第3讲 圆周运动的角量描述

1 第四节 圆周运动及其描述

上一节学习了一般的平面曲线运动，本节学习一种特殊且常见的曲线运动――圆周运动。

1 圆周运动的线量描述

回顾上一节，我们在自然坐标系下使用了位置、速度、加速度等量来描述曲线运动。这些量称为线量，所以上一节对于曲线运动的描述称为线量描述。由于圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而上一节关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。所以可以把上一节的结论直接用于圆周运动的线量描述。

位置：s＝s(t)

速度：dsdtv=τ

加速度：22dsdtaτ

(1a)

2nvRan (1b)

(1b)式中的R就是圆的半径，而v则是质点做圆周运动的速率。质点作圆周运动时，如果切向加速度为0，就是所谓的匀速圆周运动．．．．．．。

2 圆周运动的角量描述 极坐标系

2.1 角位移

除了线量描述形式外，对于圆周运动还有一种常用的描述形式――角量描述。如图1所示，以圆心为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，就建立了一个坐标系，称为极坐标系。在极坐标系中，质点的位置所对应的矢径r与极轴的夹角θ称为质点的角位置，而dθ称为dt时间内的角位移。

注意：

1，角位移．．．d．θ．既有大小，又有方向．．．．．．．．．(．但未必是矢量．．．．．．1)。其方向由右手定则确定，即：伸出右手，使四指沿着质点旋转的方向弯曲，与四指垂直的拇指所指的方向

1 矢量的严格定义是：矢量是在空间中有一定的方向和数值，并遵从平行四边形加法法则的量。 2 即为dθ的正方向。

2，有限大小的角位移不是矢量(因为角位移的合成不符合交换律，比如翻一本书：先x->90，再y－>90，最后z－>90得到的结果，与先x->90，再z－>90，最后y－>90得到的结果不一样)，只有．．当△．．t．．0．时，角位移．．．．．d．θ．才是矢量．．．．。

3，质点作圆周运动时，其角位移只有两种可能的方向，因此可以在标量前．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．加正号或者是负号来指明角位移的方向．．．．．．．．．．．．．．．．．。一般可以通过作一条垂直于圆的直线，然后任意规定直线的正方向，那么如果角位移的方向与规定的正方向相同则角位移前冠以“＋”号，否则冠以“－”号。

图 1 极坐标系与角位移

2.2 角速度与角加速度

与引进速度和加速度的方法一样，可以引入角速度和角加速度。即

0limtdtdt

(2)

220limtddtdtdt (3)

角速度的方向与角位移的方向相同，由右手定则确定，如图2所示。

图 2 角速度的方向

角速度的单位：弧度/秒(rad.s-1) ，角加速度的单位：弧度/平方秒(rad .s-2) 。 dθ

θ A B

O r

极轴 3 3 圆周运动中线量与角量之间的关系

角速度矢量与线速度矢量间的关系为

vr (4a)

如图3所示。仅考虑量值时有

vr=

(4b)

图3角速度矢量与线速度矢量间的关系

切向加速度和角加速度间的关系为

aRτ (5)

法向加速度和角速度间的关系为

22nvaRR (6)

圆周运动中法向加速度也叫向心加速度。

4 匀变速圆周运动和匀变速直线运动的比较

对于圆周运动，由于圆的半径R是常数，只有角位置θ才是时间的函数，因此描述质点的位置只需要一个标量θ即可。

对于匀变速圆周运动，其角位置、角速度与角加速度之间的关系为：

0t (7a)

200/2tt (7b)

22002() (7c)

与匀变速直线运动中的几个公式比较一下： 4 02002200/22()vvatxxvtatvvaxx

两者数学形式完全相同，这说明，用角量描述可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。

5 本节小结

本节使用角量描述圆周运动，使得二维圆周运动简化为一维运动形式，此时的质点的位置只需要使用一个量即角位置来描述即可。

(1)牢记并能够熟练运用线量与角量之间的关系(4)～(6)式。

(2)对于匀变速圆周运动能够灵活运动角位置、角速度与角加速度之间的关系公式(7)求解实际问题。

例题1 如图4所示，一吊扇翼片长R＝50cm，以n＝180r/min的转速转动。关闭电源后，吊扇均匀减速，经过1.5min停止转动。

(1) 求吊扇翼尖原来的转动角速度与线速度；

(2) 求关闭电源后t＝80s时翼尖的角加速度、切向加速度和总加速度。

图4

分析：关闭电源前，吊扇的翼尖作匀速圆周运动，吊扇的转速是n＝180转/分钟＝180 × 2π ÷ 60 rad/s＝6π(rad/s)，此速度即为扇翼上任何一点的转动角速度。

