一元二次方程求解教法解析
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一元二次方程讲解与解析
一元二次方程
一元：代表未知数的个数，这里指的是只含有一个未知数；
次：代表次数，这里指次数为2。
第一节 一元二次方程的概念：
知识点1 一元一次方程的概念
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
了解：
只有同时满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。 这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任意一条件都不是一元二次方程。
一元二次方程的一般式为：ax²+bx+c=0(a≠0)
其中ax²为二次项，bx为一次项，c为常数项。a为二次项的系数，b为一次项的系数。尽可能在正常情况下将右边的数值移动到左边，使右边的数值为0。
【总结】
上面的方程都只含有一个未知数x的整式方程并且都可以化成ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
我们吧ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。
例子：4x²+5x-1=0（一般形式）。4x²为二次项，5x为一次项，-1为常数项。4为二次项系数，5为一次项系数。
随堂练习：1.根据题意列方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。
解：设直角三角形的三边长为x，x+1，x+2。
x²+(x+1) ²=(x+2) ²（只需要列车方程到这步即可）
x²-2x-3 =0
x²-2x+1²=3+1²
(x-1) ²=4
x-1=±2
习题2.1
知识技能
1.根据题意，列方程：
（1）有一个面积为54㎡的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的变长是多少？
解：设这个正方形的边长是x m(x>0)。
(x+5)(x+2)=54，即x²+7x-44=0。
（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
设三个连续整数依次为x，x+1，x+2。
x (x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242，即x²+2x-80=0。
2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3x²=5x-1 3x²-5x+1=0 3 -5 9
（x+2）（x-1） x²+x-8=0 1 1 -8
4-7x²=0 -7x²+4=0 -7 0 4
3.请根据这一问题列方程
例：有一个人拿着一根竹竿，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。后来他沿着门的两个对角斜着拿杆，不多不少刚好进去了。你知道这根竹竿有多长吗？
解：设竹竿长x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺。
(x-2)²+(x-4)²=x²
即：x²-12x+20=0。
知识点2 估计一元二次方程的取值范围
在得到一元二次方程后，我们最关心的是它的解及其取值范围。可利用列表取值法判断一元二次方程的取值范围，具体步骤如下：
（1）列表，利用未知数的取值分别计算方程ax²+bx+c (a≠0)中ax²+bx+c的值；
（2）在表中找出使ax²+bx+c的值可能等于0的未知数符合要求的取值范围；
（3）进一步在（2）中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止。
知识拓展：在估计一元二次方程解的取值范围时，当ax²+bx+c (a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax²+bx+c=0成立的x值。
第二节 配方法
【知识点】 直接开平方（重点；掌握）
定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义。直接开平方法试用于解形如下(x+a) ² =b(b≧0)的一元二次方程。
先给出解题的前提条件，让大家重点掌握！（重点，必背）
（下面的用在二次项系数为“1”的情况下）
① 移（移常数项） ② 方程两边同时加上一次项系数一半的平方
③ 构成(x+n) ²=m的形式，然后开方（x，m只是代数）
④ 解：x+m=±√n，x =±√n－m。
或
（下面的用在二次项系数不为“1”的情况下）
① 化二次项系数为1
② 移 将常数项移到方程右边
③ 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方
④ 开方(x+m) ²=n（m，n只是代数）
⑤ 解：x+m=±√n，x =±√n －m。
上面的背好后
