元一次方程组，并解方程组即可；（2）设该经销商要采购B 型计算器m 只，根据“所获利润不少于购进总成本的25%”列不等式，并解不的【详解】解：（1）设A 种型号的计算器每只进价x 元，B 种型号的计算器每只进价为y 元，根据题意，得 10888025380x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：4060x y =⎧⎨=⎩答：A 种型号计算器每只进价40元，B 种型号的计算器每只进价为60元．（2）设该经销商要采购B 型计算器m 只，根据题意，得189(50)[6040(50)]25%m m m m +-≥+-•解之，得12.5m ≥所以，该经销商至少要采购B 型计算器13只答：该经销商至少要采购B 型计算器13只．【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．24.如图，四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=o ，30BCD ∠=o ，将AC 绕着点A 顺时针旋转60o 得AE ，连接BE ，CE ．（1）求证：ADC ∆≌ABE ∆；（2）求证：222AC DC BC =+； （3）若2AB =，点Q 在四边形ABCD 内部运动，且满足222AQ BQ DQ =+，求点Q 运动路径的长度．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）23π． 【解析】的（1）根据等式的基本性质可得DAC BAE ∠=∠，然后利用SAS 即可证出ADC ∆≌ABE ∆；（2）根据四边形的内角和和全等三角形的性质可得270ABC ABE ∠+∠=o ，从而求出∠CBE=90°，根据勾股定理可得222CE BE BC =+，根据等边三角形的判定及性质可得CE AE AC ==，从而证出结论； （3）如图，设Q 为满足条件的点，将AQ 绕着点A 顺时针旋转60度得AF ，连接QF ，BF ， QB ，DQ ，AF ， DB ，先利用SAS 证出ADQ ∆≌ABF ∆，从而得出BF DQ =，∠AQD=∠AFB ，然后证出AFQ ∆为等边三角形，△ADB 为等边三角形，从而得出AQ FQ =， DB=AB=2，然后根据勾股定理的逆定理可得90FBQ ∠=o，根据四点共圆证出点Q 的路径为过B 、D 、C 三点的圆上»BD ，求出圆心角和半径即可求出点Q 运动路径的长度．【详解】证明：（1）∵60CAE DAB ∠=∠=o∴DAB CAB CAE CAB ∠-∠=∠-∠∴DAC BAE ∠=∠在ADC ∆和ABE ∆中AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC ∆≌ABE ∆（2）在四边形ABCD 中360270ADC ABC DAB DCB ∠+∠=-∠-∠=o o∵ADC ∆≌ABE ∆∴ADC ABE ∠=∠，CD BE =∴270ABC ABE ABC ADC ∠+∠=∠+∠=o∴360()90CBE ABE ABC ∠=-∠+∠=o o∴222CE BE BC =+又∵AC AE =，60CAE ∠=o∴△AEC 为等边三角形∴CE AE AC ==∴222AC DC BC =+（3）如图，设Q 为满足条件的点，将AQ 绕着点A 顺时针旋转60度得AF ，连接QF ，BF ， QB ，DQ ，AF ， DB ．∵60QAF DAB ∠=∠=o∴DAB QAB QAF QAB ∠-∠=∠-∠∴DAQ BAF ∠=∠在ADQ ∆和ABF ∆中 AD AB DAQ BAF AQ AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADQ ∆≌ABF ∆∴BF DQ =，∠AQD=∠AFB ，∵60QAF ∠=o ，AQ=AF ，∠DAB=60°，AD=AB∴AFQ ∆为等边三角形，△ADB 为等边三角形∴AQ FQ =， DB=AB=2∵222AQ BQ DQ =+∴222FQ BQ BF =+∴90FBQ ∠=o∴()360DQB AQD AQB ∠=-∠+∠o()()360360360150AFB AQB QAF FBQ =-∠+∠⎡⎤=--∠+∠⎣⎦=o o o o∵∠BCD=30°∴∠DQB ＋∠BCD=180°∴点Q 的路径为过B 、D 、C 三点的圆上»BD设圆心为O ，连接OD 、OB则260BOD BCD ∠=∠=o ，∴△OBD 为等边三角形∴2DO DB ==，∴点Q 的运动的路径长为：60221803ππ⨯=． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及逆定理、四点共圆和求点的运动路径长度，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定定理、等边三角形的判定及性质、勾股定理及逆定理、利用四点共圆判定点的运动路径及弧长公式是解决此题的关键．25.四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．