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第五章 IV和GMM
一、IV估计量
1、内生解释变量
（1）什么是内生性
回顾经典假设：对于回归模型， YXu ，
OLS 的基本假设：(见陈强，书P15)
严格外生性假定可以推出： Cov[X,u] = 0。即：
解释变量X与随机项不相关；
定义：
内生解释变量。——如果X与随机项u之间存在相关性，称X为内生解释变量。
（2）内生性解释变量产生的原因
①遗漏了重要的解释变量
– True:012wageeduabilu
– Do: 01wageeduu
②观测误差
– True: **X=X+e (X为真实值）
— Do: 01011Y=()()XeuXue
X与1()ue是否相关？比如吸烟与健康的调查中。不吸烟者的误差为零。吸烟者对吸烟次数的报告有较大的偏差 2
③滞后被解释变量
t0121Y=ttXYu
如果时间序列中有自相关的话
④联立方程中（说明见陈强书：第十章，P120-121）
（3）、内生性的后果
①参数估计是有偏的，有时甚至（同期相关）是不一致的。难以通过扩大样本改善估计性质。
内生性问题
'1''1''1''1''1'Cov(X,u)0ˆ)ˆ()[)()] [))][))] [))] XXXYEEXXXXuEXXXXEXXXuEXXXu参数估计：（（（（（
（因为'EX0u，所以OLS估计是有偏的）
②此时参数估计的偏差不仅仅存在于内生解释变量的参数上，而是所有的参数估计值都会受到影响 3
2、工具变量
对内生变量的解决思路
• 增加遗漏的变量，或者其代理变量
• 面板数据
• 工具变量法（Instrument variables）
二阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）和工具变量法（Instrumental Variables, IV）在计量经济学中被广泛应用，用于解决因果关系的内生性问题。虽然这两种方法在形式上有所不同，但是它们在某些条件下可以得到相同的结果。本文将就二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的证明展开探讨。
1. 二阶段最小二乘法的基本原理及公式 我们需要了解二阶段最小二乘法的基本原理。在计量经济学中，当自变量存在内生性问题时，我们无法直接使用最小二乘法进行回归分析。这时，我们可以通过引入工具变量来解决内生性问题。二阶段最小二乘法包括两个阶段，第一阶段是利用工具变量估计内生变量的值，第二阶段是利用第一阶段的估计值替代内生变量进行普通最小二乘法回归分析。其公式为：
[Y_i = _0 + _1X_i + _i]
[X_i = _0 + _1Z_i + _i]
其中，(Y_i)代表因变量，(X_i)代表内生解释变量，(Z_i)代表工具变量，(_i)和(_i)分别为误差项。通过两个阶段的回归分析，我们可以得到最终的估计结果。
2. 工具变量法的基本原理及公式 工具变量法是一种处理内生性的方法，其基本原理是利用与内生解释变量相关但与误差项不相关的外生变量作为工具变量，通过工具变量的线性组合来替代内生变量进行估计。工具变量法的回归模型可以表示为： [X_i = _0 + _1Z_i + _i] [Y_i = _0 + _1 + _i]
其中，()是利用工具变量估计的内生变量的值。
3. 二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的条件 现在让我们来探讨二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的条件。事实上，当工具变量法满足一定条件时，其结果与二阶段最小二乘法是等价的。具体而言，若工具变量满足外生性和相关性条件（即与内生变量相关），并且内生变量的影响能够完全通过工具变量进行替代，那么工具变量法的结果将与二阶段最小二乘法一致。
OLS估计和IV估计原理
OLS估计和IV估计是两种常用的经济学中的参数估计方法。OLS估计（Ordinary Least Squares）是一种基于最小二乘法的普通最小二乘法估计方法，用于估计线性回归模型的参数。IV估计（Instrumental
Variable Estimation）是一种用于解决内生性问题的估计方法，它通过引入工具变量来消除内生性引起的偏误。
OLS估计的原理是通过最小化残差平方和来估计模型参数。OLS估计的基本假设是线性回归模型具有一定的线性关系，残差服从正态分布且具有恒定的方差。OLS估计以观测数据直接进行参数估计，计算出最小二乘估计量，即使得残差平方和最小的参数值。
OLS估计的一般步骤包括：首先，根据问题的设定和经济理论，建立线性回归模型；然后，计算样本数据的均值与方差，构造目标函数（残差平方和）；接着，对目标函数进行优化，对参数进行估计；最后，进行统计推断分析，包括参数的显著性检验、拟合优度检验等。OLS估计的优点是计算简便、解释性强，但其在存在内生性的情况下会引起参数估计偏误。
IV估计的原理是基于工具变量的一种参数估计方法。当自变量存在内生性时，OLS估计会引起内生性偏误，此时可以引入工具变量来消除内生性偏误。工具变量是与内生自变量相关但不与因变量相关的变量，通过工具变量的使用，可以将内生性问题的影响隔离开来。IV估计是通过两个阶段的回归来实现的。
首先，利用工具变量对内生自变量进行回归，得到其预测值（第一阶段回归）。然后，将预测值代入原始模型中，以代替内生自变量，对原始模型进行回归，从而估计出模型的参数（第二阶段回归）。IV估计的关键在于选择有效的工具变量，一般来说，工具变量应满足两个条件：与内生自变量相关、不与误差项相关。此外，IV估计还需要满足一些其他的假设条件，如无系统误差、同方差性等。
相对于OLS估计，IV估计的优点是可以解决内生性问题，对于内生问题较为有效。然而，IV估计也存在一些限制，如需要满足一些假设条件，对工具变量的选择要求较高，同时也容易引入其他的估计偏误。因此，在实际应用中，选择适合的估计方法需要根据具体问题的特征和数据的特点来进行判断。
工具变量法二阶段回归模型是一种用于处理内生性问题的统计方法，主要通过两个阶段的最小二乘法（Two Stage Least Square，2SLS或TSLS）来实现。在第一阶段，该方法使用工具变量（iv）去做解释变量（x）的回归。然后在第二阶段，它用工具变量对解释变量的估计值（x'）去对被解释变量（y）做回归。
此方法的逻辑是将内生解释变量分解为两部分，一部分是由工具变量造成的外生部分，另一部分是与扰动项相关的内生部分。这样的分解能够“治疗”内生性问题，从而得到更加准确的估计结果。
在实际应用中，工具变量的回归操作可以通过多种统计软件实现，例如Stata，其基本操作代码有：ivregress, ivreg2, ivreghdfe, xtivreg, xtivreg2等。这些工具和方法使得工具变量法二阶段回归模型在处理内生性问题时具有广泛的应用价值。