简单记住：一化、二移、三配、四开、五解（统一使用此方法记住）
例题：课本P55页随堂练习
（1）x ²-10x+25 =7
x ²-10x+25-7=0（首先先使右边为0，将“7”移到左边，左右两边移动要变号。）
x ²-10x+18 =0（为一元二次方程的一般形式）
x²-10x+5²=-18+5²（一移，常数项“18”移到方程右边；方程两边同乘以一次项系数一半的平方）
(x-5) ²=7（构成(x+m) ²=n的形式了）
x-5 =±√7（解的步骤，从上一步到下一步，方程左边去掉括号和平方后，右边直接开方，开不了的用根号。必须为正和负两个）
∴x1=5+√7,x2=5-√7
（2）x²+6x=1
x²+6x-1 =0（无论怎样都先化为一元二次方程的一般形式）
x²+6x+3² =1+3²（一移，常数项“1”移动到右边，方程两边加上一次项系数一半的平方）
（x+3）²=10（构成(x+m) ²=n的形式了）
x+3 =±√10（方程左边去掉括号后，右边进行开方）
∴x1=-3+√10,x2=3+√10
（3）x²-14x=8
x²-14x-8=0
x²-14x+7²=8+7²
(x+7) ²=57
x+7=±√57
∴x1=7+√57,x2=7-√57
（4）x²+2x+2=8x+4
=0
=0
x²-6x- =0
x²-6x+ =2+
( ) ²=11
X－3=±√
∴x1=
，x2=
看看你上面的是否做对了呢！第四小题偏难。
第四小题答案
x²+2x+2-8x-4=0
x²+2x-8x+2-4=0
x²-6x-2=0
x-6x+3²=2+3²
(x-3) ²=11
x-3=±√11
∴x1=3+√11,x2=3-√11
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
用配方法解下列方程（增订内容）
（1） x²+8x-9=0 （2）3x²+8x-3=0
分析：当二次项系数为1时，只要先把常数项移动到右边，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方，变成(x+m) ²=n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解，当二次项系数不是1时，先将二次项系数华为1，再用配方法解过程。
（1）移项，得x²+8x=9
配方，得x²+8x+4²=9+4²（两边同时加上一次项系数一半的平方）
即(x+4) ²=25
直接开平方得x+4=±5
即x+4=5或x+4=-5
所以x1=1，x2=-9
（2） 两边同除以3，得x²+8/3x-1=0（之前说过二次项系数非1的要先华为1，就是把一次项系数和常数项各除以二次项系数，二次项系数被除后可去除，这样变为1）
移项，得x²+8/3x=1
配方，得x²+8/3x+(4/3) ²=1+(4/3) ²（两边同时加上一次项系数一半的平方）
即(x+4/3) ²=(5/3) ²
直接开平方，得x+4/3=±5/3，所以x1=1/3，x2=-3
第三节 分解因式法
分解因式分别有：平方差公式、完全平方公式、提取公因式和十字相乘法。
其实只需要利用一下以上公式，有的要从以上公式变位一元二次方程的一般形式才能计算，有的可以直接计算。
知识点
对于一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）来说，诺其左端能够分解因式，得(a1x+b1)(a2x+b2)=0，必有a1x+b1=0或a2x+b2=0，进而求得方程的解，这种方法就是分解因式。
例题：
用分解因式法解下列各题。
（1） x²+x-2=0 （2）49(x-3) ²=16(x+6) ² （3）(x-1) ²-2(x²-1)=0
（4）(x-3)(x+1)=5
解：（1）原方程变形为(x+2)(x-1)=0，所以x+2=0，所以x1=-2，x2=1.
（2） 原方程变形为49(x-3) ²-16(x+6) ²=0，即[7(x-3)] ²-[4(x+6)] ²=0，所以(7x-21+4x+24)(7x-21-4x-24)=0，所以11x+3=0或3x-45=0，所以x1=-3/11，x2=15.
（3） 原方程变形为(x-1) ²-2(x+1)(x-1)=0，(x-1)(x-1-2x-2)=0，所以x-1=0或-x-1=0，所以x=1，x=-3.
（4） 原方程变形为(x-3)(x+1)-5=0，即x²-2x-8=0，所以(x-4)(x+2)=0，所以x-4=0或x+2=0，所以x1=4，x2=-2.
第四节 公式法
公式法是万能的，任何的一元二次方程都能用公式法解，但要看哪种方法比较简单，否则不建议都用公式法。
把 叫做一元二次方程 的根的判别式。
判别式△=b²-4ac>0有两个不同的实数根
判别式△=b²-4ac=0有两个相同的实数根
判别式△=b²-4ac<0没有实数根
一元二次方程的根是 （a≠0）
【知识拓展】
1.被开方数b ²-4ac必须是非负数，否√b ²-4ac没有意义。
2.由于根公式可知，一元二次方程的根是有其系数a，b，c决定的，只有确定了a，b，c的值，就可带入公式求一元二次方程。
