数据处理、测量误差及不确定度及修约

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

1文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 四 数据处理、测量误差及不确定度

(一) 数据处理

1．有效数字

(1)(末)的概念

所谓(末)，指的是任何一个数最末一位数字所对应的单位量值。例如：用分度值为1mm的钢卷尺测量某物体的长度，测量结果为19．8mm，最末一位的量值O．8mm，即为最末一位数字8与其所对应的单位量值0．1mm的乘积，故19．8mm的(末)为0.lmm。

(2)有效数字的概念

人们在日常生活中接触到的数，有准确数和近似数。对于任何数，包括无限不循环小数和循环小数，截取一定位数后所得的即是近似数。同样，根据误差公理，测量总是存在误差，测量结果只能是一个真值的估计值，其数字也是近似数。

例如：将无限不循环小数Pi=3.14159……截取到白分位，可得到近似数3.14 ，则此时引起的误差绝对值为

|3．14—3．14159……|=0．00159……

近似数3．14的(末)为0．01，因此0．5(末)=0．5×0．01=0．005，而0·00159……<0．005，故近似数3．14的误差绝对值小于0．5(末)。

由此可以得出关于近似数有效数字的概念：当该近似数的绝对值误差小于0.5(末)时,从左边的第一个非零数字算起,直到最末一位数字为止的所有数字.根据这个概念3.14有3位有效数字.

测量结果的数字，其有效位数代表结果的不确定度。例如：某长度测量值为19．8mm，有效位数为3位；若是19．80ram，有效位数为4位。它们的绝对误差的模分别小于0·5(末)，即分别小于0．05mm和0．005mm。

显而易见，有效位数不同，它们的测量不确定度也不同，测量结果19．80mm比19．8mm的不确定度要小。同时，数字右边的“0”不能随意取舍，因为这些“0”都是有效数字。

2．近似数运算

(1)加、减运算

如果参与运算的数不超过10个，运算时以各数中(末)最大的数为准，其余的数均比它多保留一位，多余位数应舍去。计算结果的(末)，应与参与运算的数中(末)最大的那个数相同。若计算结果尚需参与下一步运算，则可多保留一位。

例如：18．3Ω+1．4546Ω+0.87612Ω

18．3Ω+1．45Ω+0．88Ω≈20．63Ω≈20．6Ω

计算结果为20．6Ω。若尚需参与下一步运算，则取20．63Ω。

(2)乘、除(或乘方、开方)运算

在进行数的乘除运算时，以有效数字位数最少的那个数为准，其余的数的有效数字均比它多保留一位。运算结果(积或商)的有效数字位数，应与参与运算的数中有效数字位数最少的那个数相同。若计算结果尚需参与下一步运算，则有效数字可多取一位。

例如：1．1m×0．3268m×0．10300m

1．1m×0．327mX0．103m=0．0370m3≈0．037m3

计算结果为0．037m3。若需参与下一步运算，则取0．0370m3。

乘方、开方运算类同。

3．数据修约 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

2文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. (1)数据修约的基本概念

a、数据修约：对某一拟修约数，根据保留数位的要求，将其多余位数的数字进行取舍，按照一定的规则，选取一个其值为修约间隔整数倍的数(称为修约数)来代替拟修约数，这一过程称为数据修约，也称为数的化整或数的凑整。为了简化计算，准确表达测量结果，必须对有关数据进行修约。

b、修约间隔：又称为修约区间或化整间隔，它是确定修约保留位数的一种方式。修约问隔一般以k×10n (k=1，2，5；n为正、负整数)的形式表示。人们经常将同一k值的修约间隔，简称为“k”间隔。

修约间隔一经确定，修约数只能是修约间隔的整数倍。例如：指定修约间隔为0．1，修约数应在0．1的整数倍的数中选取；若修约间隔为2 X 10”，修约数的末位只能是0，2，4，6，8等数字；若修约间隔为5 X 10”，则修约数的末位数字必然不是“0”，就是“5”。

C、修约数位表达形式：当对某一拟修约数进行修约时，需确定修约数位，其表达形式有以下几种：

①指明具体的修约间隔；

②将拟修约数修约至某数位的0．1或0．2或0．5个单位；

③指明按“k”间隔将拟修约数修约为几位有效数字，或者修约至某数位，有时“1”间隔可不必指明，但“2”间隔或“5”间隔必须指明。

(2)数据修约规则

我国的国家标准GB8170—87《数值修约规则》，对“1”、“2”、“5”间隔的修约方法分别作了规定，但使用时比较繁琐，对“2”和“5”间隔的修约还需进行计算。下面介绍一种适用于所有修约间隔的修约方法，只需直观判断，简便易行：

①如果为修约间隔整数倍的一系列数中，只有一个数最接近拟修约数，则该数就是修约数。

例如：将1．150001按0．1修约间隔进行修约。此时，与拟修约数1．150001邻近的为修约间隔整数倍的数有1．1和1．2(分别为修约间隔0．1的11倍和12倍)，然而只有1．2最接近拟修约数，因此1．2就是修约数。