关闭电源后作匀减速圆周运动。可以使用(7)式求出t＝80s时的相关量。

解：(1) 翼尖原来的转动角速度 5 02180218.8(/)60nrads

利用角速度与线速度间的关系(4b)得

018.80.59.4(/)0vrms=

(2) 关闭电源后作匀减速圆周运动，由(7a)式得角加速度为

20018.80.209(/)90AAradst

由(5)式得翼尖的切向加速度：

20.5(0.209)0.105(/)aRmsτ

负号表述切向加速度的方向与翼尖处速度的方向相反，如图4所示。

根据(6)式，要求法向加速度，必须先求t＝80秒时翼尖的角速度。根据式(7a)得

018.8(0.209)802.08(/)trads

利用(6)式，可求翼尖的法向加速度为

2220.52.082.16(/)naRms

总的加速度为

222222.16(0.105)2.16(/)naaams

加速度方向与切线的夹角为

0.105arctanarctan2.782.16naa

例题2 如下图所示，一质点作圆周运动，其路程与时间的关系为s = v0t－bt2/2，v0和b都是正的常数。① 求质点在t时刻的速度；② t为何值时，质点的切向加速度和法向加速度的大小相等。

解：①

0dsvvbtdt

220nvbtvaRR

220222()nvbtaaabR v

O an aτ

a α 6 20arctanarctannvbtaabR

② 由①得到：ab，20nvbtaR，根据题意，naa，即

20vbtbR

解得：01vbRtb，02vbRtb

第五节 运动学部分小结

1 总结

本章主要讲述质点运动学问题，涉及质点运动的描述，曲线运动的描述，并分析了一种特殊的曲线运动――圆周运动。具体内容如下：

1.1 参照系与物理模型

 参照物与坐标系

由于运动的绝对性以及运动描述的相对性，要描述一个物体的运动必须选定特定的参照物，并建立一定的坐标系。本章介绍了直角坐标系、自然坐标系和极坐标系。其中直角坐标系是一种最为常用的坐标系，而在描述曲线运动时，使用自然坐标系较为方便；针对圆周运动中圆的半径是常数，在极坐标系下利用角量描述圆周运动则可以将二维的曲线运动转化为一维形式(仅有角位置一个变量)进行描述，使得问题得到简化。

 物理模型

运动的复杂性使得要研究运动的最本质、最基本的规律变得较为复杂，为此需要将物体简化为一定的物理模型，以便于使用数学表示物体运动的物理规律。本章使用的物理模型是质点，即本章主要研究如何描述单个质点的运动。

1.2 质点运动的描述

对于质点运动状态的描述，需要两个物理量：位置和速度。

 质点的位置矢量r 7 当选定了参照物后，就可在参照物上根据实际问题的需要(任意)选取一个固定点O，然后将此点与质点P相连，从而构成矢量OP，这个矢量称为质点P的位置矢量(简称位矢)，常用符号r表示。由于质点的位置是不断变化的，因而位矢r是时间t的函数。记为

r＝r(t)

此式就是矢量形式的质点运动学方程。

如果在参照物上以O为原点，建立直角坐标系O－xyz，并将矢量r向三个坐标轴进行投影就可得到三个分量x，y，z，这三个分量就构成质点在直角坐标系中的坐标(x，y，z)。显然，x，y，z都是时间的函数，可记为

x=x(t)， y=y(t) z=z(t)

这就是标量形式的质点运动学方程。

两种运动学方程间的关系为

r＝r(t)＝x(t)i＋y(t)j＋z(t)k

通过标量形式的质点运动学方程，消去时间变量t后即可得到质点运动的轨道方程。

 质点的速度

质点的速度可以利用质点的位矢对时间求微分获得，即

ddtrv=

在直角坐标系中，速度的表示形式为

xyzddxdydzvvvdtdtdtdtrv=ijk=i+j+k

222xyzvvvv

下列几个量都能够表示质点运动的快慢程度：(即时)速度v、(即时)速率v、平均速度v、平均速率v。要注意区别。

速度是矢量，不仅表达质点在某一位置处运动的快慢程度，而且包含运动的方向信息。速率是标量，仅表达质点在某一位置处运动的快慢程度，不含方向信息。此二者的关系为：v＝|v|

平均速度是矢量，是指质点发生的位移与所用时间的比值。

平均速率是标量，是指质点经过的路程的长度与所用时间的比值。平均速率永远大于或者等于0。

试比较：ddtrv=，vv，trv=，svt

导出关系：vv(ds=|dr|)， vv(取极限)。

 质点的加速度