（1）如图1，四边形ABCD 中，100DAB ∠=o ，130DCB ∠=o ，对角线AC 平分DAB ∠，求证：AC 是四边形ABCD 的相似对角线；（2）如图2，直线33y x =-+分别与x ，y 轴相交于A ，B 两点，P 为反比例函数k y x=（k 0<）上的点，若AO 是四边形ABOP 的相似对角线，求反比例函数的解析式；（3）如图3，AC 是四边形ABCD 的相似对角线，点C 的坐标为(3,1)，//AC x 轴，30BCA DCA ∠=∠=o ，连接BD ，BCD ∆A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++（0a <）与x 轴交于E ，F 两点，记1m AC =+，若直线y mx =与抛物线恰好有3个交点，求实数a 的值．【答案】（1）详见解析；（2）y x =或y x -=y x-=；（3）12a =-或92a =- 【解析】【分析】 （1）设ACD α∠=，则130ACB α∠=-o ，然后根据角平分线的性质可求得∠BAC=∠DAC=50°，根据三角形的内角和定理可得B α∠=，最后根据相似三角形的判定定理可证AC 是四边形ABCD 的相似对角线；（2）根据一次函数即可求出点A 、B 的坐标，再根据锐角三角函数值即可求出30OAB ∠=o ，60OBA ∠=o ，然后根据相似对角线的定义和相似三角形对应角的情况分类讨论，分别利用锐角三角函数求出点P 的坐标，即可求出反比例函数的解析式；（3）根据锐角三角函数和面积公式可得4CD BC •=，然后根据相似对角线的定义即可求出AC ，从而求出两个m 的值和两条直线的解析式3y x =-和3y x =，根据图形可知3y x =-，一定与抛物线有两个交点，故3y x =与抛物线有且仅有一个交点，然后联立方程令一元二次方程的△=0即可求出a 的值．【详解】（1）证明：如图1，设ACD α∠=，则130ACB α∠=-o∵100DAB ∠=o ，AC 平分DAB ∠∴∠BAC=∠DAC=1502DAB ∠=o ∴18018050(130)B BAC ACB αα∠=-∠-∠=---=o o o o在ABC ∆和ACD ∆中∵B ACD ∠=∠，BAC CAD ∠=∠∴ABC ∆∽ACD ∆∴AC 是四边形ABCD 的相似对角线．（2）如图2，可求得直线33y x =-+与两坐标轴交点分别为(4,0)A ，(0,)3B ∴OA=4，在Rt △AOB中，tan OB OAB OA ∠== ∴30OAB ∠=o ，60OBA ∠=o当OA 是四边形OBAP 的相似对角线时，有如下情况：①当∠APO=∠AOB=90°时，过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，如下图所示，此时又分以下两种情况的（i ）当60AOP ABO ∠=∠=o ，Rt △OAP 中，OP=OA ·cos ∠AOP=2在Rt △OPQ 中，OQ=OP ·cos ∠AOP=1，PQ= OP ·sin ∠∴此时点(1,P ，将P 点坐标代入k y x=，得k =∴该反比例函数的解析式为y =； （ii ）30BAO AOP ∠=∠=o ，在Rt △OAP 中，OP=OA ·cos ∠在Rt △OPQ 中，OQ=OP ·cos ∠AOP=3，PQ= OP ·sin ∠∴此时点(3,P ，将P 点坐标代入k y x=，得k =-∴该反比例函数的解析式为y x-= ②当∠OAP=∠AOB=90°时，此时又分以下两种情况（i ）当∠AOP=∠OAB=30°时，如下图所示，∵OA=AO ，∠OAP=∠AOB=90°∴△OAP ≌AOB ，不符合相似对角线的定义，故舍去；（ii ）当60AOP ABO ∠=∠=o 时，如下图所示，在Rt △OAP 中，AP=OA ·tan ∠AOP=∴此时点(4,P -，将P 点坐标代入k y x=，得k =-该反比例函数的解析式为y =； ③当∠AOP=∠AOB=90°时，此时点P 在y 轴上，故不存在反比例函数图象，故舍去．综上所述：反比例函数的解析式为y =y =y =． （3）如图3，作BCD ∆的底边CD 边上的高BH ，则30CBH ∠=o ， ∴12CH BC =在Rt CHB ∆中，由勾股定理可求得BH BC =，∵12BCD S CD BC ∆=BC •=∴4CD BC •=∵AC 是四边形ABCD 的相似对角线若BCA ∆∽DCA ∆，由CA=CA 可得BCA ∆≌DCA ∆，不符合相似对角线的定义，故舍去，∴BCA ∆∽ACD ∆， ∴BC AC AC DC=， ∴2AC CD BC =•∴24AC =，即2AC =由点C 的坐标为(3,1)可知，点A 的坐标为(1,1)，将A ，C 两点的坐标代入抛物线2(0)y ax bx c a =++<，得1931a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩解得4b a =-，31c a =+，所以抛物线的解析式可化为2431y ax ax a =-++ 由1m AC =+，得直线y mx =的解析为3y x =,3y x =-，∵直线3y x =-与抛物线2431y ax ax a =-++(0)a <的交点必有两个∴直线3y x =与该抛物线的交点有且只有一个∴方程组23431y x y ax ax a =⎧⎨=-++⎩有且只有一组解 即关于x 的一元二次方程2(43)310ax a x a -+++=有两个相等的实数根．