2014高考数学(人教版,文科)二轮专题知能专练：选择填空提速专练6 创新类题目]
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选择填空提速专练(六)创新类题目
1．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()
A．3B．6
C．8 D．10
2．(2013·郑州市质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5 120颗，正方形的内切圆区域有豆4 009颗，则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)() A．3.13 B．3.14
C．3.15 D．3.16
3．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝[x [x]]在(－1,1)上()
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是增函数
4．(2013·福建质量检查)设数集S＝{a，b，c，d}满足下列两个条件：
(1)∀x，y∈S，xy∈S；(2)∀x，y，z∈S且x≠y，则xz≠yz现给出如下论断：
①a，b，c，d中必有一个为0；②a，b，c，d中必有一个为1；③若x∈S且xy＝1，则y∈S；④存在互不相等的x，y，z∈S，使得x2＝y，y2＝z.
其中正确论断的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
5.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水
面的高度h随时间t变化的图像可能是()
6．(2013·长春调研)若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：
①M，N都在函数y＝f(x)的图像上；②M，N关于原点对称，则称点对[M，N]为函数y ＝f(x)的一对“友好点对”．(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)
已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 3x (x >0)，
－x 2－4x (x ≤0 )，此函数的“友好点对”有( )
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
7．(2013·福建质量检查)定义两个实数间的一种新运算“*”：x *y ＝lg(10x ＋10y )，x ，y ∈R.对任意实数a ，b ，c ，给出如下结论：
①(a *b )*c ＝a *(b *c )；②a *b ＝b *a ；③(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
8．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈R)．规定：给定一个实数x 0，赋值x 1＝f (x 0)，若x 1≤257，则继续赋值x 2＝f (x 1)；若x 2≤257，则继续赋值x 3＝f (x 2)；……以此类推．若x n －1≤257，则x n ＝f (x n －1)，否则停止赋值．已知赋值k (k ∈N *)次后该过程停止，则x 0的取值范围是( )
A ．(27－
k ＋1,28－
k ＋1]
B ．(28－
k ＋1,29－
k ＋1]
C ．(29－
k ＋1,210－
k ＋1]
D ．(28－
k,29－
k ]
9．(2013·湖南五市十校联考)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1， a 2b 2)，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π
3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图像上运动．Q 是函数y ＝f (x )图像上的点，且满足OQ ＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．
10．(2013·辽宁五校联考)设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x ＋k ∈D ，且f (x ＋k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－2a ，若f (x )为R 上的“2 013型增函数”，则实数a 的取值范围是________．
答 案
选择填空提速专练(六)
1．选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4, 2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)， (5,4)}，共含有10个元素．
2．选A 根据几何概型的定义有π·⎝⎛⎭⎫1221＝4 009
5 120
，得π≈3.13.
3．选C 当－1<x <0时，[x ]＝－1，所以x [x ]∈(0,1)，故f (x )＝[x [x ]]＝0；当0≤x <1时，[x ]＝0，故f (x )＝[x [x ]]＝0.所以当x ∈(－1,1)时，函数f (x )恒等于0，故f (x )在(－1,1)上既是奇函数又是偶函数．
4．选C 取满足题设条件的集合S ＝{1，－1，i ，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断．
5．选B 由三视图可知此几何体为一个底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积相等，设为V 0，由锥体的体积公式可知V ＝1
3πr 2h ，又r ＝h tan θ(其中θ
为圆锥轴截面两母线夹角的一半)，所以V ＝1
3πh 3tan 2θ＝tV 0，即h ＝kt 1
3 (k 为常数)，所以选
B.
6．选C 由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x 的图像关于原点对称后可知g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图像与x <0时f (x )＝－x 2－4x 存在两个交点，故“友好点对”的数量为2.
7．选D 因为(a *b )*c ＝[lg(10a ＋10b )]*c ＝lg(10lg(10a ＋10b )＋10c )＝lg(10a ＋10b ＋10c )，a *(b *c )＝a *[lg(10b ＋10c )]＝lg(10a ＋10lg(10b ＋10c ))＝lg(10a ＋10b ＋10c )，所以(a *b )*c ＝a *(b *c )，即①对；因为a *b ＝lg(10a ＋10b )，b *a ＝lg(10b ＋10a )，所以a *b ＝b *a ，所以②对；(a *b )＋c ＝lg(10a ＋10b )＋c ＝lg[(10a ＋10b )×10c ]＝lg(10a ＋
c ＋10b ＋
c )＝(a ＋c )*(b ＋c )，即③对．
8．选B 依题意得x n ＝2x n －1－1，则x n －1＝2(x n －1－1)，于是x n －1＝2n (x 0－1)，即x n
＝2n
(x 0－1)＋1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x k －1≤257，x k >257，即⎩⎪⎨⎪⎧
2k －
1
(x 0－1)＋1≤257，2k (x 0－1)＋1>257，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2k －
1(x 0－1)≤28
，2k (x 0－1)>28
，
由此解得28－k ＋1<x 0≤29－k ＋1，即x 0的取值范围是(28－k ＋1,29－k ＋1]．
9．解析：令Q (c ，d )，由新的运算可得
OQ ＝m ⊗OP ＋n ＝⎝⎛⎭⎫2x ，12sin x ＋⎝⎛⎭⎫π3，0＝⎝⎛⎭
⎫2x ＋π3，1
2sin x ， ⎩⎨⎧
c ＝2x ＋π
3，
d ＝1
2sin x ，
消去x 得
d ＝1
2sin ⎝⎛⎭
⎫12c －π6， 所以y ＝f (x )＝1
2sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π6，
易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案：⎣⎡⎦
⎤－12，1
2 10．解析：由题意得，当x >0时，
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3a (x ≥a )，
－x －a (x <a ).
当a ≥0时，函数f (x )的图像如图(1)所示，考虑极大值f (－a )＝2a ，令x －3a ＝2a ，得x ＝5a ，所以只需满足5a －(－a )＝6a <2 013，
即0≤a <6712；当a <0时，函数f (x )的图像如图(2)所示，且f (x )为增函数，因为x ＋2 013>x ，
所以满足f (x ＋2 013)>f (x )．综上可知，a <671
2
.
答案：⎝
⎛⎭⎫－∞，6712。
