精密仪器与机械学系 精密仪器系2013-5-201精密仪器与机械学系四、单缝衍射% ( x ) = E sin α , % E 0y1⎛ sin α ⎞ I = I0 ⎜ ⎟ ⎝ α ⎠2αbx1 ae0 = ±λa⋅ f′ka sin θ x πx a= α= 2 λf′2013-5-20 2精密仪器与机械学系 不同光源的单缝衍射：点光源的单缝衍射e0 = ±λa⋅ f′2013-5-203精密仪器与机械学系 线光源的单缝衍射2013-5-204精密仪器与机械学系 干涉与衍射的区别与联系2013-5-205精密仪器与机械学系五、圆孔衍射1、光强分布：圆孔半径为a，孔径函数变为% ( x , y ) = ⎧1 E 1 1 ⎨ ⎩0x12 + y12 ≤ a x12 + y12 > a% ( ρ ,ψ ) = ⎧1 E 1 1 ⎨ ⎩0ρ1 ≤ a ρ1 > a极坐标2013-5-20 6精密仪器与机械学系 直角坐标变极坐标：⎧ x1 = r1 cosψ 1 ⎨ ⎩ y1 = r1 sinψ 1⎧ x = r cosψ ⎨ ⎩ y = r sinψdx1dy1 = r1dr1dψ 1% ( x , y ) exp ⎡ −ik ⎛ x x + y y ⎞ ⎤ dx dy E ( x, y ) = C ∫∫ E 1 1 ⎢ ⎜ 1 ′ 1 ′ ⎟⎥ 1 1 f ⎠⎦ ⎝ f ⎣极坐标夫朗和费衍射公式：% ( r，ψ ) = C 2π dψ a exp ⎡−ik r ( r cosψ cosψ + r sinψ sinψ ) ⎤rdr E 1 1 ⎥1 1 ∫0 1 ∫0 ⎢ f ' 1 1 ⎣ ⎦设rf'=θ：0 0% (θ，ψ )＝C 2π a exp [ −ikθ r cos(ψ −ψ ) ] ⋅ r dr dψ E 1 1 1 1 1 ∫ ∫72013-5-20精密仪器与机械学系% (θ，ψ )＝C 2π a exp [ −ikθ r cos(ψ −ψ ) ] ⋅ r dr dψ E 1 1 1 1 1 ∫ ∫0 0∫a 02π0exp [ −ikθ r1 cos(ψ1 −ψ )]dψ1 = 2π J0 ( kr1θ )0 阶 Bessel 函数% E (θ，ψ ) = ∫ r1 2π J 0 ( kr1θ ) dr1a 0= 2π ∫ ( kr1θ )J 0 ( kr1θ ) d ( kr1θ ) ⋅设1( kθ )2kr1θ = x,递推公式当 r1 =a ，x= kaθ∫t0xJ 0 ( x ) dx = tJ1 ( t )82013-5-20精密仪器与机械学系∫ ( krθ )J ( krθ ) d ( krθ ) = ∫a 0 1 0 1 1kaθ0xJ0 ( x ) dx = kaθ J1 ( kaθ )2 J1 ( kaθ ) % 得: E (θ ,ψ ) = π a C kaθ2圆孔衍射光强分布⎛ 2 J1 ( kaθ ) ⎞ I (θ ) = I 0 ⎜ ⎟ ，θ = r f ' ⎝ kaθ ⎠2I 0 = (π a 2C )292013-5-20精密仪器与机械学系2. 衍射图样令 z = kaθ = karf'⎛ 2 J1 ( z ) ⎞ I ( z) = I0 ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠2J1 ( z ) 1 = 当 z = 0，lim z →0 z 2 I = I0中心极大1.00.80.6当 z ≠ 0， J1 ( z ) = 0，I＝0 暗环2013-5-200.40.20.0 -10-5051010精密仪器与机械学系 次级极大位置由二阶Bessel 函数的零点决定Bessel函数表求极值点位置 z0 1.22π 1.63π 2.23π 2.68π2013-5-20J2 ( z ) d ⎡ J1 ( z ) ⎤ =0 ⎢ ⎥=− dz ⎣ z ⎦ zI ⎛ 2J1 (z) ⎞ =⎜ ⎟ I0 ⎝ z ⎠1 0 0.0175 0 0.00422极值 中央极大 第1极小 第1次极大 第2极小 第2次极大11圆孔衍射强度分布精密仪器与机械学系⎛ 2 J1 ( z ) ⎞ I ( z) = I0 ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠ 中央亮斑称为爱里斑21.00.80.6大部分能量集中于其中 半径：z=1.22π0.40.20.0 -10 -5 0 5 10r0 kaθ = ka = 1.22π f′爱里斑半径：2r00.61λ r0 = f′ a2013-5-20 12精密仪器与机械学系 分析I(p)表达式： ① 由于z = kaθ, λ, a 一定时，I(p)～θ 中心亮，明暗相间同心圆环 在θ=0（即几何像点）处强度最大， 随θ变化，会出现强度的极大、极小。