∴2(43)4(31)0a a a ∆=+-+=， 解得12a =-或92a =-【点睛】此题考查的是新定义问题、新定义与反比例函数、新定义与二次函数的综合大题，此题难度较大，涉及知识点较多，掌握相似三角形的性质、利用待定系数法求反比例函数解析式、二次函数与一次函数交点个数与一元二次方程根的判别式的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．26.如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A 和点(2,0)B -，与交y 轴于点(0,4)C ，0()f x 表示当自变量为0x 时的函数值，对于任意实数m ，均有(1)(3)f m f m -=-． （1）求该二次函数的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当CQE ∆的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2,0)．是否存在这样的直线l ，使得ODF ∆是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2142y x x =-++；（2）(1,0)Q ；（3）存在，点P 的坐标为：(1+或(1-或(1+或(1【解析】【分析】 （1）根据题意即可求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性即可求出点A 的坐标，设二次函数的解析式为(2)(4)y a x x =+-，将点C 的坐标代入即可求出二次函数的解析式，化为一般式即可；（2）设点Q 的坐标为(,0)m ，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，根据点A 、B 、C 的坐标即可求出OA 、OB 、OC 、BQ 和AB ，根据相似三角形的判定及性质，即可用含m 的式子表示EG ，然后根据CQE CBQ EBQ S S S ∆∆∆=-即可求出CQE S ∆与m 的二次函数关系式，根据二次函数求最值即可；（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别在每种情况下求出点F 的坐标，然后根据点P 和点F 的纵坐标相等，将点P 的纵坐标代入二次函数解析式中即可求出点P 的横坐标．【详解】解：（1）当1x m =-与3x m =-时函数值相等，可知抛物线的对称轴为1312m m x -+-==， 由点B 的坐标(2,0)-可求得A 点的坐标为(4,0)设二次函数的解析式为(2)(4)y a x x =+-将点(0,4)C 代入，得12a =- 所以，二次函数解析式为2142y x x =-++． （2）设点Q 的坐标为(,0)m ，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，如图∵A （4,0），(2,0)B -， (0,4)C ，∴OA=4，OB=2，OC=4， BQ=m+2∴AB=6∵//QE AC ∴BE BQ BC BA = ∵//EG OC ∴BE EG BC CO= ∴EG BQ CO BA =，即246EG m +=， ∴243m EG += ∴CQE CBQ EBQ S S S ∆∆∆=-1122BQ CO BQ EG =•-• ()12BQ CO EG =•- 124(2)(4)23m m +=+- 21(1)33m =--+ 又∵24m -≤≤ 的∴当1m =时，CQE S ∆有最大值3，此时(1,0)Q（3）存在．①若DO DF =，如下图所示则2AD OD DF ===，∴∠DOF=∠DFO ，∠DAF=∠DFA∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA∴AFO ∆是直角三角形，OF ⊥AC∵OA=OC=4∴点F 为AC 的中点∴根据中点坐标公式：点F 的坐标为4004,(2,2)22++⎛⎫=⎪⎝⎭∵直线l ∥x 轴 ∴点P 的纵坐标=点F 的纵坐标=2，将y=2代入二次函数解析式中，得21422x x -++=，得11x =+21x =此时点P 的坐标为：(12)P +或(12)P -②若FO FD =，过点F 作FM x ⊥轴于点M由等腰三角形的性质得：112OM OD ==， ∴3AM =， 在等腰直角三角形AOC 中，∠OAC=45°∴△AMF 也是等腰直角三角形∴FM=AM=3∴(1,3)F∵直线l ∥x 轴∴点P 的纵坐标=点F 的纵坐标=3，将y=3代入二次函数解析式中，得由21432x x -++=，得11x =，21x =此时，点P 的坐标为：(1P +或(1P③若OD OF =，∵4OA OC ==，且90AOC ∠=o∴AC =∴点O 到AC 的距离为而2OF OD ==<∴AC 上不存在点F 使得2OD OF ==此时，不存在这样的直线l ，使得ODF ∆是等腰三角形综上，存在这样的直线l ，使得ODF ∆是等腰三角形，所求点P 的坐标为：(1+或(1-或(1或(1【点睛】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，难度系数较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、把面积最值问题转化为二次函数最值问题和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．。