又如：要求将1．015修约至十分位的0．2个单位。此时，修约间隔为0．02，与拟修约数1．0151邻近的为修约间隔整数倍的数有1．00和1．02(分别为修约间隔的0．02的50倍和51倍)，然而只有1．02最接近拟修约数，因此1．02就是修约数。

同理，若要求将1．2505按“5”间隔修约至十分位。此时，修约间隔为0．5。1．2505只能修约成1．5而不能修约成1．0，因为只有1．5最接近拟修约数1．2505。

②如果为修约间隔整数倍的一系列数中，有连续的两个数同等地接近拟修约数，则这两个数中，只有为修约间隔偶数倍的那个数才是修约数。

例如：要求将1150按100修约间隔修约。此时，有两个连续的为修约间隔整数倍的数1．1×10。和1．2×10。同等地接近1150，因为1．1×10。是修约间隔100的奇数倍(11倍)，只有1．2×103是修约间隔100的偶数倍(12倍)，因而1．2×10。是修约数。

又如：要求将1．500按0．2修约间隔修约。此时，有两个连续的为修约间隔整数倍的数1．4和1．6同等地接近拟修约数1．500，因为1．4是修约间隔0．2的奇数倍(7倍)，所以不是修约数，而只有1．6是修约间隔0．2的偶数倍(8倍)，因而才是修约数。

同理，1．025按“5”间隔修约到3位有效数字时，不能修约成1．05，而应修约成1．00。因为1．05是修约间隔0．05的奇数倍(21倍)，而1．00是修约间隔0．05的偶数倍(20倍)。

需要指出的是：数据修约导致的不确定度呈均匀分布，约为修约间隔的1／2。在进行文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

3文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 修约时还应注意：不要多次连续修约(例如：12．251—12．25—12．2)，因为多次连续修约会产生累积不确定度。此外，在有些特别规定的情况(如考虑安全需要等)下，最好只按一个方向修约。

(二) 测量误差

1．测量误差和相对误差

(1)测量误差

a、误差的定义：测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。

这个定义从20世纪70年代以来没有发生过变化，以公式可表示为：测量误差=测量结果一真值。测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。

b、真值的定义：真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。

c、真值的性质：真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。因而，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。此即“误差公理”的内涵。

d、误差的性质：误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差而并不存在一个共同的误差。一个测量结果的误差，若不是正值(正误差)就是负值(负误差)，它取决于这个结果是大于还是小于真值。

如图6—1所示，被测量值为Y，其真值为t，第i次测量所得的观测值或测得值为Yi。由于误差的存在使测得值与真值不能重合，设测得值呈正态分布N(μ，σ)，则分布曲线在数轴上的位置(即μ值)决定了系统误差的大小，曲线的形状(按σ值)决定了随机误差的分布范围[μ-kσ，μ+kσ]，及其在范围内取值的概率。由图可见，误差和它的概率分布密切相关，可以用概率论和数理统计的方法来恰当处理。

e、误差的表示：实际上，误差可表示为：

误差=测量结果一真值=(测量结果一总体均值)十(总体均值一真值)

=随机误差+系统误差

因此，任意一个误差均可分解为系统误差和随机误差。实际上，测量结果的误差往往是由若干个分量组成的，这些分量按其特性均可分为随机误差与系统误差两大类，而且无例外地取各分量的代数和，换言之，测量误差的合成只用“代数和”方式。

f、误差与不确定度的区别：不要把误差与不确定度混为一谈。测量不确定度表明赋予被测量之值的分散性，它与人们对被测量的认识程度有关，是通过分析和评定得到的一个区间。测量误差则是表明测量结果偏离真值的差值，它客观存在但人们无法准确得到。例如：测量结果可能非常接近于真值(即误差很小)，但由于认识不足，人们赋予的值却落在一个较大区间内(即测量不确定度较大)；

图6—1测量误差示意图

也可能实际上测量误差较大，但由于分析估计不足，使给出的不确定度偏小。．国际上开始研制铯原子频率标准时，经分析其测量不确定度达到10-15量级，运行一段时间后，发现有一项重要因素不可忽视，经再次分析和评定，不确定度扩大到10-14量级，这说明人们的认识提高了。因此，在评定测量不确定度时应充分考虑各种影响因素，并对不确定度的评定进行必要的验证。

e、绝对误差：当有必要与相对误差相区别时，测量误差有时称为测量的绝对误差。设测量结果y减去被测量约定真值t，所得的误差或绝对误差为△。注意不要与误差的绝对值文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

4文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 相混淆，后者为误差的模。

(2)相对误差

a、定义：测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。

设测量结果y减去被测量约定真值t，所得的误差或绝对误差为△。将绝对误差△除以约定真值t,即可求得相对误差为 。所以，相对误差表示绝对误差所占约定真值的百分比，它也可用数量级来表示所占的份额或比例，即表示为