② 极大、极小值分布不等间距, 第一极小位置：z=1.22π或0.61λ 1.22λ 中央光斑角半径 θ= = a D③ 衍射效应与孔径线度成反比，与波长成正比 θ～λ/a2013-5-20 13精密仪器与机械学系3、讨论：θ～λ/a ◎ 当a↑，θ→0，几何光学“光的直线传播”当λ→0时， θ→0， 几何光学是波动光学在λ→0时的近似◎ a↓θ↑，衍射的放大作用→光学变换 ◎θ～λ ，白光时，得到白光光谱 ◎ θ～1/a，孔径沿某方向均匀拉伸时，衍射图样沿同方向以相同比例缩小2013-5-20 14精密仪器与机械学系 椭圆的衍射图样衍射屏衍射图样2013-5-2015精密仪器与机械学系2013-5-2016精密仪器与机械学系一、夫朗和费衍射和傅立叶变换二维傅立叶变换f ( x, y ) 为二维函数，满足傅氏变换定理要求f ( x, y ) = ∫∫ F ( f x , f y ) ei 2 π ( xf x + yf y )df x df yf ( x, y ) 可分解成一系列不同权重 F ( f x , f y ) 的二维空间基元函数ei 2π ( xf x + yf y )的线性叠加。
F ( f x , f y ) 代表基元函数的权重（振幅和相位）空间频率2013-5-20 17精密仪器与机械学系 权重 F ( f x , f y ) 通过f ( x, y )二维傅立叶变换得到− i 2π ( xf x + yf y )F ( f x , f y ) = ∫∫ f ( x, y ) e夫朗和费衍射：dxdyF ( f x , f y ) 为 f ( x, y ) 的空间频谱% ( x, y ) = C t% ( x , y ) exp[−i 2π ( x x + y y )]dx dy E 1 1 1 1 ∫∫ 1 1 λf ' λf ' x y fx = fy = λf ' λf '% % E ( f x , f y ) = C ∫∫ t ( x1 , y1 ) exp[−i 2π ( x1 f x + y1 f y )]dx1dy12013-5-20 18精密仪器与机械学系二、对夫朗和费衍射的再认识% 夫朗和费衍射的复振幅分布 E ( f x , f y )，% 代表了衍射物 t ( x1 , y1 ) 的空间频谱% % % E ( f x , f y ) = F {t ( x1 , y1 )}表明 t ( x1 , y1 )被分解为一系列具有不同空间频率 ( f x , f y ) 的基元函数叠加。
基元函数 e2013-5-20i 2π ( xf x + yf y )代表不同方向的平面波19精密仪器与机械学系% E ( f x , f y ) 代表基元函数（平面波）的权重（幅值和位相）sin θ x x = fx = λf λ sin θ y y = fy = λf λ% (x, y)面上任一点的复振幅大小 E ( f x , f y ) 代表了空间频率为 f x , f y 平面波的幅值和位相2013-5-20 20{}()()F x f x F f ={}1()()F x f f ax F a a =1、傅氏变换缩放定理（相似定理）物函数尺寸放大a 倍，空间频率缩小到1/a （衍射的反比关系）三、夫朗和费衍射图样的特点与傅氏变换的性质2、衍射屏在自身平面内平移()000()t x rect x m =−(){}()000()sinc exp(2)x x x E f F rect x m f i f m π=−=−%20()sinc ()x x I f I f =不改变衍射图形位置和形状()0000()()sinc sinc()sin (sin sin )(sin sin )x x x x E f f f f f f δπθθλπθθλ=−⊗=−−=−%0sin sin 'x f θθ==3、傅立叶变换相移定理{}000(,)exp[2]()x y E f f F i x f rect x π=⋅%00000sin ()exp[2]()E x i x f f θπλ==%斜平面波照明衍射屏产生一线性相移00exp[2]i x f π0'sin x f θ=衍射图形形状不变但发生一平移取衍射屏：Σ1，Σ2，Σ1+Σ2=Σ（不放屏）观察屏上分布：巴卑涅原理：互补屏产生的复振幅之和等于自由传播（无阻挡）时该点的复振幅4、互补屏的夫朗和费衍射互补屏12E (P),E (P),E(P)%%%12E(P)=E (P)+E (P)%%%互补屏的夫朗和费衍射200100(,)1(,)t x y t x y =−{}{}2200100(,)(,)(,)(,)x y x y E f f F t x y f f F t x y δ==−%00x y x y f f f fλλ=≠=≠2121(,)(,)(,)(,)=−=x y x yx y x y E f f E f f I f f I f f %%除中心点外，两衍射图形完全相同}例：在光纤拉制过程中，根据互补屏原理，可以实时监测其直径的变化。
