9.18周末立体几何练习测试—斜二测画法,异面直线所成角,直线和平面平行

设 G 是 AC 中点，分别连接 EG、GF，由已知得 EG∥ 1AB，FG∥ 1CD，
2
2
∴∠EGF 是 AB 和 CD 所成角或是其补角．
∵AB＝CD，∴EG＝GF．
当∠EGF＝30°时，AB 和 EF 所成角∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，AB 和 EF 所成角∠GEF＝15°．
9、过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l ，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等， 这样的直线 l 可以作（ ）
【知识总结】
异面直线所成的角
1、异面直线所成的角
①定义：设 a, b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a//a ， b//b ，把 a 与 b 所成
的锐角或直角叫做异面直线
a
,
b
所成的角(或夹角)②范围：
0,
2
2、求异面直线成角方法
(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
A. 30
B. 45
C. 60
【答案】C
【解析】取 SA的中点 F ，连接 EF ， BF ，则
D. 90
∵ E 为棱 SC 的中点，
EF / /AC , 则 BEF （或其补角）为异面直线 AC 与 BE 所成的角， AC 2 3, SA SB AB BC SC 2
BE EF BF 3
是 PC 的中点,求 MO 与 AB 所成的角的大小.
【答案】 60 【解析】连接 AC 交 BD 于 O ，由于 M , O 分别是 PC, AC 的中点，故 OM / /PA ，故 PAB 即直线 MO 与直线 AB 所成的角，由于四棱锥底面边长和侧棱长相等，故三角形 PAB 是等 边三角形，所以 PAB 60 . 故填： 60 .

【考点梳理】一、考试内容1.平面。

平面的基本性质。

平面图形直观图的画法。

2.两条直线的位置关系。

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

对应边分别平行的角。

异面直线所成的角。

两条异面直线互相垂直的概念。

异面直线的公垂线及距离。

3.直线和平面的位置关系。

直线和平面平行的判定与性质。

直线和平面垂直的判定与性质。

点到平面的距离。

斜线在平面上的射影。

直线和平面所成的角。

三垂线定理及其逆定理。

4.两个平面的位置关系。

平面平行的判定与性质。

平行平面间的距离。

二面角及其平面角。

两个平面垂直的判定与性质。

二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。

对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。

2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。

对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。

3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。

能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。

4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。

三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。

（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。

异面直线所成的角专项练习异面直线是不在同一个平面上的两条直线。

它们所成的角度可以用三角函数来计算。

以下是关于异面直线所成角的专项训练。

1.异面直线的定义与取值范围异面直线是不在同一个平面上的两条直线。

它们所成的角度的取值范围是0到90度之间。

2.求两条异面直线所成角的步骤：1) 找到两条异面直线的公共点。

2) 找到两条直线在平面上的投影线，计算它们的夹角。

3) 用三角函数计算两条异面直线所成的角度。

类型一、以正方体和长方体为载体的异面直线所成的角1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与BC1所成的角为多少？解析：首先，找到两条异面直线的公共点，即点D。

然后，找到它们在平面上的投影线，即线段BC和线段A1D。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=1/√3，因此θ=30度。

答案为A。

2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C的中点，则直线EF与GH所成的角是多少？解析：同样地，找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段EF和线段GH。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=√2/2，因此θ=45度。

答案为B。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是B1C1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点C1.找到它们在平面上的投影线，即线段DC1和线段BE。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=-1/√10，因此θ=104.48度。

答案为B。

4.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段A1B和线段AD1.计算它们的夹角，可以得到cosθ=4/√73，因此θ=67.22度。

答案为D。

5.点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是多少？解析：根据题目描述，点P在正方形ABCD所在平面外，因此可以找到两条异面直线，即线段PB和线段AC。

8.2 立体图形的直观图（斜二测画法）【要点梳理】要点一、平行投影（选讲）1．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．2．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．3．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点三、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在：轴上）的线段，其平行性和长度都不变．（4）三视图与直观图的联系与区别三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．要点四、已知三视图画直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．由三视图画直观图，一般可分为两步：第一步：想象空间几何体的形状．三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体。