2024学年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团重点中学中考一模数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．一元二次方程210x x --=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断 2．在代数式3m m - 中，m 的取值范围是（ ） A ．m≤3 B ．m≠0 C ．m≥3 D ．m≤3且m≠03．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠B ＝130°，则∠AOC 的大小是（ ）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a ）（a ＞3），半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是（ ）A ．4B ．3＋2C ．32D ．33+5．下列各式计算正确的是（ ）A ．2223a a +=B ．()236b b -=-C ．235c c c ⋅=D ．()222m n m n -=- 6．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc ＜0；②1a ﹣b=0；③4a+1b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 1）是抛物线上两点，则y 1＞y 1．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④7．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A 为人口，F ，G 为出口，其中直行道为AB ，CG ，EF ，且AB ＝CG ＝EF ；弯道为以点O 为圆心的一段弧，且BC ，CD ，DE 所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以10m/s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O 的距离y （m ）与时间x （s ）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（ ）A ．甲车在立交桥上共行驶8sB ．从F 口出比从G 口出多行驶40mC ．甲车从F 口出，乙车从G 口出D ．立交桥总长为150m8．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k>－14 B ．k>－14且0k ≠ C ．k<－14 D ．k ≥－14且0k ≠ 9．若关于x 的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．22-或 D ．31-或10．若x ＝－2 是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．1或4 B ．－1或－4 C ．－1或4D ．1或－4 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点（AP>PB ），如果AB 的长度为10cm ，那么PB 的长度为__________cm ．12．计算：112a a -＝________． 13．阅读材料：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），如果a ∥b ，则x 1•y 2=x 2•y 1．根据该材料填空：已知a =（2，3），b =（4，m ），且a ∥b ，则m=_____．14．20-114+-3-2014-4+6⨯（）（）=________15．如图，两个三角形相似，AD=2，AE=3，EC=1，则BD=_____．16．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．17．函数y ＝1x +的自变量x 的取值范围为____________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB 延长线上的点，CD 与⊙O 相切于点D ，连结BD 、AD ．求证；∠BDC ＝∠A ．若∠C ＝45°，⊙O 的半径为1，直接写出AC 的长．19．（5分）用你发现的规律解答下列问题．111122=-⨯ 1112323=-⨯ 1113434=-⨯ ┅┅计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ．探究1111......122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+ ．（用含有n 的式子表示）若1111......133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+的值为1735，求n 的值． 20．