用波长为632nm 的He-Ne 激光垂直照射光纤，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观测，测出中央亮纹的宽度为10mm ，试确定被测光纤的直径。
[解] 由中央亮纹的半角宽度公式，得到狭缝宽度/a e fλλθ==∆e为中央亮纹的半宽度。
6325006320063.25fa nm m e λµ×====代入给定的数值，()()()()22111111exp(),,exp 2ikR k E x y E x y i x x y y dx dy i R R λΣ⎧⎫⎡⎤=−+−⎨⎬⎣⎦⎩⎭∫∫%%一、在像面观察的夫朗和费衍射孔径面到像面距离有限，为菲涅耳衍射，像面上的复振幅分布为孔径受会聚球面波照明，在菲涅耳近似下，孔径面上的复振幅分布为11(,)E x y %()()221111A ,exp()exp 2ik E x y ikR x y R R ⎡⎤=−⋅−+⎢⎥⎣⎦%11,x y ,x y成像系统对近处点物在像面所成的衍射像，等价于平面波入射时，在f = R 的透镜焦面上产生的孔径夫朗和费衍射分布——提供了一种用会聚光照明在像面得到孔径频谱的方法()()221111A ,exp exp d d 2xx yy ik E x y x y ik x y i R R R R λΣ′⎡⎤⎛⎞⎡⎤=+⋅−+⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎣⎦∫∫%光学系统的有限孔径与衍射光斑0 1.22r f Dλ′=设光学系统通光孔的直径为D ，爱里斑的半径：当对点源成像时，衍射斑在其像面上，爱里斑的半径：出瞳距0 1.22r RD R λ=00.61r f aλ′=1、瑞利判据246810120.00.20.40.60.81.010.81246810120.00.51.01.5510150.00.51.01.5246810120.00.20.40.60.81.0一像点的衍射斑主极大与另一像点衍射的第1极小重合衍射现象→光学系统分辨细小物体的分辨本领二、成像系统的分辨本领两物点之角半径α≥点物衍射的角半径θ，两点物可分辨2、典型光学系统的分辨本领（1）人眼的最小可分辨角（眼瞳大小）1.22e eD λα=eα（2）望远物镜最小可分辨角（物镜孔径）0 1.22TD λαθ==αe T eM D D αα==望远镜的作用(角度的放大)望远物镜的最小可分辨角一般望远镜观测用哈勃望远镜观测ε′（3）照相物镜分辨本领R视为圆孔夫朗和费衍射，可分辨时，焦面上衍射斑大小为：底片的分辨率：0' 1.22'Df f λεθ′=⋅⋅=()1D/1.22'N l mm f ελ==′（4）显微物镜的最小可分辨距ε有限距点物成像，像面是孔径的夫朗和费衍射像0001.221.22l l r l r D Dλλθε′′′′====像方的最小分辨率ε显微物镜成像满足的阿贝正弦条件：sin sin 1.22sin sin n u l u n u D n uελε′′′′′==⋅且最小可分辨距离：sin 2Du u l ′′≈=′0.61sin sin NAn u n u λε==提高分辨本领途径：①增大数值孔径NA②减小波长λsin ''sin n u n u εε′=电子束波长λ= 0.1 nm ，分辨本领提高10³倍}例：一台显微镜的数值孔径NA=0.9（1）试求它的最小分辨距离；（2）使用油浸物镜使数值孔径增大到1.5，使用紫色滤光片使波长减小为400nm ，问它的分辨本领提高多少？解：（1）波长取可见光的平均波长，显微镜的最小分辨距离为6410.610.6155010 3.710sin 0.9mm mmn u λε−−××===×550nm λ=（2）当400nm λ=，NA=1.5 时，6420.610.6140010 1.610sin 1.5mm mmn u λε−−××===×分辨本领提高的倍数为4142 3.710 2.31.610εε−−×==×倍电子显微镜用加速的电子束代替光束，其波长约0.1nm ，用它来观察分子结构第二节典型孔径的夫朗和费衍射四、单缝衍射五、圆孔衍射第三节夫朗和费衍射与傅氏变换一、夫朗和费衍射和傅立叶变换二、对夫朗和费衍射的再认识三、夫朗和费衍射图样的特点与傅氏变换的性质第四节光学成像系统的衍射与分辨本领一、在像面观察的夫朗和费衍射二、成像系统的分辨本领精密仪器与机械学系2013-5-2041补充：求出图所示的衍射屏的夫琅和费衍射图样的强度分布。
