【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：选修4-4-2参数方程

课后课时作业

1.[2016·北京模拟]参数方程 x＝2－ty＝－1－2t(t为参数)与极坐标方程ρ＝sinθ所表示的图形分别是( )

A．直线、直线 B．直线、圆

C．圆、圆 D．圆、直线

答案 B

解析 将参数方程 x＝2－ty＝－1－2t消去参数t得2x－y－5＝0，所以对应图形为直线．

由ρ＝sinθ得ρ2＝ρsinθ，

即x2＋y2＝y，

即x2＋y－122＝14，对应图形为圆．

2．[2016·江西南昌模拟]已知曲线C的参数方程 x＝2costy＝2sint(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为( )

A．ρ＝2sinθ＋π4 B．ρsinθ＋π4＝2

C．ρsinθ＋π4＝2 D．ρ＝sinθ＋π4

答案 B

解析 把曲线C的参数方程 x＝2costy＝2sint(t为参数)，消去参数化为普通方程为x2＋y2＝2，曲线C在点(1,1)处的切线为l：x＋y＝2，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，即ρsinθ＋π4＝2.故选B.

3．[2015·北京东城模拟]已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 x＝－1＋4ty＝3t(t为参数)，则直线l与曲线C相交所截的弦长为( )

A.45

B.85

C．2 D．3

答案 B

解析 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，直线l的直角坐标方程为3x－4y＋3＝0.

圆心到直线的距离d＝|3×0－4×0＋3|32＋42＝35.

∴直线l与曲线C相交所截的弦长为21－352＝85.故选B.

4．[2016·安庆模拟]若直线 x＝tcosαy＝tsinα(t是参数)与圆 x＝4＋2cosθy＝2sinθ(θ是参数)相切，则直线的倾斜角α为( )

A.π6 B.5π6

C.π6或5π6 D.π2

答案 C

解析 直线 x＝tcosαy＝tsinα(t是参数)的普通方程为y＝xtanα. 圆 x＝4＋2cosθy＝2sinθ(θ是参数)的普通方程为(x－4)2＋y2＝4，

由于直线与圆相切，则|4tanα|1＋tan2α＝2，

即tan2α＝13，解得tanα＝±33，

由于α∈[0，π)，故α＝π6或5π6.

5．[2015·株洲模拟]已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程： x＝22t－2y＝22t(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为________．

答案 ρ＝1

解析 直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

∴原点到直线的距离r＝22＝1.

∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.

6．[2016·中山模拟]在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为 x＝1＋sy＝1－s(s为参数)，曲线C的参数方程为 x＝t＋2y＝t2(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.

答案 2

解析 直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，曲线C的直角坐标方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝2. 7．[2016·武昌质检]已知曲线C1的参数方程是 x＝ty＝t＋a(t为参数)，曲线C2的参数方程是 x＝－ty＝－t＋b(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程是ρ＝1.若C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.

答案 2

解析 由题意得，C1的直角坐标方程为y＝x＋a，C2的直角坐标方程为y＝x＋b，因为曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2＝1，

因为C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，

所以直线y＝x＋a，y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交截得的弦长所对的圆心角是90°，

则圆心到直线的距离d＝22，即22＝|a|2，

解得a＝±1，

同理b＝±1，所以a2＋b2＝2.

8．[2015·上海六校二联]若点P(x，y)在曲线 x＝cosθy＝2＋sinθ(θ为参数，θ∈R)上，则yx的取值范围是________．

答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)

解析 由 x＝cosθy＝2＋sinθ，消去参数θ得x2＋(y－2)2＝1，①

设yx＝k，则y＝kx，代入①式并化简，得(1＋k2)x2－4kx＋3＝0，此方程有实数解，∴Δ＝16k2－12(1＋k2)≥0，解得k≤－3或k≥3. 9．[2016·长春质检]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为 x＝ty＝at(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ)＝12，定点A(6,0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．

(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥23，求实数a的取值范围．

解 (1)根据题意，得

曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12，

设点P(x′，y′)，Q(x，y)，

根据中点坐标公式，得 x′＝2x－6y′＝2y，

代入x2＋y2－4y＝12，

得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4.

(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离d≤22－32＝1，即|3a－1|a2＋1≤1，解得0≤a≤34.

∴实数a的取值范围为0，34.

10．[2015·大庆二模]已知圆锥曲线C： x＝2cosαy＝3sinα(α为参数)和定点A(0，3)，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线AF2的直角坐标方程；

(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．

解 (1)圆锥曲线C的直角坐标方程为x24＋y23＝1，可得F2(1,0)，

∴直线AF2的直角坐标方程为x1＋y3＝1，即y＝－3x＋3.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

∵直线AF2的斜率为－3，∴直线l的斜率为33.

∴直线l的参数方程为 x＝－1＋32ty＝12t(t为参数)，

代入圆锥曲线方程可得3－1＋32t2＋412t2＝12，

整理得13t2－123t－36＝0，∴t1＋t2＝12313，

∴||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝12313.

11．[2016·郑州质检]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝22cosθ＋π4，直线l的参数方程为 x＝ty＝－1＋22t(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．

(1)求圆心的极坐标；

(2)求△PAB面积的最大值．

解 (1)由圆C的极坐标方程为

ρ＝22cosθ＋π4，得

ρ2＝2222ρcosθ－22ρsinθ， 把 x＝ρcosθy＝ρsinθ代入可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

∴圆心坐标为(1，－1)，

∴圆心的极坐标为2，7π4.

(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为22x－y－1＝0.

∴圆心(1，－1)到直线l的距离d＝|22＋1－1|222＋12＝223，

∴|AB|＝2r2－d2＝22－89＝2103.

点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝2＋223＝523，∴Smax＝12×2103×523＝1059.

12．[2015·课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C1： x＝tcosαy＝tsinα，(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.

联立 x2＋y2－2y＝0x2＋y2－23x＝0，解得 x＝0y＝0，或 x＝32y＝32. 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π.

因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．

所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.

当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.