（8分）规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”（1）求抛物线y ＝x 2﹣2x +3与x 轴的“亲近距离”；（2）在探究问题：求抛物线y ＝x 2﹣2x +3与直线y ＝x ﹣1的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x 轴作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由． （3）若抛物线y ＝x 2﹣2x +3与抛物线y ＝214x +c 的“亲近距离”为23，求c 的值． 21．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，点E 在边AD 上，连接CE ，以CE 为边向右上方作正方形CEFG ，作FH ⊥AD ，垂足为H ，连接AF.(1)求证：FH ＝ED ；(2)当AE 为何值时，△AEF 的面积最大？22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y 1=2x ﹣2与双曲线y 2=k x交于A 、C 两点，AB ⊥OA 交x 轴于点B ，且OA=AB ．（1）求双曲线的解析式；（2）求点C 的坐标，并直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围．23．（12分）有一个n 位自然数...abcd gh 能被x 0整除，依次轮换个位数字得到的新数bcd...gha 能被x 0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd...ghab 能被x 0+2整除，按此规律轮换后，d...ghabc 能被x 0+3整除，…，...habc g 能被x 0+n ﹣1整除，则称这个n 位数a ...bcd gh 是x 0的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”． （1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”． （2）若三位自然数abc 是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数abc ．24．（14分）如图，一次函数y 1=﹣x ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2k y x=图象的一个交点为M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B 到直线OM 的距离．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解题分析】把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-，然后计算∆，最后根据计算结果判断方程根的情况.【题目详解】21,1,14145a b c b ac ==-=-∴∆-=+=∴方程有两个不相等的实数根.故选A.【题目点拨】本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-计算是解题的突破口.2、D【解题分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【题目详解】由题意可知：300m m -≥⎧⎨≠⎩解得：m≤3且m≠0故选D ．【题目点拨】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 3、D【解题分析】分析：先根据圆内接四边形的性质得到18050D B ∠=︒-∠=︒，然后根据圆周角定理求AOC ∠． 详解：∵180B D ∠+∠=︒，∴18013050D ∠=︒-︒=︒，∴2100.AOC D ∠=∠=︒故选D.点睛：考查圆内接四边形的性质, 圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 4、B【解题分析】试题解析：作PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE ⊥AB 于E ，连结PB ，如图，∵⊙P 的圆心坐标是（3，a ），∴OC=3，PC=a ，把x=3代入y=x 得y=3，∴D 点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD 为等腰直角三角形，∴△PED 也为等腰直角三角形，∵PE ⊥AB ，∴AE=BE=12AB=12×42=22， 在Rt △PBE 中，PB=3，∴PE=223-22=1（），∴PD=2PE=2，∴a=3+2．故选B ．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．5、C【解题分析】解：A ．2a 与2不是同类项，不能合并，故本选项错误；B ．应为()236b b -=，故本选项错误；C ．235·c c c =，正确；D ．应为()2222m n m n mn -=+-，故本选项错误．故选C ．【题目点拨】本题考查幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．6、C【解题分析】∵二次函数的图象的开口向上，∴a ＞0。